Egy forgástest térfogata a képlettel számítható ki:
A képletben az integrál előtt egy számnak kell lennie. Így történt – minden, ami az életben forog, ehhez az állandóhoz kapcsolódik.
Az "a" és a "be" integráció határait beállítani, azt hiszem, könnyen kitalálható az elkészült rajzból.
Funkció... mi ez a függvény? Nézzük a rajzot. A lapos ábrát felül a parabola gráf határolja. Ez az a függvény, amely a képletben benne van.
Gyakorlati feladatokban esetenként egy lapos figura is elhelyezhető a tengely alatt. Ez nem változtat semmit - a képlet integrandusa négyzetes:, így az integrál mindig nem negatív , ami teljesen logikus.
Számítsa ki a forgástest térfogatát a következő képlettel:
Amint már megjegyeztem, az integrál szinte mindig egyszerűnek bizonyul, a lényeg az, hogy legyen óvatos.
Válasz: 
A válaszban meg kell adni a méretet - köbegységet. Vagyis a mi forgástestünkben körülbelül 3,35 "kocka" van. Miért pont köbös egységek? Mert a leguniverzálisabb megfogalmazás. Lehet köbcenti, lehet Köbméter, esetleg köbkilométer stb., ennyi kis zöld emberke fér bele a képzeleted egy repülő csészealjba.
2. példa
Határozza meg a vonalak által határolt ábra tengelye körüli elforgatással létrejövő test térfogatát,
Ez egy „csináld magad” példa. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.
Nézzünk meg két összetettebb problémát, amelyekkel a gyakorlatban is gyakran találkozunk.
3. példa
Számítsa ki a test térfogatát, amelyet az ábra abszcissza tengelye körüli elforgatásával kapunk, és amelyet a vonalak határolnak, és
Megoldás: Rajzoljunk a rajzba egy lapos ábrát ,,, vonalakkal határolva, közben ne felejtsük el, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt:
A kívánt figura kék árnyalatú. A tengely körül forogva egy ilyen szürreális, négy sarkú fánkot kapunk.
A forgástest térfogatát a következőképpen számítjuk ki testtérfogat különbség.
Először nézzük meg a pirossal bekarikázott ábrát. Amikor a tengely körül forog, csonka kúpot kapunk. Jelölje ennek a csonka kúpnak a térfogatát.
Tekintsük a zölddel bekarikázott ábrát. Ha forgatni ez az alak a tengely körül egy csonka kúpot is kapsz, csak egy kicsit kisebbet. A térfogatát jelöljük -vel.
És nyilván a térfogatkülönbség pontosan akkora, mint a mi „fánkunk”.
A forgástest térfogatának meghatározásához a standard képletet használjuk:
1) A pirossal bekarikázott alakot felülről egy egyenes határolja, ezért:
2) A zölddel bekarikázott ábrát felülről egy egyenes határolja, ezért:
3) A kívánt forgástest térfogata:
Válasz:
Kíváncsi, hogy be ez az eset a megoldás a csonka kúp térfogatának kiszámítására szolgáló iskolai képlet segítségével ellenőrizhető.
Maga a döntés gyakran lerövidül, valami ilyesmi:
Most tartsunk egy kis szünetet, és beszéljünk a geometriai illúziókról.
Az embereknek gyakran vannak illúziói a kötetekkel kapcsolatban, amire Perelman (egy másik) is felfigyelt a könyvben Érdekes geometria. Nézze meg a megoldott probléma lapos alakját - úgy tűnik, hogy kicsi a területe, és a forgástest térfogata valamivel több, mint 50 köbegység, ami túl nagynak tűnik. Egyébként az átlagember egész életében egy 18-as szoba térfogatú folyadékot iszik. négyzetméter, ami éppen ellenkezőleg, túl kicsinek tűnik.
Általában véve a Szovjetunió oktatási rendszere valóban a legjobb volt. Ugyanaz a Perelman-könyv, amelyet még 1950-ben adtak ki, nagyon jól fejleszt, ahogy a humorista mondta, okoskodni, és megtanít eredeti, nem szabványos megoldásokat keresni a problémákra. Mostanában nagy érdeklődéssel újraolvastam néhány fejezetet, ajánlom, még humanitáriusok számára is hozzáférhető. Nem, nem kell mosolyogni azon, hogy a beszpontosult időtöltést javasoltam, a műveltség és a széleskörű kommunikációs szemlélet nagyszerű dolog.
Egy lírai kitérő után csak illik dönteni kreatív feladat:
4. példa
Számítsd ki egy lapos alak tengelye körüli elforgatással keletkezett térfogatát, amelyet a vonalak határolnak,, ahol.
Ez egy „csináld magad” példa. Vegyük észre, hogy minden a sávban történik, más szóval, kész integrációs korlátok adottak. Helyesen rajzolja meg a trigonometrikus függvények grafikonjait, emlékeztetem a lecke anyagát gráfok geometriai transzformációi : ha az argumentum osztható kettővel: , akkor a grafikonokat kétszer nyújtjuk a tengely mentén. Kívánatos legalább 3-4 pontot találni trigonometrikus táblázatok szerint a rajz pontosabb befejezéséhez. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. A feladat egyébként racionálisan és nem túl racionálisan is megoldható.
A terület megtalálásának problémájához hasonlóan magabiztos rajzkészségre van szükség - ez szinte a legfontosabb (mivel maguk az integrálok gyakran könnyűek). Segítségével hozzáértő és gyors grafikus technikát sajátíthat el tananyagokés Geometriai gráf transzformációk. De valójában többször is beszéltem a rajzok fontosságáról a leckében.
Általánosságban elmondható, hogy az integrálszámításban nagyon sok érdekes alkalmazás található a segítségével határozott integrál Kiszámolhatja egy ábra területét, egy forgástest térfogatát, egy ív hosszát, egy fordulat felületét és még sok mást. Szóval jó móka lesz, légy optimista!
Képzelj el egy sík figurát Koordináta sík. Képviselt? ... Vajon ki mit mutatott be... =))) A területét már megtaláltuk. De emellett ez az ábra is elforgatható és kétféleképpen forgatható:
- az abszcissza tengely körül;
- az y tengely körül.
Ebben a cikkben mindkét esetet tárgyaljuk. A második forgatási mód különösen érdekes, ez okozza a legnagyobb nehézségeket, de valójában a megoldás szinte ugyanaz, mint az elterjedtebb x tengely körüli forgatásnál. Bónuszként visszatérek az ábra területének megtalálásának problémája, és elmondja, hogyan találhatja meg a területet a második módon - a tengely mentén. Nem is annyira bónusz, mint az anyag jól illeszkedik a témához.
Kezdjük a legnépszerűbb forgatási típussal.
1. példa
Számítsa ki a kapott test térfogatát, ha a vonalak által határolt ábrát a tengely körül elforgatjuk!
Megoldás: Mint a területi problémánál, a megoldás egy lapos figura rajzával kezdődik. Vagyis a síkon meg kell építeni egy , , vonallal határolt ábrát, miközben nem szabad elfelejteni, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt. A rajz racionálisabb és gyorsabb elkészítésének módja az oldalakon található Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságaiés Határozott integrál. Hogyan számítsuk ki az ábra területét. Ez egy kínai emlékeztető, és így tovább Ebben a pillanatban nem hagyom abba többé.
A rajz itt nagyon egyszerű:
A kívánt lapos figurát kékre árnyékoljuk, és ez a figura az, amely a tengely körül forog, elforgatás eredményeként olyan enyhén tojás alakú repülő csészealjat kapunk, amely szimmetrikus a tengelyre. Valójában a testnek van matematikai neve, de lusta valamit megadni a referenciakönyvben, ezért továbblépünk.
Egy forgástest térfogata a képlettel számítható ki:
A képletben az integrál előtt egy számnak kell lennie. Így történt – minden, ami az életben forog, ehhez az állandóhoz kapcsolódik.
Az "a" és a "be" integráció határait beállítani, azt hiszem, könnyen kitalálható az elkészült rajzból.
Funkció... mi ez a függvény? Nézzük a rajzot. A lapos ábrát felülről a parabola-gráf határolja. Ez az a függvény, amely a képletben benne van.
Gyakorlati feladatokban esetenként egy lapos figura is elhelyezhető a tengely alatt. Ez nem változtat semmit - a képlet integrandusa négyzetes: , így az integrál mindig nem negatív, ami teljesen logikus.
Számítsa ki a forgástest térfogatát a következő képlettel: 
Amint már megjegyeztem, az integrál szinte mindig egyszerűnek bizonyul, a lényeg az, hogy legyen óvatos.
Válasz: 
A válaszban meg kell adni a méretet - köbegységet. Vagyis a mi forgástestünkben körülbelül 3,35 "kocka" van. Miért pont köbös egységek? Mert a leguniverzálisabb megfogalmazás. Lehet köbcenti, lehet köbméter, lehet köbkilométer stb., ennyi kis zöld emberke fér bele egy repülő csészealjba.
2. példa
Határozza meg annak a testnek a térfogatát, amelyet a vonalak által határolt ábra tengelye körüli elforgatás okoz,
Ez egy „csináld magad” példa. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.
Nézzünk meg két összetettebb problémát, amelyekkel a gyakorlatban is gyakran találkozunk.
3. példa
Számítsa ki a test térfogatát, amelyet a , és a vonalak által határolt ábra abszcissza tengelye körüli elforgatással kapunk
Megoldás: Rajzoljon a rajzon egy lapos alakzatot , , , , vonalakkal határolva, de ne felejtse el, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt:
A kívánt figura kék árnyalatú. A tengely körül forogva egy ilyen szürreális, négy sarkú fánkot kapunk.
A forgástest térfogatát a következőképpen számítjuk ki testtérfogat különbség.
Először nézzük meg a pirossal bekarikázott ábrát. Amikor a tengely körül forog, csonka kúpot kapunk. Jelöljük ennek a csonka kúpnak a térfogatát .
Tekintsük a zölddel bekarikázott ábrát. Ha ezt az ábrát a tengely körül elforgatod, akkor egy csonka kúpot is kapsz, csak kicsit kisebbet. A térfogatát jelöljük -vel.
És nyilván a térfogatkülönbség pontosan akkora, mint a mi „fánkunk”.
A forgástest térfogatának meghatározásához a standard képletet használjuk: 
1) A pirossal bekarikázott alakot felülről egy egyenes határolja, ezért:
2) A zölddel bekarikázott ábrát felülről egy egyenes határolja, ezért:
3) A kívánt forgástest térfogata: 
Válasz: 
Érdekes, hogy ebben az esetben a megoldást a csonka kúp térfogatának kiszámítására szolgáló iskolai képlet segítségével lehet ellenőrizni.
Maga a döntés gyakran lerövidül, valami ilyesmi: 
Most tartsunk egy kis szünetet, és beszéljünk a geometriai illúziókról.
Az embereknek gyakran vannak illúziói a kötetekkel kapcsolatban, amire Perelman (egy másik) is felfigyelt a könyvben Érdekes geometria. Nézze meg a megoldott probléma lapos alakját - úgy tűnik, hogy kicsi a területe, és a forgástest térfogata valamivel több, mint 50 köbegység, ami túl nagynak tűnik. Mellesleg, az átlagember egész életében 18 négyzetméteres helyiség térfogatú folyadékot iszik, amely éppen ellenkezőleg, túl kicsinek tűnik.
Általában véve a Szovjetunió oktatási rendszere valóban a legjobb volt. Ugyanaz a Perelman-könyv, amelyet még 1950-ben adtak ki, nagyon jól fejleszt, ahogy a humorista mondta, okoskodni, és megtanít eredeti, nem szabványos megoldásokat keresni a problémákra. Mostanában nagy érdeklődéssel újraolvastam néhány fejezetet, ajánlom, még humanitáriusok számára is hozzáférhető. Nem, nem kell mosolyogni azon, hogy a beszpontosult időtöltést javasoltam, a műveltség és a széleskörű kommunikációs szemlélet nagyszerű dolog.
Egy lírai kitérő után éppen illik kreatív feladatot megoldani:
4. példa
Számítsa ki a , , egyenesekkel határolt lapos alak tengelye körüli elforgatással létrejött test térfogatát.
Ez egy „csináld magad” példa. Vegyük észre, hogy minden a sávban történik, más szóval, kész integrációs korlátok adottak. Helyezze el a grafikát trigonometrikus függvények, idézd fel az óra anyagát arról gráfok geometriai transzformációi: ha az argumentum osztható kettővel: , akkor a grafikonokat kétszer nyújtjuk a tengely mentén. Kívánatos legalább 3-4 pontot találni trigonometrikus táblázatok szerint a rajz pontosabb befejezéséhez. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. A feladat egyébként racionálisan és nem túl racionálisan is megoldható.
A második bekezdés még érdekesebb lesz, mint az első. Az y tengely körüli forgástest térfogatának kiszámítása is meglehetősen gyakori vendég ellenőrzési munka. Mellesleg figyelembe kell venni az ábra területének megtalálásának problémája a második út - a tengely mentén történő integráció, ez lehetővé teszi nemcsak készségeinek fejlesztését, hanem megtanítja Önt, hogyan találja meg a legjövedelmezőbb megoldást. Praktikus is van benne élet értelme! A matematikatanítási módszereket tanító tanárom mosolyogva emlékezett vissza, sok végzős a következő szavakkal köszönte meg: „A tantárgyad sokat segített nekünk, most hatékony menedzserekés optimálisan irányítani a személyzetet. Megragadva az alkalmat, nagy köszönetemet is kifejezem neki, főleg, hogy a megszerzett tudást rendeltetésszerűen használom =).
Mindenkinek ajánlom olvasásra, még komplett bábuknak is. Ezenkívül a második bekezdés asszimilált anyaga felbecsülhetetlen segítséget jelent a kettős integrálok kiszámításához.
5. példa
Adott egy lapos alak vonalak határolják , , .
1) Keresse meg egy lapos alak területét, amelyet ezek a vonalak határolnak.
2) Határozzuk meg a test térfogatát, amelyet ezen vonalak által határolt lapos alak tengely körüli elforgatásával kapunk!
Figyelem! Még akkor is, ha először csak a második bekezdést szeretné elolvasni szükségszerűen olvasd el az elsőt!
Megoldás: A feladat két részből áll. Kezdjük a négyzettel.
1) Végezzük el a rajzot:
Könnyen belátható, hogy a függvény a parabola felső ágát, a függvény pedig a parabola alsó ágát határozza meg. Előttünk egy triviális parabola, amely "az oldalán fekszik".
A kívánt figura, amelynek területe megtalálható, kék színű.
Hogyan lehet megtalálni egy figura területét? Megtalálható a "szokásos" módon, amiről a leckében szó volt. Határozott integrál. Hogyan számítsuk ki az ábra területét. Ezenkívül az ábra területe a területek összegeként található:
- a szegmensen 
;
- a szegmensen.
Ezért:
Mi a baj ebben az esetben a szokásos megoldással? Először is két integrál van. Másodszor, az integrálok alatti gyökök, illetve az integrálokban lévő gyökök nem ajándék, sőt, az integráció határainak helyettesítésében is megzavarodhatunk. Valójában az integrálok persze nem halálosak, de a gyakorlatban minden sokkal szomorúbb, csak „jobb” függvényeket vettem fel a feladathoz.
Létezik racionálisabb megoldás is: ez az átmenetből áll inverz függvényekés a tengely mentén történő integráció.
Hogyan lehet áttérni inverz függvényekre? Nagyjából az "x"-t "y"-n keresztül kell kifejeznie. Először is foglalkozzunk a parabolával:
Ennyi is elég, de ügyeljünk arra, hogy az alsó ágból is származtatható-e ugyanaz a függvény:
Egyenes vonallal minden könnyebb:
Most nézze meg a tengelyt: kérjük, időnként döntse el fejét 90 fokkal jobbra, miközben magyarázza (ez nem vicc!). A számunkra szükséges ábra a szegmensen fekszik, amelyet a piros pontozott vonal jelöl. Ezenkívül a szegmensen az egyenes a parabola felett helyezkedik el, ami azt jelenti, hogy az ábra területét a már ismert képlet segítségével kell megtalálni: 
. Mi változott a képletben? Csak egy levél, és semmi több.
! jegyzet: A tengely mentén integrálási határokat kell beállítani szigorúan alulról felfelé!
A terület megkeresése:
A szegmensben tehát: 
Ügyeljen arra, hogyan végeztem az integrációt, ez a legracionálisabb módja, és a feladat következő bekezdésében kiderül, hogy miért.
Azok az olvasók, akik kételkednek az integráció helyességében, származékokat találok: 
A rendszer megkapja az eredeti integrandust, ami azt jelenti, hogy az integráció megfelelően történik.
Válasz:
2) Számítsa ki a test térfogatát, amelyet ennek az alaknak a tengely körüli elforgatása képez!
A rajzot átrajzolom egy kicsit más dizájnban:
Tehát a kékkel árnyékolt ábra a tengely körül forog. Az eredmény egy "lebegő pillangó", amely a tengelye körül forog.
A forgástest térfogatának meghatározásához a tengely mentén integráljuk. Először is át kell térnünk az inverz függvényekre. Ezt már megtettük, és az előző bekezdésben részletesen leírtuk.
Most ismét jobbra döntjük a fejünket, és tanulmányozzuk az alakunkat. Nyilvánvalóan a forgástest térfogatát a térfogatok közötti különbségként kell keresni.
A pirossal bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, így csonka kúpot kapunk. Jelöljük ezt a kötetet -vel.
A zölddel bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, és a kapott forgástest térfogatán keresztül jelöljük.
Pillangónk térfogata megegyezik a térfogatok különbségével.
A forradalomtest térfogatának meghatározásához a következő képletet használjuk: 
Miben különbözik az előző bekezdés képletétől? Csak betűkkel.
És itt van az integráció előnye, amiről régebben beszéltem, sokkal könnyebb megtalálni 
mint az integrandot a 4. hatványra emelni.
Válasz: 
Azonban egy beteges pillangó.
Vegye figyelembe, hogy ha ugyanazt a lapos alakot forgatjuk a tengely körül, akkor teljesen más forgástest alakul ki, természetesen más térfogatú.
6. példa
Adott egy vonallal határolt lapos ábra és egy tengely.
1) Menjen az inverz függvényekhez, és keresse meg egy lapos alakzat területét, amelyet ezek a vonalak határolnak a változó feletti integrálással.
2) Számítsa ki a kapott test térfogatát, ha egy lapos alakzatot forgatunk a tengely körül, amelyet ezek a vonalak határolnak!
Ez egy „csináld magad” példa. Aki szeretne, az a „szokásos” módon is megtalálhatja az ábra területét, ezzel kitöltve az 1. pont tesztjét. De ha, ismétlem, egy lapos figurát forgatsz a tengely körül, akkor egy teljesen más forgástestet kapsz más hangerővel, mellesleg a helyes választ (a megoldani szeretőknek is).
A feladat két javasolt tételének teljes megoldása az óra végén.
Ja, és ne felejtsd el jobbra dönteni a fejed, hogy megértsd a forgástesteket és az integráción belül!
A forgástest térfogata a következő képlettel számítható ki:
A képletben az integrál előtt egy számnak kell lennie. Így történt – minden, ami az életben forog, ehhez az állandóhoz kapcsolódik.
Az "a" és a "be" integráció határait beállítani, azt hiszem, könnyen kitalálható az elkészült rajzból.
Funkció... mi ez a függvény? Nézzük a rajzot. A lapos ábrát felülről a parabola-gráf határolja. Ez az a függvény, amely a képletben benne van.
Gyakorlati feladatokban esetenként egy lapos figura is elhelyezhető a tengely alatt. Ez nem változtat semmit - a képletben a függvény négyzetes: , így egy forradalomtest térfogata mindig nem negatív, ami teljesen logikus.
Számítsa ki a forgástest térfogatát a következő képlettel: 
Amint már megjegyeztem, az integrál szinte mindig egyszerűnek bizonyul, a lényeg az, hogy legyen óvatos.
Válasz: 
A válaszban meg kell adni a méretet - köbegységet. Vagyis a mi forgástestünkben körülbelül 3,35 "kocka" van. Miért pont köbös egységek? Mert a leguniverzálisabb megfogalmazás. Lehet köbcenti, lehet köbméter, lehet köbkilométer stb., ennyi kis zöld emberke fér bele egy repülő csészealjba.
2. példa
Határozza meg annak a testnek a térfogatát, amelyet a vonalak által határolt ábra tengelye körüli elforgatás okoz,
Ez egy „csináld magad” példa. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.
Nézzünk meg két összetettebb problémát, amelyekkel a gyakorlatban is gyakran találkozunk.
3. példa
Számítsa ki a test térfogatát, amelyet a , és a vonalak által határolt ábra abszcissza tengelye körüli elforgatással kapunk
Megoldás:Ábrázoljunk a rajzon egy , , , , vonalakkal határolt lapos ábrát, ne felejtsük el, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt:
A kívánt figura kék árnyalatú. A tengely körül forogva egy ilyen szürreális, négy sarkú fánkot kapunk.
A forgástest térfogatát a következőképpen számítjuk ki testtérfogat különbség.
Először nézzük meg a pirossal bekarikázott ábrát. Amikor a tengely körül forog, csonka kúpot kapunk. Jelöljük ennek a csonka kúpnak a térfogatát .
Tekintsük a zölddel bekarikázott ábrát. Ha ezt az ábrát a tengely körül elforgatod, akkor egy csonka kúpot is kapsz, csak kicsit kisebbet. A térfogatát jelöljük -vel.
És nyilván a térfogatkülönbség pontosan akkora, mint a mi „fánkunk”.
A forgástest térfogatának meghatározásához a standard képletet használjuk:
1) A pirossal bekarikázott alakot felülről egy egyenes határolja, ezért:
2) A zölddel bekarikázott ábrát felülről egy egyenes határolja, ezért:
3) A kívánt forgástest térfogata: 
Válasz: 
Érdekes, hogy ebben az esetben a megoldást a csonka kúp térfogatának kiszámítására szolgáló iskolai képlet segítségével lehet ellenőrizni.
Maga a döntés gyakran lerövidül, valami ilyesmi: 
Most tartsunk egy kis szünetet, és beszéljünk a geometriai illúziókról.
Az embereknek gyakran vannak illúziói a kötetekkel kapcsolatban, amit Perelman (nem ugyanaz) vett észre a könyvben Érdekes geometria. Nézze meg a megoldott probléma lapos alakját - úgy tűnik, hogy kicsi a területe, és a forgástest térfogata valamivel több, mint 50 köbegység, ami túl nagynak tűnik. Mellesleg, az átlagember egész életében 18 négyzetméteres helyiség térfogatú folyadékot iszik, amely éppen ellenkezőleg, túl kicsinek tűnik.
Általában véve a Szovjetunió oktatási rendszere valóban a legjobb volt. Ugyanaz a Perelman-könyv, amelyet még 1950-ben írt, nagyon jól fejleszt, ahogy a humorista mondta, érvelést, és megtanít eredeti, nem szabványos megoldásokat keresni a problémákra. Mostanában nagy érdeklődéssel újraolvastam néhány fejezetet, ajánlom, még humanitáriusok számára is hozzáférhető. Nem, nem kell mosolyogni azon, hogy a beszpontosult időtöltést javasoltam, a műveltség és a széleskörű kommunikációs szemlélet nagyszerű dolog.
Egy lírai kitérő után éppen illik kreatív feladatot megoldani:
4. példa
Számítsa ki a , , egyenesekkel határolt lapos alak tengelye körüli elforgatással létrejött test térfogatát.
Ez egy „csináld magad” példa. Vedd figyelembe, hogy a zenekarban minden megtörténik, vagyis szinte kész integrációs határok adottak. Próbálja meg helyesen megrajzolni a trigonometrikus függvények grafikonjait is, ha az argumentumot kettővel osztjuk: , akkor a grafikonokat kétszer nyújtjuk a tengely mentén. Próbálj meg legalább 3-4 pontot találni trigonometrikus táblázatok szerintés pontosabbá tegye a rajzot. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. A feladat egyébként racionálisan és nem túl racionálisan is megoldható.
A forgással képzett test térfogatának kiszámítása
tengely körül lapos alak
A második bekezdés még érdekesebb lesz, mint az első. Az y tengely körüli forgástest térfogatának kiszámítása is meglehetősen gyakori látogató a tesztekben. Mellesleg figyelembe kell venni az ábra területének megtalálásának problémája a második út - a tengely mentén történő integráció, ez lehetővé teszi nemcsak készségeinek fejlesztését, hanem megtanítja Önt, hogyan találja meg a legjövedelmezőbb megoldást. Ennek gyakorlati jelentése is van! A matematikatanítási módszereket tanító tanárom mosolyogva emlékezett vissza, sok végzős a következő szavakkal köszönte meg: „A tantárgya sokat segített nekünk, most már hatékony vezetők vagyunk, és optimálisan irányítjuk munkatársainkat.” Megragadva az alkalmat, nagy köszönetemet is kifejezem neki, főleg, hogy a megszerzett tudást rendeltetésszerűen használom =).
5. példa
Adott egy lapos ábra, amelyet vonalak határolnak , , .
1) Keresse meg egy lapos alak területét, amelyet ezek a vonalak határolnak.
2) Határozzuk meg a test térfogatát, amelyet ezen vonalak által határolt lapos alak tengely körüli elforgatásával kapunk!
Figyelem! Még akkor is, ha először csak a második bekezdést szeretné elolvasni szükségszerűen olvasd el az elsőt!
Megoldás: A feladat két részből áll. Kezdjük a négyzettel.
1) Végezzük el a rajzot:
Könnyen belátható, hogy a függvény a parabola felső ágát, a függvény pedig a parabola alsó ágát határozza meg. Előttünk egy triviális parabola, amely "az oldalán fekszik".
A kívánt figura, amelynek területe megtalálható, kék színű.
Hogyan lehet megtalálni egy figura területét? Megtalálható a "szokásos" módon, amiről a leckében szó volt. Határozott integrál. Hogyan számítsuk ki az ábra területét. Ezenkívül az ábra területe a területek összegeként található:
- a szegmensen 
;
- a szegmensen.
Ezért:
Mi a baj ebben az esetben a szokásos megoldással? Először is két integrál van. Másodszor, az integrálok alatti gyökök, illetve az integrálokban lévő gyökök nem ajándék, sőt, az integráció határainak helyettesítésében is megzavarodhatunk. Valójában az integrálok persze nem halálosak, de a gyakorlatban minden sokkal szomorúbb, csak „jobb” függvényeket vettem fel a feladathoz.
Van egy racionálisabb megoldás is: ez az inverz függvényekre való áttérésből és a tengely mentén történő integrációból áll.
Hogyan lehet áttérni inverz függvényekre? Nagyjából az "x"-t "y"-n keresztül kell kifejeznie. Először is foglalkozzunk a parabolával:
Ennyi is elég, de ügyeljünk arra, hogy az alsó ágból is származtatható-e ugyanaz a függvény:
Egyenes vonallal minden könnyebb:
Most nézze meg a tengelyt: kérjük, időnként döntse el fejét 90 fokkal jobbra, miközben magyarázza (ez nem vicc!). A számunkra szükséges ábra a szegmensen fekszik, amelyet a piros pontozott vonal jelöl. Ezenkívül a szegmensen az egyenes a parabola felett helyezkedik el, ami azt jelenti, hogy az ábra területét a már ismert képlet segítségével kell megtalálni: 
. Mi változott a képletben? Csak egy levél, és semmi több.
! Megjegyzés: A tengely mentén történő integráció határait be kell állítani szigorúan alulról felfelé!
A terület megkeresése:
A szegmensben tehát: 
Ügyeljen arra, hogyan végeztem az integrációt, ez a legracionálisabb módja, és a feladat következő bekezdésében kiderül, hogy miért.
Azok az olvasók, akik kételkednek az integráció helyességében, származékokat találok: 
A rendszer megkapja az eredeti integrandust, ami azt jelenti, hogy az integráció megfelelően történik.
Válasz:
2) Számítsa ki a test térfogatát, amelyet ennek az alaknak a tengely körüli elforgatása képez!
A rajzot átrajzolom egy kicsit más dizájnban:
Tehát a kékkel árnyékolt ábra a tengely körül forog. Az eredmény egy "lebegő pillangó", amely a tengelye körül forog.
A forgástest térfogatának meghatározásához a tengely mentén integráljuk. Először is át kell térnünk az inverz függvényekre. Ezt már megtettük, és az előző bekezdésben részletesen leírtuk.
Most ismét jobbra döntjük a fejünket, és tanulmányozzuk az alakunkat. Nyilvánvalóan a forgástest térfogatát a térfogatok közötti különbségként kell keresni.
A pirossal bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, így csonka kúpot kapunk. Jelöljük ezt a kötetet -vel.
A zölddel bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, és a kapott forgástest térfogatán keresztül jelöljük.
Pillangónk térfogata megegyezik a térfogatok különbségével.
A forradalomtest térfogatának meghatározásához a következő képletet használjuk: 
Miben különbözik az előző bekezdés képletétől? Csak betűkkel.
És itt van az integráció előnye, amiről régebben beszéltem, sokkal könnyebb megtalálni 
mint előzetesen a 4. hatványra emelni az integrandust.
Válasz: 
Azonban egy beteges pillangó.
Vegye figyelembe, hogy ha ugyanazt a lapos alakot forgatjuk a tengely körül, akkor teljesen más forgástest alakul ki, természetesen más térfogatú.
6. példa
Adott egy vonallal határolt lapos ábra és egy tengely.
1) Menjen az inverz függvényekhez, és keresse meg egy lapos alakzat területét, amelyet ezek a vonalak határolnak a változó feletti integrálással.
2) Számítsa ki a kapott test térfogatát, ha egy lapos alakzatot forgatunk a tengely körül, amelyet ezek a vonalak határolnak!
tengely körül lapos alak
3. példa
Adott egy lapos ábra, amelyet vonalak határolnak , , .
1) Keresse meg egy lapos alak területét, amelyet ezek a vonalak határolnak.
2) Határozzuk meg a test térfogatát, amelyet ezen vonalak által határolt lapos alak tengely körüli elforgatásával kapunk!
Figyelem! Még akkor is, ha először csak a második bekezdést szeretné elolvasni szükségszerűen olvasd el az elsőt!
Megoldás: A feladat két részből áll. Kezdjük a négyzettel.
1) Végezzük el a rajzot:
Könnyen belátható, hogy a függvény a parabola felső ágát, a függvény pedig a parabola alsó ágát határozza meg. Előttünk egy triviális parabola, amely "az oldalán fekszik".
A kívánt figura, amelynek területe megtalálható, kék színű.
Hogyan lehet megtalálni egy figura területét? Megtalálható "normál" módon. Ezenkívül az ábra területe a területek összegeként található:
- a szegmensen 
;
- a szegmensen.
Ezért:
Van egy racionálisabb megoldás is: ez az inverz függvényekre való áttérésből és a tengely mentén történő integrációból áll.
Hogyan lehet áttérni inverz függvényekre? Nagyjából az "x"-t "y"-n keresztül kell kifejeznie. Először is foglalkozzunk a parabolával:
Ennyi is elég, de ügyeljünk arra, hogy az alsó ágból is származtatható-e ugyanaz a függvény:
Egyenes vonallal minden könnyebb:
Most nézze meg a tengelyt: kérjük, időnként döntse el fejét 90 fokkal jobbra, miközben magyarázza (ez nem vicc!). A számunkra szükséges ábra a szegmensen fekszik, amelyet a piros pontozott vonal jelöl. Ezenkívül a szegmensen az egyenes a parabola felett helyezkedik el, ami azt jelenti, hogy az ábra területét a már ismert képlet segítségével kell megtalálni: 
. Mi változott a képletben? Csak egy levél, és semmi több.
! jegyzet : Tengelyintegrációs határok rendezni kellszigorúan alulról felfelé !
A terület megkeresése:
A szegmensben tehát:
Ügyeljen arra, hogyan végeztem az integrációt, ez a legracionálisabb módja, és a feladat következő bekezdésében kiderül, hogy miért.
Azok az olvasók, akik kételkednek az integráció helyességében, származékokat találok:
A rendszer megkapja az eredeti integrandust, ami azt jelenti, hogy az integráció megfelelően történik.
Válasz:
2) Számítsa ki a test térfogatát, amelyet ennek az alaknak a tengely körüli elforgatása képez!
A rajzot átrajzolom egy kicsit más dizájnban:
Tehát a kékkel árnyékolt ábra a tengely körül forog. Az eredmény egy "lebegő pillangó", amely a tengelye körül forog.
A forgástest térfogatának meghatározásához a tengely mentén integráljuk. Először is át kell térnünk az inverz függvényekre. Ezt már megtettük, és az előző bekezdésben részletesen leírtuk.
Most ismét jobbra döntjük a fejünket, és tanulmányozzuk az alakunkat. Nyilvánvalóan a forgástest térfogatát a térfogatok közötti különbségként kell keresni.
A pirossal bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, így csonka kúpot kapunk. Jelöljük ezt a kötetet -vel.
A zölddel bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, és a kapott forgástest térfogatán keresztül jelöljük.
Pillangónk térfogata megegyezik a térfogatok különbségével.
A forradalomtest térfogatának meghatározásához a következő képletet használjuk: 
Miben különbözik az előző bekezdés képletétől? Csak betűkkel.
És itt van az integráció előnye, amiről régebben beszéltem, sokkal könnyebb megtalálni 
mint előzetesen a 4. hatványra emelni az integrandust.
Válasz: 
Vegye figyelembe, hogy ha ugyanazt a lapos alakot forgatjuk a tengely körül, akkor teljesen más forgástest alakul ki, természetesen más térfogatú.
7. példa
Számítsa ki a görbék és görbék által határolt ábra tengelye körüli elforgatással keletkezett test térfogatát!
Megoldás: Készítsünk rajzot:
Útközben még néhány függvény grafikonjával ismerkedünk. Ez egy nagyon érdekes diagram. páros funkció ….
A forradalomtest térfogatának meghatározásához elegendő az ábra jobb felét használni, amit kékre árnyékoltam. Mindkét függvény páros, grafikonjaik szimmetrikusak a tengelyre, és az ábránk is szimmetrikus. Tehát az árnyékolt jobb rész tengely körül forgó , minden bizonnyal egybeesik a bal alapozatlan résszel.
Integrálok használata a forradalom szilárdtesteinek mennyiségének megkeresésére
A matematika gyakorlati hasznossága annak köszönhető, hogy anélkül
konkrét matematikai ismeretek megnehezítik az eszköz és a használat elveinek megértését modern technológia. Életében minden embernek meglehetősen összetett számításokat kell végeznie, általánosan használt berendezéseket kell használnia, meg kell találnia a szükséges képleteket a kézikönyvekben, és egyszerű algoritmusokat kell összeállítania a problémák megoldásához. NÁL NÉL modern társadalom több szakterületet igényel magas szint az oktatás a matematika közvetlen alkalmazásához kapcsolódik. Így egy iskolás számára a matematika szakmailag jelentős tantárgygá válik. Az algoritmikus gondolkodás kialakításában a matematika a vezető szerep, az adott algoritmus szerinti cselekvés és új algoritmusok tervezésének képességét neveli.
Tanulmányozva az integrál használata a forradalomtestek térfogatának kiszámításához, azt javaslom, hogy a fakultatív osztályok tanulói fontolják meg a "Forradalom testek térfogatai integrálok segítségével" témát. Íme néhány irányelv a téma kezeléséhez:
1. Egy lapos alak területe.
Az algebra során tudjuk, hogy gyakorlati problémák vezettek a határozott integrál fogalmához..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">
https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.
Annak a forgástestnek a térfogatának meghatározásához, amelyet egy görbe vonalú trapéz Ox tengely körüli elforgatása alkot, és amelyet egy y=f(x) szaggatott vonal, az Ox tengely, az x=a és x=b egyenesek határolnak, kiszámítjuk. képlet szerint
https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y
3. A henger térfogata.
https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">A kúpot úgy kapjuk meg, hogy egy ABC(C=90) derékszögű háromszöget forgatunk az Ox tengely körül, amelyen az AC láb fekszik.
Az AB szegmens az y=kx+c vonalon található, ahol https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.
Legyen a=0, b=H (H a kúp magassága), majd Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.
5. Egy csonkakúp térfogata.
Csonkakúpot kaphatunk egy téglalap alakú ABCD (CDOx) trapéz Ox tengely körüli elforgatásával.
Az AB szakasz az y=kx+c egyenesen fekszik, ahol 
, c=r.
Mivel az egyenes átmegy az A ponton (0; r).
Így az egyenes így néz ki: https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">
Legyen a=0, b=H (H a csonka kúp magassága), majd https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = 
.
6. A labda hangereje.
A labdát egy (0;0) középpontú kör x tengely körüli elforgatásával kaphatjuk meg. Az x tengely felett elhelyezkedő félkört az egyenlet adja meg
https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.
