Az egyenes egyenlet általános képe. Két ponton átmenő egyenes egyenlete

Az egyenes menjen át az M 1 (x 1; y 1) és M 2 (x 2; y 2) pontokon. Az M 1 ponton áthaladó egyenes egyenlete y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

ahol k - még ismeretlen együttható.

Mivel az egyenes áthalad az M 2 (x 2 y 2) ponton, ennek a pontnak a koordinátáinak meg kell felelniük a (10.6) egyenletnek: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Innen megtaláljuk a talált érték helyettesítése k a (10.6) egyenletbe az M 1 és M 2 pontokon áthaladó egyenes egyenletét kapjuk:

Feltételezzük, hogy ebben az egyenletben x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ha x 1 \u003d x 2, akkor az M 1 (x 1, y I) és M 2 (x 2, y 2) pontokon áthaladó egyenes párhuzamos az y tengellyel. Az egyenlete az x = x 1 .

Ha y 2 \u003d y I, akkor az egyenes egyenlete y \u003d y 1-ként írható fel, az M 1 M 2 egyenes párhuzamos az x tengellyel.

Egyenes egyenlete szakaszokban

Az egyenes metsze az Ox tengelyt az M 1 (a; 0) pontban, az Oy tengelyt pedig az M 2 (0; b) pontban. Az egyenlet a következő formában lesz:
azok.
. Ezt az egyenletet ún szakaszokban lévő egyenes egyenlete, mert az a és b számok azt jelzik, hogy az egyenes mely szakaszokat vágja le a koordinátatengelyeken.

Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete, merőleges egy adott vektorra

Határozzuk meg egy adott Mo (x O; y o) ponton átmenő egyenes egyenletét, amely merőleges egy adott n = (A; B) nem nulla vektorra.

Vegyünk egy tetszőleges M(x; y) pontot az egyenesen, és tekintsük az M 0 M (x - x 0; y - y o) vektort (lásd 1. ábra). Mivel az n és M o M vektorok merőlegesek, skaláris szorzatuk nulla: azaz

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

A (10.8) egyenletet nevezzük egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete adott vektorra merőlegesen .

Az egyenesre merőleges n = (A; B) vektort normálnak nevezzük ennek az egyenesnek a normálvektora .

A (10.8) egyenlet átírható így Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

ahol A és B a normálvektor koordinátái, C \u003d -Ax o - Vu o - szabad tag. (10.9) egyenlet van általános egyenlet egyenes(lásd a 2. ábrát).

Fig.1 Fig.2

Az egyenes kanonikus egyenletei

,

Ahol
annak a pontnak a koordinátái, amelyen az egyenes áthalad, és
- irányvektor.

A másodrendű kör görbéi

A kör egy adott ponttól egyenlő távolságra lévő sík összes pontjának halmaza, amelyet középpontnak nevezünk.

Sugárkör kanonikus egyenlete R egy pontra összpontosítva
:

Különösen, ha a tét közepe egybeesik az origóval, akkor az egyenlet így fog kinézni:

Ellipszis

Az ellipszis egy síkban lévő pontok halmaza, mindegyiktől két adott pont távolságának összege és , amelyeket gócoknak nevezünk, állandó érték
, nagyobb, mint a gócok közötti távolság
.

Annak az ellipszisnek a kanonikus egyenlete, amelynek fókuszai az ökör tengelyén vannak, és amelynek origója középen van a gócok között, a következő alakú:
G de a a fő féltengely hossza; b a kis féltengely hossza (2. ábra).

Ez a cikk egy két megadott ponton átmenő egyenes egyenletének levezetését mutatja be téglalap alakú rendszer a síkon található koordináták. Levezetjük egy téglalap alakú koordinátarendszer két megadott pontján átmenő egyenes egyenletét. Vizuálisan bemutatunk és megoldunk több példát a tárgyalt anyaghoz kapcsolódóan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mielőtt megkapnánk a két adott ponton áthaladó egyenes egyenletét, néhány tényre figyelni kell. Van egy axióma, amely szerint egy síkon két nem egybeeső ponton keresztül lehet egyenest húzni, és csak egyet. Más szóval, a sík két adott pontját az ezeken a pontokon áthaladó egyenes határozza meg.

Ha a síkot az Oxy téglalap alakú koordinátarendszer adja meg, akkor bármely benne ábrázolt egyenes megfelel a síkon lévő egyenes egyenletének. Összefüggés van az egyenes irányítóvektorával is, ezek az adatok elegendőek egy két adott ponton átmenő egyenes egyenletének felállításához.

Vegyünk egy példát egy hasonló probléma megoldására. Meg kell alkotni egy a egyenes egyenletét, amely a derékszögű koordinátarendszerben található két nem illeszkedő M 1 (x 1, y 1) és M 2 (x 2, y 2) ponton halad át.

Az x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y alakú síkon lévő egyenes kanonikus egyenletében egy O x y téglalap alakú koordinátarendszert egy egyenessel adunk meg, amely egy M koordinátájú pontban metszi. 1 (x 1, y 1) a → = (a x, a y) vezetővektorral.

Ki kell dolgozni kanonikus egyenlet egy a egyenes, amely két M 1 (x 1, y 1) és M 2 (x 2, y 2) koordinátájú ponton megy át.

Az a egyenesnek van egy M 1 M 2 → irányítóvektora (x 2 - x 1, y 2 - y 1), mivel az M 1 és M 2 pontokat metszi. Megszereztük a szükséges adatokat ahhoz, hogy a kanonikus egyenletet az M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) irányvektor koordinátáival és a rajtuk fekvő M 1 pontok koordinátáival transzformáljuk. (x 1, y 1) és M 2 (x 2, y 2) . Az x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 vagy x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 alakú egyenletet kapjuk.

Tekintsük az alábbi ábrát.

A számításokat követően felírjuk egy egyenes paraméteres egyenleteit egy olyan síkban, amely két M 1 (x 1, y 1) és M 2 (x 2, y 2) koordinátájú ponton halad át. Az x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ vagy x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ alakú egyenletet kapjuk y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Nézzünk meg közelebbről néhány példát.

1. példa

Írja fel egy M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 koordinátájú ponton átmenő egyenes egyenletét !

Megoldás

Az x 1 , y 1 és x 2 , y 2 koordinátájú két pontban metsző egyenes kanonikus egyenlete x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . A probléma feltétele szerint x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Az x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 egyenletben számértékeket kell helyettesíteni. Innentől azt kapjuk, hogy a kanonikus egyenlet az x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 alakot veszi fel.

Válasz: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Ha egy problémát más típusú egyenlettel kell megoldani, akkor kezdetben a kanonikus egyenlethez lehet kapcsolódni, mivel abból könnyebben juthatunk el bármely másikhoz.

2. példa

Állítsa össze az O x y koordinátarendszer M 1 (1, 1) és M 2 (4, 2) koordinátájú pontjain átmenő egyenes általános egyenletét!

Megoldás

Először fel kell írni egy adott egyenes kanonikus egyenletét, amely átmegy az adott két ponton. Az x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 alakú egyenletet kapjuk.

A kanonikus egyenletet a kívánt formára hozzuk, majd kapjuk:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Válasz: x - 3 y + 2 = 0 .

Az algebra órákon az iskolai tankönyvekben ilyen feladatokra volt példa. Az iskolai feladatok abban különböztek egymástól, hogy az egyenlet egy egyenes -vel lejtési tényező, amelynek alakja y = k x + b . Ha meg kell találnia a k meredekség értékét és a b számot, amelynél az y \u003d k x + b egyenlet definiál egy egyenest az O x y rendszerben, amely átmegy az M 1 (x 1, y 1) és M pontokon 2 (x 2, y 2) , ahol x 1 ≠ x 2 . Amikor x 1 = x 2 , akkor a meredekség felveszi a végtelen értékét, és az M 1 M 2 egyenest az általános hiányos egyenlet x - x 1 = 0 alakú .

Mert a pontok M 1és M 2 egy egyenesen vannak, akkor koordinátáik kielégítik az y 1 = k x 1 + b és y 2 = k x 2 + b egyenletet. Meg kell oldani az y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b egyenletrendszert k és b vonatkozásában.

Ehhez találjuk a k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 vagy k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Ilyen k és b értékekkel az adott két ponton átmenő egyenes egyenlete a következő alakot ölti: y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 vagy y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Ilyen nagy számú képlet egyszerre memorizálása nem fog működni. Ehhez növelni kell az ismétlések számát a problémák megoldásában.

3. példa

Írja fel az M 2 (2, 1) és y = k x + b koordinátájú pontokon átmenő meredekségű egyenes egyenletét!

Megoldás

A probléma megoldásához egy meredekségű képletet használunk, amelynek alakja y \u003d k x + b. A k és b együtthatónak olyan értéket kell felvennie, hogy ez az egyenlet egy olyan egyenesnek feleljen meg, amely két M 1 (- 7 , - 5) és M 2 (2, 1) koordinátájú ponton halad át.

pontokat M 1és M 2 egy egyenesen elhelyezkedő, akkor koordinátáik megfordítják az y = k x + b egyenletet a helyes egyenlőségre. Innen azt kapjuk, hogy - 5 = k · (- 7) + b és 1 = k · 2 + b. Vessük össze az egyenletet a - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b rendszerbe, és oldjuk meg.

Csere után azt kapjuk

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Most a k = 2 3 és b = - 1 3 értékeket behelyettesítjük az y = k x + b egyenletbe. Azt kapjuk, hogy az adott pontokon átmenő kívánt egyenlet egy y = 2 3 x - 1 3 alakú egyenlet lesz.

Ez a megoldási mód előre meghatározza a kiadásokat egy nagy szám idő. Van mód arra, hogy a feladatot szó szerint két lépésben oldják meg.

Felírjuk az M 2 (2, 1) és M 1 (- 7, - 5) pontokon átmenő egyenes kanonikus egyenletét, amelynek alakja x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Most térjünk át a lejtőegyenletre. Azt kapjuk, hogy: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Válasz: y = 2 3 x - 1 3 .

Ha a háromdimenziós térben van egy O x y z téglalap alakú koordinátarendszer két megadott nem egybeeső ponttal M 1 (x 1, y 1, z 1) és M 2 (x 2, y 2, z 2) koordinátákkal, akkor a A rajtuk áthaladó M egyenes 1 M 2 , akkor ennek az egyenesnek az egyenletét kell megkapni.

Megvannak az x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z alakú kanonikus egyenletek és az x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + formájú parametrikus egyenletek. a z λ képesek az O x y z koordinátarendszerben olyan egyenest beállítani, amely az (x 1, y 1, z 1) koordinátájú pontokon halad át a → = (a x, a y, a z) irányítóvektorral.

Egyenes M 1 M 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) alakú irányvektora van, ahol az egyenes átmegy az M 1 (x 1, y 1, z) ponton 1) és M 2 (x 2, y 2, z 2), ezért a kanonikus egyenlet a következő lehet: x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 vagy x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, viszont parametrikus x \u003d x 1 + (x 2) - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ vagy x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Tekintsünk egy ábrát, amely 2 adott térbeli pontot és egy egyenes egyenletét mutatja.

4. példa

Írja fel egy háromdimenziós tér O x y z téglalap alakú koordinátarendszerében meghatározott egyenes egyenletét, amely áthalad a megadott két ponton M 1 (2, - 3, 0) és M 2 (1, - 3, - 5) koordinátákkal. ) .

Megoldás

Meg kell találnunk a kanonikus egyenletet. Mert beszélgetünk körülbelül háromdimenziós tér, ami azt jelenti, hogy amikor egy egyenes áthalad adott pontokon, a kívánt kanonikus egyenlet a következő formában lesz: x - x 1 x 2 - x 1 \u003d y - y 1 y 2 - y 1 \u003d z - z 1 z 2 - z 1.

Feltétel szerint x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Ebből következik, hogy a szükséges egyenletek a következőképpen írhatók fel:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Válasz: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Tanulság a "Geometriai algoritmusok" sorozatból

Szia kedves olvasó!

Ma elkezdjük a geometriával kapcsolatos algoritmusok tanulását. A tény az, hogy olimpiai feladatokat a számítási geometriával kapcsolatos számítástechnikában nagyon sok probléma merül fel, és az ilyen feladatok megoldása gyakran okoz nehézségeket.

Néhány leckében számos elemi részproblémát fogunk megvizsgálni, amelyeken a számítási geometria legtöbb problémájának megoldása alapul.

Ebben a leckében egy programot írunk az egyenes egyenletének megtalálásaáthaladva az adott két pont. A geometriai problémák megoldásához szükségünk van a számítási geometriai ismeretekre. Az óra egy részét ezek megismerésének szenteljük.

Információk a számítási geometriából

A számítási geometria a számítástechnikának egy olyan ága, amely geometriai problémák megoldására szolgáló algoritmusokat tanulmányoz.

Az ilyen problémák kiindulási adatai lehetnek a síkon lévő pontok, szegmensek halmaza, sokszög (amelyet például az óramutató járásával megegyező irányú csúcsok listája ad meg) stb.

Az eredmény lehet egy kérdésre adott válasz (például, hogy egy pont egy szakaszhoz tartozik-e, metszik-e két szakasz, ...), vagy valamilyen geometriai objektum (például adott pontokat összekötő legkisebb konvex sokszög, a sokszög stb.).

A számítási geometria problémáit csak a síkon és csak a derékszögű koordinátarendszerben fogjuk figyelembe venni.

Vektorok és koordináták

A számítási geometria módszereinek alkalmazásához szükséges a geometriai képek lefordítása a számok nyelvére. Tételezzük fel, hogy a síkon adott egy derékszögű koordinátarendszer, amelyben az óramutató járásával ellentétes forgásirányt pozitívnak nevezzük.

Most a geometriai objektumok analitikus kifejezést kapnak. Tehát egy pont beállításához elég megadni a koordinátáit: egy számpárt (x; y). Egy szakasz a végei koordinátáinak megadásával, egy egyenes a pontpárjának koordinátáival adható meg.

De a problémák megoldásának fő eszköze a vektorok lesznek. Ezért hadd emlékeztesselek néhány róluk szóló információra.

Vonalszakasz AB, aminek van értelme DE kezdetnek (alkalmazási pontnak), és a pontnak tekintették NÁL NÉL- a végét vektornak nevezzük ABés jelölje vagy , vagy félkövér kisbetűs, például a .

Egy vektor hosszának (vagyis a megfelelő szegmens hosszának) jelölésére a modul szimbólumot használjuk (például ).

Egy tetszőleges vektor koordinátái megegyeznek a vége és a kezdet megfelelő koordinátái közötti különbséggel:

,

pontok itt Aés B koordinátái vannak illetőleg.

A számításokhoz a fogalmat fogjuk használni orientált szög, azaz egy szög, amely figyelembe veszi a vektorok egymáshoz viszonyított helyzetét.

Orientált szög vektorok között a és b pozitív, ha a forgatás a vektortól távol van a a vektorhoz b pozitív irányban (az óramutató járásával ellentétes irányban), a másik esetben negatív irányban történik. Lásd az 1a ábrát, az 1b ábrát. Azt is mondják, hogy egy vektorpár a és b pozitív (negatív) orientációjú.

Így az orientált szög értéke a vektorok felsorolásának sorrendjétől függ, és értékeket vehet fel az intervallumban.

Számos számítási geometriai probléma használja a vektorok (ferde vagy pszeudoszkaláris) szorzatának fogalmát.

Az a és b vektorok vektorszorzata ezen vektorok hosszának és a közöttük lévő szög szinuszának a szorzata:

.

A vektorok vektorszorzata koordinátákban:

A jobb oldali kifejezés másodrendű determináns:

Az analitikus geometriában megadott definícióval ellentétben ez skalár.

A keresztszorzat előjele határozza meg a vektorok egymáshoz viszonyított helyzetét:

a és b pozitívan orientált.

Ha az érték , akkor a vektorpár a és b negatívan orientált.

A nullától eltérő vektorok keresztszorzata akkor és csak akkor nulla, ha kollineárisak ( ). Ez azt jelenti, hogy ugyanazon vagy párhuzamos vonalakon fekszenek.

Nézzünk meg néhány egyszerű feladatot, amelyek a bonyolultabbak megoldásához szükségesek.

Határozzuk meg egy egyenes egyenletét két pont koordinátáival.

A két különböző ponton áthaladó egyenes egyenlete a koordinátáik alapján.

Adott két nem egybeeső pont az egyenesen: koordinátákkal (x1;y1) és koordinátákkal (x2; y2). Ennek megfelelően annak a vektornak, amelynek kezdete a pontban van, és vége a pontban van, vannak koordinátái (x2-x1, y2-y1). Ha P(x, y) tetszőleges pont az egyenesünkön, akkor a vektor koordinátái (x-x1, y - y1).

A keresztszorzat segítségével a és vektorok kollinearitási feltétele a következőképpen írható fel:

Azok. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Az utolsó egyenletet a következőképpen írjuk át:

ax + x + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Tehát az egyenes egy (1) alakú egyenlettel adható meg.

Feladat 1. Adjuk meg két pont koordinátáit. Keresse meg az ax + x + c = 0 alakú ábrázolását.

Ebben a leckében a számítási geometriából származó információkkal ismerkedtünk meg. Megoldottuk azt a feladatot, hogy két pont koordinátái alapján keressük meg az egyenes egyenletét.

A következő leckében egy programot írunk, amely megkeresi az egyenleteink által megadott két egyenes metszéspontját.

Ebben a cikkben megvizsgáljuk egy síkban lévő egyenes általános egyenletét. Adjunk példákat egy egyenes általános egyenletének megszerkesztésére, ha ennek az egyenesnek két pontja ismert, vagy ennek az egyenesnek egy pontja és normálvektora ismert. Mutassunk be módszereket egy egyenlet átalakítására Általános nézet kanonikus és parametrikus formákba.

Legyen adott egy tetszőleges derékszögű derékszögű koordináta-rendszer Oxy. Tekintsünk egy elsőfokú egyenletet vagy egy lineáris egyenletet:

Axe+By+C=0,

(1)

ahol A, B, C néhány állandó, és legalább az egyik elem Aés B különbözik a nullától.

Megmutatjuk, hogy a síkban lévő lineáris egyenlet egy egyenest határoz meg. Bizonyítsuk be a következő tételt.

1. Tétel. Egy tetszőleges Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben egy síkon minden egyenes megadható lineáris egyenlettel. Ezzel szemben a síkon tetszőleges derékszögű derékszögű koordinátarendszerben minden lineáris egyenlet (1) egy egyenest határoz meg.

Bizonyíték. Elegendő annak bizonyítása, hogy a vonal L lineáris egyenlettel van meghatározva bármely Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerre, mivel akkor egy lineáris egyenlet határozza meg, és bármely Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerre.

Legyen adott a síkon egy egyenes L. Olyan koordinátarendszert választunk, hogy a tengely Ökör vonalhoz igazítva L, és a tengely Oy merőleges volt rá. Ezután az egyenes egyenlete L a következő formában lesz:

y=0.

(2)

Minden pont egy egyenesen L kielégíti a (2) lineáris egyenletet, és az ezen egyenesen kívül eső összes pont nem teljesíti a (2) egyenletet. A tétel első része bizonyítva van.

Legyen adott egy derékszögű derékszögű koordinátarendszer és legyen adott az (1) lineáris egyenlet, ahol legalább az egyik elem Aés B különbözik a nullától. Keresse meg azoknak a pontoknak a helyét, amelyek koordinátái megfelelnek az (1) egyenletnek. Mivel legalább az egyik együttható Aés B nullától eltérő, akkor az (1) egyenletnek legalább egy megoldása van M(x 0 ,y 0). (Például mikor A≠0, pont M 0 (−C/A, 0) az adott ponthelyhez tartozik). Ezeket a koordinátákat (1) behelyettesítve megkapjuk az azonosságot

Fejsze 0 +Által 0 +C=0.

(3)

Vonjuk ki (1)-ből a (3) azonosságot:

A(x−x 0)+B(y−y 0)=0.

(4)

Nyilvánvaló, hogy a (4) egyenlet ekvivalens az (1) egyenlettel. Ezért elegendő annak bizonyítása, hogy (4) meghatároz valamilyen egyenest.

Mivel derékszögű derékszögű koordinátarendszerről beszélünk, a (4) egyenlőségből az következik, hogy a ( komponensekkel rendelkező vektor x−x 0 , y-y 0 ) ortogonális a vektorra n koordinátákkal ( A,B}.

Nézzünk néhány sort L ponton áthaladva M 0 (x 0 , y 0) és merőleges a vektorra n(1. ábra). Legyen a lényeg M(x,y) sorhoz tartozik L. Ezután a vektor koordinátákkal x−x 0 , y-y 0 merőleges nés a (4) egyenlet teljesül (vektorok skaláris szorzata). nés egyenlő nullával). Ezzel szemben, ha a lényeg M(x,y) nem fekszik egy vonalon L, majd a vektor koordinátákkal x−x 0 , y-y A 0 nem merőleges a vektorra nés a (4) egyenlet nem teljesül. A tétel bizonyítást nyert.

Bizonyíték. Mivel az (5) és (6) egyenesek ugyanazt az egyenest határozzák meg, a normálvektorok n 1 ={A 1 ,B 1) és n 2 ={A 2 ,B 2) kollineárisak. Mivel a vektorok n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, akkor van egy szám λ , mit n 2 =n 1 λ . Ezért rendelkezünk: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Bizonyítsuk be C 2 =C 1 λ . Nyilvánvaló, hogy az egybeeső vonalaknak van közös pont M 0 (x 0 , y 0). Az (5) egyenletet megszorozzuk λ és kivonva belőle a (6) egyenletet kapjuk:

Mivel a (7) kifejezések első két egyenlősége teljesül, akkor C 1 λ −C 2=0. Azok. C 2 =C 1 λ . A megjegyzés bebizonyosodott.

Figyeljük meg, hogy a (4) egyenlet a ponton áthaladó egyenes egyenletét határozza meg M 0 (x 0 , y 0) és normálvektorral rendelkezik n={A,B). Ezért, ha az egyenes normálvektora és az ehhez az egyeneshez tartozó pont ismert, akkor a (4) egyenlet segítségével megszerkeszthető az egyenes általános egyenlete.

Példa 1. Egy egyenes átmegy egy ponton M=(4,−1) és normálvektora van n=(3, 5). Szerkessze meg az egyenes általános egyenletét!

Megoldás. Nekünk van: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Egy egyenes általános egyenletének megalkotásához ezeket az értékeket behelyettesítjük a (4) egyenletbe:

Válasz:

A vonallal párhuzamos vektor Lés ennélfogva merőleges az egyenes normálvektorára L. Készítsünk normál egyenes vektort L, tekintettel arra skaláris szorzat vektorok nés egyenlő nullával. Írhatunk pl. n={1,−3}.

Egy egyenes általános egyenletének megalkotásához a (4) képletet használjuk. Helyettesítsük be (4)-be a pont koordinátáit M 1 (vehetjük a pont koordinátáit is M 2) és a normálvektor n:

Helyettesítjük a pontkoordinátákat M 1 és M 2-ben (9) megbizonyosodhatunk arról, hogy a (9) egyenlettel megadott egyenes átmegy ezeken a pontokon.

Válasz:

Vonja ki a (10)-et az (1)-ből:

Megkaptuk az egyenes kanonikus egyenletét. Vektor q={−B, A) a (12) egyenes irányvektora.

Lásd a fordított transzformációt.

3. példa Egy síkban lévő egyenest a következő általános egyenlet ábrázolja:

Mozgassa a második tagot jobbra, és ossza el az egyenlet mindkét oldalát 2 5-tel.

Egyenes tulajdonságai az euklideszi geometriában.

Bármely ponton keresztül végtelenül sok vonal húzható.

Bármely két nem egybeeső ponton keresztül csak egy egyenes van.

A síkban lévő két nem egybeeső egyenes vagy egyetlen pontban metszi egymást, vagy metszi egymást

párhuzamos (az előzőből következik).

NÁL NÉL háromdimenziós tér három lehetőség van relatív pozíció két egyenes vonal:

• a vonalak metszik egymást;

• az egyenesek párhuzamosak;

• egyenesek metszik egymást.

Egyenes vonal- elsőrendű algebrai görbe: a derékszögű koordinátarendszerben egy egyenes

a síkon egy elsőfokú egyenlet (lineáris egyenlet) adja meg.

Az egyenes általános egyenlete.

Meghatározás. A sík bármely egyenese megadható elsőrendű egyenlettel

Ah + Wu + C = 0,

és állandó A, B egyszerre nem egyenlő nullával. Ezt az elsőrendű egyenletet nevezzük Tábornok

egyenes egyenlet. Az állandók értékétől függően A, Bés TÓL TŐL A következő speciális esetek lehetségesek:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- a vonal az origón halad át

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( + C = 0 szerint)- a tengellyel párhuzamos egyenes Ó

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- a tengellyel párhuzamos egyenes OU

. B = C = 0, A ≠ 0- az egyenes egybeesik a tengellyel OU

. A = C = 0, B ≠ 0- az egyenes egybeesik a tengellyel Ó

Az egyenes egyenlete ábrázolható különféle formák attól függően, hogy adott

kezdeti feltételek.

Egy egyenes egyenlete egy ponttal és egy normálvektorral.

Meghatározás. Descartes-féle téglalap alakú koordinátarendszerben egy vektor (A, B) komponensekkel

merőleges az egyenesre egyenlet adja meg

Ah + Wu + C = 0.

Példa. Határozzuk meg egy ponton átmenő egyenes egyenletét! A(1, 2) merőleges a vektorra (3, -1).

Megoldás. Állítsuk össze az A \u003d 3 és B \u003d -1 pontokban az egyenes egyenletét: 3x - y + C \u003d 0. A C együttható megkereséséhez

a kapott kifejezésbe behelyettesítjük az adott A pont koordinátáit, így kapjuk: 3 - 2 + C = 0, ezért

C = -1. Összesen: a kívánt egyenlet: 3x - y - 1 \u003d 0.

Két ponton átmenő egyenes egyenlete.

Legyen két pont adott a térben M 1 (x 1 , y 1 , z 1)és M2 (x 2, y 2, z 2), akkor egyenes egyenlet,

ezeken a pontokon áthaladva:

Ha bármelyik nevező nullával egyenlő, akkor a megfelelő számlálót nullára kell állítani. A

síkon, a fent leírt egyenes egyenlete leegyszerűsödik:

ha x 1 ≠ x 2és x = x 1, ha x 1 = x 2 .

Töredék = k hívott lejtési tényező egyenes.

Példa. Határozzuk meg az A(1, 2) és B(3, 4) pontokon átmenő egyenes egyenletét!

Megoldás. A fenti képletet alkalmazva a következőket kapjuk:

Egy egyenes egyenlete egy ponttal és egy meredekséggel.

Ha egy egyenes általános egyenlete Ah + Wu + C = 0 formába hozzuk:

és kijelölni , akkor a kapott egyenletet nevezzük

k meredekségű egyenes egyenlete.

Egy ponton lévő egyenes és egy irányítóvektor egyenlete.

A normálvektoron áthaladó egyenes egyenletének analógiájával beírhatja a feladatot

egy ponton átmenő egyenes és egy egyenes irányvektora.

Meghatározás. Minden nem nulla vektor (α 1 , α 2), amelynek összetevői kielégítik a feltételt

Aα 1 + Bα 2 = 0 hívott az egyenes irányvektora.

Ah + Wu + C = 0.

Példa. Határozzuk meg az (1, -1) irányvektorral és az A(1, 2) ponton áthaladó egyenes egyenletét!

Megoldás. Megkeressük a kívánt egyenes egyenletét a következő formában: Ax + By + C = 0. A meghatározás szerint,

az együtthatóknak meg kell felelniük a következő feltételeknek:

1 * A + (-1) * B = 0, azaz. A = B.

Ekkor az egyenes egyenlete a következőképpen alakul: Ax + Ay + C = 0, vagy x + y + C / A = 0.

nál nél x=1, y=2 kapunk C/ A = -3, azaz kívánt egyenlet:

x + y - 3 = 0

Egyenes egyenlete szakaszokban.

Ha az Ah + Wu + C egyenes általános egyenletében 0 C≠0, akkor -C-vel elosztva kapjuk:

vagy hol

Az együtthatók geometriai jelentése, hogy az a együttható a metszéspont koordinátája

egyenes tengellyel Ó, a b- az egyenes és a tengely metszéspontjának koordinátája OU.

Példa. Adott egy egyenes általános egyenlete x - y + 1 = 0. Keresse meg ennek az egyenesnek az egyenletét szakaszokban!

C = 1, a \u003d -1, b = 1.

Egy egyenes normálegyenlete.

Ha az egyenlet mindkét oldala Ah + Wu + C = 0 számmal osztjuk , ami az úgynevezett

normalizáló tényező, akkor megkapjuk

xcosφ + ysinφ - p = 0 -egy egyenes normálegyenlete.

A normalizáló tényező előjelét ± úgy kell megválasztani, hogy μ * C< 0.

R- a merőleges hossza az origótól az egyenesig esett,

a φ - a merőleges által a tengely pozitív irányával bezárt szög Ó.

Példa. Adott egy egyenes általános egyenlete 12x - 5y - 65 = 0. Íráshoz kötelező különböző típusok egyenletek

ezt az egyenest.

Ennek az egyenesnek az egyenlete szakaszokban:

Ennek az egyenesnek a meredekséggel való egyenlete: (oszd 5-tel)

Egy egyenes egyenlete:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Meg kell jegyezni, hogy nem minden egyenes ábrázolható egyenlettel szegmensekben, például egyenesek,

a tengelyekkel párhuzamosan vagy az origón áthaladva.

Egy sík vonalai közötti szög.

Meghatározás. Ha két sor adott y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, akkor az ezen vonalak közötti hegyesszög

ként lesz meghatározva

Két egyenes párhuzamos, ha k 1 = k 2. Két vonal merőleges

ha k 1 \u003d -1 / k 2 .

Tétel.

Közvetlen Ah + Wu + C = 0és A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 párhuzamosak, ha az együtthatók arányosak

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Ha azt is С 1 \u003d λС, akkor a vonalak egybeesnek. Két egyenes metszéspontjának koordinátái

ezek az egyenesek egyenletrendszerének megoldásaként találhatók.

Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete merőleges egy adott egyenesre.

Meghatározás. Ponton átmenő egyenes M 1 (x 1, y 1)és az egyenesre merőlegesen y = kx + b

egyenlettel ábrázolva:

Egy pont és egy egyenes távolsága.

Tétel. Ha pontot adnak M(x 0, y 0), majd a vonal távolságát Ah + Wu + C = 0 ként meghatározott:

Bizonyíték. Legyen a lényeg M 1 (x 1, y 1)- a merőleges alapja leesett a pontból M adottnak

közvetlen. Ezután a pontok közötti távolság Més M 1:

(1)

Koordináták x 1és 1 az egyenletrendszer megoldásaként:

A rendszer második egyenlete egy adott M 0 ponton merőlegesen átmenő egyenes egyenlete

adott sor. Ha a rendszer első egyenletét alakra alakítjuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 + C = 0,

majd megoldva a következőket kapjuk:

Ezeket a kifejezéseket az (1) egyenletbe behelyettesítve azt kapjuk, hogy:

A tétel bizonyítást nyert.