Fontos jegyzetek!
1. Ha a képletek helyett abrakadabra jelenik meg, törölje a gyorsítótárat. Itt van leírva, hogyan kell ezt böngészőben csinálni:
2. Mielőtt elkezdené olvasni a cikket, figyeljen a navigátorunkra, hogy megtalálja a leghasznosabb forrást
Mi a valószínűség?
Amikor először találkoztam ezzel a kifejezéssel, nem érteném, mi az. Szóval megpróbálom érthetően elmagyarázni.
A valószínűség annak az esélye, hogy a kívánt esemény bekövetkezik.
Például úgy döntött, hogy meglátogatja egy barátját, emlékezzen a bejáratra, sőt a padlóra is, amelyen él. De elfelejtettem a lakás számát és helyét. És most a lépcsőházban állsz, és előtted vannak az ajtók, amelyek közül választhatsz.
Mekkora az esélye (valószínűsége), hogy ha megnyomja az első ajtócsengőt, a barátja kinyitja neked? Egész lakás, és csak az egyik mögött lakik egy barát. Egyenlő eséllyel bármelyik ajtót választhatjuk.
De mi ez az esély?
Ajtók, a jobb oldali ajtó. Az első ajtó becsöngetésével való találgatás valószínűsége: . Vagyis háromból egyszer biztosan kitalálod.
Szeretnénk tudni, ha egyszer telefonálunk, milyen gyakran találjuk ki az ajtót? Nézzük meg az összes lehetőséget:
És most fontolja meg az összes lehetőséget, ahol egy barát lehet:
a. Per 1 ajtó
b. Per 2 ajtó
ban ben. Per 3 ajtó
Hasonlítsuk össze az összes lehetőséget táblázat formájában. A pipa jelzi azokat a lehetőségeket, amikor az Ön választása megegyezik egy barát helyével, kereszt - ha nem egyezik.
Hogyan lát mindent Talán lehetőségek barátja tartózkodási helye és az Ön választása, hogy melyik ajtót csengessen.
DE mindennek kedvező kimenetele . Vagyis az időket abból fogod kitalálni, ha egyszer becsöngeted az ajtót, pl. .
Ez a valószínűség - a kedvező kimenetel aránya (amikor a választása egybeesett egy barát helyével) a lehetséges események számához.
A definíció a képlet. A valószínűséget általában p-vel jelölik, tehát:
Nem túl kényelmes ilyen képletet írni, ezért vegyük - a kedvező kimenetelek számát, és - az összes kimenetel számát.
A valószínűség százalékban is felírható, ehhez meg kell szorozni a kapott eredményt:
Valószínűleg az „eredmények” szó ragadta meg a figyelmét. Mivel a matematikusok különféle cselekvéseket (nálunk az ilyen csengőt) neveznek kísérleteknek, az ilyen kísérletek eredményét szokás eredménynek nevezni.
Nos, az eredmények kedvezőek és kedvezőtlenek.
Térjünk vissza példánkhoz. Tegyük fel, hogy csöngettünk az egyik ajtón, de kinyitották nekünk idegen. Nem sejtettük. Mekkora a valószínűsége annak, hogy ha a megmaradt ajtók egyikét becsöngetjük, a barátunk kinyitja nekünk?
Ha így gondoltad, akkor ez tévedés. Találjuk ki.
Két ajtónk maradt. Tehát vannak lehetséges lépéseink:
1) Hívja fel 1 Ajtó
2) Hívjon 2 Ajtó
Egyikük mögött minden bizonnyal egy barát áll (elvégre nem az, akit hívtunk):
a) egy barát 1 ajtó
b) egy barát számára 2 ajtó
Rajzoljuk meg újra a táblázatot:
Mint látható, minden lehetőség van, amelyek közül - kedvező. Vagyis a valószínűség egyenlő.
Miért ne?
Az általunk vizsgált helyzet a következő példa a függő eseményekre. Az első esemény az első csengő, a második esemény a második ajtócsengő.
És függőnek nevezik őket, mert hatással vannak a következő cselekvésekre. Végül is, ha egy barát az első csengetés után kinyitja az ajtót, mennyi a valószínűsége, hogy a másik kettő egyike mögött van? Helyesen,.
De ha vannak függő események, akkor lennie kell független? Igaz, vannak.
Tankönyvi példa az érme feldobása.
És hagyja, hogy a farok legalább ezerszer egymás után hulljon ki. A fejek azonnali leesésének valószínűsége azonos lesz. Mindig vannak lehetőségek, de kedvezőek.
A függő események megkülönböztetése a független eseményektől egyszerű:
Gyakoroljunk egy kicsit a valószínűség meghatározásához.
1. példa
Az érmét kétszer dobják fel. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egymás után kétszer kapunk fejjel?
Megoldás:
Fontolja meg az összes lehetséges lehetőséget:
Amint látja, minden lehetőség. Ezek közül csak mi elégedettek vagyunk. Ez a valószínűség:
Ha a feltétel egyszerűen a valószínűség meghatározását kéri, akkor a választ az űrlapon kell megadni tizedes tört. Ha azt jeleznénk, hogy a választ százalékban kell megadni, akkor szoroznánk.
Válasz:
2. példa
Egy doboz csokoládéban minden cukorka ugyanabba a csomagolásba van csomagolva. Azonban édességből - dióval, konyakkal, cseresznyével, karamellel és nugáttal.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy veszünk egy cukorkát, és kapunk egy édességet dióval? Válaszát százalékban adja meg!
Megoldás:
Hány lehetséges kimenetel van? .
Vagyis ha veszünk egy cukorkát, az egyik lesz a dobozban.
És hány kedvező eredmény?
Mert a doboz csak diós csokit tartalmaz.
Válasz:
3. példa
Golyós dobozban. amelyek közül fehér és fekete.
Megoldás:
a) Csak golyók vannak a dobozban. amelyek közül fehérek.
Ennek a valószínűsége:
b) Most golyók vannak a dobozban. És ugyanannyi fehér maradt.
Válasz:
| Az összes lehetséges esemény valószínűsége (). |
Például egy piros és zöld golyókat tartalmazó dobozban. Mennyi a valószínűsége annak, hogy piros golyót húzunk? Zöld labda? Piros vagy zöld labda?
Piros golyó rajzolásának valószínűsége
Zöld golyó:
Piros vagy zöld golyó:
Mint látható, az összes lehetséges esemény összege egyenlő (). Ennek a pontnak a megértése sok probléma megoldásában segít.
4. példa
A dobozban filctoll található: zöld, piros, kék, sárga, fekete.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy NEM piros jelölőt rajzol?
Megoldás:
Számoljuk meg a számot kedvező eredményeket.
NEM piros marker, ez zöldet, kéket, sárgát vagy feketét jelent.
| Annak a valószínűsége, hogy egy esemény nem következik be, mínusz annak a valószínűsége, hogy az esemény bekövetkezik. |
Ön már tudja, mik a független események.
És ha meg kell találnia annak valószínűségét, hogy két (vagy több) független esemény következik be egymás után?
Tegyük fel, hogy tudni akarjuk, mekkora a valószínűsége annak, hogy ha egyszer feldobunk egy érmét, akkor kétszer meglátunk egy sast?
Már mérlegeltük - .
Mi van, ha feldobunk egy érmét? Mennyi annak a valószínűsége, hogy kétszer egymás után látunk egy sast?
Összes lehetséges opció:
Nem tudom, ti hogy vagytok vele, de egyszer rosszul írtam ezt a listát. Azta! És az egyetlen lehetőség (az első) megfelel nekünk.
5 tekercs esetén saját maga készíthet egy listát a lehetséges kimenetelekről. De a matematikusok nem olyan szorgalmasak, mint te.
Ezért először észrevették, majd bebizonyították, hogy a független események egy bizonyos sorozatának valószínűsége minden alkalommal egy esemény valószínűségével csökken.
Más szavakkal,
Tekintsünk példát ugyanerre a balszerencsés érmére.
Valószínű, hogy felbukkan egy tárgyalás? . Most egy érmét dobunk fel.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy egymás után kapunk farkat?
Ez a szabály nem csak akkor működik, ha meg kell keresnünk annak valószínűségét, hogy ugyanaz az esemény egymás után többször megtörténik.
Ha meg akarnánk találni a TAILS-EAGLE-TAILS szekvenciát az egymást követő flipeknél, akkor ugyanezt tennénk.
A farok megszerzésének valószínűsége - , fej - .
A TAILS-EAGLE-TAILS-TAILS sorozat megszerzésének valószínűsége:
Egy táblázat elkészítésével Ön is ellenőrizheti.
Szóval állj meg! Új meghatározás.
Találjuk ki. Vegyük elhasznált érménket, és dobjuk fel egyszer.
Lehetséges opciók:
Tehát itt összeférhetetlen események vannak, ez egy bizonyos, adott eseménysor. összeférhetetlen események.
Ha meg akarjuk határozni, hogy mekkora a valószínűsége két (vagy több) összeférhetetlen eseménynek, akkor összeadjuk ezen események valószínűségét.
Meg kell értenie, hogy a sas vagy a farok elvesztése két független esemény.
Ha meg akarjuk határozni, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy egy sorozat (vagy bármely más) kiesik, akkor a valószínűségek szorzásának szabályát alkalmazzuk.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy az első dobásnál fejet kapunk, a másodiknál és a harmadiknál pedig farkat?
De ha tudni akarjuk, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy több sorozat közül egyet kapunk, például amikor a fejek pontosan egyszer jönnek fel, pl. opciókat, majd össze kell adnunk ezeknek a sorozatoknak a valószínűségét.
A teljes opció megfelel nekünk.
Ugyanezt megkaphatjuk, ha összeadjuk az egyes sorozatok előfordulási valószínűségét:
Így valószínűségeket adunk hozzá, ha bizonyos, összeférhetetlen eseménysorozatok valószínűségét akarjuk meghatározni.
Van egy nagyszerű szabály, amely segít abban, hogy ne keveredjen össze, mikor kell szorozni és mikor kell összeadni:
Térjünk vissza ahhoz a példához, amikor többször feldobtunk egy érmét, és szeretnénk tudni, hogy mekkora valószínűséggel látunk fejeket egyszer.
Mi fog történni?
Le kell esni:
(heads AND tails AND tails) VAGY (farok AND heads AND tails) VAGY (farok ÉS farok ÉS fej).
És így kiderül:
Nézzünk néhány példát.
5. példa
A dobozban ceruzák vannak. piros, zöld, narancs és sárga és fekete. Mennyi a valószínűsége annak, hogy piros vagy zöld ceruzát rajzol?
Megoldás:
6. példa
Egy kockával kétszer dobnak, mekkora a valószínűsége annak, hogy összesen 8 jön ki?
Megoldás.
Hogyan szerezhetünk pontokat?
(és) vagy (és) vagy (és) vagy (és) vagy (és).
Az egyik (bármely) arcból kiesés valószínűsége .
Kiszámoljuk a valószínűséget:
Azt hiszem, most már világossá vált számodra, hogy mikor kell számolnod a valószínűségeket, mikor kell összeadnod és mikor szorozni. Nem? Gyakoroljunk egy kicsit.
Feladatok:
Vegyünk egy pakli kártyát, amelyben a lapok ásók, szívek, 13 ütő és 13 tambura. Minden színből ászig.
Válaszok:
Ha minden problémát meg tudtál oldani, akkor nagyszerű fickó vagy! Most a valószínűségelméletre vonatkozó feladatokat a vizsgán fogod kattintani, mint a diót!
Vegyünk egy példát. Tegyük fel, hogy dobunk egy kockát. Milyen csont ez, tudod? Ez egy olyan kocka neve, amelynek lapjain számok vannak. Hány arc, annyi szám: től hányig? Előtt.
Tehát dobunk egy kockával, és azt akarjuk, hogy az orral álljon elő. És kiesünk.
A valószínűségszámításban azt mondják, mi történt kedvező esemény(nem tévesztendő össze a jóval).
Ha kiesne, az esemény is szerencsés lenne. Összesen csak két kedvező esemény fordulhat elő.
Hány rossz? Mivel minden lehetséges esemény, akkor ezek közül a kedvezőtlen az események (ez ha kiesik vagy).
Meghatározás:
A valószínűség a kedvező események számának az összes lehetséges esemény számához viszonyított aránya.. Vagyis a valószínűség azt mutatja meg, hogy az összes lehetséges esemény hány százaléka kedvező.
A valószínűséget latin betűvel jelöljük (úgy tűnik, a angol szó valószínűség – valószínűség).
Szokásos a valószínűséget százalékban mérni (lásd a témát,). Ehhez a valószínűségi értéket meg kell szorozni. A kocka példában valószínűség.
És százalékban: .
Példák (döntsd el magad):
Megoldások:
Ugyanez a farokkal: .
A fiókban lévő összes ceruza zöld. Mennyi a valószínűsége annak, hogy rajzolunk egy piros ceruzát? Nincs esély: valószínűség (végül is kedvező események -).
Egy ilyen eseményt lehetetlennek neveznek.
Mennyi a valószínűsége, hogy zöld ceruzát rajzolunk? Pontosan annyi kedvező esemény van, ahány teljes esemény (minden esemény kedvező). Tehát a valószínűség vagy.
Az ilyen eseményt bizonyosnak nevezzük.
Ha zöld és piros ceruza van a dobozban, mekkora a valószínűsége annak, hogy zöldet vagy pirosat rajzolunk? Már megint. Jegyezze meg a következőt: a zöld rajzolásának valószínűsége egyenlő, a piros pedig .
Összegezve, ezek a valószínűségek pontosan egyenlőek. vagyis az összes lehetséges esemény valószínűségének összege egyenlő vagy.
Példa:
Egy doboz ceruza van köztük kék, piros, zöld, egyszerű, sárga, a többi narancssárga. Mennyi annak a valószínűsége, hogy nem rajzolunk zöldet?
Megoldás:
Ne feledje, hogy minden valószínűség összeadódik. És a valószínűsége, hogy zöldet rajzol, egyenlő. Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy nem rajzolunk zöldet, egyenlő.
Emlékezz erre a trükkre: Annak a valószínűsége, hogy egy esemény nem következik be, mínusz annak a valószínűsége, hogy az esemény bekövetkezik.
Kétszer feldobsz egy érmét, és azt akarod, hogy mindkét alkalommal felbukkanjon. Mi ennek a valószínűsége?
Nézzük meg az összes lehetséges lehetőséget, és határozzuk meg, hány van:
Eagle-Eagle, Tails-Eagle, Eagle-Tails, Tails-Tails. Mi más?
Az egész változat. Ezek közül csak egy felel meg nekünk: Eagle-Eagle. Tehát a valószínűség egyenlő.
Jó. Most dobjunk fel egy érmét. Számold meg magad. Megtörtént? (válasz).
Talán észrevetted, hogy minden következő dobás hozzáadásával a valószínűség egy faktorral csökken. Általános szabály hívott szorzási szabály:
A független események valószínűsége változik.
Mik azok a független események? Minden logikus: ezek azok, amelyek nem függnek egymástól. Például amikor többször feldobunk egy érmét, minden alkalommal új dobás történik, aminek eredménye nem függ minden korábbi dobástól. Ugyanolyan sikerrel két különböző érmét dobhatunk egyszerre.
További példák:
Válaszok:
Az összeférhetetlen események olyan események, amelyek teljes valószínűséggel kiegészítik egymást. Ahogy a név is sugallja, ezek nem történhetnek egyszerre. Például, ha feldobunk egy érmét, akár fejek, akár farok eshetnek ki.
Példa.
Egy doboz ceruza van köztük kék, piros, zöld, egyszerű, sárga, a többi narancssárga. Mennyi a valószínűsége annak, hogy zöldet vagy pirosat rajzolunk?
Megoldás .
A zöld ceruza rajzolásának valószínűsége egyenlő. Piros -.
Kedvező események: zöld + piros. Tehát a zöld vagy piros rajzolás valószínűsége egyenlő.
Ugyanez a valószínűség a következő formában ábrázolható: .
Ez az összeadás szabálya: az összeférhetetlen események valószínűsége összeadódik.
Példa.
Az érmét kétszer dobják fel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobások eredménye eltérő lesz?
Megoldás .
Ez azt jelenti, hogy ha a fejek jönnek fel először, a farok legyen a második, és fordítva. Kiderül, hogy itt két független eseménypár van, és ezek a párok nem kompatibilisek egymással. Hogyan ne keveredjen össze azzal kapcsolatban, hogy hol kell szorozni és hol kell hozzáadni.
Van egy egyszerű szabály az ilyen helyzetekre. Próbálja meg leírni, hogy mi történjen, összekapcsolva az eseményeket az „ÉS” vagy „VAGY” szakszervezetekkel. Például be ez az eset:
Gördülnie kell (fejek és farok) vagy (farok és fejek).
Ahol „és” unió van, ott szorzás történik, ahol pedig „vagy” az összeadás:
Próbáld ki magad:
Megoldások:
Egy másik példa:
Egyszer feldobunk egy érmét. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a fejek legalább egyszer felbukkannak?
Megoldás:
A valószínűség a kedvező események számának az összes lehetséges esemény számához viszonyított aránya.
Független események
Két esemény független, ha az egyik bekövetkezése nem változtatja meg a másik bekövetkezésének valószínűségét.
Teljes valószínűség
Az összes lehetséges esemény valószínűsége ().
Annak a valószínűsége, hogy egy esemény nem következik be, mínusz annak a valószínűsége, hogy az esemény bekövetkezik.
Független események valószínűségének szorzásának szabálya
A független események egy bizonyos sorozatának valószínűsége egyenlő az egyes események valószínűségeinek szorzatával
Összeférhetetlen események
Inkompatibilis események azok az események, amelyek egy kísérlet eredményeként nem következhetnek be egyszerre. Számos összeférhetetlen esemény alkot egy teljes eseménycsoportot.
Az összeférhetetlen események valószínűsége összeadódik.
Miután leírtuk, hogy mi történjen, az „ÉS” vagy „VAGY” unió használatával az „AND” helyett a szorzás jelét, az „OR” helyett pedig az összeadást tesszük.
Nos, a témának vége. Ha ezeket a sorokat olvasod, akkor nagyon menő vagy.
Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvastad, akkor az 5%-ban vagy!
Most a legfontosabb.
Kitaláltad az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.
Az a baj, hogy ez nem elég...
Miért?
A sikerességért a vizsga letétele, az intézetbe való felvételért a költségvetésből és ami a LEGFONTOSABB életre szóló.
Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...
Emberek, akik kaptak egy jó oktatás, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kapták meg. Ez statisztika.
De nem ez a fő.
A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...
De gondold meg magad...
Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások a vizsgán, és végül… boldogabb legyél?
TÖLTSE MEG A KEZÉT, MEGOLDÁSA EBBEN A TÉMÁBAN.
A vizsgán nem kérdeznek elméletet.
Szükséged lesz időben megoldja a problémákat.
És ha nem oldotta meg őket (SOK!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem fog időben elkövetni.
Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.
Keressen gyűjteményt bárhol, ahol csak akar szükségszerűen megoldásokkal részletes elemzés és dönts, dönts, dönts!
Feladatainkat használhatja (nem szükséges), és mindenképpen ajánljuk.
Ahhoz, hogy segítséget kaphasson feladataink segítségével, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.
Hogyan? Két lehetőség van:
Igen, 99 ilyen cikkünk van a tankönyvben, és azonnal megnyitható az összes feladat és minden rejtett szöveg.
Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely teljes élettartama alatt.
Összefoglalva...
Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne hagyd abba az elméletet.
Az „értettem” és a „tudom, hogyan kell megoldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.
Találd meg a problémákat és oldd meg!
Valószínűség Az esemény az adott eseményt előnyben részesítő elemi kimenetelek számának aránya azon tapasztalatok összes, egyformán lehetséges kimeneteléhez képest, amelyekben ez az esemény bekövetkezhet. Az A esemény valószínűségét P(A) jelöli (itt P a francia probabilite szó első betűje - valószínűség). A meghatározás szerint
(1.2.1)
ahol az A eseményt előnyben részesítő elemi eredmények száma; - az egyformán lehetséges elemi tapasztalati kimenetek száma, amelyek egy teljes eseménycsoportot alkotnak.
Ezt a valószínűség-definíciót klasszikusnak nevezzük. Felmerült kezdeti szakaszban a valószínűségelmélet fejlesztése.
Egy esemény valószínűsége a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1. Egy bizonyos esemény valószínűsége eggyel egyenlő. Jelöljünk meg egy bizonyos eseményt betűvel. Egy bizonyos eseményre tehát
(1.2.2)
2. Egy lehetetlen esemény valószínűsége nulla. A lehetetlen eseményt betűvel jelöljük. Lehetetlen eseményre tehát
(1.2.3)
3. Valószínűség véletlenszerű esemény egynél kisebb pozitív számként kifejezve. Mivel a , vagy egyenlőtlenségek egy véletlen eseményre teljesülnek, akkor
(1.2.4)
4. Bármely esemény valószínűsége kielégíti az egyenlőtlenségeket
(1.2.5)
Ez az (1.2.2) -(1.2.4) összefüggésekből következik.
1. példa Egy urnában 10 azonos méretű és súlyú golyó található, ebből 4 piros és 6 kék. Egy golyót húznak az urnából. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kihúzott golyó kék?
Megoldás. A "kihúzott labda kéknek bizonyult" eseményt A betűvel jelöljük. Ennek a kísérletnek 10 egyformán lehetséges elemi végeredménye van, ebből 6 az A eseménynek kedvez. Az (1.2.1) képlet szerint kapjuk 
2. példa Minden természetes szám 1-től 30-ig azonos kártyákra van írva, és egy urnába helyezve. A kártyák alapos összekeverése után egy kártyát kiveszünk az urnából. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kihúzott kártyán lévő szám 5 többszöröse?
Megoldás. Jelölje A-val azt az eseményt, hogy "a kivett kártyán lévő szám 5 többszöröse". Ebben a tesztben 30 egyformán lehetséges elemi kimenetel van, amelyek közül 6 az A eseményt részesíti előnyben (5, 10, 15, 20, 25, 30). Következésképpen, 
3. példa Két kockát dobunk, a felső lapokon lévő pontok összegét számítjuk ki. Határozzuk meg a B esemény valószínűségét, amely abból áll, hogy a kockák felső lapjai összesen 9 pontot kapnak.
Megoldás. Ebben a kísérletben 6 2 = 36 egyformán lehetséges elemi kimenetel van. A B eseménynek 4 végeredmény kedvez: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), tehát 
4. példa. Véletlenszerűen kiválasztott természetes szám, nem haladja meg a 10-et. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a szám prím?
Megoldás. Jelölje C betűvel azt az eseményt, hogy "a választott szám prím". Ebben az esetben n = 10, m = 4 ( prímszámok 2, 3, 5, 7). Ezért a kívánt valószínűség 
5. példa Két szimmetrikus érmét dobnak fel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkét érme felső oldalán számjegyek találhatók?
Megoldás. Jelöljük D betűvel azt az eseményt, hogy "minden érme felső oldalán egy szám volt". Ebben a tesztben 4 egyformán lehetséges elemi eredmény van: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (A jelölés (G, C) azt jelenti, hogy az első érmén címer van, a másodikon egy szám). A D eseményt egy elemi eredmény (C, C) kedvez. Mivel m = 1, n = 4, akkor 
6. példa Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott kétjegyű szám számjegyei megegyeznek?
Megoldás. kétszámjegyű számok 10-től 99-ig; összesen 90 ilyen szám van.9 szám azonos számjegyű (ezek a 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 számok). Mivel ebben az esetben m = 9, n = 90, akkor 
,
ahol A az "azonos számjegyű szám" esemény.
7. példa A szó betűiből differenciális egy betűt véletlenszerűen választunk ki. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a betű: a) magánhangzó b) mássalhangzó c) betű h?
Megoldás. A szókülönbségben 12 betű van, ebből 5 magánhangzó és 7 mássalhangzó. Levelek h ez a szó nem. Jelöljük az eseményeket: A - "magánhangzó", B - "mássalhangzó", C - "betű". h". A kedvező elemi eredmények száma: - A eseményre, - B eseményre, - C eseményre. Mivel n \u003d 12, akkor
, és .
8. példa Két kockával dobunk fel, mindegyik kocka felső lapján fel kell jegyezni a pontok számát. Határozza meg annak valószínűségét, hogy mindkét kocka ugyanannyi pontot tartalmaz.
Megoldás. Jelöljük ezt az eseményt A betűvel. Az A eseménynek 6 elemi kimenetele kedvez: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). Összességében ugyanannyira lehetséges elemi kimenetel, amely egy teljes eseménycsoportot alkot, ebben az esetben n=6 2 =36. Tehát a kívánt valószínűség 
9. példa A könyv 300 oldalas. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen megnyitott oldal sorszáma 5 többszöröse?
Megoldás. A feladat feltételeiből következik, hogy az események teljes csoportját alkotó, egyformán lehetséges elemi kimenetelek közül n = 300 lesz, amelyek közül m = 60 a meghatározott esemény bekövetkezésének kedvez. Valójában egy szám, amely többszöröse 5-nek, alakja 5k, ahol k természetes szám, és ahonnan 
. Következésképpen, 
, ahol A - az "oldal" esemény sorszáma 5" többszöröse.
10. példa. Két kockát dobunk, a felső lapokon lévő pontok összegét számítjuk ki. Mi a valószínűsége annak, hogy összesen 7 vagy 8 lesz?
Megoldás. Jelöljük az eseményeket: A - "7 pont esett ki", B - "8 pont esett ki". Az A eseménynek 6 alapvető kimenetele kedvez: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), a B eseménynek pedig 5 eredmény: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Minden egyformán lehetséges elemi eredmény közül n = 6 2 = 36 van. és .
Tehát P(A)>P(B), vagyis az összesen 7 pont megszerzése valószínűbb esemény, mint az összesen 8 pont megszerzése.
Feladatok
1. Véletlenszerűen választunk ki egy 30-nál nem nagyobb természetes számot, mekkora a valószínűsége annak, hogy ez a szám többszöröse 3-nak?
2. Az urnában a piros és b azonos méretű és súlyú kék golyókat. Mennyi a valószínűsége, hogy ebből az urnából véletlenszerűen kihúzott golyó kék színű?
3. Véletlenszerűen kiválasztunk egy számot, amely nem haladja meg a 30. Mekkora a valószínűsége annak, hogy ez a szám osztója zo-nak?
4. Az urnában a kék és b azonos méretű és súlyú piros golyókat. Ebből az urnából kihúzunk egy labdát, és félretesszük. Ez a labda piros. Ezután egy másik labdát húznak az urnából. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a második golyó is piros.
5. Véletlenszerűen kiválasztunk egy 50-nél nem nagyobb természetes számot, mekkora a valószínűsége annak, hogy ez a szám prím?
6. Három kockát dobunk, a felső lapokon lévő pontok összegét számítjuk ki. Mi a valószínűbb – összesen 9 vagy 10 pont megszerzése?
7. Három dobókockát dobunk, az elejtett pontok összegét kiszámítjuk. Mi nagyobb valószínűséggel kap összesen 11 pontot (A esemény) vagy 12 pontot (B esemény)?
Válaszok
1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - összesen 9 pont megszerzésének valószínűsége; p 2 \u003d 27/216 - összesen 10 pont megszerzésének valószínűsége; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
Kérdések
1. Mit nevezünk egy esemény valószínűségének?
2. Mennyi a valószínűsége egy bizonyos eseménynek?
3. Mennyi a valószínűsége egy lehetetlen eseménynek?
4. Melyek a véletlenszerű esemény valószínűségének határai?
5. Melyek az események valószínűségének határai?
6. A valószínűség melyik definícióját nevezzük klasszikusnak?
A világon minden determinisztikusan vagy véletlenszerűen történik...
Arisztotelész
A valószínűségszámítás különféle események valószínűségét számolja ki. A valószínűség elméletének alapja a véletlenszerű esemény fogalma.
Például, ha feldob egy érmét, az véletlenszerűen egy címerre vagy a farokra kerül. Nem tudhatod előre, hogy az érme melyik oldalán landol. Biztosítási szerződést köt, nem tudja előre, hogy kifizetésre kerül-e vagy sem.
A biztosításmatematikai számításoknál meg kell tudni becsülni a különböző események valószínűségét, így a valószínűségelmélet kulcsszerepet játszik. A matematikának egyetlen más ága sem tud foglalkozni az események valószínűségeivel.
Nézzük meg közelebbről az érmefeldobást. Két egymást kizáró eredmény létezik: címer vagy farok. A dobás eredménye véletlenszerű, mivel a megfigyelő nem tudja elemezni és figyelembe venni az eredményt befolyásoló összes tényezőt. Mennyi a valószínűsége a címer megjelenésének? A legtöbben a felét válaszolják, de miért?
Legyen formálisan DE a címer elvesztését jelöli. Hagyja feldobni az érmét n egyszer. Aztán az esemény valószínűsége DE címert eredményező tekercsek arányaként határozható meg:
ahol n dobások teljes száma n(A) a címerek száma.
Az (1) relációt nevezzük frekvencia fejlesztéseket DE egy hosszú tesztsorozatban.
Kiderült, hogy a különböző tesztsorozatokban a megfelelő frekvencia általában n klaszterek valamilyen állandó érték körül P(A). Ezt az értéket hívják esemény valószínűsége DEés betűvel van jelölve R- az angol szó rövidítése valószínűség – valószínűség.
Formálisan a következőkkel rendelkezünk:
(2)
Ezt a törvényt úgy hívják a nagy számok törvénye.
Ha az érme helyes (szimmetrikus), akkor a címer megszerzésének valószínűsége egyenlő a farok megszerzésének valószínűségével, és egyenlő ½.
Hadd DEés NÁL NÉL bizonyos események, például, hogy bekövetkezett-e biztosítási esemény vagy sem. Két esemény egyesülése olyan esemény, amely egy esemény végrehajtásából áll DE, fejlesztések NÁL NÉL, vagy mindkét esemény együtt. Két esemény metszéspontja DEés NÁL NÉL a megvalósításból mint eseményből álló eseményt nevezzük DEés eseményeket NÁL NÉL.
Alapszabályok az esemény valószínűsége a következő:
1. Bármely esemény valószínűsége nulla és egy között van:
2. Legyen A és B két esemény, akkor:
Így hangzik: két esemény kombinálásának valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével, mínusz az események metszéspontjának valószínűsége. Ha az események nem kompatibilisek vagy nem fedik egymást, akkor a két esemény összevonásának valószínűsége (összege) egyenlő a valószínűségek összegével. Ezt a törvényt törvénynek nevezik kiegészítéseket valószínűségek.
Azt mondjuk, hogy egy esemény akkor biztos, ha annak valószínűsége 1. Bizonyos jelenségek elemzésekor felmerül a kérdés, hogy egy esemény bekövetkezése hogyan hat NÁL NÉL az eseményhez DE. Ehhez lépjen be feltételes valószínűség :
(4)
Így hangzik: előfordulási valószínűsége DE azzal a feltétellel NÁL NÉL megegyezik az átkelés valószínűségével DEés NÁL NÉL osztva az esemény valószínűségével NÁL NÉL.
A (4) képlet feltételezi, hogy egy esemény valószínűsége NÁL NÉL Nulla felett.
A (4) képlet a következőképpen is felírható:
(5)
Ez a képlet valószínűségek szorzása.
Feltételes valószínűségként is ismert. a posteriori esemény valószínűsége DE- az előfordulás valószínűsége DE kezdete után NÁL NÉL.
Ebben az esetben magát a valószínűséget nevezzük eleve valószínűség. Számos más fontos képlet is létezik, amelyeket gyakran használnak a biztosításmatematikai számításokban.
Tegyük fel, hogy egy kísérletet végeznek, amelynek feltételeit előre meg lehet határozni közösen egymást kölcsönösen kizáró feltételezések (hipotézisek):
Feltételezzük, hogy vagy megvalósul a hipotézis, vagy ... vagy. Ezeknek a hipotéziseknek a valószínűsége ismert és egyenlő:
Akkor a képlet érvényes teljes valószínűségek :
(6)
Egy esemény valószínűsége DE egyenlő az előfordulási valószínűség szorzatainak összegével DE minden egyes hipotézis esetében ennek a hipotézisnek a valószínűségére.
Bayes képlet
lehetővé teszi a hipotézisek valószínűségének újraszámítását annak fényében új információ, ami meghozta az eredményt DE.
Bayes formula be bizonyos értelemben a teljes valószínűségi képlet inverze.
Tekintsük a következő gyakorlati problémát.
Tegyük fel, hogy repülőgép-szerencsétlenség történt, és a szakértők az okok kivizsgálásával vannak elfoglalva. Négy ok ismert előre, ami miatt a katasztrófa bekövetkezett: vagy az ok, vagy, vagy, vagy. A rendelkezésre álló statisztikák szerint ezeknek az okoknak a valószínűsége a következő:
A baleset helyszínének vizsgálata során üzemanyag-gyulladás nyomait találták, a statisztikák szerint ennek az eseménynek a valószínűsége ilyen vagy olyan okból a következő:
Kérdés: mi a katasztrófa legvalószínűbb oka?
Számítsa ki az okok valószínűségét az esemény bekövetkezésének feltétele mellett! DE.
Ez azt mutatja, hogy az első ok a legvalószínűbb, mivel ennek a valószínűsége maximális.
Vegyük fontolóra egy repülőgép leszállását egy repülőtéren.
Leszállás időjárás a következő lehet: nincs alacsony felhőzet (), alacsony felhőzet van (). Az első esetben a sikeres leszállás valószínűsége az P1. A második esetben - R2. Ez egyértelmű P1>P2.
A vakleszállást biztosító eszközök problémamentes működésének valószínűsége R. Ha alacsony a felhőzet és a vakleszállási műszerek meghibásodnak, akkor a sikeres leszállás valószínűsége igen P3, és P3<Р2 . Ismeretes, hogy egy adott repülőtéren a napok hányada egy alacsony felhőzet mellett egyenlő .
Határozza meg a repülőgép biztonságos leszállásának valószínűségét.
Meg kell találnunk a valószínűséget.
Két egymást kizáró lehetőség van: a vakleszállási eszközök működnek, a vakleszállások meghibásodtak, így van:
Innen a teljes valószínűségi képlet szerint:
Életbiztosítással egy biztosító foglalkozik. Ennél a társaságnál a biztosítottak 10%-a dohányos. Ha a biztosított nem dohányzik, év közbeni halálának valószínűsége 0,01, ha dohányos, akkor ennek valószínűsége 0,05.
Mekkora a dohányosok aránya az év során elhunyt biztosítottak között?
Válaszlehetőségek: (A) 5%, (B) 20%, (C) 36%, (D) 56%, (E) 90%.
Megoldás
Lássuk az eseményeket:
A probléma feltétele azt jelenti
Ezen túlmenően, mivel az események és a páronként összeférhetetlen események teljes csoportját alkotják, akkor .
A minket érdeklő valószínűség .
Bayes képletével a következőt kapjuk:
tehát a helyes opció ( NÁL NÉL).
A biztosító három kategóriában értékesít életbiztosítási szerződéseket: standard, privileged és ultra-privileged.
Az összes biztosított 50%-a standard, 40%-a preferált és 10%-a ultrapreferált.
Az egy éven belüli elhalálozás valószínűsége egy standard biztosított esetében 0,010, egy kiemelt személynél 0,005, egy rendkívül kiváltságosnál pedig 0,001.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy az elhunyt biztosított rendkívül kiváltságos?
Megoldás
Nézzük a következő eseményeket:
Ami ezeket az eseményeket illeti, annak a valószínűsége, amelyre kíváncsiak vagyunk, . Feltétel szerint:
Mivel a , események páronként inkompatibilis események teljes csoportját alkotják, a Bayes-képlet alapján a következőket kapjuk:
Legyen valamilyen valószínűségi változó, például a tűz okozta kár vagy a biztosítási kifizetések összege.
Egy valószínűségi változót teljes mértékben az eloszlásfüggvénye jellemez.
Meghatározás. Funkció 
hívott elosztási függvény
valószínűségi változó ξ
.
Meghatározás. Ha létezik olyan függvény, hogy az tetszőleges a teljesített
akkor azt mondjuk, hogy a valószínűségi változó ξ Megvan valószínűségi eloszlás sűrűsége f(x).
Meghatározás. Hadd . Folyamatos elosztási funkcióhoz F elméleti α-kvantilis az egyenlet megoldásának nevezzük.
Lehet, hogy nem ez az egyetlen megoldás.
Szintkvantilis ½ elméletinek nevezik középső , szintkvantilis ¼ és ¾ -alsó és felső kvartilis illetőleg.
A biztosításmatematikai alkalmazásokban fontos szerepet játszik Csebisev egyenlőtlensége:
bármilyen
Matematikai elvárás szimbólum.
Így hangzik: annak a valószínűsége, hogy a modulus nagyobb, mint a modulus várható elvárása osztva vele.
A halál pillanatának bizonytalansága az életbiztosítások egyik fő kockázati tényezője.
Az egyén halálának pillanatáról semmi határozottat nem lehet mondani. Ha azonban nagy homogén embercsoporttal van dolgunk, és nem érdekli az egyes emberek sorsa ebből a csoportból, akkor a valószínűségszámítás, mint a frekvenciastabilitási tulajdonsággal rendelkező tömeges véletlenszerű jelenségek tudománya keretein belül vagyunk.
Illetőleg, beszélhetünk a várható élettartamról, mint T valószínűségi változóról.
A valószínűségelméletben leírják bármely valószínűségi változó sztochasztikus természetét T elosztási függvény F(x), amelyet annak valószínűségeként határozunk meg, hogy a valószínűségi változó T számnál kisebb x:
.
Az aktuáriusi matematikában kellemes nem eloszlásfüggvénnyel dolgozni, hanem kiegészítő eloszlásfüggvénnyel 
.
Ami a hosszú élettartamot illeti, annak a valószínűsége, hogy az ember életkorát megéli xévek.
hívott túlélési funkció(túlélési funkció):
A túlélési függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
Az élettáblázatokban általában azt feltételezik, hogy van néhány korhatár (életkor korlátozása) (általában évek), és ennek megfelelően at x>.
A halandóság analitikai törvényekkel történő leírásánál általában azt feltételezik, hogy az élettartam korlátlan, azonban a törvényszerűségek típusát és paramétereit úgy választják meg, hogy egy bizonyos kor feletti élet valószínűsége elhanyagolható legyen.
A túlélési függvénynek egyszerű statisztikai jelentése van.
Tegyük fel, hogy újszülöttek egy csoportját figyeljük meg (általában ), akiket megfigyelünk és rögzíthetünk haláluk pillanatait.
Jelöljük e csoport életkorban élő képviselőinek számát -ig. Akkor:
.
Szimbólum E itt és lent a matematikai elvárás jelölésére szolgál.
Tehát a túlélési függvény megegyezik az újszülöttek egy meghatározott csoportjából túlélők átlagos arányával.
Az aktuáriusi matematikában gyakran nem túlélési függvénnyel dolgozunk, hanem egy most bevezetett értékkel (a kezdeti csoportlétszám rögzítése után).
A túlélési függvény a sűrűségből rekonstruálható:
Gyakorlati szempontból a következő jellemzők fontosak:
1 . Átlagosélettartam
,
2
. Diszperzióélettartam
,
ahol 
,
A valószínűség matematikai szempontból történő vizsgálata egy speciális tudományág - a valószínűség elmélete. A valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában a valószínűség fogalmát egy esemény numerikus jellemzőjeként formalizálják - valószínűségi mértékként (vagy annak értékén) - események halmazán (elemi események halmazának részhalmazán), értékeket vesz fel. -tól
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Jelentése
(\displaystyle 1)
Érvényes eseménynek felel meg. Egy lehetetlen esemény valószínűsége 0 (a fordítottja általában nem mindig igaz). Ha egy esemény bekövetkezésének valószínűsége az
(\displaystyle p)
Ekkor a be nem következésének valószínűsége egyenlő
(\displaystyle 1-p)
Különösen a valószínűség
(\displaystyle 1/2)
Az esemény bekövetkezésének és be nem következésének egyenlő valószínűségét jelenti.
A valószínűség klasszikus meghatározása az eredmények kiegyenlítődésének fogalmán alapul. A valószínűség az adott eseményt előnyben részesítő kimenetelek számának aránya az azonosan valószínű kimenetelek számához viszonyítva. Például 1/2 annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerű érmefeldobásnál fej vagy farok kerüljön, ha csak e két lehetőség előfordulását feltételezzük, és egyenlő valószínűséggel. A valószínűségnek ez a klasszikus „definíciója” általánosítható végtelen számú lehetséges érték esetére – például, ha egy esemény azonos valószínűséggel bekövetkezhet bármely pontban (a pontok száma végtelen) a tartomány valamely korlátozott területén. térben (síkban), akkor annak a valószínűsége, hogy ennek a megengedett területnek egy részén előfordul, egyenlő ennek a résznek a térfogatának (területének) és az összes lehetséges pont területének térfogatának (területének) arányával .
A valószínűség empirikus "definíciója" egy esemény előfordulásának gyakoriságához kapcsolódik, azon a tényen alapul, hogy kellően nagy számú kísérlet esetén a gyakoriságnak az esemény lehetőségének objektív fokára kell irányulnia. A valószínűségelmélet modern bemutatásában a valószínűséget axiomatikusan, a halmaz mértéke elvont elméletének speciális eseteként határozzák meg. Mindazonáltal az absztrakt mérték és a valószínűség közötti kapcsolat, amely egy esemény lehetőségének fokát fejezi ki, éppen a megfigyelés gyakorisága.
Egyes jelenségek valószínűségi leírása elterjedt a modern tudományban, különösen az ökonometriában, a makroszkopikus (termodinamikai) rendszerek statisztikai fizikájában, ahol a részecskék mozgásának klasszikus determinisztikus leírása esetén is a teljes rendszer determinisztikus leírása. A részecskék kiegyenlítése gyakorlatilag nem lehetséges és nem megfelelő. A kvantumfizikában maguk a leírt folyamatok valószínűségi jellegűek.
Amikor egy érmét feldobnak, akkor azt lehet mondani, hogy fejjel felfelé fog landolni, ill valószínűség ennek 1/2. Ez persze nem azt jelenti, hogy ha egy érmét 10-szer feldobnak, akkor az 5-ször feltétlenül fejre fog kerülni. Ha az érme "tisztességes", és sokszor feldobják, akkor az idő felében nagyon közel jönnek a fejek. Tehát kétféle valószínűség létezik: kísérleti és elméleti .
Ha sokszor – mondjuk 1000-et – feldobunk egy érmét, és megszámoljuk, hányszor jön fel fejjel, akkor meghatározhatjuk annak valószínűségét, hogy fejjel feljön. Ha a fejek 503-szor jönnek fel, akkor kiszámíthatjuk annak valószínűségét:
503/1000 vagy 0,503.
azt kísérleti valószínűség meghatározása. Ez a valószínűség meghatározása az adatok megfigyeléséből és tanulmányozásából ered, és meglehetősen gyakori és nagyon hasznos. Például itt van néhány kísérletileg meghatározott valószínűség:
1. A mellrák kialakulásának esélye egy nőnél 1/11.
2. Ha megcsókolsz valakit, aki megfázott, akkor annak a valószínűsége, hogy te is megfázol, 0,07.
3. A börtönből most szabadult személynek 80% esélye van visszakerülni a börtönbe.
Ha figyelembe vesszük egy érme feldobását, és figyelembe vesszük, hogy egyforma valószínűséggel jön fel fej vagy farok, akkor kiszámíthatjuk a fejek felbukkanásának valószínűségét: 1/2. Ez a valószínűség elméleti definíciója. Íme néhány további valószínűség, amelyet elméletileg matematikailag határoztak meg:
1. Ha egy szobában 30 ember tartózkodik, annak a valószínűsége, hogy kettőnek azonos születésnapja van (évet nem számítva), 0,706.
2. Egy utazás során találkozol valakivel, és a beszélgetés során rájössz, hogy van egy közös ismerősöd. Tipikus reakció: "Ez nem lehet!" Valójában ez a kifejezés nem illik, mert egy ilyen esemény valószínűsége meglehetősen magas - alig több mint 22%.
Ezért a kísérleti valószínűséget megfigyelés és adatgyűjtés határozza meg. Az elméleti valószínűségeket a matematikai érvelés határozza meg. A kísérleti és elméleti valószínűségekre vonatkozó példák, például a fentebb tárgyaltak, és különösen azok, amelyekre nem számítunk, elvezetnek bennünket a valószínűségek tanulmányozásának fontosságához. Felteheti a kérdést: "Mi az igazi valószínűség?" Valójában nincs ilyen. Kísérletileg lehetséges bizonyos határok között meghatározni a valószínűségeket. Lehet, hogy egybeesnek azokkal a valószínűségekkel, amelyeket elméletileg kapunk, vagy nem. Vannak helyzetek, amikor sokkal könnyebb meghatározni az egyik valószínűségtípust, mint a másikat. Például elegendő lenne az elméleti valószínűség segítségével meghatározni a megfázás valószínűségét.
Tekintsük először a valószínűség kísérleti meghatározását. Az ilyen valószínűségek kiszámításához használt alapelv a következő.
Ha egy kísérletben, amelyben n megfigyelést végzünk, az E helyzet vagy esemény m-szer fordul elő n megfigyelésben, akkor az esemény kísérleti valószínűségét P (E) = m/n-nek mondjuk.
1. példa Szociológiai felmérés. Kísérleti vizsgálatot végeztek a balkezesek, a jobbkezesek és az egyformán fejlettségű emberek számának meghatározására, az eredményeket a grafikon mutatja.
a) Határozza meg annak valószínűségét, hogy az illető jobbkezes!
b) Határozza meg annak valószínűségét, hogy az illető balkezes!
c) Határozza meg annak valószínűségét, hogy az illető mindkét kezében egyformán folyékonyan beszél!
d) A legtöbb PBA versenyen 120 játékos vesz részt. E kísérlet alapján hány játékos lehet balkezes?
Megoldás
a) A jobbkezesek száma 82, a balkezesek száma 17, a kétkezesek száma 1. A megfigyelések száma összesen 100. Így a valószínűsége hogy egy személy jobbkezes, az P
P = 82/100, vagy 0,82 vagy 82%.
b) Annak a valószínűsége, hogy valaki balkezes, P, ahol
P = 17/100 vagy 0,17 vagy 17%.
c) Annak a valószínűsége, hogy egy személy mindkét kezével egyformán folyékonyan beszél, P, ahol
P = 1/100 vagy 0,01 vagy 1%.
d) 120 teketős és a (b) pontból 17%-ra számíthatunk balkezesre. Innen
120 17%-a = 0,17,120 = 20,4,
vagyis kb 20 játékos balkezesre számíthatunk.
2. példa Minőség ellenőrzés
. Egy gyártó számára nagyon fontos, hogy termékei minőségét magas szinten tartsák. Valójában a vállalatok minőség-ellenőrző ellenőröket alkalmaznak ennek a folyamatnak a biztosítására. A cél a lehető legkisebb számú hibás termék kiadása. De mivel a cég naponta több ezer terméket gyárt, nem engedheti meg magának, hogy minden egyes terméket megvizsgáljon, hogy megállapítsa, hibás-e vagy sem. Ahhoz, hogy megtudja, a termékek hány százaléka hibás, a cég sokkal kevesebb terméket tesztel.
Az USDA előírja, hogy a termelők által értékesített magvak 80%-a csírázzon. A mezőgazdasági vállalat által előállított vetőmagok minőségének megállapításához 500 vetőmagot ültetnek el a megtermelt magokból. Ezt követően 417 magot számoltak ki.
a) Mennyi a valószínűsége, hogy a mag kicsírázik?
b) Megfelelnek-e a vetőmagok a kormányzati előírásoknak?
Megoldás a) Tudjuk, hogy az elültetett 500 magból 417 kelt ki. A mag csírázásának valószínűsége P, és
P = 417/500 = 0,834, vagyis 83,4%.
b) Mivel a csíráztatott magok aránya igény szerint meghaladta a 80%-ot, a magok megfelelnek az állami előírásoknak.
3. példa TV értékelések. A statisztikák szerint az Egyesült Államokban 105 500 000 tévés háztartás van. Minden héten összegyűjtjük és feldolgozzuk a műsorok megtekintésével kapcsolatos információkat. Egy héten belül 7 815 000 háztartást hangoltak be a CBS sikerfilmes vígjátéksorozatára, az Everybody Loves Raymond-ra, és 8 302 000 háztartást hangoltak rá az NBC Law & Order című slágerére (forrás: Nielsen Media Research). Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy otthoni tévé egy hét során „Everybody Loves Raymond”-ra van hangolva? „Törvény és rend”?
Megoldás Annak a valószínűsége, hogy egy háztartásban a tévékészülék „Everybody Loves Raymond”-ra van állítva, P, és
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Az a lehetőség, hogy a háztartási TV "Law & Order"-re volt állítva, P, és
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Ezeket a százalékokat minősítésnek nevezzük.
Tegyük fel, hogy kísérletet végzünk, például pénzérmét vagy dartot dobunk, kártyát húzunk a pakliból, vagy elemeket tesztelünk egy futószalagon. Egy ilyen kísérlet minden lehetséges eredményét ún Kivonulás . Az összes lehetséges eredmény halmazát ún eredménytér . Esemény az eredmények halmaza, vagyis az eredmények terének egy részhalmaza.
4. példa Darts dobása. Tegyük fel, hogy a „nyíldobás” kísérletben a dart eltalálja a célt. Keresse meg a következőket:
b) Eredménytér
Megoldás
a) Eredmények: feketét (H), pirosat (K) és fehéret (B).
b) Létezik egy eredménytér (találj feketét, üsd el a pirosat, üsd el a fehéret), amely egyszerűen (B, R, B)ként írható fel.
5. példa Kockadobás.
A kocka egy hat oldalú kocka, amelyek mindegyikén egy-hat pont található. 
Tegyük fel, hogy dobunk egy kockát. megtalálja
a) Eredmények
b) Eredménytér
Megoldás
a) Eredmények: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Eredménytér (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Egy E esemény bekövetkezésének valószínűségét P(E) jelöljük. Például az „az érme farokra fog kerülni” H-val jelölhető. Ekkor P(H) annak a valószínűsége, hogy az érme a farokra kerül. Ha egy kísérlet minden kimenetelének előfordulási valószínűsége azonos, akkor azt egyformán valószínűnek mondjuk. Ha látni szeretné a különbséget az egyformán valószínű és a nem egyformán valószínű események között, vegye figyelembe az alábbi célt. 
Az A cél esetében a fekete, piros és fehér találatok egyformán valószínűek, mivel a fekete, piros és fehér szektorok megegyeznek. A B célpont esetében azonban az ilyen színű zónák nem egyformák, vagyis az eltalálásuk nem egyformán valószínű.
Ha egy E esemény az S eredménytérből származó n lehetséges kiegyenlíthető kimenetel közül m-nyire megtörténhet, akkor elméleti valószínűség
esemény, P(E) az
P(E) = m/n.
6. példa Mennyi annak a valószínűsége, hogy kockával dobunk 3-at?
Megoldás Hat egyformán valószínű kimenetel van a kockán, és csak egy lehetőség van a 3-as szám dobására. Ekkor a P valószínűség P(3) = 1/6.
7. példa Mennyi annak a valószínűsége, hogy páros számot dobunk a kockán?
Megoldás Az esemény egy páros szám dobása. Ez 3 módon történhet (ha 2-t, 4-et vagy 6-ot dob). A kiegyenlíthető kimenetelek száma 6. Ekkor a valószínűség P(páros) = 3/6, vagy 1/2.
Számos példát fogunk használni egy szabványos 52 lapos paklihoz kapcsolódóan. Egy ilyen pakli az alábbi ábrán látható kártyákból áll. 
8. példa Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy jól megkevert kártyapakliból ászt húzunk?
Megoldás 52 kimenetel van (a kártyák száma a pakliban), ezek egyformán valószínűek (ha a pakli jól keveredik), és 4 módon lehet ászt húzni, tehát a P elv szerint a valószínűség
P(ász húzás) = 4/52 vagy 1/13.
9. példa Tegyük fel, hogy a 3 piros és 4 zöld golyóból álló zsákból választunk egy golyót anélkül, hogy megnéznénk. Mennyi a valószínűsége, hogy piros golyót választunk?
Megoldás 7 egyformán valószínű kimenetel van bármelyik labdához, és mivel a piros golyó húzásának három módja van, azt kapjuk,
P(piros golyó kiválasztása) = 3/7.
A következő állítások a P elv eredményei.
a) Ha az E esemény nem következhet be, akkor P(E) = 0.
b) Ha az E esemény feltételesen megtörténik, akkor P(E) = 1.
c) Az E esemény bekövetkezésének valószínűsége egy 0 és 1 közötti szám: 0 ≤ P(E) ≤ 1.
Például egy érme feldobásakor nulla a valószínűsége annak, hogy az érme a szélére kerül. Annak a valószínűsége, hogy egy érme fej vagy farok, 1.
10. példa Tegyük fel, hogy 2 lapot húznak egy 52 kártyás pakliból. Mennyi a valószínűsége, hogy mindkettő ásó?
Megoldás Egy jól megkevert 52 lapos pakliból 2 kártya húzásának n módjai 52 C 2 . Mivel az 52 lapból 13 ásó, a 2 pikk húzásának m módjainak száma 13 C 2. Akkor,
P (2 csúcs nyújtása) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.
11. példa Tegyük fel, hogy 6 férfiból és 4 nőből álló csoportból véletlenszerűen választanak ki 3 embert. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 1 férfit és 2 nőt választanak?
Megoldás A három fő kiválasztásának módjainak száma 10 fős csoportból 10 C 3 . Egy férfi 6 C 1 módon, 2 nő pedig 4 C 2 módon választható. A számolás alapelve szerint az 1. férfi és 2 nő kiválasztásának módjai 6 C 1 . 4C2. Ekkor annak a valószínűsége, hogy 1 férfit és 2 nőt választanak ki
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.
12. példa Kockadobás. Mennyi a valószínűsége annak, hogy két kockára összesen 8-at dobunk?
Megoldás Minden kockán 6 lehetséges kimenetel van. Az eredmények megduplázódnak, azaz 6,6 vagy 36 lehetséges módja van annak, hogy két kockán lévő számok esjenek. (Jobb, ha a kockák különbözőek, mondjuk az egyik piros, a másik kék – ez segít az eredmény vizualizálásában.) 
A 8-at adó számpárok az alábbi ábrán láthatók. 5 lehetséges módja van annak, hogy 8-cal egyenlő összeget kapjunk, ezért a valószínűség 5/36.
