변수의 유효한 값,
분수 표현에 포함
목표:분수 표현식에 포함된 변수의 유효한 값을 찾는 기능을 형성합니다.
수업 중
I. 조직적 순간.
Ⅱ. 구두 작업.
- * 대신 임의의 숫자로 대체하고 결과 분수의 이름을 지정합니다.
ㅏ) ; 나) ; 안에) ; G) ;
e) ; e) ; 그리고) ; 시간) .
III. 신소재 설명.
새로운 자료에 대한 설명은 세 단계로 진행됩니다.
1. 학생들의 지식의 실현.
2. 합리적인 분수가 항상 의미가 있는지에 대한 질문에 대한 고려.
3. 유리 분수에 포함된 변수의 허용 가능한 값을 찾는 규칙의 유도.
지식을 업데이트할 때 학생들은 다음과 같이 질문할 수 있습니다.
질문:
유리수 란 무엇입니까?
모든 분수는 분수식입니까?
– 그것에 포함 된 변수의 주어진 값에 대한 유리 분수의 값을 찾는 방법은 무엇입니까?
유리수에 포함된 변수의 허용 가능한 값에 대한 질문을 명확히 하기 위해 학생들에게 작업을 완료하도록 요청할 수 있습니다.
작업 지정된 변수 값에 대한 분수 값을 찾으십시오.
~에 엑스 = 4; 0; 1.
이 과제를 완료함으로써 학생들은 다음을 이해합니다. 엑스= 1 분수의 값을 찾는 것은 불가능합니다. 이를 통해 다음과 같은 결론을 도출할 수 있습니다. 유리수는 분모를 0으로 만드는 숫자로 대체할 수 없습니다(이 결론은 학생들이 직접 공식화하고 큰 소리로 발음해야 함).
그런 다음 교사는 합리적인 표현이 의미가 있는 모든 변수 값을 허용 변수 값이라고 합니다.
1) 표현식이 정수이면 여기에 포함된 변수의 모든 값이 유효합니다.
2) 분수식 변수의 허용 가능한 값을 찾으려면 분모가 사라지는 값을 확인해야 합니다. 발견된 숫자는 유효한 값이 아닙니다.
IV. 기술과 능력의 형성.
1. № 10, № 11.
분수식에 포함된 변수의 허용 가능한 값에 대한 질문에 대한 대답은 다르게 들릴 수 있습니다. 예를 들어 유리 분수를 고려할 때 변수의 유효한 값은 다음을 제외한 모든 숫자라고 말할 수 있습니다. 엑스= 4, 또는 변수 값에 숫자 4가 포함되지 않은 경우, 즉 엑스 ≠ 4.
두 공식 모두 정확하며 가장 중요한 것은 디자인의 정확성을 모니터링하는 것입니다.
m a l e n n s의 경우:
4엑스 (엑스 + 1) = 0
대답: 엑스≠ 0 및 엑스≠ 1(또는 0과 -1을 제외한 모든 숫자).
3. 14번 (a, c), 15번.
이러한 작업을 수행할 때 학생들은 변수의 허용 가능한 값을 고려해야 할 필요성에 주의를 기울여야 합니다.
G)
대답: 엑스 = 0.
모든 추론에 대한 근거를 따르십시오.
와 수업 중 높은 레벨 18번과 20번을 추가로 수행할 수 있습니다.
해결책
같은 양의 분자를 가진 모든 분수 중에서 분모가 가장 작은 분수가 더 큽니다. 즉, 어떤 값에서 찾을 필요가 있습니다 ㅏ표현 ㅏ 2 + 5는 가장 작은 값을 취합니다.
표현부터 ㅏ 2는 모든 값에 대해 음수일 수 없습니다. ㅏ, 다음 표현식 ㅏ 2 + 5는 다음과 같은 경우 가장 작은 값을 취합니다. ㅏ = 0.
대답: ㅏ = 0.
비슷하게 논하면, 우리는 값을 찾는 것이 필요하다는 것을 얻습니다. ㅏ, 여기서 표현식( ㅏ– 3) 2 + 1은 가장 작은 값을 취합니다.
대답: ㅏ = 3.
해결책
.
질문에 답하려면 먼저 분수의 분모에서 표현식을 변환해야 합니다.
분수가 걸릴 것입니다 가장 높은 가치, 식 (2 엑스 +
+ ~에) 2 + 9는 가장 작은 값을 취합니다. 이후 (2 엑스 + ~에) 2는 음수 값을 사용할 수 없으며 표현식의 가장 작은 값(2 엑스 + ~에) 2 + 9는 9와 같습니다.
그러면 원래 분수의 값은 = 2입니다.
V. 수업의 결과.
질문
– 표현식에 포함된 변수의 유효한 값이라고 하는 값은 무엇입니까?
– 전체 표현식 변수의 유효한 값은 무엇입니까?
– 분수식 변수의 유효한 값을 찾는 방법은 무엇입니까?
– 변수의 모든 값이 허용되는 유리 분수가 있습니까? 그러한 분수의 예를 들어보십시오.
숙제: 12번, 14번 (b, d), 212번.
\(\frac(x)(x-1)\) 변수의 값은 1과 같을 것이며 규칙을 위반합니다. 0으로 나눌 수 없다. 따라서 여기서 \(x\)는 단위가 될 수 없으며 ODZ는 다음과 같이 작성됩니다. \(x\neq1\);표현식 \(\sqrt(x-2)\)에서 변수 값이 \(0\)과 같으면 규칙이 위반됩니다. 루트 표현식은 음수일 수 없습니다.. 따라서 여기서 \(x\)는 \(0\)일 수 없으며 \(1, -3, -52,7\) 등이 될 수도 있습니다. 즉, x는 2보다 크거나 같아야 하며 ODZ는 다음과 같습니다. \(x\geq2\);
그러나 표현식 \(4x+1\)에서 x 대신 어떤 숫자로도 대체할 수 있으며 어떤 규칙도 위반되지 않습니다. 따라서 여기에서 허용되는 값의 영역은 전체 숫자 축입니다. 이 경우 ODZ는 기록되지 않습니다.유용한 정보가 포함되어 있지 않기 때문입니다.
따라야 할 모든 규칙을 찾을 수 있습니다.
풀 때 허용 가능한 값의 범위를 기억하는 것이 중요합니다. 거기에서 우리는 변수의 값을 찾고 있으며 수학 규칙을 위반하는 값을 우연히 찾을 수 있습니다.
ODZ의 중요성을 이해하기 위해 방정식에 대한 두 가지 솔루션인 ODZ가 있는 경우와 ODZ가 없는 경우를 비교해 보겠습니다.
예시:
방정식을 풀다
해결책
:
| ODZ 없이: | ODZ와 함께: | |
| \(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\) | \(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\) | |
| ODZ: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\) | ||
| \(x^2-x=12\) | \(x^2-x=12\) | |
| \(x^2-x-12=0\) | \(x^2-x-12=0\) | |
| \(D=(-1)^2-4 1 (-12)=49\) | \(D=(-1)^2-4 1 (-12)=49\) | |
| \(x_1=\)\(=4\) | \(x_2=\) \(\frac(-(-1) + \sqrt(49))(2 1)\) \(=4\) | |
| \(x_1=\)\(=-3\) | \(x_2=\) \(\frac(-(-1) - \sqrt(49))(2 1)\)\(=-3\) - ODZ에 맞지 않습니다 | |
| 대답 : \(4; -3\) | 대답 : \(4\) |
차이점이 보이시나요? 첫 번째 솔루션에서 잘못된, 불필요한 !가 우리의 답변에 나타났습니다! 왜 불충실합니까? 그리고 그것을 원래 방정식에 대입해 봅시다.
\(\frac((-3)^2-(-3))((-3)+3)\)\(=\)\(\frac(12)((-3)+3)\)
\(\frac(12)(0)\) \(=\)\(\frac(12)(0)\)
보시다시피 왼쪽과 오른쪽에는 계산할 수 없고 의미 없는 표현이 있습니다(결국 0으로 나눌 수 없음). 그리고 이러한 값이 존재하지 않기 때문에 그들이 동일하다는 사실은 더 이상 중요하지 않습니다. 따라서 "\(-3\)"는 적합하지 않은 외래어이며 유효한 값의 범위는 이러한 심각한 오류로부터 우리를 보호합니다.
이것이 첫 번째 솔루션의 경우 듀스를 얻고 두 번째 솔루션의 경우 5를 얻는 이유입니다. 그리고 이것들은 교사의 지루한 nitpicking이 아닙니다. 왜냐하면 odz를 고려하지 않는 것은 사소한 일이 아니라 매우 구체적인 실수입니다. 잃어버린 기호나 잘못된 공식의 사용과 같습니다. 결국, 최종 답변은 틀렸습니다!
허용되는 값의 범위를 찾는 것은 종종 방정식을 풀거나 방정식을 풀어야 할 필요성으로 이어지므로 잘 할 수 있어야 합니다.
예시 : 표현식의 범위 찾기 \(\sqrt(5-2x)+\) \(\frac(1)(\sqrt(14+5x-x^(2)))\)
해결책 : 표현식에는 두 개의 근이 있으며 그 중 하나는 분모에 있습니다. 이 경우에 부과된 제한을 누가 기억하지 못합니까? 기억하는 사람은 첫 번째 루트 아래의 표현식이 0보다 크거나 같고 두 번째 루트 아래의 표현식은 0보다 큽니다. 제한 사항이 있는 이유를 이해합니까?
대답 : \((-2;2,5]\)귀하의 개인 정보는 우리에게 중요합니다. 이러한 이유로 당사는 귀하의 정보를 사용하고 저장하는 방법을 설명하는 개인정보 보호정책을 개발했습니다. 개인 정보 보호 정책을 읽고 질문이 있으면 알려주십시오.
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다양한 문제를 풀 때, 우리는 종종 동일한 표현 변형을 수행해야 합니다. 그러나 어떤 경우에는 어떤 종류의 변환이 허용되지만 다른 경우에는 허용되지 않습니다. DHS는 진행 중인 변환의 허용 가능성을 모니터링하는 측면에서 상당한 지원을 제공합니다. 이에 대해 더 자세히 살펴보겠습니다.
접근 방식의 요지는 다음과 같다. 원래 표현식에 대한 변수의 ODZ와 동일한 변환을 수행한 결과 얻은 표현식에 대한 변수의 ODZ를 비교하고, 비교 결과를 바탕으로 적절한 결론을 내린다.
일반적으로 동일한 변환은
각각의 경우를 예를 들어 설명하겠습니다.
x 2 +x+3·x 표현식을 고려하면 이 표현식에 대한 변수 x의 ODZ는 집합 R입니다. 이제 이 표현식을 사용하여 다음과 같은 동일한 변환을 수행해 보겠습니다. 같은 항을 가져와서 결과적으로 x 2 +4 x 형식을 취합니다. 분명히, 이 표현식의 ODZ 변수 x도 집합 R입니다. 따라서 변환은 ODZ를 변경하지 않았습니다.
계속 진행합시다. 표현 x+3/x−3/x 를 취하십시오. 이 경우 ODZ는 (−∞, 0)∪(0, +∞) 에 해당하는 x≠0 조건에 의해 결정됩니다. 이 표현식에는 유사한 용어도 포함되어 있으며, 이를 줄이면 ODZ가 R인 표현식 x가 나옵니다. 우리가 보는 것: 변환의 결과로 ODZ가 확장되었습니다(원래 표현식에 대해 변수 x의 ODZ에 숫자 0이 추가됨).
변환 후 허용 가능한 값의 범위를 좁히는 예를 고려해야합니다. 식을 가져라 
. 변수 x의 ODZ는 부등식 (x−1) (x−3)≥0 에 의해 결정되며, 그 솔루션에 적합합니다. 예를 들어, 결과적으로 (−∞, 1]∪∪, S. A. Telyakovskii 편집 - 17- e ed. - M.: Education, 2008. - 240 pp.: 삽화 - ISBN 978-5-09-019315-3.
변수가 있는 모든 표현식에는 유효한 값 범위가 있습니다. DHS는 항상 결정에 고려되어야 합니다. 그렇지 않으면 잘못된 결과를 얻을 수 있습니다.
이 기사에서는 ODZ를 올바르게 찾는 방법을 보여주고 예제와 함께 사용합니다. 또한 결정에서 ODZ를 지정하는 것의 중요성을 고려할 것입니다.
Yandex.RTB R-A-339285-1
이 정의는 변수의 허용된 값과 관련이 있습니다. 정의를 도입할 때 어떤 결과를 가져올지 살펴보겠습니다.
7학년부터 우리는 숫자와 숫자 표현을 다루기 시작합니다. 변수가 있는 초기 정의는 선택한 변수가 있는 표현식의 값으로 점프합니다.
선택한 변수가 있는 표현식이 있는 경우 일부가 만족하지 않을 수 있습니다. 예를 들어 1: a와 같은 표현식은 a \u003d 0이면 0으로 나누는 것이 불가능하기 때문에 의미가 없습니다. 즉, 표현식에는 어떤 경우에도 적합하고 답을 줄 수 있는 값이 있어야 합니다. 즉, 사용 가능한 변수에 의미가 있습니다.
정의 1
변수가 있는 표현식이 있는 경우 대체될 때 값을 계산할 수 있는 경우에만 의미가 있습니다.
정의 2
변수가 있는 표현식이 있는 경우 대체로 값을 계산할 수 없을 때 의미가 없습니다.
즉, 이로부터 완전한 정의를 따릅니다.
정의 3
기존 유효한 변수는 표현식이 의미가 있는 값입니다. 그리고 그것이 의미가 없다면 무효로 간주됩니다.
위의 내용을 명확히 하기 위해: 변수가 두 개 이상인 경우 적절한 값 쌍이 있을 수 있습니다.
실시예 1
예를 들어, 3개의 변수가 있는 1 x - y + z 와 같은 표현식을 고려하십시오. 그렇지 않으면 x = 0 , y = 1 , z = 2 , 다른 표기법은 (0 , 1 , 2) 로 쓸 수 있습니다. 이러한 값을 유효한 값이라고 하며 이는 표현식의 값을 찾을 수 있음을 의미합니다. 우리는 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1 을 얻습니다. 여기에서 (1, 1, 2)가 유효하지 않음을 알 수 있습니다. 대체 결과 0으로 나눕니다. 즉, 1 1 - 2 + 1 = 1 0 입니다.
유효 범위 - 중요한 요소대수적 표현을 평가할 때. 따라서 계산할 때 이것에주의를 기울일 가치가 있습니다.
정의 4
ODZ 지역주어진 표현식에 허용되는 값 세트입니다.
표현의 예를 들어보자.
실시예 2
5 z - 3 형식의 표현이 있는 경우 ODZ 형식은 (− ∞ , 3) ∪ (3 , + ∞) 입니다. 주어진 표현식에 대해 변수 z를 만족하는 유효한 값의 범위입니다.
z x - y 형식의 표현식이 있는 경우 x ≠ y , z 는 임의의 값을 취합니다. 이것을 ODZ 표현이라고 합니다. 대체할 때 0으로 나누지 않도록 고려해야 합니다.
유효한 값의 범위와 정의의 영역은 같은 의미입니다. 그 중 두 번째만 표현식에 사용되고 첫 번째는 방정식이나 부등식에 사용됩니다. DPV의 도움으로 표현이나 부등식이 이해가 됩니다. 함수 정의의 영역은 표현식 f (x) 에 대한 변수 x 의 허용 가능한 값의 영역과 일치합니다.
ODZ를 찾는 것은 다음에 적합한 모든 유효한 값을 찾는 것을 의미합니다. 주어진 기능또는 불평등. 이러한 조건이 충족되지 않으면 잘못된 결과를 얻을 수 있습니다. ODZ를 찾으려면 주어진 표현식에서 변환을 거쳐야 하는 경우가 많습니다.
평가할 수 없는 표현식이 있습니다.
이 모든 것이 DHS 보유의 중요성을 말해줍니다.
실시예 3
ODZ 표현식 찾기 x 3 + 2 x y − 4 .
해결책
모든 숫자를 세제곱할 수 있습니다. 이 표현식에는 분수가 없으므로 x와 y는 무엇이든 될 수 있습니다. 즉, ODZ는 임의의 숫자입니다.
대답: x 및 y는 임의의 값입니다.
실시예 4
ODZ 표현식 1 3 - x + 1 0 을 찾습니다.
해결책
분모가 0인 분수가 하나 있음을 알 수 있습니다. 이것은 x의 모든 값에 대해 0으로 나눈 값을 얻음을 의미합니다. 이것은 우리가 이 표현식이 무한한 것으로 간주된다는 결론을 내릴 수 있음을 의미합니다. 즉, ODZ가 없습니다.
대답: ∅ .
실시예 5
주어진 표현식 x + 2 · y + 3 - 5 · x 의 ODZ를 구합니다.
해결책
유효성 제곱근이 표현식은 0보다 크거나 같아야 합니다. 음수이면 의미가 없습니다. 따라서 x + 2 · y + 3 ≥ 0 형식의 부등식을 기록할 필요가 있습니다. 즉, 이것은 허용 가능한 값의 원하는 범위입니다.
대답: x와 y의 집합, 여기서 x + 2 y + 3 ≥ 0
실시예 6
1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) 형식의 ODZ 표현식을 결정합니다.
해결책
조건에 따라 분수가 있으므로 분모는 0이 아니어야 합니다. 우리는 x + 1 - 1 ≠ 0 을 얻습니다. 급진적 표현은 0보다 크거나 같을 때 항상 의미가 있습니다. x + 1 ≥ 0 . 로그가 있기 때문에 표현식은 엄격하게 양수, 즉 x 2 + 3 > 0이어야 합니다. 로그의 밑도 양수여야 하고 1과 달라야 합니다. 그런 다음 x + 8 > 0 및 x + 8 ≠ 1 조건을 추가합니다. 이로부터 원하는 ODZ는 다음과 같은 형식을 취합니다.
x + 1 - 1 ≠ 0 , x + 1 ≥ 0 , x 2 + 3 > 0 , x + 8 > 0 , x + 8 ≠ 1
즉, 변수가 하나인 불평등 시스템이라고 합니다. 솔루션은 ODZ [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞) 의 레코드로 이어질 것입니다.
대답: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)
동일한 변환의 경우 ODZ를 찾는 것이 중요합니다. ODZ의 존재가 일어나지 않는 경우가 있습니다. 솔루션에 주어진 표현식이 있는지 이해하려면 원래 표현식의 변수 ODZ와 수신 표현식의 ODZ를 비교해야 합니다.
ID 변환:
예를 들어 보겠습니다.
실시예 7
x 2 + x + 3 · x 형식의 표현식이 있는 경우 해당 ODZ는 전체 정의 영역에서 정의됩니다. 유사한 용어를 줄이고 표현을 단순화해도 ODZ는 변하지 않습니다.
실시예 8
표현 x + 3 x − 3 x 의 예를 들면 상황이 다릅니다. 분수 표현이 있습니다. 그리고 우리는 0으로 나누는 것이 허용되지 않는다는 것을 알고 있습니다. 그러면 ODZ의 형식은 (− ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) 입니다. 0은 해가 아님을 알 수 있으므로 괄호를 사용하여 추가합니다.
급진적 표현이 있는 예를 고려하십시오.
실시예 9
x - 1 · x - 3 이 있으면 ODZ 에 주의해야 합니다. ODZ 는 부등식 (x − 1) · (x − 3) ≥ 0 으로 작성해야 하기 때문입니다. 간격 방법으로 풀면 ODZ가 (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) 형식을 취하게 됩니다. x - 1 · x - 3을 변환하고 근의 속성을 적용한 후 ODZ를 보완하고 x - 1 ≥ 0 , x - 3 ≥ 0 형식의 부등식 시스템으로 쓸 수 있습니다. 그것을 풀 때, 우리는 [ 3 , + ∞) 를 얻습니다. 따라서 ODZ는 다음과 같이 완전히 작성됩니다. (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .
DHS를 좁히는 변경은 피해야 합니다.
실시예 10
x = - 1 일 때 표현 x - 1 · x - 3 의 예를 고려하십시오. 대입하면 - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 가 됩니다. 이 표현식이 변환되어 x - 1 x - 3 형식으로 바뀌면 계산할 때 2 - 1 2 - 3이라는 식을 얻을 수 있습니다. 급진적 표현은 음수가 아니어야 하기 때문입니다.
DHS를 변경하지 않는 동일한 변환을 따라야 합니다.
이를 확장하는 예가 있으면 DPV에 추가해야 합니다.
실시예 11
x x 3 + x 형식의 분수의 예를 고려하십시오. x 만큼 줄이면 1 x 2 + 1 이 됩니다. 그러면 ODZ가 확장되어 (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) 가 됩니다. 또한 계산할 때 이미 두 번째 단순화 된 분수로 작업하고 있습니다.
로그가 있는 경우 상황이 약간 다릅니다.
실시예 12
ln x + ln (x + 3) 형식의 표현식이 있는 경우 로그 속성에 따라 ln (x (x + 3)) 으로 대체됩니다. 이것은 (0 , + ∞) 에서 (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) 까지의 ODZ 를 보여줍니다. 따라서 ODZ ln(x(x + 3))을 결정하려면 ODZ, 즉 (0 , + ∞) 집합에 대한 계산을 수행해야 합니다.
풀 때 조건이 주는 표현의 구조와 형태에 항상 주의를 기울일 필요가 있습니다. 정의 영역이 올바르게 발견되면 결과가 긍정적일 것입니다.
텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.
