Hadd Z= F(M) a pont valamely környezetében meghatározott függvény M(y; x);L={ Cos; Cos} – egységvektor (33. ábrán 1= , 2= ); L egy ponton átmenő egyenes M; M1(x1; y1), ahol x1=x+x és y1=y+y- egy pont egy egyenesen L; L- a szegmens mérete MM1; Z= F(x+x, y+y)-F(x, Y) – funkciónövekedés F(M) azon a ponton M(x; y).
Meghatározás. A reláció határát, ha létezik, hívjuk Derivatív függvény Z = F ( M ) azon a ponton M ( x ; Y ) a vektor irányába L .
Kijelölés.
|
|
Ha a funkció F(M) egy ponton differenciálható M(x; y), majd a ponton M(x; y) bármely irányban van származéka L jön valahonnan M; a következő képlet szerint számítják ki:
(8)
Ahol Cos És Cos- a vektor irány koszinuszai L.
46. példa. Számítsa ki egy függvény deriváltját! Z= x2 + Y2 x azon a ponton M(1; 2) a vektor irányába MM1, ahol M1- pont koordinátákkal (3; 0).
. Keressük meg az egységvektort L, ez az irány:
Ahol Cos= ; Cos=- .
Kiszámítjuk a függvény parciális deriváltjait a pontban M(1; 2):
A (8) képlet alapján megkapjuk 
47. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját U = xy2 Z3 azon a ponton M(3; 2; 1) Vektor irányban MN, ahol N(5; 4; 2) .
. Keressük meg a vektort és iránykoszinuszait:
Számítsa ki a parciális deriváltak értékét a pontban M:
Következésképpen, 
Meghatározás. Gradiens FunkciókZ= F(M) az M(x; y) pontban egy vektor, amelynek koordinátái megegyeznek az M(x; y) pontban felvett megfelelő u parciális deriváltokkal.
Kijelölés. 
48. példa. Keresse meg egy függvény gradiensét Z= x2 +2 Y2 -5 azon a ponton M(2; -1).
Megoldás. Részleges származékokat találunk: 
és értékeiket a ponton M(2; -1):
49. példa.
Határozza meg egy függvény gradiensének nagyságát és irányát egy pontban 
Megoldás. Keressük meg a parciális deriváltokat, és számítsuk ki értéküket az M pontban:
Következésképpen,
Hasonlóképpen definiáljuk az irány derivált három változó függvényére U= F(x, Y, Z) , képletek származnak
Bemutatjuk a gradiens fogalmát 
Azt hangsúlyozzuk A gradiens függvény alapvető tulajdonságai a gazdasági optimalizálás elemzése szempontjából fontosabb: a gradiens irányában a függvény növekszik. Gazdasági problémák esetén a gradiens alábbi tulajdonságait használják:
1) Legyen adott függvény Z= F(x, Y) , amelynek parciális származékai vannak a definíció tartományában. Vegye figyelembe néhány pontot M0(x0, y0) a definíció tartományából. Legyen a függvény értéke ezen a ponton F(x0 , Y0 ) . Tekintsük a függvénygrafikont. A ponton keresztül (x0 , Y0 , F(x0 , Y0 )) háromdimenziós tér rajzoljunk egy síkot érintőt a függvény grafikonjának felületére. Ezután a pontban számított függvény gradiense (x0, y0), amelyet geometriailag egy ponthoz kapcsolódó vektornak tekintünk (x0 , Y0 , F(x0 , Y0 )) , merőleges lesz az érintősíkra. A geometriai ábrát az ábra mutatja. 34.
2) Gradiens függvény F(x, Y) azon a ponton M0(x0, y0) pontban a függvény leggyorsabb növekedési irányát jelzi М0. Ezenkívül bármely irány, amely hegyesszöget zár be a gradienssel, a függvény növekedési iránya a pontban М0. Más szóval, egy kis mozgás egy pontból (x0, y0) a függvény gradiensének irányában ezen a ponton a függvény növekedéséhez vezet, és a legnagyobb mértékben.
Tekintsünk a gradienssel ellentétes vektort. Ez az úgynevezett anti-gradiens . Ennek a vektornak a koordinátái:
Funkció anti-gradiens F(x, Y) azon a ponton M0(x0, y0) pontban a függvény leggyorsabb csökkenésének irányát jelzi М0. Bármely irány, amely hegyesszöget zár be az antigradienssel, az az irány, amelyben a függvény azon a ponton csökken.
3) Egy függvény tanulmányozásakor gyakran szükséges ilyen párok megtalálása (x, y) a függvény hatóköréből, amelyre a függvény ugyanazokat az értékeket veszi fel. Tekintsük a pontok halmazát (x, Y) kívül esik a funkció hatókörén F(x, Y) , oly módon, hogy F(x, Y)= Const, hol a bejegyzés “ Const” azt jelenti, hogy a függvény értéke rögzített és egyenlő a függvény tartományából származó számmal.
Meghatározás. Funkciószint vonal U = F ( x , Y ) hívják a vonalatF(x, Y)=С a repülőnXOy, amelynek pontjain a függvény állandó maradU= C.
A szintvonalak geometriailag vannak ábrázolva a független változók változási síkján görbe vonalak formájában. A szintvonalak megszerzése a következőképpen képzelhető el. Vegye figyelembe a készletet TÓL TŐL, amely a háromdimenziós térben lévő pontokból áll koordinátákkal (x, Y, F(x, Y)= Const), amelyek egyrészt a függvény grafikonjához tartoznak Z= F(x, Y), másrészt azzal párhuzamos síkban feküdjön Koordináta sík HOGYAN, és elválasztjuk tőle egy adott konstans értékkel. Ekkor egy szintvonal felépítéséhez elegendő a függvény grafikonjának felületét egy síkkal metszeni Z= Constés a metszésvonalat egy síkra vetítjük HOGYAN. A fenti érvelés igazolja a síkon történő szintvonalak közvetlen megépítésének lehetőségét HOGYAN.
Meghatározás. A szintvonalak halmazát ún Szintvonal térkép.
A szintvonalak jól ismert példái az egyenlő magasságú szintek topográfiai térképés azonos légnyomású vonalak az időjárási térképen.
Meghatározás.
Azt az irányt nevezzük, amely mentén a függvény növekedési sebessége maximális "preferált" irány, vagy A leggyorsabb növekedés iránya.
A "preferált" irányt a függvény gradiensvektora adja meg. ábrán. A 35. ábra a maximális, minimum és nyeregpontot mutatja két változó függvényének korlátozások hiányában történő optimalizálásának problémájában. Az ábra alsó része a leggyorsabb növekedés szintvonalait és irányait mutatja.
50. példa. Jellemző szintű vonalak keresése U= x2 + Y2 .
Megoldás. A szintvonalak családjának egyenletének van alakja x2 + Y2 = C (C>0) . Adni TÓL TŐL különböző valós értékeket kapunk, koncentrikus köröket kapunk, amelyek középpontja az origóban van.
Szintvonalak építése. Elemzésüket széles körben alkalmazzák a mikro- és makroszintek közgazdasági problémáiban, az egyensúlyelméletben, ill. hatékony megoldások. Izokosztok, izokvantumok, közömbösségi görbék – ezek mind különböző gazdasági funkciókra épített szintvonalak.
51. példa. Tekintsük a következő gazdasági helyzetet. Legyen a termékek előállításának leírása Cobb-Douglas funkció F(x, Y)=10x1/3y2/3, ahol x- a munka mennyisége Nál nél- a tőke összege. Az erőforrások beszerzésére 30 USD-t különítettek el. egység, a munka ára 5 c.u. egységek, tőke - 10 c.u. egységek Tegyük fel magunknak a kérdést: mi a legnagyobb teljesítmény, ami ilyen feltételek mellett elérhető? Itt az „adott feltételek” adott technológiákra, erőforrásárakra és a termelési funkció típusára utalnak. Mint már említettük, a funkció Cobb-Douglas minden változóban monoton növekszik, azaz az egyes erőforrástípusok növekedése a kibocsátás növekedéséhez vezet. Ilyen feltételek mellett egyértelmű, hogy addig lehet növelni a forrásszerzést, amíg van elég pénz. 30 c.u-ba kerülő forráscsomagok. egység, megfelel a következő feltételnek:
5x + 10y = 30,
Vagyis meghatározzák a függvényszint vonalat:
G(x, Y) = 5x + 10 év.
Másrészt szintvonalak segítségével Cobb-Douglas függvények (36. ábra) ábrázolható a függvény növekedése: a szintvonal bármely pontján a gradiens iránya a legnagyobb növekedés iránya, egy ponton gradiens építéséhez pedig elég húzz egy érintőt a szintvonalhoz ezen a ponton, húzz egy merőlegest az érintőre, és jelezd a gradiens irányát. ábrából. 36 látható, hogy a Cobb-Douglas függvény szintvonalának a gradiens mentén történő mozgását addig kell végrehajtani, amíg az érinti a szintvonalat. 5x + 10y = 30. Így a szintvonal, a gradiens, a gradiens tulajdonságok fogalmait felhasználva lehetőség nyílik az erőforrások legjobb felhasználásának megközelítésére a kibocsátás volumenének növelése szempontjából.
Meghatározás. Funkciószintű felület U = F ( x , Y , Z ) felületnek nevezikF(x, Y, Z)=С, melynek pontjain a függvény állandó maradU= C.
52. példa. Keresse meg a jellemzők sík felületeit U= x2 + Z2 - Y2 .
Megoldás. A síkfelületek családjának egyenlete alakja x2 + Z2 - Y2 =C. Ha egy C=0, akkor megkapjuk x2 + Z2 - Y2 =0 - kúp; ha C<0 , akkor x2 + Z2 - Y2 =C - Kétlapos hiperboloidok családja.
1 0 A gradiens a normál mentén a vízszintes felületre (vagy sík mező esetén a szintvonalra) irányul.
2 0 A gradiens a növekvő térfüggvény irányába irányul.
3 0 A gradiens modul egyenlő a mező adott pontjában a legnagyobb deriválttal:
Ezek a tulajdonságok a gradiens invariáns karakterisztikáját adják. Azt mondják, hogy a gradU vektor egy adott pontban a skalármező legnagyobb változásának irányát és nagyságát jelzi.
Megjegyzés 2.1. Ha az U(x,y) függvény két változó függvénye, akkor a vektor
(2.3)
az oxi síkban fekszik.
Legyen U=U(x,y,z) és V=V(x,y,z) függvények differenciálhatóak az М 0 (x,y,z) pontban. Ekkor a következő egyenlőségek teljesülnek:
a) grad()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;
c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grad = 
, V ;
e) gradU( = gradU, ahol , U=U()-nak van deriváltja -hoz képest.
2.1. példa. Az U=x 2 +y 2 +z 2 függvény adott. Határozzuk meg a függvény gradiensét az M(-2;3;4) pontban!
Megoldás. A (2.2) képlet szerint megvan
.
Ennek a skalármezőnek a síkfelületei az x 2 +y 2 +z 2 gömbcsalád, a gradU=(-4;6;8) vektor a síkok normálvektora.
2.2. példa. Keresse meg az U=x-2y+3z skalármező gradiensét.
Megoldás. A (2.2) képlet szerint megvan
Egy adott skalármező vízszintes felületei a síkok
x-2y+3z=C; a gradU=(1;-2;3) vektor e család síkjainak normálvektora.
2.3. példa. Határozzuk meg az U=x y felület legmeredekebb lejtését az M(2;2;4) pontban!
Megoldás. Nekünk van: 
2.4. példa. Keresse meg az U=x 2 +y 2 +z 2 skalármező síkfelületének egységnyi normálvektorát.
Megoldás. Adott skalár szintfelületei Field-sphere x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).
A gradienst a normál mentén a sík felületre irányítjuk, így
Meghatározza az M(x,y,z) pontban lévő síkfelület normálvektorát. Egy egységnyi normálvektor esetén megkapjuk a kifejezést
, ahol 
.
2.5. példa. Keresse meg az U= mező gradienst 
, ahol és konstans vektorok, r a pont sugárvektora.
Megoldás. Hadd
Akkor: 
. A determináns differenciálódási szabálya szerint azt kapjuk
Következésképpen,
2.6. példa. Keresse meg a távolság gradienst, ahol P(x,y,z) a vizsgált mező pontja, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) valamilyen fix pont.
Megoldás. Van - egység irányvektorunk .
Példa 2.7. Határozzuk meg a függvények gradiensei közötti szöget az M 0 (1,1) pontban!
Megoldás. Ezeknek a függvényeknek a gradienseit az M 0 (1,1) pontban találjuk meg
; A gradU és gradV közötti szöget az M 0 pontban az egyenlőségből határozzuk meg
Ezért =0.
2.8. példa. Keresse meg a deriváltot az irányhoz képest, a sugárvektor egyenlő
(2.4)
Megoldás. A függvény gradiensének megkeresése:
Ha (2.5)-et (2.4) behelyettesítünk, azt kapjuk
Példa 2.9. Határozzuk meg az M 0 (1;1;1) pontban az U=xy+yz+xz skalármező legnagyobb változásának irányát és ennek a legnagyobb változásnak a nagyságát ebben a pontban.
Megoldás. A mező legnagyobb változásának irányát a grad U(M) vektor jelzi. Megtaláljuk:
És ezért, . Ez a vektor határozza meg a mező legnagyobb növekedésének irányát az M 0 (1;1;1) pontban. A mező legnagyobb változásának értéke ezen a ponton egyenlő
.
Példa 3.1. Keresse meg a vektormező vektorvonalait 
ahol egy állandó vektor.
Megoldás. Nekünk így van
(3.3)
Az első tört számlálóját és nevezőjét szorozzuk meg x-szel, a másodikat y-vel, a harmadikat z-vel, és adjuk hozzá tagonként. Az arány tulajdonságot felhasználva azt kapjuk
Ezért xdx+ydy+zdz=0, ami azt jelenti
x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. Most megszorozzuk az első tört (3.3) számlálóját és nevezőjét c 1-gyel, a másodikat c 2-vel, a harmadikat c 3-mal, és tagonként összegezve azt kapjuk, hogy
Ahonnan c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0
És ezért 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 esetén. A 2-konst.
A vektorvonalak kötelező egyenletei
Ezek az egyenletek azt mutatják, hogy vektoregyeneseket kapunk az origóban közös középponttal rendelkező gömbök és a vektorra merőleges síkok metszéspontjából. 
. Ebből következik, hogy a vektoregyenesek olyan körök, amelyek középpontja a c vektor irányában az origón áthaladó egyenesen van. A körök síkjai merőlegesek a megadott egyenesre.
Példa 3.2. Keresse meg a vektor mezővonalat 
áthaladva az (1,0,0) ponton.
Megoldás. Differenciál egyenletek vektor vonalak
ezért van 
. Az első egyenlet megoldása. Vagy ha bevezetjük a t paramétert, akkor megkapjuk Ebben az esetben az egyenletet 
felveszi a formát 
vagy dz=bdt, ahonnan z=bt+c 2 .
Ha a tér minden pontjában vagy térrészben egy bizonyos mennyiség értéke definiálva van, akkor azt mondjuk, hogy ennek a mennyiségnek a mezője adott. A mezőt skalárnak nevezzük, ha a figyelembe vett érték skalár, azaz. számértéke jól jellemzi. Például a hőmérsékleti mező. A skaláris mezőt az u = /(M) pont skalárfüggvénye adja meg. Ha egy derékszögű koordinátarendszert vezetünk be a térbe, akkor három változóból áll x, yt z - az M pont koordinátáinak függvénye: Definíció. A skalármező síkfelülete azon pontok halmaza, ahol az f(M) függvény ugyanazt az értéket veszi fel. Szintfelszíni egyenlet 1. példa. Skalármező szintfelületeinek megkeresése VEKTOR ELEMZÉS Skalármező szintfelszíneinek és szintvonalainak Skalármező Irányított Derivált gradiense Alapvető gradiens tulajdonságok Gradiens invariáns definíciója Szabályok gradiens, a szint kiszámításához felületi egyenlet lesz. Ez egy gömb (Ф 0) egyenlete, amelynek középpontja az origóban van. A skaláris mezőt laposnak nevezzük, ha a mező egy síkkal párhuzamos minden síkban azonos. Ha a megadott síkot xOy síknak vesszük, akkor a mezőfüggvény nem függ a z koordinátától, azaz csak az x és y argumentum függvénye, valamint a jelentés is. Szintvonal egyenlet - 2. példa Skalármező szintvonalainak megkeresése A szintvonalakat egyenletek adják meg c = 0 esetén egy egyenespárt kapunk, hiperbolacsaládot kapunk (1. ábra). 1.1. Irányi derivált Legyen egy skalármező, amelyet u = /(Af) skalárfüggvény határoz meg. Vegyük az Afo pontot, és válasszuk az I vektor által meghatározott irányt. Vegyünk egy másik M pontot úgy, hogy az M0M vektor párhuzamos legyen az 1. vektorral (2. ábra). Jelöljük A/-vel a MoM vektor hosszát, a D1 elmozdulásnak megfelelő /(Af) - /(Afo) függvény növekményét pedig Di-vel. A hozzáállás határozza meg átlagsebesség a skalármező egységnyi hosszonkénti változása az adott irányba Legyen most nullára hajlik, így a М0М vektor mindvégig párhuzamos marad az I vektorral. Ha D/O-ra létezik az (5) relációnak véges határértéke, akkor azt a függvény adott Afo pontbeli deriváltjának nevezzük az adott I irányra, és a zr!^ szimbólummal jelöljük. Tehát definíció szerint Ez a definíció nem kapcsolódik a koordinátarendszer megválasztásához, azaz **változat karaktere van. Keressünk egy kifejezést a deriváltra a derékszögű koordinátarendszerben az irány tekintetében. Legyen a / függvény differenciálható egy pontban. Tekintsük az /(Af) értéket egy pontban. Ekkor a függvény teljes növekménye a következő formában írható fel: ahol és a szimbólumok azt jelentik, hogy a parciális deriváltakat az Afo pontban számítjuk. Ezért itt a jfi, ^ mennyiségek a vektor iránykoszinuszai. Mivel a MoM és I vektorok együtt irányítottak, irány koszinuszaik megegyeznek: deriváltak, a függvény deriváltjai és a koordinátatengelyek irányai mentén a külső nno- 3. példa Keresse meg a függvény deriváltját a pont felé A vektornak van egy hossza. Irányos koszinuszai: A (9) képlet alapján azt a tényt, hogy, azt jelenti, hogy a skaláris mező egy pontban egy adott korirányban- Lapos mező esetén egy pontban az I irányú derivált a képlettel számítjuk ki. ahol a az I vektor által az Oh tengellyel bezárt szög. Zmmchmm 2. A (9) képlet a derivált számításához az I irány mentén egy adott Afo pontban akkor is érvényben marad, ha az M pont egy olyan görbe mentén a Mo pont felé hajlik, amelyre az I vektor érinti a PrISchr 4 pontot. a skalármező deriváltja az Afo(l, 1) pontban. e görbe irányában (növekvő abszcissza irányába) tartozó parabolához. A parabola iránya egy pontban a parabola érintőjének iránya ebben a pontban (3. ábra). A parabola érintője az Afo pontban o szöget zár be az Ox tengellyel. Akkor honnan az érintő koszinuszainak irányítása Számítsunk értékeket és egy pontban. Most a (10) képlet alapján megkapjuk. Határozzuk meg a skalármező deriváltját a kör irányába eső pontban A kör vektoregyenletének alakja van. Megtaláljuk a kör érintőjének m egységvektorát.A pont a paraméter értékének felel meg. Skalármező gradiens Legyen egy skalármezőt egy differenciálhatónak feltételezett skalárfüggvénnyel definiálva. Meghatározás. Egy skalármező » adott M pontban lévő gradiense egy grad szimbólummal jelölt vektor, amelyet az egyenlőség határoz meg. Nyilvánvaló, hogy ez a vektor függ a függvénytől és attól az M ponttól is, amelyben a deriváltját számítjuk. Legyen 1 irányú egységvektor Ekkor az irányderivált képlet a következőképpen írható fel: . így a függvény deriváltja és az 1 irányba egyenlő pont termék az u(M) függvény gradiensének az I irány 1° egységvektora. 2.1. A gradiens alapvető tulajdonságai 1. Tétel. A skaláris térgradiens merőleges a szintfelületre (vagy a szintvonalra, ha a mező sík). (2) Rajzoljunk egy u = const síkfelületet egy tetszőleges M ponton, és válasszunk egy L sima görbét ezen a felületen, amely áthalad az M ponton (4. ábra). Legyen I az L görbe érintője az M pontban. Mivel a szintfelületen u(M) = u(M|) bármely Mj ∈ L pontra, akkor viszont = (gradu, 1°) . Ezért. Ez azt jelenti, hogy a grad és és az 1° vektorok merőlegesek, így a grad és vektor merőleges a síkfelület bármely érintőjére az M pontban. A gradiens a növekvő térfüggvény irányába irányul. Korábban bebizonyítottuk, hogy a skalármező gradiense a normál mentén irányul a szintfelszínre, ami akár az u(M) függvény növekedése, akár csökkenése felé orientálható. Jelölje n-nel a ti(M) függvény növekedési irányába orientált szintfelület normálját, és keresse meg az u függvény e normális irányú deriváltját (5. ábra). Az 5. ábra feltétele szerint van Since-ünk és ezért VEKTORANALÍZIS Skalármező Felületek és szintvonalak Irány derivált Skalármező gradiens A gradiens alapvető tulajdonságai A gradiens invariáns definíciója A gradiens kiszámításának szabályai Ebből következik, hogy a grad és a ugyanabban az irányban, mint ahogy a normál n-t választottuk, azaz az u(M) függvény növekedési irányába. 3. Tétel. A gradiens hossza megegyezik a mező egy adott pontjában lévő irány legnagyobb deriváltjával, (itt egy adott M pontban minden lehetséges irányba max $-t veszünk a pontig). Megvan, hogy hol van az 1 és a grad n vektorok közötti szög. Mivel a legnagyobb érték az 1. példa. Határozza meg a skalármező legnagyobb ióniójának irányát a pontban, valamint ennek a legnagyobb változásnak a nagyságát a megadott pontban. A skalármező legnagyobb változásának irányát egy vektor jelzi. Ez a vektor határozza meg a mező legnagyobb növekedésének irányát egy pontig. A mező legnagyobb változásának értéke ezen a ponton 2,2. A gradiens invariáns meghatározása Azokat a mennyiségeket, amelyek a vizsgált objektum tulajdonságait jellemzik, és nem függnek a koordinátarendszer megválasztásától, az adott objektum invariánsainak nevezzük. Például egy görbe hossza ennek a görbének invariánsa, de a görbe érintőjének az x tengellyel bezárt szöge nem invariáns. A skalármező gradiens fenti három tulajdonsága alapján a következő invariáns definíciót adhatjuk a gradiensre. Meghatározás. A skaláris térgradiens egy vektor, amely a normál mentén a síkfelületre irányul a térfüggvény növekedésének irányába, és amelynek hossza megegyezik a legnagyobb irányderiváltával (adott pontban). Legyen egységnyi normálvektor, amely a növekvő tér irányába irányul. Ezután 2. példa. Keresse meg a távolság gradienst - valamilyen fix pont, és M(x,y,z) - az aktuális. 4 Megvan, hogy hol van az egységirányvektor. A gradiens kiszámításának szabályai, ahol c egy állandó szám. A fenti képletek közvetlenül a gradiens definíciójából és a származékok tulajdonságaiból származnak. A szorzat differenciálási szabálya szerint A bizonyítás hasonló a tulajdonság bizonyításához. Legyen F(u) differenciálható skalárfüggvény. Ekkor 4 A gradiens definíciója szerint a jobb oldalon található Alkalmazzuk az összes kifejezésre a differenciálási szabályt összetett funkció. Konkrétan a (6) képlet a képletsíkból ennek a síknak a két rögzített pontjába következik. Tekintsünk egy tetszőleges ellipszist Fj és F] fókuszokkal, és bizonyítsuk be, hogy bármely fénysugár, amely az ellipszis egyik fókuszából kilép, az ellipszisről való visszaverődés után a másik fókuszába kerül. A (7) függvény szintvonalai VEKTORANALÍZIS Skalármező Felületek és szintvonalak Irány derivált Skalármező gradiens A gradiens alaptulajdonságai A gradiens invariáns definíciója Gradiens számítási szabályok A (8) egyenletek olyan ellipsziscsaládot írnak le, amelynek fókuszai a pontokban F) és Fj. A 2. példa eredménye szerint megvan és sugárvektorok. az F| fókuszból a P(x, y) pontba húzva és Fj, és ennélfogva a sugárvektorok közötti szögfelezőn fekszik (6. ábra). Tooromo 1 szerint a PQ gradiens merőleges a pontban lévő (8) ellipszisre. Ezért a 6. ábra. az ellipszis (8) normálisa bármely pontban felezi az ehhez a ponthoz húzott sugárvektorok közötti szöget. Innen és abból, hogy a beesési szög egyenlő a visszaverődés szögével, azt kapjuk: az ellipszis egyik fókuszából kilépő, onnan visszaverődő fénysugár minden bizonnyal ennek az ellipszisnek a másik fókuszába esik.
Egy iskolai matematika tantárgyból ismert, hogy a síkon lévő vektor irányított szegmens. Kezdésének és végének két koordinátája van. A vektorkoordináták kiszámítása úgy történik, hogy a kezdőkoordinátákat kivonjuk a végkoordinátákból.
A vektor fogalma kiterjeszthető egy n-dimenziós térre is (két koordináta helyett n koordináta lesz).
Gradiens gradz függvény z=f(x 1 , x 2 , ... x n) a függvény parciális deriváltjainak vektora egy pontban, azaz. vektor koordinátákkal.
Bizonyítható, hogy egy függvény gradiense egy ponton a függvény szintjének leggyorsabb növekedési irányát jellemzi.
Például a z \u003d 2x 1 + x 2 függvénynél (lásd az 5.8. ábrát) a gradiens bármely ponton koordinátákkal rendelkezik (2; 1). Síkra többféleképpen építhető fel, tetszőleges pontot véve a vektor kezdetének. Például összekapcsolhatja a (0; 0) pontot a (2; 1) ponttal, vagy az (1; 0) pontot a (3; 1) ponttal, vagy a (0; 3) pontot a (2; 4) ponttal, vagy t .P. (lásd az 5.8. ábrát). Az így megszerkesztett vektorok koordinátái (2 - 0; 1 - 0) = = (3 - 1; 1 - 0) = (2 - 0; 4 - 3) = (2; 1).
Az 5.8 ábrán jól látható, hogy a függvény szintje a gradiens irányában növekszik, mivel a megszerkesztett szintvonalak a 4 > 3 > 2 szintértékeknek felelnek meg.
5.8. ábra – A z \u003d 2x 1 + x 2 függvény gradiense
Vegyünk egy másik példát - a z= 1/(x 1 x 2) függvényt. Ennek a függvénynek a gradiense már nem lesz mindig ugyanaz a különböző pontokon, mivel koordinátáit a (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2) képletek határozzák meg.
Az 5.9. ábra a z= 1/(x 1 x 2) függvény szintvonalait mutatja a 2. és 10. szinthez (az 1/(x 1 x 2) = 2 sort szaggatott vonal jelzi, az 1/( x 1 x 2) = 10 folyamatos vonal).
5.9 ábra - A z \u003d 1 / (x 1 x 2) függvény gradiensei különböző pontokban
Vegyük például a pontot (0,5; 1), és számítsuk ki a gradienst ennél a pontnál: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Vegye figyelembe, hogy a pont (0,5; 1) az 1 / (x 1 x 2) \u003d 2 szintvonalon fekszik, mert z \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. rajzolja meg a vektort (-4; -2) az 5.9. ábrán, kösse össze a (0,5; 1) pontot a (-3,5; -1) ponttal, mert (-3,5 - 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).
Vegyünk egy másik pontot ugyanazon a szintvonalon, például az (1; 0,5) pontot (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Számítsa ki a gradienst ezen a ponton (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Az 5.9. ábrán való ábrázoláshoz az (1; 0,5) pontot összekapcsoljuk a (-1; -3,5) ponttal, mert (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - négy).
Vegyünk még egy pontot ugyanazon a szintvonalon, de csak most egy nem pozitív koordinátanegyedben. Például a (-0,5; -1) pont (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). A gradiens ezen a ponton a következő lesz: (-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). Az 5.9. ábrán ábrázoljuk úgy, hogy a (-0,5; -1) pontot összekapcsoljuk a (3,5; 1) ponttal, mert (3,5 - (-0,5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).
Megjegyzendő, hogy mindhárom vizsgált esetben a gradiens a függvény szintjének növekedési irányát mutatja (1/(x 1 x 2) = 10 > 2 szintvonal felé).
Bizonyítható, hogy a gradiens mindig merőleges az adott ponton áthaladó szintvonalra (szintfelületre).
Határozzuk meg a fogalmat extrémum sok változó függvényére.
Sok f(X) változó függvénye az X(0) pontban van maximum (minimum), ha van ennek a pontnak olyan környéke, hogy ebből a szomszédságból minden X pontra teljesülnek az f(X)f(X (0)) () egyenlőtlenségek.
Ha ezeket az egyenlőtlenségeket szigorúan kielégítjük, akkor a szélsőséget nevezzük erős, és ha nem, akkor gyenge.
Figyeljük meg, hogy az így definiált szélsőség az helyi karakter, mivel ezek az egyenlőtlenségek csak a szélsőpont valamely környékére érvényesek.
A z=f(x 1, . . ., x n) differenciálható függvény lokális szélsőértékének szükséges feltétele egy pontban, hogy az összes elsőrendű parciális derivált nullával egyenlő ebben a pontban: 
.
Azokat a pontokat, ahol ezek az egyenlőségek fennállnak, nevezzük helyhez kötött.
Más módon a szélsőséghez szükséges feltétel a következőképpen fogalmazható meg: a szélsőponton a gradiens nullával egyenlő. Egy általánosabb állítás bizonyítása is lehetséges - a szélsőponton a függvény deriváltjai minden irányban eltűnnek.
A helyhez kötött pontokat további vizsgálatoknak kell alávetni - hogy teljesülnek-e a lokális szélsőségek létezésének elegendő feltételei. Ehhez határozza meg a másodrendű differenciál előjelét. Ha bármelyik nem egyenlő nullával, az mindig negatív (pozitív), akkor a függvénynek van maximuma (minimum). Ha nem csak nulla lépésenként tűnhet el, akkor a szélsőség kérdése nyitva marad. Ha pozitív és negatív értékeket is felvehet, akkor az álló pontban nincs szélsőség.
Általános esetben a differenciál előjelének meghatározása meglehetősen bonyolult probléma, amelyet itt nem fogunk figyelembe venni. Két változó függvényére bebizonyíthatjuk, hogy ha egy stacionárius pontban 
, akkor van egy extrémum. Ebben az esetben a második differenciál előjele egybeesik az előjellel 
, azaz ha 
, akkor ez a maximum, és ha 
, akkor ez a minimum. Ha egy 
, akkor ezen a ponton nincs extrémum, és ha 
, akkor az extrémum kérdése nyitva marad.
1. példa. Keresse meg egy függvény szélsőértékét 
.
Keressünk parciális deriváltokat a logaritmikus differenciálás módszerével.
ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)
Hasonlóképpen 
.
Keressünk stacionárius pontokat az egyenletrendszerből:
Így négy stacionárius pont (1; 1), (1; -1), (-1; 1) és (-1; -1) található.
Keressük a másodrendű parciális származékokat:
ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2 ln (1 + x 2)
Hasonlóképpen 
;
.
Mert 
, kifejezés jele 
csak attól függ 
. Figyeljük meg, hogy mindkét deriváltban a nevező mindig pozitív, így csak a számláló előjelét vehetjük figyelembe, vagy akár az x (x 2 - 3) és y (y 2 - 3) kifejezések előjelét is. Határozzuk meg minden kritikus pontban, és ellenőrizzük az elégséges szélsőfeltétel teljesülését.
Az (1; 1) pontra 1*(1 2 - 3) = -2< 0. Т.к. произведение
двух отрицательных чисел
> 0, és 
<
0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он
равен
=
2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) =
= 8/4
= 2.
Az (1; -1) pontra azt kapjuk, hogy 1*(1 2 - 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3)
= 2 >0. Mert ezeknek a számoknak a szorzata 
< 0, в этой точке экстремума нет.
Аналогично можно показать, что нет
экстремума в точке (-1; 1).
A (-1; -1) pontra azt kapjuk, hogy (-1)*((-1) 2 - 3) = 2 > 0. két pozitív szám szorzata 
> 0, és 
> 0, a (-1; -1) pontban minimumot találhatunk. Ez egyenlő 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.
megtalálja globális a maximum vagy minimum (a függvény legnagyobb vagy legkisebb értéke) valamivel bonyolultabb, mint a lokális szélsőérték, mivel ezek az értékek nem csak stacionárius pontokon érhetők el, hanem a definíciós tartomány határán is. Nem mindig könnyű tanulmányozni egy függvény viselkedését ennek a régiónak a határán.
