Paralelogramoé um quadrilátero cujos lados são paralelos aos pares.
Nesta figura lados opostos e os ângulos são iguais entre si. As diagonais de um paralelogramo se cruzam em um ponto e o dividem ao meio. As fórmulas para a área de um paralelogramo permitem encontrar o valor usando os lados, altura e diagonais. Um paralelogramo também pode ser apresentado em casos especiais. Eles são considerados retângulo, quadrado e losango.
Primeiro, vejamos um exemplo de cálculo da área de um paralelogramo pela altura e pelo lado para o qual ele é abaixado.
Este caso é considerado clássico e não requer investigação adicional. É melhor considerar a fórmula para calcular a área através de dois lados e o ângulo entre eles. O mesmo método é usado nos cálculos. Se os lados e o ângulo entre eles forem fornecidos, a área será calculada da seguinte forma: 
Suponha que tenhamos um paralelogramo com lados a = 4 cm, b = 6 cm. O ângulo entre eles é α = 30°. Vamos encontrar a área: 
A fórmula da área de um paralelogramo usando diagonais permite encontrar rapidamente o valor.
Para cálculos, você precisará do tamanho do ângulo localizado entre as diagonais.
Consideremos um exemplo de cálculo da área de um paralelogramo usando diagonais. Seja dado um paralelogramo com diagonais D = 7 cm, d = 5 cm. O ângulo entre eles é α = 30°. Vamos substituir os dados na fórmula: 
Um exemplo de cálculo da área de um paralelogramo através da diagonal nos deu um excelente resultado - 8,75.
Conhecendo a fórmula da área de um paralelogramo através da diagonal, você pode resolver o conjunto tarefas interessantes. Vejamos um deles.
Tarefa: Dado um paralelogramo com área de 92 metros quadrados. veja O ponto F está localizado no meio de seu lado BC. Vamos encontrar a área do trapézio ADFB, que ficará em nosso paralelogramo. Primeiro vamos sortear tudo o que recebemos de acordo com as condições.
Vamos começar com a solução: 
De acordo com nossas condições, ah =92 e, consequentemente, a área do nosso trapézio será igual a 
Assim como na geometria euclidiana, um ponto e uma linha reta são os principais elementos da teoria dos planos, o paralelogramo é uma das figuras-chave dos quadriláteros convexos. Dele, como os fios de uma bola, fluem os conceitos de “retângulo”, “quadrado”, “losango” e outras grandezas geométricas.
Em contato com
quadrilátero convexo, consistindo em segmentos, cada par dos quais é paralelo, é conhecido em geometria como paralelogramo.
A aparência de um paralelogramo clássico é representada por um quadrilátero ABCD. Os lados são chamados de bases (AB, BC, CD e AD), a perpendicular traçada de qualquer vértice ao lado oposto a este vértice é chamada de altura (BE e BF), as linhas AC e BD são chamadas de diagonais.
Atenção! Quadrado, losango e retângulo são casos especiais de paralelogramo.
As principais propriedades, em geral, predeterminado pela própria designação, eles são provados pelo teorema. Essas características são as seguintes:
Prova: Considere ∆ABC e ∆ADC, que são obtidos dividindo o quadrilátero ABCD pela reta AC. ∠BCA=∠CAD e ∠BAC=∠ACD, já que AC é comum para eles (ângulos verticais para BC||AD e AB||CD, respectivamente). Segue-se disso: ∆ABC = ∆ADC (o segundo sinal de igualdade dos triângulos).
Os segmentos AB e BC em ∆ABC correspondem aos pares às retas CD e AD em ∆ADC, o que significa que são idênticos: AB = CD, BC = AD. Assim, ∠B corresponde a ∠D e eles são iguais. Como ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, que também são idênticos aos pares, então ∠A = ∠C. A propriedade foi comprovada.
Característica principal destas linhas de um paralelogramo: o ponto de intersecção as divide ao meio.
Prova: Seja i.e. o ponto de intersecção das diagonais AC e BD da figura ABCD. Eles formam dois triângulos proporcionais - ∆ABE e ∆CDE.
AB = CD, pois são opostos. De acordo com retas e secantes, ∠ABE = ∠CDE e ∠BAE = ∠DCE.
De acordo com o segundo critério de igualdade, ∆ABE = ∆CDE. Isso significa que os elementos ∆ABE e ∆CDE: AE = CE, BE = DE e ao mesmo tempo são partes proporcionais de AC e BD. A propriedade foi comprovada.
Lados adjacentes têm soma de ângulos igual a 180°, uma vez que estão do mesmo lado de retas paralelas e de uma transversal. Para quadrilátero ABCD:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Propriedades da bissetriz:
As características desta figura decorrem do seu teorema principal, que afirma o seguinte: um quadrilátero é considerado um paralelogramo caso suas diagonais se cruzem e este ponto as divida em segmentos iguais.
Prova: deixe as linhas AC e BD do quadrilátero ABCD se cruzarem, ou seja, Como ∠AED = ∠BEC, e AE+CE=AC BE+DE=BD, então ∆AED = ∆BEC (pelo primeiro critério de igualdade de triângulos). Ou seja, ∠EAD = ∠ECB. Eles também são os ângulos cruzados internos da secante AC para as linhas AD e BC. Assim, por definição de paralelismo - AD || a.C. Uma propriedade semelhante das linhas BC e CD também é derivada. O teorema foi provado.
Área desta figura encontrado por vários métodos um dos mais simples: multiplicar a altura e a base sobre a qual é desenhado.
Prova: traçar perpendiculares BE e CF a partir dos vértices B e C. ∆ABE e ∆DCF são iguais, pois AB = CD e BE = CF. ABCD é igual em tamanho ao retângulo EBCF, pois consiste em figuras proporcionais: S ABE e S EBCD, bem como S DCF e S EBCD. Conclui-se que a área desta figura geométrica é igual à de um retângulo:
S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.
Para determinar a fórmula geral da área de um paralelogramo, denotaremos a altura como hb, e o lado - b. Respectivamente:
Cálculos de área pelos lados do paralelogramo e pelo ângulo, que eles formam, é o segundo método conhecido.
,
Spr-ma - área;
a e b são seus lados
α é o ângulo entre os segmentos a e b.
Este método é praticamente baseado no primeiro, mas caso seja desconhecido. sempre corta um triângulo retângulo cujos parâmetros são encontrados identidades trigonométricas, aquilo é . Transformando a relação, obtemos. Na equação do primeiro método, substituímos a altura por este produto e obtemos uma prova da validade desta fórmula.
Através das diagonais de um paralelogramo e do ângulo, que eles criam quando se cruzam, você também pode encontrar a área.
Prova: AC e BD se cruzam para formar quatro triângulos: ABE, BEC, CDE e AED. A soma deles é igual à área deste quadrilátero.
A área de cada um desses ∆ pode ser encontrada pela expressão , onde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Desde então, os cálculos usam um único valor de seno. Aquilo é . Como AE+CE=AC= d 1 e BE+DE=BD= d 2, a fórmula da área se reduz a:
.
As características das partes constituintes deste quadrilátero encontraram aplicação na álgebra vetorial, nomeadamente na adição de dois vetores. A regra do paralelogramo afirma que se dados vetoresENãosão colineares, então sua soma será igual à diagonal desta figura, cujas bases correspondem a esses vetores.
Prova: de um começo escolhido arbitrariamente - ou seja, - construir vetores e . A seguir construímos um paralelogramo OASV, onde os segmentos OA e OB são lados. Assim, o sistema operacional está no vetor ou soma.
As identidades são fornecidas nas seguintes condições:
| Parâmetro | Fórmula |
| Encontrando os lados | |
| ao longo das diagonais e o cosseno do ângulo entre elas | 
|
| ao longo de diagonais e lados | 
|
| através da altura e do vértice oposto | |
| Encontrando o comprimento das diagonais | |
| nas laterais e o tamanho do ápice entre eles | |
Ao resolver problemas neste tópico, exceto propriedades básicas paralelogramo e as fórmulas correspondentes, você pode lembrar e aplicar o seguinte:
Consideremos problemas nos quais essas propriedades são utilizadas.
Tarefa 1.
A bissetriz do ângulo C do paralelogramo ABCD cruza o lado AD no ponto M e a continuação do lado AB além do ponto A no ponto E. Encontre o perímetro do paralelogramo se AE = 4, DM = 3.
Solução.
1. O triângulo CMD é isósceles. (Propriedade 1). Portanto, CD = MD = 3 cm.
2. O triângulo EAM é isósceles.
Portanto, AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Perímetro ABCD = 20 cm.
Responder. 20 cm.
Tarefa 2.
As diagonais são desenhadas em um quadrilátero convexo ABCD. Sabe-se que as áreas dos triângulos ABD, ACD, BCD são iguais. Prove que este quadrilátero é um paralelogramo.
Solução.
1. Seja BE a altura do triângulo ABD, CF a altura do triângulo ACD. Como, pelas condições do problema, as áreas dos triângulos são iguais e têm uma base comum AD, então as alturas desses triângulos são iguais. SER = CF.
2. BE, CF são perpendiculares a AD. Os pontos B e C estão localizados no mesmo lado em relação à linha reta AD. SER = CF. Portanto, a reta BC || DE ANÚNCIOS. (*)
3. Seja AL a altura do triângulo ACD, BK a altura do triângulo BCD. Como, de acordo com as condições do problema, as áreas dos triângulos são iguais e possuem uma base comum CD, então as alturas desses triângulos são iguais. AL = BK.
4. AL e BK são perpendiculares a CD. Os pontos B e A estão localizados no mesmo lado em relação à linha reta CD. AL = BK. Portanto, reta AB || CD (**)
5. Das condições (*), (**) segue-se que ABCD é um paralelogramo.
Responder. Comprovado. ABCD é um paralelogramo.
Tarefa 3.
Nos lados BC e CD do paralelogramo ABCD, são marcados os pontos M e H, respectivamente, de modo que os segmentos BM e HD se cruzam no ponto O;<ВМD = 95 о,
Solução.
1. No triângulo DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Num triângulo retângulo DHC Então<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Mas CD = AB. Então AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Resposta: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Tarefa 4. Uma das diagonais de um paralelogramo de comprimento 4√6 forma um ângulo de 60° com a base, e a segunda diagonal forma um ângulo de 45° com a mesma base. Encontre a segunda diagonal. Solução.
1. AO = 2√6. 2. Aplicamos o teorema do seno ao triângulo AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sen 45 o = OD/sen 60 o. ОD = (2√6sen 60 о) / sen 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Resposta: 12.
Tarefa 5. Para um paralelogramo com lados 5√2 e 7√2, o menor ângulo entre as diagonais é igual ao menor ângulo do paralelogramo. Encontre a soma dos comprimentos das diagonais. Solução.
Sejam d 1, d 2 as diagonais do paralelogramo, e o ângulo entre as diagonais e o ângulo menor do paralelogramo é igual a φ. 1. Vamos contar dois diferentes S ABCD = AB AD sen A = 5√2 7√2 sen f, S ABCD = 1/2 AC ВD sen AOB = 1/2 d 1 d 2 sen f. Obtemos a igualdade 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ou 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Usando a relação entre os lados e as diagonais de um paralelogramo, escrevemos a igualdade (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Vamos criar um sistema: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Vamos multiplicar a segunda equação do sistema por 2 e adicioná-la à primeira. Obtemos (d 1 + d 2) 2 = 576. Portanto, Id 1 + d 2 I = 24. Como d 1, d 2 são os comprimentos das diagonais do paralelogramo, então d 1 + d 2 = 24. Resposta: 24.
Tarefa 6. Os lados do paralelogramo são 4 e 6. O ângulo agudo entre as diagonais é de 45 graus. Encontre a área do paralelogramo. Solução.
1. A partir do triângulo AOB, usando o teorema do cosseno, escrevemos a relação entre o lado do paralelogramo e as diagonais. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2/2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 – 2 · (d 1/2) · (d 2/2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Da mesma forma, escrevemos a relação para o triângulo AOD. Vamos levar em conta isso<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Obtemos a equação d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Temos um sistema Subtraindo a primeira da segunda equação, obtemos 2d 1 · d 2 √2 = 80 ou d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sen AOB = 1/2 d 1 d 2 sen α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Observação: Neste e no problema anterior não há necessidade de resolver o sistema completamente, antecipando que neste problema precisamos do produto das diagonais para calcular a área. Resposta: 10. Tarefa 7. A área do paralelogramo é 96 e seus lados são 8 e 15. Encontre o quadrado da diagonal menor. Solução.
1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Vamos fazer uma substituição na fórmula. Obtemos 96 = 8 · 15 · sin ÂAD. Portanto, pecado ВAD = 4/5. 2. Vamos encontrar o cos VAD. sen 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25. De acordo com as condições do problema, encontramos o comprimento da diagonal menor. A diagonal ВD será menor se o ângulo ВАD for agudo. Então porque VAD = 3/5. 3. A partir do triângulo ABD, usando o teorema do cosseno, encontramos o quadrado da diagonal BD. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3/5 = 145. Resposta: 145.
Ainda tem dúvidas? Não sabe como resolver um problema de geometria? site, ao copiar o material total ou parcialmente, é necessário um link para a fonte. Mais precisamente, em planimetria e trigonometria, às vezes é necessário encontrar a altura de um paralelogramo com base nos valores dados dos lados, ângulos, diagonais, etc. Para encontrar a altura de um paralelogramo, conhecendo sua área e o comprimento de sua base, é necessário usar a regra da área de um paralelogramo. A área de um paralelogramo, como se sabe, é igual ao produto da altura pelo comprimento da base: S é a área do paralelogramo, a é o comprimento da base do paralelogramo, h é o comprimento da altura baixada no lado a (ou sua extensão). A partir disso descobrimos que a altura do paralelogramo será a área dividida pelo comprimento da base: Por exemplo, dado: a área do paralelogramo é 50 cm2, a base é 10 cm; encontre: a altura do paralelogramo. h=50/10=5 (cm). Como a altura do paralelogramo, parte da base e o lado adjacente à base formam uma forma retangular, então para a altura do paralelogramo você pode usar algumas proporções de lados e ângulos de formas retangulares. Se o lado do paralelogramo adjacente à altura h (DE) d (AD) e o ângulo A (BAD) oposto à altura forem conhecidos, então para calcular a altura do paralelogramo você precisa multiplicar o comprimento do lado adjacente por o seno do ângulo oposto: por exemplo, se d=10 cm e ângulo A=30 graus, então H=10*sen(30º)=10*1/2=5 (cm). Se o problema for dado pelo comprimento do paralelogramo adjacente à altura h (DE) d (AD) e o comprimento da base cortada pela altura (AE), então a altura do paralelogramo pode ser encontrada usando o método pitagórico teorema: |AE|^2+|ED|^2=|AD|^2, de onde determinamos: h=|ED|=√(|AD|^2-|AE|^2), aqueles. a altura do paralelogramo é igual à raiz quadrada da diferença entre os quadrados do comprimento do lado adjacente e a parte da base cortada pela altura. Por exemplo, se o comprimento do lado adjacente for 5 cm e o comprimento da parte cortada da base for 3 cm, então o comprimento da altura será: h=√(5^2-3^2)=4 (cm). Se o comprimento da diagonal adjacente à altura (DB) do paralelogramo e o comprimento da parte da base (BE) cortada pela altura forem conhecidos, então a altura do paralelogramo também pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras : |ВE|^2+|ED|^2=|ВD|^2, de onde determinamos: h=|ED|=√(|ВD|^2-|ВE|^2), aqueles. a altura do paralelogramo é igual à raiz quadrada da diferença entre os quadrados do comprimento da diagonal adjacente e a altura de corte (e) da base. Por exemplo, se o comprimento do lado adjacente for 5 cm e o comprimento da parte cortada da base for 4 cm, então o comprimento da altura será: h=√(5^2-4^2)=3 (cm). Vídeo sobre o tema Fontes: A altura de um polígono é o segmento de reta perpendicular a um dos lados da figura que o conecta ao vértice do ângulo oposto. Existem vários desses segmentos em uma figura plana convexa, e seus comprimentos não são iguais se pelo menos um dos lados do polígono tiver tamanho diferente dos outros. Portanto, em problemas de um curso de geometria, às vezes é necessário determinar o comprimento de uma altura maior, por exemplo, um triângulo ou paralelogramo. Instruções Se, além do comprimento do lado mais curto do triângulo (a), o número (S) for dado nas condições, a maior das alturas (Hₐ) será bastante simples. Dobre a área e divida o valor resultante pelo comprimento curto - esta será a altura desejada: Hₐ = 2*S/a. Sem conhecer a área, mas tendo os comprimentos do triângulo (a, b e c), você também poderá encontrar a maior de suas alturas, mas haverá muito mais operações matemáticas. Comece calculando uma grandeza auxiliar - semiperímetro (p). Para fazer isso, some os comprimentos de todos os lados e divida o resultado Área de uma figura geométrica- uma característica numérica de uma figura geométrica mostrando o tamanho desta figura (parte da superfície limitada pelo contorno fechado desta figura). O tamanho da área é expresso pelo número de unidades quadradas nela contidas. a b sen α Onde S é a área do trapézio,
(
(Já que em um triângulo retângulo o cateto oposto ao ângulo de 30° é igual à metade da hipotenusa).
maneira sua área.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Para obter ajuda de um tutor, registre-se.
A primeira aula é gratuita!
Fórmulas de área de triângulo
Área de um triângulo igual à metade do produto do comprimento de um lado de um triângulo e o comprimento da altitude traçada para esse lado
Área de um triânguloé igual ao produto do semiperímetro do triângulo e o raio do círculo inscrito.
- comprimentos dos lados do triângulo,
- altura do triângulo,
- o ângulo entre os lados e,
- raio do círculo inscrito,
R - raio do círculo circunscrito, Fórmulas de área quadrada
Área quadrada igual ao quadrado do comprimento do seu lado.
Área quadrada igual à metade do quadrado do comprimento de sua diagonal. S = 1
2
2
- comprimento do lado do quadrado,
- comprimento da diagonal do quadrado.Fórmula de área retangular
Área de um retângulo igual ao produto dos comprimentos de seus dois lados adjacentes
onde S é a área do retângulo,
- comprimentos dos lados do retângulo. Fórmulas de área do paralelogramo
Área de um paralelogramo
Área de um paralelogramoé igual ao produto dos comprimentos de seus lados multiplicado pelo seno do ângulo entre eles.
- comprimentos dos lados do paralelogramo,
- comprimento da altura do paralelogramo,
- o ângulo entre os lados do paralelogramo.Fórmulas para a área de um losango
Área de um losangoé igual ao produto do comprimento do seu lado pelo comprimento da altura abaixada para este lado.
Área de um losangoé igual ao produto do quadrado do comprimento do seu lado e o seno do ângulo entre os lados do losango.
Área de um losango igual à metade do produto dos comprimentos de suas diagonais.
- comprimento do lado do losango,
- comprimento da altura do losango,
- o ângulo entre os lados do losango,
1, 2 - comprimentos de diagonais.Fórmulas de área trapezoidal
- comprimentos das bases do trapézio,
- comprimentos dos lados do trapézio,
