\(a^(b)=c\) \(\balra jobbra nyíl\) \(\log_(a)(c)=b\)
Magyarázzuk el könnyebben. Például a \(\log_(2)(8)\) egyenlő azzal a hatványral, amelyet \(2\) értékre kell emelni, hogy \(8\) legyen. Ebből világosan látszik, hogy \(\log_(2)(8)=3\).
|
Példák: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
mert \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
mert \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
mert \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Bármely logaritmus a következő "anatómiával" rendelkezik:
A logaritmus argumentumát általában a szintjén írják, az alapot pedig a logaritmus előjeléhez közelebbi alsó indexben írják. Ez a bejegyzés pedig így olvasható: „huszonöt logaritmusa öt alapjához”.
Például, számítsa ki a logaritmust: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) Milyen hatványra kell emelni a \(4\)-t, hogy \(16\) legyen? Nyilván a második. Ezért:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) Milyen hatványra kell emelni a \(\sqrt(5)\) értéket, hogy \(1\) legyen? És milyen fokozat tesz egy számot egységgé? Nulla, persze!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) Milyen hatványra kell emelni a \(\sqrt(7)\) értéket, hogy \(\sqrt(7)\) legyen? Az elsőben - az első fokú bármely szám megegyezik önmagával.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) Milyen hatványra kell emelni a \(3\)-t, hogy \(\sqrt(3)\) legyen? Tudjuk, hogy ez egy tört hatvány, ami azt jelenti Négyzetgyök a mértéke \(\frac(1)(2)\) .
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Példa : Számítsa ki a logaritmust \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Megoldás :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Meg kell találnunk a logaritmus értékét, jelöljük x-el. Most használjuk a logaritmus definícióját: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
Mi kapcsolja össze a \(4\sqrt(2)\) és a \(8\) függvényeket? Kettő, mert mindkét szám kettesével ábrázolható: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
A bal oldalon a fokozattulajdonságokat használjuk: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) és \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Az alapok egyenlőek, továbblépünk a mutatók egyenlőségéhez |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát \(\frac(2)(5)\-vel |
|
|
A kapott gyök a logaritmus értéke |
Válasz : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Ennek megértéséhez oldjuk meg az egyenletet: \(3^(x)=9\). Csak párosítsa az \(x\) karaktert, hogy az egyenlőség működjön. Természetesen \(x=2\).
Most oldja meg a következő egyenletet: \(3^(x)=8\).Mivel egyenlő x? Ez a lényeg.
A legzseniálisabb azt fogja mondani: "X valamivel kevesebb, mint kettő." Hogyan kell pontosan felírni ezt a számot? A kérdés megválaszolásához a logaritmust állították elő. Neki köszönhetően itt a válasz így írható fel: \(x=\log_(3)(8)\).
Szeretném hangsúlyozni, hogy \(\log_(3)(8)\), valamint minden logaritmus csak egy szám. Igen, szokatlannak tűnik, de rövid. Mert ha formába akartuk volna írni tizedes tört, akkor így nézne ki: \(1,892789260714.....\)
Példa : Oldja meg a \(4^(5x-4)=10\) egyenletet
Megoldás :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) és \(10\) nem redukálható ugyanarra az alapra. Tehát itt nem nélkülözheti a logaritmust. Használjuk a logaritmus definícióját: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Fordítsa meg az egyenletet úgy, hogy x legyen a bal oldalon |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Előttünk. Mozgassa a \(4\) gombot jobbra. És ne félj a logaritmustól, kezeld szabályos számként. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Osszuk el az egyenletet 5-tel |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
Itt van a gyökerünk. Igen, szokatlannak tűnik, de a választ nem választották ki. |
Válasz : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Ahogy a logaritmus definíciójában is szerepel, alapja bármely pozitív szám lehet, kivéve egy \((a>0, a\neq1)\). És az összes lehetséges alap között van két olyan gyakran előforduló, hogy egy speciális rövid jelölést találtak ki a logaritmusokhoz:
vagyis \(\ln(a)\) ugyanaz, mint \(\log_(e)(a)\)
vagyis \(\lg(a)\) ugyanaz, mint \(\log_(10)(a)\), ahol \(a\) valamilyen szám.
A logaritmusoknak számos tulajdonsága van. Az egyik az „Alapvető logaritmikus identitás”, és így néz ki:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Ez a tulajdonság közvetlenül következik a definícióból. Lássuk, hogyan jött létre ez a képlet.
Emlékezzünk vissza a logaritmus rövid definíciójára:
ha \(a^(b)=c\), akkor \(\log_(a)(c)=b\)
Vagyis a \(b\) megegyezik a \(\log_(a)(c)\-vel. Ekkor az \(a^(b)=c\) képletbe \(\log_(a)(c)\)-t írhatunk \(b\) helyett. Kiderült, hogy \(a^(\log_(a)(c))=c\) - a fő logaritmikus azonosság.
Megtalálhatja a logaritmus többi tulajdonságát. Segítségükkel egyszerűsítheti és kiszámíthatja a kifejezések értékeit logaritmusokkal, amelyeket nehéz közvetlenül kiszámítani.
Példa : Keresse meg a \(36^(\log_(6)(5)\) kifejezés értékét
Megoldás :
Válasz : \(25\)
Mint fentebb említettük, minden logaritmus csak egy szám. Ez fordítva is igaz: tetszőleges szám felírható logaritmusként. Például tudjuk, hogy \(\log_(2)(4)\) egyenlő kettővel. Ekkor kettő helyett \(\log_(2)(4)\)-t írhat.
De a \(\log_(3)(9)\) egyenlő a \(2\) értékkel is, így a \(2=\log_(3)(9)\) karakterisztikát is írhatod. Hasonlóképpen a \(\log_(5)(25)\), és a \(\log_(9)(81)\), stb. Vagyis kiderül
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Így ha kell, a kettőt logaritmusként tetszőleges bázissal bárhol felírhatjuk (akár egyenletbe, akár kifejezésbe, akár egyenlőtlenségbe is) - csak a négyzetes bázist írjuk argumentumként.
Ugyanez a helyzet a hármassal – írható \(\log_(2)(8)\), vagy \(\log_(3)(27)\), vagy \(\log_(4)( 64) \) ... Ide írjuk be a kockába az alapot argumentumként:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
És néggyel:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
És mínusz 1-gyel:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\)\(...\)
És egyharmaddal:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Példa : Keresse meg egy kifejezés értékét \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Megoldás :
Válasz : \(1\)
Tehát kettős hatalmunk van. Ha az alsó sorból veszi ki a számot, akkor könnyen megtalálhatja azt az erőt, amelyre kettőt kell emelnie, hogy megkapja ezt a számot. Például, hogy 16-ot kapjon, kettőt kell emelnie a negyedik hatványra. És ahhoz, hogy 64-et kapj, kettőt kell emelned a hatodik hatványra. Ez látható a táblázatból.
És most - valójában a logaritmus meghatározása:
Az x argumentum a bázisának logaritmusa az a hatvány, amelyre az a számot fel kell emelni, hogy x számot kapjunk.
Jelölés: log a x \u003d b, ahol a az alap, x az argumentum, b valójában a logaritmus.
Például 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (a 8-as 2-es bázis logaritmusa három, mert 2 3 = 8). Akár log 2 64 = 6 is, mert 2 6 = 64 .
Egy szám egy adott bázishoz való logaritmusának megtalálását logaritmusnak nevezzük. Tehát adjunk hozzá egy új sort a táblázatunkhoz:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Sajnos nem minden logaritmus tekinthető ilyen könnyen. Például próbálja meg megkeresni a 2 5 naplót. Az 5-ös szám nem szerepel a táblázatban, de a logika azt diktálja, hogy a logaritmus valahol a szakaszon fog feküdni. Mert 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Az ilyen számokat irracionálisnak nevezzük: a tizedesvessző utáni számok korlátlanul írhatók, és soha nem ismétlődnek. Ha a logaritmus irracionálisnak bizonyul, jobb, ha így hagyjuk: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .
Fontos megérteni, hogy a logaritmus két változóból álló kifejezés (alap és argumentum). Eleinte sokan összekeverik, hol az alap és hol az érv. A bosszantó félreértések elkerülése érdekében csak vessen egy pillantást a képre:
Előttünk nem más, mint a logaritmus meghatározása. Emlékezik: a logaritmus a hatvány, amelyhez meg kell emelnie az alapot, hogy megkapja az érvet. Ez az alap, ami hatványra van emelve - a képen pirossal van kiemelve. Kiderült, hogy az alap mindig alul van! Ezt a csodálatos szabályt már az első órán elmondom a tanítványaimnak – és nincs zavar.
Kitaláltuk a definíciót - hátra van, hogy megtanuljuk, hogyan kell számolni a logaritmusokat, azaz. megszabadulni a „napló” jelzéstől. Először is megjegyezzük, hogy a meghatározásból két fontos tény következik:
Az ilyen korlátozásokat hívják terület megengedett értékek (ODZ). Kiderül, hogy a logaritmus ODZ-je így néz ki: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .
Vegye figyelembe, hogy a b számra (a logaritmus értékére) nincs korlátozás. Például a logaritmus negatív is lehet: log 2 0,5 \u003d -1, mert 0,5 = 2 -1 .
Most azonban csak numerikus kifejezésekkel foglalkozunk, ahol nem szükséges tudni a logaritmus ODZ-jét. Minden korlátozást már figyelembe vettek a problémák összeállítói. De amikor mennek logaritmikus egyenletekés egyenlőtlenségek, a DHS követelményei kötelezővé válnak. Valóban, az alapban és az érvelésben nagyon erős konstrukciók lehetnek, amelyek nem feltétlenül felelnek meg a fenti korlátozásoknak.
Most nézzük meg a logaritmusszámítás általános sémáját. Három lépésből áll:
Ez minden! Ha a logaritmus irracionálisnak bizonyul, ez már az első lépésnél látható lesz. Nagyon lényeges az a követelmény, hogy a bázis nagyobb legyen egynél: ez csökkenti a hiba valószínűségét, és nagyban leegyszerűsíti a számításokat. Hasonlóan a tizedes törtekkel: ha azonnal átváltja őket közönséges törtekre, akkor sokszor kevesebb lesz a hiba.
Nézzük meg, hogyan működik ez a séma konkrét példákkal:
Egy feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 5 25
Készítsük el és oldjuk meg az egyenletet:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
Egy feladat. Számítsa ki a logaritmust:
Egy feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 4 64
Egy feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 16 1
Egy feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 7 14
Egy kis megjegyzés az utolsó példához. Hogyan lehet meggyőződni arról, hogy egy szám nem egy másik szám pontos hatványa? Nagyon egyszerű - csak bontsa elsődleges tényezőkre. Ha legalább két különböző tényező van a bővítésben, a szám nem pontos hatvány.
Egy feladat. Nézze meg, hogy a szám pontos hatványai: 8; 48; 81; 35; tizennégy .
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - a pontos fokozat, mert csak egy szorzó van;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nem pontos hatvány, mert két tényező van: 3 és 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - pontos fok;
35 = 7 5 - ismét nem pontos fok;
14 \u003d 7 2 - ismét nem pontos fok;
Azt is megjegyezzük, hogy mi prímszámok mindig pontos hatalmak önmaguknak.
Egyes logaritmusok olyan gyakoriak, hogy külön nevük és megnevezésük van.
Az x argumentum decimális logaritmusa a 10-es alapú logaritmus, azaz. az a teljesítmény, amelyre emelni kell a 10-es számot, hogy megkapja az x számot. Megnevezés: lg x .
Például log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - stb.
Mostantól kezdve, amikor egy olyan kifejezés jelenik meg a tankönyvben, mint a „Find lg 0,01”, tudd, hogy ez nem elírás. Ez a decimális logaritmus. Ha azonban nem szokott ehhez a megjelöléshez, bármikor átírhatja:
log x = log 10 x
Minden, ami igaz a közönséges logaritmusokra, igaz a tizedesjegyekre is.
Van egy másik logaritmus, amelynek saját jelölése van. Bizonyos értelemben még a decimálisnál is fontosabb. Ez körülbelül a természetes logaritmusról.
Az x természetes logaritmusa az e alapú logaritmus, azaz. az a hatvány, amelyre az e számot fel kell emelni, hogy megkapjuk az x számot. Megnevezés: ln x .
Sokan kérdezik: mi más az e szám? azt irracionális szám, övé pontos érték lehetetlen megtalálni és rögzíteni. Íme, csak az első számok:
e = 2,718281828459...
Nem fogunk belemenni abba, hogy mi ez a szám, és miért van rá szükség. Ne feledje, hogy e a természetes logaritmus alapja:
ln x = log e x
így ln e = 1 ; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - stb. Másrészt ln 2 irracionális szám. Általában bármely racionális szám természetes logaritmusa irracionális. Kivéve persze az egységet: ln 1 = 0.
A természetes logaritmusokra a közönséges logaritmusokra érvényes összes szabály érvényes.
Gyakran vegye fel a tízes számot. A számok tízes bázisig terjedő logaritmusait hívjuk decimális. A decimális logaritmussal végzett számítások során gyakori az előjellel történő művelet lg, de nem log; míg a bázist meghatározó tízes szám nincs feltüntetve. Igen, cseréljük napló 10 105 leegyszerűsítve lg105; a log102 a lg2.
Mert decimális logaritmusok ugyanazok a jellemzők, mint az egynél nagyobb bázisú logaritmusok. A decimális logaritmusokat ugyanis kizárólag pozitív számokra jellemzik. Az egynél nagyobb számok decimális logaritmusa pozitív, az egynél kisebb számok pedig negatív; két nem negatív szám közül a nagyobb megegyezik a nagyobb decimális logaritmussal, és így tovább. Ezenkívül a decimális logaritmusok megkülönböztető jellegzetességekés sajátos jelek, amelyek megmagyarázzák, miért kényelmes a tízes számot előnyben részesíteni a logaritmus alapjaként.
Mielőtt ezeket a tulajdonságokat elemeznénk, nézzük meg a következő megfogalmazásokat.
Egy szám decimális logaritmusának egész része a hívott jellegzetes, és a tört mantissza ezt a logaritmust.
Egy szám decimális logaritmusának jellemzője a jelzéssel, a mantissza pedig (lg a}.
Vegyük mondjuk lg 2 ≈ 0,3010. Ennek megfelelően = 0, (log 2) ≈ 0,3010.
Ugyanez igaz az lg 543,1 ≈2,7349-re is. Ennek megfelelően = 2, (lg 543,1)≈ 0,7349.
A pozitív számok decimális logaritmusának táblázatokból történő kiszámítása meglehetősen széles körben elterjedt.
A decimális logaritmus első jele.az egész egy nem negatív szám, amelyet nullák követnek egész pozitív szám, amely egyenlő a kiválasztott szám rekordjában lévő nullák számával .
Vegyük lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.
Általánosságban elmondható, ha
Hogy a= 10n , amelyből kapunk
lg a = lg 10 n = n lg 10 =P.
Második jel. A pozitív decimális decimális logaritmusa törtek, amelyet eggyel mutat bevezető nullákkal, P, ahol P- a nullák száma ennek a számnak az ábrázolásában, figyelembe véve az egész számok nulláját.
Fontolgat , lg 0,001 = -3, lg 0,000001 = -6.
Általánosságban elmondható, ha
,
Hogy a= 10-n és kiderül
lga = lg 10n =-n lg 10 =-n
Harmadik jel. Jellegzetes decimális logaritmus az egynél nagyobb nemnegatív szám egyenlő a szám egész részében lévő számjegyek számával, egyet nem számítva.
Elemezzük ezt a jellemzőt 1) Az lg 75,631 logaritmus karakterisztikája 1-gyel egyenlő.
Valóban, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод
lg 10< lg 75,631 < lg 100,
1 < lg 75,631 < 2.
Ez azt jelenti,
lg 75,631 = 1 + b,
A tizedesjegyben lévő vessző jobbra vagy balra tolása megegyezik a művelettel szorzás ezt a törtet tízes hatványra egész kitevővel P(pozitív vagy negatív). Ezért, ha egy pozitív tizedes tört tizedespontját balra vagy jobbra toljuk, a tört tizedes logaritmusának mantisszája nem változik.
Tehát (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).
Adott a logaritmus főbb tulajdonságai, a logaritmus grafikonja, a definíciós tartomány, az értékkészlet, az alapképletek, a növekedés és a csökkenés. Megfontolandó a logaritmus deriváltjának megtalálása. És az integrál, a bővítés is teljesítmény sorozatés komplex számokkal történő ábrázolás.
Logaritmus a bázissal az y függvény (x) = log x, az a bázisú exponenciális függvény inverze: x (y) = a y.
Tizedes logaritmus a szám alapjának logaritmusa 10 : log x ≡ log 10 x.
természetes logaritmus az e bázisának logaritmusa: ln x ≡ log e x.
2,718281828459045...
;
.
A logaritmus grafikonját az exponenciális függvény grafikonjából nyerjük ki az y \u003d x egyenesre vonatkozó tükörreflexióval. A bal oldalon az y függvény grafikonjai láthatók (x) = log x négy értékre a logaritmus alapjai:a= 2
, a = 8
, a = 1/2
és egy = 1/8
. A grafikon azt mutatja, hogy egy > esetén 1
a logaritmus monoton növekszik. Ha x növekszik, a növekedés jelentősen lelassul. Nál nél 0
< a < 1
a logaritmus monoton csökkenő.
A logaritmus egy monoton függvény, ezért nincs szélsősége. A logaritmus főbb tulajdonságait a táblázat tartalmazza.
| Tartomány | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Értéktartomány | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Monoton | monoton növekszik | monoton csökken |
| Nullák, y= 0 | x= 1 | x= 1 |
| Metszéspontok az y tengellyel, x = 0 | Nem | Nem |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
A 10-es alapú logaritmust nevezzük decimális logaritmusés így van jelölve:
bázis logaritmus e hívott természetes logaritmus:
Az inverz függvény definíciójából következő logaritmus tulajdonságai:
Logaritmus a logaritmus felvételének matematikai művelete. A logaritmus felvételekor a tényezők szorzatait tagok összegére alakítjuk.
Potencírozás a logaritmusra fordított matematikai művelet. Potencírozáskor az adott bázist annak a kifejezésnek a hatványára emeljük, amelyen a potencírozás történik. Ebben az esetben a tagok összegeit tényezők szorzataivá alakítják át.
A logaritmusokhoz kapcsolódó képletek az exponenciális függvények képleteiből és az inverz függvény definíciójából következnek.
Tekintsük az exponenciális függvény tulajdonságát
.
Akkor
.
Alkalmazza az exponenciális függvény tulajdonságát
:
.
Bizonyítsuk be az alapváltoztatási képletet.
;
.
A c = b beállítással a következőket kapjuk:
Az a bázis logaritmusának reciproka az a kitevővel rendelkező exponenciális függvény.
Ha akkor
Ha akkor
A modulo x logaritmus deriváltja:
.
Az n-edik rend származéka:
.
Képletek származtatása > > >
A logaritmus deriváltjának megtalálásához bázisra kell redukálni e.
;
.
A logaritmus integrálját a következő részekkel történő integrálással számítjuk ki: .
Így,
Tekintsük a komplex számfüggvényt z:
.
Expressz összetett szám z modulon keresztül rés érvelés φ
:
.
Ezután a logaritmus tulajdonságait felhasználva a következőket kapjuk:
.
Vagy
Az érvelés azonban φ
nincs egyértelműen meghatározva. Ha feltesszük
, ahol n egy egész szám,
akkor ugyanaz a szám lesz a különböző n.
Ezért a logaritmus, mint egy komplex változó függvénye, nem egyértékű függvény.
A számára a bővítés megtörténik:
Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és felsőoktatási intézmények hallgatóinak, Lan, 2009.
