자연 정수 유리 무리수 및 실수. 숫자 집합 - 정의

정수그것이 모든 것을 시작한 숫자입니다. 그리고 오늘날 이것은 어린 시절에 손가락이나 막대기를 세는 법을 배울 때 사람이 인생에서 만나는 첫 번째 숫자입니다.

정의: 자연수는 개체를 셀 때 사용하는 숫자라고 합니다(1, 2, 3, 4, 5, ...) [숫자 0은 자연이 아닙니다. 그것은 또한 수학의 역사에서 자신의 별도의 역사를 가지고 있으며 자연수보다 훨씬 늦게 나타났습니다.]

모든 자연수(1, 2, 3, 4, 5, ...)의 집합은 문자 N으로 표시됩니다.

정수

세는 법을 배웠다면 다음으로 할 일은 숫자에 대한 산술 연산을 수행하는 법을 배우는 것입니다. 일반적으로 먼저 (막대기를 세면서) 덧셈과 뺄셈을 수행하는 법을 배웁니다.

또한 모든 것이 명확합니다. 두 개의 자연수를 더하면 결과적으로 항상 동일한 자연수를 얻습니다. 그러나 뺄셈에서 우리는 결과가 자연수가 되도록 더 큰 것에서 더 작은 것을 뺄 수 없다는 것을 발견합니다. (3 − 5 = 무엇?) 이것은 음수에 대한 아이디어가 나오는 곳입니다. (음수는 더 이상 자연적이지 않습니다)

음수가 발생하는 단계에서 (그리고 그들은 분수보다 늦게 나타났습니다)말도 안 된다고 생각하는 상대도 있었다. (손가락에 3개, 10개, 1000개를 유추하여 표현할 수 있다. 그리고 "빼기 3개의 가방"은 무엇인가? - 그 당시에는 이미 숫자가 자체적으로 사용되었지만, 그들이 지정하는 특정 대상은 오늘날보다 이러한 특정 주제에 훨씬 더 가까운 사람들의 마음 속에 여전히 남아 있습니다.) 그러나 반대와 마찬가지로 음수에 찬성하는 주요 주장은 실천에서 나왔습니다. 부채를 편리하게 추적할 수 있습니다. 3 - 5 = -2 - 나는 3개의 동전을 가지고 5개를 썼다. 그래서 나는 동전이 바닥났을 뿐만 아니라 2개의 동전을 누군가에게 빚졌다. 하나를 반환하면 부채는 -2+1=-1로 변경되지만 음수로 표시될 수도 있습니다.

결과적으로 수학에 음수가 나타났고 이제 우리는 무한한 수의 자연수(1, 2, 3, 4, ...)를 갖게 되었고 그 반대도 같은 수(-1, −2, − 3, -4, ...). 여기에 또 다른 0을 더하면 이 모든 숫자의 집합을 정수라고 합니다.

정의: 자연수, 그 반대 및 0은 정수 집합을 구성합니다. 문자 Z로 표시됩니다.

임의의 두 정수를 서로 빼거나 더하여 결과적으로 정수를 얻을 수 있습니다.

정수 덧셈의 아이디어는 이미 곱셈의 가능성을 제안합니다. 단순히 더 빠른 길덧셈을 수행합니다. 각각 6킬로그램의 봉지 7개가 있는 경우 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6(현재 합계에 6을 7번 더함)을 더할 수 있습니다. 42. 6개의 7을 더한 것과 마찬가지로 7+7+7+7+7+7도 항상 42를 제공합니다.

덧셈 연산 결과 확실한그 자체로 숫자 확실한 2에서 9까지의 모든 숫자 쌍에 대한 횟수를 기록하고 구구단을 구성합니다. 9보다 큰 정수를 곱하기 위해 곱셈 규칙이 열에서 발명되었습니다. (이는 십진수에도 적용되며 다음 기사 중 하나에서 다룰 것입니다.) 두 정수를 서로 곱하면 항상 정수가 됩니다.

유리수

이제 분할. 뺄셈이 덧셈의 역수인 것과 유사하게, 우리는 곱셈의 역수로서의 나눗셈의 개념에 도달합니다.

6킬로그램의 가방 7개가 있을 때 곱셈을 사용하여 가방 내용물의 총 중량이 42킬로그램이라는 것을 쉽게 계산할 수 있었습니다. 모든 가방의 모든 내용물을 무게가 42kg인 하나의 공통 더미에 부었다고 상상해 보십시오. 그리고 마음을 바꿔 내용물을 다시 7봉지에 나눠주기로 했습니다. 우리가 균등하게 분배하면 한 봉지에 몇 킬로그램이 들어갈까요? - 분명히 6.

그리고 42kg을 6개의 봉지에 나누어 넣으려면? 여기서 우리는 7킬로그램의 봉지 6개를 더미에 부었다면 같은 총 42킬로그램이 될 수 있는지 생각해 봅니다. 즉, 42kg을 6개의 가방으로 균등하게 나누면 하나의 가방에 7kg이 들어갑니다.

그리고 42kg을 똑같이 3봉지로 나누면? 그리고 여기에서도 3을 곱하면 42가 되는 숫자를 선택하기 시작합니다. "테이블" 값의 경우 6 7=42 => 42:6=7의 경우와 같이 나누기 연산을 수행합니다. , 단순히 구구단을 기억합니다. 이상 어려운 경우다음 기사 중 하나에서 논의될 열 분할이 사용됩니다. 3과 42의 경우 "선택"으로 3 · 14 = 42를 상기할 수 있습니다. 따라서 42:3=14입니다. 각 가방에는 14kg이 들어 있습니다.

이제 42kg을 5개의 가방으로 균등하게 나누어 보겠습니다. 42:5=?
5 8=40(작음) 및 5 9=45(많음)임을 알 수 있습니다. 즉, 가방에 8 킬로그램이나 9 킬로그램이 아닌 5 개의 가방에서 42 킬로그램을 얻지 못할 것입니다. 동시에, 실제로 어떤 양(예: 곡물)을 5등분으로 나누는 것을 막는 것은 아무것도 없다는 것이 분명합니다.

정수를 서로 나누는 작업이 반드시 정수가 되는 것은 아닙니다. 그래서 우리는 분수의 개념에 도달했습니다. 42:5 \u003d 42/5 \u003d 8 전체 2/5(일반 분수로 계산한 경우) 또는 42:5 \u003d 8.4(소수 분수로 계산한 경우).

공통 및 소수

모든 일반 분수 m/n(m은 임의의 정수, n은 임의의 자연수)은 단순히 특별한 형태숫자 m을 숫자 n으로 나눈 결과를 씁니다. (m은 분수의 분자, n은 분모) 예를 들어 숫자 25를 숫자 5로 나눈 결과는 일반 분수 25/5로도 쓸 수 있습니다. 그러나 이것은 25를 5로 나눈 결과를 정수 5로 간단히 쓸 수 있기 때문에 필요하지 않습니다. (그리고 25/5 = 5). 그러나 숫자 25를 숫자 3으로 나눈 결과는 더 이상 정수로 나타낼 수 없으므로 여기서 분수 25:3=25/3을 사용해야 합니다. (정수 부분 25/3= 8 전체 1/3을 선택할 수 있습니다. 일반 분수와 일반 분수 연산에 대한 자세한 내용은 다음 기사에서 설명합니다.)

일반 분수가 좋은 이유는 두 정수를 분수로 나눈 결과를 나타내려면 피제수를 분수의 분자에, 제수를 분모에 쓰면 되기 때문입니다. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, …) 그런 다음 가능하면 분수를 줄이거나 정수 부분을 강조 표시합니다(일반 분수를 사용한 이러한 연산은 다음 기사에서 자세히 논의). 문제는 일반 분수로 산술 연산(덧셈, 뺄셈)을 수행하는 것이 더 이상 정수처럼 편리하지 않다는 것입니다.

표기의 편의를 위해(한 줄로) 계산의 편의를 위해(일반 정수와 마찬가지로 열에서 계산 가능) 일반 분수소수도 발명되었습니다. 소수는 10, 100, 1000 등의 분모를 사용하여 특별한 방식으로 작성된 일반 분수입니다. 예를 들어, 공통 분수 7/10은 소수 분수 0.7과 같습니다. (8/100 = 0.08, 2개의 정수 3/10=2.3, 7개의 정수 1/1000 = 7.001). 일반 분수를 소수로 또는 그 반대로 변환하는 방법은 별도의 기사에서 다룰 것입니다. 작업 소수- 다른 기사.

모든 정수는 분모가 1인 공통 분수로 나타낼 수 있습니다. (5=5/1; −765=−765/1).

정의: 공통 분수로 나타낼 수 있는 모든 숫자를 유리수라고 합니다. 유리수 집합은 문자 Q로 표시됩니다.

두 정수를 서로 나눌 때(0으로 나눌 때 제외) 결과적으로 항상 유리수를 얻습니다. 일반 분수의 경우 더하기, 빼기, 곱하기 및 나누기에 대한 규칙이 있으므로 두 분수로 해당 연산을 수행하고 결과적으로 유리수(분수 또는 정수)를 얻을 수도 있습니다.

유리수 집합은 우리가 고려한 집합 중 첫 번째 집합으로, 이 집합을 초과하지 않고(즉, 항상 유리수를 결과) .

다른 숫자는 없으며 모든 숫자는 합리적입니다. 그러나 이것도 그렇지 않습니다.

실수

분수 m / n(여기서 m은 정수, n은 자연수)으로 나타낼 수 없는 숫자가 있습니다.

이 숫자는 무엇입니까? 우리는 아직 지수 연산을 고려하지 않았습니다. 예를 들어 4 2 \u003d 4 4 \u003d 16. 5 3 \u003d 5 5 5 \u003d 125입니다. 곱셈이 덧셈의 계산과 표기법의 더 편리한 형태인 것처럼, 지수는 같은 수를 일정한 횟수만큼 곱하는 표기법의 한 형태입니다.

그러나 이제 거듭제곱의 역수인 루트를 추출하는 작업을 고려하십시오. 16의 제곱근은 제곱하면 16이 되는 숫자이며, 이는 4입니다. 9의 제곱근은 3입니다. 그리고 여기 제곱근예를 들어, 5개 중 2개 또는 5개 중 1개는 유리수로 나타낼 수 없습니다. (이 진술의 증거, 무리수 및 그 역사의 다른 예는 Wikipedia에서 찾을 수 있습니다.)

9학년 GIA에는 입력에 근이 포함된 숫자가 합리적인지 무리한지 판단하는 과제가 있습니다. 작업은 이 숫자를 루트를 포함하지 않는 형식으로 변환하는 것입니다(루트의 속성 사용). 근을 제거할 수 없으면 그 수는 비합리적입니다.

무리수의 또 다른 예는 기하학과 삼각법의 모든 사람에게 친숙한 숫자 π입니다.

정의: 유리수와 무리수를 함께 실수(또는 실수)라고 합니다. 무엇보다 실수문자 R로 표시됩니다.

실수에서는 유리수와 달리 선이나 평면의 두 점 사이의 거리를 표현할 수 있습니다.
직선을 그리고 그 위에 임의의 두 점을 선택하거나 평면에서 임의의 두 점을 선택하면 두 점 사이의 정확한 거리는 유리수로 표현할 수 없음이 드러날 수 있습니다. (예 - 피타고라스 정리에 따라 다리 1과 1이 있는 직각 삼각형의 빗변은 2의 근, 즉 무리수와 같습니다. 여기에는 사분면 셀 대각선의 정확한 길이도 포함됩니다. (변이 정수인 이상적인 정사각형의 대각선 길이)
그리고 실수 집합에서 직선, 평면 또는 공간상의 모든 거리는 해당 실수로 표현할 수 있습니다.

숫자- 수세기에 걸쳐 변한 가장 중요한 수학적 개념.

숫자에 대한 첫 번째 아이디어는 사람, 동물, 과일, 다양한 제품 등을 세는 것에서 비롯되었습니다. 결과는 자연수입니다. 1, 2, 3, 4, ...

역사적으로 숫자 개념의 첫 번째 확장은 자연수에 분수를 더한 것입니다.

발사단위의 한 부분(몫) 또는 몇 개의 동일한 부분이라고 합니다.

지정: , 여기서 m,n- 정수;

분모가 10인 분수 N, 어디 N는 정수이며 호출됩니다. 소수: .

소수점 이하 자릿수 중 특별한 자리는 다음과 같습니다. 주기적 분수: - 순수 주기 분수, - 혼합 주기 분수.

숫자 개념의 추가 확장은 이미 수학 자체(대수학)의 발전으로 인해 발생했습니다. 17세기의 데카르트 개념을 소개합니다 음수.

정수(양수 및 음수), 분수(양수 및 음수) 및 0을 숫자라고 합니다. 유리수. 모든 유리수는 유한하고 주기적인 분수로 쓸 수 있습니다.

지속적으로 변화하는 변수를 연구하려면 유리수에 무리수를 추가하여 실수(실수) 수의 도입으로 수의 개념을 확장할 필요가 있음이 밝혀졌습니다. 무리수무한 십진 비주기적 분수입니다.

대수에서 계산할 수 없는 세그먼트(정사각형의 측면 및 대각선)를 측정할 때 무리수가 나타남 - 근을 추출할 때 초월, 무리수의 예는 π, 이자형 .

번호 자연스러운(1, 2, 3,...), 전부의(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), 합리적인(분수로 표시) 및 비합리적인(분수로 나타낼 수 없음 ) 세트를 형성하다 진짜 (진짜)번호.

수학에서 별도로 복소수는 구별됩니다.

복소수경우에 대한 제곱을 푸는 문제와 관련하여 발생 디< 0 (здесь 디는 이차 방정식의 판별식입니다). 오랫동안 이 숫자는 물리적 용도를 찾지 못했기 때문에 "허수"라고 불렸습니다. 그러나 이제는 전기 공학, 유체 및 공기 역학, 탄성 이론 등 다양한 물리학 및 기술 분야에서 매우 널리 사용됩니다.

복소수 z= ㅏ+ 바이. 여기 ㅏ그리고 비 – 실수, ㅏ 나 – 상상의 단위.이자형. 나 2 = -하나. 숫자 ㅏ~라고 불리는 횡좌표, ㅏ 비-세로복소수 ㅏ+ 바이. 두 개의 복소수 ㅏ+ 바이그리고 아비~라고 불리는 결합한복소수.

속성:

1. 실수 ㅏ복소수로 쓸 수도 있습니다. ㅏ+ 0나또는 ㅏ - 0나. 예를 들어 5 + 0 나그리고 5 - 0 나같은 숫자 5를 의미합니다.

2. 복소수 0 + 바이~라고 불리는 순전히 상상의 숫자. 녹음 바이 0과 같은 의미 + 바이.

3. 두 개의 복소수 ㅏ+ 바이그리고 씨+ 디다음과 같은 경우 동등한 것으로 간주됩니다. ㅏ= 씨그리고 비= 디. 그렇지 않으면 복소수같지 않다.

행위:

덧셈. 복소수의 합 ㅏ+ 바이그리고 씨+ 디복소수( ㅏ+ 씨) + (비+ 디)나. 이런 식으로, 복소수를 추가할 때 가로 좌표와 세로 좌표가 별도로 추가됩니다.

빼기. 두 복소수의 차이 ㅏ+ 바이(감소) 및 씨+ 디(빼기)는 복소수( a-c) + (b-d)나. 이런 식으로, 두 개의 복소수를 뺄 때 가로 좌표와 세로 좌표는 별도로 뺍니다.

곱셈. 복소수의 곱 ㅏ+ 바이그리고 씨+ 디복소수라고 합니다.

(AC-BD) + (기원 후+ 기원전)나. 이 정의는 두 가지 요구 사항에서 비롯됩니다.

1) 숫자 ㅏ+ 바이그리고 씨+ 디대수 이항식처럼 곱해야 합니다.

2) 번호 나주요 속성이 있습니다: 나 2 = –1.

예시 ( 에이 + 바이)(아비)= 에이 2 +b 2 . 따라서, 일하다두 개의 켤레 복소수의 는 양의 실수와 같습니다.

분할. 복소수 나누기 ㅏ+ 바이(나누어) 다른 씨+ 디 (분할기) - 세 번째 숫자를 찾는 것을 의미합니다. 이자형+ 파이(채팅), 제수를 곱하면 씨+ 디, 결과적으로 배당금 ㅏ+ 바이. 제수가 0이 아니면 항상 나눗셈이 가능합니다.

예시 찾기(8+ 나) : (2 – 3나) .

솔루션: 이 비율을 분수로 다시 작성해 보겠습니다.

분자와 분모에 2 + 3 곱하기 나모든 변환을 수행하면 다음을 얻습니다.

작업 1: z 더하기, 빼기, 곱하기 및 나누기 1 z로 2

제곱근 추출: 방정식 풀기 엑스 2 = -ㅏ. 이 방정식을 풀려면우리는 새로운 유형의 숫자를 사용해야 합니다. 허수 . 이런 식으로, 상상의 번호가 호출됩니다 두 번째 거듭제곱이 음수인 경우. 허수에 대한 이 정의에 따라 다음과 같이 정의할 수 있습니다. 상상의 단위:

그런 다음 방정식에 대해 엑스 2 = - 25 우리는 2를 얻습니다 상상의뿌리:

작업 2: 방정식을 풉니다.

1) x 2 = – 36; 2) 엑스 2 = – 49; 3) 엑스 2 = – 121

복소수의 기하학적 표현. 실수는 숫자 선의 점으로 표시됩니다.

여기 요점이 있습니다 ㅏ숫자 -3, 점을 의미합니다. 비는 숫자 2이고 영형-영. 대조적으로 복소수는 좌표 평면의 점으로 표시됩니다. 이를 위해 두 축에서 동일한 축척을 가진 직사각형(직교) 좌표를 선택합니다. 그럼 복소수 ㅏ+ 바이점으로 표시됩니다 횡좌표가 있는 Pㅏ 그리고 세로좌표비. 이 좌표계를 복잡한 평면 .

기준 치수 복소수를 벡터의 길이라고 합니다. OP, 좌표에 복소수를 나타내는 ( 통합) 비행기. 복소수 계수 ㅏ+ 바이로 표시 | ㅏ+ 바이| 또는) 편지 아르 자형다음과 같습니다.

켤레 복소수는 동일한 계수를 갖습니다.

도면을 그리는 규칙은 데카르트 좌표계의 도면과 거의 동일합니다.축을 따라 치수를 설정해야 합니다. 참고:

이자형
실제 축을 따른 단위; 레즈

허수축을 따른 허수단위. 임 z

작업 3. 복소 평면에 다음 복소수를 구성합니다. , , , , , , ,

1. 숫자는 정확하고 대략적인 것입니다.우리가 실제로 접하는 숫자는 두 가지입니다. 일부는 수량의 실제 값을 제공하고 다른 일부는 대략적인 값만 제공합니다. 첫 번째는 정확한, 두 번째는 대략적인 것입니다. 대부분의 경우 정확한 숫자 대신 대략적인 숫자를 사용하는 것이 편리합니다. 특히 많은 경우에 정확한 숫자를 전혀 찾을 수 없기 때문입니다.

따라서 학급에 29명의 학생이 있다고 하면 29라는 숫자가 정확합니다. 모스크바에서 키예프까지의 거리가 960km라고 말하면 여기서 960이라는 숫자는 근사치입니다. 한편으로는 측정기가 절대적으로 정확하지 않은 반면 도시 자체에는 어느 정도 있기 때문입니다.

대략적인 숫자를 사용한 연산 결과도 대략적인 숫자입니다. 정확한 숫자에 대한 몇 가지 작업(나누기, 근 추출)을 수행하여 대략적인 숫자도 얻을 수 있습니다.

근사 계산 이론은 다음을 허용합니다.

1) 데이터의 정확도를 알고 결과의 정확도를 평가합니다.

2) 결과의 요구되는 정확성을 보장하기에 충분한 적절한 정도의 정확성으로 데이터를 취합니다.

3) 계산 프로세스를 합리화하여 결과의 정확성에 영향을 미치지 않는 계산에서 자유로워집니다.

2. 반올림.대략적인 숫자의 소스 중 하나는 반올림입니다. 대략적인 숫자와 정확한 숫자를 모두 반올림합니다.

주어진 숫자를 일부 자릿수로 반올림하는 것은 이 숫자의 오른쪽에 기록된 모든 자릿수를 버리거나 0으로 대체하여 주어진 숫자에서 얻은 새 숫자로 대체하는 것입니다. 이러한 0은 일반적으로 밑줄이 그거나 작게 표시됩니다. 반올림된 숫자와 반올림된 숫자가 가장 근접하도록 하려면 다음 규칙을 사용해야 합니다. 숫자를 특정 숫자 중 하나로 반올림하려면 이 숫자의 숫자 뒤의 모든 숫자를 버리고 대체해야 합니다. 정수에 0이 있습니다. 이것은 다음을 고려합니다.

1) 버려진 숫자의 첫 번째(왼쪽)가 5보다 작은 경우 마지막 남은 숫자는 변경되지 않습니다(내림).

2) 첫 번째 버려진 숫자가 5보다 크거나 5와 같으면 마지막 남은 숫자가 1만큼 증가합니다(반올림).

예를 들어 이것을 보여줍시다. 모으다:

a) 12.34의 10분의 1까지

b) 3.2465의 1/100까지; 1038.785;

c) 3.4335의 1/1000까지.

d) 최대 12375,000; 320729.

a) 12.34 ≈ 12.3

b) 3.2465 ≈ 3.25; 1038.785 ≈ 1038.79;

다) 3.4335 ≈ 3.434.

d) 12375 ≈ 12,000 320729 ≈ 321000

3. 절대 및 상대 오류.정확한 숫자와 그 근사값의 차이를 근사값의 절대 오차라고 합니다. 예를 들어, 정확한 숫자 1.214를 10분의 1로 반올림하면 대략적인 숫자 1.2를 얻습니다. 에 이 경우대략적인 숫자 1.2의 절대 오차는 1.214 - 1.2입니다. 0.014.

하지만 대부분의 경우 정확한 값고려된 값은 알 수 없지만 대략적인 값일 뿐입니다. 그러면 절대 오차도 알 수 없습니다. 이 경우 초과하지 않는 한도를 표시하십시오. 이 숫자를 한계 절대 오차라고 합니다. 그들은 숫자의 정확한 값이 경계 오차보다 작은 오차로 근사값과 같다고 말합니다. 예를 들어, 숫자 23.71은 절대 근사 오차가 0.0025이고 0.01보다 작기 때문에 정확도가 0.01인 숫자 23.7125의 근사값입니다. 여기서 경계 절대 오차는 0.01 * 입니다.

근사값의 경계 절대 오차 ㅏ기호 Δ로 표시 ㅏ. 녹음

엑스≈ㅏ(±Δ ㅏ)

다음과 같이 이해해야 합니다. 수량의 정확한 값 엑스사이에있다 ㅏ– Δ ㅏ그리고 ㅏ+ Δ ㅏ, 각각 하한 및 상한이라고 합니다. 엑스 NG를 나타냅니다. 엑스 VG 엑스.

예를 들어 엑스≈ 2.3(±0.1), 2.2<엑스< 2,4.

반대로 7.3이면< 엑스< 7,4, то엑스≈ 7.35(±0.05). 절대 또는 한계 절대 오차는 측정 품질을 특징짓지 않습니다. 측정된 값을 나타내는 숫자에 따라 동일한 절대 오차가 중요하거나 중요하지 않은 것으로 간주될 수 있습니다. 예를 들어, 1km의 정확도로 두 도시 사이의 거리를 측정하면 이러한 정확도는 이 변화에 충분하지만 동시에 같은 거리에 있는 두 집 사이의 거리를 측정할 때 이러한 정확도는 다음과 같습니다. 받아들일 수 없는. 따라서 양의 근사값의 정확도는 절대 오차의 크기뿐만 아니라 측정된 양의 값에 따라 달라집니다. 따라서 정확도의 척도는 상대 오차입니다.

상대 오차는 근사값에 대한 절대 오차의 비율입니다. 경계 절대 오차와 근사값의 비율을 경계 상대 오차라고 합니다. 다음과 같이 표시하십시오. 상대 및 경계 상대 오차는 일반적으로 백분율로 표시됩니다. 예를 들어 측정 결과 거리가 엑스두 지점 사이의 거리가 12.3km 이상 12.7km 미만이면 이 두 숫자의 산술 평균을 근사값으로 취합니다. 그들의 반합, 경계 절대 오차는 이 숫자들의 반차와 같습니다. 이 경우 엑스≈ 12.5(±0.2). 여기서 경계 절대 오차는 0.2km이고 경계 상대 오차는

수학적 분석은 극소 함수의 아이디어에 기반한 함수 연구를 다루는 수학의 한 분야입니다.

수학적 분석의 기본 개념은 다음과 같습니다. 수량, 집합, 함수, 극소 함수, 극한, 미분, 적분.

값숫자로 측정하고 표현할 수 있는 모든 것을 호출합니다.

많은일부 공통 기능으로 통합된 일부 요소의 모음입니다. 집합의 요소는 숫자, 숫자, 개체, 개념 등이 될 수 있습니다.

집합은 대문자로 표시되고 집합의 요소는 소문자로 표시됩니다. 집합 요소는 중괄호로 묶입니다.

요소인 경우 엑스세트에 속한다 엑스, 다음 쓰기 엑스∈엑스 (∈ - 소속).
집합 A가 집합 B의 일부인 경우 다음을 쓰십시오. A ⊂ B (⊂ - 포함).

집합은 열거 및 정의 속성의 두 가지 방법 중 하나로 정의할 수 있습니다.

예를 들어 열거형은 다음 집합을 정의합니다.

A=(1,2,3,5,7) - 숫자 집합
Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n )은 일부 요소 x 1 ,x 2 ,...,x n의 집합입니다.
N=(1,2,...,n)은 자연수의 집합입니다.
Z=(0,±1,±2,...,±n)은 정수 집합입니다.

집합(-∞;+∞)을 호출합니다. 번호 라인, 그리고 임의의 숫자는 이 선의 한 점입니다. 실수선 상의 임의의 점을 δ라 하고 양수를 δ라 하자. 구간(a-δ; a+δ)은 점 a의 δ-이웃.

x ∈ X에 대해 부등식 x≤с(x≥c)가 충족되는 숫자 c가 있는 경우 집합 X는 위에서(아래에서) 경계가 지정됩니다. 이 경우 숫자 c는 상단(하단) 가장자리집합 X. 위와 아래에 경계가 있는 집합을 호출합니다. 제한된. 집합의 위쪽(아래쪽) 면 중 가장 작은(가장 큰) 면을 정확한 위(아래) 얼굴이 세트.

기본 숫자 집합

N	(1,2,3,...,n) 모두의 집합
지	(0, ±1, ±2, ±3,...) 설정 정수.정수 집합에는 자연수 집합이 포함됩니다.
큐	많은 유리수. 정수 외에도 분수도 있습니다. 분수는 형식의 표현입니다. 여기서 피는 정수이고, 큐- 자연스러운. 소수는 로 쓸 수도 있습니다. 예: 0.25 = 25/100 = 1/4. 정수는 로 쓸 수도 있습니다. 예를 들어, 분모가 "1"인 분수 형태: 2 = 2/1. 따라서 모든 유리수는 유한 또는 무한 주기의 소수로 쓸 수 있습니다.
아르 자형	무엇보다 실수. 무리수는 무한한 비주기적 분수입니다. 여기에는 다음이 포함됩니다. 함께 두 집합(유리수와 무리수)이 실수(또는 실수) 집합을 형성합니다.

집합에 요소가 없으면 호출됩니다. 빈 세트그리고 녹음 Ø .

논리적 상징주의의 요소

표기법 ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

수량자

수학적 표현을 작성할 때 수량자가 자주 사용됩니다.

수량자뒤에 오는 요소를 양적 용어로 특성화하는 논리적 기호라고 합니다.

∀- 일반 수량자, "모두를 위해", "누구에게나"라는 단어 대신 사용됩니다.
∃- 실존 수량사, "존재하다", "있다"라는 단어 대신에 사용됩니다. 기호 조합 ∃!도 사용되며 이는 하나만 있는 것으로 읽습니다.

세트 작업

둘 집합 A와 B는 같음(A=B) 동일한 요소로 구성된 경우.
예를 들어 A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2)이면 A=B입니다.

조합(합)집합 A와 B를 집합 A ∪ B라고 하며, 이 집합의 요소는 이러한 집합 중 하나 이상에 속합니다.
예를 들어, A=(1,2,4), B=(3,4,5,6)이면 A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

교차로(제품)집합 A와 B를 집합 A ∩ B라고 하며, 이 집합의 요소는 집합 A와 집합 B 모두에 속합니다.
예를 들어 A=(1,2,4), B=(3,4,5,2)인 경우 A ∩ B = (2,4)

차이점집합 A와 B를 집합 AB라고 하며, 그 원소는 집합 A에 속하지만 집합 B에는 속하지 않습니다.
예를 들어 A=(1,2,3,4), B=(3,4,5)인 경우 AB = (1,2)

대칭 차이집합 A와 B를 집합 A Δ B라고 하며, 이는 집합 AB와 BA의 차이의 합집합, 즉 A Δ B = (AB) ∪ (BA)입니다.
예를 들어, A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6)이면 A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5.6)

집합 연산의 속성

불변성 속성

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

연관 속성

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

셀 수 있는 세트와 셀 수 없는 세트

두 집합 A와 B를 비교하기 위해 해당 요소 간에 대응 관계가 설정됩니다.

이 대응이 일대일이면 집합을 A B 또는 B A 등가 또는 등가라고 합니다.

실시예 1

다리 BC의 점 집합과 삼각형 ABC의 빗변 AC의 거듭제곱은 같습니다.

정수

자연수 정의는 양의 정수입니다. 자연수는 개체를 계산하는 데 사용되며 기타 여러 용도로 사용됩니다. 숫자는 다음과 같습니다.

이것은 자연스러운 숫자의 연속입니다.
0은 자연수인가요? 아니요, 0은 자연수가 아닙니다.
자연수는 몇 개입니까? 무한한 자연수의 집합이 있습니다.
가장 작은 자연수는 무엇입니까? 하나는 가장 작은 자연수입니다.
가장 큰 자연수는 무엇입니까? 무한한 자연수 집합이 있기 때문에 지정할 수 없습니다.

자연수의 합은 자연수입니다. 따라서 자연수와 b를 더하면 다음과 같습니다.

자연수의 곱은 자연수입니다. 따라서 자연수와 b의 곱:

c는 항상 자연수입니다.

자연수의 차이 자연수가 항상 존재하는 것은 아닙니다. 빼기가 빼기보다 크면 자연수의 차이는 자연수이고 그렇지 않으면 그렇지 않습니다.

자연수의 몫 자연수가 항상 존재하는 것은 아닙니다. 자연수와 b의 경우

여기서 c는 자연수이며 b로 균등하게 나눌 수 있음을 의미합니다. 이 예에서 a는 피제수, b는 제수, c는 몫입니다.

자연수의 제수는 첫 번째 숫자가 균등하게 나누어 떨어지는 자연수입니다.

모든 자연수는 1과 자기 자신으로 나눌 수 있습니다.

단순 자연수는 1과 자신으로만 나눌 수 있습니다. 여기서 우리는 완전히 분할을 의미합니다. 예, 숫자 2; 삼; 5; 7은 1과 자기 자신으로만 나눌 수 있습니다. 이들은 단순한 자연수입니다.

1은 소수로 간주되지 않습니다.

1보다 크고 소수가 아닌 수를 합성수라고 합니다. 합성수의 예:

하나는 합성 숫자로 간주되지 않습니다.

자연수 집합은 1, 소수 및 합성수로 구성됩니다.

자연수 집합은 라틴 문자 N으로 표시됩니다.

자연수의 덧셈과 곱셈의 속성:

덧셈의 교환 속성

덧셈의 연관 속성

(a + b) + c = a + (b + c);

곱셈의 교환 속성

곱셈의 연관 속성

(ab)c = a(bc);

곱셈의 분배 속성

A (b + c) = ab + ac;

정수

정수는 자연수이며 0이며 자연수의 반대입니다.

자연수와 반대되는 숫자는 음의 정수입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

1; -2; -3; -4;...

정수 집합은 라틴 문자 Z로 표시됩니다.

유리수

유리수는 정수와 분수입니다.

모든 유리수는 주기적 분수로 나타낼 수 있습니다. 예:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

예에서 모든 정수는 주기가 0인 주기적인 분수임을 알 수 있습니다.

모든 유리수는 분수 m/n으로 나타낼 수 있습니다. 여기서 m은 정수이고 n은 자연수입니다. 앞의 예에서 나온 숫자 3,(6)을 분수로 표현해 봅시다.

숫자의 개념입니다. 숫자의 종류.

숫자는 개체를 수량화하는 데 사용되는 추상화입니다. 숫자는 사람들이 물건을 셀 필요성과 관련하여 원시 사회에서 발생했습니다. 시간이 지남에 따라 과학의 발전과 함께 숫자는 가장 중요한 수학적 개념이 되었습니다.

문제를 해결하고 다양한 정리를 증명하려면 숫자의 유형을 이해해야 합니다. 숫자의 주요 유형에는 자연수, 정수, 유리수, 실수가 포함됩니다.

정수- 이들은 객체의 자연 계산으로 얻은 숫자 또는 오히려 번호 매기기 ( "첫 번째", "두 번째", "세 번째"...)로 얻은 숫자입니다. 자연수 집합은 라틴 문자로 표시됩니다. N (영어 단어 natural을 기반으로 기억할 수 있음). 라고 말할 수 있다 N ={1,2,3,....}

정수집합의 숫자입니다(0, 1, -1, 2, -2, ....). 이 집합은 자연수, 음의 정수(자연수의 반대) 및 숫자 0(영)의 세 부분으로 구성됩니다. 정수는 라틴 문자로 표시됩니다. 지 . 라고 말할 수 있다 지 ={1,2,3,....}.

유리수분수로 나타낼 수 있는 숫자입니다. 여기서 m은 정수이고 n은 자연수입니다. 라틴 문자는 유리수를 나타내는 데 사용됩니다. 큐 . 모든 자연수와 정수는 유리합니다.

실수(실수) 숫자연속량을 측정하는 데 사용되는 숫자입니다. 실수 집합은 라틴 문자 R로 표시됩니다. 실수에는 유리수와 무리수가 포함됩니다. 무리수는 유리수에 대한 다양한 연산(예: 근 추출, 로그 계산)을 수행하여 얻은 숫자이지만 동시에 유리하지 않습니다.

1. 번호 체계.

숫자 체계는 숫자를 명명하고 쓰는 방법입니다. 숫자를 표현하는 방법에 따라 위치소수와 위치로마로 구분된다.

PC는 2, 8, 16 숫자 체계를 사용합니다.

차이점: 16번째 숫자 체계의 숫자 입력은 다른 입력에 비해 훨씬 짧습니다. 비트 깊이가 덜 필요합니다.

위치 숫자 시스템에서 각 숫자는 숫자의 위치에 관계없이 일정한 값을 유지합니다. 위치 숫자 시스템에서 각 숫자는 값을 결정할 뿐만 아니라 숫자에서 차지하는 위치에 따라 달라집니다. 각 숫자 체계는 기본이 특징입니다. 밑수는 주어진 숫자 체계에서 숫자를 쓰는 데 사용되는 다른 자릿수입니다. 베이스는 인접한 위치로 이동할 때 동일한 숫자의 값이 몇 번이나 변경되는지 보여줍니다. 컴퓨터는 2자리 수 체계를 사용합니다. 시스템의 기본은 임의의 숫자일 수 있습니다. 임의의 위치에 있는 숫자에 대한 산술 연산은 10번째 숫자 체계와 유사한 규칙에 따라 수행됩니다. 2 숫자 시스템의 경우 산술 계산을 수행하기 위해 컴퓨터에서 구현되는 이진 산술이 사용됩니다.

이진 덧셈:0+0=1;0+1=1;1+0=1;1+1=10

빼기:0-0=0;1-0=1;1-1=0;10-1=1

곱셈:0*0=0;0*1=0;1*0=0;1*1=1

컴퓨터는 8번째 숫자 체계와 16번째 숫자 체계를 널리 사용합니다. 그들은 이진수를 줄이는 데 사용됩니다.

2. 세트의 개념.

"집합"의 개념은 수학의 기본 개념이며 정의가 없습니다. 모든 세트의 생성 특성은 특히 주변 물체, 야생 동물 등 다양합니다.

정의 1: 집합을 구성하는 대상을 호출합니다. 이 세트의 요소. 세트를 지정하기 위해 라틴 알파벳의 대문자가 사용됩니다(예: X, Y, Z). 중괄호 안에 쉼표로 구분된 요소는 소문자로 작성됩니다(예: (x, y, z)). .

세트 및 해당 요소 지정의 예:

X = (x 1 , x 2 ,… , x n ) 은 n개의 요소로 구성된 집합입니다. 원소 x가 집합 X에 속하면 xOX라고 써야 하고, 그렇지 않으면 원소 x는 집합 X에 속하지 않고 xПX로 쓴다. 추상 집합의 요소는 예를 들어 숫자, 기능, 문자, 모양 등이 될 수 있습니다. 수학에서는 모든 섹션에서 집합의 개념이 사용됩니다. 특히, 일부 구체적인 실수 집합이 제공될 수 있습니다. 부등식을 만족하는 실수 집합 x:

a ≤ x ≤ b가 호출됩니다. 분절로 표시됩니다.

a ≤ x< b или а < x ≤ b называется 반 세그먼트는 다음과 같이 표시됩니다.

· ㅏ< x < b называется 간격(a,b)로 표시됩니다.

정의 2: 유한한 수의 요소를 갖는 집합을 유한이라고 합니다. 예시. X \u003d (x 1, x 2, x 3).

정의 3: 집합이 호출됩니다. 끝없는무한한 수의 요소가 있는 경우. 예를 들어 모든 실수의 집합은 무한합니다. 녹음 예시. X \u003d (x 1, x 2, ...).

정의 4: 원소가 없는 집합을 공집합이라고 하며 기호 Æ로 표시한다.

집합의 특징은 카디널리티의 개념입니다. 힘은 요소의 수입니다. 집합 Y=(y 1 , y 2 ,...) 는 일대일 대응 y= f(x 가 있는 경우 집합 X=(x 1 , x 2 ,...) 와 동일한 카디널리티를 갖습니다. ) 이러한 집합의 요소 사이. 이러한 세트는 동일한 카디널리티를 갖거나 카디널리티가 동일합니다. 빈 집합은 카디널리티가 0입니다.

3. 집합을 지정하는 방법.

집합은 해당 요소에 의해 정의되는 것으로 간주됩니다. 세트가 주어지고,개체가 이 집합에 속하는지 여부를 말할 수 있는지 여부. 다음과 같은 방법으로 집합을 정의할 수 있습니다.

1) 집합이 유한한 경우 모든 요소를 나열하여 지정할 수 있습니다. 그래서 세트라면 하지만요소로 구성 2, 5, 7, 12 , 다음 그들은 씁니다 A = (2, 5, 7, 12).집합의 요소 수 하지만같음 4 , 쓰다 n(A) = 4.

그러나 집합이 무한이면 요소를 열거할 수 없습니다. 열거형으로 집합을 정의하고 요소가 많은 유한 집합을 정의하는 것은 어렵습니다. 이러한 경우 집합을 지정하는 다른 방법이 사용됩니다.

2) 집합은 해당 요소의 특성 속성을 지정하여 정의할 수 있습니다. 특성 속성- 집합에 속하는 모든 원소가 가지는 속성이며, 집합에 속하지 않는 단일 원소가 가지는 속성은 아니다. 예를 들어, 두 자리 숫자의 집합 X를 고려하십시오. 이 집합의 각 요소가 갖는 속성은 "두 자리 숫자가 되어야 함"입니다. 이 특성을 통해 개체가 집합 X에 속하는지 여부를 결정할 수 있습니다. 예를 들어 숫자 45가 이 집합에 포함되어 있습니다. 값이 2이고 숫자 4는 집합 X에 속하지 않습니다. 일대일이며 두 값이 아닙니다. 요소의 다른 특성 속성을 지정하여 하나의 동일한 집합을 지정할 수 있습니다. 예를 들어, 정사각형 세트는 면이 동일한 직사각형 세트와 직각을 갖는 마름모 세트로 정의할 수 있습니다.

집합의 요소들의 특성을 상징적인 형태로 표현할 수 있는 경우 해당 표기법이 가능하다. 세트의 경우 에보다 작은 모든 자연수로 구성 10, 그들이 적다 B = (x N| x<10}.

두 번째 방법은 더 일반적이며 유한 집합과 무한 집합을 모두 지정할 수 있습니다.

4. 숫자 세트.

숫자 - 요소가 숫자인 집합입니다. 숫자 집합은 실수 축 R에 제공됩니다. 이 축에서 눈금을 선택하고 원점과 방향을 나타냅니다. 가장 일반적인 숫자 집합:

- 자연수 집합;

- 정수 집합;

- 유리수 또는 분수의 집합;

· 실수의 집합입니다.

5. 세트의 힘. 유한집합과 무한집합의 예를 들어라.

세트는 일대일 또는 일대일 대응, 즉 쌍별 대응이있는 경우 등가, 등가라고합니다. 한 세트의 각 요소가 다른 세트의 단일 요소와 연관되고 그 반대의 경우도 마찬가지이지만 한 세트의 다른 요소는 다른 세트의 다양한 요소와 연관됩니다.

예를 들어, 30명의 학생 그룹이 30명의 학생과 30명의 티켓이 쌍으로 대응하는 것과 같이 30명의 티켓이 포함된 스택에서 각 학생에게 한 장의 티켓을 발행하여 시험 티켓을 발행한다고 가정해 보겠습니다.

동일한 세 번째 집합에 해당하는 두 집합은 동일합니다. 집합 M과 N이 동일하면 이러한 집합 M과 N 각각의 모든 부분 집합의 집합도 동일합니다.

주어진 집합의 부분 집합은 집합이며, 각 요소는 주어진 집합의 요소입니다. 따라서 자동차 세트와 트럭 세트는 자동차 세트의 하위 집합이 됩니다.

실수 집합의 거듭제곱을 연속체의 거듭제곱이라고 하며 문자 "알레프"로 표시됩니다. א . 가장 작은 무한 영역은 자연수 집합의 카디널리티입니다. 모든 자연수 집합의 거듭제곱은 일반적으로 표시됩니다(알레프 0).

거듭제곱은 종종 기수라고 합니다. 이 개념은 독일 수학자 G. Kantor에 의해 소개되었습니다. 세트가 기호 문자 M, N으로 표시되면 기수는 m, n으로 표시됩니다. G. Kantor는 주어진 집합 M의 모든 부분 집합의 집합이 집합 M 자체보다 더 큰 카디널리티를 가짐을 증명했습니다.

모든 자연수의 집합과 동일한 집합을 셀 수 있는 집합이라고 합니다.

6. 지정된 집합의 부분 집합입니다.

집합에서 여러 요소를 선택하고 개별적으로 그룹화하면 집합의 하위 집합이 됩니다. 부분 집합을 얻을 수 있는 많은 조합이 있으며 조합 수는 원래 집합의 요소 수에만 의존합니다.

두 개의 집합 A와 B가 있다고 가정합니다. 집합 B의 각 요소가 집합 A의 요소이면 집합 B를 A의 부분집합이라고 합니다. B ⊂ A로 표시합니다. 예.

집합 A=1;2;3의 하위 집합 수입니다.

해결책. 우리 집합의 요소로 구성된 부분 집합입니다. 그런 다음 하위 집합의 요소 수에 대해 4가지 옵션이 있습니다.

부분 집합은 1개의 요소, 2, 3개의 요소로 구성될 수 있으며 비어 있을 수 있습니다. 요소를 순차적으로 적어 보겠습니다.

1 요소의 부분집합: 1,2,3

2 요소의 하위 집합: 1,2,1,3,2,3.

3요소의 부분집합:1;2;3

빈 집합도 우리 집합의 부분집합이라는 것을 잊지 말자. 그런 다음 3+3+1+1=8 부분 집합이 있음을 알 수 있습니다.

7. 세트 작업.

특정 연산은 집합에 대해 수행될 수 있으며, 대수학에서 실수에 대한 연산과 일부 측면에서 유사합니다. 따라서 집합의 대수학에 대해 이야기할 수 있습니다.

협회(연결) 세트의 하지만그리고 에집합이라고 하며(기호적으로 로 표시됨) 집합 중 하나 이상에 속하는 모든 요소로 구성됩니다. 하지만또는 에. 형태 엑스집합의 합집합은 다음과 같이 작성됩니다.

글에는 "통일 하지만그리고 에" 또는 " 하지만와 결합 에».

집합에 대한 작업은 오일러 원을 사용하여 그래픽으로 묘사됩니다(때때로 "벤 오일러 다이어그램"이라는 용어가 사용됨). 집합의 모든 요소가 하지만원 안에 중앙에 위치할 것입니다. 하지만, 및 집합의 요소 에- 원 안에 에, 오일러 원을 사용한 합집합 연산은 다음과 같은 형식으로 나타낼 수 있습니다.

실시예 1. 세트의 연합 하지만= (0, 2, 4, 6, 8) 짝수 및 설정 에= (1, 3, 5, 7, 9) 홀수 자리는 모든 십진수의 집합 = = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)입니다.

8. 세트의 그래픽 표현. 오일러-벤 다이어그램.

오일러-벤 다이어그램은 집합의 기하학적 표현입니다. 다이어그램의 구성은 보편적 집합을 나타내는 큰 직사각형의 이미지로 구성됩니다. 유, 그리고 그 안에 - 집합을 나타내는 원(또는 다른 닫힌 그림). 그림은 문제에서 요구되는 가장 일반적인 경우와 교차해야 하며 그에 따라 레이블이 지정되어야 합니다. 다이어그램의 다른 영역 내부에 있는 점은 해당 집합의 요소로 간주될 수 있습니다. 다이어그램이 작성되면 특정 영역을 음영 처리하여 새로 형성된 세트를 표시할 수 있습니다.

집합 연산은 기존 집합에서 새 집합을 얻는 것으로 간주됩니다.

정의. 협회집합 A와 B는 집합 A, B 중 적어도 하나에 속하는 모든 요소로 구성된 집합이라고 합니다(그림 1).

정의. 횡단집합 A와 B를 집합 A와 집합 B에 동시에 속하는 모든 요소와 요소로 구성된 집합이라고 합니다(그림 2).

정의. 차이점집합 A와 B는 B에 포함되지 않은 A의 모든 요소의 집합입니다(그림 3).

정의. 대칭 차이세트 A와 B는 집합 A에만 속하거나 집합 B에만 속하는 이러한 집합의 요소 집합입니다(그림 4).

데카르트(또는 직접) 집합의 곱ㅏ그리고 비이러한 형태의 쌍의 결과 세트( 엑스,와이) 집합의 첫 번째 요소가 ㅏ, 그리고 쌍의 두 번째 요소는 집합에서 가져온 것입니다. 비. 일반적인 표기법:

ㅏ× 비={(엑스,와이)|엑스∈ㅏ,와이∈비}

세 개 이상의 세트 제품은 다음과 같이 구성할 수 있습니다.

ㅏ× 비× 씨={(엑스,와이,지)|엑스∈ㅏ,와이∈비,지∈씨}

형태의 제품 ㅏ× ㅏ,ㅏ× ㅏ× ㅏ,ㅏ× ㅏ× ㅏ× ㅏ등. 학위 형태로 작성하는 것이 일반적입니다. ㅏ 2 ,ㅏ 3 ,ㅏ 4(도의 기준은 승수, 표시기는 제품 수). 그들은 "데카르트 광장"(입방체 등)과 같은 항목을 읽습니다. 주요 세트에 대한 다른 읽기 옵션이 있습니다. 예를 들어, R N"er enno"로 읽는 것이 관례입니다.

속성

데카르트 곱의 여러 속성을 고려하십시오.

1. 만약 ㅏ,비유한 집합이면 ㅏ× 비- 최종. 그리고 그 반대로, 승수 집합 중 하나가 무한이면 곱의 결과는 무한 집합입니다.

2. 데카르트 곱의 요소 수는 승수 집합 요소 수의 곱과 같습니다(물론 유한한 경우). | ㅏ× 비|=|ㅏ|⋅|비| .

3. 엔피 ≠(엔) 피- 첫 번째 경우, 데카르트 곱의 결과를 차원 1×의 행렬로 고려하는 것이 좋습니다. NP, 두 번째 - 크기 행렬 N× 피 .

4. 가환 법칙은 충족되지 않습니다. 데카르트 곱 결과의 요소 쌍은 다음과 같이 정렬됩니다. ㅏ× 비≠비× ㅏ .

5. 협회법이 충족되지 않음: ( ㅏ× 비)× 씨≠ㅏ×( 비× 씨) .

6. 세트에 대한 기본 작업과 관련하여 분포가 있습니다. ( ㅏ∗비)× 씨=(ㅏ× 씨)∗(비× 씨),∗∈{∩,∪,∖}

10. 발화의 개념. 초등 및 복합 문.

성명참(T-1) 또는 거짓(L-0)이라고 할 수 있지만 동시에 둘 다라고 할 수 없는 진술 또는 선언문입니다.

예를 들어, "오늘 비가 온다", "Ivanov는 물리학에서 실험실 작업 2번을 완료했습니다."

초기 진술이 여러 개인 경우 다음을 사용하여 논리적 합집합 또는 입자 진실 값이 원래 진술의 진실 값과 새로운 진술의 구성에 참여하는 특정 접속사 및 입자에만 의존하는 새로운 진술을 형성할 수 있습니다. "and", "or", "not", "if...then", "그러므로", "if and only then"이라는 단어와 표현은 이러한 접속사의 예입니다. 원래 진술은 단순한 , 그리고 특정 논리적 조합의 도움으로 그들로부터 구성된 새로운 진술 - 성분 . 물론 "단순한"이라는 단어는 원래 진술의 본질이나 구조와 아무 관련이 없으며, 그 자체가 상당히 복잡할 수 있습니다. 이 맥락에서 "단순한"이라는 단어는 "원본"이라는 단어와 동의어입니다. 중요한 것은 단순한 명제의 진리값이 알려지거나 주어져야 한다는 것입니다. 어떤 경우에도 그들은 어떤 식으로든 논의되지 않습니다.

"오늘은 목요일이 아니다"와 같은 진술은 두 개의 다른 단순 진술로 구성되지 않지만, 구성의 균일성을 위해 그 진리값은 다른 진술 "오늘은 목요일이다"의 진리값에 의해 결정되기 때문에 복합 진술로도 간주됩니다. "

실시예 2다음 명령문은 복합 명령문으로 처리됩니다.

나는 Moskovsky Komsomolets를 읽고 Kommersant를 읽었습니다.

그가 말했다면 그것은 사실입니다.

태양은 별이 아닙니다.

날씨가 화창하고 기온이 250도를 넘으면 기차나 차로 도착합니다.

복합 발화에 포함된 단순 발화 자체는 완전히 임의적일 수 있습니다. 특히, 그것들은 그 자체로 합성될 수 있다. 아래에 설명된 복합 명령문의 기본 유형은 이를 구성하는 단순 명령문과 독립적으로 정의됩니다.

11. 명령문에 대한 작업.

1. 부정 연산.

진술의 부정 하지만 ("아니다. 하지만"," 사실이 아니다. 하지만"), 다음과 같은 경우 참입니다. 하지만거짓과 거짓 하지만- 진실.

부정적 말들 하지만그리고 ~라고 불리는 반대.

2. 결합 연산.

접속사진술 하지만그리고 에진술이라고 한다 에이비(읽다 " 하지만그리고 에"), 그 진정한 의미는 두 문장이 모두 있는 경우에만 결정됩니다. 하지만그리고 에진실.

명제의 결합을 논리적 곱이라고 하며 종종 다음과 같이 표시됩니다. AB.

진술하자 하지만– “3월의 기온은 0 С+로 7C» 그리고 말하는 에- "비텝스크에는 비가 내리고 있습니다." 그 다음에 에이비다음과 같이 될 것입니다 : "3 월의 기온은 0 С+로 7C비텝스크에는 비가 내리고 있습니다." 이 접속사는 문이 있으면 참이 됩니다. 하지만그리고 에진실. 온도가 더 낮은 것으로 판명되면 0 С또는 Vitebsk에는 비가 내리지 않았습니다. 에이비거짓일 것입니다.