A oscilação harmônica é um fenômeno de mudança periódica de alguma quantidade, em que a dependência do argumento tem o caráter de uma função seno ou cosseno. Por exemplo, uma quantidade que varia no tempo da seguinte forma flutua harmonicamente:
onde x é o valor da quantidade variável, t é o tempo, os parâmetros restantes são constantes: A é a amplitude das oscilações, ω é a frequência cíclica das oscilações, é a fase completa das oscilações, é a fase inicial de as oscilações.
Oscilação harmônica generalizada em forma diferencial
(Qualquer solução não trivial para este equação diferencial- há uma oscilação harmônica com uma frequência cíclica)
As oscilações livres são realizadas sob a ação das forças internas do sistema após o sistema ter sido retirado do equilíbrio. Para que as oscilações livres sejam harmônicas, é necessário que o sistema oscilatório seja linear (descrito por equações lineares do movimento), e não haja nele dissipação de energia (esta última causaria amortecimento).
As oscilações forçadas são realizadas sob a influência de uma força periódica externa. Para que sejam harmônicos, basta que o sistema oscilatório seja linear (descrito por equações lineares de movimento), e a própria força externa mude ao longo do tempo como uma oscilação harmônica (ou seja, que a dependência temporal dessa força seja senoidal). .
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Equação (1)
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dá a dependência do valor flutuante S no tempo t; esta é a equação das oscilações harmônicas livres na forma explícita. No entanto, a equação das oscilações costuma ser entendida como um registro diferente dessa equação, na forma diferencial. Por definição, tomamos a equação (1) na forma
Diferencie-o duas vezes em relação ao tempo:
Pode-se ver que vale a seguinte relação:
que é chamada de equação das oscilações harmônicas livres (na forma diferencial). A equação (1) é uma solução para a equação diferencial (2). Como a equação (2) é uma equação diferencial de segunda ordem, duas condições iniciais são necessárias para obter uma solução completa (ou seja, determinar as constantes A e incluídas na equação (1); por exemplo, a posição e a velocidade de um sistema oscilatório em t = 0.
Um pêndulo matemático é um oscilador, que é um sistema mecânico que consiste em um ponto material localizado em um fio inextensível sem peso ou em uma haste sem peso em um campo uniforme de forças gravitacionais. O período de pequenas auto-oscilações de um pêndulo matemático de comprimento l, imóvel suspenso em um campo gravitacional uniforme com aceleração de queda livre g, é igual a
e não depende da amplitude e massa do pêndulo.
Um pêndulo físico é um oscilador, que é um corpo rígido que oscila no campo de quaisquer forças em torno de um ponto que não seja o centro de massa desse corpo, ou um eixo fixo perpendicular à direção das forças e não passando pelo centro de massa deste corpo.
§ 22 OSCILAÇÕES HARMÔNICAS
Sabendo como se relacionam a aceleração e a coordenada de um corpo oscilante, é possível, com base na análise matemática, encontrar a dependência da coordenada com o tempo.
A aceleração é a segunda derivada da coordenada em relação ao tempo. A velocidade instantânea de um ponto, como você sabe do curso de matemática, é a derivada da coordenada do ponto em relação ao tempo. A aceleração de um ponto é a derivada de sua velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da coordenada em relação ao tempo. Portanto, a equação (3.4) pode ser escrita da seguinte forma:
onde x " é a segunda derivada da coordenada em relação ao tempo. De acordo com a equação (3.11), durante oscilações livres, a coordenada x muda com o tempo de forma que a segunda derivada da coordenada em relação ao tempo é diretamente proporcional à própria coordenada e tem sinal oposto a ela.
Sabe-se do curso de matemática que as segundas derivadas do seno e do cosseno com relação ao seu argumento são proporcionais às próprias funções, tiradas de sinal oposto. Na análise matemática, está provado que nenhuma outra função tem essa propriedade. Tudo isso nos permite afirmar com razão que a coordenada de um corpo que realiza oscilações livres muda no tempo de acordo com a lei do seno ou paseno. A Figura 3.6 mostra a mudança na coordenada de um ponto ao longo do tempo de acordo com a lei do cosseno.
Mudanças periódicas quantidade física dependendo do tempo, ocorrendo de acordo com a lei do seno ou cosseno, são chamadas de oscilações harmônicas.
Amplitude de oscilação. A amplitude das oscilações harmônicas é o módulo do maior deslocamento do corpo a partir da posição de equilíbrio.
A amplitude pode ser vários significados dependendo de quanto deslocamos o corpo da posição de equilíbrio no momento inicial do tempo, ou de qual velocidade é informada ao corpo. A amplitude é determinada pelas condições iniciais, ou melhor, pela energia transmitida ao corpo. Mas os valores máximos do módulo seno e do módulo cosseno são iguais a um. Portanto, a solução da equação (3.11) não pode ser expressa simplesmente por seno ou cosseno. Deve ter a forma do produto da amplitude de oscilação x m por um seno ou cosseno.
Solução da equação que descreve as oscilações livres. Escrevemos a solução da equação (3.11) da seguinte forma:
e a segunda derivada será:
Obtivemos a equação (3.11). Portanto, a função (3.12) é uma solução da equação original (3.11). A solução dessa equação também será a função
De acordo com (3.14), o gráfico da dependência da coordenada do corpo no tempo é uma onda cosseno (ver Fig. 3.6).
Período e frequência das oscilações harmônicas. Durante as vibrações, os movimentos do corpo são repetidos periodicamente. O intervalo de tempo T durante o qual o sistema executa uma ciclo completo oscilação é chamado de período de oscilação.
Conhecendo o período, você pode determinar a frequência das oscilações, ou seja, o número de oscilações por unidade de tempo, por exemplo, por segundo. Se uma oscilação ocorre no tempo T, então o número de oscilações por segundo
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a frequência das oscilações é igual a um se ocorrer uma oscilação por segundo. A unidade de frequência é chamada hertz (abreviado: Hz) em homenagem ao físico alemão G. Hertz.
O número de oscilações em 2 s é:
Valor - frequência cíclica ou circular de oscilações. Se na equação (3.14) o tempo t for igual a um período, então T \u003d 2. Assim, se no tempo t \u003d 0 x \u003d x m, então no tempo t \u003d T x \u003d x m, ou seja, através um período de tempo igual a um período, as oscilações são repetidas.
A frequência de oscilações livres é encontrada pela frequência natural do sistema oscilatório 1.
Dependência da frequência e período de oscilações livres nas propriedades do sistema. A frequência natural de vibração de um corpo preso a uma mola, conforme a equação (3.13), é igual a:
Quanto maior, maior a rigidez da mola k, e quanto menor, maior a massa corporal m. Isso é fácil de entender: uma mola rígida dá ao corpo mais aceleração, muda a velocidade do corpo mais rapidamente. E quanto mais massivo o corpo, mais lentamente ele muda de velocidade sob a influência da força. O período de oscilação é:
Tendo um conjunto de molas de rigidez diferente e corpos de massas diferentes, é fácil verificar por experiência que as fórmulas (3.13) e (3.18) descrevem corretamente a natureza da dependência de u T em k e m.
É notável que o período de oscilação de um corpo em uma mola e o período de oscilação de um pêndulo em pequenos ângulos de deflexão não dependem da amplitude de oscilação.
O módulo do coeficiente de proporcionalidade entre a aceleração t e o deslocamento x na equação (3.10), que descreve as oscilações do pêndulo, é, como na equação (3.11), o quadrado da frequência cíclica. Consequentemente, a frequência natural das oscilações de um pêndulo matemático em pequenos ângulos de desvio do fio da vertical depende do comprimento do pêndulo e da aceleração de queda livre:
Esta fórmula foi obtida e testada pela primeira vez pelo cientista holandês G. Huygens, contemporâneo de I. Newton. É válido apenas para pequenos ângulos de deflexão da rosca.
1 Freqüentemente, no que segue, por brevidade, nos referiremos à frequência cíclica simplesmente como frequência. Você pode distinguir a frequência cíclica da frequência usual por notação.
O período de oscilação aumenta com o comprimento do pêndulo. Não depende da massa do pêndulo. Isso pode ser facilmente verificado por experimentos com vários pêndulos. A dependência do período de oscilação da aceleração de queda livre também pode ser encontrada. Quanto menor g, maior o período de oscilação do pêndulo e, consequentemente, mais lento o relógio com o pêndulo anda. Assim, um relógio com um pêndulo na forma de um peso em uma haste ficará atrasado em um dia em quase 3 s se for elevado do porão ao andar superior da Universidade de Moscou (altura 200 m). E isso se deve apenas à diminuição da aceleração da queda livre com a altura.
A dependência do período de oscilação do pêndulo com o valor de g é usada na prática. Ao medir o período de oscilação, g pode ser determinado com muita precisão. A aceleração de queda livre muda de latitude geográfica. Mas mesmo em uma dada latitude não é o mesmo em todos os lugares. Afinal, a densidade da crosta terrestre não é a mesma em todos os lugares. Em áreas onde ocorrem rochas densas, a aceleração g é um pouco maior. Isso é levado em consideração na prospecção de minerais.
Assim, o minério de ferro tem uma densidade aumentada em comparação com as rochas convencionais. As medições da aceleração da gravidade perto de Kursk, realizadas sob a orientação do acadêmico A. A. Mikhailov, permitiram esclarecer a localização de minério de ferro. Eles foram descobertos pela primeira vez através de medições magnéticas.
As propriedades das vibrações mecânicas são utilizadas nos dispositivos da maioria das balanças eletrônicas. O corpo a ser pesado é colocado sobre uma plataforma sob a qual é instalada uma mola rígida. Como resultado, ocorrem vibrações mecânicas, cuja frequência é medida por um sensor correspondente. O microprocessador conectado a este sensor traduz a frequência de oscilação em massa do corpo pesado, pois esta frequência depende da massa.
As fórmulas obtidas (3.18) e (3.20) para o período de oscilação indicam que o período das oscilações harmônicas depende dos parâmetros do sistema (rigidez da mola, comprimento da rosca, etc.)
Myakishev G. Ya., Física. 11ª série: livro didático. para educação geral instituições: básico e perfil. níveis / G. Ya. Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; ed. V. I. Nikolaev, N. A. Parfenteva. - 17ª ed., revisada. e adicional - M.: Educação, 2008. - 399 p.: ill.
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As oscilações mecânicas ocorrem quando, quando um corpo é retirado do equilíbrio, surge uma força que tende a trazer o corpo de volta.
Deslocamento x - desvio do corpo da posição de equilíbrio.
Amplitude A - o módulo do deslocamento máximo do corpo.
Período de oscilação T - tempo de uma oscilação:
frequência de oscilação
O número de oscilações feitas pelo corpo por unidade de tempo: Durante as oscilações, a velocidade e a aceleração mudam periodicamente. Na posição de equilíbrio, a velocidade é máxima, a aceleração é zero. Nos pontos de deslocamento máximo, a aceleração atinge seu máximo e a velocidade desaparece.
GRÁFICO DE OSCILAÇÕES HARMÔNICAS
harmônico oscilações que ocorrem de acordo com a lei do seno ou cosseno são chamadas:
onde x(t) é o deslocamento do sistema no tempo t, A é a amplitude, ω é a frequência de oscilação cíclica.
Se o desvio do corpo da posição de equilíbrio for plotado ao longo do eixo vertical e o tempo for plotado ao longo do eixo horizontal, obteremos um gráfico da oscilação x = x(t) - a dependência do deslocamento do corpo no tempo. Com oscilações harmônicas livres, é uma onda senoidal ou cosseno. A figura mostra gráficos de deslocamento x, projeções de velocidade V x e aceleração a x versus tempo.
Como pode ser visto nos gráficos, no deslocamento máximo x, a velocidade V do corpo oscilante é zero, a aceleração a e, portanto, a força que atua no corpo, é máxima e tem direção oposta ao deslocamento. Na posição de equilíbrio, o deslocamento e a aceleração desaparecem, a velocidade é máxima. A projeção da aceleração sempre tem o sinal oposto ao deslocamento.
ENERGIA DO MOVIMENTO VIBRACIONAL
A energia mecânica total de um corpo oscilante é igual à soma de suas energias cinética e potencial e, na ausência de atrito, permanece constante:
No momento em que o deslocamento atinge seu máximo x = A, a velocidade, e com ela a energia cinética, desaparece.
Neste caso, a energia total é igual à energia potencial:
A energia mecânica total de um corpo oscilante é proporcional ao quadrado da amplitude de suas oscilações.
Quando o sistema passa da posição de equilíbrio, o deslocamento e a energia potencial são iguais a zero: x \u003d 0, E p \u003d 0. Portanto, a energia total é igual à cinética:
A energia mecânica total de um corpo oscilante é proporcional ao quadrado de sua velocidade na posição de equilíbrio. Consequentemente:
PÊNDULO MATEMÁTICO
1. pêndulo matemáticoé um ponto material suspenso em um fio inextensível sem peso.
Na posição de equilíbrio, a força da gravidade é compensada pela tensão do fio. Se o pêndulo for desviado e solto, as forças e deixarão de se compensar e haverá uma força resultante direcionada para a posição de equilíbrio. Segunda lei de Newton:
Para pequenas flutuações, quando o deslocamento x é muito menor que l, o ponto material se moverá quase ao longo do eixo x horizontal. Então, do triângulo MAB, obtemos:
Porque sen a \u003d x / l, então a projeção da força resultante R no eixo x é igual a
O sinal de menos indica que a força R é sempre dirigida contra o deslocamento x.
2. Assim, durante as oscilações de um pêndulo matemático, bem como durante as oscilações de um pêndulo de mola, a força restauradora é proporcional ao deslocamento e é direcionada na direção oposta.
Vamos comparar as expressões para a força restauradora dos pêndulos matemáticos e de mola:
Pode-se ver que mg/l é um análogo de k. Substituindo k por mg/l na fórmula para o período de um pêndulo de mola
obtemos a fórmula para o período de um pêndulo matemático:
O período de pequenas oscilações de um pêndulo matemático não depende da amplitude.
Um pêndulo matemático é usado para medir o tempo, para determinar a aceleração da queda livre em um determinado local na superfície da Terra.
As oscilações livres de um pêndulo matemático em pequenos ângulos de deflexão são harmônicas. Ocorrem devido à força resultante da gravidade e à tensão do fio, bem como à inércia da carga. A resultante dessas forças é a força restauradora.
Exemplo. Determine a aceleração de queda livre em um planeta onde um pêndulo de 6,25 m de comprimento tem um período de oscilação livre de 3,14 s.
O período de oscilação de um pêndulo matemático depende do comprimento do fio e da aceleração da queda livre:
Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, obtemos:
Responda: a aceleração de queda livre é de 25 m/s 2 .
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Oscilações harmônicas - oscilações realizadas de acordo com as leis do seno e cosseno. A figura a seguir mostra um gráfico da mudança na coordenada de um ponto ao longo do tempo de acordo com a lei do cosseno.
foto
A amplitude da oscilação harmônica é chamada valor mais alto deslocamento do corpo da posição de equilíbrio. A amplitude pode assumir diferentes valores. Dependerá de quanto deslocamos o corpo no momento inicial da posição de equilíbrio.
A amplitude é determinada pelas condições iniciais, ou seja, a energia transmitida ao corpo no momento inicial do tempo. Como o seno e o cosseno podem assumir valores na faixa de -1 a 1, então a equação deve conter o fator Xm, que expressa a amplitude das oscilações. Equação de movimento para vibrações harmônicas:
x = Xm*cos(ω0*t).
O período de oscilação é o tempo necessário para uma oscilação completa. O período de oscilação é indicado pela letra T. As unidades do período correspondem às unidades de tempo. Ou seja, no SI são segundos.
Frequência de oscilação - o número de oscilações por unidade de tempo. A frequência de oscilação é indicada pela letra ν. A frequência de oscilação pode ser expressa em termos do período de oscilação.
v = 1/T.
Unidades de frequência em SI 1/seg. Essa unidade de medida é chamada de Hertz. O número de oscilações em um tempo de 2 * pi segundos será igual a:
ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.
Este valor é chamado de frequência de oscilação cíclica. Em alguma literatura, o nome frequência circular é encontrado. A frequência natural de um sistema oscilatório é a frequência de oscilações livres.
A frequência das oscilações naturais é calculada pela fórmula:
A frequência das oscilações naturais depende das propriedades do material e da massa da carga. Quanto maior a rigidez da mola, maior a frequência das oscilações naturais. Quanto maior a massa da carga, menor a frequência das oscilações naturais.
Essas duas conclusões são óbvias. Quanto mais rígida a mola, maior a aceleração que ela transmitirá ao corpo quando o sistema estiver desequilibrado. Quanto maior a massa do corpo, mais lentamente essa velocidade desse corpo mudará.
Período de oscilações livres:
T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)
Vale ressaltar que em pequenos ângulos de deflexão, o período de oscilação do corpo na mola e o período de oscilação do pêndulo não dependerão da amplitude das oscilações.
Vamos anotar as fórmulas para o período e a frequência das oscilações livres de um pêndulo matemático.
então o período será
T = 2*pi*√(l/g).
Esta fórmula será válida apenas para pequenos ângulos de deflexão. Pela fórmula vemos que o período de oscilação aumenta com o comprimento do fio do pêndulo. Quanto maior o comprimento, mais lento o corpo oscilará.
O período de oscilação não depende da massa da carga. Mas depende da aceleração de queda livre. À medida que g diminui, o período de oscilação aumenta. Está Propriedade amplamente utilizado na prática. Por exemplo, para medir valor exato aceleração livre.
Oscilação harmônica mecânica- este é um movimento retilíneo não uniforme, no qual as coordenadas de um corpo oscilante (ponto material) mudam de acordo com a lei do cosseno ou seno dependendo do tempo.
De acordo com esta definição, a lei da mudança de coordenadas dependendo do tempo tem a forma:
Onde wt é o valor sob o sinal de cosseno ou seno; W- coeficiente, significado físico que revelaremos a seguir; A é a amplitude das oscilações harmônicas mecânicas.
As equações (4.1) são as principais equações cinemáticas das vibrações mecânicas harmônicas.
Considere o seguinte exemplo. Vamos pegar o eixo Ox (Fig. 64). Do ponto 0 desenhamos um círculo com raio R = A. Deixe o ponto M da posição 1 começar a se mover ao redor do círculo a uma velocidade constante v(ou com velocidade angular constante W, v = wA). Depois de algum tempo t, o raio girará de um ângulo f: f=peso.
Com tal movimento ao longo da circunferência do ponto M, sua projeção no eixo x M x se moverá ao longo do eixo x, cuja coordenada x será igual a x \u003d A cos f = = A porque peso. Assim, se um ponto material se move ao longo de um círculo de raio A, cujo centro coincide com a origem, a projeção desse ponto no eixo x (e no eixo y) realizará vibrações mecânicas harmônicas.
Se o valor wt, que está sob o sinal do cosseno, e a amplitude A são conhecidos, então x também pode ser determinado na equação (4.1).
O valor wt, que está sob o sinal do cosseno (ou seno), que determina exclusivamente a coordenada do ponto oscilante em uma determinada amplitude, é chamado fase de oscilação. Para um ponto M movendo-se ao longo de um círculo, o valor w significa sua velocidade angular. Qual é o significado físico do valor w para o ponto M x, que realiza oscilações harmônicas mecânicas? As coordenadas do ponto oscilante M x são as mesmas em algum momento t e (T +1) (da definição do período T), ou seja, A cos wt= A cos w (t + T), o que significa que W(t + T) - wt = 2 PI(da propriedade de periodicidade da função cosseno). Daí segue que
Portanto, para um ponto material que realiza oscilações mecânicas harmônicas, o valor de w pode ser interpretado como o número de oscilações para um determinado ciclo tempo igual a 2l. Portanto, o valor W chamado cíclico(ou circular) frequência.
Se o ponto M iniciar seu movimento não do ponto 1, mas do ponto 2, então a equação (4.1) terá a forma:
O valor que f 0 chamado fase inicial.
Encontramos a velocidade do ponto M x como uma derivada da coordenada em relação ao tempo:
Definimos a aceleração de um ponto oscilando de acordo com a lei harmônica como uma derivada da velocidade:
Pode-se ver pela fórmula (4.4) que a velocidade de um ponto realizando oscilações harmônicas também varia de acordo com a lei do cosseno. Mas a velocidade em fase está à frente da coordenada por PI/2. A aceleração durante a oscilação harmônica muda de acordo com a lei do cosseno, mas está à frente da coordenada em fase por P. A equação (4.5) pode ser escrita em termos da coordenada x:
A aceleração durante as oscilações harmônicas é proporcional ao deslocamento com o sinal oposto. Multiplicando as partes direita e esquerda da equação (4.5) pela massa do ponto material oscilante m, obtemos as seguintes relações:
De acordo com a segunda lei de Newton, o significado físico do lado direito da expressão (4.6) é a projeção da força F x , que fornece movimento mecânico:
O valor de F x é proporcional ao deslocamento x e tem direção oposta a ele. Um exemplo de tal força é a força elástica, cuja magnitude é proporcional à deformação e dirigida oposta a ela (lei de Hooke).
A regularidade da dependência da aceleração com o deslocamento, que decorre da equação (4.6), considerada por nós para oscilações harmônicas mecânicas, pode ser generalizada e aplicada ao considerar oscilações de outro natureza física(por exemplo, uma mudança na corrente em um circuito oscilatório, uma mudança na carga, tensão, indução campo magnético etc). Portanto, a equação (4.8) é chamada de equação principal dinâmica das oscilações harmônicas.
Considere o movimento da mola e dos pêndulos matemáticos.
Suponha que uma mola (Fig. 63), localizada horizontalmente e fixa no ponto 0, tenha um corpo de massa m preso em uma extremidade, que pode se mover ao longo do eixo x sem atrito. Seja a constante da mola igual a k. Vamos tirar o corpo m do equilíbrio por uma força externa e soltá-lo. Então, ao longo do eixo x, apenas a força elástica atuará sobre o corpo, que, de acordo com a lei de Hooke, será igual a: F ypr = -kx.
A equação de movimento desse corpo será:
Comparando as equações (4.6) e (4.9), tiramos duas conclusões:
Das fórmulas (4.2) e (4.10) derivamos a fórmula para o período de oscilação da carga na mola:
Um pêndulo matemático é um corpo de massa m suspenso por um longo fio inextensível de massa desprezível. Na posição de equilíbrio, a força da gravidade e a força elástica do fio irão atuar sobre este corpo. Essas forças se equilibrarão.
Se a rosca for desviada em um ângulo uma da posição de equilíbrio, as mesmas forças atuam sobre o corpo, mas não se equilibram mais, e o corpo começa a se mover ao longo do arco sob a ação do componente da gravidade direcionado ao longo da tangente ao arco e igual a mg sen uma.
A equação do movimento do pêndulo assume a forma:
O sinal de menos no lado direito significa que a força F x = mg sen a é direcionada contra o deslocamento. A oscilação harmônica ocorrerá em pequenos ângulos de desvio, ou seja, sob a condição um 2* pecado uma.
Substitua o pecado e em equação (4.12), obtemos a seguinte equação.
