Az első figyelemre méltó határ a következő egyenlőség:
\begin(egyenlet)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(egyenlet)
Mivel a $\alpha\to(0)$ esetében van $\sin\alpha\to(0)$, azt mondjuk, hogy az első csodálatos határ feltárja a $\frac(0)(0)$ alak bizonytalanságát. Általánosságban elmondható, hogy az (1) képletben a $\alpha$ változó helyett a szinuszjel alatt és a nevezőben bármely kifejezés elhelyezhető, ha két feltétel teljesül:
Az első figyelemre méltó határból származó következtetéseket is gyakran használják:
\begin(egyenlet) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(egyenlet) \begin(egyenlet) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(egyenlet) \begin(egyenlet) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(egyenlet)
Ezen az oldalon tizenegy példa van megoldva. Az 1. példa a (2)-(4) képletek bizonyítására szolgál. A 2., 3., 4. és 5. példák megoldásokat tartalmaznak részletes megjegyzésekkel. A 6-10. példák olyan megoldásokat tartalmaznak, amelyekhez nem vagy csak kevés megjegyzés tartozik, amint azt az előző példákban részletesen megmagyaráztuk. A megoldás során néhány trigonometrikus képletet használnak, amelyek megtalálhatók.
Megjegyzem, hogy a trigonometrikus függvények jelenléte a $\frac (0) (0)$ bizonytalanságával párosulva nem jelenti azt, hogy az első figyelemre méltó határértéket alkalmazni kell. Néha elegendő egyszerű trigonometrikus transzformáció – például lásd.
1. példa
Igazolja, hogy $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) Mivel $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, akkor:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Mivel $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ és $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , akkor:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) Tegyük a $\alpha=\sin(y)$ cserét. Mivel $\sin(0)=0$, így a $\alpha\to(0)$ feltételből $y\to(0)$. Ezenkívül van egy nulla környéke, ahol $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, tehát:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
A $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ egyenlőség bizonyított.
c) Tegyük a $\alpha=\tg(y)$ cserét. Mivel $\tg(0)=0$, a $\alpha\to(0)$ és a $y\to(0)$ feltételek egyenértékűek. Ezenkívül van egy nullakörnyezet, ahol $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, ezért az a) pont eredményeire támaszkodva a következőt kapjuk:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
A $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ egyenlőség bizonyított.
Az a), b), c) egyenlőségeket gyakran az első figyelemre méltó határértékkel együtt használják.
2. példa
Számítási korlát $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.
Mivel $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ és $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, azaz. és a tört számlálója és nevezője egyszerre nullára hajlik, akkor itt egy $\frac(0)(0)$ alakú bizonytalansággal van dolgunk, azaz. teljesített. Ezen kívül látható, hogy a szinuszjel alatti és a nevezőben lévő kifejezések megegyeznek (azaz teljesül):
Tehát az oldal elején felsorolt mindkét feltétel teljesül. Ebből következik, hogy a képlet alkalmazható, i.e. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
Válasz: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
3. példa
Keresse meg: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
Mivel $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ és $\lim_(x\to(0))x=0$, ezért a $\frac( alakú bizonytalansággal van dolgunk 0 )(0)$, azaz teljesített. A szinuszjel alatti és a nevezőben lévő kifejezések azonban nem egyeznek. Itt be kell állítani a nevezőben lévő kifejezést kívánt formát. Szükségünk van arra, hogy a $9x$ kifejezés szerepeljen a nevezőben - akkor igaz lesz. Alapvetően hiányzik a 9$-os faktor a nevezőből, amit nem is olyan nehéz megadni, csak szorozzuk meg a nevezőben lévő kifejezést 9$-ral. Természetesen a 9 dollárral való szorzás kompenzálásához azonnal el kell osztania 9 dollárral, és el kell osztania:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$
Most a nevezőben és a szinuszjel alatti kifejezések megegyeznek. A $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ korlát mindkét feltétele teljesül. Ezért $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Ez pedig azt jelenti, hogy:
$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Válasz: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
4. példa
Keresse meg: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
Mivel $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ és $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, itt a $\frac(0)(0)$ formában. Az első figyelemre méltó határ formája azonban megtört. A $\sin(5x)$-t tartalmazó számláló esetében a nevezőben $5x$ kell. Ebben a helyzetben a legegyszerűbb módja, ha a számlálót elosztja $5x$-tal, és azonnal megszorozza $5x$-ral. Ezenkívül egy hasonló műveletet hajtunk végre a nevezővel, megszorozva és elosztva $\tg(8x)$-t $8x$-val:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
$x$-val csökkentve és a $\frac(5)(8)$ konstanst kivesszük a határjelből, így kapjuk:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
Ne feledje, hogy a $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ teljes mértékben megfelel az első figyelemre méltó korlát követelményeinek. A $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ megtalálásához a következő képlet használható:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Válasz: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
5. példa
Keresse meg: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
Mivel $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (emlékezzünk rá, hogy $\cos(0)=1$) és $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, akkor $\frac(0)(0)$ alakú határozatlansággal van dolgunk. Az első csodálatos határ alkalmazásához azonban meg kell szabadulnia a koszinusztól a számlálóban úgy, hogy a szinuszokhoz (a képlet alkalmazásához) vagy az érintőkhöz (a képlet alkalmazásához) lép. Ezt a következő transzformációval teheti meg:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\jobb)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Térjünk vissza a határhoz:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\jobbra) $$
A $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ tört már közel van az első figyelemre méltó határhoz szükséges alakhoz. Dolgozzunk egy kicsit a $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ törttel, igazítsuk az első csodálatos határértékre (megjegyzendő, hogy a számlálóban és a szinusz alatti kifejezéseknek egyeznie kell):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
Térjünk vissza a figyelembe vett határhoz:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Válasz: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
6. példa
Keresse meg a $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ korlátot.
Mivel $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ és $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, akkor $\frac(0)(0)$ bizonytalanságával van dolgunk. Nyissuk meg az első figyelemre méltó határ segítségével. Ehhez térjünk át a koszinuszokról a szinuszokra. Mivel $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, akkor:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Ha átlépjük a megadott határértéket a szinuszokra, akkor a következőket kapjuk:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Válasz: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
7. példa
$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ korlát kiszámítása $\alpha\neq\ beta $.
A részletes magyarázatot korábban már közöltük, de itt egyszerűen csak megjegyezzük, hogy a $\frac(0)(0)$ határozatlanságáról van szó. A képlet segítségével térjünk át a koszinuszokról a szinuszokra
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
A fenti képlet segítségével a következőt kapjuk:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\jobbra| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ béta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\jobbra)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\jobbra))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Válasz: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.
8. példa
Keresse meg a $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ korlátot.
Mivel $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (emlékezzünk rá, hogy $\sin(0)=\tg(0)=0$) és $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, akkor itt egy $\frac(0)(0)$ alakú határozatlanságról van szó. Bontsuk fel így:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\jobbra))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\jobb) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
Válasz: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
9. példa
Keresse meg a $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ korlátot.
Mivel $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ és $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, akkor van egy $\frac(0)(0)$ alakú határozatlanság. Mielőtt folytatná a kibővítését, célszerű úgy módosítani a változót, hogy az új változó nullára hajoljon (megjegyezzük, hogy a képletekben a $\alpha \to 0$ változó). A legegyszerűbb módja a $t=x-3$ változó bevezetése. A további átalakítások kényelme érdekében azonban (ez az előny az alábbi megoldás során látható) érdemes a következő cserét elvégezni: $t=\frac(x-3)(2)$. Vegye figyelembe, hogy mindkét helyettesítés alkalmazható ez az eset, csak a második csere lehetővé teszi, hogy kevesebbet dolgozzon törtekkel. Mivel $x\to(3)$, majd $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\jobbra| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\jobb) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Válasz: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
10. példa
Keresse meg a $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right) korlátot 2)$.
Ismét a $\frac(0)(0)$ bizonytalanságával van dolgunk. Mielőtt folytatná a kibővítését, célszerű úgy módosítani a változót, hogy az új változó nullára hajoljon (megjegyezzük, hogy a képletekben a változó $\alpha\to(0)$). A legegyszerűbb módja a $t=\frac(\pi)(2)-x$ változó bevezetése. Mivel $x\to\frac(\pi)(2)$, majd $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
Válasz: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
11. példa
$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) korlátok keresése pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
Ebben az esetben nem kell az első csodálatos határt használnunk. Figyelem: mind az első, mind a második korlátban csak trigonometrikus függvények és számok vannak. Az ilyen példákban gyakran lehetséges a határjel alatt található kifejezés egyszerűsítése. Ebben az esetben az említett egyszerűsítés és egyes tényezők csökkentése után a bizonytalanság megszűnik. Ezt a példát egyetlen céllal hoztam fel: megmutatni, hogy a határjel alatti trigonometrikus függvények jelenléte nem feltétlenül jelenti az első figyelemre méltó határérték alkalmazását.
Mivel $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (emlékezzünk rá, hogy $\sin\frac(\pi)(2)=1$) és $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (emlékezzünk rá, hogy $\cos\frac(\pi)(2)=0$), akkor bizonytalansággal állunk szemben $\frac(0)(0)$ formátumú. Ez azonban egyáltalán nem jelenti azt, hogy az első figyelemre méltó határt kell használnunk. A bizonytalanság feltárásához elegendő figyelembe venni, hogy $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Hasonló megoldás található Demidovich megoldási könyvében (475. sz.). Ami a második határértéket illeti, a szakasz előző példáihoz hasonlóan $\frac(0)(0)$ alakú bizonytalanságunk van. Miért merül fel? Azért merül fel, mert $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ és $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Ezeket az értékeket használjuk a számlálóban és a nevezőben lévő kifejezések átalakítására. Cselekvéseink célja: a számlálóba és a nevezőbe írjuk be az összeget szorzatként. Egyébként gyakran kényelmes egy változót egy hasonló formában úgy megváltoztatni, hogy az új változó nullára hajljon (lásd például ezen az oldalon a 9. vagy 10. példát). Azonban in ezt a példát nincs értelme a változót lecserélni, bár ha szükséges, a $t=x-\frac(2\pi)(3)$ változó változtatása könnyen megvalósítható.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\jobbra )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\jobbra)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$
Amint látja, nem kellett alkalmaznunk az első csodálatos határt. Természetesen ez tetszés szerint megtehető (lásd az alábbi megjegyzést), de nem szükséges.
Mi lenne a megoldás az első figyelemre méltó határérték használatával? mutat elrejt
Az első figyelemre méltó határt felhasználva a következőket kapjuk:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ jobbra))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\jobbra)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Válasz: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
Az első figyelemre méltó határértéket gyakran használják olyan határértékek kiszámítására, amelyek szinust, arszinust, érintőt, arctangenst tartalmaznak, és az ebből eredő nulla nullával osztva bizonytalanságokat.
Az első figyelemre méltó határ képlete: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$
Észrevesszük, hogy a $ \alpha\to 0 $ értéke $ \sin\alpha \to 0 $, így a számlálóban és a nevezőben nullák vannak. Ezért az első figyelemre méltó határ képletére van szükség a $ \frac(0)(0) $ bizonytalanságainak feltárásához.
A képlet alkalmazásához két feltételnek kell teljesülnie:
Figyelem! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Bár a kifejezések a szinusz alatt és a nevezőben megegyeznek, de $ 2x ^2+1 = 1 $, amikor $ x\ to 0 $. A második feltétel nem teljesül, így a képlet NEM ALKALMAZHATÓ!
A feladatokban elég ritkán látni egy tiszta első csodálatos határt, amibe azonnal leírhatnád a választ. A gyakorlatban minden kicsit bonyolultabbnak tűnik, de ilyen esetekben hasznos lesz tudni az első figyelemre méltó határ következményeit. Nekik köszönhetően gyorsan kiszámíthatja a kívánt határértékeket.
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$
Tekintsük az első figyelemre méltó határértéket, amelynek megoldására példák trigonometrikus függvényeket és bizonytalanságot tartalmazó határértékek kiszámításához $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $
| 1. példa |
| $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $ kiszámítása |
| Megoldás |
|
Tekintsük a határértéket, és vegyük észre, hogy szinust tartalmaz. Ezután behelyettesítjük a $ x = 0 $ értékkel a számlálóba és a nevezőbe, és megkapjuk a nulla bizonytalanságát osztva nullával: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)( 0) $$ Már két jel arra utal, hogy csodálatos határértéket kell alkalmazni, de van egy apró árnyalat: nem tudjuk azonnal alkalmazni a képletet, mivel a szinuszjel alatti kifejezés eltér a nevezőben lévő kifejezéstől. És nekünk egyenlőnek kell lenniük. Ezért a számláló elemi transzformációi segítségével $2x$-ra alakítjuk. Ehhez a tört nevezőjéből külön faktorral kivesszük a kettőst. Így néz ki: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ , hogy a végén $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ kapott a képlet. Ha nem tudja megoldani a problémát, küldje el nekünk. Részletes megoldást adunk. Képes lesz megismerkedni a számítás menetével és információkat gyűjteni. Ez segít abban, hogy időben kreditet kapjon a tanártól! |
| Válasz |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$ |
| 2. példa |
| Keresse meg a $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ |
| Megoldás |
|
Mint mindig, először is meg kell ismernie a bizonytalanság típusát. Ha ez nulla osztva nullával, akkor figyelni kell a szinusz jelenlétére: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Ez a bizonytalanság lehetővé teszi, hogy az első figyelemre méltó határ képletét használjuk, de a nevezőből származó kifejezés nem egyenlő a szinusz argumentumával? Ezért lehetetlen a „homlokon” képlet alkalmazása. A törtet meg kell szoroznia és el kell osztania a szinusz argumentummal: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x-x^ 4)(x ^3+2x)) = $$ Most leírjuk a határértékek tulajdonságait: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x-x^4 )\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ A második korlát pontosan illeszkedik a képlethez, és egyenlő eggyel: $ $ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x)(2x- x^4) = $$ Helyettesítse be ismét a $ x = 0 $-t egy törtre, és kapja meg a $ \frac(0)(0) $ bizonytalanságot. Ennek kiküszöböléséhez elég kivenni a $ x $-t a zárójelekből és csökkenteni vele: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2)(2) = 1 $$ |
| Válasz |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$ |
| 4. példa |
| $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $ kiszámítása |
| Megoldás |
|
Kezdjük a számítást a $ x=0 $ behelyettesítésével. Ennek eredményeként a $ \frac(0)(0) $ bizonytalanságot kapjuk. A határ egy szinust és egy érintőt tartalmaz, ami az első figyelemre méltó határ képletével utal a helyzet lehetséges alakulására. Alakítsuk át a tört számlálóját és nevezőjét képletté és következménnyé: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Most azt látjuk, hogy a számlálóban és a nevezőben vannak olyan kifejezések, amelyek alkalmasak a képletre és a következményekre. A szinusz argumentum és az érintő argumentum megegyezik a megfelelő nevezőkkel $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$ |
| Válasz |
| $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$ |
Az "Első figyelemre méltó határ, megoldási példák" című cikkben arról volt szó, hogy milyen esetekben célszerű ezt a képletet használni, és milyen következményekkel jár.
A "figyelemre méltó határ" kifejezést széles körben használják a tankönyvekben és oktatási segédletek fontos személyazonosságok jelzésére, amelyek jelentősen segítik egyszerűsítse a munkát határokat találni.
De ahhoz tudjon hozni határa a csodálatosnak, alaposan meg kell nézni, mert nem találhatók meg benne közvetlen forma, és gyakran következmények formájában, további kifejezésekkel és tényezőkkel ellátva. Előbb azonban az elmélet, aztán a példák, és sikerülni fog!
Tetszett? Könyvjelző
Az első figyelemre méltó határérték a következőképpen van felírva ($0/0$ formájú bizonytalanság):
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$
1. példa Számítási korlát $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$
Megoldás. Az első lépés mindig ugyanaz - behelyettesítjük a $x=0$ határértéket a függvénybe, és megkapjuk:
$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$
A $\left[\frac(0)(0)\right]$ formájú bizonytalanságot kaptuk, amit meg kell oldani. Ha jobban megnézzük, az eredeti határ nagyon hasonlít az első figyelemre méltóhoz, de nem esik egybe vele. A mi feladatunk a hasonlóság megteremtése. Alakítsuk át így – nézzük meg a szinusz alatti kifejezést, tegyük ugyanezt a nevezőben (viszonylagosan szorozzuk és osszuk el $3x$-tal), tovább csökkentjük és egyszerűsítjük:
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$
Fent megkaptuk az első csodálatos határt: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text( feltételes helyettesítést tett ) y=3x. $$ Válasz: $3/8$.
2. példa Számítási korlát $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$
Megoldás. Behelyettesítjük a $x=0$ határértéket a függvénybe, és megkapjuk:
$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$
A $\left[\frac(0)(0)\right]$ alakú bizonytalanságot kaptuk. Alakítsuk át a határt, az első csodálatos határt leegyszerűsítve (háromszor!):
$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$
Válasz: $9/16$.
3. példa Keresse meg a $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5) korlátot.$$
Megoldás. De mi van akkor, ha a trigonometrikus függvény alatt összetett kifejezés található? Nem számít, és itt is ugyanúgy járunk el. Először ellenőrizze a bizonytalanság típusát, cserélje be a $x=0$-t a függvénybe, és kapja meg:
$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$
A $\left[\frac(0)(0)\right]$ alakú bizonytalanságot kaptuk. Szorozd és oszd $2x^3+3x$-val:
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x) ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\jobb] = $$
Megint megvan a bizonytalanság, de ebben az esetben ez csak egy töredéke. Csökkentsük a számlálót és a nevezőt $x$-tal:
$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$
Válasz: $3/5$.
A második figyelemre méltó határ a következőképpen van felírva (a $1^\infty$ alak határozatlansága):
$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$
4. példa Keresse meg a $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) korlátot.$$
Megoldás. Ellenőrizzük a bizonytalanság típusát, cseréljük be a $x=\infty$-t a függvénybe, és kapjuk:
$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$
A $\left$ alak bizonytalanságát kaptuk. A határ a második figyelemre méltó értékre csökkenthető. Alakítsuk át:
$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$
A zárójeles kifejezés valójában a második csodálatos határ $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, csak $t=- 3x/2$, szóval
$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$
Válasz:$e^(-2/3)$.
5. példa Keresse meg a $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) korlátot.$ $
Megoldás. Helyettesítsd be a $x=\infty$ függvényt, és kapd meg a $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$ alak bizonytalanságát. És szükségünk van $\left$-ra. Tehát kezdjük a zárójeles kifejezés átalakításával:
$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\jobbra)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \jobbra)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\jobbra)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$
A zárójeles kifejezés valójában a második csodálatos határ $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, csak $t=\ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, tehát
$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$
Találj csodálatos határokat nemcsak sok első, második éves hallgatónak, aki a határok elméletét tanulja, nehéz, hanem néhány tanárnak is.
Az első figyelemre méltó határ következményei
írd le a képleteket
1. 2. 3. 4. De önmagukban a figyelemre méltó határértékek általános képletei senkinek sem segítenek a vizsgán vagy a teszten. A lényeg az, hogy a valós feladatok úgy épülnek fel, hogy a fent leírt képletekhez még el kell jutni. És a legtöbb diák, aki kihagyja az órákat, levelezőn tanulja ezt a kurzust, vagy olyan tanáraik vannak, akik maguk sem mindig értik, hogy mit magyaráznak, a legelemibb példákat sem tudják figyelemre méltó határokig kiszámítani. Az első figyelemre méltó határ képleteiből azt látjuk, hogy használhatók olyan bizonytalanságok vizsgálatára, mint a nulla osztva nullával trigonometrikus függvényekkel rendelkező kifejezéseknél. Először nézzünk meg egy sor példát az első figyelemre méltó határértékre, majd a második figyelemre méltó határra.
1. példa: Határozza meg a sin(7*x)/(5*x) függvény határértékét
Megoldás: Mint látható, a határ alatti függvény közel van az első figyelemre méltó határhoz, de magának a függvénynek a határértéke semmiképpen nem egyenlő eggyel. A határértékekhez való ilyen hozzárendeléseknél a nevezőben egy olyan változót kell kiemelni, amelynek ugyanaz az együtthatója, mint a szinusz alatti változóban. Ebben az esetben osszuk és szorozzuk 7-tel
Egyesek számára az ilyen részletezés feleslegesnek tűnik, de a legtöbb diák számára, aki nehezen szab határokat, segít a szabályok jobb megértésében és az elméleti anyag elsajátításában.
Továbbá, ha van egy inverz alakja a függvénynek - ez is az első csodálatos határ. És mindezt azért, mert a csodálatos határ egyenlő eggyel
Ugyanez a szabály vonatkozik 1 figyelemre méltó határ következményeire is. Ezért, ha megkérdezik: "Mi az első csodálatos határ?" Habozás nélkül azt kell válaszolnia, hogy ez egy egység.
2. példa: Határozza meg a sin(6x)/tan(11x) függvény határértékét
Megoldás: A végeredmény megértéséhez a függvényt a formába írjuk 
A figyelemre méltó határ szabályainak alkalmazásához szorozzuk és osszuk faktorokkal
Ezután a függvények szorzatának határértékét a határértékek szorzatával írjuk fel 
Bonyolult képletek nélkül megtaláltuk néhány trigonometrikus függvény határát. Az asszimilációhoz egyszerű képletek próbáld kitalálni és megtalálni a 2-es és 4-es határt, a csodálatos határ 1. következményének képletét. Megfontoljuk a bonyolultabb feladatokat.
3. példa: Számítsa ki a határértéket (1-cos(x))/x^2
Megoldás: Behelyettesítéssel történő ellenőrzéskor 0/0 bizonytalanságot kapunk. Sokan nem tudják, hogyan lehet egy ilyen példát 1 csodálatos határra csökkenteni. Itt kell használni trigonometrikus képlet 
Ebben az esetben a limit átlátszó formára változik 
Sikerült a függvényt egy figyelemre méltó határ négyzetére csökkenteni.
4. példa Keresse meg a határt
Megoldás: Helyettesítéskor az ismerős 0/0 jellemzőt kapjuk. A változó azonban közelíti a Pi -t, nem pedig a nullát. Ezért az első figyelemreméltó határérték alkalmazásához olyan változtatást hajtunk végre az x változóban, hogy az új változó nullára kerüljön. Ehhez a nevezőt új Pi-x=y változóként jelöljük 
Így az előző feladatban megadott trigonometrikus képlet segítségével a példa 1 csodálatos határra redukálódik.
5. példa Határérték számítása 
Megoldás: Először nem világos, hogyan kell egyszerűsíteni a határokat. De ha van példa, akkor kell válaszolni. Az a tény, hogy a változó egységbe megy, behelyettesítéskor nulla alak szingularitást ad szorozva a végtelennel, ezért az érintőt a képlettel kell helyettesíteni. 
Ezt követően megkapjuk a kívánt 0/0 bizonytalanságot. Ezután végrehajtjuk a változók megváltoztatását a határértékben, és a kotangens periodicitását használjuk 
Az utolsó helyettesítések lehetővé teszik számunkra, hogy a figyelemre méltó határ 1. következményét használjuk.
Ez egy olyan klasszikus, amelynek valós problémák esetén nem mindig könnyű elérni a határokat.
A számításokhoz szüksége lesz A határértékek a második figyelemre méltó határ következményei:
1. 
2. 
3. 
4.
A második figyelemre méltó határértéknek és következményeinek köszönhetően olyan bizonytalanságokat fedezhetünk fel, mint a nulla osztva nullával, az egy a végtelen hatványára és a végtelen osztva a végtelennel, sőt, ugyanolyan mértékben. 
Kezdjük néhány egyszerű példával.
6. példa Keresse meg egy függvény határát
Megoldás: Közvetlenül alkalmazni 2 csodálatos limit nem fog működni. Először el kell forgatnia a jelzőt úgy, hogy a zárójelben lévő kifejezéssel fordított alakja legyen 
Ez a 2-es figyelemre méltó határértékre való redukció technikája, és tulajdonképpen a határ következményének 2-es képletének levezetése.
7. példa Keresse meg egy függvény határát
Megoldás: A figyelemre méltó határ 2. következményének 3 képletére vannak feladatok. A nulla helyettesítés 0/0 formájú szingularitást ad. A szabály alatti határérték növeléséhez a nevezőt úgy fordítjuk, hogy a változónak ugyanaz az együtthatója legyen, mint a logaritmusban 
A vizsgán is könnyen érthető és teljesíthető. A tanulók határérték-számítási nehézségei a következő feladatokkal kezdődnek.
8. példa Számítsa ki a függvénykorlátot[(x+7)/(x-3)]^(x-2) 
Megoldás: Van egy 1-es típusú szingularitásunk a végtelen hatványáig. Ha nem hiszed, mindenhol behelyettesítheted a végtelent az „x” helyett, és nézd meg magad. A szabály szerinti emeléshez a számlálót elosztjuk a zárójelben lévő nevezővel, ehhez először végrehajtjuk a manipulációkat 
Helyettesítse a kifejezést a határértékre, és fordítsa a 2 figyelemre méltó határértékre 
A határ a 10 hatványának kitevője. Azok a konstansok, amelyek zárójelben és a fokszámban is változót tartalmaznak, nem járulnak hozzá az "időjáráshoz" – ezt nem szabad elfelejteni. És ha a tanárok megkérdezik: "Miért nem fordítod el a mutatót?" (Ennek a példának az x-3-ban), majd mondja azt, hogy "Ha egy változó a végtelenbe hajlik, akkor adj hozzá 100-at, vagy vonj ki 1000-et, és a határ ugyanaz marad!".
Van egy második módszer is az ilyen típusú határértékek kiszámítására. A következő feladatban beszélünk róla.
9. példa Találd meg a határt 
Megoldás: Most kivesszük a számlálóból és a nevezőből a változót, és az egyik jellemzőt a másikra alakítjuk. A végső érték meghatározásához a figyelemre méltó határ 2. következményének képletét használjuk 
10. példa Keresse meg egy függvény határát
Megoldás: Nem mindenki találja meg a megadott határt. A határ 2-re emeléséhez képzelje el, hogy a sin (3x) egy változó, és meg kell fordítania a kitevőt 
Ezután a mutatót fokként írjuk fel fokban 
A köztes argumentumok leírása zárójelben található. Az első és a második csodálatos határérték felhasználásával megkaptuk a kockás kitevőt.
11. példa. Számítsa ki a függvénykorlátot sin(2*x)/log(3*x+1)
Megoldás: 0/0 alakú bizonytalanságunk van. Ezenkívül azt látjuk, hogy a függvényt mindkét csodálatos határ használatára kell konvertálni. Végezzük el az előző matematikai transzformációkat 
Továbbá nehézség nélkül a határ veszi az értéket 
Így érezheti magát nyugodtan a teszteken, teszteken, modulokon, ha megtanulja, hogyan lehet gyorsan festeni funkciókat és csökkenteni az első vagy második csodálatos határig. Ha nehezen tudja megjegyezni a határok megtalálásának fenti módszereit, bármikor rendelhet teszt határainkhoz.
Ehhez töltse ki az űrlapot, adja meg az adatokat, és csatoljon egy fájlt példákkal. Sok diáknak segítettünk – mi is segíthetünk Önnek!
Számos csodálatos határ van, de a leghíresebb az első és a második csodálatos határ. Ezekben a határértékekben az a figyelemre méltó, hogy széles körben használják őket, és számos probléma esetén más határértékek megtalálására is használhatók. Ezt fogjuk megtenni a lecke gyakorlati részében. Ahhoz, hogy a problémákat az első vagy a második figyelemre méltó határra csökkentve megoldjuk, nem szükséges felfedni a bennük rejlő bizonytalanságokat, mivel ezeknek a határoknak az értékeit már régóta levezették a nagy matematikusok.
Az első figyelemre méltó határ egy végtelenül kis ív szinuszának ugyanazon ívhez viszonyított arányának határértéke, radián mértékkel kifejezve:
Térjünk át a problémák megoldására az első figyelemre méltó határon. Megjegyzés: ha egy trigonometrikus függvény a határjel alatt van, akkor ez majdnem biztos jel hogy ez a kifejezés az első figyelemre méltó határig redukálható.
1. példa Találd meg a határt.
Megoldás. Helyette helyettesítés x a nulla bizonytalansághoz vezet:
.
A nevező szinusz, ezért a kifejezés az első figyelemre méltó határig redukálható. Kezdjük az átalakítást:
.
A nevezőben - három x szinusza, a számlálóban pedig csak egy x van, ami azt jelenti, hogy három x-et kell kapnia a számlálóban. Miért? Bemutatni 3 x = aés megkapja a kifejezést.
És elérkeztünk az első figyelemre méltó határ egy változatához:
mert nem mindegy, hogy ebben a képletben milyen betű (változó) van X helyett.
Megszorozzuk x-et hárommal, és azonnal elosztjuk:
.
A megjelölt első figyelemre méltó határnak megfelelően lecseréljük a tört kifejezést:
Most végre megoldhatjuk ezt a határt:
.
2. példa Találd meg a határt.
Megoldás. A közvetlen helyettesítés ismét a „nulla osztás nullával” bizonytalansághoz vezet:
.
Az első figyelemre méltó határérték eléréséhez szükséges, hogy a számlálóban a szinusz jel alatti x és a nevezőben csak az x azonos együtthatójú legyen. Legyen ez az együttható egyenlő 2-vel. Ehhez képzeljük el az x aktuális együtthatót az alábbiak szerint, törtekkel végrehajtva, így kapjuk:
.
3. példa Találd meg a határt.
Megoldás. Behelyettesítéskor ismét a "nulla osztva nullával" bizonytalanságot kapjuk:
.
Valószínűleg már érted, hogy az eredeti kifejezésből megkaphatod az első csodálatos határt szorozva az első csodálatos határértékkel. Ehhez a számlálóban lévő x és a nevezőben lévő szinusz négyzetét azonos tényezőkre bontjuk, és hogy az x-re és a szinuszra azonos együtthatókat kapjunk, a számlálóban lévő x-et elosztjuk 3-mal és azonnal megszorozzuk 3-mal. Kapjuk:
.
4. példa Találd meg a határt.
Megoldás. Ismét megkapjuk a "nulla osztva nullával" bizonytalanságot:
.
Megkaphatjuk az első két figyelemre méltó határérték arányát. A számlálót és a nevezőt is elosztjuk x-szel. Ezután, hogy a szinuszokban és az x-ben lévő együtthatók egybeesjenek, megszorozzuk a felső x-et 2-vel és azonnal elosztjuk 2-vel, az alsó x-et pedig megszorozzuk 3-mal és azonnal osztjuk 3-mal.
5. példa Találd meg a határt.
Megoldás. És ismét a "nulla osztva nullával" bizonytalansága:
A trigonometriából emlékszünk, hogy az érintő a szinusz és a koszinusz aránya, a nulla koszinusza pedig eggyel egyenlő. Átalakításokat végzünk, és megkapjuk:
.
6. példa Találd meg a határt.
Megoldás. trigonometrikus függvény a határ jele alatt ismét felveti az első figyelemre méltó határ alkalmazásának ötletét. A szinusz és a koszinusz arányaként ábrázoljuk.
