이 글은 출발점미분 방정식 이론 연구에서. 여기에 텍스트에 지속적으로 나타날 주요 정의와 개념이 수집됩니다. 더 나은 동화와 이해를 위해 정의는 예와 함께 제공됩니다.

미분 방정식(DE)- 이것은 미분 또는 미분의 부호 아래에 미지의 함수를 포함하는 방정식입니다.

미지의 함수가 한 변수의 함수인 경우 미분방정식은 다음과 같습니다. 평범한(약어 ODE - 상미분 방정식). 미지수 함수가 많은 변수의 함수인 경우 미분 방정식은 다음과 같습니다. 편미분방정식.

미분방정식에 포함된 미지수의 도함수의 최대 차수를 미분방정식이라고 합니다. 순서대로 미분 방정식 .

다음은 각각 1차, 2차, 5차 ODE의 예입니다.

2차 편미분 방정식의 예로서 다음을 제시합니다.

또한 다음 형식의 n차 상미분 방정식만 고려할 것입니다. 또는 , 여기서 Ф(x, y) = 0은 암시적으로 정의된 알 수 없는 함수입니다(가능한 경우 명시적 표현 y = f(x)로 작성합니다).

미분방정식의 해를 구하는 과정을 미분 방정식의 적분.

미분 방정식 풀기- 암묵적이다 주어진 기능Ф(x, y) = 0(어떤 경우에는 함수 y가 인수 x로 명시적으로 표현될 수 있음), 미분 방정식을 항등식으로 바꿉니다.

노트.

미분 방정식의 해는 항상 미리 결정된 간격 X 에서 구합니다.

왜 우리는 이것을 별도로 이야기합니까? 예, 많은 문제의 조건에서 간격 X가 언급되지 않았기 때문입니다. 즉, 문제의 조건은 일반적으로 다음과 같이 공식화됩니다. ". 이 경우 원하는 함수 y와 원래 방정식이 모두 의미가 있는 모든 x에 대해 솔루션을 찾아야 한다는 것을 이해해야 합니다.

미분방정식의 해는 흔히 다음과 같이 불린다. 미분 방정식 적분.

함수 또는 미분 방정식의 해라고 할 수 있습니다.

미분 방정식의 해 중 하나는 함수입니다. 실제로 이 함수를 원래 방정식에 대입하면 항등식을 얻습니다. . 이 ODE에 대한 또 다른 솔루션은 예를 들어 . 따라서 미분 방정식은 많은 솔루션을 가질 수 있습니다.

미분방정식의 일반해이 미분방정식의 모든 해를 예외 없이 포함하는 해의 집합입니다.

미분 방정식의 일반 솔루션은 미분 방정식의 일반 적분.

다시 예로 돌아가 보겠습니다. 미분 방정식의 일반 솔루션은 또는 형식을 갖습니다. 여기서 C는 임의의 상수입니다. 위에서 우리는 C = 0과 C = 1을 각각 대입하여 미분 방정식의 일반 적분에서 얻은 이 ODE에 대한 두 가지 해를 표시했습니다.

미분 방정식의 해가 처음에 주어진 추가 조건을 만족하는 경우 다음을 호출합니다. 미분 방정식의 특정 솔루션.

조건 y(1)=1을 충족하는 미분 방정식의 특정 해는 입니다. 진짜, 그리고 .

미분방정식 이론의 주요 문제는 코시 문제, 경계값 문제 및 주어진 간격 X에서 미분방정식의 일반 해를 찾는 문제입니다.

코시 문제주어진 미분방정식의 특정한 해를 찾는 문제이다. 초기 조건, 숫자는 어디에 있습니까?

경계 문제경계점 x 0 및 x 1에서 추가 조건을 충족하는 2계 미분 방정식에 대한 특정 솔루션을 찾는 문제입니다.
f (x 0) \u003d f 0, f (x 1) \u003d f 1, 여기서 f 0과 f 1은 숫자입니다.

경계 값 문제는 종종 경계값 문제.

n 차의 상미분 방정식은 선의, 형식이 이고 계수가 적분 구간에 대한 인수 x의 연속 함수인 경우입니다.

종종 그냥 언급 미분 방정식학생들을 불편하게 합니다. 왜 이런 일이 발생합니까? 대부분의 경우 자료의 기초를 연구 할 때 지식의 격차가 발생하여 difur에 대한 추가 연구가 단순히 고문이되기 때문입니다. 무엇을 해야 할지, 어디서부터 시작할지 결정하는 방법이 명확하지 않습니까?

그러나 우리는 difurs가 보이는 것만큼 어렵지 않다는 것을 보여 주려고 노력할 것입니다.

미분방정식 이론의 기본 개념

학교에서 우리는 미지의 x를 찾아야 하는 가장 간단한 방정식을 알고 있습니다. 사실로 미분 방정식그들과 약간 다를 뿐 - 변수 대신 엑스 그들은 기능을 찾아야합니다 y(x) , 방정식을 항등식으로 바꿉니다.

디 미분 방정식실용적으로 매우 중요합니다. 이것은 우리 주변의 세계와 아무 관련이 없는 추상 수학이 아닙니다. 미분 방정식의 도움으로 많은 실제 자연 과정이 설명됩니다. 예를 들어, 현 진동, 고조파 발진기의 움직임은 역학 문제의 미분 방정식을 통해 물체의 속도와 가속도를 찾습니다. 또한 뒤생물학, 화학, 경제학 및 기타 여러 과학 분야에서 널리 사용됩니다.

미분 방정식 (뒤)는 함수 y(x)의 도함수, 함수 자체, 독립 변수 및 다양한 조합의 기타 매개변수를 포함하는 방정식입니다.

상미분 방정식, 선형 및 비선형, 동차 및 비균일, 1차 이상의 미분 방정식, 편미분 방정식 등 많은 유형의 미분 방정식이 있습니다.

미분 방정식의 해는 이를 항등식으로 바꾸는 함수입니다. 원격 제어의 일반 및 특정 솔루션이 있습니다.

미분 방정식의 일반 솔루션은 방정식을 항등식으로 바꾸는 일반 솔루션 세트입니다. 미분 방정식의 특정 해는 처음에 지정된 추가 조건을 만족하는 해입니다.

미분 방정식의 차수는 포함된 미분 방정식의 최고 차수에 따라 결정됩니다.

상미분 방정식

상미분 방정식하나의 독립 변수를 포함하는 방정식입니다.

1차의 가장 간단한 상미분 방정식을 고려하십시오. 다음과 같습니다.

이 방정식은 단순히 적분함으로써 풀 수 있습니다 오른쪽.

이러한 방정식의 예:

분리 가능한 변수 방정식

일반적으로 이 유형의 방정식은 다음과 같습니다.

다음은 예입니다.

이러한 방정식을 풀려면 변수를 분리하여 다음 형식으로 가져와야 합니다.

그 후에는 두 부분을 통합하고 솔루션을 얻는 것이 남아 있습니다.

1차 선형 미분 방정식

이러한 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

여기서 p(x) 및 q(x)는 독립 변수의 일부 함수이고 y=y(x)는 원하는 함수입니다. 다음은 그러한 방정식의 예입니다.

이러한 방정식을 풀 때 대부분 임의 상수의 변형 방법을 사용하거나 원하는 함수를 다른 두 함수 y(x)=u(x)v(x)의 곱으로 나타냅니다.

이러한 방정식을 풀려면 특정 준비가 필요하며 "변덕스럽게" 가져가기가 매우 어려울 것입니다.

분리 가능한 변수로 DE를 푸는 예

그래서 우리는 가장 간단한 유형의 원격 제어를 고려했습니다. 이제 그 중 하나를 살펴보겠습니다. 변수를 분리할 수 있는 방정식이라고 합시다.

먼저 도함수를 보다 친숙한 형식으로 다시 작성합니다.

그런 다음 변수를 분리합니다. 즉, 방정식의 한 부분에서는 모든 "게임"을 수집하고 다른 부분에서는 "xes"를 수집합니다.

이제 두 부분을 통합해야 합니다.

우리는 통합하고 공통의 결정주어진 방정식:

물론 미분방정식을 푸는 것은 일종의 예술입니다. 방정식이 어떤 유형에 속하는지 이해할 수 있어야 하며, 미분 및 통합 능력은 말할 것도 없고, 방정식을 한 형식 또는 다른 형식으로 가져오기 위해 방정식을 사용하여 어떤 변환을 수행해야 하는지 알아볼 수 있어야 합니다. 그리고 DE를 푸는 데 성공하려면 (모든 것과 마찬가지로) 연습이 필요합니다. 그리고 당신이 가지고 있다면 이 순간미분 방정식이 해결되는 방법을 다룰 시간이 없거나 코시 문제가 인후의 뼈처럼 생겼거나 모르는 경우 저자에게 문의하십시오. 에 짧은 시간우리는 당신에게 준비를 제공합니다 상세한 솔루션, 언제든지 편리한 세부 사항을 이해합니다. 그동안 "미분 방정식을 푸는 방법"이라는 주제에 대한 비디오를 시청하는 것이 좋습니다.

상미분방정식 독립 변수, 이 변수의 알려지지 않은 함수 및 다양한 차수의 파생물(또는 미분)을 연결하는 방정식이라고 합니다.

미분방정식의 차수 포함된 가장 높은 도함수의 차수입니다.

일반적인 것 외에도 편미분 방정식도 공부합니다. 이들은 독립 변수와 관련된 방정식, 이러한 변수의 알려지지 않은 기능 및 동일한 변수에 대한 편도함수입니다. 그러나 우리는 단지 고려할 것입니다 상미분 방정식 따라서 간결함을 위해 "보통"이라는 단어를 생략합니다.

미분 방정식의 예:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

방정식 (1)은 4차, 방정식 (2)는 3차, 방정식 (3) 및 (4)는 2차, 방정식 (5)는 1차입니다.

미분 방정식 N order는 명시적으로 함수를 포함할 필요가 없습니다. N차수와 독립변수. 일부 차수의 파생 상품, 함수, 독립 변수를 명시적으로 포함하지 않을 수 있습니다.

예를 들어, 방정식 (1)에는 함수뿐만 아니라 3차 및 2차의 도함수가 분명히 없습니다. 방정식 (2)에서 - 2차 도함수 및 함수; 방정식 (4)에서 - 독립 변수; 방정식 (5)에서 - 기능. 방정식 (3)만이 모든 도함수, 함수 및 독립 변수를 명시적으로 포함합니다.

미분방정식을 풀면 모든 함수가 호출됩니다. y = f(x), which를 방정식에 대입하면 항등식으로 바뀝니다.

미분방정식의 해를 구하는 과정을 그것의 완성.

실시예 1미분 방정식의 해를 구합니다.

해결책. 우리는 이 방정식을 형식으로 씁니다. 해법은 도함수로 함수를 찾는 것입니다. 적분 미적분학에서 알려진 원래 함수는 역도함수입니다.

그게 다야 주어진 미분 방정식의 해 . 그 안에서 변화 씨, 우리는 다른 솔루션을 얻을 것입니다. 우리는 1계 미분 방정식에 대한 해가 무한하다는 것을 발견했습니다.

미분방정식의 일반해 N차수는 미지의 함수에 대해 명시적으로 표현되고 다음을 포함하는 솔루션입니다. N독립적인 임의의 상수, 즉

예 1의 미분 방정식의 해는 일반적입니다.

미분방정식의 편해 특정 숫자 값이 임의의 상수에 할당되는 솔루션이 호출됩니다.

실시예 2미분방정식의 일반해와 특정해를 구하라. .

해결책. 미분 방정식의 차수가 같도록 방정식의 두 부분을 여러 번 통합합니다.

,

.

결과적으로 우리는 일반적인 솔루션을 얻었습니다.

주어진 3차 미분 방정식.

이제 지정된 조건에서 특정 솔루션을 찾아보겠습니다. 이를 위해 임의의 계수 대신 값을 대체하고 다음을 얻습니다.

.

미분 방정식 외에도 초기 조건이 형식으로 주어지면 이러한 문제를 코시 문제 . 값과 방정식의 일반 솔루션에 대입되고 임의의 상수 값이 발견됩니다. 씨, 그리고 찾은 값에 대한 방정식의 특정 솔루션 씨. 이것은 코시 문제에 대한 해결책입니다.

실시예 3조건에서 예제 1의 미분 방정식에 대한 코시 문제를 풉니다.

해결책. 우리는 초기 조건의 값을 일반 솔루션으로 대체합니다. 와이 = 3, 엑스= 1. 우리는

주어진 1차 미분 방정식에 대한 코시 문제의 해를 다음과 같이 기록합니다.

가장 단순한 것조차도 미분 방정식을 풀려면 복잡한 함수를 포함하여 도함수를 통합하고 취하는 뛰어난 기술이 필요합니다. 이것은 다음 예에서 볼 수 있습니다.

실시예 4미분방정식의 일반해를 구하라.

해결책. 방정식은 양쪽을 즉시 적분할 수 있는 형태로 작성됩니다.

.

변수(대체)를 변경하여 적분 방법을 적용합니다. 하자 , 그럼 .

취하는데 필수 DX그리고 지금-주의-복잡한 기능의 미분 규칙에 따라 수행합니다. 엑스그리고 복잡한 기능이 있습니다("사과"-추출 제곱근또는 동일하게 "1초"의 거듭제곱으로 높이고 "다진 고기"는 루트 아래에 있는 바로 그 표현입니다):

우리는 적분을 찾습니다:

변수로 돌아가기 엑스, 우리는 다음을 얻습니다.

.

이것이 1차 미분방정식의 일반해입니다.

이전 섹션의 기술뿐만 아니라 고등 수학미분 방정식을 푸는 데에도 필요하지만 초등학교, 즉 학교 수학의 기술도 필요합니다. 이미 언급했듯이 모든 차수의 미분 방정식에는 독립 변수가 없을 수 있습니다. 엑스. 학교 벤치에서 잊혀지지 않은 비율에 대한 지식 (그러나 누구나 가지고 있음)은이 문제를 해결하는 데 도움이 될 것입니다. 다음 예입니다.

1차 미분 방정식. 솔루션 예시.
분리 가능한 변수가 있는 미분 방정식

미분 방정식(DE). 이 두 단어는 보통 일반 평신도를 두렵게 만듭니다. 미분 방정식은 터무니없고 많은 학생들이 마스터하기 어려운 것 같습니다. Uuuuuu… 미분 방정식, 이 모든 것을 어떻게 버틸 수 있을까요?!

그러한 견해와 태도는 근본적으로 잘못된 것이다. 미분 방정식은 간단하고 재미있습니다. 미분방정식을 풀기 위해 무엇을 알아야 하고 배울 수 있습니까? diffures를 성공적으로 연구하려면 통합과 차별화를 잘해야 합니다. 주제를 잘 공부할수록 한 변수의 함수 도함수그리고 무한 적분, 미분방정식을 이해하기가 더 쉬울 것입니다. 나는 더 많이 말할 것입니다. 어느 정도 괜찮은 통합 기술이 있다면 주제는 실제로 마스터됩니다! 더 많은 적분 다양한 방식당신은 결정하는 방법을 알고 있습니다 - 더 좋습니다. 왜요? 많이 통합해야 합니다. 그리고 차별화합니다. 또한 강력 추천찾는 법을 배웁니다.

95%의 경우에서 제어 작업 3가지 유형의 1계 미분 방정식이 있습니다. 분리 가능한 방정식, 이 단원에서 다룰 것입니다. 동차 방정식그리고 선형 불균일 방정식. 디퓨저를 공부하는 초보자의 경우 이 순서의 수업을 읽는 것이 좋으며 처음 두 기사를 공부한 후에는 추가 워크샵에서 기술을 통합하는 것이 나쁘지 않을 것입니다. 균질화하는 방정식.

더 희귀한 유형의 미분 방정식이 있습니다: 전체 미분의 방정식, 베르누이 방정식 및 기타. 마지막 두 가지 유형 중에서 가장 중요한 것은 총 미분의 방정식입니다. 신소재 – 부분 통합.

하루나 이틀만 남았다면, 그 다음에 초고속 준비를 위해있다 전격 코스 pdf 형식으로.

이제 랜드마크가 설정되었습니다.

먼저 일반적인 대수 방정식을 기억합시다. 여기에는 변수와 숫자가 포함됩니다. 가장 간단한 예: . 일반 방정식을 푸는 것은 무엇을 의미합니까? 이것은 찾아내는 것을 의미합니다 숫자의 집합이 방정식을 만족시키는 것. 어린이 방정식에 단일 근이 있음을 쉽게 알 수 있습니다. . 재미를 위해 확인을 하고 찾은 근을 방정식에 대입해 보겠습니다.

- 올바른 평등이 얻어지며 이는 솔루션이 올바르게 발견되었음을 의미합니다.

디퓨즈는 거의 같은 방식으로 배열됩니다!

미분 방정식 첫 주문안에 일반적인 경우 포함:
1) 독립변수 ;
2) 종속변수(함수);
3) 함수의 1차 도함수: .

1차 방정식의 일부에서는 "x" 또는 (및) "y"가 없을 수 있지만 이것이 필수적인 것은 아닙니다. 중요한그래서 DU에서 ~였다 1차 도함수, 하지 않았다고차 파생 상품 - 등

무슨 뜻인가요?미분방정식을 푸는 것은 모든 기능의 집합이 방정식을 만족시키는 것. 이러한 함수 집합은 종종 (임의의 상수) 형식을 가지며, 미분 방정식의 일반 솔루션.

실시예 1

미분방정식 풀기

전체 탄약입니다. 시작 위치 해결책?

먼저 파생상품을 약간 다른 형태로 다시 작성해야 합니다. 우리는 많은 사람들이 우스꽝스럽고 불필요하다고 생각했던 성가신 표기법을 기억합니다. 디퓨저를 지배하는 것입니다!

두 번째 단계에서는 가능한지 확인합니다. 분할 변수?변수를 분리한다는 것은 무엇을 의미합니까? 대충 말하자면, 왼쪽에우리는 떠날 필요가있다 오직 "게임", ㅏ 오른쪽에정리하다 x만. 변수 분리는 "학교"조작의 도움으로 수행됩니다. 괄호, 부호 변경으로 부분에서 부분으로 용어 이전, 비율 규칙에 따라 부분에서 부분으로 요소 이전 등

차별은 완전한 승수이자 적대 행위에 적극적으로 참여합니다. 이 예에서 변수는 비율 규칙에 따라 요인을 뒤집음으로써 쉽게 분리됩니다.

변수가 분리됩니다. 왼쪽에는 "게임"만, 오른쪽에는 "X"만 있습니다.

다음 단계 - 미분 방정식 적분. 간단합니다. 두 부분에 적분을 걸면 됩니다.

물론 적분을 취해야 합니다. 에 이 경우그것들은 표 형식입니다:

우리가 기억하듯이, 상수는 모든 역도함수에 할당됩니다. 여기에 두 개의 적분이 있지만 상수를 한 번 쓰면 충분합니다. (상수 + 상수는 여전히 다른 상수와 동일하기 때문에). 대부분의 경우 오른쪽에 배치됩니다.

엄밀히 말하면 적분을 취한 후 미분방정식을 풀린 것으로 간주됩니다. 유일한 것은 우리의 "y"가 "x"를 통해 표현되지 않는다는 것입니다. 즉, 솔루션이 제시됩니다. 암시적으로형태. 미분방정식의 묵시적 해는 다음과 같다. 미분 방정식의 일반 적분. 즉, 는 일반 적분입니다.

이 형식의 답변은 상당히 수용 가능하지만 더 나은 옵션이 있습니까? 얻으려고 노력하자 공통의 결정.

제발, 첫 번째 기술을 기억하십시오, 매우 일반적이며 실제 작업에서 자주 사용됩니다. 적분 후 로그가 오른쪽에 나타나면 많은 경우에(항상 그런 것은 아님) 로그 아래에 상수를 쓰는 것이 좋습니다..

그건, 대신에기록은 일반적으로 작성됩니다 .

이것이 필요한 이유는 무엇입니까? 그리고 "y"를 더 쉽게 표현하기 위해. 우리는 로그의 속성을 사용합니다 . 이 경우:

이제 로그와 모듈을 제거할 수 있습니다.

기능이 명시적으로 제공됩니다. 이것이 일반적인 솔루션입니다.

대답: 일반적인 결정: .

많은 미분 방정식에 대한 답은 확인하기가 상당히 쉽습니다. 우리의 경우 이것은 매우 간단하게 수행됩니다. 찾은 솔루션을 사용하여 차별화합니다.

그런 다음 도함수를 원래 방정식에 대입합니다.

- 정확한 평등이 얻어지며, 이는 일반 솔루션이 확인해야 하는 방정식을 충족함을 의미합니다.

일정한 주기 다양한 의미, 당신은 무한히 많이 얻을 수 있습니다 개인적인 결정미분 방정식. , 등의 기능이 있음이 분명합니다. 미분 방정식을 만족합니다.

때로는 일반적인 솔루션이 호출됩니다. 함수 패밀리. 에 이 예공통의 결정 선형 함수의 가족 또는 직접 비례의 가족입니다.

첫 번째 예에 대한 자세한 논의 후에 미분 방정식에 대한 몇 가지 순진한 질문에 답하는 것이 적절합니다.

1)이 예에서는 변수를 분리했습니다. 이것이 항상 가능합니까?항상은 아닙니다. 그리고 훨씬 더 자주 변수를 분리할 수 없습니다. 예를 들어, 균질 1차 방정식먼저 교체해야 합니다. 예를 들어 1차 선형 비균일 방정식과 같은 다른 유형의 방정식에서는 일반적인 솔루션을 찾기 위해 다양한 트릭과 방법을 사용해야 합니다. 첫 번째 수업에서 고려하는 분리 가능한 변수 방정식은 가장 간단한 유형의 미분 방정식입니다.

2) 미분방정식을 적분하는 것이 항상 가능한가?항상은 아닙니다. 적분할 수 없는 "멋진" 방정식을 생각해 내는 것은 매우 쉽습니다. 게다가 취할 수 없는 적분도 있습니다. 그러나 그러한 DE는 특별한 방법을 사용하여 대략적으로 해결할 수 있습니다. D'Alembert와 Cauchy는 보증합니다... ...어, 잠복합니다.지금 막 많이 읽었습니다. 거의 "다른 세계에서"라고 덧붙였습니다.

3) 이 예에서 우리는 일반 적분 형태의 솔루션을 얻었습니다. . 일반 적분, 즉 명시적 형식으로 "y"를 표현하는 일반 솔루션을 찾는 것이 항상 가능합니까?항상은 아닙니다. 예를 들어: . 자, 여기서 "y"를 어떻게 표현할 수 있습니까?! 이러한 경우 답은 일반 적분으로 작성해야 합니다. 또한 때론 일반적인 해법을 찾을 수도 있지만 너무 번거롭고 엉성하게 작성되어 일반 적분 형태로 답을 남겨두는 것이 좋다.

4) ...아마도 지금은 충분할 것입니다. 첫 번째 예에서 우리는 또 다른 중요한 점 , 그러나 눈사태로 "인형"을 덮지 않기 위해 새로운 정보다음 강의 때까지 남겨두겠습니다.

서두르지 맙시다. 또 다른 간단한 원격 제어 및 또 다른 일반적인 솔루션:

실시예 2

초기 조건을 만족하는 미분 방정식의 특정 해 찾기

해결책: 찾는 조건에 따라 프라이빗 솔루션주어진 초기 조건을 만족하는 DE. 이런 질문을 일컬어 코시 문제.

먼저 일반적인 솔루션을 찾습니다. 방정식에 "x" 변수가 없지만 이것은 당황하지 않아야 합니다. 가장 중요한 것은 1차 도함수가 있다는 것입니다.

우리는 파생 상품을 다시 씁니다. 원하는 형태:

분명히 변수는 왼쪽으로 남자는 오른쪽으로 여자는 나눌 수 있습니다.

방정식을 통합합니다.

일반 적분을 얻습니다. 여기에 악센트 별이있는 상수를 그렸습니다. 사실은 곧 다른 상수로 바뀔 것입니다.

이제 일반 적분을 일반 솔루션으로 변환하려고 합니다(명시적으로 "y"로 표현). 우리는 오래되고 좋은 학교를 기억합니다. . 이 경우:

표시기의 상수는 어떻게 든 정결하지 않은 것처럼 보이므로 일반적으로 하늘에서 땅으로 낮아집니다. 자세히 보면 이렇게 됩니다. 도의 속성을 사용하여 함수를 다음과 같이 다시 작성합니다.

가 상수이면 도 일부 상수이면 다음과 같이 문자로 다시 지정합니다.

상수의 "철거"는 두 번째 기술, 미분 방정식을 푸는 과정에서 자주 사용됩니다.

따라서 일반적인 솔루션은 다음과 같습니다. 지수 함수의 멋진 가족입니다.

마지막 단계에서 주어진 초기 조건을 만족하는 특정 솔루션을 찾아야 합니다. 너무 간단합니다.

과제는 무엇입니까? 픽업 필요 그런조건을 만족시키는 상수의 값.

여러 가지 방법으로 배열할 수 있지만 아마도 가장 이해하기 쉬운 방법은 다음과 같습니다. 일반적인 솔루션에서는 "x" 대신 0을 대체하고 "y" 대신 2를 대체합니다.



그건,

표준 디자인 버전:

이제 찾은 상수 값을 일반 솔루션으로 대체합니다.
– 이것이 우리에게 필요한 특정 솔루션입니다.

대답: 개인 솔루션:

확인을 해봅시다. 특정 솔루션의 검증에는 두 단계가 포함됩니다.

먼저, 찾은 특정 해가 초기 조건 ?을 만족하는지 확인해야 합니다. "x" 대신 0을 대체하고 어떤 일이 발생하는지 확인합니다.
- 예, 실제로 듀스를 얻었습니다. 이는 초기 조건이 충족되었음을 의미합니다.

두 번째 단계는 이미 익숙합니다. 결과 특정 솔루션을 사용하여 파생 상품을 찾습니다.

원래 방정식에 대입:

- 정확한 평등이 얻어진다.

결론: 특정 솔루션을 올바르게 찾았습니다.

좀 더 의미 있는 예시로 넘어갑시다.

실시예 3

미분방정식 풀기

해결책:도함수를 필요한 형식으로 다시 작성합니다.

변수를 분리할 수 있는지 여부를 평가합니까? 할 수 있다. 부호 변경으로 두 번째 항을 오른쪽으로 옮깁니다.

그리고 우리는 비율의 규칙에 따라 요소를 뒤집습니다.

변수가 분리되어 있으므로 두 부분을 통합해 보겠습니다.

경고해야 합니다. 심판의 날이 다가오고 있습니다. 잘 배우지 못했다면 무한 적분, 몇 가지 예를 해결하면 갈 곳이 없습니다. 지금 마스터해야합니다.

왼쪽의 적분은 찾기 쉽습니다. 코탄젠트의 적분으로 수업에서 고려한 표준 기술을 다룹니다. 삼각 함수의 통합지난 해:

오른쪽에는 로그가 있으며 첫 번째 기술 권장 사항에 따르면 상수도 로그 아래에 작성해야 합니다.

이제 일반 적분을 단순화하려고 합니다. 로그만 있기 때문에 로그를 제거하는 것이 가능하고 필요합니다. 사용하여 알려진 속성로그를 최대로 "포장"합니다. 나는 아주 자세하게 쓸 것이다:

포장은 야만적으로 너덜너덜하게 완료되었습니다.

"y"로 표현할 수 있습니까? 할 수 있다. 두 부분 모두 제곱해야 합니다.

하지만 그럴 필요는 없습니다.

세 번째 기술 팁:일반적인 해결책을 얻으려면 권력을 높이거나 뿌리를 내려야 하는 경우 대부분의 경우에이러한 행동을 자제하고 일반 적분의 형태로 답을 남겨야 합니다. 사실 일반적인 솔루션은 큰 뿌리, 표지판 및 기타 쓰레기와 함께 끔찍하게 보일 것입니다.

따라서 우리는 답을 일반 적분으로 씁니다. 형태로 제시하는 것이 좋은 형태로 간주된다. 즉, 오른쪽에 가능하면 상수만 남겨두는 것이 좋다. 꼭 이렇게까지 해야 하는 것은 아니지만 교수님을 기쁘게 하는 것이 항상 유리합니다 ;-)

대답:일반 적분:

! 메모: 모든 방정식의 일반 적분은 여러 가지 방법으로 작성할 수 있습니다. 따라서 결과가 이전에 알려진 답과 일치하지 않는다고 해서 방정식을 잘못 풀었다는 의미는 아닙니다.

일반 적분도 아주 쉽게 확인됩니다. 가장 중요한 것은 다음을 찾을 수 있다는 것입니다. 암시적으로 정의된 함수의 도함수. 답을 구별해 봅시다.

두 항을 다음과 같이 곱합니다.

그리고 우리는 다음과 같이 나눕니다.

원래의 미분 방정식이 정확하게 얻어졌으며, 이는 일반 적분을 올바르게 찾았음을 의미합니다.

실시예 4

초기 조건을 만족하는 미분방정식의 특정 해를 구합니다. 검사를 실행합니다.

이것은 직접 만든 예입니다.

알고리즘은 두 단계로 구성되어 있음을 상기시킵니다.
1) 일반적인 해결책을 찾는 것;
2) 필요한 특정 솔루션 찾기.

확인은 또한 두 단계로 수행되며(예제 2의 샘플 참조) 다음이 필요합니다.
1) 발견된 특정 솔루션이 초기 조건을 충족하는지 확인합니다.
2) 특정 해가 일반적으로 미분방정식을 만족하는지 확인한다.

수업이 끝날 때 완전한 솔루션과 답변.

실시예 5

미분 방정식의 특정 해 찾기 , 초기 조건을 만족합니다. 검사를 실행합니다.

해결책:먼저 일반적인 해를 구해보자 이 방정식은 이미 만들어진 미분과 , 즉 해가 단순화되었음을 의미합니다. 변수 분리:

방정식을 통합합니다.

왼쪽의 적분은 표 형식이고 오른쪽의 적분은 취한 것입니다. 미분 부호 아래에서 함수를 합산하는 방법:

일반 적분을 구했는데 일반 솔루션을 성공적으로 표현할 수 있습니까? 할 수 있다. 우리는 양쪽에 로그를 걸었습니다. 양수이므로 모듈로 기호는 중복됩니다.

(변신은 다들 이해하셨으면 하는 바램, 그런건 이미 알고있어야함)

따라서 일반적인 솔루션은 다음과 같습니다.

주어진 초기 조건에 해당하는 특정 솔루션을 찾자.
일반 솔루션에서 "x" 대신 0을, "y" 대신 2의 로그를 대체합니다.

더 친숙한 디자인:

우리는 상수의 발견된 값을 일반 솔루션으로 대체합니다.

대답:개인 솔루션:

확인: 먼저 초기 조건이 충족되는지 확인합니다.
- 모든 좋은.

이제 찾은 특정 해가 미분방정식을 전혀 만족하는지 확인해보자. 파생 상품을 찾습니다.

원래 방정식을 살펴보겠습니다. – 차동으로 표시됩니다. 확인하는 방법은 2가지가 있습니다. 발견된 미분과의 미분을 표현하는 것이 가능합니다:

우리는 발견된 특정 솔루션과 결과 미분을 원래 방정식으로 대체합니다. :

기본 로그 항등을 사용합니다.

올바른 평등이 얻어지며 이는 특정 솔루션이 올바르게 발견되었음을 의미합니다.

확인하는 두 번째 방법은 미러링되고 더 친숙합니다. 방정식에서 이를 위해 우리는 모든 조각을 다음과 같이 나눕니다.

그리고 변환된 DE에서 우리는 얻은 특정 솔루션과 발견된 도함수를 대체합니다. 단순화의 결과로 올바른 평등도 얻어야 합니다.

실시예 6

미분 방정식을 풉니다. 답을 일반 적분으로 표현하십시오.

이것은 수업이 끝날 때 자체 해결, 완전한 솔루션 및 답변에 대한 예입니다.

분리 가능한 변수로 미분 방정식을 풀 때 어떤 어려움이 기다리고 있습니까?

1) 변수가 분리될 수 있다는 것이 (특히 찻주전자에 대해) 항상 분명한 것은 아닙니다. 조건부 예를 고려하십시오. . 여기서 대괄호에서 요소를 제거하고 근을 분리해야 합니다. 더 나아가는 방법은 분명합니다.

2) 통합 자체의 어려움. 적분은 종종 가장 간단하지 않고 발생하며, 찾는 기술에 결함이 있는 경우 무한 적분, 그러면 많은 디퓨저에서 어려울 것입니다. 또한 컬렉션 및 매뉴얼의 컴파일러는 "미분 방정식이 간단하기 때문에 적어도 적분은 더 복잡할 것"이라는 논리로 유명합니다.

3) 상수가 있는 변환. 모두가 알아차렸듯이, 미분 방정식의 상수는 매우 자유롭게 다룰 수 있으며 일부 변환은 초보자에게 항상 명확하지 않습니다. 또 다른 가상의 예를 살펴보겠습니다. . 그것에서 모든 항에 2를 곱하는 것이 좋습니다. . 결과 상수는 다음과 같이 나타낼 수 있는 일종의 상수이기도 합니다. . 예, 오른쪽에 로그가 있으므로 상수를 다른 상수로 다시 작성하는 것이 좋습니다. .

문제는 인덱스에 신경 쓰지 않고 같은 문자를 사용하는 경우가 많다는 것입니다. 결과적으로 결정 레코드는 다음 형식을 취합니다.

무슨 이단? 다음은 오류입니다! 엄밀히 말하면 그렇습니다. 그러나 실질적인 관점에서 보면 변수 상수의 변환 결과로 변수 상수가 여전히 얻어지기 때문에 오류가 없습니다.

또는 다른 예로, 방정식을 푸는 과정에서 일반 적분을 얻는다고 가정합니다. 이 답변은 보기 흉하므로 각 용어의 부호를 변경하는 것이 좋습니다. . 공식적으로 다시 오류가 발생합니다. 오른쪽에 라고 적어야 합니다. 그러나 "마이너스 ce"는 여전히 일정하다는 것이 비공식적으로 암시됩니다( 어떤 값도 취합니다!), 따라서 "빼기"를 넣는 것은 의미가 없으며 동일한 문자를 사용할 수 있습니다.

나는 부주의한 접근을 피하려고 노력할 것이고, 그것들을 변환할 때 여전히 상수에 대해 다른 색인을 내려놓을 것입니다.

실시예 7

미분 방정식을 풉니다. 검사를 실행합니다.

해결책:이 방정식은 변수의 분리를 허용합니다. 변수 분리:

우리는 다음을 통합합니다:

여기서 상수는 로그로 정의할 필요가 없습니다. 좋은 결과가 없기 때문입니다.

대답:일반 적분:

확인: 답을 구별합니다(암시적 기능):

우리는 분수를 제거합니다. 이를 위해 두 항에 다음을 곱합니다.

원래의 미분 방정식이 얻어졌으며, 이는 일반 적분이 올바르게 발견되었음을 의미합니다.

실시예 8

DE의 특정 솔루션을 찾으십시오.
,

이것은 직접 만든 예입니다. 유일한 힌트는 여기에서 일반 적분을 얻을 수 있다는 것입니다. 더 정확하게는 특정 솔루션이 아니라 사설 적분. 수업이 끝날 때 완전한 솔루션과 답변.

미분 방정식의 해. 우리 덕분에 온라인 서비스모든 종류와 복잡성의 미분 방정식을 풀 수 있습니다: 비균일, 동차, 비선형, 선형, 1차, 2차, 분리 가능한 변수가 있거나 없는 등 다음을 사용하여 분석 형식의 미분 방정식의 해를 얻을 수 있습니다. 상세 설명. 많은 사람들이 관심을 가지고 있습니다. 왜 온라인으로 미분 방정식을 풀어야 합니까? 이 유형방정식은 미분 방정식을 계산하지 않고는 많은 문제를 푸는 것이 불가능한 수학과 물리학에서 매우 일반적입니다. 또한 미분 방정식은 경제학, 의학, 생물학, 화학 및 기타 과학에서 일반적입니다. 이러한 방정식을 온라인으로 풀면 작업이 크게 쉬워지고 자료를 더 잘 이해하고 스스로 테스트할 수 있습니다. 온라인 미분방정식 풀이의 이점. 현대 수학 서비스 사이트를 사용하면 미분 방정식을 풀 수 있습니다. 온라인으로어려움. 당신이 알고 있듯이 많은 수의미분방정식의 종류와 각각 고유한 해법이 있습니다. 당사 서비스에서 온라인으로 모든 차수 및 유형의 미분 방정식의 솔루션을 찾을 수 있습니다. 해결책을 얻으려면 초기 데이터를 입력하고 "해결책" 버튼을 클릭하는 것이 좋습니다. 서비스 운영상의 오류는 제외하므로 100% 정확한 답변을 받으실 수 있습니다. 당사 서비스로 미분 방정식을 풉니다. 온라인으로 미분 방정식을 풉니다. 기본적으로 이러한 방정식에서 y 함수는 x 변수의 함수입니다. 그러나 고유한 변수 지정을 설정할 수도 있습니다. 예를 들어, 미분 방정식에 y(t)를 지정하면 서비스에서 y가 t 변수의 함수임을 자동으로 결정합니다. 전체 미분 방정식의 차수는 방정식에 있는 함수의 도함수의 최대 차수에 따라 달라집니다. 그러한 방정식을 푸는 것은 필요한 기능을 찾는 것을 의미합니다. 저희 서비스는 온라인으로 미분 방정식을 푸는 데 도움이 될 것입니다. 방정식을 푸는 데 많은 노력이 필요하지 않습니다. 필요한 필드에 방정식의 왼쪽과 오른쪽 부분을 입력하고 "솔루션" 버튼을 클릭하기만 하면 됩니다. 함수의 도함수를 입력할 때 아포스트로피로 표시해야 합니다. 몇 초 만에 미분 방정식에 대한 기성품의 상세한 솔루션을 갖게 될 것입니다. 우리의 서비스는 절대적으로 무료입니다. 분리 가능한 변수가 있는 미분 방정식. 왼쪽의 미분방정식에서 y에 의존하는 표현식이 있고 오른쪽에 x에 의존하는 표현식이 있으면 이러한 미분방정식은 분리 가능한 변수로 호출됩니다. 왼쪽에 y의 도함수가 있을 수 있으며, 이러한 종류의 미분 방정식의 해는 방정식의 오른쪽에 적분을 통해 표현되는 y의 함수 형태가 됩니다. 좌변에 y 함수의 미분이 있으면 방정식의 두 부분이 모두 적분됩니다. 미분 방정식의 변수가 분리되지 않은 경우 분리된 미분 방정식을 얻기 위해 나누어야 합니다. 선형 미분 방정식. 미분 방정식은 함수와 모든 도함수가 1차이면 선형이라고 합니다. 일반 양식방정식: y'+a1(x)y=f(x). f(x) 및 a1(x)는 x의 연속 함수입니다. 이 유형의 미분 방정식의 해는 분리된 변수가 있는 두 개의 미분 방정식의 통합으로 축소됩니다. 미분 방정식의 차수. 미분 방정식은 1차, 2차, n차일 수 있습니다. 미분 방정식의 차수는 그 안에 포함된 가장 높은 도함수의 차수를 결정합니다. 우리 서비스에서 첫 번째, 두 번째, 세 번째 등의 온라인 미분 방정식을 풀 수 있습니다. 주문하다. 방정식의 해는 함수 y=f(x)가 될 것이며, 이를 방정식에 대입하면 항등식을 얻을 수 있습니다. 미분방정식의 해를 구하는 과정을 적분이라고 합니다. 코시 문제. 미분방정식 자체에 추가하여 초기 조건 y(x0)=y0이 지정되면 이를 코시 문제라고 합니다. 방정식의 해에 지시자 y0과 x0을 더하고 임의의 상수 C의 값을 결정한 다음 이 C 값에 대한 방정식의 특정 해를 구합니다. 이것이 코시 문제의 해입니다. 코시 문제는 경계 조건 문제라고도 하며 물리학 및 역학에서 매우 일반적입니다. 또한 코시 문제를 설정할 기회가 있습니다. 즉, 방정식에 대한 모든 가능한 솔루션에서 주어진 초기 조건을 충족하는 특정 솔루션을 선택할 수 있습니다.