Um paralelogramo é uma figura quadrangular cujos lados opostos são paralelos e iguais aos pares. Seus ângulos opostos também são iguais, e o ponto de intersecção das diagonais do paralelogramo os divide ao meio, sendo o centro de simetria da figura. Casos especiais de paralelogramo são formas geométricas como quadrado, retângulo e losango. A área de um paralelogramo pode ser encontrada jeitos diferentes, dependendo de quais dados iniciais acompanham a declaração do problema.
S = DC ∙ h
onde S é a área do paralelogramo;
humilhar;
h é a altura desenhada para a base dada.
Esta fórmula é muito fácil de entender e lembrar se você observar a figura a seguir.
Como você pode ver nesta imagem, se cortarmos um triângulo imaginário à esquerda do paralelogramo e anexá-lo à direita, o resultado será um retângulo. Como você sabe, a área de um retângulo é encontrada multiplicando seu comprimento pela altura. Somente no caso de um paralelogramo o comprimento será a base e a altura do retângulo será a altura do paralelogramo baixado para um determinado lado.
S = AD∙AB∙sinα
onde AD, AB são bases adjacentes formando um ponto de intersecção e um ângulo a entre si;
α é o ângulo entre as bases AD e AB.
S = ½∙AC∙BD∙sinβ
onde AC, BD são as diagonais do paralelogramo;
β é o ângulo entre as diagonais.
Paralelogramo chamado de quadrilátero cujos lados opostos são paralelos entre si. As principais tarefas escolares sobre este tema são calcular a área de um paralelogramo, seu perímetro, altura e diagonais. Os valores indicados e as fórmulas para seu cálculo serão apresentados a seguir.
Os lados opostos de um paralelogramo, assim como os ângulos opostos, são iguais entre si:
AB=CD, BC=AD,
As diagonais de um paralelogramo no ponto de intersecção são divididas em duas partes iguais:
AO=OC, OB=OD.
Ângulos adjacentes a qualquer lado (ângulos adjacentes) somam 180 graus.
Cada uma das diagonais de um paralelogramo o divide em dois triângulos de áreas e dimensões geométricas iguais.
Outra propriedade notável que é frequentemente usada na resolução de problemas é que a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados de todos os lados:
AC^2+BD^2=2*(AB^2+BC^2) . 
1. Um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos aos pares é um paralelogramo.
2. Quadrilátero com igual lados opostosé um paralelogramo.
3. Um quadrilátero com lados opostos iguais e paralelos é um paralelogramo.
4. Se as diagonais de um quadrilátero no ponto de intersecção forem divididas ao meio, então é um paralelogramo.
5. Um quadrilátero cujos ângulos opostos são iguais aos pares é um paralelogramo
As bissetrizes de ângulos opostos em um paralelogramo podem ser paralelas ou coincidentes.
Bissetrizes de ângulos adjacentes (adjacentes a um lado) se cruzam em ângulos retos (perpendiculares).
Altura do paralelogramo- este é um segmento traçado a partir de um ângulo perpendicular à base. Segue-se disso que duas alturas podem ser traçadas de cada ângulo.
Área de um paralelogramoé igual ao produto do lado pela altura desenhada para ele. A fórmula da área é a seguinte 
A segunda fórmula não é menos popular nos cálculos e é definida da seguinte forma: a área de um paralelogramo é igual ao produto dos lados adjacentes e o seno do ângulo entre eles
Com base nas fórmulas acima, você saberá calcular a área de um paralelogramo.
A fórmula para calcular o perímetro de um paralelogramo é
isto é, o perímetro é igual ao dobro da soma dos lados. Problemas envolvendo paralelogramos serão discutidos em materiais adjacentes, mas por enquanto estude as fórmulas. A maioria dos problemas de cálculo dos lados e diagonais de um paralelogramo são bastante simples e se resumem ao conhecimento do teorema dos senos e do teorema de Pitágoras.
Observação. Isto faz parte de uma lição com problemas de geometria (seção de paralelogramo). Se você precisa resolver um problema de geometria que não está aqui, escreva sobre isso no fórum. Para indicar a ação de recuperar raiz quadrada na resolução de problemas utiliza-se o símbolo √ ou sqrt(), com a expressão radical indicada entre parênteses.
Explicações para as fórmulas para encontrar a área de um paralelogramo:
Solução.
Vamos denotar a altura menor paralelogramo ABCD, baixado do ponto B para base maior AD como BK.
Vamos encontrar o valor do cateto de um triângulo retângulo ABK formado por uma altura menor, um lado menor e parte de uma base maior. De acordo com o teorema de Pitágoras:
AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK = 1
Vamos estender a base superior do paralelogramo BC e diminuir a altura AN a partir de sua base inferior. AN = BK como os lados do retângulo ANBK. Vamos encontrar a perna NC do triângulo retângulo resultante ANC.
AN 2 + NC 2 = CA 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC2 = 225 - 81
NC 2 = √144
NF = 12
Agora vamos encontrar a base maior BC do paralelogramo ABCD.
BC = NC - NB
Vamos levar em conta que NB = AK como os lados do retângulo, então
BC = 12 - 1 = 11
A área de um paralelogramo é igual ao produto da base pela altura desta base.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99
Responder: 99cm2.
Solução.
Vamos colocar outra perpendicular DK na diagonal AC.
Conseqüentemente, os triângulos AOB e DKC, COB e AKD são iguais aos pares. Um dos lados é o lado oposto do paralelogramo, um dos ângulos é reto, pois é perpendicular à diagonal, e um dos ângulos restantes é uma cruz interna situada nos lados paralelos do paralelogramo e da secante diagonal.
Assim, a área do paralelogramo é igual à área dos triângulos indicados. Aquilo é
Paralelo = 2S AOB +2S BOC
A área de um triângulo retângulo é igual à metade do produto dos catetos. Onde
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
Responder: 56 cm2 .
Ao resolver problemas neste tópico, exceto propriedades básicas paralelogramo e as fórmulas correspondentes, você pode lembrar e aplicar o seguinte:
Consideremos problemas nos quais essas propriedades são utilizadas.
Tarefa 1.
A bissetriz do ângulo C do paralelogramo ABCD cruza o lado AD no ponto M e a continuação do lado AB além do ponto A no ponto E. Encontre o perímetro do paralelogramo se AE = 4, DM = 3.
Solução.
1. O triângulo CMD é isósceles. (Propriedade 1). Portanto, CD = MD = 3 cm.
2. O triângulo EAM é isósceles.
Portanto, AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Perímetro ABCD = 20 cm.
Responder. 20 cm.
Tarefa 2.
As diagonais são desenhadas em um quadrilátero convexo ABCD. Sabe-se que as áreas dos triângulos ABD, ACD, BCD são iguais. Prove que este quadrilátero é um paralelogramo.
Solução.
1. Seja BE a altura do triângulo ABD, CF a altura do triângulo ACD. Como, pelas condições do problema, as áreas dos triângulos são iguais e têm uma base comum AD, então as alturas desses triângulos são iguais. SER = CF.
2. BE, CF são perpendiculares a AD. Os pontos B e C estão localizados no mesmo lado em relação à linha reta AD. SER = CF. Portanto, a reta BC || DE ANÚNCIOS. (*)
3. Seja AL a altitude do triângulo ACD, BK a altitude do triângulo BCD. Como, de acordo com as condições do problema, as áreas dos triângulos são iguais e possuem uma base comum CD, então as alturas desses triângulos são iguais. AL = BK.
4. AL e BK são perpendiculares a CD. Os pontos B e A estão localizados no mesmo lado em relação à linha reta CD. AL = BK. Portanto, reta AB || CD (**)
5. Das condições (*), (**) segue-se que ABCD é um paralelogramo.
Responder. Comprovado. ABCD é um paralelogramo.
Tarefa 3.
Nos lados BC e CD do paralelogramo ABCD, são marcados os pontos M e H, respectivamente, de modo que os segmentos BM e HD se cruzam no ponto O;<ВМD = 95 о,
Solução.
1. No triângulo DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Num triângulo retângulo DHC Então<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Mas CD = AB. Então AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Resposta: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Tarefa 4. Uma das diagonais de um paralelogramo de comprimento 4√6 forma um ângulo de 60° com a base, e a segunda diagonal forma um ângulo de 45° com a mesma base. Encontre a segunda diagonal. Solução.
1. AO = 2√6. 2. Aplicamos o teorema do seno ao triângulo AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sen 45 o = OD/sen 60 o. ОD = (2√6sen 60 о) / sen 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Resposta: 12.
Tarefa 5. Para um paralelogramo com lados 5√2 e 7√2, o menor ângulo entre as diagonais é igual ao menor ângulo do paralelogramo. Encontre a soma dos comprimentos das diagonais. Solução.
Sejam d 1, d 2 as diagonais do paralelogramo, e o ângulo entre as diagonais e o ângulo menor do paralelogramo é igual a φ. 1. Vamos contar dois diferentes S ABCD = AB AD sen A = 5√2 7√2 sen f, S ABCD = 1/2 AC ВD sen AOB = 1/2 d 1 d 2 sen f. Obtemos a igualdade 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ou 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Usando a relação entre os lados e diagonais do paralelogramo, escrevemos a igualdade (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Vamos criar um sistema: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Vamos multiplicar a segunda equação do sistema por 2 e adicioná-la à primeira. Obtemos (d 1 + d 2) 2 = 576. Portanto, Id 1 + d 2 I = 24. Como d 1, d 2 são os comprimentos das diagonais do paralelogramo, então d 1 + d 2 = 24. Resposta: 24.
Tarefa 6. Os lados do paralelogramo são 4 e 6. O ângulo agudo entre as diagonais é de 45 graus. Encontre a área do paralelogramo. Solução.
1. A partir do triângulo AOB, usando o teorema do cosseno, escrevemos a relação entre o lado do paralelogramo e as diagonais. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2/2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 – 2 · (d 1/2) · (d 2/2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Da mesma forma, escrevemos a relação para o triângulo AOD. Vamos levar em conta isso<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Obtemos a equação d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Temos um sistema Subtraindo a primeira da segunda equação, obtemos 2d 1 · d 2 √2 = 80 ou d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sen AOB = 1/2 d 1 d 2 sen α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Observação: Neste e no problema anterior não há necessidade de resolver o sistema completamente, antecipando que neste problema precisamos do produto das diagonais para calcular a área. Resposta: 10. Tarefa 7. A área do paralelogramo é 96 e seus lados são 8 e 15. Encontre o quadrado da diagonal menor. Solução.
1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Vamos fazer uma substituição na fórmula. Obtemos 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Portanto, pecado ÂAD = 4/5. 2. Vamos encontrar o cos VAD. sen 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25. De acordo com as condições do problema, encontramos o comprimento da diagonal menor. A diagonal ВD será menor se o ângulo ВАD for agudo. Então porque VAD = 3/5. 3. A partir do triângulo ABD, usando o teorema do cosseno, encontramos o quadrado da diagonal BD. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3/5 = 145. Resposta: 145.
Ainda tem dúvidas? Não sabe como resolver um problema de geometria? site, ao copiar o material total ou parcialmente, é necessário um link para a fonte. Área de um paralelogramo. Em muitos problemas de geometria relacionados ao cálculo de áreas, incluindo tarefas do Exame Estadual Unificado, são utilizadas fórmulas para a área de um paralelogramo e de um triângulo. Existem vários deles, vamos dar uma olhada neles aqui. Seria muito simples listar essas fórmulas; já existe bastante desse material em livros de referência e em vários sites. Gostaria de transmitir a essência - para que você não os amontoe, mas os compreenda e possa lembrá-los facilmente a qualquer momento. Depois de estudar o material do artigo, você entenderá que não há necessidade de aprender essas fórmulas. Objetivamente falando, ocorrem com tanta frequência nas decisões que permanecem na memória por muito tempo. 1.
Então, vamos dar uma olhada em um paralelogramo. A definição diz: Por que é que? É simples! Para mostrar claramente qual é o significado da fórmula, vamos realizar algumas construções adicionais, nomeadamente, construir as alturas: A área do triângulo (2) é igual à área do triângulo (1) - o segundo sinal de igualdade dos triângulos retângulos “ao longo da perna e hipotenusa”. Agora vamos “cortar” mentalmente o segundo e movê-lo sobrepondo-o ao primeiro - obtemos um retângulo cuja área será igual à área do paralelogramo original: Sabe-se que a área de um retângulo é igual ao produto de seus lados adjacentes. Como pode ser visto no esboço, um lado do retângulo resultante é igual ao lado do paralelogramo e o outro é igual à altura do paralelogramo. Portanto, obtemos a fórmula da área de um paralelogramo S = a∙h a 2. Continuemos, outra fórmula para sua área. Nós temos: Vamos denotar os lados como aeb, o ângulo entre eles é γ "gama", a altura é h a. Considere um triângulo retângulo:
(
(Já que em um triângulo retângulo o cateto oposto ao ângulo de 30° é igual à metade da hipotenusa).
maneira sua área.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Para obter ajuda de um tutor, registre-se.
A primeira aula é gratuita!
Área de uma fórmula de paralelogramo
