Képletek az abcd paralelogramma területének meghatározásához. A paralelogramma és tulajdonságai. Egy paralelogramma területe. A paralelogramma szögfelezői

Paralelogramma olyan négyszög, amelynek oldalai páronként párhuzamosak.

Ezen az ábrán ellentétes oldalakés a szögek egyenlőek egymással. A paralelogramma átlói egy pontban metszik egymást, és felezik azt. A paralelogramma területének képletei lehetővé teszik az érték megtalálását az oldalak, a magasság és az átlók segítségével. Speciális esetekben paralelogramma is bemutatható. Téglalapnak, négyzetnek és rombusznak tekintik őket.
Először nézzünk meg egy példát a paralelogramma területének kiszámítására a magasság és az oldal alapján, amelyre le van engedve.

Ez az eset klasszikusnak számít, és nem igényel további vizsgálatot. Jobb, ha figyelembe vesszük a képletet a két oldal területének és a köztük lévő szög kiszámításához. Ugyanezt a módszert használják a számításoknál. Ha az oldalak és a köztük lévő szög adottak, akkor a területet a következőképpen számítjuk ki:

Tegyük fel, hogy kapunk egy paralelogrammát, amelynek oldalai a = 4 cm, b = 6 cm, és a köztük lévő szög α = 30°. Keressük meg a területet:

Egy paralelogramma területe átlókon keresztül

A paralelogramma területének képlete az átlók segítségével lehetővé teszi az érték gyors megtalálását.
A számításokhoz szüksége lesz az átlók közötti szög méretére.

Tekintsünk egy példát a paralelogramma területének átlókkal történő kiszámítására. Adjunk meg egy paralelogrammát D = 7 cm, d = 5 cm átlókkal, amelyek szöge α = 30°. Helyettesítsük be az adatokat a képletbe:

Egy példa a paralelogramma területének az átlón keresztül történő kiszámítására kiváló eredményt adott - 8,75.

Ismerve a paralelogramma területének képletét az átlón keresztül, meg tudja oldani a halmazt érdekes feladatokat. Nézzük meg az egyiket.

Feladat: Adott egy 92 négyzetméter területű paralelogramma. lásd az F pont a BC oldalának közepén található. Keressük meg az ADFB trapéz területét, amely a paralelogrammánkban lesz. Először a feltételeknek megfelelően rajzoljunk le mindent, amit kaptunk.
Térjünk rá a megoldásra:

Feltételeink szerint ah =92, és ennek megfelelően a trapézunk területe egyenlő lesz

Ahogy az euklideszi geometriában a síkelmélet fő elemei a pont és az egyenes, úgy a konvex négyszögek egyik kulcsfigurája a paralelogramma. Belőle, mint a szálak a labdából, a „téglalap”, a „négyzet”, a „rombusz” és más geometriai mennyiségek fogalmai folynak.

Kapcsolatban áll

A paralelogramma definíciója

konvex négyszög, szakaszokból áll, amelyek párja párhuzamos, a geometriában paralelogrammaként ismert.

Hogy néz ki egy klasszikus paralelogramma, azt egy ABCD négyszög ábrázolja. Az oldalakat alapoknak (AB, BC, CD és AD), bármely csúcsból a vele ellentétes oldalra húzott merőlegest magasságnak (BE és BF), az AC és BD egyeneseket átlónak nevezzük.

Figyelem! A négyzet, a rombusz és a téglalap a paralelogramma speciális esetei.

Oldalak és szögek: a kapcsolat jellemzői

Összességében a legfontosabb tulajdonságok, maga a megnevezés határozza meg, azokat a tétel bizonyítja. Ezek a jellemzők a következők:

1. A szemközti oldalak páronként azonosak.
2. Az egymással szemközti szögek páronként egyenlőek.

Bizonyítás: Tekintsük ∆ABC és ∆ADC, amelyeket úgy kapunk, hogy az ABCD négyszöget elosztjuk az AC egyenessel. ∠BCA=∠CAD és ∠BAC=∠ACD, mivel az AC közös náluk (függőleges szög BC||AD és AB||CD esetén). Ebből következik: ∆ABC = ∆ADC (a háromszögek egyenlőségének második jele).

Az AB és BC szakaszok ∆ABC-ben páronként megfelelnek az ∆ADC CD és AD egyeneseinek, ami azt jelenti, hogy azonosak: AB = CD, BC = AD. Így ∠B ∠D-nek felel meg, és egyenlők. Mivel ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, amelyek szintén páronként azonosak, akkor ∠A = ∠C. Az ingatlan bizonyított.

Egy ábra átlóinak jellemzői

Fő jellemzője a paralelogramma ezen egyenesei közül: a metszéspont kettéosztja őket.

Bizonyítás: Legyen az ABCD ábra AC és BD átlóinak metszéspontja. Két arányos háromszöget alkotnak - ∆ABE és ∆CDE.

AB=CD, mivel ezek ellentétek. A vonalak és szekánsok szerint ∠ABE = ∠CDE és ∠BAE = ∠DCE.

Az egyenlőség második kritériuma szerint ∆ABE = ∆CDE. Ez azt jelenti, hogy az ∆ABE és ∆CDE elemek: AE = CE, BE = DE és egyben arányos részei AC és BD. Az ingatlan bizonyított.

A szomszédos sarkok jellemzői

A szomszédos oldalak szögeinek összege 180°, mivel párhuzamos egyenesek és keresztirányú vonalak ugyanazon az oldalán fekszenek. ABCD négyszög esetén:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

A felező tulajdonságai:

1. , egyik oldalra süllyesztve, merőlegesek;
2. az ellentétes csúcsoknak párhuzamos felezői vannak;
3. a felezővonal rajzolásával kapott háromszög egyenlő szárú lesz.

A paralelogramma jellemzőinek meghatározása a tétel segítségével

Ennek az ábrának a jellemzői a fő tételből következnek, amely a következőket mondja ki: a négyszöget paralelogrammának tekintjük abban az esetben, ha átlói metszik egymást, és ez a pont egyenlő szegmensekre osztja őket.

Bizonyítás: az ABCD négyszög AC és BD egyenesei metszi egymást i.e. Mivel ∠AED = ∠BEC, és AE+CE=AC BE+DE=BD, akkor ∆AED = ∆BEC (a háromszögek egyenlőségének első kritériuma szerint). Vagyis ∠EAD = ∠ECB. Ezek egyben az AD és BC vonalak AC szekánsának belső keresztszögei is. Így a párhuzamosság definíciója szerint - AD || IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. A BC és CD sorok hasonló tulajdonságát is levezetjük. A tétel bizonyítást nyert.

Egy ábra területének kiszámítása

Ennek az ábrának a területe több módszerrel is megtalálható az egyik legegyszerűbb: megszorozzuk a magasságot és a bázist, amelyhez húzzuk.

Bizonyítás: rajzoljunk BE és CF merőlegeseket a B és C csúcsokból. ∆ABE és ∆DCF egyenlőek, mivel AB = CD és BE = CF. Az ABCD mérete megegyezik az EBCF téglalappal, mivel arányos számokból állnak: S ABE és S EBCD, valamint S DCF és S EBCD. Ebből következik, hogy ennek a geometriai alaknak a területe megegyezik egy téglalapéval:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

A paralelogramma területének általános képletének meghatározásához jelöljük a magasságot mint hb, és az oldal - b. Illetőleg:

A terület megtalálásának egyéb módjai

Területszámítások a paralelogramma oldalain és a szögön keresztül, amelyet alkotnak, a második ismert módszer.

,

Spr-ma - terület;

a és b az oldalai

α az a és b szakaszok közötti szög.

Ez a módszer gyakorlatilag az elsőn alapul, de abban az esetben, ha nem ismert. mindig levág egy derékszögű háromszöget, amelynek paraméterei megtalálhatók trigonometrikus azonosságok, vagyis . A relációt átalakítva azt kapjuk, hogy . Az első módszer egyenletében a magasságot ezzel a szorzattal helyettesítjük, és bizonyítjuk ennek a képletnek az érvényességét.

A paralelogramma átlóin és a szögön keresztül, amelyeket kereszteződésükkor létrehoznak, akkor a területet is megtalálhatja.

Bizonyítás: AC és BD metszik egymást négy háromszöget alkotva: ABE, BEC, CDE és AED. Összegük egyenlő ennek a négyszögnek a területével.

Mindegyik ∆ területe megtalálható a kifejezéssel, ahol a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Mivel , a számítások egyetlen szinuszértéket használnak. Azaz . Mivel AE+CE=AC=d 1 és BE+DE=BD=d 2, a területképlet a következőre redukálódik:

.

Alkalmazás vektoralgebrában

Ennek a négyszögnek az alkotórészeinek jellemzői a vektoralgebrában alkalmazásra találtak, nevezetesen két vektor összeadása. A paralelogramma szabály azt mondja ki ha adott vektorokÉsNemkollineárisak, akkor összegük egyenlő lesz ennek az ábrának az átlójával, amelynek alapjai ezeknek a vektoroknak felelnek meg.

Bizonyítás: tetszőlegesen választott kezdetből - i.e. - vektorokat és . Ezután megszerkesztünk egy OASV paralelogrammát, ahol az OA és OB szakaszok oldalak. Így az operációs rendszer a vektoron vagy az összegen fekszik.

Képletek a paralelogramma paramétereinek kiszámításához

A személyazonosságokat a következő feltételekkel adják meg:

1. a és b, α - oldalak és a köztük lévő szög;
2. d 1 és d 2, γ - átlók és metszéspontjuk;
3. h a és h b - a és b oldalra süllyesztett magasságok;

Paraméter	Képlet
Az oldalak megtalálása
az átlók és a köztük lévő szög koszinusza mentén
átlók és oldalak mentén
a magasságon és a szemközti csúcson keresztül
Az átlók hosszának meghatározása
az oldalakon és a köztük lévő csúcs nagysága

A témával kapcsolatos problémák megoldása során, kivéve alapvető tulajdonságok paralelogrammaés a megfelelő képleteket, megjegyezheti és alkalmazhatja a következőket:

1. A paralelogramma belső szögének felezője egyenlő szárú háromszöget vág le belőle
2. A paralelogramma egyik oldalával szomszédos belső szögfelezők egymásra merőlegesek
3. A paralelogramma ellentétes belső sarkaiból érkező felezők párhuzamosak egymással, vagy ugyanazon az egyenesen fekszenek
4. Egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő az oldalai négyzetösszegével
5. A paralelogramma területe egyenlő az átlók és a köztük lévő szög szinuszának szorzatának felével

Tekintsük azokat a problémákat, amelyekben ezeket a tulajdonságokat használják.

1. feladat.

Az ABCD paralelogramma C szögfelezője az M pontban metszi az AD oldalt és az AB oldal folytatását az A ponton túl az E pontban. Határozzuk meg a paralelogramma kerületét, ha AE = 4, DM = 3!

Megoldás.

1. A CMD háromszög egyenlő szárú. (1. ingatlan). Ezért CD = MD = 3 cm.

2. Az EAM háromszög egyenlő szárú.
Ezért AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. ABCD kerület = 20 cm.

Válasz. 20 cm.

2. feladat.

Az ABCD konvex négyszögbe átlókat rajzolunk. Ismeretes, hogy az ABD, ACD, BCD háromszögek területe egyenlő. Bizonyítsuk be, hogy ez a négyszög paralelogramma.

Megoldás.

1. Legyen BE az ABD háromszög magassága, CF az ACD háromszög magassága. Mivel a feladat feltételei szerint a háromszögek területei egyenlőek és közös AD alapjuk van, akkor ezeknek a háromszögeknek a magassága egyenlő. BE = CF.

2. BE, CF merőlegesek AD-re. A B és C pont az AD egyeneshez képest ugyanazon az oldalon található. BE = CF. Ezért a BC egyenes || HIRDETÉS. (*)

3. Legyen AL az ACD háromszög magassága, BK a BCD háromszög magassága. Mivel a feladat feltételei szerint a háromszögek területei egyenlőek és közös CD alapjuk van, akkor ezeknek a háromszögeknek a magassága egyenlő. AL = BK.

4. AL és BK merőlegesek a CD-re. A B és A pont a CD egyeneshez képest ugyanazon az oldalon található. AL = BK. Ezért az AB egyenes || CD (**)

5. A (*), (**) feltételekből az következik, hogy az ABCD paralelogramma.

Válasz. Igazolt. Az ABCD egy paralelogramma.

3. feladat.

Az ABCD paralelogramma BC és CD oldalain M és H pontok vannak jelölve úgy, hogy a BM és HD szakaszok az O pontban metszik egymást;<ВМD = 95 о,