모서리공간의 직선 사이 우리는 데이터에 평행한 임의의 점을 통해 그린 두 직선에 의해 형성된 인접한 각도를 호출합니다.
공간에 두 개의 직선이 주어졌다고 하자.
분명히, 선 사이의 각도 φ는 방향 벡터와 . 사이의 각도로 간주될 수 있습니다. 이후, 벡터 사이의 각도 코사인 공식에 따라 우리는
두 선의 평행도 및 직각도 조건은 방향 벡터의 평행도 및 직각도 조건과 동일하며 다음과 같습니다.
투 스트레이트 평행하다각각의 계수가 비례하는 경우에만, 즉 엘병렬 1개 엘 2 병렬인 경우에만 .
투 스트레이트 수직해당 계수의 곱의 합이 0인 경우에만: .
~에 선과 평면 사이의 목표
라인하자 디- 평면 θ에 수직이 아님;
디'- 직선 투영 디평면 θ로;
직선 사이의 각 중 가장 작은 각 디그리고 디' 우리가 부를 것이다 선과 평면 사이의 각도.
φ=( 디,θ)
만약 디⊥θ , 그러면 ( 디,θ)=π/2
오이→제이→케이→− 직사각형 시스템좌표.
평면 방정식:
θ: 도끼+에 의해+시즈+디=0
우리는 선이 점과 방향 벡터로 주어진다고 생각합니다. 디[중 0,피→]
벡터 N→(ㅏ,비,씨)⊥θ
그런 다음 벡터 사이의 각도를 찾는 것이 남아 있습니다. N→ 그리고 피→, γ=( N→,피→).
각도 γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
각도 γ>π/2 이면 필요한 각도 φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
그 다음에, 선과 평면 사이의 각도다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ 앱 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √ㅏ 2+비 2+씨 2√피 21+피 22+피 23
질문 29. 이차 형태의 개념입니다. 이차 형태의 부호 확정성.
이차 형식 j (x 1, x 2, ..., x n) n 실수 변수 x 1, x 2, ..., x n형태의 합이라고 한다 
, (1)
어디 아이즈 계수라고 하는 일부 숫자입니다. 일반성을 잃지 않고 다음을 가정할 수 있습니다. 아이즈 = 지.
이차 형태라고합니다 유효한,만약에 아이즈
О GR. 2차 형식의 행렬계수로 구성된 행렬이라고 합니다. 2차 형식(1)은 고유한 대칭 행렬에 해당합니다. 
즉. 에이티 = 에이. 따라서 이차 형식 (1)은 행렬 형식 j( 엑스) = x T 아, 어디 x T = (엑스 1 엑스 2 … x n). (2)
그리고 그 반대의 경우 모든 대칭 행렬(2)은 변수 표기법까지 고유한 2차 형식에 해당합니다.
이차 형식의 순위행렬의 순위라고 합니다. 이차 형태라고합니다 비 퇴화,행렬이 비특이 행렬인 경우 하지만. (행렬을 기억하십시오. 하지만결정자가 0이 아닌 경우 비축퇴라고 합니다.) 그렇지 않으면 이차 형식이 퇴화됩니다.
양의정의(또는 엄격하게 긍정적인 경우)
제이 ( 엑스) > 0 , 누구에게나 엑스 = (엑스 1 , 엑스 2 , …, x n), 게다가 엑스 = (0, 0, …, 0).
행렬 하지만양의 정부호 이차 형식 j ( 엑스)는 양의 정부호라고도 합니다. 따라서 양의 정부호 2차 형식은 고유한 양의 정부호 행렬에 해당하며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.
이차 형식 (1)은 부정 확정(또는 엄밀히 부정적인) 경우
제이 ( 엑스) < 0, для любого 엑스 = (엑스 1 , 엑스 2 , …, x n), 게다가 엑스 = (0, 0, …, 0).
위와 마찬가지로 음의 정부호 2차 행렬을 음의 정부호라고도 합니다.
따라서 양의(음의) 확정 이차 형식 j( 엑스) 최소(최대) 값 j에 도달 엑스*) = 0 엑스* = (0, 0, …, 0).
대부분의 이차 형식은 부호가 한정되지 않습니다. 즉, 양수도 음수도 아닙니다. 이러한 2차 형태는 좌표계의 원점뿐만 아니라 다른 점에서도 사라집니다.
언제 N> 2, 이차 형식의 부호-확정성을 확인하려면 특별한 기준이 필요합니다. 그들을 고려해 봅시다.
주요 미성년자이차 형식을 미성년자라고합니다.
즉, 이들은 1, 2, …, N행렬 하지만, 왼쪽 상단 모서리에 위치하며, 마지막 항목은 행렬의 행렬식과 일치합니다. 하지만.
양의 정부호의 기준 (실베스터 기준)
엑스) = x T 아양의 정부호인 경우 행렬의 모든 주요 소수가 하지만즉, 다음과 같이 긍정적이었습니다. 중 1 > 0, 중 2 > 0, …, 남 > 0. 부정적인 확신의 기준 이차 형태 j( 엑스) = x T 아음의 정부호는 짝수 차수의 주 부전공이 양수이고 홀수 차수가 음수이면 필요하고 충분합니다. 중 1 < 0, 중 2 > 0, 중 3 < 0, …, (–1)N
ㅏ. 두 개의 선이 주어지면 이 선은 1장에서 설명한 것처럼 예각 또는 둔각이 될 수 있는 다양한 양의 각도와 음의 각도를 형성합니다. 이 각도 중 하나를 알면 다른 각도를 쉽게 찾을 수 있습니다.
그건 그렇고, 이러한 모든 각도에 대해 접선의 숫자 값은 동일하고 차이는 부호에만있을 수 있습니다
선의 방정식. 숫자는 첫 번째 선과 두 번째 선의 방향 벡터의 투영이며 이러한 벡터 사이의 각도는 직선이 이루는 각도 중 하나와 같습니다. 따라서 문제는 벡터 사이의 각도를 결정하는 것으로 축소됩니다.
단순화를 위해 예를 들어 양의 각도를 이해하기 위해 두 직선 사이의 각도에 동의할 수 있습니다(예: 그림 53).
그러면 이 각도의 접선은 항상 양수가 됩니다. 따라서 식 (1)의 오른쪽에서 빼기 기호가 얻어지면 이를 버려야 합니다. 즉, 절대값만 유지해야 합니다.
예시. 선 사이의 각도 결정
식 (1)에 의해 우리는
와 함께. 각도의 어느 쪽이 시작이고 어느 쪽이 끝인지 표시되면 항상 각도의 방향을 시계 반대 방향으로 계산하여 공식 (1)에서 더 많은 것을 추출할 수 있습니다. 그림에서 쉽게 알 수 있듯이 53 공식 (1)의 오른쪽에서 얻은 기호는 예각 또는 둔각 중 어느 것이 첫 번째 선과 두 번째 선을 형성하는지 나타냅니다.
(실제로, 그림 53에서 우리는 첫 번째 방향 벡터와 두 번째 방향 벡터 사이의 각도가 선 사이의 원하는 각도와 같거나 ±180°만큼 다르다는 것을 알 수 있습니다.)
디. 선이 평행하면 방향 벡터도 평행합니다 두 벡터의 평행 조건을 적용하면 다음을 얻습니다!
이것은 두 직선이 평행하기 위한 필요충분조건이다.
예시. 직접
때문에 평행하다
이자형. 선이 수직이면 방향 벡터도 수직입니다. 두 벡터의 직각 조건을 적용하면 두 선의 직각 조건, 즉
예시. 직접
수직이기 때문에
평행도 및 직각도의 조건과 관련하여 다음 두 가지 문제를 해결합니다.
에프. 한 점을 지나는 주어진 선에 평행한 선을 그립니다.
결정은 이렇게 합니다. 원하는 선이 주어진 선과 평행하기 때문에 방향 벡터에 대해 주어진 선과 동일한 선, 즉 투영 A와 B가 있는 벡터를 사용할 수 있습니다. 그러면 원하는 선의 방정식이 작성됩니다 형식 (§ 1)
예시. 직선에 평행한 점 (1; 3)을 지나는 직선의 방정식
다음 것입니다!
g. 주어진 선에 수직인 점을 지나는 선 그리기
여기에서 투영 A가 있는 벡터를 방향 벡터로 취하는 것은 더 이상 적합하지 않지만 이에 수직인 벡터를 구하는 것이 필요합니다. 따라서 이 벡터의 투영은 두 벡터가 수직이라는 조건에 따라 선택되어야 합니다.
이 조건은 두 개의 미지수를 갖는 하나의 방정식이 있기 때문에 무한한 방법으로 충족될 수 있습니다. 그러나 가장 쉬운 방법은 그것을 취하는 것입니다. 그러면 원하는 직선의 방정식은 다음 형식으로 작성됩니다.
예시. 수직선에서 한 점(-7; 2)을 지나는 선의 방정식
(두 번째 공식에 따르면) 다음과 같습니다!
시간. 선이 다음 형식의 방정식으로 주어지는 경우
이것의 도움으로 온라인 계산기선 사이의 각도를 찾으십시오. 주어진 상세한 솔루션설명과 함께. 선 사이의 각도를 계산하려면 치수(2-평면에서 직선을 고려하는 경우 3-공간에서 직선을 고려하는 경우)를 설정하고 방정식의 요소를 셀에 입력하고 " 해결" 버튼을 클릭합니다. 아래의 이론적 부분을 참조하십시오.
×
모든 셀을 지우시겠습니까?
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데이터 입력 지시.숫자는 정수(예: 487, 5, -7623 등), 소수(예: 67., 102.54 등) 또는 분수로 입력됩니다. 분수는 a/b 형식으로 입력해야 합니다. 여기서 a 및 b(b>0)는 정수 또는 십진수. 예 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 등
2차원 공간에서 선을 보자 엘 1 및 엘
따라서 공식 (1.4)에서 선 사이의 각도를 찾을 수 있습니다. 엘 1 및 엘 2. 그림 1에서 볼 수 있듯이 교차선은 인접한 각도를 형성합니다. φ 그리고 φ 하나 . 발견된 각도가 90°보다 크면 선 사이의 최소 각도를 찾을 수 있습니다. 엘 1 및 엘 2: φ 1 =180-φ .
공식 (1.4)에서 두 직선의 평행도와 직각도의 조건을 추론할 수 있습니다.
예 1. 선 사이의 각도 결정
단순화하고 해결합시다.
허락하다 φ =0. 그 다음에 코스피=1. 이 경우 식 (1.4)는 다음 형식을 취합니다.
| , |
| , |
예 2. 선이 평행한지 확인
등식(1.9)이 충족되므로 선(1.10)과 (1.11)이 평행합니다.
대답. 선 (1.10)과 (1.11)은 평행합니다.
허락하다 φ =90°. 그 다음에 코스피=0. 이 경우 식 (1.4)는 다음 형식을 취합니다.
예 3. 선이 수직인지 확인
조건 (1.13)이 충족되므로 선 (1.14)와 (1.15)는 수직입니다.
대답. 선 (1.14)와 (1.15)는 수직입니다.
두줄로 하자 엘 1 및 엘 2는 일반 방정식으로 주어집니다.
두 벡터의 스칼라 곱의 정의에서 다음을 얻습니다.
예 4. 선 사이의 각도 찾기
값 대체 ㅏ 1 , 비 1 , ㅏ 2 , 비 2인치(1.23)에서 다음을 얻습니다.
이 각도는 90°보다 큽니다. 선 사이의 최소 각도를 찾으십시오. 이렇게 하려면 180에서 이 각도를 빼십시오.
한편 평행선의 상태는 엘 1 및 엘 2는 공선 벡터의 조건과 동일합니다. N 1 및 N 2이며 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
등식(1.24)이 충족되므로 선(1.26)과 (1.27)이 평행합니다.
대답. 선 (1.26)과 (1.27)은 평행합니다.
선의 직각도 조건 엘 1 및 엘 2는 다음을 대체하여 식 (1.20)에서 추출할 수 있습니다. 코사인(φ )=0. 그 다음에 스칼라 곱 (N 1 ,N 2)=0. 어디에
등식(1.28)이 충족되므로 선(1.29)과 (1.30)은 수직입니다.
대답. 선 (1.29)와 (1.30)은 수직입니다.
공간에 선을 보자 엘 1 및 엘주어진 2 정준 방정식
어디 | 큐 1 | 및 | 큐 2 | 방향 벡터 모듈 큐 1 및 큐각각 2, φ - 벡터 사이의 각도 큐 1 및 큐 2 .
식 (2.3)에서 우리는 다음을 얻습니다.
 .
|
단순화하고 해결합시다.
 .
|
구석을 찾아보자 φ
공간에 줄을 놓으십시오. 엘그리고 중. 공간의 어떤 점 A를 통해 우리는 직선을 그립니다. 엘 1 || 엘그리고 중 1 || 중(그림 138).
점 A는 임의로 선택할 수 있으며 특히 주어진 선 중 하나에 있을 수 있습니다. 스트레이트인 경우 엘그리고 중교차하면 A는이 선의 교차점으로 간주 될 수 있습니다 ( 엘 1 = 나그리고 중 1 = m).
평행하지 않은 선 사이의 각도 엘그리고 중는 직선을 교차하여 형성되는 인접한 각 중 가장 작은 값입니다. 엘 1 그리고 중 1 (엘 1 || 엘, 중 1 || 중). 평행선 사이의 각도는 0으로 가정합니다.
선 사이의 각도 엘그리고 중\(\widehat((l;m)) \)로 표시됩니다. 정의에서 도 단위로 측정하면 0 ° < \(\와이드햇((l;m)) \) < 90°, 라디안인 경우 0 < \(\와이드햇((l;m)) \) < π / 2 .
작업.큐브 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1이 제공됩니다(그림 139).
직선 AB와 DC 1 사이의 각도를 찾으십시오.
직선 AB 및 DC 1 교차점. 선 DC는 선 AB와 평행하므로 정의에 따라 선 AB와 DC 1 사이의 각도는 \(\widehat(C_(1)DC)\)와 같습니다.
따라서 \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°입니다.
직접 엘그리고 중~라고 불리는 수직, 만약 \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. 예를 들어 큐브에서
공간에서 두 직선 사이의 각도를 계산하는 문제는 평면에서와 같은 방식으로 해결됩니다. 선 사이의 각도를 φ로 표시 엘 1 그리고 엘 2 및 ψ - 방향 벡터 사이의 각도 ㅏ 그리고 비 이 직선들.
그렇다면
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90°(그림 206.6), φ = 180° - ψ. 두 경우 모두 cos φ = |cos ψ|가 참이라는 것은 분명합니다. 공식에 따르면(0이 아닌 벡터 a와 b 사이의 각도 코사인은 이러한 벡터의 스칼라 곱을 길이의 곱으로 나눈 값과 같습니다)
$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$
따라서,
$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$
선이 정규 방정식으로 주어집니다.
$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; 그리고 \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$
그런 다음 선 사이의 각도 φ는 다음 공식을 사용하여 결정됩니다.
$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\제곱((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$
선 중 하나(또는 둘 다)가 비정규 방정식으로 제공되는 경우 각도를 계산하려면 이러한 선의 방향 벡터 좌표를 찾은 다음 공식 (1)을 사용해야 합니다.
작업 1.선 사이의 각도 계산
$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;and\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$
직선의 방향 벡터에는 좌표가 있습니다.
a \u003d (-√2; √2; -2), 비 = (√3 ; √3 ; √6 ).
공식 (1)에 의해 우리는
$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$
따라서 이 선 사이의 각도는 60°입니다.
작업 2.선 사이의 각도 계산
$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) 및 \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(케이스) $$
가이드 벡터 뒤에 ㅏ 첫 번째 직선 우리는 법선 벡터의 벡터 곱을 취합니다. N 1 = (3, 0, -12) 및 N 2 = (1; 1; -3) 이 선을 정의하는 평면. 공식에 의해 \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) 우리는
$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$
마찬가지로 두 번째 직선의 방향 벡터를 찾습니다.
$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$
그러나 공식 (1)은 원하는 각도의 코사인을 계산합니다.
$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$
따라서 이 선 사이의 각도는 90°입니다.
작업 3.에 삼각뿔 MAVS 리브 MA, MB 및 MC는 서로 수직입니다(그림 207).
그들의 길이는 각각 4, 3, 6과 같습니다. 점 D는 중간 [MA]입니다. 선 CA와 DB 사이의 각도 φ를 찾으십시오.
SA와 DB를 선 SA와 DB의 방향 벡터라고 하자.
좌표의 원점으로 점 M을 취합시다. 작업 조건에 따라 A(4, 0, 0), B(0, 0, 3), C(0, 6, 0), D(2, 0, 0)가 있습니다. 따라서 \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3)입니다. 우리는 공식 (1)을 사용합니다:
$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9) )) $$
코사인 표에 따르면 직선 CA와 DB 사이의 각도가 약 72 °임을 알 수 있습니다.
으어어어어어어어... 글쎄요 쩝쩝 쩝쩝 쩝쩝 거리는 문장을 읽어보듯 =) 하지만 그럼 릴렉스가 도움이 되겠죠. 따라서 첫 번째 섹션으로 진행하겠습니다. 기사가 끝날 때까지 즐거운 분위기를 유지하기를 바랍니다.
홀이 합창으로 따라 부르는 경우. 두 줄 수:
1) 일치;
2) 병렬: ;
3) 또는 단일 점에서 교차: .
인형을 위한 도움말 : 교차로의 수학적 기호를 기억하십시오. 매우 자주 발생합니다. 항목은 선이 점에서 선과 교차한다는 것을 의미합니다.
첫 번째 경우부터 시작하겠습니다.
두 선은 각각의 계수가 비례하는 경우에만 일치합니다., 즉, 평등과 같은 숫자 "람다"가 있습니다.
직선을 고려하고 해당 계수에서 3개의 방정식을 작성해 보겠습니다. 따라서 각 방정식에서 이러한 선은 일치합니다.
실제로 방정식의 모든 계수가 
-1(변경 부호)을 곱하고 방정식의 모든 계수 
2만큼 줄이면 동일한 방정식을 얻습니다.
선이 평행한 두 번째 경우:
변수에서의 계수가 비례하는 경우에만 두 선이 평행합니다. 
, 하지만.
예를 들어 두 개의 직선을 고려하십시오. 변수에 대한 해당 계수의 비례성을 확인합니다. 
그러나 .
그리고 세 번째 경우, 선이 교차할 때:
변수의 계수가 비례하지 않는 경우에만 두 선이 교차합니다.즉, 평등이 충족되는 "람다" 값이 없습니다. 
따라서 직선의 경우 시스템을 구성합니다. 
첫 번째 방정식에서 다음을 따르고 두 번째 방정식에서 , 따라서, 시스템이 일관성이 없다(해결책 없음). 따라서 변수의 계수는 비례하지 않습니다.
결론: 선이 교차
실제 문제에서는 방금 고려한 솔루션 스킴을 사용할 수 있습니다. 그건 그렇고, 그것은 우리가 수업에서 고려한 공선성 벡터를 확인하는 알고리즘과 매우 유사합니다. 벡터의 선형(비) 의존성 개념. 벡터 기초. 그러나 더 문명화된 패키지가 있습니다.
실시예 1
선의 상대 위치를 찾으십시오. 
해결책직선의 방향 벡터 연구를 기반으로:
a) 방정식에서 선의 방향 벡터를 찾습니다. 
.
, 따라서 벡터는 동일선상에 있지 않고 선이 교차합니다.
만일을 대비하여 나는 교차로에 포인터가 있는 돌을 놓을 것입니다.
나머지는 돌을 뛰어 넘고 계속해서 Kashchei Deathless =)
b) 선의 방향 벡터를 찾습니다. 
선은 동일한 방향 벡터를 가지므로 평행하거나 동일합니다. 여기서 행렬식은 필요하지 않습니다.
분명히 미지수의 계수는 비례하지만 .
평등이 참인지 알아봅시다: 
이런 식으로,
c) 선의 방향 벡터를 찾습니다. 
다음 벡터의 좌표로 구성된 행렬식을 계산해 보겠습니다. 
, 따라서 방향 벡터는 동일선상에 있습니다. 선은 평행하거나 일치합니다.
비례 계수 "람다"는 공선 방향 벡터의 비율에서 직접 쉽게 확인할 수 있습니다. 그러나 방정식 자체의 계수를 통해서도 찾을 수 있습니다. 
.
이제 평등이 참인지 알아봅시다. 두 자유 항은 모두 0이므로 다음과 같습니다.
결과 값은 이 방정식을 충족합니다(모든 숫자가 일반적으로 만족).
따라서 선이 일치합니다.
대답:
곧 당신은 고려된 문제를 말 그대로 몇 초 만에 언어적으로 해결하는 방법을 배우게 될 것입니다(또는 이미 배웠을 수도 있습니다). 이와 관련하여 독립적인 솔루션을 제공할 이유가 없습니다. 기하학적 기초에 중요한 벽돌을 하나 더 배치하는 것이 좋습니다.
이에 대한 무지로 가장 간단한 작업나이팅게일 강도를 가혹하게 처벌합니다.
실시예 2
직선은 방정식으로 주어진다. 점을 지나는 평행선에 대한 방정식을 작성하십시오.
해결책: 알 수 없는 행을 문자로 표시합니다. 조건은 그것에 대해 무엇을 말합니까? 선이 점을 통과합니다. 그리고 선이 평행하면 선 "ce"의 방향 벡터도 선 "te"를 구성하는 데 적합하다는 것이 분명합니다.
방정식에서 방향 벡터를 꺼냅니다.
대답:
예제의 기하학은 간단해 보입니다. 
분석 검증은 다음 단계로 구성됩니다.
1) 선의 방향 벡터가 동일한지 확인합니다(선의 방정식이 적절하게 단순화되지 않으면 벡터가 동일선상에 있음).
2) 점이 결과 방정식을 만족하는지 확인합니다.
대부분의 경우 분석 검증은 구두로 수행하기 쉽습니다. 두 방정식을 보면 많은 사람들이 그림 없이 선이 어떻게 평행한지 빠르게 파악할 수 있습니다.
오늘날의 자기 해결의 예는 창의적일 것입니다. 당신은 여전히 Baba Yaga와 경쟁해야 하고 그녀는 모든 종류의 수수께끼를 좋아하기 때문입니다.
실시예 3
다음과 같은 경우 직선에 평행한 점을 지나는 직선에 대한 방정식을 작성하십시오.
해결하는 방법에는 합리적이고 그다지 합리적이지 않은 방법이 있습니다. 가장 짧은 길은 수업이 끝날 때입니다.
우리는 평행선으로 약간의 작업을 수행했으며 나중에 다시 돌아올 것입니다. 일치하는 선의 경우는 거의 관심이 없으므로 다음에서 잘 알려진 문제를 고려하십시오. 학교 커리큘럼:
스트레이트인 경우 
점에서 교차하면 좌표가 솔루션입니다. 선형 방정식 시스템 
선의 교차점을 찾는 방법? 시스템을 해결합니다.
여기있어 2의 시스템의 기하학적 의미 선형 방정식두 개의 미지의평면에서 교차하는 두 직선(가장 자주)입니다.
실시예 4
선의 교차점 찾기
해결책: 그래픽 및 분석의 두 가지 해결 방법이 있습니다.
그래픽 방식은 단순히 주어진 선을 그리고 도면에서 직접 교차점을 찾는 것입니다: 
여기 우리의 요점이 있습니다: . 확인하려면 좌표를 직선의 각 방정식에 대입해야 합니다. 좌표가 거기에 맞아야 합니다. 즉, 점의 좌표는 시스템의 솔루션입니다. 사실, 우리는 그래픽 방식으로 해결하는 방법을 고려했습니다. 선형 방정식 시스템두 개의 방정식, 두 개의 미지수.
물론 그래픽 방식도 나쁘지는 않지만 눈에 띄는 단점이 있습니다. 아니요, 요점은 7학년 학생들이 이렇게 결정하는 것이 아니라 정확하고 정확한 그림을 그리는 데 시간이 걸린다는 것입니다. 게다가 어떤 선들은 구성하기가 쉽지 않고, 교차점 자체가 공책 시트 밖 서른 왕국 어딘가에 있을 수 있다.
따라서 교차점을 찾는 것이 더 편리합니다. 분석 방법. 시스템을 해결합시다. 
시스템을 풀기 위해 방정식의 항별 덧셈 방법이 사용되었습니다. 관련 기술을 개발하려면 해당 강의를 방문하십시오. 연립방정식을 푸는 방법?
대답:
검증은 간단합니다. 교차점의 좌표는 시스템의 각 방정식을 충족해야 합니다.
실시예 5
선이 교차하는 경우 선의 교차점을 찾으십시오.
이것은 직접 만든 예입니다. 작업은 편리하게 여러 단계로 나눌 수 있습니다. 상태 분석에 따르면 다음이 필요합니다.
1) 직선의 방정식을 쓰십시오.
2) 직선의 방정식을 씁니다.
3) 선의 상대적 위치를 찾으십시오.
4) 선이 교차하면 교차점을 찾으십시오.
행동 알고리즘의 개발은 많은 기하학적 문제에 대한 전형이며, 이에 대해 반복해서 집중할 것입니다.
튜토리얼 끝 부분의 전체 솔루션 및 답변:
수업의 두 번째 섹션에 도달했을 때 신발 한 켤레가 아직 닳지 않았습니다.
일반적이고 매우 중요한 작업부터 시작하겠습니다. 첫 번째 부분에서 우리는 주어진 직선에 평행한 직선을 만드는 방법을 배웠고 이제 닭 다리의 오두막이 90도 회전합니다.
실시예 6
직선은 방정식으로 주어진다. 한 점을 지나는 수직선에 대한 방정식을 작성하십시오.
해결책: 라는 가정하에 알려져 있습니다. 직선의 방향 벡터를 찾는 것이 좋을 것입니다. 선이 수직이므로 트릭은 간단합니다.
방정식에서 우리는 직선의 방향 벡터가 될 법선 벡터를 "제거"합니다.
우리는 점과 방향 벡터로 직선의 방정식을 구성합니다.
대답: 
기하학적 스케치를 펼쳐 보겠습니다.
흠... 주황색 하늘, 주황색 바다, 주황색 낙타.
솔루션의 분석적 검증:
1) 방정식에서 방향 벡터 추출 
그리고 도움으로 벡터의 내적우리는 선이 실제로 수직이라는 결론을 내립니다. .
그건 그렇고, 법선 벡터를 사용할 수 있습니다. 훨씬 쉽습니다.
2) 그 점이 결과 방정식을 만족하는지 확인 
.
다시 한 번 확인은 구두로 수행하기 쉽습니다.
실시예 7
방정식이 알려진 경우 수직선의 교차점 찾기 
그리고 점.
이것은 직접 만든 예입니다. 작업에는 여러 가지 작업이 있으므로 솔루션을 포인트별로 정렬하는 것이 편리합니다.
우리의 재미있는 여행계속:
우리 앞에는 강의 직선 스트립이 있으며 우리의 임무는 가장 짧은 방법으로 강에 도달하는 것입니다. 장애물이 없으며 가장 최적의 경로는 수직선을 따라 이동합니다. 즉, 점에서 선까지의 거리는 수직선분의 길이입니다.
기하학의 거리는 전통적으로 그리스 문자 "ro"로 표시됩니다. 예: - 점 "em"에서 직선 "de"까지의 거리.
점에서 선까지의 거리 
공식으로 표현된다
실시예 8
점에서 선까지의 거리 구하기 
해결책: 필요한 것은 수식에 숫자를 조심스럽게 대입하고 계산을 수행하는 것입니다.
대답: 
도면을 실행해 보겠습니다. 
점에서 선까지의 거리는 정확히 빨간색 세그먼트의 길이입니다. 1단위의 눈금에 체크무늬 종이에 그림을 그리면. \u003d 1cm(2셀)이면 일반 자로 거리를 측정할 수 있습니다.
동일한 도면에 따라 다른 작업을 고려하십시오.
작업은 선에 대해 점에 대칭인 점의 좌표를 찾는 것입니다. 
. 스스로 작업을 수행할 것을 제안하지만 중간 결과와 함께 솔루션 알고리즘을 간략하게 설명합니다.
1) 직선에 수직인 직선을 찾습니다.
2) 선의 교차점을 찾으십시오. 
.
두 작업 모두 이 단원에서 자세히 설명합니다.
3) 점은 세그먼트의 중간점입니다. 우리는 중간과 끝 중 하나의 좌표를 알고 있습니다. 에 의해 세그먼트의 중간 좌표에 대한 공식찾기 .
거리가 2.2 단위와 같은지 확인하는 것은 불필요하지 않습니다.
계산에 어려움이 있을 수 있지만 타워에서는 마이크로 계산기가 많은 도움이 되어 계산할 수 있습니다. 공통 분수. 여러 번 조언했고 다시 추천할 것입니다.
실시예 9
두 평행선 사이의 거리 구하기
이것은 독립 솔루션의 또 다른 예입니다. 약간의 힌트: 푸는 방법은 무한히 많습니다. 수업이 끝날 때 브리핑하지만 스스로 추측하는 것이 더 낫습니다. 나는 당신이 당신의 독창성을 잘 분산시킬 수 있었다고 생각합니다.
모퉁이가 무엇이든간에 다음 잼 : 
기하학에서 두 직선 사이의 각도는 더 작은 각도로 간주되며 이 각도에서 자동으로 둔각이 될 수 없습니다. 그림에서 빨간색 호로 표시된 각도는 교차하는 선 사이의 각도로 간주되지 않습니다. 그리고 "녹색" 이웃 또는 반대 방향크림슨 코너.
선이 수직이면 4개의 각 중 어느 것이나 그 사이의 각으로 간주할 수 있습니다.
각도가 어떻게 다른가요? 정위. 첫째, 모서리를 "스크롤"하는 방향이 기본적으로 중요합니다. 둘째, 음의 방향 각도는 빼기 기호로 작성됩니다(예: .
내가 왜 이런 말을 했지? 각도의 일반적인 개념으로 이해할 수 있을 것 같습니다. 사실 각도를 찾는 공식에서 부정적인 결과를 쉽게 얻을 수 있으며 놀라지 않아야합니다. 빼기 기호가 있는 각도는 더 나쁘지 않으며 매우 특정한 기하학적 의미를 갖습니다. 음의 각도에 대한 도면에서 화살표로 방향(시계 방향)을 나타내는 것이 필수적입니다.
두 선 사이의 각도를 찾는 방법은 무엇입니까?두 가지 작업 공식이 있습니다.
실시예 10
선 사이의 각도 찾기
해결책그리고 방법 1
스트레이트인 경우 수직이 아닌, 그 다음에 지향적인그들 사이의 각도는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. 
분모에 세심한주의를 기울이자 - 이것이 바로 스칼라 곱직선의 방향 벡터:
이면 공식의 분모가 사라지고 벡터는 직교하고 선은 수직이 됩니다. 이것이 공식에서 선의 비수직성에 대해 유보된 이유입니다.
전술한 내용을 기반으로 솔루션은 두 단계로 편리하게 공식화됩니다.
1) 직선 방향 벡터의 스칼라 곱을 계산합니다.
따라서 선은 수직이 아닙니다.
2) 다음 공식으로 선 사이의 각도를 찾습니다.
사용하여 역함수코너 자체를 찾기 쉽습니다. 이 경우 아크 탄젠트의 홀수를 사용합니다(그림 2 참조). 기본 함수의 그래프와 속성):
대답: 
답변에 표시 정확한 값, 및 계산기를 사용하여 계산된 대략적인 값(도와 라디안 모두가 바람직함).
음, 마이너스, 마이너스, 괜찮습니다. 다음은 기하학적 그림입니다. 
문제의 조건에서 첫 번째 숫자가 직선이고 각도의 "비틀림"이 정확하게 시작되기 때문에 각도가 음의 방향으로 판명 된 것은 놀라운 일이 아닙니다.
정말로 양의 각도를 얻으려면 직선을 바꿔야 합니다. 즉, 두 번째 방정식에서 계수를 가져와야 합니다. 
, 첫 번째 방정식에서 계수를 가져옵니다. 간단히 말해서 직접 시작해야 합니다. 
.
