A paralelogramma olyan négyszög alakú alakzat, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak és páronként egyenlőek. Ellentétes szögei is egyenlőek, és a paralelogramma átlóinak metszéspontja kettéosztja őket, az ábra szimmetriaközéppontja. A paralelogramma speciális esetei olyan geometriai formák, mint a négyzet, a téglalap és a rombusz. Megtalálható a paralelogramma területe különböző utak, attól függően, hogy milyen kezdeti adatok kísérik a problémafelvetést.
S = DC ∙ óra
ahol S a paralelogramma területe;
a - alap;
h az adott alaphoz húzott magasság.
Ez a képlet nagyon könnyen érthető és megjegyezhető, ha megnézi a következő ábrát.
Amint ezen a képen látható, ha a paralelogrammától balra levágunk egy képzeletbeli háromszöget, és jobbra rögzítjük, akkor egy téglalap lesz az eredmény. Mint tudják, a téglalap területét úgy határozzuk meg, hogy megszorozzuk a hosszát a magasságával. Csak paralelogramma esetén a hossza lesz az alap, a téglalap magassága pedig az adott oldalra süllyesztett paralelogramma magassága.
S = AD∙AB∙sinα
ahol AD, AB szomszédos bázisok, amelyek metszéspontot és a szöget alkotnak egymás között;
α az AD és AB alapok közötti szög.
S = ½∙AC∙BD∙sinβ
ahol AC, BD a paralelogramma átlói;
β az átlók közötti szög.
Paralelogramma négyszögnek nevezzük, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak egymással. Az iskola fő feladata ebben a témában a paralelogramma területének, kerületének, magasságának és átlóinak kiszámítása. Az alábbiakban megadjuk a feltüntetett értékeket és a számítási képleteket.
A paralelogramma szemközti oldalai, valamint a szemközti szögek egyenlőek egymással:
AB = CD, BC = AD,
A paralelogramma metszéspontjában lévő átlóit két egyenlő részre osztjuk:
AO=OC, OB=OD.
A bármely oldallal szomszédos szögek (szomszédos szögek) 180 fokot adnak.
A paralelogramma minden átlója két egyenlő területű és geometriai méretű háromszögre osztja.
Egy másik figyelemre méltó tulajdonság, amelyet gyakran használnak a problémák megoldása során, hogy a paralelogramma átlóinak négyzetösszege megegyezik az összes oldal négyzeteinek összegével:
AC^2+BD^2=2*(AB^2+BC^2) . 
1. Az a négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak, paralelogramma.
2. Négyszög egyenlővel ellentétes oldalak paralelogramma.
3. Az egyenlő és párhuzamos szemközti oldalú négyszög paralelogramma.
4. Ha egy négyszög metszéspontjában lévő átlóit kettéosztjuk, akkor paralelogramma.
5. Az a négyszög, amelynek szemközti szögei páronként egyenlőek, paralelogramma
A paralelogrammában a szemközti szögek felezői lehetnek párhuzamosak vagy egybeesőek.
A szomszédos (egyik oldallal szomszédos) szögek felezőszögei derékszögben (merőlegesen) metszik egymást.
Párhuzamos magasság- ez az alapra merőleges szögből húzott szakasz. Ebből következik, hogy minden szögből két magasság húzható.
Egy paralelogramma területe egyenlő az oldal és a hozzá húzott magasság szorzatával. A terület képlete a következő 
A második képlet nem kevésbé népszerű a számításokban, és a következőképpen definiálható: a paralelogramma területe egyenlő a szomszédos oldalak és a köztük lévő szög szinuszának szorzatával.
A fenti képletek alapján tudni fogja, hogyan kell kiszámítani a paralelogramma területét.
A paralelogramma kerületének kiszámításának képlete a
vagyis a kerület egyenlő az oldalak összegének kétszeresével. A paralelogrammákkal kapcsolatos problémákat a szomszédos anyagokban tárgyaljuk, de egyelőre tanulmányozzuk a képleteket. A paralelogramma oldalainak és átlóinak kiszámításával kapcsolatos legtöbb probléma meglehetősen egyszerű, és a szinusztétel és a Pitagorasz-tétel ismeretében merül ki.
jegyzet. Ez egy geometriai problémákkal foglalkozó lecke része (parallelogramma rész). Ha olyan geometriai feladatot kell megoldanod, ami nincs itt, írj róla a fórumba. A visszakeresés műveletének jelzésére négyzetgyök feladatok megoldásában a √ vagy sqrt() szimbólumot használjuk, zárójelben a gyök kifejezéssel.
Magyarázatok a paralelogramma területének meghatározására szolgáló képletekhez:
Megoldás.
Jelöljük a kisebb magasságot ABCD paralelogramma, B pontból leeresztve a nagyobb alap AD mint BK.
Határozzuk meg egy ABK derékszögű háromszög lábának értékét, amelyet egy kisebb magasság, egy kisebb oldal és egy nagyobb alap egy része alkot. A Pitagorasz-tétel szerint:
AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82-81
AK = 1
Hosszabbítsuk meg a BC paralelogramma felső alapját, és engedjük le rá az AN magasságot az alsó alapjától. AN = BK, mint az ANBK téglalap oldalai. Határozzuk meg a kapott ANC derékszögű háromszög NC lábát.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225-81
NC 2 = √144
NC=12
Most keressük meg az ABCD paralelogramma nagyobb BC bázisát.
BC = NC - NB
Vegyük tehát figyelembe, hogy a téglalap oldalaiként NB = AK
Kr.e. = 12 - 1 = 11
A paralelogramma területe megegyezik az alap és az alap magasságának szorzatával.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99
Válasz: 99 cm 2 .
Megoldás.
Dobjunk egy másik merőleges DK-t az AC átlóra.
Ennek megfelelően az AOB és DKC, COB és AKD háromszögek páronként egyenlőek. Az egyik oldal a paralelogramma ellentétes oldala, az egyik szög derékszög, mivel merőleges az átlóra, a fennmaradó szögek egyike pedig a paralelogramma és a metsző párhuzamos oldalainak belső keresztje. átlós.
Így a paralelogramma területe megegyezik a jelzett háromszögek területével. Azaz
Párhuzamos = 2S AOB + 2S BOC
A derékszögű háromszög területe egyenlő a lábak szorzatának felével. Ahol
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
Válasz: 56 cm 2 .
A témával kapcsolatos problémák megoldása során, kivéve alapvető tulajdonságok paralelogrammaés a megfelelő képleteket, megjegyezheti és alkalmazhatja a következőket:
Tekintsük azokat a problémákat, amelyekben ezeket a tulajdonságokat használják.
1. feladat.
Az ABCD paralelogramma C szögfelezője az M pontban metszi az AD oldalt és az AB oldal folytatását az A ponton túl az E pontban. Határozzuk meg a paralelogramma kerületét, ha AE = 4, DM = 3!
Megoldás.
1. A CMD háromszög egyenlő szárú. (1. ingatlan). Ezért CD = MD = 3 cm.
2. Az EAM háromszög egyenlő szárú.
Ezért AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. ABCD kerület = 20 cm.
Válasz. 20 cm.
2. feladat.
Az ABCD konvex négyszögbe átlókat rajzolunk. Ismeretes, hogy az ABD, ACD, BCD háromszögek területe egyenlő. Bizonyítsuk be, hogy ez a négyszög paralelogramma.
Megoldás.
1. Legyen BE az ABD háromszög magassága, CF az ACD háromszög magassága. Mivel a feladat feltételei szerint a háromszögek területei egyenlőek és közös AD alapjuk van, akkor ezeknek a háromszögeknek a magassága egyenlő. BE = CF.
2. BE, CF merőlegesek AD-re. A B és C pont az AD egyeneshez képest ugyanazon az oldalon található. BE = CF. Ezért a BC egyenes || HIRDETÉS. (*)
3. Legyen AL az ACD háromszög magassága, BK a BCD háromszög magassága. Mivel a feladat feltételei szerint a háromszögek területei egyenlőek és közös CD alapjuk van, akkor ezeknek a háromszögeknek a magassága egyenlő. AL = BK.
4. AL és BK merőlegesek a CD-re. A B és A pont a CD egyeneshez képest ugyanazon az oldalon található. AL = BK. Ezért az AB egyenes || CD (**)
5. A (*), (**) feltételekből az következik, hogy az ABCD paralelogramma.
Válasz. Igazolt. Az ABCD egy paralelogramma.
3. feladat.
Az ABCD paralelogramma BC és CD oldalain M és H pontok vannak jelölve úgy, hogy a BM és HD szakaszok az O pontban metszik egymást;<ВМD = 95 о,
Megoldás.
1. DOM háromszögben<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Derékszögű háromszögben DHC Akkor<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 De CD = AB. Ekkor AB: HD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Válasz: AB: HD = 2:1,<А = <С = 30 о, <В = 4. feladat. A 4√6 hosszúságú paralelogramma egyik átlója 60°-os szöget zár be az alappal, a második átló pedig 45°-os szöget zár be ugyanazzal az alappal. Keresse meg a második átlót. Megoldás.
1. AO = 2√6. 2. Alkalmazzuk a szinusztételt az AOD háromszögre. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Válasz: 12.
5. feladat. Az 5√2 és 7√2 oldalú paralelogramma esetében az átlók közötti kisebb szög egyenlő a paralelogramma kisebb szögével. Határozza meg az átlók hosszának összegét! Megoldás.
Legyen d 1, d 2 a paralelogramma átlói, és az átlók és a paralelogramma kisebbik szöge közötti szög egyenlő φ-vel. 1. Számoljunk két különbözőt S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f, S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f. Az 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f egyenlőséget kapjuk, ill. 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2; 2. A paralelogramma oldalai és átlói közötti összefüggést felhasználva felírjuk az egyenlőséget (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Hozzunk létre egy rendszert: (d 1 2 + d 2 2 = 296, A rendszer második egyenletét szorozzuk meg 2-vel, és adjuk hozzá az elsőhöz. Azt kapjuk, hogy (d 1 + d 2) 2 = 576. Innen Id 1 + d 2 I = 24. Mivel d 1, d 2 a paralelogramma átlóinak hossza, akkor d 1 + d 2 = 24. Válasz: 24.
6. feladat. A paralelogramma oldalai 4 és 6. Az átlók hegyesszöge 45 fok. Keresse meg a paralelogramma területét. Megoldás.
1. Az AOB háromszögből a koszinusztétel segítségével felírjuk a paralelogramma oldala és az átlók közötti összefüggést. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Hasonlóképpen írjuk fel az AOD háromszög relációját. Ezt vegyük figyelembe<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. A d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144 egyenletet kapjuk. 3. Van egy rendszerünk A második egyenletből az elsőt kivonva 2d 1 · d 2 √2 = 80 ill. d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Jegyzet: Ebben és az előző feladatban nem kell teljesen megoldani a rendszert, arra számítva, hogy ebben a feladatban az átlók szorzatára van szükség a terület kiszámításához. Válasz: 10. 7. feladat. A paralelogramma területe 96, oldalai 8 és 15. Határozzuk meg a kisebb átló négyzetét! Megoldás.
1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Végezzünk helyettesítést a képletben. 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Ezért sin ВAD = 4/5. 2. Keressük meg a cos VAD-ot. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25. A feladat feltételei szerint megtaláljuk a kisebb átló hosszát. A ВD átló kisebb lesz, ha a ВАD szög hegyes. Akkor cos VAD = 3/5. 3. Az ABD háromszögből a koszinusztétel segítségével megtaláljuk a BD átló négyzetét. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3/5 = 145. Válasz: 145.
Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell megoldani egy geometriai problémát? weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges. Egy paralelogramma területe. A területek kiszámításával kapcsolatos számos geometriai problémában, beleértve az egységes államvizsga feladatait is, a paralelogramma és a háromszög területének képleteit használják. Több is van belőlük, itt megnézzük őket. Túl egyszerű lenne felsorolni ezeket a képleteket, a kézikönyvekben és a különféle weboldalakon már elég sok van belőle. A lényeget szeretném átadni - hogy ne tömd össze őket, hanem megértsd és bármikor könnyen emlékezz rájuk. A cikk anyagának tanulmányozása után megérti, hogy egyáltalán nem szükséges ezeket a képleteket megtanulni. Tárgyilagosan nézve olyan gyakran fordulnak elő a döntésekben, hogy sokáig megmaradnak az emlékezetben. 1.
Nézzünk tehát egy paralelogrammát. A meghatározás így szól: Miert van az? Ez egyszerű! Hogy világosan megmutassuk a képlet jelentését, hajtsunk végre néhány további konstrukciót, nevezetesen állítsuk össze a magasságokat: A (2) háromszög területe megegyezik az (1) háromszög területével - a derékszögű háromszögek egyenlőségének második jele „a láb és az alsó rész mentén”. Most mentálisan „vágjuk le” a másodikat, és helyezzük át az elsőre - kapunk egy téglalapot, amelynek területe megegyezik az eredeti paralelogramma területével: Ismeretes, hogy a téglalap területe megegyezik a szomszédos oldalak szorzatával. Amint a vázlatból látható, a kapott téglalap egyik oldala egyenlő a paralelogramma oldalával, a másik pedig a paralelogramma magasságával. Ezért megkapjuk az S = a∙h paralelogramma területének képletét a 2. Folytassuk, egy másik képlet a területére. Nekünk van: Jelöljük az oldalakat a-val és b-vel, a köztük lévő szög γ "gamma", magassága h a. Tekintsünk egy derékszögű háromszöget:
(
(Mivel derékszögű háromszögben a 30°-os szöggel szemben fekvő láb egyenlő a befogó felével).
módon a területét.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.
Az első óra ingyenes!
Egy paralelogramma képlet területe
