Um dos conceitos mais importantes da teoria da probabilidade é o conceito variável aleatória .
Aleatório chamado valor, que, como resultado dos testes, assume certos valores possíveis que não são conhecidos antecipadamente e dependem de causas aleatórias que não podem ser consideradas antecipadamente.
Variáveis aleatórias são denotadas letras maiúsculas alfabeto latino x, Y, Z etc . x, y, z etc.
O conceito de variável aleatória está intimamente relacionado ao conceito de evento aleatório. Conexão com um evento aleatório reside no fato de que a aceitação de um determinado valor numérico por uma variável aleatória é evento aleatorio, caracterizado pela probabilidade .
Na prática, existem dois tipos principais de variáveis aleatórias:
1. Variáveis aleatórias discretas;
2. Variáveis aleatórias contínuas.
Uma variável aleatória é uma função numérica de eventos aleatórios.
Por exemplo, uma variável aleatória é o número de pontos que caíram ao jogar um dado, ou a altura de um selecionado aleatoriamente de grupo de Estudos aluna.
Variáveis aleatórias discretas são chamadas de variáveis aleatórias que levam apenas valores remotos uns dos outros que podem ser enumerados antecipadamente.
lei de distribuição(função de distribuição e série de distribuição ou densidade de probabilidade) descreve completamente o comportamento de uma variável aleatória. Mas em alguns problemas é suficiente conhecer algumas características numéricas da grandeza em estudo (por exemplo, seu valor médio e possível desvio dele) para responder à questão colocada. Considere as principais características numéricas de variáveis aleatórias discretas.
A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta qualquer razão é chamada , estabelecendo uma relação entre os valores possíveis de uma variável aleatória e suas probabilidades correspondentes .
A lei de distribuição de uma variável aleatória pode ser representada como tabelas:
| … | … | ||||
| … | … |
A soma das probabilidades de todos os valores possíveis de uma variável aleatória é igual a um, ou seja, .
A lei de distribuição pode ser representada graficamente: no eixo das abcissas, são plotados os valores possíveis de uma variável aleatória, e no eixo das ordenadas, as probabilidades desses valores; os pontos obtidos são conectados por segmentos. A polilinha construída é chamada polígono de distribuição.
Exemplo. Um caçador com 4 rodadas atira no jogo até que o primeiro acerto ou todas as rodadas acabem. A probabilidade de acertar com o primeiro tiro é de 0,7, a cada tiro subsequente diminui 0,1. Elabore a lei de distribuição do número de cartuchos usados pelo caçador.
Solução. Como o caçador, tendo 4 rodadas, pode fazer quatro tiros, então o valor aleatório x- o número de cartuchos usados pelo caçador pode assumir os valores 1, 2, 3, 4. Para encontrar as probabilidades correspondentes, introduzimos os eventos:
- “bateu em eu- tiro ohm”, ;
- “falta de eu- th shot”, e os eventos e são independentes aos pares.
De acordo com a condição do problema, temos:
, 
Pelo teorema da multiplicação para eventos independentes e o teorema da adição para eventos incompatíveis, encontramos:
(o caçador acertou o alvo com o primeiro tiro);
(o caçador acertou o alvo no segundo tiro);
(o caçador acertou o alvo no terceiro tiro);
(o caçador acertou o alvo desde o quarto tiro ou errou as quatro vezes).
Verificação: - correto.
Assim, a lei da distribuição de uma variável aleatória x parece:
| 0,7 | 0,18 | 0,06 | 0,06 |
Exemplo. Um trabalhador opera três máquinas. A probabilidade de que dentro de uma hora a primeira máquina não exija ajuste é 0,9, a segunda é 0,8, a terceira é 0,7. Elabore uma lei de distribuição para o número de máquinas que precisarão de ajuste em uma hora.
Solução. valor aleatório x- o número de máquinas que exigirão ajuste dentro de uma hora pode assumir os valores 0,1, 2, 3. Para encontrar as probabilidades correspondentes, introduzimos os eventos:
- “eu- a máquina vai precisar de ajuste dentro de uma hora”, ;
- “eu- a máquina não vai precisar de ajuste dentro de uma hora”, .
Pela condição do problema, temos:
, 
.
Nas aplicações da teoria da probabilidade, a caracterização quantitativa do experimento é de importância primordial. Uma quantidade que pode ser quantificada e que, como resultado de um experimento, pode assumir caso a caso vários significados, é chamado uma variável aleatória.
Exemplos de variáveis aleatórias:
1. O número de ocorrências de um número par de pontos em dez lançamentos de dados.
2. O número de acertos no alvo pelo atirador que efetua uma série de tiros.
3. O número de fragmentos de um projétil explosivo.
Em cada um dos exemplos acima, uma variável aleatória só pode assumir valores isolados, ou seja, valores que podem ser enumerados por meio de uma série natural de números.
Essa variável aleatória, cujos valores possíveis são números isolados separados que essa variável assume com certas probabilidades, é chamada discreto.
O número de valores possíveis de uma variável aleatória discreta pode ser finito ou infinito (contável).
lei de distribuição Uma variável aleatória discreta é chamada de lista de seus valores possíveis e suas probabilidades correspondentes. A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta pode ser especificada na forma de uma tabela (série de distribuição de probabilidade), analiticamente e graficamente (polígono de distribuição de probabilidade).
Ao realizar este ou aquele experimento, torna-se necessário avaliar o valor em estudo "em média". O papel do valor médio de uma variável aleatória é desempenhado por uma característica numérica chamada expectativa matemática, que é definido pela fórmula
Onde x 1 , x 2 ,.. , x n– valores de uma variável aleatória x, uma p 1 ,p 2 , ... , p n são as probabilidades desses valores (note que p 1 + p 2 +…+ p n = 1).
Exemplo. O tiro é realizado no alvo (Fig. 11).
Um acerto em I dá três pontos, em II - dois pontos, em III - um ponto. O número de pontos eliminados com um tiro de um atirador tem uma lei de distribuição da forma
Para comparar a habilidade dos atiradores, basta comparar os valores médios dos pontos marcados, ou seja, expectativas matemáticas M(x) e M(Y):
M(x) = 1 0,4 + 2 0,2 + 3 0,4 = 2,0,
M(Y) = 1 0,2 + 2 0,5 + 3 0,3 = 2,1.
O segundo atirador dá em média um número ligeiramente superior de pontos, ou seja, com tiro repetido, dará o melhor resultado.
Observe as propriedades da esperança matemática:
1. A expectativa matemática de um valor constante é igual à própria constante:
M(C) = C.
2. A expectativa matemática da soma das variáveis aleatórias é igual à soma das expectativas matemáticas dos termos:
M=(x 1 + x 2 +…+ x n)= M(x 1)+ M(x 2)+…+ M(x n).
3. A expectativa matemática do produto de variáveis aleatórias mutuamente independentes é igual ao produto das expectativas matemáticas dos fatores
M(x 1 x 2 … x n) = M(x 1)M(x 2)… M(x n).
4. A negação matemática da distribuição binomial é igual ao produto do número de tentativas e a probabilidade de um evento ocorrer em uma tentativa (tarefa 4.6).
M(x) = pr.
Para avaliar como uma variável aleatória “em média” se desvia de sua expectativa matemática, ou seja, para caracterizar a dispersão de valores de uma variável aleatória na teoria da probabilidade, o conceito de dispersão é usado.
dispersão variável aleatória xé chamado de expectativa matemática do desvio quadrado:
D(x) = M[(x - M(x)) 2 ].
A dispersão é uma característica numérica da dispersão de uma variável aleatória. Pode-se ver pela definição que quanto menor a variância de uma variável aleatória, mais próximos seus valores possíveis estão localizados em torno da expectativa matemática, ou seja, o melhor valor variáveis aleatórias são caracterizadas por sua expectativa matemática.
Segue-se da definição que a variância pode ser calculada pela fórmula
.
É conveniente calcular a dispersão usando outra fórmula:
D(x) = M(x 2) - (M(x)) 2 .
A dispersão tem as seguintes propriedades:
1. A dispersão da constante é zero:
D(C) = 0.
2. Um fator constante pode ser retirado do sinal de dispersão elevando-o ao quadrado:
D(CX) = C 2 D(x).
3. A variância da soma das variáveis aleatórias independentes é igual à soma da variância dos termos:
D(x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n)= D(x 1)+ D(x 2)+…+ D(x n)
4. A variância da distribuição binomial é igual ao produto do número de tentativas e a probabilidade de ocorrência e não ocorrência de um evento em uma tentativa:
D(x) = npq.
Na teoria da probabilidade, uma característica numérica é freqüentemente usada, igual à raiz quadrada da variância de uma variável aleatória. Essa característica numérica é chamada de desvio padrão e é denotada pelo símbolo
.
Caracteriza o tamanho aproximado do desvio de uma variável aleatória de seu valor médio e tem a mesma dimensão da variável aleatória.
4.1. O atirador dispara três tiros no alvo. A probabilidade de acertar o alvo com cada tiro é de 0,3.
Construa uma série de distribuição do número de acertos.
Solução. O número de acertos é uma variável aleatória discreta x. Cada valor x n variável aleatória x corresponde a uma certa probabilidade P n .
A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta em este caso você pode definir distribuição próxima.
nesta tarefa x assume os valores 0, 1, 2, 3. De acordo com a fórmula de Bernoulli
,
encontre as probabilidades dos possíveis valores da variável aleatória:
R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,
R 3 (1)
=
0,3(0,7) 2
= 0,441,
R 3 (2)
=
(0,3) 2 0,7
= 0,189,
R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.
Tendo organizado os valores da variável aleatória x em ordem crescente, obtemos a série de distribuição:
|
x n | ||||
Observe que a soma
significa a probabilidade de que a variável aleatória x tomará pelo menos um valor dentre os possíveis, e este evento é certo, portanto
.
4.2 .Há quatro bolas na urna, numeradas de 1 a 4. Duas bolas são retiradas. valor aleatório xé a soma dos números das bolas. Construir uma série de distribuição de uma variável aleatória x.
Solução. Valores de uma variável aleatória x são 3, 4, 5, 6, 7. Encontre as probabilidades correspondentes. Valor 3 variável aleatória x pode levar no único caso quando uma das bolas selecionadas tem o número 1 e a outra 2. O número de resultados possíveis do teste é igual ao número de combinações de quatro (o número de pares de bolas possíveis) por dois.
De acordo com a fórmula clássica de probabilidade, obtemos
Da mesma maneira,
R(x= 4) =R(x= 6) =R(x= 7) = 1/6.
A soma 5 pode aparecer em dois casos: 1 + 4 e 2 + 3, então
.
x parece:
Encontrar função de distribuição F(x) variável aleatória x e plotá-lo. Calcular para x sua expectativa matemática e variância.
Solução. A lei de distribuição de uma variável aleatória pode ser dada pela função de distribuição
F(x) =P(x x).
função de distribuição F(x) é uma função não decrescente contínua à esquerda definida em todo o eixo real, enquanto
F (- )= 0,F (+ )= 1.
Para uma variável aleatória discreta, esta função é expressa pela fórmula
.
Portanto, neste caso
Gráfico de função de distribuição F(x) é uma linha escalonada (Fig. 12)
|
F(x) | ||||||
Valor esperado M(x) é a média ponderada dos valores x 1 , X 2 ,……X n variável aleatória x com pesos ρ 1, ρ 2, …… , ρ n e é chamado de valor médio da variável aleatória x. De acordo com a fórmula
M(x)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 + ……+x n ρ n
M(x) = 3 0,14 + 5 0,2 + 7 0,49 + 11 0,17 = 6,72.
Dispersão caracteriza o grau de dispersão dos valores de uma variável aleatória de seu valor médio e é denotado D(x):
D(x)=M[(HM(x)) 2 ]= M(x 2) –[M(x)] 2 .
Para uma variável aleatória discreta, a variância tem a forma
ou pode ser calculado pela formula
Substituindo os dados numéricos do problema na fórmula, obtemos:
M(x 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84
D(x) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.
4.4. Dois dados são lançados duas vezes ao mesmo tempo. Escreva uma lei de distribuição binomial para uma variável aleatória discreta x- o número de ocorrências de um número total par de pontos em dois dados.
Solução. Vamos introduzir em consideração um evento aleatório
MAS= (em dois dados em um lance, um número par de pontos caiu no total).
Usando a definição clássica de probabilidade, encontramos
R(MAS)=
,
Onde n - o número de resultados possíveis do teste é encontrado pela regra
multiplicações:
n = 6∙6 =36,
m - número de eventos favoráveis MAS resultados - iguais
m= 3∙6=18.
Assim, a probabilidade de sucesso em uma tentativa é
ρ =P(MAS)= 1/2.
O problema é resolvido usando o esquema de teste de Bernoulli. Um desafio aqui é rolar dois dados uma vez. Número de tais testes n = 2. Variável aleatória x assume valores 0, 1, 2 com probabilidades
R 2 (0)
=
,R 2 (1)
=
∙
,R 2 (2)
=
A distribuição binomial desejada de uma variável aleatória x pode ser representado como uma série de distribuição:
|
x n | |||
|
ρ n |
4.5 . Existem quatro peças padrão em um lote de seis peças. Três itens foram selecionados aleatoriamente. Compor a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta x- o número de peças padrão entre as selecionadas e encontre sua expectativa matemática.
Solução. Valores de uma variável aleatória x são os números 0,1,2,3. Está claro que R(x=0)=0, pois existem apenas duas peças não padronizadas.
R(x=1) =
=1/5,
R(X= 2) =
= 3/5,
R(x=3) =
= 1/5.
Lei de distribuição de uma variável aleatória x represente como uma série de distribuição:
|
x n | ||||
|
ρ n |
Valor esperado
M(x)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.
4.6 . Prove que a esperança matemática de uma variável aleatória discreta x- número de ocorrências do evento MAS dentro n testes independentes, em cada um dos quais a probabilidade de ocorrência de um evento é igual a ρ - é igual ao produto do número de tentativas pela probabilidade de um evento ocorrer em uma tentativa, ou seja, para provar que a expectativa matemática da distribuição binomial
M(x) =n . ρ ,
enquanto a variância
D(x) =np .
Solução. valor aleatório x pode assumir valores 0, 1, 2…, n. Probabilidade R(x= k) é encontrado pela fórmula de Bernoulli:
R(x=k)= R n(k)= 
ρ
para
(1-ρ
) n- para
Série de distribuição variável aleatória x parece:
|
x n | |||||
|
ρ n |
q n |
|
|
|
Onde q= 1- ρ .
Para a esperança matemática, temos a expressão:
M(x)=
ρq n -
1
+2
ρ
2
q n -
2
+…+.n
ρ
n
No caso de um teste, ou seja, com n= 1 para uma variável aleatória x 1 - o número de ocorrências do evento MAS- a série de distribuição tem a forma:
|
x n | ||
|
ρ n |
M(x 1)= 0 q + 1 ∙ p = p
D(x 1) = p – p 2 = p(1- p) = pq.
Se um x k - o número de ocorrências do evento MAS em qual teste então R(x para)= ρ e
X=X 1 +X 2 +….+X n .
A partir daqui nós obtemos
M(x)=M(x 1 )+M(x 2)+ … +M(x n)= nρ,
D(x)=D(x 1)+D(x 2)+ ... +D(x n)=npq.
4.7. QCD verifica produtos para padronização. A probabilidade de que o item seja padrão é 0,9. Cada lote contém 5 itens. Encontre a expectativa matemática de uma variável aleatória discreta x- o número de lotes, cada um dos quais será igual a 4 produtos padrão - se 50 lotes estiverem sujeitos a verificação.
Solução. A probabilidade de haver 4 itens padrão em cada lote selecionado aleatoriamente é constante; vamos denotar por ρ .Então a expectativa matemática da variável aleatória xé igual a M(x)= 50∙ρ.
Vamos encontrar a probabilidade ρ pela fórmula de Bernoulli:
ρ=P 5 (4)=
= 0,94∙0,1=0,32.
M(x)= 50∙0,32=16.
4.8 . Três dados são lançados. Encontre a expectativa matemática da soma dos pontos perdidos.
Solução. Você pode encontrar a distribuição de uma variável aleatória x- a soma dos pontos perdidos e então sua expectativa matemática. No entanto, esta forma é muito complicada. É mais fácil usar outro truque, representando uma variável aleatória x, cuja expectativa matemática deve ser calculada, como uma soma de várias variáveis aleatórias mais simples, cuja expectativa matemática é mais fácil de calcular. Se a variável aleatória x eué o número de pontos marcados em eu–ésimos ossos ( eu= 1, 2, 3), então a soma dos pontos x expresso na forma
X = X 1 +X 2 +X 3 .
Para calcular a expectativa matemática da variável aleatória original, resta apenas usar a propriedade da expectativa matemática
M(x 1 +X 2 +X 3 )= M(x 1 )+M(x 2)+M(x 3 ).
é obvio que
R(x eu = K)= 1/6, PARA= 1, 2, 3, 4, 5, 6, eu= 1, 2, 3.
Portanto, a expectativa matemática de uma variável aleatória x eu tem a forma
M(x eu) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,
M(x) = 3∙7/2 = 10,5.
4.9. Determine a expectativa matemática do número de dispositivos que falharam durante o teste, se:
a) a probabilidade de falha para todos os dispositivos é a mesma R, e o número de dispositivos em teste é igual a n;
b) probabilidade de falha para eu – instrumento é igual a p eu , eu= 1, 2, … , n.
Solução. Deixe a variável aleatória xé o número de dispositivos com falha, então
X = X 1 +X 2 + … + X n ,
x eu
=
Está claro que
R(x eu = 1)= R eu , R(x eu = 0)= 1– R eu ,eu= 1, 2, … ,n.
M(x eu)= 1∙R eu + 0∙(1-R eu)=P eu ,
M(x)=M(x 1)+M(x 2)+ … +M(x n)=P 1 +P 2 + ... +P n .
No caso "a", a probabilidade de falha do dispositivo é a mesma, ou seja,
R eu =p,eu= 1, 2, … ,n.
M(x)= np.
Esta resposta poderia ser obtida imediatamente se alguém notasse que a variável aleatória x tem uma distribuição binomial com parâmetros ( n, p).
4.10. Dois dados são lançados duas vezes ao mesmo tempo. Escreva uma lei de distribuição binomial para uma variável aleatória discreta X- o número de ocorrências de um número par de pontos em dois dados.
Solução. Deixar
MAS=(perda de um número par no primeiro dado),
B =(perda de um número par no segundo dado).
A perda de um número par em ambos os dados em um lançamento será expressa pelo produto AB. Então
R
(AB)
= R(MAS)∙R(NO)
=
.
O resultado do segundo lançamento de dois dados não depende do primeiro, então a fórmula de Bernoulli é aplicável quando
n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.
valor aleatório x pode assumir valores 0, 1, 2 , cuja probabilidade encontramos pela fórmula de Bernoulli:
R(X= 0)=P 2 (0) = q 2 = 9/16,
R(X= 1)=P 2
(1)= C 
,R∙q
=
6/16,
R(X= 2)=P 2
(2)= C 
,
R 2
=
1/16.
Série de distribuição variável aleatória X:
4.11. O dispositivo consiste em um grande número de elementos operando independentemente com a mesma probabilidade muito pequena de falha de cada elemento ao longo do tempo. t. Encontre o número médio de falhas ao longo do tempo t elementos, se a probabilidade de pelo menos um elemento falhar durante esse tempo for 0,98.
Solução. Número de falhas ao longo do tempo t elementos - uma variável aleatória x, que é distribuído de acordo com a lei de Poisson, pois o número de elementos é grande, os elementos funcionam de forma independente e a probabilidade de falha de cada elemento é pequena. O número médio de ocorrências de um evento em n tentativas iguais
M(x) = np.
Como a probabilidade de falha Para elementos de né expresso pela fórmula
R n
(Para)
,
onde = np, então a probabilidade de que nenhum elemento falhe no tempo t nós chegamos em K = 0:
R n (0)= e - .
Portanto, a probabilidade do evento oposto é ao longo do tempo t pelo menos um elemento falha - igual a 1 - e - . De acordo com a condição do problema, essa probabilidade é igual a 0,98. da equação
1 - e - = 0,98,
e - = 1 – 0,98 = 0,02,
daqui = -ln 0,02 4.
Então, para o tempo t a operação do dispositivo falhará em média 4 elementos.
4.12 . O dado é lançado até que um "dois" seja lançado. Encontre o número médio de lançamentos.
Solução. Introduzimos uma variável aleatória x- o número de testes que devem ser realizados até que ocorra o evento de nosso interesse. A probabilidade de que x= 1 é igual à probabilidade de que em um lançamento do dado saia um “dois”, ou seja,
R(X= 1) = 1/6.
Evento x= 2 significa que na primeira tentativa os "dois" não caíram, mas na segunda caíram. Probabilidade de evento x= 2 encontramos pela regra da multiplicação das probabilidades de eventos independentes:
R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)
Da mesma maneira,
R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6
etc. Obtemos uma série de distribuições de probabilidade:
|
(5/6) para ∙1/6 |
O número médio de lances (tentativas) é a expectativa matemática
M(x) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + Para (5/6) Para -1 ∙1/6 + … =
1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + Para (5/6) Para -1 + …)
Vamos encontrar a soma da série:
Parag
Para -1
= (
g Para)
g
.
Consequentemente,
M(x) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.
Assim, é necessário realizar uma média de 6 lances de dados até que saia um “duque”.
4.13. Testes independentes são realizados com a mesma probabilidade de ocorrência do evento MAS em cada teste. Encontre a probabilidade de um evento ocorrer MAS se a variância do número de ocorrências do evento em três tentativas independentes for 0,63 .
Solução. O número de ocorrências do evento nas três tentativas é uma variável aleatória x distribuídos de acordo com a lei binomial. A variância do número de ocorrências de um evento em tentativas independentes (com a mesma probabilidade de ocorrência de um evento em cada tentativa) é igual ao produto do número de tentativas e a probabilidade de ocorrência e não ocorrência do evento ( tarefa 4.6)
D(x) = npq.
Por condição n = 3, D(x) = 0,63, então você pode R encontre a partir da equação
0,63 = 3∙R(1-R),
que tem duas soluções R 1 = 0,7 e R 2 = 0,3.
Aleatório discreto variáveis são chamadas de variáveis aleatórias que assumem apenas valores distantes entre si, que podem ser enumerados previamente.
lei de distribuição
A lei de distribuição de uma variável aleatória é uma relação que estabelece uma relação entre os valores possíveis de uma variável aleatória e suas probabilidades correspondentes.
A faixa de distribuição de uma variável aleatória discreta é uma lista de seus valores possíveis e suas probabilidades correspondentes.
A função de distribuição de uma variável aleatória discreta é chamada de função:
,
que determina para cada valor do argumento x a probabilidade de que a variável aleatória X assuma um valor menor que esse x.
Expectativa matemática de uma variável aleatória discreta
,
onde é o valor de uma variável aleatória discreta; - a probabilidade de aceitar uma variável aleatória valores X.
Se uma variável aleatória assume um conjunto contável de valores possíveis, então: 
.
Expectativa matemática do número de ocorrências de um evento em n tentativas independentes:
,
Variância e média desvio padrão variável aleatória discreta
Dispersão de uma variável aleatória discreta: 
ou 
.
Variância do número de ocorrências de um evento em n tentativas independentes 
,
onde p é a probabilidade do evento ocorrer.
Desvio padrão de uma variável aleatória discreta: 
.
Exemplo 1
Faça a lei de distribuição de probabilidade para uma variável aleatória discreta (d.r.v.) X – o número k de pelo menos um “seis” em n = 8 lances de um par de dados. Plote o polígono de distribuição. Encontre as características numéricas da distribuição (modo de distribuição, expectativa matemática M(X), variância D(X), desvio padrão s(X)). Solução: Vamos introduzir a notação: evento A - "durante o lançamento de um par de dados, o seis apareceu pelo menos uma vez". Para encontrar a probabilidade P(A) = p do evento A, é mais conveniente primeiro encontrar a probabilidade P(Ā) = q do evento oposto Ā – “ao jogar um par de dados, o seis não apareceu igual uma vez".
Como a probabilidade de não aparecer um “seis” ao jogar um dado é 5/6, então pelo teorema da multiplicação de probabilidade
P(à) = q = = .
Respectivamente,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Os testes no problema são realizados de acordo com o esquema de Bernoulli; portanto, o d.r.v. magnitude x- número k descartar pelo menos um seis ao jogar dois dados obedece à lei binomial da distribuição de probabilidade: 
onde = é o número de combinações de n sobre k.
É conveniente organizar os cálculos realizados para este problema na forma de uma tabela:
Distribuição de probabilidade de d.r.v. x º k (n = 8; p = ; q = )
| k | ||||||||||
PN(k) |
Polígono (polígono) da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta x mostrado na Fig.:
Arroz. Polígono de distribuição de probabilidade de d.r.v. x=k.
A linha vertical mostra a expectativa matemática da distribuição M(x).
Vamos encontrar as características numéricas da distribuição de probabilidade do d.r.v. x. O modo de distribuição é 2 (aqui P 8(2) = 0,2932 máximo). A esperança matemática, por definição, é:
M(x) = = 2,4444,
Onde xk = ké o valor aceito pelo d.r.v. x. dispersão D(x) encontramos as distribuições pela fórmula:
D(x) = 
= 4,8097.
Desvio padrão (RMS):
s( x) = = 2,1931.
Exemplo2
Variável aleatória discreta x dado pela lei de distribuição
Solução. Se , então (terceira propriedade).
Se então . Sério, x pode assumir o valor 1 com uma probabilidade de 0,3.
Se então . Com efeito, se satisfaz a desigualdade
, então é igual à probabilidade de um evento que pode ser realizado quando x assumirá o valor 1 (a probabilidade deste evento é 0,3) ou o valor 4 (a probabilidade deste evento é 0,1). Como esses dois eventos são incompatíveis, de acordo com o teorema da adição, a probabilidade de um evento é igual à soma das probabilidades 0,3 + 0,1=0,4. Se então . De fato, o evento é certo, portanto, sua probabilidade é igual a um. Assim, a função de distribuição pode ser escrita analiticamente da seguinte forma: 
Gráfico desta função:
Vamos encontrar as probabilidades correspondentes a esses valores. Pela condição, as probabilidades de falha dos dispositivos são iguais: então as probabilidades de os dispositivos estarem operacionais durante o período de garantia são iguais a: 
A lei de distribuição tem a forma:
Definição 2.3. Uma variável aleatória denotada por X é chamada discreta se assumir um conjunto finito ou contável de valores, ou seja, conjunto é um conjunto finito ou contável.
Considere exemplos de variáveis aleatórias discretas.
1.
Duas moedas são lançadas uma vez. O número de brasões neste experimento é uma variável aleatória x. Seus valores possíveis são 0,1,2, ou seja, 
é um conjunto finito.
2. O número de chamadas de ambulância durante um determinado período de tempo é registrado. valor aleatório x– número de chamadas. Seus valores possíveis são 0, 1, 2, 3, ..., ou seja =(0,1,2,3,...) é um conjunto contável.
3. Há 25 alunos no grupo. Em algum dia, é registrado o número de alunos que compareceram às aulas - uma variável aleatória x. Seus valores possíveis são: 0, 1, 2, 3, ..., 25 ou seja =(0, 1, 2, 3, ..., 25).
Embora todas as 25 pessoas no exemplo 3 não possam faltar às aulas, a variável aleatória x pode pegar esse valor. Isso significa que os valores de uma variável aleatória têm probabilidades diferentes.
Considerar modelo matemático variável aleatória discreta.
Seja realizado um experimento aleatório, que corresponde a um espaço finito ou contável de eventos elementares. Consideremos o mapeamento desse espaço no conjunto dos números reais, ou seja, atribuímos a cada evento elementar algum número real, . O conjunto de números neste caso pode ser finito ou contável, ou seja, 
ou
Um sistema de subconjuntos, que inclui qualquer subconjunto, incluindo um de um ponto, forma uma -álgebra conjunto de números(- claro ou contável).
Uma vez que qualquer evento elementar está associado a certas probabilidades p eu(no caso de finito all ), e , então podemos atribuir uma certa probabilidade a cada valor da variável aleatória p eu, de tal modo que .
Deixar xé um número real arbitrário. denotar RX(x) a probabilidade de que a variável aleatória x assumiu um valor igual a x, ou seja P X (x) \u003d P (X \u003d x). Então a função RX(x) pode assumir valores positivos apenas para esses valores x, que pertencem a um conjunto finito ou contável 
, e para todos os outros valores, a probabilidade desse valor PX(x)=0.
Assim, definimos o conjunto de valores, -algebra como um sistema de quaisquer subconjuntos e para cada evento ( X=x) comparou a probabilidade para qualquer , ou seja construiu um espaço de probabilidade.
Por exemplo, o espaço de eventos elementares de um experimento que consiste em lançar duas vezes uma moeda simétrica consiste em quatro eventos elementares: , onde
Quando uma moeda foi lançada duas vezes, duas treliças caíram; quando uma moeda era lançada duas vezes, dois brasões caíam;
No primeiro lançamento de uma moeda, caiu uma grade e, no segundo, um brasão;
Ao primeiro lançamento de uma moeda, o brasão caiu e, ao segundo, a grade.
Deixe a variável aleatória xé o número de dropouts da rede. É definido e o conjunto de seus valores 
. Todos os subconjuntos possíveis , incluindo os de um ponto, formam - uma álgebra, ou seja, =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).
Probabilidade de um evento ( X=x i}, і = 1,2,3 , definimos como a probabilidade de ocorrência de um evento que é seu protótipo:
Assim, em eventos elementares ( X = x eu) defina uma função numérica R X, assim 
.
Definição 2.4. A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta é um conjunto de pares de números (x i , p i), onde x i são os valores possíveis da variável aleatória, e p i são as probabilidades com as quais assume esses valores, e .
A forma mais simples de especificar a lei de distribuição de uma variável aleatória discreta é uma tabela que lista os valores possíveis de uma variável aleatória e as probabilidades correspondentes:
| … | … | ||||
| … | … |
Essa tabela é chamada de linha de distribuição. Para tornar a série de distribuição mais visual, ela é representada graficamente: no eixo Oh colocar pontos XI e traçar delas perpendiculares de comprimento p eu. Os pontos resultantes são conectados e um polígono é obtido, que é uma das formas da lei de distribuição (Fig. 2.1).
Assim, para definir uma variável aleatória discreta, você precisa definir seus valores e as probabilidades correspondentes.
Exemplo 2.2. O aceitador de dinheiro da máquina é acionado cada vez que uma moeda é descartada com uma probabilidade R. Depois de funcionar, as moedas não são abaixadas. Deixar x- o número de moedas que devem ser baixadas antes que o aceitador de dinheiro da máquina seja acionado. Construir uma série de distribuição de uma variável aleatória discreta x.
Solução. Valores possíveis de uma variável aleatória x: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ..., x k \u003d k, ... Vamos encontrar as probabilidades desses valores: p 1é a probabilidade de que a caixa registradora opere na primeira descida, e p1 =p; p 2 - a probabilidade de serem feitas duas tentativas. Para isso, é necessário que: 1) na primeira tentativa, o receptor do dinheiro não funcione; 2) na segunda tentativa - funcionou. A probabilidade desse evento é (1–r)r. De forma similar 
e assim por diante, 
. Faixa de distribuição x tomará a forma
| 1 | 2 | 3 | … | para | … | |
| R | qp | q 2 p | q r -1 p |
Observe que as probabilidades r para Formato progressão geométrica com denominador: 1–p=q, q<1, então essa distribuição de probabilidade é chamada geométrico.
Suponhamos ainda que um modelo matemático foi construído 
experimento descrito por uma variável aleatória discreta x, e considera o cálculo das probabilidades de ocorrência de eventos arbitrários .
Deixe um evento arbitrário conter um conjunto finito ou contável de valores XI: A= {x 1 , x 2 ,..., x i , ...) .Evento MAS pode ser representado como uma união de eventos incompatíveis da forma : . Então, aplicando o axioma 3 de Kolmogorov , Nós temos
já que determinamos que as probabilidades de ocorrência de eventos são iguais às probabilidades de ocorrência de eventos que são seus protótipos. Isso significa que a probabilidade de qualquer evento 
, , pode ser calculado pela fórmula , pois este evento pode ser representado como uma união de eventos , onde .
Então a função de distribuição F(х) = Р(–<Х<х) é encontrado de acordo com a fórmula. Segue-se que a função de distribuição de uma variável aleatória discreta xé descontínua e aumenta em saltos, ou seja, é uma função degrau (Fig. 2.2):
Se o conjunto for finito, o número de termos na fórmula é finito; se for contável, o número de termos também é contável.
Exemplo 2.3. O dispositivo técnico consiste em dois elementos que funcionam independentemente um do outro. A probabilidade de falha do primeiro elemento no tempo T é 0,2 e a probabilidade de falha do segundo elemento é 0,1. valor aleatório x- o número de elementos com falha no tempo T. Encontre a função de distribuição de uma variável aleatória e construa seu gráfico.
Solução. O espaço de eventos elementares do experimento, que consiste em estudar a confiabilidade de dois elementos de um dispositivo técnico, é determinado por quatro eventos elementares , , , : – ambos os elementos estão em boas condições; - o primeiro elemento pode ser reparado, o segundo está com defeito; - o primeiro elemento está com defeito, o segundo pode ser reparado; – ambos os elementos estão com defeito. Cada um dos eventos elementares pode ser expresso em termos dos eventos elementares dos espaços 
e 
, onde – o primeiro elemento é aproveitável; - o primeiro elemento está fora de ordem; – o segundo elemento pode ser reparado; - O segundo elemento está fora de ordem. Então , e como os elementos do dispositivo técnico funcionam independentemente uns dos outros, então
8. Qual é a probabilidade de que os valores de uma variável aleatória discreta pertençam ao intervalo?
Podemos destacar as leis mais comuns de distribuição de variáveis aleatórias discretas:
Para distribuições dadas de variáveis aleatórias discretas, o cálculo das probabilidades de seus valores, bem como das características numéricas (expectativa matemática, variância, etc.) é realizado de acordo com certas "fórmulas". Portanto, é muito importante conhecer esses tipos de distribuições e suas propriedades básicas.
Uma variável aleatória discreta $X$ está sujeita à distribuição de probabilidade binomial se ela assume os valores $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ com probabilidades $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. De fato, a variável aleatória $X$ é o número de ocorrências do evento $A$ em $n$ tentativas independentes. Lei de distribuição de probabilidade para a variável aleatória $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \pontos & n \\
\hline
p_i & P_n\esquerda(0\direita) & P_n\esquerda(1\direita) & \dots & P_n\esquerda(n\direita) \\
\hline
\end(array)$
Para tal variável aleatória, a expectativa é $M\left(X\right)=np$, a variância é $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.
Exemplo . Há dois filhos na família. Supondo que as probabilidades de nascimento de um menino e uma menina sejam iguais a $ 0,5$, encontre a lei de distribuição da variável aleatória $\xi $ - o número de meninos na família.
Seja a variável aleatória $\xi $ o número de meninos na família. Os valores que $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$ podem assumir. As probabilidades desses valores podem ser encontradas pela fórmula $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, onde $n =2$ - número de tentativas independentes, $p=0,5$ - probabilidade de ocorrência de um evento em uma série de $n$ tentativas. Nós temos:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0,25.$
Então a lei de distribuição da variável aleatória $\xi $ é a correspondência entre os valores $0,\1,\2$ e suas probabilidades, ou seja:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(array)$
A soma das probabilidades na lei de distribuição deve ser igual a $1$, ou seja, $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+0, 25 = $ 1.
Expectativa $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, variância $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, desvio padrão $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\aprox $0.707.
Se uma variável aleatória discreta $X$ pode assumir apenas valores inteiros não negativos $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\n$ com probabilidades $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
Comente. A peculiaridade dessa distribuição é que, com base em dados experimentais, encontramos as estimativas $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, se as estimativas obtidas forem próximas umas das outras, então temos razão para afirmar que a variável aleatória está sujeita à lei de distribuição de Poisson.
Exemplo . Exemplos de variáveis aleatórias sujeitas à lei de distribuição de Poisson podem ser: o número de carros que serão atendidos amanhã por um posto de gasolina; o número de itens defeituosos no produto fabricado.
Exemplo . A fábrica enviou $ 500$ em produtos para a base. A probabilidade de danos ao produto durante o transporte é de $0,002$. Encontre a lei de distribuição da variável aleatória $X$ igual ao número de produtos danificados; que é igual a $M\esquerda(X\direita),\ D\esquerda(X\direita)$.
Seja uma variável aleatória discreta $X$ o número de produtos danificados. Tal variável aleatória está sujeita à lei de distribuição de Poisson com o parâmetro $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. As probabilidades dos valores são $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\esquerda(X=0\direita)=((1^0)\sobre (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\esquerda(X=1\direita)=((1^1)\sobre (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\esquerda(X=2\direita)=((1^2)\sobre (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\esquerda(X=3\direita)=((1^3)\sobre (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\esquerda(X=4\direita)=((1^4)\sobre (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\esquerda(X=5\direita)=((1^5)\acima (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\esquerda(X=6\direita)=((1^6)\sobre (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\esquerda(X=k\direita)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
A lei de distribuição da variável aleatória $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(array)$
Para tal variável aleatória, a expectativa matemática e a variância são iguais entre si e iguais ao parâmetro $\lambda $, ou seja, $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.
Se uma variável aleatória discreta $X$ pode assumir apenas valores naturais $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ com probabilidades $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ direita)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, então dizemos que tal variável aleatória $X$ está sujeita à lei geométrica da distribuição de probabilidade. Na verdade, a distribuição geométrica parece ser as tentativas de Bernoulli para o primeiro sucesso.
Exemplo . Exemplos de variáveis aleatórias que possuem distribuição geométrica podem ser: o número de tiros antes do primeiro acerto no alvo; número de testes do dispositivo antes da primeira falha; o número de lançamentos de moedas antes do primeiro cara, e assim por diante.
A expectativa matemática e a variância de uma variável aleatória sujeita a uma distribuição geométrica são respectivamente $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) /p^2$.
Exemplo . No caminho do movimento dos peixes até o local de desova, há uma trava de $4$. A probabilidade de um peixe passar por cada eclusa é $p=3/5$. Construa uma série de distribuição da variável aleatória $X$ - o número de eclusas passadas pelo peixe antes da primeira parada na eclusa. Encontre $M\esquerda(X\direita),\ D\esquerda(X\direita),\ \sigma \esquerda(X\direita)$.
Seja a variável aleatória $X$ o número de eclusas passadas pelo peixe antes da primeira parada na eclusa. Essa variável aleatória está sujeita à lei geométrica da distribuição de probabilidade. Os valores que a variável aleatória $X pode assumir são: 1, 2, 3, 4. As probabilidades desses valores são calculadas pela fórmula: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, onde: $ p=2/5$ - probabilidade de peixes serem pegos pela eclusa, $q=1-p=3/5$ - probabilidade de peixes passarem pela eclusa, $k=1, \ 2,\ 3,\ 4$.
$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ sobre(5))=0.4;$
$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $
$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ mais (5))\cdot ((9)\mais (25))=((18)\mais (125))=0.144;$
$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\acima (5))\direita))^4=((27)\acima (125))=0.216.$
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\esquerda(X_i\direita) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(array)$
Valor esperado:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$
Dispersão:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ esquerda(1-2,176\direita))^2+0,24\cdot (\esquerda(2-2,176\direita))^2+0,144\cdot (\esquerda(3-2,176\direita))^2+$
$+\ 0.216\cdot (\left(4-2.176\right))^2\approx 1.377.$
Desvio padrão:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\approx 1,173.$
Se houver $N$ objetos, entre os quais objetos $m$ tenham a propriedade dada. Aleatoriamente, sem reposição, são extraídos $n$ objetos, dentre os quais existem $k$ objetos que possuem uma determinada propriedade. A distribuição hipergeométrica permite estimar a probabilidade de que exatamente $k$ objetos em uma amostra tenham uma determinada propriedade. Seja a variável aleatória $X$ o número de objetos na amostra que possuem uma determinada propriedade. Então as probabilidades dos valores da variável aleatória $X$:
$P\esquerda(X=k\direita)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$
Comente. A função estatística HYPERGEOMET do Excel $f_x$ Function Wizard permite determinar a probabilidade de um certo número de tentativas ser bem-sucedida.
$f_x\para $ estatístico$\para $ HIPERGEOMETO$\para $ OK. Aparecerá uma caixa de diálogo que você precisa preencher. no gráfico Number_of_successes_in_sample especifique o valor de $k$. sample_sizeé igual a $n$. no gráfico Number_of_successes_in_population especifique o valor de $m$. Tamanho da populaçãoé igual a $N$.
A expectativa matemática e a variância de uma variável aleatória discreta $X$ sujeita a uma lei de distribuição geométrica são $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left (1 -((m)\sobre (N))\direita)\esquerda(1-((n)\sobre (N))\direita))\sobre (N-1))$.
Exemplo . O departamento de crédito do banco emprega 5 especialistas com formação financeira superior e 3 especialistas com formação jurídica superior. A administração do banco decidiu enviar 3 especialistas para treinamento avançado, selecionando-os aleatoriamente.
a) Fazer uma série de distribuição do número de especialistas com formação financeira superior que podem ser encaminhados para formação avançada;
b) Encontre as características numéricas desta distribuição.
Seja a variável aleatória $X$ o número de especialistas com maior formação financeira entre os três selecionados. Valores que $X:0,\1,\2,\3$ podem assumir. Esta variável aleatória $X$ é distribuída de acordo com a distribuição hipergeométrica com os seguintes parâmetros: $N=8$ - tamanho da população, $m=5$ - número de sucessos na população, $n=3$ - tamanho da amostra, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - número de sucessos na amostra. Então as probabilidades $P\left(X=k\right)$ podem ser calculadas usando a fórmula: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ sobre C_(N)^(n)) $. Nós temos:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\approx 0.018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\approx 0.268;$
$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\approx 0.536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\approx 0.179.$
Então a série de distribuição da variável aleatória $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(array)$
Calculemos as características numéricas da variável aleatória $X$ usando as fórmulas gerais da distribuição hipergeométrica.
$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1.875.$
$D\esquerda(X\direita)=((nm\esquerda(1-((m)\sobre (N))\direita)\esquerda(1-((n)\sobre (N))\direita)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\à direita))\acima de (8-1))=((225)\acima de (448))\aprox 0,502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\approx 0.7085.$
ρq n- 1
ρq n- 2
ρ
n
