Il primo limite notevole è chiamato la seguente uguaglianza:
\begin(equazione)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equazione)
Poiché per $\alpha\to(0)$ abbiamo $\sin\alpha\to(0)$, diciamo che il primo meraviglioso limite rivela l'incertezza della forma $\frac(0)(0)$. In generale, nella formula (1), al posto della variabile $\alpha$, sotto il segno del seno e nel denominatore, si può individuare qualsiasi espressione, purché siano soddisfatte due condizioni:
Spesso si usano anche corollari del primo limite notevole:
\begin(equazione) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equazione) \begin(equazione) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(equazione)
Undici esempi sono risolti in questa pagina. L'esempio n. 1 è dedicato alla dimostrazione delle formule (2)-(4). Gli esempi #2, #3, #4 e #5 contengono soluzioni con commenti dettagliati. Gli esempi 6-10 contengono soluzioni con pochi o nessun commento, come spiegazioni dettagliate sono state fornite negli esempi precedenti. Quando si risolve, vengono utilizzate alcune formule trigonometriche, che possono essere trovate.
Noto che la presenza di funzioni trigonometriche, unita all'incertezza di $\frac (0) (0)$, non significa che debba essere applicato il primo limite notevole. A volte sono sufficienti semplici trasformazioni trigonometriche - per esempio, vedi.
Esempio 1
Dimostra che $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) Poiché $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, allora:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Poiché $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ e $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , poi:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) Facciamo la sostituzione $\alpha=\sin(y)$. Poiché $\sin(0)=0$, quindi dalla condizione $\alpha\to(0)$ abbiamo $y\to(0)$. Inoltre, esiste un intorno di zero dove $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, quindi:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
L'uguaglianza $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ è dimostrata.
c) Facciamo la sostituzione $\alpha=\tg(y)$. Poiché $\tg(0)=0$, le condizioni $\alpha\to(0)$ e $y\to(0)$ sono equivalenti. Inoltre, esiste un intorno zero dove $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, quindi, basandosi sui risultati del punto a), avremo:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
L'uguaglianza $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ è dimostrata.
Le uguaglianze a), b), c) sono spesso usate insieme al primo limite notevole.
Esempio #2
Limite di calcolo $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.
Poiché $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ e $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, cioè e numeratore e denominatore della frazione tendono simultaneamente a zero, allora qui si tratta di un'incertezza della forma $\frac(0)(0)$, cioè eseguita. Inoltre, si può vedere che le espressioni sotto il segno del seno e nel denominatore sono le stesse (cioè, ed è soddisfatto):
Quindi, entrambe le condizioni elencate all'inizio della pagina sono soddisfatte. Ne consegue che la formula è applicabile, cioè $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
Risposta: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
Esempio #3
Trova $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
Poiché $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ e $\lim_(x\to(0))x=0$, abbiamo a che fare con un'incertezza della forma $\frac( 0 )(0)$, ovvero eseguita. Tuttavia, le espressioni sotto il segno del seno e nel denominatore non corrispondono. Qui è necessario regolare l'espressione al denominatore su forma desiderata. Abbiamo bisogno che l'espressione $9x$ sia al denominatore, quindi diventerà vera. Fondamentalmente, ci manca il fattore $9$ nel denominatore, che non è così difficile da inserire, basta moltiplicare l'espressione nel denominatore per $9$. Naturalmente, per compensare la moltiplicazione per $9$, dovrai immediatamente dividere per $9$ e dividere:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\sinistra|\frac(0)(0)\destra| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$
Ora le espressioni al denominatore e sotto il segno del seno sono le stesse. Entrambe le condizioni per il limite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ sono soddisfatte. Quindi $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. E questo significa che:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Esempio #4
Trova $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
Poiché $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ e $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, qui abbiamo a che fare con un'indeterminatezza del forma $\frac(0)(0)$. Tuttavia, la forma del primo limite notevole è rotta. Un numeratore contenente $\sin(5x)$ richiede $5x$ al denominatore. In questa situazione, il modo più semplice è dividere il numeratore per $5x$ e moltiplicare immediatamente per $5x$. Inoltre, eseguiremo un'operazione simile con il denominatore, moltiplicando e dividendo $\tg(8x)$ per $8x$:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\sinistra|\frac(0)(0)\destra| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )€€
Riducendo di $x$ e portando la costante $\frac(5)(8)$ fuori dal segno limite, otteniamo:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
Si noti che $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ soddisfa pienamente i requisiti per il primo limite notevole. Per trovare $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ è applicabile la seguente formula:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Esempio #5
Trova $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
Poiché $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (ricorda che $\cos(0)=1$) e $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, allora abbiamo a che fare con un'indeterminatezza della forma $\frac(0)(0)$. Tuttavia, per applicare il primo meraviglioso limite, dovresti sbarazzarti del coseno nel numeratore andando ai seni (per poi applicare la formula) o tangenti (per poi applicare la formula). Puoi farlo con la seguente trasformazione:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\sinistra(1-\cos^2(5x)\destra)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Torniamo al limite:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\sinistra|\frac(0)(0)\destra| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\destra) $$
La frazione $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ è già prossima alla forma richiesta per il primo limite notevole. Lavoriamo un po' con la frazione $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, aggiustandola al primo meraviglioso limite (notare che le espressioni nel numeratore e sotto il seno devono corrispondere):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
Torniamo al limite considerato:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Esempio #6
Trova il limite $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
Poiché $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ e $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, allora abbiamo a che fare con l'incertezza di $\frac(0)(0)$. Apriamolo con l'aiuto del primo limite notevole. Per fare ciò, passiamo dai coseni ai seni. Poiché $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, allora:
$$1-\cos(6x)=2\peccato^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\peccato^2(x).$$
Passando nel limite dato ai seni, avremo:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\sinistra|\frac(0)(0)\destra| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Esempio #7
Calcola limite $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ dato $\alpha\neq\ beta $.
Spiegazioni dettagliate sono state fornite in precedenza, ma qui notiamo semplicemente che di nuovo c'è un'indeterminatezza di $\frac(0)(0)$. Passiamo dai coseni ai seni usando la formula
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Usando la formula sopra, otteniamo:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\destra| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\destra)\cdot\sin\sinistra(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\destra))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.
Esempio #8
Trova il limite $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
Poiché $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (ricorda che $\sin(0)=\tg(0)=0$) e $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, quindi qui abbiamo a che fare con un'indeterminatezza della forma $\frac(0)(0)$. Analizziamolo così:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\sinistra|\frac(0)(0)\destra| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\destra)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\destra) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
Risposta: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Esempio #9
Trova il limite $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
Poiché $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ e $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, allora c'è un'indeterminazione della forma $\frac(0)(0)$. Prima di procedere alla sua espansione, è conveniente modificare la variabile in modo che la nuova variabile tenda a zero (si noti che nelle formule la variabile $\alpha \to 0$). Il modo più semplice è introdurre la variabile $t=x-3$. Tuttavia, per comodità di ulteriori trasformazioni (questo vantaggio può essere visto nel corso della soluzione seguente), vale la pena fare la seguente sostituzione: $t=\frac(x-3)(2)$. Si noti che entrambe le sostituzioni sono applicabili in questo caso, solo la seconda sostituzione ti permetterà di lavorare meno con le frazioni. Da $x\to(3)$, allora $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\destra| =\sinistra|\begin(allineato)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(allineato)\destra| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ a(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Risposta: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Esempio #10
Trova il limite $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.
Anche in questo caso abbiamo a che fare con l'incertezza di $\frac(0)(0)$. Prima di procedere alla sua espansione, è conveniente apportare una modifica alla variabile in modo tale che la nuova variabile tenda a zero (si noti che nelle formule la variabile è $\alpha\to(0)$). Il modo più semplice è introdurre la variabile $t=\frac(\pi)(2)-x$. Da $x\to\frac(\pi)(2)$, allora $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\sinistra|\frac(0)(0)\destra| =\sinistra|\begin(allineato)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(allineato)\destra| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
Risposta: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
Esempio #11
Trova i limiti $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
In questo caso, non dobbiamo usare il primo meraviglioso limite. Nota: sia nel primo che nel secondo limite sono presenti solo funzioni trigonometriche e numeri. Spesso, in esempi di questo tipo, è possibile semplificare l'espressione posta sotto il segno limite. In questo caso, dopo la citata semplificazione e riduzione di alcuni fattori, l'incertezza scompare. Ho dato questo esempio con un solo scopo: mostrare che la presenza di funzioni trigonometriche sotto il segno limite non significa necessariamente l'applicazione del primo limite notevole.
Poiché $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (ricorda che $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) e $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (ricordiamo che $\cos\frac(\pi)(2)=0$), allora abbiamo a che fare con l'incertezza della forma $\frac(0)(0)$. Tuttavia, questo non significa affatto che dobbiamo utilizzare il primo limite notevole. Per rivelare l'incertezza, è sufficiente tenere conto che $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\sinistra|\frac(0)(0)\destra| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
C'è una soluzione simile nel libro delle soluzioni di Demidovich (n. 475). Per quanto riguarda il secondo limite, come negli esempi precedenti di questa sezione, abbiamo un'incertezza della forma $\frac(0)(0)$. Perché sorge? Sorge perché $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ e $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Usiamo questi valori per trasformare le espressioni al numeratore e al denominatore. Lo scopo delle nostre azioni: scrivere la somma al numeratore e al denominatore come prodotto. A proposito, spesso è conveniente modificare una variabile all'interno di una forma simile in modo che la nuova variabile tenda a zero (vedi, ad esempio, gli esempi n. 9 o n. 10 in questa pagina). Tuttavia, nel questo esempio non ha senso sostituire la variabile, sebbene, se lo si desidera, la modifica della variabile $t=x-\frac(2\pi)(3)$ sia facile da implementare.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ a\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\destra)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$
Come puoi vedere, non abbiamo dovuto applicare il primo meraviglioso limite. Naturalmente, questo può essere fatto se lo si desidera (vedi nota sotto), ma non è necessario.
Quale sarebbe la soluzione utilizzando il primo limite notevole? mostra nascondi
Usando il primo limite notevole, otteniamo:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ destra))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Risposta: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
Il primo limite notevole viene spesso utilizzato per calcolare i limiti contenenti seno, arcoseno, tangente, arcotangente e le incertezze risultanti zero diviso per zero.
La formula per il primo limite notevole è: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$
Notiamo che $ \alpha\to 0 $ restituisce $ \sin\alpha \to 0 $, quindi abbiamo zeri nel numeratore e nel denominatore. Pertanto, la formula del primo limite notevole è necessaria per rivelare le incertezze di $ \frac(0)(0) $.
Affinché la formula si applichi, devono essere soddisfatte due condizioni:
Attenzione! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Sebbene le espressioni sotto il seno e al denominatore siano le stesse, tuttavia $ 2x ^2+1 = 1 $, quando $ x\fino a 0 $. La seconda condizione non è soddisfatta, quindi la formula NON può essere applicata!
Abbastanza raramente, nei compiti puoi vedere un primo meraviglioso limite netto in cui potresti scrivere immediatamente la risposta. In pratica tutto sembra un po' più complicato, ma in questi casi sarà utile conoscere le conseguenze del primo limite notevole. Grazie a loro, puoi calcolare rapidamente i limiti desiderati.
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$
Consideriamo il primo limite notevole, esempi della cui soluzione per il calcolo dei limiti contenenti funzioni trigonometriche e incertezza $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $
| Esempio 1 |
| Calcola $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $ |
| Soluzione |
|
Considera il limite e nota che contiene un seno. Successivamente, sostituiamo $ x = 0 $ al numeratore e al denominatore e otteniamo l'incertezza di zero divisa per zero: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)( 0) $$ Già due segni che devi applicare un limite meraviglioso, ma c'è una piccola sfumatura: non saremo in grado di applicare immediatamente la formula, poiché l'espressione sotto il segno del seno differisce dall'espressione al denominatore. E abbiamo bisogno che siano uguali. Pertanto, con l'aiuto di trasformazioni elementari del numeratore, lo trasformeremo in $2x$. Per fare ciò, elimineremo il due dal denominatore della frazione di un fattore separato. Si presenta così: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ , che alla fine $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ è stato ottenuto dalla formula. Se non riesci a risolvere il tuo problema, inviacelo. Forniremo una soluzione dettagliata. Potrai familiarizzare con lo stato di avanzamento del calcolo e raccogliere informazioni. Questo ti aiuterà a ottenere un credito dall'insegnante in modo tempestivo! |
| Risposta |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$ |
| Esempio 2 |
| Trova $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ |
| Soluzione |
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Come sempre, devi prima conoscere il tipo di incertezza. Se è zero diviso per zero, allora prestiamo attenzione alla presenza di un seno: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Questa incertezza ci permette di usare la formula del primo limite notevole, ma l'espressione dal denominatore non è uguale all'argomento del seno? Pertanto, è impossibile applicare la formula "sulla fronte". Devi moltiplicare e dividere la frazione per l'argomento seno: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x-x^ 4)(x ^3+2x)) = $$ Ora descriviamo le proprietà dei limiti: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x-x^4 )\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ Il secondo limite si adatta alla formula ed è uguale a uno: $ $ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x)(2x- x^4) = $$ Sostituisci di nuovo $ x = 0 $ in una frazione e ottieni l'incertezza $ \frac(0)(0) $. Per eliminarlo basta togliere $ x $ da parentesi e ridurlo: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^^ 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$ |
| Risposta |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$ |
| Esempio 4 |
| Calcola $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $ |
| Soluzione |
|
Iniziamo il calcolo sostituendo $ x=0 $. Di conseguenza, otteniamo l'incertezza $ \frac(0)(0) $. Il limite contiene un seno e una tangente, che allude a un possibile sviluppo della situazione utilizzando la formula del primo limite notevole. Trasformiamo il numeratore e denominatore della frazione in una formula e una conseguenza: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Ora vediamo al numeratore e al denominatore che ci sono espressioni adatte alla formula e alle conseguenze. L'argomento seno e l'argomento tangente sono gli stessi per i rispettivi denominatori $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$ |
| Risposta |
| $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$ |
Nell'articolo: "Il primo limite notevole, esempi di soluzioni" si è parlato dei casi in cui è opportuno utilizzare questa formula e delle sue conseguenze.
Il termine "limite notevole" è ampiamente utilizzato nei libri di testo e aiuti per l'insegnamento per indicare identità importanti che aiutano in modo significativo semplificare il lavoro per trovare dei limiti.
Ma a essere in grado di portare il suo limite al meraviglioso, devi guardarlo bene, perché non si trovano dentro forma diretta, e spesso sotto forma di corollari, corredati di termini e fattori aggiuntivi. Tuttavia, prima la teoria, poi gli esempi e ci riuscirai!
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Il primo limite notevole è scritto come segue (un'incertezza della forma $0/0$):
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$
Esempio 1 Limite di calcolo $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$
Soluzione. Il primo passaggio è sempre lo stesso: sostituiamo il valore limite $x=0$ nella funzione e otteniamo:
$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$
Abbiamo un'incertezza della forma $\left[\frac(0)(0)\right]$, che dovrebbe essere risolta. A ben guardare, il limite originale è molto simile al primo notevole, ma non coincide con esso. Il nostro compito è portare alla somiglianza. Trasformiamolo in questo modo: osserva l'espressione sotto il seno, fai lo stesso al denominatore (relativamente parlando, moltiplichiamo e dividi per $ 3x $), riduci e semplifica ulteriormente:
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$
Sopra, il primo meraviglioso limite è stato ottenuto: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text( ha effettuato una sostituzione condizionale ) y=3x. $$ Risposta: $3/8$.
Esempio 2 Limite di calcolo $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$
Soluzione. Sostituiamo il valore limite $x=0$ nella funzione e otteniamo:
$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\destra].$$
Abbiamo un'incertezza della forma $\left[\frac(0)(0)\right]$. Trasformiamo il limite, utilizzando il primo meraviglioso limite in semplificazione (tre volte!):
$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$
Risposta: $9/16$.
Esempio 3 Trova il limite $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$
Soluzione. Ma cosa succede se c'è un'espressione complessa sotto la funzione trigonometrica? Non importa, e qui agiamo allo stesso modo. Innanzitutto, controlla il tipo di incertezza, sostituisci $x=0$ nella funzione e ottieni:
$$\sinistra[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\destra] = \sinistra[\frac(0)(0)\destra].$$
Abbiamo un'incertezza della forma $\left[\frac(0)(0)\right]$. Moltiplica e dividi per $2x^3+3x$:
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \sinistra[\frac(0)(0)\destra] = $$
Ancora una volta ho avuto l'incertezza, ma in questo caso è solo una frazione. Riduciamo numeratore e denominatore di $x$:
$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$
Risposta: $3/5$.
Il secondo limite notevole è scritto come segue (indeterminatezza della forma $1^\infty$):
$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\a 0) \sinistra(1+x\destra)^(1/x)=e. $$
Esempio 4 Trova il limite $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$
Soluzione. Controlliamo il tipo di incertezza, sostituiamo $x=\infty$ nella funzione e otteniamo:
$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$
Abbiamo un'incertezza della forma $\left$. Il limite si può ridurre al secondo notevole. Trasformiamo:
$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\destra)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$$
L'espressione tra parentesi è in realtà il secondo meraviglioso limite $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, solo $t=- 3x/2$, quindi
$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$
Risposta:$e^(-2/3)$.
Esempio 5 Trova il limite $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $
Soluzione. Sostituisci $x=\infty$ nella funzione e ottieni l'incertezza della forma $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. E abbiamo bisogno di $\left$. Quindi iniziamo convertendo l'espressione tra parentesi:
$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\destra)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\destra)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $ $
L'espressione tra parentesi è in realtà il secondo meraviglioso limite $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, solo $t=\ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, quindi
$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$
Trova meravigliosi limitiè difficile non solo per molti studenti del primo, secondo anno di studio che studiano la teoria dei limiti, ma anche per alcuni docenti.
Conseguenze del primo limite notevole
scrivi le formule
1. 2. 3. 4. Ma di per sé, le formule generali dei limiti notevoli non aiutano nessuno in un esame o una prova. La linea di fondo è che i compiti reali sono costruiti in modo che le formule scritte sopra debbano ancora essere raggiunte. E la maggior parte degli studenti che saltano le lezioni, studiano questo corso per corrispondenza o hanno insegnanti che non sempre capiscono di cosa stanno spiegando, non riescono a calcolare gli esempi più elementari fino a limiti notevoli. Dalle formule del primo limite notevole, vediamo che possono essere utilizzate per indagare incertezze come zero diviso per zero per espressioni con funzioni trigonometriche. Consideriamo prima una serie di esempi sul primo limite notevole, quindi studieremo il secondo limite notevole.
Esempio 1. Trova il limite della funzione sin(7*x)/(5*x)
Soluzione: come puoi vedere, la funzione sotto il limite è vicina al primo limite notevole, ma il limite della funzione stessa non è sicuramente uguale a uno. In tali assegnazioni ai limiti, si dovrebbe individuare al denominatore una variabile con lo stesso coefficiente che è contenuta nella variabile sotto il seno. In questo caso, dividi e moltiplica per 7
Ad alcuni, tali dettagli sembreranno superflui, ma per la maggior parte degli studenti che hanno difficoltà a porre limiti, aiuteranno a comprendere meglio le regole e ad apprendere il materiale teorico.
Inoltre, se esiste una forma inversa della funzione, questo è anche il primo meraviglioso limite. E tutto perché il meraviglioso limite è uguale a uno
La stessa regola vale per le conseguenze di 1 limite notevole. Pertanto, se ti viene chiesto "Qual è il primo meraviglioso limite?" Devi rispondere senza esitazione che si tratta di un'unità.
Esempio 2. Trova il limite della funzione sin(6x)/tan(11x)
Soluzione: per capire il risultato finale, scriviamo la funzione nel modulo 
Per applicare le regole del limite notevole moltiplicare e dividere per fattori
Successivamente, scriviamo il limite del prodotto delle funzioni in termini del prodotto dei limiti 
Senza formule complicate, abbiamo trovato il limite di alcune funzioni trigonometriche. Per assimilazione formule semplici prova a inventare e trovare il limite su 2 e 4, la formula del corollario 1 del meraviglioso limite. Prenderemo in considerazione compiti più complessi.
Esempio 3. Calcola il limite (1-cos(x))/x^2
Soluzione: quando controlliamo per sostituzione, otteniamo l'incertezza 0/0 . Molti non sanno come ridurre un tale esempio a 1 meraviglioso limite. Qui dovresti usare formula trigonometrica 
In questo caso, il limite verrà trasformato in una forma chiara 
Siamo riusciti a ridurre la funzione al quadrato di un limite notevole.
Esempio 4. Trova il limite
Soluzione: durante la sostituzione, otteniamo la caratteristica familiare 0/0 . Tuttavia, la variabile si avvicina a Pi , non a zero. Pertanto, per applicare il primo limite notevole, eseguiremo tale modifica nella variabile x, in modo che la nuova variabile vada a zero. Per fare ciò, indichiamo il denominatore come la nuova variabile Pi-x=y 
Pertanto, utilizzando la formula trigonometrica, data nel compito precedente, l'esempio viene ridotto a 1 limite notevole.
Esempio 5 Calcola limite 
Soluzione: all'inizio non è chiaro come semplificare i limiti. Ma se c'è un esempio, allora ci deve essere una risposta. Il fatto che la variabile vada all'unità dà, in sostituzione, una singolarità della forma zero moltiplicata per infinito, quindi la tangente deve essere sostituita dalla formula 
Successivamente, otteniamo l'incertezza desiderata 0/0. Successivamente, eseguiamo un cambio di variabili nel limite e utilizziamo la periodicità della cotangente 
Le ultime sostituzioni ci consentono di utilizzare il Corollario 1 del limite notevole.
Questo è un classico al quale nei problemi reali non è sempre facile arrivare ai limiti.
Per i calcoli avrai bisogno i limiti sono conseguenze del secondo limite notevole:
1. 
2. 
3. 
4.
Grazie al secondo limite notevole e alle sue conseguenze, si possono esplorare incertezze come lo zero diviso per zero, uno alla potenza dell'infinito e l'infinito diviso per l'infinito, e anche allo stesso grado. 
Cominciamo con alcuni semplici esempi.
Esempio 6 Trova il limite di una funzione
Soluzione: l'applicazione diretta di 2 meravigliosi limiti non funzionerà. Per prima cosa devi ruotare l'indicatore in modo che abbia la forma inversa al termine tra parentesi 
Questa è la tecnica di riduzione al 2 limite notevole e, di fatto, la derivazione della formula 2 della conseguenza del limite.
Esempio 7 Trova il limite di una funzione
Soluzione: Abbiamo compiti per la formula 3 del corollario 2 del limite notevole. La sostituzione zero dà una singolarità della forma 0/0. Per aumentare il limite sotto la regola, giriamo il denominatore in modo che la variabile abbia lo stesso coefficiente del logaritmo 
È anche facile da capire ed eseguire l'esame. Le difficoltà degli studenti nel calcolo dei limiti iniziano con i seguenti compiti.
Esempio 8 Calcola il limite della funzione[(x+7)/(x-3)]^(x-2) 
Soluzione: abbiamo una singolarità di tipo 1 alla potenza dell'infinito. Se non mi credi, puoi sostituire l'infinito invece di "x" ovunque e vedere di persona. Per aumentare sotto la regola, dividiamo il numeratore per il denominatore tra parentesi, per questo eseguiamo prima le manipolazioni 
Sostituisci l'espressione nel limite e trasformala nel 2 meraviglioso limite 
Il limite è l'esponente della potenza di 10. Le costanti che sono termini con una variabile sia tra parentesi che il grado non contribuiscono con alcun "tempo" - questo dovrebbe essere ricordato. E se gli insegnanti ti chiedono: "Perché non giri l'indicatore?" (Per questo esempio in x-3 ), quindi dì che "Quando una variabile tende all'infinito, aggiungi 100 o sottrai 1000 e il limite rimarrà lo stesso!".
C'è un secondo modo per calcolare i limiti di questo tipo. Ne parleremo nel prossimo compito.
Esempio 9 Trova il limite 
Soluzione: ora eliminiamo la variabile nel numeratore e nel denominatore e trasformiamo una caratteristica in un'altra. Per ottenere il valore finale utilizziamo la formula del Corollario 2 del limite notevole 
Esempio 10 Trova il limite di una funzione
Soluzione: non tutti possono trovare il limite indicato. Per aumentare il limite a 2, immagina che sin (3x) sia una variabile e devi trasformare l'esponente 
Successivamente, scriviamo l'indicatore come un grado in un grado 
Gli argomenti intermedi sono descritti tra parentesi. Come risultato dell'utilizzo del primo e del secondo meraviglioso limite, abbiamo ottenuto l'esponente al cubo.
Esempio 11. Calcola il limite della funzione sin(2*x)/log(3*x+1)
Soluzione: abbiamo un'incertezza della forma 0/0. Inoltre, vediamo che la funzione dovrebbe essere convertita all'uso di entrambi i meravigliosi limiti. Eseguiamo le precedenti trasformazioni matematiche 
Inoltre, senza difficoltà, il limite assume valore 
È così che ti sentirai a tuo agio su test, test, moduli se impari a dipingere rapidamente le funzioni e ridurle al primo o al secondo meraviglioso limite. Se è difficile per te memorizzare i metodi sopra indicati per trovare i limiti, puoi sempre ordinare test ai nostri limiti.
Per fare ciò, compila il modulo, specifica i dati e allega un file con esempi. Abbiamo aiutato molti studenti - possiamo aiutare anche te!
Ci sono molti meravigliosi limiti, ma i più famosi sono il primo e il secondo meraviglioso limite. La cosa notevole di questi limiti è che sono ampiamente usati e possono essere usati per trovare altri limiti incontrati in numerosi problemi. Questo è ciò che faremo nella parte pratica di questa lezione. Per risolvere problemi riducendo al primo o al secondo limite notevole, non è necessario svelare le incertezze in essi contenute, poiché i valori di questi limiti sono stati a lungo dedotti da grandi matematici.
Il primo limite notevole chiamato limite del rapporto tra il seno di un arco infinitamente piccolo e lo stesso arco, espresso in misura radiante:
Passiamo alla soluzione dei problemi sul primo limite notevole. Nota: se una funzione trigonometrica è sotto il segno limite, questo è quasi segno sicuro che questa espressione può essere ridotta al primo limite notevole.
Esempio 1 Trova il limite.
Soluzione. Sostituzione invece X zero porta all'incertezza:
.
Il denominatore è un seno, quindi l'espressione può essere ridotta al primo limite notevole. Iniziamo la trasformazione:
.
Nel denominatore - il seno di tre x, e nel numeratore c'è solo una x, il che significa che devi ottenere tre x nel numeratore. Per quello? Presentare 3 X = un e ottieni l'espressione
E arriviamo a una variazione del primo limite notevole:
perché non importa quale lettera (variabile) in questa formula sia invece di X.
Moltiplichiamo x per tre e subito dividiamo:
.
In accordo con il primo limite notevole annotato, sostituiamo l'espressione frazionaria:
Ora possiamo finalmente risolvere questo limite:
.
Esempio 2 Trova il limite.
Soluzione. La sostituzione diretta porta ancora una volta all'incertezza "divisione zero per zero":
.
Per ottenere il primo limite notevole, è necessario che la x sotto il segno del seno al numeratore e solo la x al denominatore abbiano lo stesso coefficiente. Lascia che questo coefficiente sia uguale a 2. Per fare ciò, immagina il coefficiente corrente in x come di seguito, eseguendo azioni con frazioni, otteniamo:
.
Esempio 3 Trova il limite.
Soluzione. Quando sostituiamo, otteniamo di nuovo l'incertezza "zero diviso per zero":
.
Probabilmente hai già capito che dall'espressione originale puoi ottenere il primo meraviglioso limite moltiplicato per il primo meraviglioso limite. Per fare ciò, scomponiamo i quadrati di x al numeratore e seno al denominatore negli stessi fattori, e per ottenere gli stessi coefficienti per x e seno, dividiamo x al numeratore per 3 e immediatamente moltiplichiamo per 3. Otteniamo:
.
Esempio 4 Trova il limite.
Soluzione. Di nuovo otteniamo l'incertezza "zero diviso per zero":
.
Possiamo ottenere il rapporto tra i primi due limiti notevoli. Dividiamo sia il numeratore che il denominatore per x. Quindi, affinché i coefficienti ai seni e a x coincidano, moltiplichiamo la x superiore per 2 e immediatamente dividiamo per 2, e moltiplichiamo la x inferiore per 3 e immediatamente dividiamo per 3. Otteniamo:
Esempio 5 Trova il limite.
Soluzione. E ancora, l'incertezza dello "zero diviso per zero":
Ricordiamo dalla trigonometria che la tangente è il rapporto tra seno e coseno e il coseno di zero è uguale a uno. Effettuiamo trasformazioni e otteniamo:
.
Esempio 6 Trova il limite.
Soluzione. funzione trigonometrica sotto il segno del limite ripropone l'idea di applicare il primo limite notevole. Lo rappresentiamo come il rapporto tra seno e coseno.
