) pozitív vagy negatív előjelű (egész és tört) és nulla számok. A racionális számok pontosabb fogalma így hangzik:
racionális szám az a szám, amelyet képviselnek közönséges tört m/n, ahol a számláló m egész számok és a nevező n — egész számok, például 2/3.
A végtelen nem periodikus törtek NEM szerepelnek a racionális számok halmazában.
a/b, ahol a∈ Z (a egész számokhoz tartozik) b∈ N (b a természetes számokhoz tartozik).
NÁL NÉL való élet a racionális számok halmaza néhány egész osztható objektum részeinek megszámlálására szolgál, például, sütemények vagy más élelmiszerek, amelyeket fogyasztás előtt darabokra vágnak, vagy a kiterjesztett tárgyak térbeli kapcsolatainak durva becslésére.
A racionális számok alapvető tulajdonságai.
1. rend aés b van egy szabály, amely lehetővé teszi, hogy egyedileg azonosítsa őket, de csak egyet a 3 reláció közül: "<», «>" vagy "=". Ez a szabály - rendelési szabályés így fogalmazd meg:
∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)
2. Összeadás művelet. Minden racionális számra aés b van összegzési szabály, ami levelezésbe hozza őket egy bizonyos racionális szám c. Maga a szám azonban c- ez összeg számok aés bés úgy emlegetik (a+b) összegzés.
Összegzési szabályígy néz ki:
m a/n a + m b/n b =(m a⋅ nb+mb⋅ n a)/(n a⋅ nb).
∀ a,b∈ K∃ !(a+b)∈ K
3. szorzási művelet. Minden racionális számra aés b van szorzási szabály, egy bizonyos racionális számhoz társítja őket c. A c számot hívják munka számok aés bés jelöljük (a⋅b), és ennek a számnak a megtalálásának folyamatát hívják szorzás.
szorzási szabályígy néz ki: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ nb.
∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q
4. A sorrendi viszony tranzitivitása. Bármely három racionális számra a, bés c ha a Kevésbé bés b Kevésbé c, akkor a Kevésbé c, mi van ha a egyenlő bés b egyenlő c, akkor a egyenlő c.
∀ ABC∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)
5. Összeadás kommutativitása. A racionális kifejezések helyének változásától az összeg nem változik.
∀ a,b∈ Qa+b=b+a
6. Az összeadás asszociativitása. 3 racionális szám összeadásának sorrendje nem befolyásolja az eredményt.
∀ ABC∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)
7. Nulla jelenléte. Létezik egy 0 racionális szám, az összes többi racionális számot összeadva megőrzi.
∃ 0 ∈ K∀ a∈ Qa+0=a
8. Ellentétes számok jelenléte. Minden racionális számnak van ellentétes racionális száma, ezeket összeadva 0 lesz.
∀ a∈ K∃ (-a)∈ Qa+(−a)=0
9. A szorzás kommutativitása. A racionális tényezők helyének megváltoztatásával a szorzat nem változik.
∀ a,b∈ Qa⋅ b=b⋅ a
10. A szorzás asszociativitása. 3 racionális szám szorzási sorrendje nem befolyásolja az eredményt.
∀ ABC∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)
11. Egy egység elérhetősége. Létezik 1-es racionális szám, ez minden más racionális számot megőrz a szorzás során.
∃ 1 ∈ K∀ a∈ Qa⋅ 1=a
12. Reciprok jelenléte. Minden nullától eltérő racionális számnak van egy inverz racionális száma, amelyet megszorozva 1-et kapunk .
∀ a∈ K∃ a−1∈ Qa⋅ a−1=1
13. A szorzás eloszlása az összeadás tekintetében. A szorzási művelet az elosztási törvény alapján történő összeadáshoz kapcsolódik:
∀ ABC∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c
14. A rendelési viszony összekapcsolása az összeadási művelettel. balra és megfelelő részek a racionális egyenlőtlenségek ugyanazt a racionális számot adják hozzá.
∀ ABC∈ K a ⇒ a+c
15. A sorrendi összefüggés kapcsolata a szorzás műveletével. Egy racionális egyenlőtlenség bal és jobb oldala megszorozható ugyanazzal a nemnegatív racionális számmal.
∀ ABC∈ Qc>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c
16. Arkhimédész axiómája. Bármi legyen is a racionális szám a, könnyű annyi egységet venni, hogy azok összege nagyobb legyen a.
Szám- a legfontosabb matematikai fogalom, amely az évszázadok során változott.
A számokkal kapcsolatos első ötletek az emberek, állatok, gyümölcsök, különféle termékek stb. számlálásából fakadtak. Az eredmény természetes számok: 1, 2, 3, 4, ...
Történelmileg a számfogalom első kiterjesztése a törtszámok természetes számokhoz való hozzáadása.
Lövés az egység egy részének (részvényének) vagy annak több egyenlő részének nevezzük.
Kijelölve: , hol m,n- egész számok;
10-es nevezőjű törtek n, ahol n egy egész szám, ezeket hívják decimális: .
A tizedes törtek között különleges helyet foglal el periodikus törtek: 
- tiszta periodikus tört, 
- vegyes periodikus tört.
A számfogalom további bővülését már maga a matematika (algebra) fejlődése okozza. Descartes a 17. században bemutatja a fogalmat negatív szám.
Az egész (pozitív és negatív), a tört (pozitív és negatív) és a nulla számokat hívják racionális számok. Bármely racionális szám felírható véges és periodikus törtként.
A folyamatosan változó változók tanulmányozásához szükségesnek bizonyult a számfogalom kiterjesztése - a valós (valós) számok bevezetése - a racionális számokhoz irracionális számok hozzáadásával: irracionális számok végtelen tizedes nem periodikus törtek.
Irracionális számok jelentek meg összemérhetetlen szakaszok (négyzet oldala és átlója) mérésénél, algebrában - gyökök kinyerésekor a transzcendentális, irracionális számra példa a π, e .
Számok természetes(1, 2, 3,...), egész(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), racionális(törtként ábrázolva) és irracionális(nem ábrázolható törtként ) halmazt alkotnak igazi (igazi) számok.
A matematikában külön-külön megkülönböztetik a komplex számokat.
Komplex számok felmerülnek az eset négyzeteinek megoldásának problémájával kapcsolatban D< 0 (здесь D a másodfokú egyenlet diszkriminánsa). Ezek a számok sokáig nem találtak fizikai hasznot, ezért is nevezték "képzetes" számoknak. Jelenleg azonban nagyon széles körben használják a fizika és a technológia különböző területein: elektrotechnikában, hidro- és aerodinamika, rugalmasságelmélet stb.
Komplex számok így írják: z= a+ kettős. Itt aés b – valós számok, a én – képzeletbeli egység.e. én 2 = -egy. Szám a hívott abszcissza, a b-ordinátaösszetett szám a+ kettős. Két komplex szám a+ kettősés a-bi hívott konjugált komplex számok.
Tulajdonságok:
1. Valós szám a komplex számként is felírható: a+ 0én vagy a - 0én. Például 5 + 0 énés 5-0 én ugyanazt az 5-ös számot jelenti.
2. Komplex szám 0 + kettős hívott pusztán képzeletbeli szám. Felvétel kettős ugyanazt jelenti, mint a 0 + kettős.
3. Két komplex szám a+ kettősés c+ di egyenlőnek tekintendők, ha a= cés b= d. Másképp komplex számok nem egyenlő.
Műveletek:
Kiegészítés. Komplex számok összege a+ kettősés c+ di komplex számnak nevezzük ( a+ c) + (b+ d)én. Ily módon komplex számok összeadásakor az abszcisszáikat és ordinátáikat külön adjuk hozzá.
Kivonás. Két komplex szám különbsége a+ kettős(csökkentett) és c+ di(kivont) komplex számnak nevezzük ( a-c) + (b-d)én. Ily módon két komplex szám kivonásakor az abszcisszáikat és az ordinátáikat külön-külön vonjuk ki.
Szorzás. Komplex számok szorzata a+ kettősés c+ di komplex számnak nevezzük.
(ac-bd) + (hirdetés+ időszámításunk előtt)én. Ez a meghatározás két követelményből ered:
1) számok a+ kettősés c+ diúgy kell szorozni, mint az algebrai binomiálisoknak,
2) szám én fő tulajdonsága van: én 2 = –1.
PÉLDA ( a + bi)(a-bi)= a 2 +b 2 . Következésképpen, munkakét konjugált komplex szám egyenlő egy pozitív valós számmal.
Osztály. Ossz el egy komplex számot a+ kettős(osztható) másikra c+ di (osztó) - a harmadik szám megtalálását jelenti e+ fi(csevegés), amely osztóval szorozva c+ di, ami osztalékot eredményez a+ kettős. Ha az osztó nem nulla, az osztás mindig lehetséges.
PÉLDA Find (8+ én) : (2 – 3én) .
Megoldás. Írjuk át ezt az arányt törtté:
A számlálóját és a nevezőjét megszorozzuk 2 + 3-mal énés az összes átalakítást végrehajtva a következőket kapjuk:
1. feladat: Összeadás, kivonás, szorzás és osztás 1 a z 2
A négyzetgyök kinyerése: Oldja meg az egyenletet x 2 = -a. Ennek az egyenletnek a megoldására kénytelenek vagyunk új típusú számokat használni - képzeletbeli számok . Ily módon képzeletbeli hívják a számot amelynek második hatványa egy negatív szám. Az imaginárius számok ezen definíciója szerint definiálhatunk és képzeletbeli Mértékegység:
Aztán az egyenlethez x 2 = - 25 kettőt kapunk képzeletbeli gyökér:
2. feladat: Oldja meg az egyenletet:
1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121
Komplex számok geometriai ábrázolása. A valós számokat a számegyenesen lévő pontok jelölik:
Itt van a lényeg A jelentése -3, pont B a 2-es szám, és O-nulla. Ezzel szemben a komplex számokat a koordinátasíkon lévő pontok képviselik. Ehhez téglalap alakú (derékszögű) koordinátákat választunk, mindkét tengelyen azonos léptékkel. Aztán a komplex szám a+ kettős ponttal lesz jelölve P abszcisszaa és ordináljab. Ezt a koordinátarendszert ún összetett sík .
modult komplex számot a vektor hosszának nevezzük OP, amely egy komplex számot ábrázol a koordinátán ( átfogó) repülőgép. Komplex számmodulus a+ kettős jelöli | a+ kettős| vagy) levél rés egyenlő:
A konjugált komplex számok modulusa azonos.
A rajz elkészítésének szabályai majdnem ugyanazok, mint a derékszögű koordinátarendszerben. A tengelyek mentén be kell állítani a méretet, megjegyzés:
e 
egység a valós tengely mentén; Rez
képzeletbeli egység a képzeletbeli tengely mentén. im z
3. feladat Szerkessze meg a következő komplex számokat a komplex síkon! , , , , , , ,
1. A számok pontosak és közelítőek. A gyakorlatban tapasztalt számok kétfélék. Egyesek a mennyiség valódi értékét adják meg, mások csak hozzávetőlegesen. Az elsőt pontosnak, a másodikat hozzávetőlegesnek nevezik. Leggyakrabban célszerű hozzávetőleges számot használni a pontos szám helyett, különösen azért, mert sok esetben a pontos szám egyáltalán nem található.
Tehát ha azt mondják, hogy 29 tanuló van az osztályban, akkor a 29 pontos szám. Ha azt mondják, hogy Moszkva és Kijev távolsága 960 km, akkor itt a 960-as szám hozzávetőleges, mivel egyrészt a mérőműszereink nem teljesen pontosak, másrészt maguk a városok is rendelkeznek bizonyos mértékkel.
A közelítő számokkal végzett műveletek eredménye is hozzávetőleges szám. A pontos számokon végrehajtott egyes műveletek (osztás, gyökér kinyerése) segítségével hozzávetőleges számokat is kaphatunk.
A közelítő számítások elmélete lehetővé teszi:
1) az adatok pontosságának fokának ismeretében értékelje az eredmények pontosságának mértékét;
2) megfelelő fokú pontosságú adatfelvétel, amely elegendő az eredmény megkívánt pontosságának biztosításához;
3) racionalizálja a számítási folyamatot, megszabadítva azoktól a számításoktól, amelyek nem befolyásolják az eredmény pontosságát.
2. Kerekítés. A hozzávetőleges számok egyik forrása a kerekítés. Kerekítse a hozzávetőleges és pontos számokat.
Egy adott szám néhány számjegyére kerekítése azt jelenti, hogy egy új számmal helyettesítjük, amelyet az adott számjegyből úgy kapunk meg, hogy a számjegytől jobbra írt összes számjegyét eldobjuk, vagy nullákkal helyettesítjük. Ezeket a nullákat általában aláhúzzák vagy kisebbre írják. A kerekített szám és a kerekített szám lehető legnagyobb közelségének biztosítása érdekében a következő szabályokat kell követni: ha a számot egy bizonyos számjegy valamelyikére szeretné kerekíteni, akkor a számjegy utáni összes számjegyet el kell dobni, és ki kell cserélni. nullákkal az egész számban. Ez a következőket veszi figyelembe:
1) ha az elvetett számjegyek közül az első (bal) kisebb, mint 5, akkor az utolsó megmaradt számjegy nem változik (lefelé kerekítés);
2) ha az első eldobott számjegy nagyobb, mint 5 vagy egyenlő 5-tel, akkor az utolsó megmaradt számjegyet eggyel növeljük (felfelé kerekítés).
Mutassuk meg ezt példákkal. Felhajt:
a) 12.34 tizedéig;
b) 3,2465 századig; 1038,785;
c) 3,4335 ezredrészéig.
d) 12375 ezerig; 320729.
a) 12,34 ≈ 12,3;
b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;
c) 3,4335 ≈ 3,434.
d) 12375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.
3. Abszolút és relatív hibák. A pontos szám és a hozzávetőleges érték közötti különbséget a közelítő szám abszolút hibájának nevezzük. Például, ha a pontos 1,214-et tizedekre kerekítjük, akkor hozzávetőlegesen 1,2-t kapunk. NÁL NÉL ez az eset a közelítő 1,2 szám abszolút hibája 1,214 - 1,2, azaz. 0,014.
De a legtöbb esetben pontos érték a figyelembe vett érték ismeretlen, de csak hozzávetőleges. Ekkor az abszolút hiba sem ismert. Ezekben az esetekben jelezze azt a határt, amelyet nem léphet túl. Ezt a számot abszolút határhibának nevezzük. Azt mondják, hogy egy szám pontos értéke egyenlő a hozzávetőleges értékével, a határhibánál kisebb hibával. Például a 23,71 szám a 23,7125 szám hozzávetőleges értéke 0,01-es pontossággal, mivel az abszolút közelítési hiba 0,0025 és kisebb, mint 0,01. Itt a határ abszolút hiba egyenlő 0,01 * .
A közelítő szám határ abszolút hibája aΔ szimbólummal jelöljük a. Felvétel
x≈a(±Δ a)
így kell érteni: a mennyiség pontos értéke x között van a– Δ aés a+ Δ a, amelyeket alsó és felső határnak nevezünk. xés jelöli az NG-t x VG x.
Például ha x≈ 2,3 (±0,1), majd 2,2<x< 2,4.
Ezzel szemben, ha a 7.3< x< 7,4, тоx≈ 7,35 (±0,05). Abszolút vagy határ abszolút hiba nem jellemzi a mérés minőségét. Ugyanaz az abszolút hiba tekinthető jelentősnek és jelentéktelennek a mért értéket kifejező számtól függően. Például, ha egy kilométeres pontossággal mérjük meg két város távolságát, akkor ez a pontosság teljesen elegendő ehhez a változáshoz, ugyanakkor az azonos utcában lévő két ház távolságának mérésekor ez a pontosság elfogadhatatlan. Ezért egy mennyiség közelítő értékének pontossága nemcsak az abszolút hiba nagyságától, hanem a mért mennyiség értékétől is függ. Ezért a pontosság mértéke a relatív hiba.
A relatív hiba az abszolút hiba és a közelítő szám értékének aránya. A határ abszolút hibájának a közelítő számhoz viszonyított arányát határrelatív hibának nevezzük; jelölje így: A relatív és a határrelatív hibákat általában százalékban fejezik ki. Például, ha a mérések azt mutatják, hogy a távolság x két pont között több mint 12,3 km, de kevesebb mint 12,7 km, akkor ennek a két számnak a számtani középértékét vesszük közelítő értéknek, i.e. félösszegük, akkor a határ abszolút hiba egyenlő ezeknek a számoknak a fele-különbségével. Ebben az esetben x≈ 12,5 (±0,2). Itt a határ abszolút hiba 0,2 km, a határ relatív
Ebben az alfejezetben a racionális számok számos definícióját adjuk meg. A megfogalmazásbeli különbségek ellenére ezeknek a definícióknak ugyanaz a jelentése: a racionális számok egész számokat és törtszámokat kombinálnak, ahogy az egész számok a természetes számokat, azok ellentétes számait és a nullát. Más szóval, a racionális számok általánosítanak egész és tört számokat.
Kezdjük azzal racionális számok definíciói amelyet a legtermészetesebbnek tartanak.
Meghatározás.
Racionális számok olyan számok, amelyek pozitív közös törtként, negatív közös törtként vagy nulla számként írhatók fel.
A hangos definícióból az következik, hogy a racionális szám:
bármilyen természetes szám n. Valójában bármely természetes szám ábrázolható közönséges törtként, például 3=3/1 .
· Bármely egész szám, különösen a nulla. Valójában bármely egész szám felírható pozitív közös törtként, negatív közös törtként vagy nullaként. Például, 26=26/1 , .
Bármely közönséges tört (pozitív vagy negatív). Ezt közvetlenül kimondja a racionális számok adott definíciója.
· Bármilyen vegyes szám. Valójában mindig lehetséges egy vegyes számot helytelen közös törtként ábrázolni. Például, és.
· Bármilyen véges tizedes tört vagy végtelen periodikus tört. Ez azért van így, mert a megadott tizedes törteket a rendszer közönséges törtté alakítja. Például a 0,(3)=1/3 .
Az is világos, hogy bármely végtelen, nem ismétlődő tizedes NEM racionális szám, mivel nem ábrázolható közönséges törtként.
Most könnyen hozhatjuk példák racionális számokra. Számok 4 ,903 , 100 321 racionális számok, mivel természetes számok. Egész számok 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 racionális számokra is példák. Közönséges törtek 4/9 , 99/3 , szintén példák a racionális számokra. A racionális számok is számok.
A fenti példák azt mutatják, hogy vannak pozitív és negatív racionális számok is, és a nulla racionális szám sem nem pozitív, sem nem negatív.
A racionális számok fenti definíciója rövidebb formában is megfogalmazható.
Meghatározás.
Racionális számok nevezzen meg egy törtként felírható számot! z/n, ahol z egy egész szám, és n- természetes szám.
Bizonyítsuk be, hogy a racionális számoknak ez a definíciója ekvivalens az előző definícióval. Tudjuk, hogy a tört rúdját tekinthetjük az osztás jelének, akkor az egész számok osztásának tulajdonságaiból és az egészek osztására vonatkozó szabályokból következik a következő egyenlőségek érvényessége és. Szóval ez a bizonyíték.
Példákat adunk racionális számokra e meghatározás alapján. Számok −5 , 0 , 3 , és racionális számok, mivel felírhatók törtként egy egész szám számlálóval és az alak természetes nevezőjével, ill.
A racionális számok definíciója a következő megfogalmazásban is megadható.
Meghatározás.
Racionális számok véges vagy végtelen periodikus tizedes törtként felírható számok.
Ez a definíció is egyenértékű az első definícióval, mivel bármely közönséges tört véges vagy periodikus tizedes törtnek felel meg, és fordítva, és bármely egész szám társítható egy tizedes törthez, ahol a tizedesvessző után nullák állnak.
Például számok 5 , 0 , −13 , példák a racionális számokra, mivel ezek a következő tizedes törtekként írhatók fel 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 és −7,(18) .
A szakasz elméletét a következő kijelentésekkel fejezzük be:
egész és tört számok (pozitív és negatív) alkotják a racionális számok halmazát;
Minden racionális szám ábrázolható törtként egész számlálóval és természetes nevezővel, és minden ilyen tört racionális szám;
Minden racionális szám ábrázolható véges vagy végtelen periodikus tizedes törtként, és minden ilyen tört valamilyen racionális számot képvisel.
Lap teteje
A pozitív racionális számok összeadása kommutatív és asszociatív,
("a, b н Q +) a + b= b + a;
("a, b, c н Q +) (a + b) + c = a + (b+ c)
A pozitív racionális számok szorzásának definíciójának megfogalmazása előtt vizsgáljuk meg a következő problémát: ismert, hogy az X szakasz hosszát törtként fejezzük ki az E egységhosszúságon, az egységnyi szakasz hosszát pedig az E 1 mértékegység segítségével mérjük. és törtként van kifejezve. Hogyan találjuk meg azt a számot, amely az X szakasz hosszát jelenti, ha az E 1 hosszúság mértékegységével mérjük?
Mivel X=E, akkor nX=mE, és abból, hogy E =E 1, az következik, hogy qE=pE 1 . A kapott első egyenlőséget megszorozzuk q-val, a másodikat pedig m-vel. Ekkor (nq)X \u003d (mq)E és (mq)E \u003d (mp)E 1, innen (nq)X \u003d (mp)E 1. Ez az egyenlőség azt mutatja, hogy az x szakasz hossza egységnyi hosszon törtként van kifejezve, és ezért , =, azaz a törtek szorzása ugyanazon szakasz hosszának mérésekor az egyik hosszegységről a másikra való átmenethez kapcsolódik.
Definíció: Ha egy pozitív a számot tört, a b pozitív racionális számot pedig tört, akkor a szorzatuk az a b szám, amelyet törttel ábrázolunk.
Pozitív racionális számok szorzása kommutatív, asszociatív és disztributív az összeadás és a kivonás tekintetében. Ezen tulajdonságok bizonyítása a pozitív racionális számok szorzásának és összeadásának definícióján, valamint a természetes számok összeadásának és szorzásának megfelelő tulajdonságain alapul.
46. Mint tudod kivonás az összeadás ellentéte.
Ha egy aés b - pozitív számok, akkor a b szám kivonása az a számból azt jelenti, hogy találunk egy c számot, amelyet a b számhoz hozzáadva az a számot kapjuk.
a - b = c vagy c + b = a
A kivonás definíciója minden racionális számra igaz. Vagyis a pozitív és negatív számok kivonása helyettesíthető összeadással.
Ahhoz, hogy egy számból kivonjunk egy másikat, hozzá kell adni az ellenkező számot a minuendhez.
Vagy másképpen azt is mondhatjuk, hogy a b szám kivonása ugyanaz az összeadás, de a b számmal ellentétes számmal.
a - b = a + (- b)
Példa.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Példa.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Érdemes megjegyezni az alábbi kifejezéseket.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0
A negatív számok kivonásának szabályai
A b szám kivonása a b számmal ellentétes számmal való összeadás.
Ez a szabály nem csak akkor őrződik meg, ha kisebb számot von ki egy nagyobb számból, hanem azt is lehetővé teszi, hogy egy kisebb számból nagyobb számot vonjon ki, vagyis mindig megtalálja a különbséget két szám között.
A különbség lehet pozitív szám, negatív szám vagy nulla.
Példák negatív és pozitív számok kivonására.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Kényelmes megjegyezni az előjelszabályt, amely lehetővé teszi a zárójelek számának csökkentését.
A pluszjel nem változtatja meg a szám előjelét, így ha a zárójel előtt plusz van, akkor a zárójelben lévő jel nem változik.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
A zárójelek előtti mínusz jel megfordítja a zárójelben lévő szám előjelét.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Az egyenlőségekből látható, hogy ha a zárójelek előtt és belül azonos előjelek vannak, akkor „+”-t kapunk, ha pedig különbözőek, akkor „-”-t kapunk.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Az előjelek szabálya akkor is megmarad, ha nem egy szám van zárójelben, hanem a számok algebrai összege.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Kérjük, vegye figyelembe, hogy ha több szám van zárójelben, és a zárójelek előtt mínusz jel van, akkor a zárójelben szereplő összes szám előtti jelnek meg kell változnia.
A jelek szabályának emlékezéséhez készíthet egy táblázatot a számok előjeleinek meghatározásához.
Előjel szabály számokra + (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Vagy tanulj meg egy egyszerű szabályt.
Két negatívum igenlővé tesz,
Pluszszor mínusz egyenlő mínusz.
A negatív számok osztásának szabályai.
A hányados modulusának megtalálásához el kell osztani az osztó modulusát az osztó modulusával.
Tehát két azonos előjelű szám felosztásához a következőkre lesz szüksége:
Ossza el az osztó modulusát az osztó modulusával;
Tegyen egy „+” jelet az eredmény elé.
Példák a számok különböző előjelű osztására:
A hányadosjel meghatározásához a következő táblázatot is használhatja.
A jelek szabálya felosztáskor
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -
A "hosszú" kifejezések kiszámításakor, amelyekben csak szorzás és osztás jelenik meg, nagyon kényelmes az előjelszabály használata. Például tört kiszámításához
Figyelembe kell venni, hogy a számlálóban 2 "mínusz" jel található, amelyeket megszorozva "plusz" lesz. A nevezőben három mínusz jel is található, amelyeket megszorozva mínuszt adunk. Ezért a végén az eredmény mínusz előjelű lesz.
A törtcsökkentés (további műveletek a számmodulokkal) ugyanúgy történik, mint korábban:
A nulla egy nem nullától eltérő számmal való osztásának hányadosa nulla.
0: a = 0, a ≠ 0
NE osszuk nullával!
A racionális számok halmazára is érvényes az eggyel való osztás összes korábban ismert szabálya.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, ahol a tetszőleges racionális szám.
A pozitív számokról ismert szorzás és osztás eredményei közötti függőségek is megmaradnak minden racionális számra (a nulla kivételével):
ha a × b = c; a = c: b; b = c: a;
ha a: b = c; a = c × b; b=a:c
Ezek a függőségek az ismeretlen tényező, osztó és osztó megkeresésére szolgálnak (egyenletek megoldásánál), valamint a szorzás és osztás eredményének ellenőrzésére.
Példa az ismeretlen megtalálására.
x × (-5) = 10
x=10: (-5)
x=-2
Hasonló információk.
Mint láttuk, a természetes számok halmaza
az összeadás és szorzás, valamint az egész számok halmaza alatt zárva van
összeadás, szorzás és kivonás alatt zárva. Azonban ezek a halmazok egyike sem zárt osztás alatt, mivel az egész számok felosztása törtekhez vezethet, mint például a 4/3, 7/6, -2/5 és így tovább. Az összes ilyen tört halmaza alkotja a racionális számok halmazát. Így a racionális szám (racionális tört) egy olyan szám, amely ként ábrázolható, ahol a és d egész számok, és d nem egyenlő nullával. Tegyünk néhány megjegyzést ehhez a meghatározáshoz.
1) Megköveteltük, hogy d különbözzék nullától. Ez a követelmény (matematikailag egyenlőtlenségként írva) azért szükséges, mert itt d osztó. Tekintsük a következő példákat:
1. eset.
2. eset.
1-es esetben d osztója az előző fejezet értelmében, azaz 7 pontos osztója 21-nek. 2-es esetben d továbbra is osztója, de más értelemben, mivel a 7 nem pontos osztója a 21-nek. 25.
Ha a 25-öt oszthatónak, a 7-et pedig osztónak nevezzük, akkor a 3-as hányadost, a maradékot pedig 4-et kapjuk. Tehát az osztó szót itt általánosabb értelemben használjuk, és több esetre vonatkozik, mint a Ch-ben. I. Az 1. esethez hasonló esetekben azonban az osztó fogalmát a Ch. ÉN; ezért szükséges, mint a Fejezetben. I, kizárom a d = 0 lehetőségét.
2) Vegye figyelembe, hogy bár a racionális szám és a racionális tört kifejezések szinonimák, magát a tört szót használjuk bármilyen algebrai kifejezésre, amely számlálóból és nevezőből áll, mint például,
3) A racionális szám definíciója tartalmazza az „egy olyan számot, amely ként ábrázolható, ahol a és d egész számok és . Miért nem lehet helyettesíteni a következő kifejezéssel: „olyan szám, ahol a és d egész számok, és ennek az az oka, hogy végtelenül sokféleképpen lehet kifejezni ugyanazt a törtet (például 2/3 is lehet 4/6, 6 /9, vagy 213/33, vagy stb.), és kívánatos számunkra, hogy a racionális szám definíciója ne függjön a kifejezés konkrét módjától.
A tört úgy van meghatározva, hogy értéke ne változzon, ha a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal szorozzuk. Nem mindig lehet azonban megmondani, hogy csak egy adott törtre nézünk, hogy az racionális-e vagy sem. Vegyük például a számokat
Az általunk választott jelölésben ezek egyike sem alakja , ahol a és d egész számok.
Mindazonáltal végrehajthatunk egy sor aritmetikai transzformációt az első törten, és megkapjuk
Így az eredeti törttel egyenlő törthez jutunk, amelyre . A szám tehát racionális, de nem lenne racionális, ha a racionális szám meghatározása megkövetelné, hogy a szám a/b alakú legyen, ahol a és b egész számok. Konverziós tört esetén
számhoz vezet. A későbbi fejezetekben megtudjuk, hogy egy szám nem ábrázolható két egész szám arányaként, ezért nem racionális, vagy irracionálisnak mondják.
4) Vegye figyelembe, hogy minden egész szám racionális. Ahogy az imént láttuk, ez igaz a 2-es számra is. Tetszőleges egész számok általános esetében hasonló módon mindegyikhez rendelhetünk egy nevezőt, és megkaphatjuk racionális törtként való ábrázolásukat.
