Постојат два вида на собирање на дропки:
Прво, да научиме собирање дропки со слични именители. Сè е едноставно овде. За да додадете дропки со исти именители, треба да ги додадете нивните броители и да го оставите именителот непроменет. На пример, да ги додадеме дропките и . Додадете ги броителите и оставете го именителот непроменет:
Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата, која е поделена на четири дела. Ако додадете пица на пицата, добивате пица:
Пример 2.Додадете дропки и .
Одговорот се покажа како несоодветна дропка. Кога ќе дојде крајот на задачата, вообичаено е да се ослободите од несоодветните фракции. За да се ослободите од несоодветна фракција, треба да го изберете целиот дел од неа. Во нашиот случај, целиот дел лесно се изолира - два поделени со два еднакви:
Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пица која е поделена на два дела. Ако додадете повеќе пица на пицата, добивате една цела пица:
Пример 3. Додадете дропки и .
Повторно, ги собираме броителите и го оставаме именителот непроменет:
Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата која е поделена на три дела. Ако додадете повеќе пица на пицата, добивате пица:
Пример 4.Најдете ја вредноста на изразот 
Овој пример е решен на ист начин како и претходните. Броителите мора да се додадат, а именителот да остане непроменет:
Ајде да се обидеме да го прикажеме нашето решение користејќи цртеж. Ако додадете пици на пица и додадете повеќе пици, ќе добиете 1 цела пица и повеќе пици.
Како што можете да видите, нема ништо комплицирано во собирањето дропки со исти именители. Доволно е да се разберат следниве правила:
Сега да научиме како да собираме дропки со различни именители. При собирање дропки, именителите на дропките мора да бидат исти. Но, тие не се секогаш исти.
На пример, дропките може да се додаваат затоа што имаат исти именители.
Но, дропките не можат веднаш да се соберат, бидејќи овие дропки имаат различни именители. Во такви случаи, дропките мора да се сведат на ист (заеднички) именител.
Постојат неколку начини за намалување на дропките на ист именител. Денес ќе разгледаме само еден од нив, бидејќи другите методи може да изгледаат комплицирани за почетник.
Суштината на овој метод е дека прво се пребарува LCM на именители на двете дропки. LCM потоа се дели со именителот на првата дропка за да се добие првиот дополнителен фактор. Истото го прават и со втората дропка - LCM се дели со именителот на втората дропка и се добива втор дополнителен фактор.
Броителите и именителот на дропките потоа се множат со нивните дополнителни фактори. Како резултат на овие дејства, дропките кои имале различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да собираме такви дропки.
Пример 1. Да ги собереме дропките и
Како прво, го наоѓаме најмалиот заеднички множител на именителот на двете дропки. Именителот на првата дропка е бројот 3, а именителот на втората дропка е бројот 2. Најмалиот заеднички множител од овие броеви е 6
LCM (2 и 3) = 6
Сега да се вратиме на дропките и . Прво, поделете го LCM со именителот на првата дропка и добијте го првиот дополнителен фактор. LCM е бројот 6, а именителот на првата дропка е бројот 3. Поделете 6 со 3, добиваме 2.
Добиениот број 2 е првиот дополнителен множител. Го запишуваме до првата дропка. За да го направите ова, направете мала коси линија над дропот и запишете го дополнителниот фактор што се наоѓа над неа:
Истото го правиме и со втората дропка. LCM го делиме со именителот на втората дропка и го добиваме вториот дополнителен фактор. LCM е бројот 6, а именителот на втората дропка е бројот 2. Поделете 6 со 2, добиваме 3.
Добиениот број 3 е вториот дополнителен множител. Го запишуваме до втората дропка. Повторно, правиме мала коси линија над втората дропка и го запишуваме дополнителниот фактор пронајден над неа:
Сега имаме сè подготвено за додавање. Останува да се помножат броителите и именителот на дропките со нивните дополнителни фактори:
Погледнете внимателно до што дојдовме. Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да собираме такви дропки. Да го земеме овој пример до крај:
Ова го комплетира примерот. Излегува да се додаде .
Ајде да се обидеме да го прикажеме нашето решение користејќи цртеж. Ако додадете пица на пица, добивате една цела пица и уште една шестина од пица:
Намалувањето на дропките на ист (заеднички) именител може да се прикаже и со помош на слика. Намалувајќи ги дропките и на заеднички именител, ги добивме дропките и . Овие две фракции ќе бидат претставени со исти парчиња пица. Единствената разлика ќе биде што овој пат тие ќе бидат поделени на еднакви акции (сведени на ист именител).
Првиот цртеж претставува дропка (четири парчиња од шест), а вториот цртеж претставува дропка (три дела од шест). Додавајќи ги овие парчиња добиваме (седум парчиња од шест). Оваа дропка е неправилна, па затоа го истакнавме целиот дел од неа. Како резултат на тоа, добивме (една цела пица и друга шеста пица).
Ве молиме имајте предвид дека овој пример го опишавме премногу детално. Во образовните институции не е вообичаено да се пишува толку детално. Треба да можете брзо да го најдете LCM на именителот и дополнителните фактори за нив, како и брзо да ги помножите пронајдените дополнителни фактори со вашите броителите и именители. Ако бевме на училиште, ќе требаше да го напишеме овој пример на следниов начин:
Но, има и друга страна на медалот. Ако не земате детални белешки во првите фази од изучувањето на математиката, тогаш почнуваат да се појавуваат прашања од тој вид. „Од каде доаѓа тој број?“, „Зошто дропките одеднаш се претвораат во сосема различни дропки? «.
За полесно да додавате дропки со различни именители, можете да ги користите следните чекор-по-чекор инструкции:
Пример 2.Најдете ја вредноста на изразот 
.
Ајде да ги користиме упатствата дадени погоре.
Чекор 1. Најдете го LCM на именителот на дропките
Најдете го LCM на именителот на двете дропки. Именители на дропките се броевите 2, 3 и 4
Чекор 2. Поделете го LCM со именителот на секоја дропка и добијте дополнителен фактор за секоја дропка
Поделете го LCM со именителот на првата дропка. LCM е бројот 12, а именителот на првата дропка е бројот 2. Поделете 12 со 2, добиваме 6. Го добивме првиот дополнителен фактор 6. Го запишуваме над првата дропка:
Сега го делиме LCM со именителот на втората дропка. LCM е бројот 12, а именителот на втората дропка е бројот 3. Поделете 12 со 3, добиваме 4. Го добиваме вториот дополнителен фактор 4. Го запишуваме над втората дропка:
Сега го делиме LCM со именителот на третата дропка. LCM е бројот 12, а именителот на третата дропка е бројот 4. Поделете 12 со 4, добиваме 3. Го добиваме третиот дополнителен фактор 3. Го запишуваме над третата дропка:
Чекор 3. Помножете ги броителите и именителот на дропките со нивните дополнителни множители
Ги множиме броителите и именителот со нивните дополнителни фактори:
Чекор 4. Додадете дропки со исти именители
Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти (заеднички) именители. Останува само да се додадат овие фракции. Додај го:
Додавањето не одговараше на една линија, па го преместивме преостанатиот израз во следниот ред. Ова е дозволено во математиката. Кога изразот не одговара на една линија, тој се преместува во следниот ред, и потребно е да се стави знак за еднаквост (=) на крајот од првиот ред и на почетокот на новиот ред. Знакот за еднаквост на вториот ред покажува дека ова е продолжение на изразот што беше на првиот ред.
Чекор 5. Ако одговорот се покаже дека е неправилна дропка, тогаш изберете го целиот негов дел
Нашиот одговор се покажа како неправилна дропка. Мора да истакнеме цел дел од тоа. Истакнуваме:
Добивме одговор
Постојат два вида на одземање на дропки:
Прво, да научиме како да одземаме дропки со слични именители. Сè е едноставно овде. За да одземете друга од една дропка, треба да го одземете броителот на втората дропка од броителот на првата дропка, но именителот да го оставите ист.
На пример, да ја најдеме вредноста на изразот . За да го решите овој пример, треба да го одземете броителот на втората дропка од броителот на првата дропка и да го оставите именителот непроменет. Да го направиме ова:
Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата, која е поделена на четири дела. Ако исечете пици од пица, добивате пици:
Пример 2.Најдете ја вредноста на изразот.
Повторно, од броителот на првата дропка, одземете го броителот на втората дропка и оставете го именителот непроменет:
Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата која е поделена на три дела. Ако исечете пици од пица, добивате пици:
Пример 3.Најдете ја вредноста на изразот 
Овој пример е решен на ист начин како и претходните. Од броителот на првата дропка треба да ги одземете броителите на преостанатите дропки:
Како што можете да видите, нема ништо комплицирано во одземањето на дропките со исти именители. Доволно е да се разберат следниве правила:
На пример, може да одземе дропка од дропка бидејќи дропките имаат исти именители. Но, не можете да одземете дропка од дропка, бидејќи овие дропки имаат различни именители. Во такви случаи, дропките мора да се сведат на ист (заеднички) именител.
Заедничкиот именител се наоѓа користејќи го истиот принцип што го користевме кога собиравме дропки со различни именители. Најпрво пронајдете го LCM на именителот на двете дропки. Потоа LCM се дели со именителот на првата дропка и се добива првиот дополнителен фактор кој се запишува над првата дропка. Слично, LCM се дели со именителот на втората дропка и се добива втор дополнителен фактор кој е запишан над втората дропка.
Дропките потоа се множат со нивните дополнителни фактори. Како резултат на овие операции, дропките кои имале различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да одземеме такви дропки.
Пример 1.Најдете го значењето на изразот:
Овие дропки имаат различни именители, затоа треба да ги намалите на ист (заеднички) именител.
Прво го наоѓаме LCM на именителот на двете дропки. Именителот на првата дропка е бројот 3, а именителот на втората дропка е бројот 4. Најмалиот заеднички множител од овие броеви е 12
LCM (3 и 4) = 12
Сега да се вратиме на дропки и
Ајде да најдеме дополнителен фактор за првата дропка. За да го направите ова, поделете го LCM со именителот на првата дропка. LCM е бројот 12, а именителот на првата дропка е бројот 3. Поделете 12 со 3, добиваме 4. Запишете четворка над првата дропка:
Истото го правиме и со втората дропка. Поделете го LCM со именителот на втората дропка. LCM е бројот 12, а именителот на втората дропка е бројот 4. Поделете 12 со 4, добиваме 3. Запишете тројка над втората дропка:
Сега сме подготвени за одземање. Останува само да се помножат дропките со нивните дополнителни фактори:
Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да одземеме такви дропки. Да го земеме овој пример до крај:
Добивме одговор
Ајде да се обидеме да го прикажеме нашето решение користејќи цртеж. Ако ја исечете пицата од пица, добивате пица
Ова е деталната верзија на решението. Да бевме на училиште, овој пример ќе требаше да го решиме пократко. Таквото решение би изгледало вака:
Намалувањето на дропките до заеднички именител може да се прикаже и со помош на слика. Сведувајќи ги овие дропки на заеднички именител, ги добивме дропките и . Овие дропки ќе бидат претставени со исти парчиња пица, но овој пат тие ќе бидат поделени на еднакви делови (сведени на ист именител):
На првата слика е прикажана дропка (осум парчиња од дванаесет), а на втората слика е прикажана дропка (три парчиња од дванаесет). Со сечење три парчиња од осум парчиња, добиваме пет парчиња од дванаесет. Дропката ги опишува овие пет парчиња.
Пример 2.Најдете ја вредноста на изразот 
Овие дропки имаат различни именители, па прво треба да ги намалите на ист (заеднички) именител.
Да го најдеме LCM на именителот на овие дропки.
Именители на дропките се броевите 10, 3 и 5. Најмалиот заеднички множител од овие броеви е 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Сега наоѓаме дополнителни фактори за секоја дропка. За да го направите ова, поделете го LCM со именителот на секоја дропка.
Ајде да најдеме дополнителен фактор за првата дропка. LCM е бројот 30, а именителот на првата дропка е бројот 10. Поделете 30 со 10, го добиваме првиот дополнителен фактор 3. Го запишуваме над првата дропка:
Сега наоѓаме дополнителен фактор за втората дропка. Поделете го LCM со именителот на втората дропка. LCM е бројот 30, а именителот на втората дропка е бројот 3. Поделете 30 со 3, го добиваме вториот дополнителен фактор 10. Го запишуваме над втората дропка:
Сега наоѓаме дополнителен фактор за третата дропка. Поделете го LCM со именителот на третата дропка. LCM е бројот 30, а именителот на третата дропка е бројот 5. Поделете 30 со 5, го добиваме третиот дополнителен фактор 6. Го запишуваме над третата дропка:
Сега сè е подготвено за одземање. Останува само да се помножат дропките со нивните дополнителни фактори:
Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти (заеднички) именители. И ние веќе знаеме како да одземеме такви дропки. Да го завршиме овој пример.
Продолжението на примерот нема да се вклопи на една линија, па продолжението го преместуваме во следниот ред. Не заборавајте за знакот за еднаквост (=) на новата линија:
Одговорот се покажа како редовна дропка, и се чини дека сè ни одговара, но е премногу гломазен и грд. Треба да го направиме поедноставно. Што може да се направи? Можете да ја скратите оваа фракција.
За да намалите дропка, треба да ги поделите неговиот броител и именителот со (GCD) од броевите 20 и 30.
Значи, го наоѓаме gcd на броевите 20 и 30:
Сега се враќаме на нашиот пример и го делиме броителот и именителот на дропката со пронајдениот gcd, односно со 10
Добивме одговор
За да помножите дропка со број, треба да го помножите броителот на дропката со тој број и да го оставите именителот непроменет.
Пример 1. Помножете дропка со бројот 1.
Помножете го броителот на дропката со бројот 1
Снимката може да се сфати како да трае половина време. На пример, ако земате пици 1 пат, добивате пици
Од законите за множење знаеме дека ако множителот и факторот се заменат, производот нема да се промени. Ако изразот е напишан како , тогаш производот сепак ќе биде еднаков на . Повторно, правилото за множење цел број и дропка функционира:
Оваа нотација може да се сфати како преземање на половина од еден. На пример, ако има 1 цела пица и земеме половина од неа, тогаш ќе имаме пица:
Пример 2. Најдете ја вредноста на изразот
Помножете го броителот на дропката со 4
Одговорот беше несоодветна дропка. Да го истакнеме целиот дел од него:
Изразот може да се сфати како преземање две четвртини 4 пати. На пример, ако земете 4 пици, ќе добиете две цели пици
И ако го замениме множителот и множителот, го добиваме изразот . Исто така, ќе биде еднакво на 2. Овој израз може да се разбере како земање две пици од четири цели пици:
Бројот што се множи со дропката и именителот на дропката се решаваат ако имаат заеднички фактор поголем од еден.
На пример, изразот може да се оцени на два начина.
Првиот начин. Помножете го бројот 4 со броителот на дропката и оставете го именителот на дропката непроменет:
Втор начин. Четирите се множат и четирите во именителот на дропката може да се намалат. Овие четири може да се намалат за 4, бидејќи најголемиот заеднички делител за две четворки е самата четворка:
Го добивме истиот резултат 3. По намалувањето на четирите, на нивно место се формираат нови броеви: два. Но, множење на еден со три, а потоа делење со еден не менува ништо. Затоа, решението може да се напише накратко:
Намалувањето може да се изврши дури и кога решивме да го користиме првиот метод, но во фазата на множење на бројот 4 и броителот 3 решивме да го користиме намалувањето:
Но, на пример, изразот може да се пресмета само на првиот начин - помножете 7 со именителот на дропката и оставете го именителот непроменет:
Ова се должи на фактот што бројот 7 и именителот на дропката немаат заеднички делител поголем од еден и соодветно не се откажуваат.
Некои ученици погрешно го скратуваат бројот што се множи и броителот на дропката. Не можете да го направите ова. На пример, следниов запис не е точен:
Намалувањето на дропка значи дека и броител и именителќе се подели со ист број. Во ситуацијата со изразот, поделбата се врши само во броителот, бидејќи пишувањето на ова е исто што и пишувањето. Гледаме дека делењето се врши само во броителот, а не се случува делење во именителот.
За да множите дропки, треба да ги помножите нивните броители и именители. Ако одговорот се испостави дека е неправилна дропка, треба да го истакнете целиот дел од него.
Пример 1.Најдете ја вредноста на изразот.
Добивме одговор. Препорачливо е да се намали оваа фракција. Дропката може да се намали за 2. Тогаш конечното решение ќе ја добие следната форма:
Изразот може да се разбере како да се земе пица од половина пица. Да речеме дека имаме половина пица:
Како да земете две третини од оваа половина? Прво треба да ја поделите оваа половина на три еднакви делови:
И земете две од овие три парчиња:
Ќе направиме пица. Запомнете како изгледа пицата кога е поделена на три дела:
Едно парче од оваа пица и двете парчиња што ги земавме ќе имаат исти димензии:
Со други зборови, зборуваме за пица со иста големина. Затоа вредноста на изразот е
Пример 2. Најдете ја вредноста на изразот
Помножете го броителот на првата дропка со броителот на втората дропка, а именителот на првата дропка со именителот на втората дропка:
Одговорот беше несоодветна дропка. Да го истакнеме целиот дел од него:
Пример 3.Најдете ја вредноста на изразот
Помножете го броителот на првата дропка со броителот на втората дропка, а именителот на првата дропка со именителот на втората дропка:
Одговорот се покажа како правилна дропка, но би било добро да се скрати. За да ја намалите оваа дропка, треба да ги поделите броителот и именителот на оваа дропка со најголемиот заеднички делител (GCD) од броевите 105 и 450.
Значи, да го најдеме gcd на броевите 105 и 450:
Сега ги делиме броителот и именителот на нашиот одговор со gcd што сега го најдовме, односно со 15
Секој цел број може да се претстави како дропка. На пример, бројот 5 може да се претстави како . Ова нема да го промени значењето на пет, бидејќи изразот значи „бројот пет поделен со еден“, а ова, како што знаеме, е еднакво на пет:
Сега ќе се запознаеме со една многу интересна тема во математиката. Тоа се нарекува „обратни броеви“.
Дефиниција. Обратно на бројота е број кој, кога ќе се помножи соа дава еден.
Ајде да ја замениме оваа дефиниција наместо променливата аброј 5 и обидете се да ја прочитате дефиницијата:
Обратно на бројот 5 е број кој, кога ќе се помножи со 5 дава еден.
Дали е можно да се најде број кој кога ќе се помножи со 5 дава еден? Излегува дека е можно. Да замислиме пет како дропка:
Потоа помножете ја оваа дропка сама по себе, само заменете ги броителот и именителот. Со други зборови, ајде да ја помножиме дропот сама по себе, само наопаку:
Што ќе се случи како резултат на ова? Ако продолжиме да го решаваме овој пример, ќе добиеме еден:
Ова значи дека инверзната на бројот 5 е бројот, бидејќи кога ќе помножите 5 со ќе добиете еден.
Реципроцитет на број може да се најде и за кој било друг цел број.
Можете да го најдете и реципроцитетот на која било друга дропка. За да го направите ова, само превртете го.
Да речеме дека имаме половина пица:
Ајде да го поделиме подеднакво на две. Колку пица ќе добие секој човек?
Се гледа дека по делењето на половина од пицата се добиени две еднакви парчиња, од кои секое претставува пица. Значи секој добива пица.
Заеднички именител на неколку дропки е LCM (најмалата заедничка множина) на природните броеви кои се именители на дадените дропки.
На броителите на дадените дропки треба да додадете дополнителни фактори еднакви на односот на LCM и соодветниот именител.
Броителите на дадените дропки се множат со нивните дополнителни фактори, што резултира со броители на дропки со еден заеднички именител. Знаците за дејство („+“ или „-“) во запишувањето на дропките сведени на заеднички именител се зачувуваат пред секоја дропка. За дропките со заеднички именител, знаците за дејство се зачувуваат пред секој намален броител.
Дури сега можете да ги собирате или одземете броителите и да го потпишете заедничкиот именител под резултатот.
Внимание! Ако во добиената дропка броителот и именителот имаат заеднички фактори, тогаш дропката мора да се намали. Препорачливо е да се претвори несоодветна фракција во мешана фракција. Оставањето на резултатот од собирање или одземање без поништување на дропката каде што е можно е нецелосно решение на примерот!
Собирање и одземање дропки со различни именители. Правило. До собира или одзема дропки со различни именители, прво мора да ги намалите на најмал заеднички именител, а потоа да извршите собирање или одземање како кај дропките со исти именители.
Дропките може да се собираат и одземаат ако има букви во броителот.
Правилата за собирање дропки со различни именители се многу едноставни.
Ајде да ги погледнеме правилата за собирање дропки со различни именители чекор по чекор:
1. Најдете го LCM (најмалиот заеднички множител) на именителот. Добиениот LCM ќе биде заедничкиот именител на дропките;
2. Намали ги дропките на заеднички именител;
3. Додадете дропки сведени на заеднички именител.
Користејќи едноставен пример, ќе научиме како да ги применуваме правилата за собирање дропки со различни именители.
Пример за собирање дропки со различни именители.
Додадете дропки со различни именители:
| 1 | + | 5 |
|---|---|---|
| 6 | 12 |
Ќе одлучуваме чекор по чекор.
1. Најдете го LCM (најмалиот заеднички множител) на именителот.
Бројот 12 се дели со 6.
Од ова заклучуваме дека 12 е најмалиот заеднички множител на броевите 6 и 12.
Одговор: бројот на броевите 6 и 12 е 12:
LCM(6, 12) = 12
Добиениот LCM ќе биде заеднички именител на две дропки 1/6 и 5/12.
2. Намали ги дропките на заеднички именител.
Во нашиот пример, само првата дропка треба да се сведе на заеднички именител 12, бидејќи втората дропка веќе има именител 12.
Поделете го заедничкиот именител на 12 со именителот на првата дропка:
2 има дополнителен множител.
Помножете ги броителот и именителот на првата дропка (1/6) со дополнителен фактор 2.
Во петтиот век п.н.е., античкиот грчки филозоф Зенон од Елеја ги формулирал своите познати апории, од кои најпозната е апоријата „Ахил и желката“. Еве како звучи тоа:Да речеме дека Ахил трча десет пати побрзо од желката и е илјада чекори зад неа. За време на времето што му е потребно на Ахил да го истрча ова растојание, желката ќе ползи сто чекори во иста насока. Кога Ахил ќе истрча сто чекори, желката лази уште десет чекори итн. Процесот ќе продолжи бесконечно, Ахил никогаш нема да ја стигне желката.
Ова расудување стана логичен шок за сите наредни генерации. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Хилберт... Сите тие на овој или оној начин ја разгледувале апоријата на Зенон. Шокот беше толку силен што „ ... дискусиите продолжуваат до ден-денес, научната заедница сè уште не успеала да дојде до заедничко мислење за суштината на парадоксите ... математичка анализа, теорија на множества, нови физички и филозофски пристапи беа вклучени во проучувањето на ова прашање; ; ниту еден од нив не стана општоприфатено решение за проблемот...„[Википедија, „Зеновата апорија“. Сите разбираат дека се измамени, но никој не разбира во што се состои измамата.
Од математичка гледна точка, Зенон во својата апорија јасно го демонстрирал преминот од количина во . Оваа транзиција подразбира примена наместо постојани. Колку што разбрав, математичкиот апарат за користење на променливи мерни единици или сè уште не е развиен или не е применет на апоријата на Зенон. Примената на нашата вообичаена логика не води во стапица. Ние, поради инертноста на размислувањето, применуваме константни временски единици на реципрочната вредност. Од физичка гледна точка, ова изгледа како времето да забавува додека не престане целосно во моментот кога Ахил ќе ја стигне желката. Ако времето застане, Ахил повеќе не може да ја прегази желката.
Ако ја свртиме нашата вообичаена логика, сè си доаѓа на свое место. Ахил трча со постојана брзина. Секој следен сегмент од неговиот пат е десет пати пократок од претходниот. Соодветно на тоа, времето поминато за негово надминување е десет пати помалку од претходното. Ако го примениме концептот на „бесконечност“ во оваа ситуација, тогаш би било точно да се каже „Ахил бескрајно брзо ќе ја достигне желката“.
Како да се избегне оваа логична замка? Останете во константни единици време и не преминувајте на реципрочни единици. На јазикот на Зенон изгледа вака:
Во времето што му треба на Ахил да истрча илјада чекори, желката ќе ползи сто чекори во иста насока. Во следниот временски интервал еднаков на првиот, Ахил ќе истрча уште илјада чекори, а желката ќе ползи сто чекори. Сега Ахил е осумстотини чекори пред желката.
Овој пристап адекватно ја опишува реалноста без никакви логички парадокси. Но, ова не е целосно решение за проблемот. Изјавата на Ајнштајн за неодоливоста на брзината на светлината е многу слична на Зеноновата апорија „Ахил и желката“. Сè уште треба да го проучуваме, преиспитаме и решиме овој проблем. А решението мора да се бара не во бескрајно голем број, туку во мерни единици.
Друга интересна апорија на Зенон раскажува за летечка стрела:
Летечката стрела е неподвижна, бидејќи во секој момент од времето е во мирување, а бидејќи е во мирување во секој момент од времето, секогаш е во мирување.
Во оваа апорија, логичкиот парадокс е надминат многу едноставно - доволно е да се разјасни дека во секој момент од времето летечка стрела мирува на различни точки во просторот, што, всушност, е движење. Тука треба да се забележи уште една точка. Од една фотографија на автомобил на патот, невозможно е да се одреди ниту фактот на неговото движење ниту растојанието до него. За да одредите дали автомобилот се движи, потребни ви се две фотографии направени од иста точка во различни временски моменти, но не можете да го одредите растојанието од нив. За да го одредите растојанието до автомобилот, потребни ви се две фотографии направени од различни точки во вселената во еден момент во времето, но од нив не можете да го одредите фактот на движење (се разбира, сè уште ви требаат дополнителни податоци за пресметки, тригонометријата ќе ви помогне ). Она на што сакам да привлечам посебно внимание е дека две точки во времето и две точки во просторот се различни работи што не треба да се мешаат, бидејќи даваат различни можности за истражување.
Разликите помеѓу множеството и мултимножеството се многу добро опишани на Википедија. Ајде да видиме.
Како што можете да видите, „не може да има два идентични елементи во множеството“, но ако има идентични елементи во множеството, таквото множество се нарекува „мултисет“. Разумните суштества никогаш нема да ја разберат таквата апсурдна логика. Ова е нивото на зборувачки папагали и тренирани мајмуни, кои немаат интелигенција од зборот „целосно“. Математичарите се однесуваат како обични тренери, проповедајќи ни ги нивните апсурдни идеи.
Некогаш инженерите кои го граделе мостот биле во чамец под мостот додека го тестирале мостот. Ако мостот се урнал, просечниот инженер умрел под урнатините на неговата креација. Ако мостот можеше да го издржи товарот, талентираниот инженер изградил други мостови.
Без разлика колку математичарите се кријат зад фразата „пама ми, јас сум во куќата“, или подобро кажано, „математиката проучува апстрактни концепти“, постои една папочна врвца која нераскинливо ги поврзува со реалноста. Оваа папочна врвца е пари. Дозволете ни да ја примениме математичката теорија на множества на самите математичари.
Многу добро учевме математика и сега седиме на каса и даваме плати. Значи, математичар доаѓа кај нас за неговите пари. Му ја броиме целата сума и ја поставуваме на нашата маса во различни купови, во кои ставаме сметки од иста деноминација. Потоа земаме по една сметка од секој куп и му го даваме на математичарот неговиот „математички сет на плата“. Да му објасниме на математичарот дека ќе ги добие преостанатите сметки само кога ќе докаже дека множество без идентични елементи не е еднакво на множество со идентични елементи. Тука започнува забавата.
Како прво, ќе функционира логиката на пратениците: „Ова може да се примени за другите, но не и за мене! Тогаш ќе почнат да нè уверуваат дека сметките од иста деноминација имаат различни броеви на сметки, што значи дека не можат да се сметаат за исти елементи. Добро, ајде да ги броиме платите во монети - нема бројки на монетите. Овде математичарот ќе почне френетично да се сеќава на физиката: различни монети имаат различни количества нечистотија, кристалната структура и распоредот на атомите се единствени за секоја паричка...
И сега го имам најинтересното прашање: каде е линијата по која елементите на мултимножеството се претвораат во елементи на множество и обратно? Таква линија не постои - сè одлучуваат шаманите, науката не е ни блиску до лажење овде.
Погледнете тука. Избираме фудбалски стадиони со иста површина на теренот. Областите на полињата се исти - што значи дека имаме мултимножество. Но, ако ги погледнеме имињата на истите овие стадиони, добиваме многу, бидејќи имињата се различни. Како што можете да видите, истиот сет на елементи е и множество и мултимножество. Што е точно? И тука математичарот-шаман-острист вади кец на адути од ракавот и почнува да ни кажува или за сет или за мултисет. Во секој случај ќе не убеди дека е во право.
За да се разбере како модерните шамани работат со теоријата на множества, врзувајќи ја со реалноста, доволно е да се одговори на едно прашање: како елементите на едно множество се разликуваат од елементите на друго множество? Ќе ти покажам, без никакво „замисливо како не една целина“ или „незамисливо како единствена целина“.
Збирот на цифрите на еден број е танц на шамани со тамбура, што нема никаква врска со математиката. Да, на часовите по математика нè учат да го најдеме збирот на цифрите на некој број и да го користиме, но затоа тие се шамани, за да ги научат своите потомци на нивните вештини и мудрост, инаку шаманите едноставно ќе изумрат.
Дали ви треба доказ? Отворете ја Википедија и обидете се да ја пронајдете страницата „Збир на цифри на број“. Таа не постои. Не постои формула во математиката со која може да се најде збирот на цифрите на кој било број. На крајот на краиштата, броевите се графички симболи со кои пишуваме броеви, а на математичкиот јазик задачата звучи вака: „Најдете го збирот на графичките симболи што претставуваат кој било број“. Математичарите не можат да го решат овој проблем, но шаманите го можат лесно.
Ајде да откриеме што и како правиме за да го најдеме збирот на цифрите на даден број. И така, да го имаме бројот 12345. Што треба да се направи за да се најде збирот на цифрите на овој број? Ајде да ги разгледаме сите чекори по ред.
1. Запишете го бројот на лист хартија. Што направивме? Бројот го претворивме во симбол на графички број. Ова не е математичка операција.
2. Една добиена слика ја сечеме на неколку слики кои содржат поединечни броеви. Сечењето слика не е математичка операција.
3. Претворете ги поединечните графички симболи во бројки. Ова не е математичка операција.
4. Додадете ги добиените броеви. Сега ова е математика.
Збирот на цифрите на бројот 12345 е 15. Тоа се „курсевите за сечење и шиење“ што ги учат шаманите што ги користат математичарите. Но, тоа не е се.
Од математичка гледна точка, не е важно во кој броен систем пишуваме број. Значи, во различни системи на броеви збирот на цифрите од истиот број ќе биде различен. Во математиката, нумеричкиот систем е означен како претплата десно од бројот. Со големиот број 12345, не сакам да си ја измамам главата, да го разгледаме бројот 26 од статијата за. Ајде да го напишеме овој број во бинарни, октални, децимални и хексадецимални броени системи. Ние нема да го гледаме секој чекор под микроскоп, ние веќе го направивме тоа. Да го погледнеме резултатот.
Како што можете да видите, во различни системи на броеви збирот на цифрите од истиот број е различен. Овој резултат нема никаква врска со математиката. Исто како да ја одредите плоштината на правоаголникот во метри и сантиметри, ќе добиете сосема различни резултати.
Нулата изгледа исто во сите системи со броеви и нема збир на цифри. Ова е уште еден аргумент во прилог на фактот дека. Прашање до математичарите: како нешто што не е број е означено во математиката? Што, за математичарите ништо не постои освен бројките? Можам да го дозволам ова за шаманите, но не и за научниците. Реалноста не е само бројки.
Добиениот резултат треба да се смета како доказ дека броевните системи се мерни единици за броевите. На крајот на краиштата, не можеме да споредуваме броеви со различни мерни единици. Ако истите дејства со различни мерни единици на иста количина доведат до различни резултати по нивното споредување, тогаш тоа нема никаква врска со математиката.
Што е вистинска математика? Ова е кога резултатот од математичката операција не зависи од големината на бројот, мерната единица што се користи и од тоа кој го врши ова дејство.
О! Зарем ова не е женски тоалет?
- Млада жена! Ова е лабораторија за проучување на недефилската светост на душите при нивното вознесување на небото! Ореол на врвот и стрелка нагоре. Кој друг тоалет?
Женски... Ореолот одозгора и стрелката надолу се машки.
Ако такво дизајнерско дело ви трепка пред очи неколку пати на ден,
Тогаш не е изненадувачки што одеднаш ќе најдете чудна икона во вашиот автомобил:
Лично, се трудам да видам минус четири степени кај какачот (една слика) (композиција од неколку слики: знак минус, број четири, ознака на степени). И не мислам дека оваа девојка е будала која не знае физика. Таа едноставно има силен стереотип за перцепција на графички слики. И математичарите нè учат на ова цело време. Еве еден пример.
1А не е „минус четири степени“ или „еден а“. Ова е „човек што кака“ или бројот „дваесет и шест“ во хексадецимална нотација. Оние луѓе кои постојано работат во овој броен систем автоматски ги перцепираат бројот и буквата како еден графички симбол.
Собирање и одземање дропки со слични именители
Собирање и одземање дропки со различни именители
Концепт на НОК
Намалување на дропките на ист именител
Како да соберете цел број и дропка
1 Собирање и одземање дропки со слични именители
За да додадете дропки со исти именители, треба да ги додадете нивните броители, но да го оставите именителот ист, на пример:
За да одземете дропки со исти именители, треба да го одземете броителот на втората дропка од броителот на првата дропка и да го оставите именителот ист, на пример:
За да додадете мешани фракции, треба посебно да ги додадете нивните цели делови, а потоа да ги додадете нивните дробни делови и да го запишете резултатот како мешана дропка,
Ако при собирање на дробни делови добиете неправилна дропка, одберете го целиот дел од неа и додајте го на целиот дел, на пример:
2 Собирање и одземање дропки со различни именители
За да собирате или одземете дропки со различни именители, прво мора да ги намалите на истиот именител, а потоа да продолжите како што е наведено на почетокот на овој член. Заеднички именител на неколку дропки е LCM (најмалку заеднички множител). За броителот на секоја дропка се наоѓаат дополнителни фактори со делење на LCM со именителот на оваа дропка. Подоцна ќе погледнеме пример, откако ќе разбереме што е НОК.
3 Најмалку заеднички множител (LCM)
Најмалиот заеднички множител на два броја (LCM) е најмалиот природен број кој е делив со двата броја без да остави остаток. Понекогаш LCM може да се најде усно, но почесто, особено кога работите со големи броеви, мора да го најдете LCM во писмена форма, користејќи го следниов алгоритам:
За да го пронајдете LCM на неколку броеви, потребно е:
На пример, да го најдеме LCM на броевите 28 и 21:
4 Намалување на дропките на ист именител
Да се вратиме на собирање дропки со различни именители.
Кога ги намалуваме дропките на ист именител, еднаков на LCM на двата именители, мораме да ги помножиме броителите на овие дропки со дополнителни множители. Можете да ги најдете со делење на LCM со именителот на соодветната дропка, на пример:
Така, за да ги намалите дропките на ист експонент, прво мора да го пронајдете LCM (односно, најмалиот број што е делив со двата именители) на именителот на овие дропки, а потоа да ставите дополнителни фактори на броителите на дропките. Можете да ги најдете со делење на заедничкиот именител (CLD) со именителот на соодветната дропка. Потоа треба да го помножите броителот на секоја дропка со дополнителен фактор и да го ставите LCM како именител.
5Како да соберете цел број и дропка
За да соберете цел број и дропка, само треба да го додадете овој број пред дропката, што ќе резултира во мешана дропка, на пример.
