이 섹션에서 우리는 가장 기본적인 방정식을 기억할 것입니다. 방정식이란 무엇입니까? 인간의 용어로 말하면 등호와 미지수가 있는 일종의 수학적 표현입니다. 일반적으로 문자로 표시되는 것은 "엑스". 방정식을 풀다다음과 같은 x 값을 찾는 것입니다. 초기의표현은 우리에게 올바른 정체성을 줄 것입니다. 아이덴티티는 수학적 지식이 전혀 부담되지 않는 사람에게도 의심의 여지가 없는 표현임을 상기시켜 드리겠습니다. 2=2, 0=0, ab=ab 등 그럼 어떻게 방정식을 푸나요?알아봅시다.
모든 종류의 방정식이 있습니다(놀랐죠?). 그러나 그들의 무한한 다양성은 모두 네 가지 유형으로 나눌 수 있습니다.
4. 다른.)
물론 나머지는 모두 그렇습니다 ...) 여기에는 3 차, 지수, 로그, 삼각 및 기타 모든 종류가 포함됩니다. 우리는 관련 섹션에서 그들과 긴밀히 협력할 것입니다.
나는 때때로 처음 세 가지 유형의 방정식이 너무 감겨서 인식하지 못한다고 즉시 말해야 합니다... 아무것도 아닙니다. 우리는 긴장을 푸는 방법을 배울 것입니다.
그리고 왜 이 네 가지 유형이 필요합니까? 그 다음엔 선형 방정식한 방법으로 해결 정사각형기타 분수 유리 - 세 번째,ㅏ 쉬다전혀 해결되지 않았습니다! 뭐, 결정을 아예 안 하는 게 아니라 헛되이 수학을 모욕한 거죠.) 그들만의 특별한 기법과 방법이 있을 뿐이죠.
그러나 누구에게나 (나는 반복한다- 어느!) 방정식은 풀기 위한 신뢰할 수 있고 문제 없는 기초입니다. 어디서나 항상 작동합니다. 이 베이스 - 무섭게 들리지만 매우 간단합니다. 그리고 매우 (매우!)중요한.
실제로 방정식의 해는 이러한 동일한 변환으로 구성됩니다. 99%에서. 질문에 대한 답변: " 방정식을 푸는 방법?" 거짓말, 바로 이 변신들. 힌트가 분명해?)
에 모든 방정식미지의 것을 찾으려면 원래의 예를 변형하고 단순화해야 합니다. 또한 변경할 때 모습 방정식의 본질은 변하지 않았습니다.이러한 변형을 동일한또는 동등한.
이러한 변환은 방정식에 대해서만.수학에는 여전히 동일한 변환이 있습니다. 표현.이것은 또 다른 주제입니다.
이제 우리는 all-all-all basic을 반복 할 것입니다. 방정식의 동일한 변환.
적용할 수 있기 때문에 기본 어느방정식 - 선형, 이차, 분수, 삼각, 지수, 로그 등 등.
첫 번째 동일한 변환: 모든 방정식의 양변을 더할 수 있습니다(빼기). 어느(그러나 동일합니다!) 숫자 또는 표현식(알 수 없는 표현식 포함!). 방정식의 본질은 변하지 않습니다.
그건 그렇고, 당신은 지속적으로이 변환을 사용했으며 기호 변경으로 방정식의 한 부분에서 다른 부분으로 일부 용어를 전송한다고 생각했습니다. 유형:
문제는 익숙합니다. 우리는 듀스를 오른쪽으로 옮기고 다음을 얻습니다.
사실 당신은 날라방정식의 양쪽에서 듀스. 결과는 동일합니다.
x+2 - 2 = 3 - 2
부호의 변경과 함께 용어를 왼쪽에서 오른쪽으로 옮기는 것은 단순히 첫 번째 동일한 변환의 축약된 버전입니다. 그리고 왜 그런 깊은 지식이 필요합니까? - 물어. 방정식에 아무것도 없습니다. 움직여요, 맙소사. 표지판을 변경하는 것을 잊지 마십시오. 그러나 불평등에서 전이의 습관은 막다른 골목으로 이어질 수 있습니다 ....
두 번째 정체성 변환: 방정식의 양쪽에 같은 값을 곱할 수 있습니다. 0이 아닌숫자 또는 표현식. 이해할 수 있는 한계가 이미 여기에 나타납니다. 0을 곱하는 것은 어리석은 일이지만 나누는 것은 전혀 불가능합니다. 이것은 다음과 같은 멋진 것을 결정할 때 사용하는 변환입니다.
당연하게도, 엑스= 2. 그런데 어떻게 찾았어요? 선택? 아니면 그냥 불? 통찰력을 얻지 않고 통찰력을 기다리지 않으려면 자신이 단지 방정식의 양변을 나눕니다. 5로 나누었습니다. 왼쪽(5x)을 나누면 5가 줄어들어 순수한 X가 남습니다. 이것이 우리가 필요로 하는 것입니다. 그리고 (10)의 우변을 5로 나누면 당연히 듀스가 나왔다.
그게 다야.
웃기지만 이 두 가지(단 두 개!) 동일한 변환이 솔루션의 기초가 됩니다. 수학의 모든 방정식.어떻게! 무엇을, 어떻게 예를 들어보는 것이 이해가 가겠죠?)
시작하자 첫 번째동일한 변형. 좌우로 이동합니다.
어린 아이들을 위한 예입니다.)
다음 방정식을 풀어야 한다고 가정해 보겠습니다.
3-2x=5-3x
주문을 기억합시다. "X와 함께 - 왼쪽으로, X없이 - 오른쪽으로!"이 주문은 첫 번째 항등변환을 적용하라는 지시입니다.) 오른쪽에 x가 있는 표현은 무엇입니까? 3배? 정답이 틀려요! 우리 오른쪽에 - 3배! 마이너스세 엑스! 따라서 왼쪽으로 이동하면 부호가 플러스로 바뀝니다. 얻다:
3-2x+3x=5
그래서 X가 합쳐졌습니다. 숫자를 계산해 봅시다. 왼쪽에 3개. 무슨 표시? "없음"이라는 대답은 허용되지 않습니다!) 트리플 앞에는 실제로 아무 것도 그려지지 않습니다. 그리고 이것은 트리플 앞에 있음을 의미합니다. 플러스.그래서 수학자들은 동의했습니다. 아무 것도 쓰여 있지 않으므로 플러스.따라서 트리플은 오른쪽으로 전송됩니다. 마이너스로.우리는 다음을 얻습니다.
-2x+3x=5-3
빈 공간이 남아 있습니다. 왼쪽에 - 비슷한 것을주고 오른쪽에 - 세십시오. 대답은 즉시:
이 예에서는 하나의 동일한 변환으로 충분했습니다. 두 번째는 필요하지 않았습니다. 글쎄, 알았어.)
장로들을 위한 예)
그건 그렇고, 나는 당신을 위해 몇 가지 더 흥미로운 사이트를 가지고 있습니다.)
예제를 푸는 연습을 하고 레벨을 알 수 있습니다. 즉각적인 검증으로 테스트합니다. 학습 - 관심을 가지고!)
함수와 파생어에 대해 알 수 있습니다.
I. 도끼 2 \u003d 0 – 불완전한 이차 방정식 (b=0, c=0 ). 솔루션: x=0. 답: 0.
방정식을 풉니다.
2x·(x+3)=6x-x 2 .
해결책.곱하여 괄호 확장 2배괄호 안의 각 용어에 대해:
2x2 +6x=6x-x2 ; 용어를 오른쪽에서 왼쪽으로 이동:
2x2 +6x-6x+x2=0; 다음은 유사한 용어입니다.
3x 2 =0, 따라서 x=0입니다.
대답: 0.
Ⅱ. ax2+bx=0 –불완전한 이차 방정식 (s=0 ). 솔루션: x (ax+b)=0 → x 1 =0 또는 ax+b=0 → x 2 =-b/a. 답: 0; -b/a.
5x2 -26x=0.
해결책.공통점을 빼라 엑스대괄호:
x(5x-26)=0; 각 요소는 0일 수 있습니다.
x=0또는 5x-26=0→ 5x=26, 평등의 양변을 다음으로 나눕니다. 5 그리고 우리는 x \u003d 5.2를 얻습니다.
대답: 0; 5,2.
실시예 3 64x+4x2=0.
해결책.공통점을 빼라 4배대괄호:
4x(16+x)=0. 4≠0의 세 가지 요인이 있으므로, 또는 x=0또는 16+x=0. 마지막 평등에서 우리는 x=-16을 얻습니다.
대답: -16; 0.
실시예 4(x-3) 2 +5x=9.
해결책.두 식의 차이의 제곱에 대한 공식을 적용하여 대괄호를 엽니다.
x 2 -6x+9+5x=9; 다음 형식으로 변환: x 2 -6x+9+5x-9=0; 다음은 유사한 용어입니다.
x2-x=0; 견디다 엑스대괄호 밖에서 x(x-1)=0을 얻습니다. 여기에서 또는 x=0또는 x-1=0→ x=1.
대답: 0; 1.
III. ax2+c=0 –불완전한 이차 방정식 (b=0 ); 솔루션: 도끼 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.
만약 (-c/a)<0 , 그러면 진짜 뿌리가 없습니다. 만약 (-s/a)>0
실시예 5 x 2 -49=0.
해결책.
x 2 \u003d 49, 여기에서 x=±7. 대답:-7; 7.
실시예 6 9x2-4=0.
해결책.
종종 제곱합(x 1 2 +x 2 2) 또는 세제곱합(x 1 3 +x 2 3) 근을 찾아야 합니다. 이차 방정식, 덜 자주 - 근의 제곱의 역수의 합 또는 산술의 합 제곱근이차 방정식의 근에서 :
Vieta의 정리는 이에 도움이 될 수 있습니다.
x 2 +px+q=0
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
표현하다 ~을 통해 피그리고 큐:
1) 방정식의 근의 제곱의 합 x2+px+q=0;
2) 방정식의 근의 세제곱의 합 x2+px+q=0.
해결책.
1) 표현 x 1 2 + x 2 2방정식의 양변을 제곱하여 얻은 x 1 + x 2 \u003d-p;
(x 1 +x 2) 2 \u003d (-p) 2; 대괄호 열기: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; 우리는 원하는 양을 표현합니다: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q. 유용한 방정식이 있습니다. x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.
2) 표현 x 1 3 + x 2 3다음과 같은 형식의 큐브 합계 공식으로 나타냅니다.
(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p(p 2 -2q-q)=-p(p 2 -3q ).
또 다른 유용한 방정식: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q).
예.
3) x 2 -3x-4=0.방정식을 풀지 않고 식의 값을 계산합니다. x 1 2 + x 2 2.
해결책.
x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 3,그리고 일 x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d예 1에서) 평등:
x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.우리는 -피=x 1 +x 2 = 3 → p2=32=9; q= x 1 x 2 = -4. 그 다음에 x 1 2 + x 2 2 =9-2(-4)=9+8=17.
대답: x 1 2 + x 2 2 =17.
4) x 2 -2x-4=0.계산: x 1 3 +x 2 3 .
해결책.
Vieta의 정리에 의해 이 기약된 이차 방정식의 근의 합은 x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 2,그리고 일 x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-넷. 우리가 얻은 것을 적용합시다 ( 예 2에서) 평등: x 1 3 +x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q) \u003d 2(2 2 -3(-4))=2(4+12)=2 16=32.
대답: x 1 3 + x 2 3 =32.
질문: 환원되지 않은 이차 방정식이 주어지면 어떻게 될까요? 답변: 항을 항으로 첫 번째 계수로 나누어 항상 "축소"할 수 있습니다.
5) 2x2 -5x-7=0.풀지 않고 다음을 계산합니다. x 1 2 + x 2 2.
해결책.완전한 이차 방정식이 주어집니다. 방정식의 양변을 2(첫 번째 계수)로 나누고 다음 이차 방정식을 얻습니다. x 2 -2.5x-3.5 \u003d 0.
Vieta의 정리에 따르면 근의 합은 다음과 같습니다. 2,5 ; 뿌리의 산물은 -3,5 .
우리는 예제와 같은 방식으로 해결합니다 3) 평등을 사용하여: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.
x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
대답: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6) x2 -5x-2=0.찾다:
이 평등을 변환하고 비에타 정리의 관점에서 근의 합을 대체하여, -피, 그리고 뿌리의 산물 큐, 우리는 또 다른 유용한 공식을 얻습니다. 공식을 유도할 때 등식 1)을 사용했습니다. x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.
우리의 예에서 x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-2. 결과 공식에 다음 값을 대체하십시오.
7) x 2 -13x+36=0.찾다:
이 합을 변환하고 이차 방정식의 근에서 산술 제곱근의 합을 구할 수 있는 공식을 얻습니다.
우리는 x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d 36. 이 값을 파생 공식에 대입하십시오.
조언 : 항상 적절한 방법으로 이차 방정식의 근을 찾을 가능성을 확인하십시오. 4 검토 유용한 공식판별자가 "불편한" 숫자인 경우 우선 빠르게 작업을 완료할 수 있습니다. 모든 간단한 경우에 뿌리를 찾아 작업하십시오. 예를 들어, 마지막 예에서 우리는 Vieta 정리를 사용하여 근을 선택합니다. 근의 합은 다음과 같아야 합니다. 13 , 그리고 뿌리의 산물 36 . 이 숫자는 무엇입니까? 물론, 4와 9.이제 다음 숫자의 제곱근의 합을 계산합니다. 2+3=5. 그게 다야!
I. 비에타의 정리감소된 이차 방정식의 경우.
기약 이차 방정식의 근의 합 x 2 +px+q=0에서 가져온 두 번째 계수와 같습니다. 반대 기호, 그리고 근의 곱은 자유 항과 같습니다.
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
Vieta의 정리를 사용하여 주어진 이차 방정식의 근을 찾습니다.
예 1) x 2 -x-30=0.이것은 축소된 이차 방정식입니다. ( x 2 +px+q=0), 두 번째 계수 p=-1, 그리고 자유 기간 q=-30.먼저 주어진 방정식에 근이 있고 근(있는 경우)이 정수로 표시되는지 확인합니다. 이를 위해서는 판별식이 정수의 전체 제곱이면 충분합니다.
판별식 찾기 디=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
이제 Vieta 정리에 따르면 근의 합은 반대 부호로 취한 두 번째 계수와 같아야 합니다. ( -피), 그리고 곱은 자유 항과 같습니다. ( 큐). 그 다음에:
x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30.제품이 다음과 같도록 두 숫자를 선택해야 합니다. -30 , 그리고 합계는 단위. 이것들은 숫자입니다 -5 그리고 6 . 답: -5; 6.
예 2) x 2 +6x+8=0.우리는 두 번째 계수와 함께 감소된 이차 방정식을 가지고 있습니다. p=6그리고 무료회원 q=8. 정수 근이 있는지 확인하십시오. 판별식을 구해보자 D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . 판별식 D 1은 숫자의 완전제곱수입니다. 1 , 따라서 이 방정식의 근은 정수입니다. 우리는 Vieta 정리에 따라 뿌리를 선택합니다. 뿌리의 합은 다음과 같습니다. -p=-6, 그리고 뿌리의 곱은 q=8. 이것들은 숫자입니다 -4 그리고 -2 .
실제로: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. 답: -4; -2.
예 3) x 2 +2x-4=0. 이 축소된 이차 방정식에서 두 번째 계수는 p=2, 그리고 자유 기간 q=-4. 판별식을 구해보자 D1, 두 번째 계수가 짝수이기 때문입니다. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. 판별식은 숫자의 완전제곱수가 아니므로 다음을 수행합니다. 결론: 이 방정식의 근은 정수가 아니며 Vieta의 정리를 사용하여 찾을 수 없습니다.따라서 평소와 같이 공식에 따라 이 방정식을 풉니다. 이 경우방식). 우리는 다음을 얻습니다.
예 4).다음과 같은 경우 근을 사용하여 이차 방정식을 작성하십시오. x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.
해결책.원하는 방정식은 다음 형식으로 작성됩니다. x 2 +px+q=0, 또한 Vieta 정리를 기반으로 –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . 그러면 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다. x2 +3x-28=0.
예 5).다음과 같은 경우 근을 사용하여 이차 방정식을 작성하십시오.
Ⅱ. 비에타의 정리완전한 이차 방정식의 경우 ax2+bx+c=0.
근의 합은 마이너스 비로 나눈 ㅏ, 뿌리의 곱은 와 함께로 나눈 ㅏ:
x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.
예 6).이차 방정식의 근의 합 구하기 2x2 -7x-11=0.
해결책.
우리는 이 방정식에 뿌리가 있을 것이라고 확신합니다. 이렇게 하려면 판별식에 대한 식을 작성하면 충분하며, 계산하지 않고 판별식이 0보다 큰지 확인하기만 하면 됩니다. 디=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . 그리고 이제 사용해보자 정리 비에타완전한 이차 방정식의 경우.
x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.
실시예 7). 이차 방정식의 근의 곱 찾기 3x2 +8x-21=0.
해결책.
판별식을 구해보자 D1, 두 번째 계수 이후 ( 8 )는 짝수입니다. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . 이차 방정식은 2 루트, Vieta 정리에 따르면, 루트의 곱 x 1 ∙ x 2 \u003d c: a=-21:3=-7.
I. ax 2 +bx+c=0일반 이차 방정식
판별자 D=b 2 - 4ac.
만약 D>0, 그러면 우리는 두 개의 진짜 뿌리를 갖게 됩니다:
만약 D=0, 우리는 단일 루트 (또는 두 개의 동일한 루트) x=-b/(2a).
만약 D<0, то действительных корней нет.
예시 1) 2x2 +5x-3=0.
해결책. ㅏ=2; 비=5; 씨=-3.
D=b 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 진짜 뿌리.
4x2 +21x+5=0.
해결책. ㅏ=4; 비=21; 씨=5.
D=b 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 진짜 뿌리.
Ⅱ. ax2+bx+c=0 – 특수 이차 방정식 1초 동안
계수 비
예시 3) 3x2 -10x+3=0.
해결책. ㅏ=3; 비\u003d -10(짝수); 씨=3.
예 4) 5x2-14x-3=0.
해결책. ㅏ=5; 비= -14(짝수); 씨=-3.
예 5) 71x2 +144x+4=0.
해결책. ㅏ=71; 비=144(짝수); 씨=4.
실시예 6) 9x 2 -30x+25=0.
해결책. ㅏ=9; 비\u003d -30(짝수); 씨=25.
III. ax2+bx+c=0 – 이차 방정식 개인 유형, 제공: a-b+c=0.
첫 번째 루트는 항상 마이너스 1이고 두 번째 루트는 마이너스입니다. 와 함께로 나눈 ㅏ:
x 1 \u003d -1, x 2 \u003d - c / a.
실시예 7) 2x2+9x+7=0.
해결책. ㅏ=2; 비=9; 씨=7. 평등을 확인합시다. a-b+c=0.우리는 다음을 얻습니다. 2-9+7=0 .
그 다음에 x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -c / a \u003d -7 / 2 \u003d -3.5.대답: -1; -3,5.
IV. ax2+bx+c=0 – 조건에서 특정 형식의 이차 방정식 : a+b+c=0.
첫 번째 루트는 항상 1이고 두 번째 루트는 다음과 같습니다. 와 함께로 나눈 ㅏ:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a.
실시예 8) 2x2 -9x+7=0.
해결책. ㅏ=2; 비=-9; 씨=7. 평등을 확인합시다. a+b+c=0.우리는 다음을 얻습니다. 2-9+7=0 .
그 다음에 x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 7/2 \u003d 3.5.대답: 1; 3,5.
1/1 페이지 1 1
1. 대체 방법에 의한 시스템의 솔루션.
2. 시스템 방정식의 항별 덧셈(뺄셈)에 의한 시스템의 솔루션.
연립방정식을 풀기 위해 대체 방법간단한 알고리즘을 따라야 합니다.
1. 표현합니다. 모든 방정식에서 하나의 변수를 표현합니다.
2. 대체. 표현된 변수 대신 다른 방정식으로 결과 값을 대입합니다.
3. 결과 방정식을 하나의 변수로 풉니다. 우리는 시스템에 대한 솔루션을 찾습니다.
해결하다 항별 덧셈(뺄셈)에 의한 시스템필요:
1. 동일한 계수를 만들 변수를 선택합니다.
2. 방정식을 더하거나 빼서 결과적으로 하나의 변수가 있는 방정식을 얻습니다.
3. 결과 선형 방정식을 풉니다. 우리는 시스템에 대한 솔루션을 찾습니다.
시스템의 솔루션은 함수 그래프의 교차점입니다.
예제를 사용하여 시스템의 솔루션을 자세히 고려해 보겠습니다.
예 #1:
2x+5y=1(1 방정식)
x-10y=3(2차 방정식)
1. 익스프레스
두 번째 방정식에는 계수가 1인 변수 x가 있으므로 두 번째 방정식에서 변수 x를 표현하는 것이 가장 쉬운 것으로 나타났습니다.
x=3+10y
2. 표현 후 첫 번째 방정식에서 변수 x 대신 3 + 10y를 대입합니다.
2(3+10년)+5년=1
3. 결과 방정식을 하나의 변수로 풉니다.
2(3+10y)+5y=1(열린 대괄호)
6+20년+5년=1
25년=1-6
25년=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2
방정식 시스템의 솔루션은 그래프의 교차점이므로 교차점이 x와 y로 구성되어 있기 때문에 x와 y를 찾아야 합니다. x를 찾아보자, 우리가 표현한 첫 번째 단락에서 y를 거기에 대입합니다.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1
처음에 점을 쓰는 것이 일반적이고 변수 x를 쓰고 두 번째 위치에 변수 y를 쓰는 것이 일반적입니다.
답: (1; -0.2)
예 #2:
3x-2y=1(1 방정식)
2x-3y=-10(2차 방정식)
1. 변수를 선택합니다. x를 선택한다고 가정해 보겠습니다. 첫 번째 방정식에서 변수 x는 두 번째 - 2에서 3의 계수를 갖습니다. 계수를 동일하게 만들어야 합니다. 이를 위해 방정식을 곱하거나 임의의 숫자로 나눌 수 있는 권리가 있습니다. 첫 번째 방정식에 2를 곱하고 두 번째 방정식에 3을 곱하여 총 계수 6을 얻습니다.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. 첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 빼서 변수 x를 제거하고 선형 방정식을 풉니다.
__6x-4y=2
5년=32 | :5
y=6.4
3. x를 찾습니다. 첫 번째 방정식을 가정해 봅시다. 모든 방정식에서 발견된 y를 대체합니다.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6
교차점은 x=4.6이 됩니다. y=6.4
답: (4.6, 6.4)
무료로 시험을 준비하시겠습니까? 온라인 튜터 무료입니다. 농담이 아니다.
7학년 수학 과목에서 그들은 처음 만난다. 두 개의 변수가 있는 방정식, 그러나 그들은 두 개의 미지수가 있는 연립방정식의 맥락에서만 연구됩니다. 그렇기 때문에 문제를 제한하는 방정식의 계수에 특정 조건이 도입되는 많은 문제가 눈에 띄지 않습니다. 또한 이러한 종류의 문제는 USE 자료와 입학 시험에서 점점 더 자주 접하지만 "자연 또는 정수로 방정식 풀기"와 같은 문제를 해결하는 방법도 무시됩니다.
어떤 방정식을 두 개의 변수가 있는 방정식이라고 부를까요?
예를 들어 방정식 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 또는 xy = 12는 변수가 2인 방정식입니다.
방정식 2x - y = 1을 고려하십시오. x = 2 및 y = 3에서 진정한 평등으로 바뀌므로 이 변수 값 쌍은 고려 중인 방정식의 해입니다.
따라서 두 개의 변수가 있는 방정식의 해는 순서쌍(x; y)의 집합이며, 이 방정식이 진정한 수치 평등으로 바뀌는 변수의 값입니다.
미지수가 두 개인 방정식은 다음을 수행할 수 있습니다.
ㅏ) 하나의 솔루션이 있습니다.예를 들어 방정식 x 2 + 5y 2 = 0은 다음과 같습니다. 유일한 결정 (0; 0);
비) 여러 솔루션이 있습니다.예를 들어, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0에는 (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
안에) 솔루션이 없습니다.예를 들어, 방정식 x 2 + y 2 + 1 = 0에는 해가 없습니다.
G) 무한히 많은 솔루션을 가지고 있습니다.예를 들어, x + y = 3입니다. 이 방정식의 해는 합이 3인 숫자가 됩니다. 이 방정식의 해 세트는 (k; 3 - k)로 작성할 수 있습니다. 여기서 k는 임의입니다. 실수.
두 개의 변수로 방정식을 푸는 주요 방법은 인수분해 표현식을 기반으로 하는 방법, 전체 정사각형 강조 표시, 이차 방정식의 속성을 사용하는 방법, 유계 표현식 및 평가 방법입니다. 일반적으로 방정식은 미지수를 찾는 시스템을 얻을 수있는 형식으로 변환됩니다.
채권 차압 통고
실시예 1
방정식을 풉니다. xy - 2 = 2x - y.
해결책.
인수분해를 위해 용어를 그룹화합니다.
(xy + y) - (2x + 2) = 0. 각 괄호에서 공약수를 빼세요.
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y - 2) = 0. 다음이 있습니다.
y = 2, x는 임의의 실수 또는 x = -1, y는 임의의 실수입니다.
이런 식으로, 답은 (x; 2), x € R 및 (-1; y), y € R 형식의 모든 쌍입니다.
음수가 아닌 숫자의 0과 같음
실시예 2
방정식을 풉니다: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
해결책.
그룹화:
(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. 이제 제곱 차이 공식을 사용하여 각 괄호를 접을 수 있습니다.
(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.
음이 아닌 두 표현식의 합은 3x - 2 = 0 및 2y - 3 = 0인 경우에만 0입니다.
따라서 x = 2/3 및 y = 3/2입니다.
답: (2/3; 3/2).
평가 방법
실시예 3
방정식을 풉니다: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.
해결책.
각 괄호에서 전체 정사각형을 선택합니다.
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. 추정 
괄호 안의 표현의 의미.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 및 (y - 2) 2 + 2 ≥ 2이면 방정식의 좌변은 항상 최소 2입니다. 평등은 다음과 같은 경우 가능합니다.
(x + 1) 2 + 1 = 1 및 (y - 2) 2 + 2 = 2이므로 x = -1, y = 2입니다.
답: (-1; 2).
두 번째 차수의 두 변수로 방정식을 푸는 또 다른 방법에 대해 알아 보겠습니다. 이 방법은 방정식이 다음과 같이 간주된다는 것입니다. 일부 변수에 대한 제곱.
실시예 4
방정식을 풉니다: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.
해결책.
x에 대한 2차 방정식으로 방정식을 풀자. 판별식을 구해 봅시다.
D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . 방정식은 D = 0, 즉 y = 4일 때만 해를 갖게 됩니다. y 값을 원래 방정식에 대입하고 x = 3임을 찾습니다.
답: (3, 4).
종종 두 개의 미지수가 있는 방정식에서 다음을 나타냅니다. 변수에 대한 제한.
실시예 5
방정식을 정수로 풉니다: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
해결책.
방정식을 x 2 = -5y 2 + 20x + 2로 다시 작성해 보겠습니다. 오른쪽 부분결과 방정식은 5로 나눌 때 2의 나머지를 제공합니다. 따라서 x 2는 5로 나눌 수 없습니다. 그러나 5로 나눌 수 없는 숫자의 제곱은 1 또는 4의 나머지를 제공합니다. 따라서 평등은 불가능합니다 그리고 해결책이 없습니다.
답: 뿌리가 없습니다.
실시예 6
방정식을 풉니다. (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.
해결책.
각 괄호에서 완전한 사각형을 선택합시다.
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. 방정식의 좌변은 항상 3보다 크거나 같습니다. 평등은 |x| – 2 = 0 및 y + 3 = 0. 따라서 x = ± 2, y = -3입니다.
답: (2, -3) 및 (-2, -3).
실시예 7
방정식을 만족하는 음의 정수(x; y)의 각 쌍에 대해
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, 합계(x + y)를 계산합니다. 가장 적은 금액을 응답하십시오.
해결책.
전체 사각형 선택:
(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x와 y는 정수이므로 제곱도 정수입니다. 37과 같은 두 정수의 제곱의 합은 1 + 36을 더하면 얻습니다. 따라서:
(x - y) 2 = 36 및 (y + 2) 2 = 1 
(x - y) 2 = 1 및 (y + 2) 2 = 36.
이러한 시스템을 풀고 x와 y가 음수임을 고려하면 솔루션을 찾습니다: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
답: -17.
미지수가 두 개인 방정식을 풀 때 어려움이 있더라도 절망하지 마십시오. 조금만 연습하면 모든 방정식을 마스터할 수 있습니다.
질문있으세요? 두 개의 변수로 방정식을 푸는 방법을 모르십니까?
튜터의 도움을 받으려면 - 등록하십시오.
첫 수업은 무료입니다!
사이트에서 자료의 전체 또는 일부를 복사하려면 소스에 대한 링크가 필요합니다.
수학을 해결하기 위해. 빨리 찾기 수학 방정식 솔루션모드에서 온라인. 웹사이트 www.site 허용 방정식을 풀다거의 모든 주어진 대수적, 삼각법또는 초월 방정식 온라인. 다른 단계에서 수학의 거의 모든 섹션을 공부할 때 결정해야 합니다. 온라인 방정식. 즉시 답변을 얻고 가장 중요한 것은 정확한 답변을 얻으려면 이를 수행할 수 있는 리소스가 필요합니다. www.site 덕분에 온라인으로 방정식 풀기몇 분이 소요됩니다. 수학을 풀 때 www.site의 주요 장점 온라인 방정식- 발행된 응답의 속도와 정확성입니다. 사이트는 모든 문제를 해결할 수 있습니다. 온라인 대수 방정식, 삼각 방정식 온라인, 온라인 초월 방정식, 만큼 잘 방정식모드에서 알 수 없는 매개변수 사용 온라인. 방정식강력한 수학적 장치로 사용 솔루션실용적인 작업. 도움으로 수학 방정식언뜻 보기에 혼란스럽고 복잡해 보일 수 있는 사실과 관계를 표현하는 것이 가능합니다. 알 수 없는 양 방정식에서 문제를 공식화하여 찾을 수 있습니다. 매우 정확한형태의 언어 방정식그리고 결정하다모드에서 받은 작업 온라인웹사이트 www.site에서. 어느 대수 방정식, 삼각 방정식또는 방정식함유 탁월한당신을 쉽게 특징 결정하다온라인으로 올바른 답변을 얻으십시오. 자연과학을 공부하다 보면 필연적으로 필요한 방정식 풀기. 이 경우 응답은 정확해야 하며 모드에서 즉시 수신되어야 합니다. 온라인. 따라서 수학 방정식을 온라인으로 풀다필수 계산기가 될 www.site 사이트를 추천합니다. 솔루션 대수 방정식온라인, 삼각 방정식온라인, 만큼 잘 온라인 초월 방정식또는 방정식알 수 없는 매개변수로. 다양한 문제의 뿌리를 찾는 실질적인 문제를 위해 수학 방정식리소스 www.. 해결 온라인 방정식다음을 사용하여 수신된 답변을 확인하는 것이 유용합니다. 온라인 솔루션방정식웹사이트 www.site에서. 방정식을 올바르게 작성하고 즉시 얻을 필요가 있습니다. 온라인 솔루션, 그 후에는 답을 방정식에 대한 솔루션과 비교하는 것만 남아 있습니다. 답을 확인하는 데 1분도 채 걸리지 않습니다. 온라인으로 방정식을 풀다답변을 비교합니다. 이것은 당신이 실수를 피하는 데 도움이 될 것입니다 결정그리고 제 시간에 정답을 맞추세요 온라인으로 방정식 풀기~이든 대수적, 삼각법, 탁월한또는 방정식알 수 없는 매개변수로.
