§ 6. OSCILAÇÕES MECÂNICASfórmulas básicas
Equação de vibração harmônica
Onde X- deslocamento do ponto oscilante da posição de equilíbrio; t- Tempo; MAS,ω, φ- respectivamente amplitude, frequência angular, fase inicial das oscilações; - fase de oscilações no momento t.
Frequência de oscilação angular
onde ν e T são a frequência e o período das oscilações.
A velocidade de um ponto fazendo oscilações harmônicas,
aceleração harmônica
Amplitude MAS a oscilação resultante obtida pela adição de duas oscilações com as mesmas frequências ocorrendo ao longo de uma linha reta é determinada pela fórmula
Onde uma 1 e MAS 2 - amplitudes de componentes de oscilação; φ 1 e φ 2 - suas fases iniciais.
A fase inicial φ da oscilação resultante pode ser encontrada a partir da fórmula
A frequência de batimentos decorrentes da adição de duas oscilações ocorrendo ao longo da mesma linha reta com valores diferentes, mas próximos em valor, frequências ν 1 e ν 2,
A equação da trajetória de um ponto que participa de duas oscilações mutuamente perpendiculares com amplitudes A 1 e A 2 e fases iniciais φ 1 e φ 2,
Se as fases iniciais φ 1 e φ 2 dos componentes de oscilação forem as mesmas, então a equação da trajetória assume a forma
ou seja, o ponto se move em linha reta.
No caso em que a diferença de fase , a equação assume a forma
ou seja, o ponto se move ao longo de uma elipse.
Equação diferencial de vibrações harmônicas de um ponto material
, ou 
, onde m é a massa do ponto; k-
coeficiente de força quase elástica ( k=tω 2).
A energia total de um ponto material fazendo oscilações harmônicas,
O período de oscilação de um corpo suspenso em uma mola (pêndulo de mola),
Onde m- massa corporal; k- rigidez da mola. A fórmula é válida para vibrações elásticas dentro dos limites em que a lei de Hooke é cumprida (com uma pequena massa da mola em comparação com a massa do corpo).
O período de oscilação de um pêndulo matemático
Onde eu- comprimento do pêndulo; g- aceleração da gravidade. Período de oscilação de um pêndulo físico
Onde J- o momento de inércia do corpo oscilante em torno do eixo
flutuações; uma- distância do centro de massa do pêndulo ao eixo de oscilação;
Comprimento reduzido de um pêndulo físico.
As fórmulas acima são exatas para o caso de amplitudes infinitamente pequenas. Para amplitudes finitas, essas fórmulas fornecem apenas resultados aproximados. Em amplitudes não maiores que o erro no valor do período não exceda 1%.
O período de vibrações torcionais de um corpo suspenso em um fio elástico,
Onde J- o momento de inércia do corpo em relação ao eixo coincidente com o fio elástico; k- a rigidez de um fio elástico, igual à razão entre o momento elástico que ocorre quando o fio é torcido e o ângulo pelo qual o fio é torcido.
Equação diferencial de oscilações amortecidas 
, ou ,
Onde r- coeficiente de resistência; δ - coeficiente de amortecimento: ;ω 0 - frequência angular natural das vibrações *
Equação de oscilação amortecida
Onde No)- amplitude das oscilações amortecidas no momento t;ω é a sua frequência angular.
Frequência angular de oscilações amortecidas
О Dependência da amplitude das oscilações amortecidas no tempo
EU
Onde MAS 0 - amplitude de oscilações no momento t=0.
Decremento de oscilação logarítmica
Onde No) e A(t+T)- as amplitudes de duas oscilações sucessivas separadas no tempo uma da outra por um período.
Equação diferencial de vibrações forçadas
onde é uma força periódica externa atuando em um ponto material oscilante e causando oscilações forçadas; F 0 - seu valor de amplitude;
Amplitude de vibrações forçadas
Frequência ressonante e amplitude ressonante 
e
Exemplos de resolução de problemas
Exemplo 1 O ponto oscila de acordo com a lei x(t)=
,
Onde A=2 veja Determinar a fase inicial φ se
x(0)=cm e x , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо- мента t=0.
Solução. Usamos a equação do movimento e expressamos o deslocamento no momento t=0 até a fase inicial:
A partir daqui encontramos a fase inicial:
* Nas fórmulas fornecidas anteriormente para oscilações harmônicas, o mesmo valor foi simplesmente denotado por ω (sem o índice 0).
Substitua os valores dados nesta expressão x(0) e MAS:φ=
= 
. O valor do argumento é satisfeito por dois valores de ângulo:
Para decidir qual desses valores do ângulo φ também satisfaz a condição , primeiro encontramos:
Substituindo nesta expressão o valor t=0 e alternadamente os valores das fases iniciais e, encontramos
T 
ok como sempre UMA>0 e ω>0, então apenas o primeiro valor da fase inicial satisfaz a condição. Assim, a fase inicial desejada
Com base no valor encontrado de φ, construiremos um diagrama vetorial (Fig. 6.1). Exemplo 2 Ponto material com massa t\u003d 5 g executa oscilações harmônicas com uma frequência ν =0,5 Hz. Amplitude de oscilação UMA= 3 cm. Determine: 1) velocidade υ pontos no momento em que o deslocamento x== 1,5 cm; 2) força máxima F max atuando em um ponto; 3) Fig. 6.1 energia total E ponto oscilante.
e obtemos a fórmula da velocidade tomando a primeira derivada temporal do deslocamento:
Para expressar a velocidade em termos de deslocamento, o tempo deve ser excluído das fórmulas (1) e (2). Para fazer isso, elevamos as duas equações ao quadrado, dividimos a primeira por MAS 2 , o segundo em A 2 ω 2 e adicione:
, ou 
Resolvendo a última equação para υ , achar
Tendo realizado os cálculos de acordo com esta fórmula, obtemos
O sinal de mais corresponde ao caso em que a direção da velocidade coincide com a direção positiva do eixo X, sinal de menos - quando a direção da velocidade coincide com a direção negativa do eixo X.
O deslocamento durante a oscilação harmônica, além da equação (1), também pode ser determinado pela equação
Repetindo a mesma solução com esta equação, obtemos a mesma resposta.
2. A força que atua em um ponto, encontramos de acordo com a segunda lei de Newton:
Onde uma - aceleração de um ponto, que obtemos tomando a derivada temporal da velocidade:
Substituindo a expressão de aceleração na fórmula (3), obtemos
Daí o valor máximo da força
Substituindo nesta equação os valores de π, ν, t e UMA, achar
3. A energia total de um ponto oscilante é a soma das energias cinética e potencial calculadas para qualquer momento.
A maneira mais fácil de calcular a energia total é no momento em que a energia cinética atinge seu valor máximo. Neste ponto, a energia potencial é zero. Então a energia total E ponto de oscilação é igual à energia cinética máxima
Determinamos a velocidade máxima da fórmula (2), configurando: 
. Substituindo a expressão de velocidade na fórmula (4), encontramos
Substituindo os valores das quantidades nesta fórmula e realizando os cálculos, obtemos
ou mcJ.
Exemplo 3 Nas extremidades de uma haste fina eu= 1 m e peso m 3 =Bolinhas de 400 g são reforçadas com massas m 1=200 g e m 2 =300g. A barra oscila em torno do eixo horizontal, perpendicular ao
haste dicular e passando por seu meio (ponto O na Fig. 6.2). Definir período T vibrações produzidas pela haste.
Solução. O período de oscilação de um pêndulo físico, que é uma haste com bolas, é determinado pela relação
Onde J- t- seu peso; eu A PARTIR DE - distância do centro de massa do pêndulo ao eixo.
O momento de inércia deste pêndulo é igual a soma momentos de inércia das bolas J 1 e J 2 e haste J 3:
Tomando as bolas como pontos materiais, expressamos os momentos de inércia deles:
Como o eixo passa pelo meio da haste, então seu momento de inércia em relação a esse eixo J 3 = =. Substituindo as expressões resultantes J 1 , J 2 e J 3 na fórmula (2), encontramos o momento de inércia total do pêndulo físico:
Fazendo cálculos usando esta fórmula, encontramos
Arroz. 6.2 A massa do pêndulo consiste nas massas das bolas e na massa da haste:
Distância eu A PARTIR DE encontramos o centro de massa do pêndulo a partir do eixo de oscilação, com base nas seguintes considerações. Se o eixo x direcione ao longo da haste e alinhe a origem com o ponto O, então a distância desejada eué igual à coordenada do centro de massa do pêndulo, ou seja,
Substituindo os valores das quantidades m 1 , m 2 , m, eu e realizando cálculos, encontramos
Tendo feito os cálculos de acordo com a fórmula (1), obtemos o período de oscilação de um pêndulo físico:
Exemplo 4 O pêndulo físico é uma haste com um comprimento eu= 1 m e peso 3 t 1 Com preso a uma de suas extremidades por um aro de diâmetro e massa t 1 . Eixo horizontal oz
pêndulo passa pelo meio da haste perpendicular a ele (Fig. 6.3). Definir período T oscilações desse pêndulo.
Solução. O período de oscilação de um pêndulo físico é determinado pela fórmula
(1)
Onde J- o momento de inércia do pêndulo em torno do eixo de oscilação; t- seu peso; eu C - a distância do centro de massa do pêndulo ao eixo de oscilação.
O momento de inércia do pêndulo é igual à soma dos momentos de inércia da haste J 1 e aro J 2:
(2).
O momento de inércia da haste em relação ao eixo perpendicular à haste e passando por seu centro de massa é determinado pela fórmula 
. Nesse caso t= 3t 1 e
Encontramos o momento de inércia do aro usando o teorema de Steiner 
,Onde J-
momento de inércia em torno de um eixo arbitrário; J 0
-
momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de massa paralelo ao eixo dado; uma - a distância entre os eixos especificados. Aplicando esta fórmula ao aro, obtemos
Expressões de substituição J 1 e J 2 na fórmula (2), encontramos o momento de inércia do pêndulo em relação ao eixo de rotação:
Distância eu A PARTIR DE do eixo do pêndulo ao seu centro de massa é
Substituindo na fórmula (1) as expressões J, eu c e a massa do pêndulo , encontramos o período de sua oscilação:
Depois de calcular por esta fórmula, obtemos T\u003d 2,17 s.
Exemplo 5 Somam-se duas oscilações de mesmo sentido, expressas pelas equações ; x 2 = =, onde MAS 1 = 1 cm, UMA 2 \u003d 2 cm, s, s, ω \u003d \u003d. 1. Determine as fases iniciais φ 1 e φ 2 dos componentes da oscilação
bani. 2. Encontre a amplitude MAS e a fase inicial φ da oscilação resultante. Escreva a equação para a oscilação resultante.
Solução. 1. A equação da oscilação harmônica tem a forma
Vamos transformar as equações dadas na condição do problema para a mesma forma:
Da comparação das expressões (2) com a igualdade (1), encontramos as fases iniciais da primeira e segunda oscilações:
contente e 
alegre.
2. Para determinar a amplitude MAS da flutuação resultante, é conveniente usar o diagrama vetorial apresentado em arroz. 6.4. Pelo teorema do cosseno, obtemos
onde é a diferença de fase dos componentes de oscilação. Desde 
, então, substituindo os valores encontrados φ 2 e φ 1, obtemos rad.
Substitua os valores MAS 1 , MAS 2 e na fórmula (3) e faça os cálculos:
UMA= 2,65 cm.
A tangente da fase inicial φ da oscilação resultante pode ser determinada diretamente das Figs. 6.4: 
, onde a fase inicial
O tipo mais simples de vibração é vibrações harmônicas- flutuações nas quais o deslocamento do ponto oscilante da posição de equilíbrio muda ao longo do tempo de acordo com a lei do seno ou cosseno.
Assim, com uma rotação uniforme da bola em torno da circunferência, sua projeção (sombra em raios de luz paralelos) realiza um movimento oscilatório harmônico em uma tela vertical (Fig. 1).
O deslocamento da posição de equilíbrio durante as vibrações harmônicas é descrito por uma equação (é chamada de lei cinemática do movimento harmônico) da forma:
onde x - deslocamento - um valor que caracteriza a posição do ponto oscilante no tempo t em relação à posição de equilíbrio e é medido pela distância da posição de equilíbrio à posição do ponto em este momento Tempo; A - amplitude de oscilação - o deslocamento máximo do corpo a partir da posição de equilíbrio; T - período de oscilação - o tempo de uma oscilação completa; Essa. o menor período de tempo após o qual os valores das grandezas físicas que caracterizam a oscilação são repetidos; - fase inicial;
A fase da oscilação no tempo t. A fase de oscilação é um argumento de uma função periódica, que, para uma dada amplitude de oscilação, determina o estado do sistema oscilatório (deslocamento, velocidade, aceleração) do corpo a qualquer momento.
Se no momento inicial o ponto oscilante é deslocado ao máximo da posição de equilíbrio, então , e o deslocamento do ponto da posição de equilíbrio muda de acordo com a lei
Se o ponto oscilante em está em uma posição de equilíbrio estável, então o deslocamento do ponto da posição de equilíbrio muda de acordo com a lei
O valor V, o recíproco do período e igual ao número de oscilações completas realizadas em 1 s, é chamado de frequência de oscilação:
Se no tempo t o corpo faz N oscilações completas, então
O valor que 
, mostrando quantas oscilações o corpo faz em s, é chamado frequência cíclica (circular).
A lei cinemática do movimento harmônico pode ser escrita como:
Graficamente, a dependência do deslocamento de um ponto oscilante no tempo é representada por um cosseno (ou senóide).
A Figura 2, a mostra a dependência temporal do deslocamento do ponto oscilante da posição de equilíbrio para o caso .
Vamos descobrir como a velocidade de um ponto oscilante muda com o tempo. Para fazer isso, encontramos a derivada temporal desta expressão:
onde é a amplitude da projeção da velocidade no eixo x.
Esta fórmula mostra que durante as oscilações harmônicas, a projeção da velocidade do corpo no eixo x também muda de acordo com a lei harmônica com a mesma frequência, com amplitude diferente, e está à frente da fase de mistura por (Fig. 2, b) .
Para descobrir a dependência da aceleração, encontramos a derivada do tempo da projeção da velocidade:
onde é a amplitude da projeção da aceleração no eixo x.
Para oscilações harmônicas, a projeção de aceleração adianta o deslocamento de fase por k (Fig. 2, c).
Da mesma forma, você pode criar gráficos de dependência
Considerando que , a fórmula da aceleração pode ser escrita
Essa. para oscilações harmônicas, a projeção da aceleração é diretamente proporcional ao deslocamento e de sinal oposto, ou seja, aceleração é direcionada na direção oposta ao deslocamento.
Assim, a projeção de aceleração é a segunda derivada do deslocamento, então a razão resultante pode ser escrita como:
A última igualdade é chamada equação das oscilações harmônicas.
Um sistema físico no qual podem existir oscilações harmônicas é chamado oscilador harmônico, e a equação das oscilações harmônicas - equação do oscilador harmônico.
§ 22 OSCILAÇÕES HARMÔNICAS
Sabendo como se relacionam a aceleração e a coordenada de um corpo oscilante, é possível, com base na análise matemática, encontrar a dependência da coordenada com o tempo.
A aceleração é a segunda derivada da coordenada em relação ao tempo. A velocidade instantânea de um ponto, como você sabe do curso de matemática, é a derivada da coordenada do ponto em relação ao tempo. A aceleração de um ponto é a derivada de sua velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da coordenada em relação ao tempo. Portanto, a equação (3.4) pode ser escrita da seguinte forma:
onde x " é a segunda derivada da coordenada em relação ao tempo. De acordo com a equação (3.11), durante oscilações livres, a coordenada x muda com o tempo de forma que a segunda derivada da coordenada em relação ao tempo é diretamente proporcional à própria coordenada e tem sinal oposto a ela.
Sabe-se do curso de matemática que as segundas derivadas do seno e do cosseno com relação ao seu argumento são proporcionais às próprias funções, tiradas de sinal oposto. Na análise matemática, está provado que nenhuma outra função tem essa propriedade. Tudo isso nos permite afirmar com razão que a coordenada de um corpo que realiza oscilações livres muda no tempo de acordo com a lei do seno ou paseno. A Figura 3.6 mostra a mudança na coordenada de um ponto ao longo do tempo de acordo com a lei do cosseno.
Mudanças periódicas em uma quantidade física dependendo do tempo, ocorrendo de acordo com a lei do seno ou cosseno, são chamadas de oscilações harmônicas.
Amplitude de oscilação. A amplitude das oscilações harmônicas é o módulo do maior deslocamento do corpo a partir da posição de equilíbrio.
A amplitude pode ser vários significados dependendo de quanto deslocamos o corpo da posição de equilíbrio no momento inicial do tempo, ou de qual velocidade é informada ao corpo. A amplitude é determinada pelas condições iniciais, ou melhor, pela energia transmitida ao corpo. Mas os valores máximos do módulo seno e do módulo cosseno são iguais a um. Portanto, a solução da equação (3.11) não pode ser expressa simplesmente por seno ou cosseno. Deve ter a forma do produto da amplitude de oscilação x m por um seno ou cosseno.
Solução da equação que descreve as oscilações livres. Escrevemos a solução da equação (3.11) da seguinte forma:
e a segunda derivada será:
Obtivemos a equação (3.11). Portanto, a função (3.12) é uma solução da equação original (3.11). A solução dessa equação também será a função
De acordo com (3.14), o gráfico da dependência da coordenada do corpo no tempo é uma onda cosseno (ver Fig. 3.6).
Período e frequência das oscilações harmônicas. Durante as vibrações, os movimentos do corpo são repetidos periodicamente. O período de tempo T, durante o qual o sistema completa um ciclo completo de oscilações, é chamado de período de oscilações.
Conhecendo o período, você pode determinar a frequência das oscilações, ou seja, o número de oscilações por unidade de tempo, por exemplo, por segundo. Se uma oscilação ocorre no tempo T, então o número de oscilações por segundo
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a frequência das oscilações é igual a um se ocorrer uma oscilação por segundo. A unidade de frequência é chamada hertz (abreviado: Hz) em homenagem ao físico alemão G. Hertz.
O número de oscilações em 2 s é:
Valor - frequência cíclica ou circular de oscilações. Se na equação (3.14) o tempo t é igual a um período, então T \u003d 2. Assim, se no tempo t \u003d 0 x \u003d x m, então no tempo t \u003d T x \u003d x m, ou seja, através um período de tempo igual a um período, as oscilações são repetidas.
A frequência de oscilações livres é encontrada pela frequência natural do sistema oscilatório 1.
Dependência da frequência e período de oscilações livres nas propriedades do sistema. A frequência natural de vibração de um corpo preso a uma mola, conforme a equação (3.13), é igual a:
Quanto maior, maior a rigidez da mola k, e quanto menor, maior a massa corporal m. Isso é fácil de entender: uma mola rígida dá ao corpo mais aceleração, muda a velocidade do corpo mais rapidamente. E quanto mais massivo o corpo, mais lentamente ele muda de velocidade sob a influência da força. O período de oscilação é:
Tendo um conjunto de molas de rigidez diferente e corpos de massas diferentes, é fácil verificar por experiência que as fórmulas (3.13) e (3.18) descrevem corretamente a natureza da dependência de u T em k e m.
É notável que o período de oscilação de um corpo em uma mola e o período de oscilação de um pêndulo em pequenos ângulos de deflexão não dependem da amplitude de oscilação.
O módulo do coeficiente de proporcionalidade entre a aceleração t e o deslocamento x na equação (3.10), que descreve as oscilações do pêndulo, é, como na equação (3.11), o quadrado da frequência cíclica. Consequentemente, a frequência natural das oscilações de um pêndulo matemático em pequenos ângulos de desvio do fio da vertical depende do comprimento do pêndulo e da aceleração de queda livre:
Esta fórmula foi obtida e testada pela primeira vez pelo cientista holandês G. Huygens, contemporâneo de I. Newton. É válido apenas para pequenos ângulos de deflexão da rosca.
1 Freqüentemente, no que segue, por brevidade, nos referiremos à frequência cíclica simplesmente como frequência. Você pode distinguir a frequência cíclica da frequência usual por notação.
O período de oscilação aumenta com o comprimento do pêndulo. Não depende da massa do pêndulo. Isso pode ser facilmente verificado por experimentos com vários pêndulos. A dependência do período de oscilação da aceleração de queda livre também pode ser encontrada. Quanto menor g, maior o período de oscilação do pêndulo e, consequentemente, mais lento o relógio com o pêndulo anda. Assim, um relógio com um pêndulo na forma de um peso em uma haste ficará atrasado em um dia em quase 3 s se for elevado do porão ao andar superior da Universidade de Moscou (altura 200 m). E isso se deve apenas à diminuição da aceleração da queda livre com a altura.
A dependência do período de oscilação do pêndulo com o valor de g é usada na prática. Ao medir o período de oscilação, g pode ser determinado com muita precisão. A aceleração de queda livre muda de latitude geográfica. Mas mesmo em uma dada latitude não é o mesmo em todos os lugares. Afinal, a densidade da crosta terrestre não é a mesma em todos os lugares. Em áreas onde ocorrem rochas densas, a aceleração g é um pouco maior. Isso é levado em consideração na prospecção de minerais.
Assim, o minério de ferro tem uma densidade aumentada em comparação com as rochas convencionais. As medições da aceleração da gravidade perto de Kursk, realizadas sob a orientação do acadêmico A. A. Mikhailov, permitiram esclarecer a localização de minério de ferro. Eles foram descobertos pela primeira vez através de medições magnéticas.
As propriedades das vibrações mecânicas são utilizadas nos dispositivos da maioria das balanças eletrônicas. O corpo a ser pesado é colocado sobre uma plataforma sob a qual é instalada uma mola rígida. Como resultado, ocorrem vibrações mecânicas, cuja frequência é medida por um sensor correspondente. O microprocessador conectado a este sensor traduz a frequência de oscilação em massa do corpo pesado, pois esta frequência depende da massa.
As fórmulas obtidas (3.18) e (3.20) para o período de oscilação indicam que o período das oscilações harmônicas depende dos parâmetros do sistema (rigidez da mola, comprimento da rosca, etc.)
Myakishev G. Ya., Física. 11ª série: livro didático. para educação geral instituições: básico e perfil. níveis / G. Ya. Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; ed. V. I. Nikolaev, N. A. Parfenteva. - 17ª ed., revisada. e adicional - M.: Educação, 2008. - 399 p.: ill.
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Para um pêndulo, esta é a distância máxima que a bola se move a partir de sua posição de equilíbrio (figura abaixo). Para oscilações com pequenas amplitudes, esta distância pode ser tomada como o comprimento do arco 01 ou 02, bem como os comprimentos destes segmentos.
A amplitude de oscilação é medida em unidades de comprimento - metros, centímetros, etc. No gráfico de oscilação, a amplitude é definida como a ordenada máxima (módulo) da curva sinusoidal (ver figura abaixo).
período de oscilação- este é o menor período de tempo após o qual o sistema, fazendo oscilações, volta novamente ao mesmo estado em que estava no momento inicial, escolhido arbitrariamente.
Em outras palavras, o período de oscilação ( T) é o tempo para o qual ocorre uma oscilação completa. Por exemplo, na figura abaixo, este é o tempo que leva para o peso do pêndulo se mover do ponto mais à direita até o ponto de equilíbrio O para o ponto mais à esquerda e de volta pelo ponto O novamente para a extrema direita.
Por um período completo de oscilação, portanto, o corpo percorre um caminho igual a quatro amplitudes. O período de oscilação é medido em unidades de tempo - segundos, minutos, etc. O período de oscilação pode ser determinado a partir do conhecido gráfico de oscilação (veja a figura abaixo).
O conceito de “período de oscilação”, a rigor, só é válido quando os valores da grandeza oscilante se repetem exatamente após um determinado período de tempo, ou seja, para oscilações harmônicas. No entanto, este conceito também é aplicado a casos de quantidades aproximadamente repetidas, por exemplo, para oscilações amortecidas.
frequência de oscilaçãoé o número de oscilações por unidade de tempo, por exemplo, em 1 s.
A unidade SI de frequência é denominada hertz(Hz) em homenagem ao físico alemão G. Hertz (1857-1894). Se a frequência de oscilação ( v) é igual a 1 Hz, então isso significa que uma oscilação é feita para cada segundo. A frequência e o período das oscilações estão relacionados pelas relações:
Na teoria das oscilações, o conceito também é usado cíclico, ou frequência circular ω . Está relacionado com a frequência normal v e período de oscilação Tíndices:
.
Frequência cíclicaé o número de oscilações por 2π segundos.
Flutuações - um processo de alteração dos estados do sistema em torno do ponto de equilíbrio, repetindo-se em um grau ou outro no tempo.
Oscilação harmônica - oscilações nas quais uma quantidade física (ou qualquer outra) muda ao longo do tempo de acordo com uma lei senoidal ou cosseno. A equação cinemática das oscilações harmônicas tem a forma
onde x é o deslocamento (desvio) do ponto oscilante da posição de equilíbrio no tempo t; A - amplitude de oscilação, é o valor que determina o desvio máximo do ponto oscilante da posição de equilíbrio; ω - frequência cíclica, um valor que mostra o número de oscilações completas ocorrendo em 2π segundos - a fase completa das oscilações, 0 - a fase inicial das oscilações.
Amplitude - o valor máximo do deslocamento ou mudança de uma variável do valor médio durante o movimento oscilatório ou ondulatório.
A amplitude e a fase inicial das oscilações são determinadas pelas condições iniciais do movimento, ou seja, posição e velocidade de um ponto material no momento t=0.
Oscilação harmônica generalizada em forma diferencial
A amplitude das ondas sonoras e dos sinais de áudio geralmente se refere à amplitude da pressão do ar na onda, mas às vezes é descrita como a amplitude do deslocamento do equilíbrio (ar ou o diafragma do alto-falante)
Frequência - quantidade física, característica do processo periódico, igual ao número ciclos completos do processo concluído por unidade de tempo. A frequência das oscilações nas ondas sonoras é determinada pela frequência de oscilação da fonte. As vibrações de alta frequência decaem mais rapidamente do que as vibrações de baixa frequência.
O recíproco da frequência de oscilação é chamado de período T.
O período de oscilação é a duração de um ciclo completo flutuações.
No sistema de coordenadas do ponto 0 desenhamos o vetor А̅, cuja projeção no eixo OX é igual a Аcosϕ. Se o vetor А̅ gira uniformemente com uma velocidade angular ω˳ no sentido anti-horário, então ϕ=ω˳t + ϕ˳, onde ϕ˳ é o valor inicial de ϕ (fase de oscilação), então a amplitude de oscilação é o módulo do vetor de rotação uniforme А̅, a fase de oscilação (ϕ ) é o ângulo entre o vetor А̅ e o eixo ОХ, a fase inicial (ϕ˳) é o valor inicial desse ângulo, a frequência angular das oscilações (ω) é a velocidade angular de rotação de o vetor А̅..
2. Características dos processos ondulatórios: frente de onda, feixe, velocidade da onda, comprimento de onda. Ondas longitudinais e transversais; exemplos.
A superfície que separa em um determinado momento o meio já coberto e ainda não coberto por oscilações é chamada de frente de onda. Em todos os pontos dessa superfície, após a saída da frente de onda, estabelecem-se oscilações idênticas em fase.
O feixe é perpendicular à frente de onda. Os raios acústicos, como os raios de luz, são retilíneos em um meio homogêneo. Refletida e refratada na interface entre dois meios.
Comprimento de onda - a distância entre dois pontos mais próximos um do outro, oscilando nas mesmas fases, geralmente o comprimento de onda é indicado pela letra grega. Por analogia com as ondas que surgem na água a partir de uma pedra lançada, o comprimento de onda é a distância entre duas cristas de onda adjacentes. Uma das principais características das vibrações. Medida em unidades de distância (metros, centímetros, etc.)
A frequência angular das oscilações (ω) é a velocidade angular de rotação do vetor А̅(V), o deslocamento x do ponto oscilante é a projeção do vetor А̅ no eixo OX.
V=dx/dt=-Aω˳sin(ω˳t+ϕ˳)=-Vmsin(ω˳t+ϕ˳), onde Vm=Aω˳ é velocidade máxima(amplitude de velocidade)
3. Vibrações livres e forçadas. Frequência natural de oscilações do sistema. Fenômeno de ressonância. Exemplos .
Vibrações livres (naturais) são chamados aqueles que são executados sem influências externas devido à energia originalmente recebida pelo calor. Modelos característicos de tais oscilações mecânicas são um ponto material em uma mola (pêndulo de mola) e um ponto material em um fio inextensível (pêndulo matemático).
Nestes exemplos, as oscilações surgem ou devido à energia inicial (desvio de um ponto material da posição de equilíbrio e movimento sem velocidade inicial), ou por energia cinética (o corpo ganha velocidade na posição inicial de equilíbrio), ou por ambos (a mensagem de velocidade para um corpo desviado da posição de equilíbrio).
Considere um pêndulo de mola. Na posição de equilíbrio, a força elástica F1
equilibra a força da gravidade mg. Se a mola for puxada por uma distância x, uma grande força elástica atuará no ponto material. A variação do valor da força elástica (F), segundo a lei de Hooke, é proporcional à variação do comprimento da mola ou ao deslocamento x do ponto: F= - rx
Outro exemplo. O pêndulo matemático do desvio da posição de equilíbrio é um ângulo tão pequeno α que é possível considerar a trajetória do movimento de um ponto material como uma linha reta coincidente com o eixo OX. Neste caso, a igualdade aproximada é satisfeita: α ≈sin α≈ tgα ≈x/L
Vibrações não amortecidas. Considere um modelo no qual a força de arrasto é desprezada.
A amplitude e a fase inicial das oscilações são determinadas pelas condições iniciais do movimento, ou seja, posição e velocidade do momento pontual do material t=0.
Dentre vários tipos oscilação oscilação harmônica é a forma mais simples.
Assim, um ponto material suspenso em uma mola ou fio realiza oscilações harmônicas, se não forem consideradas as forças de resistência.
O período de oscilação pode ser encontrado a partir da fórmula: T=1/v=2P/ω0
vibrações amortecidas. NO caso real forças de resistência (atrito) agem no corpo oscilante, a natureza do movimento muda e a oscilação torna-se amortecida.
Com relação ao movimento unidimensional, damos à última fórmula a seguinte forma: Fс= - r * dx/dt
A taxa de diminuição na amplitude de oscilação é determinada pelo coeficiente de amortecimento: quanto mais forte o efeito retardador do meio, maior ß e mais rápido a amplitude diminui. Na prática, no entanto, o grau de amortecimento é muitas vezes caracterizado por um decremento logarítmico de amortecimento, ou seja, por esse valor igual ao logaritmo natural da razão de duas amplitudes sucessivas separadas por um intervalo de tempo igual ao período de oscilação, portanto, o coeficiente de amortecimento e o decréscimo de amortecimento logarítmico estão relacionados por uma relação bastante simples: λ=ßT
Com forte amortecimento, pode-se ver pela fórmula que o período de oscilação é uma quantidade imaginária. O movimento neste caso não será mais periódico e é chamado de aperiódico.
Vibrações forçadas. As oscilações forçadas são chamadas de oscilações que ocorrem no sistema com a participação de uma força externa que muda de acordo com uma lei periódica.
Suponhamos que, além da força elástica e da força de atrito, uma força motriz externa atue no ponto material F=F0 cos ωt
A amplitude da oscilação forçada é diretamente proporcional à amplitude da força motriz e tem uma dependência complexa do coeficiente de atenuação do meio e das frequências circulares das oscilações naturais e forçadas. Se ω0 e ß forem dados para o sistema, então a amplitude das oscilações forçadas tem um valor máximo em uma certa frequência específica da força motriz, chamada ressonante O fenômeno em si - a obtenção da amplitude máxima de oscilações forçadas para dados ω0 e ß - é chamado ressonância.
A frequência circular ressonante pode ser encontrada a partir da condição do denominador mínimo em: ωres=√ωₒ- 2ß
A ressonância mecânica pode ser benéfica e prejudicial. O efeito nocivo está relacionado principalmente à destruição que pode causar. Portanto, na tecnologia, levando em consideração as diferentes vibrações, é necessário prever a possível ocorrência de condições ressonantes, caso contrário, pode haver destruição e catástrofes. Os corpos geralmente têm várias frequências naturais de vibração e, consequentemente, várias frequências ressonantes.
Fenômenos ressonantes sob a ação de vibrações mecânicas externas ocorrem nos órgãos internos. Este, aparentemente, é um dos motivos do impacto negativo das oscilações e vibrações infrassônicas no corpo humano.
6. Métodos de pesquisa sólida em medicina: percussão, auscultação. Fonocardiografia.
O som pode ser uma fonte de informações de status órgãos internos portanto, métodos de estudo do estado do paciente como ausculta, percussão e fonocardiografia são amplamente difundidos na medicina.
ausculta
Para auscultação, é utilizado um estetoscópio ou estetoscópio. O fonendoscópio consiste em uma cápsula oca com uma membrana transmissora de som aplicada ao corpo do paciente, tubos de borracha vão dela até o ouvido do médico. A ressonância da coluna de ar ocorre na cápsula, pelo que o som é amplificado e a auscultação melhora. Durante a auscultação dos pulmões, ouvem-se sons respiratórios, vários sibilos característicos de doenças. Você também pode ouvir o coração, intestinos e estômago.
Percussão
Nesse método, o som de partes individuais do corpo é ouvido quando elas são tocadas. Imagine uma cavidade fechada dentro de algum corpo, cheia de ar. Se você causar vibrações sonoras neste corpo, então, em uma certa frequência de som, o ar na cavidade começará a ressoar, destacando e amplificando um tom correspondente ao tamanho e posição da cavidade. O corpo humano pode ser representado como uma combinação de volumes cheios de gás (pulmões), líquidos (órgãos internos) e sólidos (ossos). Ao atingir a superfície do corpo, ocorrem oscilações, cujas frequências são amplas. A partir desta faixa, algumas oscilações se extinguirão rapidamente, enquanto outras, coincidindo com as oscilações naturais dos vazios, se intensificarão e, devido à ressonância, serão audíveis.
fonocardiografia
É usado para diagnosticar o estado da atividade cardíaca. O método consiste no registro gráfico das bulhas e sopros cardíacos e sua interpretação diagnóstica. O fonocardiógrafo é composto por um microfone, um amplificador, um sistema de filtros de frequência e um gravador.
9. Métodos de pesquisa ultrassônica (ultrassom) em diagnósticos médicos.
1) Métodos de diagnóstico e pesquisa
Eles incluem métodos de localização usando principalmente radiação impulsiva. Isso é ecoencefalografia - a definição de tumores e inchaço do cérebro. Cardiografia ultrassônica - medindo o tamanho do coração em dinâmica; em oftalmologia - localização ultrassônica para determinar o tamanho da mídia ocular.
2) Métodos de influência
Fisioterapia ultrassônica - efeitos mecânicos e térmicos no tecido.
11. Onda de choque. Produção e uso de ondas de choque em medicina.
onda de choque
– superfície de descontinuidade, que se move em relação ao gás e na interseção da qual a pressão, densidade, temperatura e velocidade experimentam um salto.
Com grandes perturbações (explosão, movimento supersônico de corpos, poderosa descarga elétrica, etc.), a velocidade das partículas oscilantes do meio pode se tornar comparável à velocidade do som , ocorre uma onda de choque.
A onda de choque pode ter energia significativa, então, em explosão nuclear para a formação de uma onda de choque em meio Ambiente cerca de 50% da energia da explosão é gasta. Portanto, a onda de choque, atingindo objetos biológicos e técnicos, é capaz de causar morte, ferimentos e destruição.
As ondas de choque são usadas na tecnologia médica, que são pulsos de pressão extremamente curtos e poderosos com amplitudes de alta pressão e um pequeno componente de estiramento. Eles são gerados fora do corpo do paciente e transmitidos profundamente ao corpo, produzindo um efeito terapêutico, proporcionado pela especialização do modelo do equipamento: esmagamento de cálculos urinários, tratamento de zonas de dor e consequências de lesões do sistema músculo-esquelético, estimulação da recuperação do músculo cardíaco após infarto do miocárdio, suavização de formações de celulite, etc.
