Vagy aritmetika - ez egyfajta rendezett numerikus sorozat, amelynek tulajdonságait iskolai algebrai tanfolyamon tanulmányozzák. Ez a cikk részletesen tárgyalja az összeg megtalálásának kérdését számtani progresszió.
Mielőtt rátérnénk a kérdés megvitatására (hogyan találjuk meg az aritmetikai progresszió összegét), érdemes megérteni, hogy miről lesz szó.
Bármilyen sorrend valós számok, amelyet úgy kapunk, hogy minden előző számból hozzáadunk (kivonunk) valamilyen értéket, algebrai (számtani) progressziónak nevezzük. Ez a definíció a matematika nyelvére lefordítva a következő formát ölti:
Itt az i az a i sorozat elemének sorszáma. Így egyetlen kezdő szám ismeretében könnyedén visszaállíthatja a teljes sorozatot. A képletben szereplő d paramétert progressziós különbségnek nevezzük.
Könnyen kimutatható, hogy a következő egyenlőség áll fenn a vizsgált számsorra:
a n \u003d a 1 + d * (n - 1).
Azaz az n-edik elem értékének sorrendben történő megtalálásához adjuk hozzá a d különbséget az első a elemhez 1 n-1-szer.
Mielőtt megadná a képletet a feltüntetett mennyiségre, érdemes megfontolni egy egyszerűt különleges eset. Dana progressziója természetes számok 1-től 10-ig, meg kell találnia az összegüket. Mivel kevés tag van a (10) progresszióban, lehetséges a probléma eleve megoldása, azaz az összes elem sorrendben történő összegzése.
S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.
Érdemes megfontolni egy érdekes dolgot: mivel minden tag ugyanazzal a d \u003d 1 értékkel különbözik a következőtől, akkor az első páronkénti összegzése a tizeddel, a második a kilenceddel és így tovább ugyanazt az eredményt adja. . Igazán:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Amint látja, ebből az összegből csak 5 van, vagyis pontosan kétszer kevesebb, mint a sorozat elemeinek száma. Ezután megszorozva az összegek számát (5) az egyes összegek eredményével (11), akkor az első példában kapott eredményhez jutunk.
Ha ezeket az argumentumokat általánosítjuk, a következő kifejezést írhatjuk fel:
S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.
Ez a kifejezés azt mutatja, hogy egyáltalán nem szükséges az összes elemet egy sorban összeadni, elég tudni az első a 1 és az utolsó a n értékét, valamint az n tagok számát.
Úgy gondolják, hogy Gauss akkor gondolt először erre az egyenlőségre, amikor az iskolai tanára által felállított problémára keresett megoldást: az első 100 egész szám összegzésére.
Az elõzõ bekezdésben megadott képlet választ ad arra a kérdésre, hogy hogyan találjuk meg az elsõ elemek számtani sorozatának összegét, de a feladatokban gyakran szükséges egy számsort összegezni a haladás közepén. Hogyan kell csinálni?
A kérdés megválaszolásának legegyszerűbb módja a következő példa: legyen szükség az m-től az n-ig terjedő tagok összegének megkeresésére. A probléma megoldásához a progresszió egy adott m-től n-ig terjedő szakaszát új számsorként kell ábrázolni. Egy ilyen előadásban mth tag a m lesz az első, egy n pedig n-(m-1) lesz számozva. Ebben az esetben az összeg standard képletét alkalmazva a következő kifejezést kapjuk:
S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Tudva, hogyan találjuk meg egy aritmetikai sorozat összegét, érdemes megfontolni egy egyszerű példát a fenti képletek használatára.
Az alábbiakban egy numerikus sorozat látható, amelynek tagjainak összegét kell megtalálnia, az 5-től kezdve a 12-ig:
A megadott számok azt jelzik, hogy a d különbség egyenlő 3-mal. Az n-edik elemre vonatkozó kifejezést használva megtalálhatja a progresszió 5. és 12. tagjának értékét. Kiderül:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 = a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.
A figyelembe vett számok végén lévő számok értékének ismerete algebrai progresszió, és annak tudatában, hogy a sorban mely számokat foglalják el, használhatja az előző bekezdésben kapott összeg képletét. Kap:
S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Érdemes megjegyezni, hogy ezt az értéket másképpen is meg lehet kapni: először keresse meg az első 12 elem összegét a standard képlet segítségével, majd számítsa ki az első 4 elem összegét ugyanazzal a képlettel, majd vonja ki a másodikat az első összegből. .
Az aritmetikai progressziós problémák ősidők óta léteztek. Megjelentek és megoldást követeltek, mert gyakorlati igényük volt.
Tehát az egyik papiruszban Az ókori Egyiptom, melynek matematikai tartalma - a Rhind papirusz (Kr. e. XIX. század) - a következő feladatot tartalmazza: osszon el tíz mérték kenyeret tíz emberre, feltéve, hogy a különbség köztük egy nyolcad mérték.
Az ókori görögök matematikai munkáiban pedig elegáns tételek találhatók az aritmetikai progresszióval kapcsolatban. Tehát Alexandriai Gipsicles (II. század, ami sok volt érdekes feladatokatés hozzáadva a tizennegyedik könyvet Eukleidész elemeihez, megfogalmazta az ötletet: "Páros számú tagú aritmetikai sorozatban a 2. fele tagjainak összege 1 négyzetével nagyobb, mint az 1. rész tagjainak összege. /2 taglétszám."
Az an sorozatot jelöljük. A sorozat számait tagjainak nevezik, és általában betűkkel jelölik, amelyek az adott tag sorozatszámát jelzik (a1, a2, a3 ... olvasható: „a 1.”, „a 2.”, „a 3.” és így tovább).
A sorozat lehet végtelen vagy véges.
Mi az aritmetikai progresszió? Ez úgy értendő, hogy az előző (n) tagot összeadjuk azonos d számmal, ami a progresszió különbsége.
Ha d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, akkor az ilyen előrehaladást növekvőnek tekintjük.
Egy aritmetikai progressziót végesnek mondunk, ha csak néhány első tagját vesszük figyelembe. Nagyon nagy számban tagok már végtelen haladás.
Bármely aritmetikai progressziót a következő képlet adja meg:
an =kn+b, míg b és k néhány szám.
Az állítás, ami ennek az ellenkezője, teljesen igaz: ha a sorozatot hasonló képlettel adjuk meg, akkor ez pontosan egy aritmetikai sorozat, amelynek a következő tulajdonságai vannak:
Egy aritmetikai sorozat tetszőleges négy számának jellemző tulajdonsága kifejezhető az an + am = ak + al képlettel, ha n + m = k + l (m, n, k a haladás számai).
Egy aritmetikai progresszióban bármely szükséges (N-edik) tag megtalálható a következő képlet alkalmazásával:
Például: az első tag (a1) egy aritmetikai sorozatban adott és egyenlő hárommal, a különbség (d) pedig négy. Meg kell találnia ennek a folyamatnak a negyvenötödik tagját. a45 = 1+4(45-1)=177
Az an = ak + d(n - k) képlet lehetővé teszi, hogy meghatározzuk n-edik tag számtani progresszió bármely k-edik tagján keresztül, feltéve, hogy ez ismert.
Egy aritmetikai sorozat tagjainak összegét (a végső progresszió 1. n tagját feltételezve) a következőképpen számítjuk ki:
Sn = (a1+an) n/2.
Ha az 1. tag is ismert, akkor egy másik képlet kényelmes a számításhoz:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
Az n tagot tartalmazó aritmetikai progresszió összegét a következőképpen számítjuk ki:
A számítási képletek kiválasztása a feladatok feltételeitől és a kiindulási adatoktól függ.
Bármely szám természetes sorozata, például 1,2,3,...,n,... a számtani sorozat legegyszerűbb példája.
A számtani progresszió mellett létezik egy geometriai is, amelynek megvannak a maga tulajdonságai és jellemzői.
Aritmetikai progresszió nevezzen meg egy számsorozatot (egy progresszió tagjait)
Amelyben minden következő tag egy acéltaggal különbözik az előzőtől, amit szintén ún lépés vagy progresszió különbség.
Így a progresszió lépésének és első tagjának beállításával bármelyik elemét megtalálhatja a képlet segítségével
1) A számtani sorozat minden tagja a második számtól kezdve a sorozat előző és következő tagjának számtani átlaga
Ennek fordítva is igaz. Ha a haladás szomszédos páratlan (páros) tagjainak számtani átlaga egyenlő a közöttük lévő taggal, akkor ez a számsorozat egy aritmetikai haladás. Ezzel az állítással nagyon könnyen ellenőrizhető bármilyen sorrend.
A fenti képlet az aritmetikai progresszió tulajdonsága alapján is általánosítható a következőkre
Ez könnyen ellenőrizhető, ha a kifejezéseket az egyenlőségjel jobb oldalára írjuk
A gyakorlatban gyakran használják a feladatok egyszerűsítésére.
2) Egy aritmetikai sorozat első n tagjának összegét a képlet számítja ki
Emlékezzen jól az aritmetikai sorozat összegének képletére, ez nélkülözhetetlen a számításokban, és meglehetősen gyakori az egyszerű élethelyzetekben.
3) Ha nem a teljes összeget, hanem a sorozat egy részét kell megtalálni a k-edik tagjától kezdve, akkor a következő összegképlet jól fog jönni
4) Gyakorlatilag érdekes megtalálni a k-adik számból kiinduló számtani sorozat n tagjának összegét. Ehhez használja a képletet
Itt ér véget az elméleti anyag, és áttérünk a gyakorlatban gyakori problémák megoldására.
Példa 1. Keresse meg a 4;7 számtani sorozat negyvenedik tagját;...
Megoldás:
A feltételek szerint megvan
Határozza meg a haladási lépést
A jól ismert képlet szerint megtaláljuk a progresszió negyvenedik tagját
Példa2. A számtani progressziót annak harmadik és hetedik tagja adja meg. Keresse meg a progresszió első tagját és a tíz összegét!
Megoldás:
A haladás adott elemeit a képletek szerint írjuk fel
Az első egyenletet kivonjuk a második egyenletből, így megkapjuk a progresszió lépését
A talált értéket behelyettesítjük bármelyik egyenletbe, hogy megtaláljuk az aritmetikai sorozat első tagját
Számítsa ki a progresszió első tíz tagjának összegét!
Összetett számítások alkalmazása nélkül minden szükséges értéket megtaláltunk.
3. példa Egy aritmetikai sorozatot a nevező és annak egyik tagja ad meg. Keresse meg a progresszió első tagját, annak 50-től kezdődő 50 tagjának összegét és az első 100 összegét.
Megoldás:
Írjuk fel a progresszió századik elemének képletét
és találd meg az elsőt
Az első alapján megtaláljuk a progresszió 50. tagját
A progresszió részének összegének megkeresése
és az első 100 összege
A progresszió összege 250.
4. példa
Határozza meg egy aritmetikai sorozat tagjainak számát, ha:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Megoldás:
Az egyenleteket az első tag és a progresszió lépése szerint írjuk fel, és definiáljuk őket
A kapott értékeket behelyettesítjük az összegképletbe, hogy meghatározzuk az összegben szereplő tagok számát
Egyszerűsítések készítése
és döntsön másodfokú egyenlet
A két talált érték közül csak a 8-as szám felel meg a probléma állapotának. Így a progresszió első nyolc tagjának összege 111.
5. példa
oldja meg az egyenletet
1+3+5+...+x=307.
Megoldás: Ez az egyenlet egy aritmetikai progresszió összege. Kiírjuk az első tagját, és megtaláljuk a progresszió különbségét
Utasítás
Az aritmetikai sorozat az a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d formájú sorozat. d számú lépés progressziók.Nyilvánvalóan az aritmetika tetszőleges n-edik tagjának összege progressziók alakja: An = A1+(n-1)d. Aztán ismerve az egyik tagot progressziók, tag progressziókés lépj progressziók, lehet , azaz a progressziós tag száma. Nyilvánvalóan az n = (An-A1+d)/d képlet határozza meg.
Legyen most ismert az m-edik tag progressziókés néhány másik tagja progressziók- n-edik, de n , mint az előző esetben, de ismert, hogy n és m nem egyezik. progressziók képlettel számítható ki: d = (An-Am)/(n-m). Ekkor n = (An-Am+md)/d.
Ha egy aritmetika több elemének összege progressziók, valamint az első és az utolsó , akkor ezeknek az elemeknek a száma is meghatározható Az aritmetika összege progressziók egyenlő lesz: S = ((A1+An)/2)n. Ekkor n = 2S/(A1+An) chdenov progressziók. Felhasználva azt a tényt, hogy An = A1+(n-1)d, ez a képlet átírható így: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Ebből ki lehet fejezni n-t egy másodfokú egyenlet megoldásával.
A számtani sorozat olyan rendezett számhalmaz, amelynek minden tagja az első kivételével ugyanannyival különbözik az előzőtől. Ezt az állandót a haladás vagy lépése különbségének nevezzük, és az aritmetikai progresszió ismert tagjaiból számítható ki.
Utasítás
Ha az első és a második vagy bármely más szomszédos tag pár értéke ismert a feladat feltételeiből, a különbség kiszámításához (d) egyszerűen vonja ki az előző tagot a következő tagból. A kapott érték lehet pozitív vagy negatív – ez attól függ, hogy a progresszió növekszik-e. Általános formában írja fel a megoldást a haladás szomszédos tagjainak tetszőleges párjára (aᵢ és aᵢ₊₁) a következőképpen: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.
Egy ilyen haladás tagpárjára, amelyek közül az egyik az első (a1), a másik pedig bármely más, tetszőlegesen kiválasztott, egy képletet is készíthetünk a (d) különbség megállapítására. Ebben az esetben azonban ismerni kell a sorozat egy tetszőlegesen kiválasztott tagjának sorszámát (i). A különbség kiszámításához adja össze mindkét számot, és az eredményt ossza el egy tetszőleges tag eggyel csökkentett sorszámával. NÁL NÉL Általános nézetírja fel ezt a képletet így: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).
Ha az aritmetikai sorozat i sorszámú tetszőleges tagja mellett egy másik u sorszámú tag is ismert, akkor ennek megfelelően változtassa meg az előző lépés képletét. Ebben az esetben a progresszió különbsége (d) ennek a két tagnak az összege lesz osztva a sorszámuk különbségével: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).
A (d) különbség kiszámításának képlete némileg bonyolultabbá válik, ha az első tagjának (a₁) értékét és a számtani sorozat első tagjainak adott számának (i) összegét (Sᵢ) megadjuk a következő feltételek mellett. a probléma. A kívánt érték eléréséhez el kell osztani az összeget az azt alkotó tagok számával, kivonni a sorozat első számának értékét, és megduplázni az eredményt. A kapott értéket osszuk el az eggyel csökkentett összeget alkotó tagok számával. Általában írja le a diszkrimináns kiszámításának képletét a következőképpen: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).
Figyelem!
Vannak további
anyag az 555. külön szakaszban.
Azoknak, akik erősen "nem nagyon..."
És azoknak, akik "nagyon...")
Az aritmetikai sorozat olyan számsor, amelyben minden szám ugyanannyival nagyobb (vagy kisebb), mint az előző.
Ez a téma gyakran nehéz és érthetetlen. Betűindexek, a haladás n-edik tagja, a progresszió különbsége - mindez valahogy zavaró, igen ... Találjuk ki az aritmetikai progresszió jelentését, és minden azonnal megoldódik.)
Az aritmetikai progresszió egy nagyon egyszerű és világos fogalom. Kétség? Hiába.) Nézd meg magad.
Leírok egy befejezetlen számsort:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Meg tudod hosszabbítani ezt a sort? Milyen számok lesznek ezután az ötös után? Mindenki... ööö..., egyszóval mindenki rájön, hogy a 6, 7, 8, 9 stb. számok tovább mennek.
Bonyolítsuk a feladatot. Adok egy befejezetlen számsort:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Megkaphatja a mintát, kiterjesztheti a sorozatot és elnevezheti hetedik sorszám?
Ha rájött, hogy ez a szám 20 - gratulálok! Nem csak érezted Főbb pontok aritmetikai progresszió, hanem sikeresen alkalmazta őket az üzleti életben is! Ha nem érted, olvass tovább.
Most fordítsuk le az érzések kulcsfontosságú pontjait a matematikára.)
Első kulcspont.
Az aritmetikai progresszió számsorokkal foglalkozik. Ez elsőre zavaró. Hozzászoktunk, hogy egyenleteket oldjunk meg, grafikonokat építsünk és minden ilyesmit... Aztán kibővítjük a sorozatot, megkeressük a sorozat számát...
Ez rendben van. Csak hát a progresszió az első ismerkedés a matematika egy új ágával. A szakasz neve "Sorozat", és számsorokkal és kifejezésekkel működik. Hozzászokik.)
Második kulcspont.
A számtani sorozatban bármely szám eltér az előzőtől ugyanennyivel.
Az első példában ez a különbség egy. Bármelyik számot is választja, az eggyel több, mint az előző. A másodikban - három. Bármely szám háromszor nagyobb, mint az előző. Valójában ez a pillanat az, amely lehetőséget ad arra, hogy elkapjuk a mintát, és kiszámítsuk a következő számokat.
Harmadik kulcsfontosságú pont.
Ez a pillanat nem feltűnő, igen... De nagyon-nagyon fontos. Itt van: minden progressziószám a helyén van. Van az első szám, van a hetedik, van a negyvenötödik, és így tovább. Ha véletlenül összekeveri őket, a minta eltűnik. Az aritmetikai progresszió is eltűnik. Ez csak egy számsor.
Ez az egész lényeg.
Természetesen be új témaúj kifejezések és jelölések jelennek meg. Tudniuk kell. Ellenkező esetben nem fogja megérteni a feladatot. Például valamit el kell döntenie:
Írja fel az aritmetikai sorozat (a n) első hat tagját, ha a 2 = 5, d = -2,5.
Inspirál?) Levelek, néhány tárgymutató... És a feladat egyébként nem is lehetne könnyebb. Csak meg kell értened a kifejezések és a jelölések jelentését. Most elsajátítjuk ezt a kérdést, és visszatérünk a feladathoz.
Aritmetikai progresszió olyan számsor, amelyben minden szám különbözik az előzőtől ugyanennyivel.
Ezt az értéket hívják . Foglalkozzunk ezzel a fogalommal részletesebben.
Aritmetikai progresszió különbség az az összeg, amellyel bármely progressziós szám több az előzőt.
Egy fontos pont. Kérjük, figyeljen a szóra "több". Matematikailag ez azt jelenti, hogy minden progressziószámot megkapunk hozzátéve egy aritmetikai sorozat különbsége az előző számhoz képest.
A számításhoz mondjuk második sorszámokat, akkor szükséges első szám add hozzá ez a különbség az aritmetikai sorozatban. Számításhoz ötödik- a különbség szükséges add hozzá nak nek negyedik hát stb.
Aritmetikai progresszió különbség lehet pozitív akkor a sorozat minden száma valódinak bizonyul több, mint az előző. Ezt a progressziót ún növekvő. Például:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Itt van minden szám hozzátéve pozitív szám, +5 az előzőhöz.
A különbség lehet negatív akkor a sorozat minden száma az lesz kevesebb, mint az előző. Ezt a folyamatot úgy hívják (nem hiszed el!) csökkenő.
Például:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Itt is minden számot kapunk hozzátéve az előző, de már negatív számra, -5.
Mellesleg, ha progresszióval dolgozunk, nagyon hasznos azonnal meghatározni annak jellegét - hogy növekszik vagy csökken. Sokat segít eligazodni a döntésben, feltárni a hibáidat és kijavítani, mielőtt túl késő lenne.
Aritmetikai progresszió különbségáltalában betűvel jelölik d.
Hogyan lehet megtalálni d? Nagyon egyszerű. A sorozat tetszőleges számából ki kell vonni előző szám. Kivonás. Egyébként a kivonás eredményét "különbségnek" nevezik.)
Határozzuk meg pl. d a növekvő aritmetikai progresszióhoz:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Kivesszük a sor tetszőleges számát, például 11-et. Vonjunk ki belőle az előző szám azok. nyolc:
Ez a helyes válasz. Ennél az aritmetikai sorozatnál a különbség három.
Csak vehetsz tetszőleges számú progresszió, mert egy meghatározott progresszióhoz d-Mindig ugyanaz. Legalább valahol a sor elején, legalább a közepén, legalábbis bárhol. Nem veheti csak a legelső számot. Csak mert a legelső szám nincs előző.)
Egyébként ennek ismeretében d=3, ennek a progressziónak a hetedik számának megtalálása nagyon egyszerű. Hozzáadunk 3-at az ötödik számhoz - megkapjuk a hatodikat, ebből 17 lesz. A hatodik számhoz hozzáadunk hármat, így a hetedik számot kapjuk - húsz.
Határozzuk meg d csökkenő számtani progresszióhoz:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Emlékeztetlek arra, hogy a jelektől függetlenül meg kell határozni d bármely számból szükséges vegye el az előzőt. Tetszőleges számú progressziót választunk, például -7. Korábbi száma -2. Akkor:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Egy aritmetikai sorozat különbsége tetszőleges szám lehet: egész, tört, irracionális, tetszőleges.
A sorozat minden számát hívják egy aritmetikai sorozat tagja.
A progresszió minden tagja száma van. A számok szigorúan sorrendben vannak, minden trükk nélkül. Első, második, harmadik, negyedik stb. Például a 2, 5, 8, 11, 14, ... kettes az első tag, öt a második, tizenegy a negyedik, nos, érted...) Kérem, értse világosan - maguk a számok lehet abszolút bármilyen, egész, töredékes, negatív, bármi, de számozás- szigorúan rendben!
Hogyan írjunk előrehaladást általános formában? Nincs mit! A sorozat minden száma betűként van írva. Az aritmetikai progresszió jelölésére általában a betűt használják a. A tagszámot a jobb alsó sarokban található index jelzi. A tagokat vesszővel (vagy pontosvesszővel) elválasztva írjuk, így:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
egy 1 az első szám a 3- harmadik stb. Semmi trükkös. Ezt a sorozatot röviden így írhatod: (a n).
Vannak előrehaladások véges és végtelen.
Végső a progressziónak korlátozott számú tagja van. Öt, harmincnyolc, bármi. De ez egy véges szám.
Végtelen progresszió – végtelen számú tagja van, ahogy sejtheti.)
Írhatsz egy végső haladást egy ilyen sorozaton keresztül, minden taggal és egy ponttal a végén:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
Vagy így, ha sok tag van:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
Egy rövid bejegyzésben még meg kell adni a tagok számát. Például (húsz tag esetében) így:
(a n), n = 20
A végtelen haladás felismerhető a sor végén lévő ellipszisről, mint az ebben a leckében szereplő példákban.
Most már lehet feladatokat megoldani. A feladatok egyszerűek, pusztán az aritmetikai sorozat jelentésének megértését szolgálják.
Nézzük meg közelebbről a fenti feladatot:
1. Írja fel az aritmetikai sorozat első hat tagját (a n), ha a 2 = 5, d = -2,5!
A feladatot lefordítjuk érthető nyelvre. Adott egy végtelen számtani progresszió. Ennek a haladásnak a második száma ismert: a 2 = 5. Ismert progresszióbeli különbség: d = -2,5. Meg kell találnunk ennek a haladásnak az első, harmadik, negyedik, ötödik és hatodik tagját.
Az érthetőség kedvéért leírok egy sorozatot a probléma állapotának megfelelően. Az első hat tag, ahol a második tag öt:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,...
a 3 = a 2 + d
Behelyettesítjük a kifejezésben a 2 = 5és d=-2,5. Ne felejtsd el a mínuszt!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
A harmadik tag rövidebb, mint a második. Minden logikus. Ha a szám nagyobb, mint az előző negatívértéket, így maga a szám kisebb lesz, mint az előző. A progresszió csökken. Oké, vegyük figyelembe.) Sorozatunk negyedik tagját tekintjük:
egy 4 = a 3 + d
egy 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
egy 5 = egy 4 + d
egy 5=0+(-2,5)= - 2,5
egy 6 = egy 5 + d
egy 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Tehát a harmadiktól a hatodikig terjedő feltételeket kiszámítottuk. Ennek eredménye egy sorozat:
a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....
Már csak az első kifejezést kell megtalálni egy 1 tovább híres második. Ez egy lépés a másik irányba, balra.) Ebből adódik az aritmetikai progresszió különbsége d nem szabad hozzáadni a 2, a elvitel:
egy 1 = a 2 - d
egy 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Ez minden. Feladat válasz:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Mellékesen megjegyzem, hogy ezt a feladatot megoldottuk visszatérőút. Ez a szörnyű szó csak annyit jelent, hogy a fejlődés egy tagját keresik az előző (szomszédos) számmal. A progresszióval való munka egyéb módjairól később lesz szó.
Ebből az egyszerű feladatból egy fontos következtetést lehet levonni.
Emlékezik:
Ha ismerjük egy aritmetikai sorozat legalább egy tagját és különbségét, akkor ennek a sorozatnak bármelyik tagját megtalálhatjuk.
Emlékezik? Ez az egyszerű levezetés lehetővé teszi a legtöbb probléma megoldását iskolai tanfolyam ebben a témában. Minden feladat körül forog három fő paraméterek: egy aritmetikai sorozat tagja, egy szakasz különbsége, egy progresszió tagjának száma. Minden.
Természetesen az összes korábbi algebra nem törlődik.) Egyenlőtlenségek, egyenletek és egyéb dolgok kapcsolódnak a progresszióhoz. De a progresszió szerint- minden három paraméter körül forog.
Vegyünk például néhány népszerű feladatot ebben a témában.
2. Írja fel a végső számtani folyamatot sorozatként, ha n=5, d=0,4 és a 1=3,6.
Itt minden egyszerű. Már minden adott. Emlékeznie kell az aritmetikai sorozat tagjainak kiszámítására, számolására és lejegyzésére. Javasoljuk, hogy ne hagyja ki a feladatfeltételben szereplő szavakat: "végső" és " n=5". Hogy ne számoljon addig, amíg teljesen elkékül az arca.) Csak 5 (öt) tag van ebben a folyamatban:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 \u003d 4,4
egy 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
egy 5 = egy 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Már csak le kell írni a választ:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Egy másik feladat:
3. Határozza meg, hogy a 7-es szám tagja-e egy aritmetikai sorozatnak (a n), ha a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.
Hmm... Ki tudja? Hogyan definiáljunk valamit?
Hogyan-hogyan... Igen, írd le a haladást sorozat formájában, és nézd meg, lesz-e hetes vagy sem! Hisszük:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 \u003d 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
egy 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Most már jól látható, hogy csak heten vagyunk átcsúszott 6,5 és 7,7 között! A hetes nem került be a számsorunkba, így a hetes nem lesz tagja az adott haladásnak.
Válasz: nem.
És itt van egy feladat, amely a GIA valódi verzióján alapul:
4. Az aritmetikai sorozat több egymást követő tagja van kiírva:
...; tizenöt; X; 9; 6; ...
Itt van egy sorozat kezdet és vége nélkül. Nincs tagszám, nincs különbség d. Ez rendben van. A probléma megoldásához elég megérteni egy aritmetikai sorozat jelentését. Lássuk és lássuk, mit tudunk tudni ebből a sorból? Melyek a három fő paraméter paraméterei?
Tagszámok? Itt nincs egyetlen szám sem.
De van három szám és - figyelem! - szó "egymást követő"állapotban. Ez azt jelenti, hogy a számok szigorúan rendben vannak, hézagok nélkül. Kettő van ebben a sorban? szomszédos ismert számok? Igen van! Ezek 9 és 6. Így ki tudjuk számolni egy számtani sorozat különbségét! A hatból kivonjuk előző szám, azaz kilenc:
Maradtak üres helyek. Melyik lesz az előző szám x-hez? Tizenöt. Tehát x könnyen megtalálható egyszerű összeadással. A 15-höz hozzáadjuk az aritmetikai sorozat különbségét:
Ez minden. Válasz: x=12
Az alábbi problémákat magunk oldjuk meg. Megjegyzés: ezek a rejtvények nem képletekhez valók. Pusztán azért, hogy megértsük a számtani sorozat jelentését.) Csak felírunk egy sor számot-betűt, nézzünk és gondolkodjunk.
5. Határozza meg az aritmetikai sorozat első pozitív tagját, ha a 5 = -3; d = 1,1.
6. Ismeretes, hogy az 5,5 szám az aritmetikai sorozat (a n) tagja, ahol a 1 = 1,6; d = 1,3. Határozzuk meg ennek a tagnak az n számát!
7. Ismeretes, hogy egy aritmetikai sorozatban a 2 = 4; a 5 \u003d 15,1. Keress egy 3-ast.
8. A számtani sorozat több egymást követő tagját kiírjuk:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Keresse meg a progresszió tagját, amelyet x betű jelöl!
9. A vonat elindult az állomásról, fokozatosan, percenként 30 méterrel növelve a sebességét. Mekkora lesz a vonat sebessége öt perc múlva? Válaszát km/h-ban adja meg.
10. Ismeretes, hogy egy aritmetikai sorozatban a 2 = 5; a 6 = -5. Keress egy 1.
Válaszok (rendetlenségben): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; négy.
Minden sikerült? Csodálatos! A számtani progressziót többet is elsajátíthat magas szint, a következő leckékben.
Nem sikerült minden? Nincs mit. A Speciális 555. szakaszban mindezek a feladványok darabonként vannak lebontva.) És természetesen egy egyszerű gyakorlati technika is le van írva, amely azonnal világosan, világosan kiemeli az ilyen feladatok megoldását, mint a tenyerében!
Mellesleg, a vonattal kapcsolatos rejtvényben két olyan probléma van, amelyeken az emberek gyakran megbotlik. Az egyik - pusztán a progresszió szerint, a második - minden matematikai és fizika feladatra jellemző. Ez a dimenziók egyikről a másikra fordítása. Megmutatja, hogyan kell ezeket a problémákat megoldani.
Ebben a leckében egy aritmetikai progresszió elemi jelentését és főbb paramétereit vizsgáltuk. Ez elég ahhoz, hogy megoldja szinte az összes problémát ebben a témában. Hozzáadás d a számokhoz, írj egy sorozatot, minden eldől.
Az ujjmegoldás jól működik a sorozat nagyon rövid darabjainál, mint az ebben a leckében található példákban. Ha a sorozat hosszabb, a számítások bonyolultabbá válnak. Például, ha a kérdésben a 9. feladatban van, cserélje ki "öt perc" a "harmincöt perc" a probléma sokkal súlyosabb lesz.)
És vannak olyan feladatok is, amelyek lényegében egyszerűek, de számítási szempontból teljesen abszurdak, például:
Adott egy aritmetikai sorozat (a n). Keressen 121-et, ha 1 = 3 és d = 1/6.
És mi van, sokszor-sokszor adjuk hozzá az 1/6-ot?! Lehetséges öngyilkosság!?
Tudod.) Ha nem tudod egyszerű képlet, mely szerint egy perc alatt olyan feladatokat is megoldhat. Ez a képlet a következő leckében lesz. És ott ez a probléma megoldódik. Egy perc.)
Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)
Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)
függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.
