Koksunova Ilyana
O trabalho educacional e de pesquisa de um aluno da 8ª série examina a história da origem das frações. A obra examina a história da notação moderna de frações e a origem dos nomes de algumas frações.
Ministério da Educação e Ciência
REPÚBLICA DA CALMÍQUIA
DISTRITO DE TSELINNY
MOKU "KHAR - ESCOLA SECUNDÁRIA BULUK"
Trabalho educacional e de pesquisa:
“HISTÓRIA DAS FRAÇÕES”
Aluno do 8º ano.
Supervisor : Muchkaeva Elena Chudeevna, professor de matemática.
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Mas não há tom aritmético,
Já em todo réu,
E em frações não é nada
É possível responder.
Aí, oh, você se alegra,
Ser capaz de estar em partes.
L. F. Magnitsky
I. Introdução.
As frações surgem quando um número natural é dividido em partes iguais: em duas, em três partes, em dez partes, etc. Mas não basta saber o que é uma fração. Você precisa ser capaz de compará-los, realizar operações com frações e resolver todos os tipos de problemas com frações.
Desde os tempos antigos, as pessoas tinham que não apenas contar objetos (o que exigia números naturais), mas também medir comprimento, tempo, área e fazer pagamentos por bens comprados ou vendidos. Nem sempre foi possível expressar o resultado de uma medição ou o custo de um produto em um número natural. Foi necessário levar em conta partes, frações de medidas . Foi assim que surgiram as frações. Na vida prática, as frações são absolutamente necessárias. À medida que surgiram ideias sobre números naturais, surgiram ideias sobre frações de unidades, ou melhor, frações de um objeto concreto inteiro. Assim, o surgimento da ideia do número 2 implicou a ideia de meio, meio de meio, etc. O aparecimento do número natural n deu origem à ideia de uma fração da formaque agora é chamado alíquota, ou genérico, ou principal.
II. Metas e objetivos do estudo.
Alvo : 1. Estude a história das frações.
2. Estudar a história do sistema de notação e nomes de frações em diferentes países.
Para atingir esse objetivo, estabeleci o seguinte tarefas:
III. Local e duração do estudo: 1 ano.
aldeia Khar - Buluk
Muitas vezes as pessoas têm que dividir um todo em partes. A parte mais famosa é, claro, a metade. Palavras com o prefixo “gênero” podem ser ouvidas, talvez, todos os dias: meia hora, meio quilo, meio pão.
Mas existem outras batidas comuns. Por exemplo, um quarto, um décimo, um centésimo. Quando os lóbulos são formados? Quando um objeto (um pão, uma folha de papel) ou uma unidade de medida (uma hora, um quilograma) é dividido em partes iguais. Uma fração é cada uma das partes iguais de uma unidade. O nome da ação depende de quantas partes iguais a unidade está dividida. Dividimos o nome da ação “metade” em duas partes, em três – “terceiro”, em quatro – “trimestre”. E se houver cinco, seis, sete partes, então as palavras “quinto, sexto, sétimo” são usadas, etc. Os quartos são chamados de quartos, os terços são chamados de terços e as metades são chamadas de segundas partes.
Para gravar qualquer batida, use uma linha horizontal. É chamada de barra fracionária. Uma unidade é colocada acima dela e o número de partes iguais em que a unidade está dividida é escrito abaixo da linha. Por exemplo, a segunda, a vigésima primeira, a centésima quinta batidas são escritas:, . Eles lêem: “um segundo”, “um vigésimo primeiro”, “centésimo quinto”. Se o número de partes iguais em que uma unidade é dividida for indicado pela letra n , então esta carta é escrita sob a linha fracionária:. Eles lêem: “um enésimo”.
Por que os compartilhamentos são necessários? A resposta é muito simples: ao medir quantidades, muitas vezes é impossível usar apenas unidades inteiras. Imagine, por exemplo, que só pudéssemos usar metros inteiros para medir comprimento. Como então seríamos capazes de medir a altura de uma pessoa? Ou desempenho atlético no salto? Nesses casos, são utilizados centímetros.
E em tecnologia muitas vezes precisamos de frações menores de metro - milésimos. Eles, como você sabe, são chamados de milímetros. E frações maiores de metro são úteis, por exemplo, décimos. Como as frações são feitas de frações? Tomemos, por exemplo, o número dois nonos. Não é um número natural, mas não é uma fração de um. Esta é a soma de duas partes iguais. Para números que são frações ou somas de frações, use o nome comum - números fracionários . Os números fracionários são chamados simplesmente frações
UMA FRAÇÃO É UMA AÇÃO OU A SOMA DE VÁRIAS PARTES IDÊNTICAS. Portanto, o número “dois nonos” é uma fração. Está escrito em números:. Fração igual à soma de duas nonas idênticas: = .
Para escrever uma fração, use uma reta fracionária e dois números naturais. Sob a linha fracionária eles escrevem denominador frações Mostra quais partes constituem uma fração. Está escrito acima da linha numerador frações Mostra de quantas partes a fração é a soma.
Nas fontes escritas mais antigas que chegaram até nós - tábuas de argila da Babilônia e papiros egípcios - são encontrados não apenas números naturais, mas também frações.
As frações eram necessárias para expressar o resultado da medição de comprimento, massa e área nos casos em que a unidade de medida não cabia no valor medido um número inteiro de vezes.
Em seguida, uma nova unidade de medida menor foi introduzida. Os nomes dessas novas unidades de medida tornaram-se os primeiros nomes das frações. Por exemplo, fraçãoainda chamado de "metade"; entre os romanos, a palavra “onça” era primeiro o nome da décima segunda parte de uma unidade de massa, mas depois a onça começou a significar um duodécimo de qualquer valor (eles disseram: “Sete onças do caminho”, ou seja, sete duodécimos do caminho).
Em russo a palavra " fração "apareceu no século VIII, veio do verbo “esmagar” - quebrar, quebrar em pedaços. Nos primeiros livros didáticos de matemática (no século XVII), as frações eram chamadas de “números quebrados”. Entre outros povos, o nome de fração também está associado aos verbos “quebrar”, “quebrar”, “esmagar”.
A notação moderna para frações tem origem na Índia antiga; Os árabes também começaram a usá-lo e deles, nos séculos XII e XIV, foi emprestado pelos europeus. No início, barras de fração não eram usadas para escrever frações; por exemplo números houve 2 gravados assim . A linha de fração só entrou em uso regular há cerca de 300 anos. O primeiro cientista europeu acomeçou a usar e distribuir notação moderna para frações, era um comerciante e viajante italiano, filho de um escrivão municipal Fibonacci ( Leonardo de Pisa). Em 1202 ele introduziu a palavra "fração". Títulos " numerador" e "denominador" foram introduzidos no século 13 por Maxim Planud - Monge grego, cientista - matemático.
O aparecimento de frações alíquotas é muito característico do desenvolvimento inicial do conceito de número em qualquer civilização antiga. Este é o primeiro aparecimento de frações como resultado do processo de divisão de um todo em partes; Isso pode explicar o aparecimento de frações alíquotas da formapara n pequeno (por exemplo, n= 2, 3, 4, 6, 8,10), porque dividir uma unidade por um número maior dificilmente era encontrado na prática da época.
Outra (principal) fonte de surgimento de frações é o processo de medição, que surgiu junto com a contagem. Qualquer medição é sempre baseada em alguma quantidade (comprimento, volume, peso, etc.). A escolha de uma ou outra unidade, que serve de base a um sistema de medidas, é determinada pela situação histórica específica.
As medidas em seu desenvolvimento passaram aproximadamente pelos mesmos estágios que os números. Nos primeiros estágios do desenvolvimento da sociedade humana, as medições eram feitas “a olho”. Com o maior desenvolvimento da sociedade, surgiram algumas medidas naturais: comprimento do pé, largura da palma, etc.
A existência de tais medidas antigas é evidenciada pelos nomes das medidas de comprimento que sobreviveram até hoje. Tais medidas são pés (comprimento do pé), polegada (a largura do polegar na base), quintal, côvado (distância da ponta dos dedos até o cotovelo), palma (largura da palma).
De todas as medidas de comprimento, ela entrou com mais firmeza na vida do povo russo Arshin . (Deve-se notar que a duração das medidas variou dependendo do terreno e das condições de aplicação). Isso é evidenciado por um grande número de ditos e expressões do discurso popular: “meça pelo seu próprio arshin”, “como se o arshin tivesse engolido”, etc. A necessidade de medições mais precisas fez com que as unidades de medida originais passassem a ser divididas em duas, três, etc. peças. Como resultado da fragmentação, unidades de medida menores receberam nomes individuais e as quantidades começaram a ser medidas nessas unidades menores.
Foi assim que surgiram as primeiras frações de concreto como parte de certas medidas específicas. Só muito mais tarde os nomes dessas frações concretas começaram a ser usados para designar as mesmas partes de quantidades e, depois, para frações abstratas.
Há todos os motivos para acreditar que originalmente existiam apenas frações binárias. Mais tarde eles se juntarame suas subdivisões binárias. Assim, dividir um arshin em 16 vershoks atende ao requisito de que, , , as ações seriam expressas em números inteiros de vershoks. Este sistema binário de divisão da unidade básica é claramente expresso no antigo sistema russo de medição de campos e algumas outras quantidades. Então, no século XV. o arado passou a ser usado como unidade de medida para áreas de campo (arado = 800 quartos; quarto =dízimos), bem como meio arado, meio arado (meio arado), meio arado, etc.
Em conexão com a divisão de várias unidades de medida em partes, frações da forma eram difundidas na Rússia: metade =, metade = , metade = , piso – metade = , andar – andar – metade ou número pequeno =, terceiro = , meio terço = , meio meio terço = , meio meio meio terço ou terço pequeno = etc.
Na Antiga Babilônia as frações eram sexagesimais, ou seja, eram escritas, por exemplo, na forma de 4; 52; 03. Isso significava: 4+ + .
Os babilônios só trabalhavam com frações sexagesimais. Porque Os denominadores de tais frações são os números 60, 60 2 , 60 3 etc., então frações como, não puderam ser expressos com precisão por meio de sexagesimais: foram expressos aproximadamente por meio deles. Porque O sistema numérico dos babilônios era posicional; eles trabalhavam com frações sexagesimais usando as mesmas tabelas dos números naturais.
As frações sexagesimais, herdadas da Babilônia, foram usadas por matemáticos e astrônomos gregos e árabes. Mas era inconveniente trabalhar com números naturais escritos no sistema decimal e frações escritas no sistema sexagesimal. Mas trabalhar com frações ordinárias era muito difícil. Portanto, o matemático holandês Simon Stevin propôs mudar para frações decimais. No início, eles foram escritos de forma muito difícil, mas gradualmente mudaram para gravações modernas. Agora os computadores usam frações binárias, que já foram usadas na Rússia: metade, par, metade metade, metade metade, etc.
Um sistema interessante de frações existia na Roma Antiga - duodecimal. Baseava-se na divisão de uma unidade de peso em 12 partes, o que foi denominado bunda . Uma moeda de cobre e, posteriormente, uma unidade de peso - bunda Os romanos dividiram-no em doze partes iguais - onças . A décima segunda parte de um ás era chamada de onça. E o caminho, o tempo e outras quantidades foram comparados com uma coisa visual - o peso. Por exemplo, um romano pode dizer que percorreu sete gramas de um caminho ou leu cinco gramas de um livro. Isso significava que foi passadocaminho ou leituralivros. E para frações obtidas pela redução de frações com denominador 12 ou divisão de duodécimos em frações menores, havia nomes especiais.
Mesmo agora, às vezes dizem: “Ele estudou esta questão minuciosamente”. Isso significa que o assunto foi estudado até o fim, que não resta a menor ambiguidade. E a estranha palavra “escrupulosamente” vem do nome romano assa – “escrupulo”. Os seguintes nomes também estavam em uso:"semis" - meio assa, "sextans" - a sua sexta parte,“sete onças” - meia onça, ou seja, assa, etc. Total aplicado18 nomes diferentes para frações. Para trabalhar com frações, foi necessário lembrar tanto a tabuada de adição quanto a tabuada de multiplicação dessas frações. Portanto, os mercadores romanos sabiam com certeza que ao adicionar Triens (assa) e sextanos resultam em semifinais, e multiplicando o demônio (assa) por sescunce (onças, isto é bunda) acaba sendo uma onça. Para facilitar o trabalho, foram compiladas tabelas especiais, algumas das quais chegaram até nós.
Devido ao fato de que no sistema duodecimal não existem frações com denominadores 10 ou 100, os romanos tiveram dificuldade em dividir por 10, 100, etc. Ao dividir 1.001 asnos por 100, um matemático romano primeiro recebeu 10 asnos, depois dividiu os burros em onças, etc. Mas ele não se livrou do restante. Para evitar ter que lidar com tais cálculos, os romanos começaram a usar percentagens. Eles retiraram o excedente do devedor (ou seja, o dinheiro que excedeu o que foi emprestado). Ao mesmo tempo, disseram: não “os juros serão de 16 centésimos do valor da dívida”, mas “para cada 100 sestércios de dívida você pagará 16 sestércios de juros”. E dizia a mesma coisa, e não havia necessidade de usar frações! Como as palavras “por cem” soavam “cerca de um centum” em latim, a centésima parte passou a ser chamada percentagem. E embora agora as frações, e principalmente as decimais, sejam conhecidas de todos, as porcentagens ainda são utilizadas nos cálculos financeiros e no planejamento, ou seja, nas diversas áreas da atividade humana. E anteriormente eles também usavam ppm - assim eram chamados os milésimos (em latim “pro mille” - por mil). Ao contrário das porcentagens, que são indicadas pelo sinal %, os ppm são indicados por ‰.
As frações não foram encontradas nas obras gregas sobre matemática. Os cientistas gregos acreditavam que a matemática deveria lidar apenas com números inteiros. Eles deixaram o trabalho com frações para comerciantes, artesãos, bem como para astrônomos, agrimensores, mecânicos e outros “negros”. Mas o velho provérbio diz: “Mantenha a natureza do lado de fora da porta e ela voará pela janela”. Portanto, as frações penetraram nos trabalhos estritamente científicos dos gregos pela “porta dos fundos”. Além da aritmética e da geometria, a ciência grega incluía a música. Os gregos chamavam o estudo da harmonia de música. Este ensino foi baseado naquela parte da nossa aritmética que trata de relações e proporções. Os gregos sabiam que quanto mais longa uma corda é esticada, mais baixo é o som que ela produz, e uma corda curta produz um som agudo. Mas todo instrumento musical não possui uma, mas várias cordas. Para que todas as cordas soem “de acordo” quando tocadas, agradando ao ouvido, os comprimentos de suas partes sonoras devem estar em uma determinada proporção. Portanto, a doutrina das razões e frações foi utilizada na teoria musical grega.
Como os cientistas gregos não reconheciam os números fracionários, tinham dificuldade em medir quantidades. O matemático grego não poderia dizer que o comprimento de um segmento é três vezes o comprimento de outro. Afinal, esses comprimentos poderiam ser números fracionários, ou até mesmo não serem expressos por números conhecidos pelos gregos e, portanto, era impossível aplicar a operação de multiplicação a eles. Os cientistas gregos tiveram que encontrar uma maneira de sobreviver na ciência sem expressar comprimentos, áreas e volumes em números (comerciantes e artesãos fizeram isso com calma, sem prestar atenção aos delírios dos cientistas). Para isso, foi necessária a criação de uma doutrina sobre as relações de quantidades, a igualdade de tais relações, etc. A igualdade de duas proporções foi mais tarde chamada de palavra latina “proporção” (os gregos usaram a palavra grega “analogia” para isso).
Deve-se notar que o ramo da aritmética sobre frações tem sido um dos mais confusos. Assim, quem não conhecia frações não era reconhecido como conhecedor de aritmética. Era difícil dominar frações. Mesmo as pessoas mais instruídas da Idade Média achavam muito difícil trabalhar com frações. Isso aconteceu porque não existiam técnicas gerais para trabalhar com frações e escrever frações; elas eram somadas, multiplicadas e divididas de acordo com diversas “receitas”.
O moderno sistema de escrita de frações com numerador e denominador foi criado na Índia. Os indianos usavam amplamente frações “comuns”. Nossa designação de frações ordinárias usando um numerador e um denominador foi adotada na Índia no século VIII aC. no entanto, sem ponto decimal. Só aí escreveram o denominador em cima e o numerador em baixo. E os árabes começaram a escrever frações exatamente como fazem agora.
O início de uma nova etapa na história das frações foram as frações decimais. A introdução das frações decimais, juntamente com o sistema de numeração decimal, é um dos momentos mais importantes da história da aritmética e, portanto, da matemática em geral. Já no século III. entre os povos da China, que utilizavam o sistema decimal de medidas, começaram a aparecer frações decimais, que apareciam na forma de números nomeados - unidades do sistema decimal de medidas.
Algumas alusões às frações decimais foram encontradas entre os povos da Índia e depois entre os povos do Oriente Médio. Al-Uklidisi (século X) foi o primeiro matemático nos países islâmicos a usar frações decimais e a compreender a sua importância. você al-Nasawi (d. c. 1030) há indícios de frações decimais na extração da raiz quadrada (na extração da raiz quadrada, se não fosse extraída completamente, adicionavam-se à expressão radical tantos zeros quantos fossem necessários para obter sinais extras na raiz) . Na Europa, um método semelhante de extração de raízes quadradas foi usado pela primeira vez por um monge espanholJoão de Sevilha(século XII). O cientista de Bagdá usou frações decimais em seu tratado al-Baghdadi (1002 - 1071).
No final do século XVI surgiram as frações decimais. Ao calcular com frações decimais, foram obtidos números muito grandes com um número muito grande de dígitos. Este número de caracteres não era necessário para a prática. Portanto, foi necessário arredondar as respostas recebidas e realizar cálculos aproximados. O matemático e construtor naval russo Acadêmico Alexei Nikolaevich Krylov (1863 - 1945) fez muito pelo desenvolvimento de cálculos aproximados. Hoje em dia, para facilitar os cálculos, foram construídas máquinas que podem calcular com uma rapidez surpreendente. Num segundo, estas máquinas podem realizar milhões de operações aritméticas (adições, subtrações, multiplicações e divisões) em números de vários dígitos.
Na ciência e na indústria, na agricultura, as frações decimais são usadas em cálculos com muito mais frequência do que as frações comuns.
Isso se deve à simplicidade das regras para cálculos com frações decimais e à sua semelhança com as regras para operações com números naturais. As regras para cálculos com frações decimais foram descritas pelo famoso cientista da Idade Médiaal-Kashi Jamshd Ibn Masud, que viveu na cidade de Samarcanda, no Observatório Ulugbek, no início do século XV.
Al-Kashi anotou as frações decimais da mesma maneira que é habitual agora, mas não usou vírgula: escreveu a parte fracionária em tinta vermelha ou separou-a com uma linha vertical.
Mas naquela época eles não sabiam disso na Europa, e apenas 150 anos depois as frações decimais foram reinventadas por um engenheiro e cientista flamengoSimon Stevin. A escrita de decimais de Stevin foi bastante difícil.
Por exemplo, o número 24,56 ficou assim: 2405162 ou 2456 - em vez de uma vírgula, um zero em um círculo (ou 0 acima de toda a parte), os números 1, 2, 3, ... marcavam a posição do restante personagens.
A vírgula ou ponto final para separar uma parte inteira de uma parte fracionária começou a ser utilizada a partir do XVII.
Na Rússia, a doutrina das frações decimais foi expostaLeonty Filippovich Magnitskyem 1703 no primeiro livro de matemática “Aritmética, isto é, a ciência dos números”.
Nossa numeração é decimal. Esse nome vem da regra: a unidade de cada dígito é 10 vezes maior que a unidade do dígito menor anterior.
O dígito da unidade é o menos significativo na notação dos números naturais. A unidade do dígito menos significativo anterior deve ser 10 vezes menor que a unidade de cada dígito.
Então as pessoas concordaram em colocar o algarismo à direita do algarismo das unidades décimos ações E para indicar onde terminam as unidades e começam as décimas, as décimas são precedidas por vírgula
Por exemplo, escrever 34,2 indica o número. Número 5 pode ser escrito: 5.9.
Os dígitos à direita da vírgula podem continuar. O que significará a unidade da segunda série? Para que a regra seja válida, ela deve ser 10 a menos que. Então isto é: 10, ou seja, .
1ª casa decimal – décimos,
2ª casa decimal – centésimos,
3ª casa decimal – milésimos.
Uma fração escrita com números e uma vírgula é chamada de fração decimal, uma fração escrita com uma linha de fração é chamada de fração ordinária.
Como os números naturais, qualquer fração decimal pode ser representada como uma soma de termos de dígitos.
dezenas
unidades
décimos
centésimos
milésimos
dez milésimos
cem milésimos
milionésimos
dez milionésimos
cem milhões
bilionésimos
vamos tentar escrever uma fração ordináriacomo decimal. Para fazer isso, você precisa dividir o numerador pelo denominador. Tendo calculado vários números do quociente, veremos o padrão com que esses números aparecem. É claro que o resultado será apenas 6. Mas isso pode continuar indefinidamente. Portanto, a fração resultante é chamadadecimal infinito. É impossível escrevê-lo completamente. Então, em algum lugar você terá que quebrar o recorde e adicionar reticências. Só é necessário compreender o padrão com que os números se sucedem. Para fraçõesEncontramos esse padrão acima. Você pode escrever: =0,6666...
Decimais infinitos também são números. Eles podem ser somados e subtraídos, multiplicados e divididos e comparados entre si. Eles são comparados de acordo com a mesma regra que final (ou seja, decimais regulares). Por exemplo, 10,63186318... > 10,631846318...,já que no lugar dos cem milésimos o primeiro número tem o algarismo 6, e o segundo tem o algarismo 4.
Vamos descartar todos os dígitos de uma fração decimal infinita, começando por um determinado dígito. Obtemos uma fração decimal final. Por exemplo, da fração 0,666666... você pode obter as frações finais 0,6; 0,66; 0,666; 0,6666 Dizem que cada um deles éabordagem com desvantagemdada uma fração decimal infinita. A partir dessas aproximações pode-se construir uma cadeia infinita de desigualdades: 0,6
Agora vamos descartar novamente todos os dígitos da fração decimal infinita, começando com um determinado dígito, mas aumentando o último dígito em um. Então obtemos novamente uma fração decimal final. Será maior que a fração decimal infinita fornecida. Eles a chamamaproximando-se com excesso. Por exemplo, para o número 0,666666,... a fração é 0,7; 0,67; 0,667; ... - aproximações em excesso. Cada uma dessas frações é maior que o número 0,666666...; e quanto mais dígitos uma fração contém, mais próxima ela está desse número.
Quanto mais dígitos aproximados por um determinado número, mais próxima a fração decimal final resultante estará do número fornecido..
Lembrando disso =0,6666... podemos obter muitas igualdades aproximadas.
É fácil perceber que ao traduzir algumas frações ordinárias, obtêm-se frações decimais infinitas, onde um ou um grupo de dígitos começa a se repetir a partir de um determinado lugar. Este grupo repetido de números é chamado período uma fração decimal infinita, e a própria fração é chamada periódico A fração decimal final também pode ser considerada periódica - seu período consiste em zero.
Todo número racional pode ser escrito como uma fração decimal periódica. E vice versa, se um número for escrito como uma fração decimal periódica, então ele é racional. Mas, além dos números racionais, existem outros números. Foi exatamente isso que Pitágoras descobriu. Ele provou uma coisa incrível:Acontece que o comprimento da diagonal de um quadrado unitário não pode ser escrito como um número racional!Mas você pode usar uma fração decimal infinita. Da mesma forma, é impossível escrever números como frações periódicasπ, e.
Na ciência e na indústria, na agricultura, as frações decimais são usadas com muito mais frequência do que as frações comuns. Isso se deve à simplicidade das regras para cálculos com frações decimais e à sua semelhança com as regras para operações com números naturais.
Enquanto fazia o trabalho, descobri que
1.A história das frações tem origens antigas.
2. As regras para cálculo de frações decimais foram descritas pelo famoso cientista medieval al-Kashi Jemshid Ibn Masud, que trabalhou na cidade de Samarcanda, no Observatório de Ulugbek, no início do século XV.
3. Na Europa, as frações decimais foram reinventadas pelo cientista e engenheiro flamengo Simon Stevin no final do século XVI e início do século XVII.
4. Na Rússia, a doutrina das frações decimais foi apresentada por Leonty Filippovich Magnitsky em 1703 no primeiro livro de matemática “Aritmética, isto é, a ciência dos numerais”.
Também aprendi a história do sistema de registro e nomenclatura de frações em vários países e sua aplicação na matemática moderna.
O trabalho sobre a história da origem e registo dos números é muito interessante e multifacetado, podendo pesquisar e encontrar muitas informações interessantes, tanto sobre a origem dos números como a sua aplicação na prática.
A jarda é a principal medida de comprimento na Inglaterra, esta medida foi instituída por decreto do rei Henrique I. O comprimento de uma jarda é atualmente de aproximadamente 0,9144 m
Todos nós na escola tivemos a oportunidade de estudar frações - ordinárias e decimais. Para alguns foram mais fáceis, para outros mais difíceis, mas no geral muitos consideram-nos muito difíceis. Os alemães até têm um ditado: “entre em frações”, que significa “entre em uma situação difícil”. Mas, apesar da complexidade, é preciso conhecer frações - Marcus Tullius Cicero falou sobre isso. Este famoso orador romano antigo argumentou que não se pode dizer que uma pessoa que não conhece frações conhece aritmética. E não podemos deixar de concordar com isso: as frações (ou, como eram chamadas nos tempos antigos, “números quebrados”) surgiram porque as operações com números inteiros, em muitos casos, não fornecem a precisão necessária.
E na matemática do Antigo Egito, as frações eram consideradas a seção mais difícil. É verdade que eles não se pareciam exatamente com o que conhecemos hoje. Os antigos egípcios lidavam apenas com frações onde o numerador era um (essas frações são chamadas de alíquotas). A única exceção foi a fração 2/3. Você pode perguntar: o que eles fizeram quando tiveram que expressar uma fração com um numerador diferente?É muito simples: escrevemos como uma soma de frações. Por exemplo, se precisarmos da fração 2/5, escrevemos 1/5+1/5.
Desta forma foi possível resolver até um problema muito complexo - por exemplo, este:“Divida 7 pães entre 8 pessoas”. Os egípcios resolveram da seguinte forma: 1/2 + 1/4 + 1/8, ou seja, cada pessoa receberá metade do pão, um quarto e um oitavo, portanto, quatro pães devem ser cortados em duas partes, dois - em quatro partes e uma em oito partes.
É verdade que tal sistema não era particularmente conveniente: havia tabelas especiais onde todas as frações eram dadas como a soma das ações, e essas tabelas precisavam ser aprendidas.
A escrita de frações semelhantes à nossa apareceu na Grécia Antiga– foi introduzido pelo antigo matemático grego Diofanto, porém, ele escreveu frações “ao contrário”: o denominador está acima da linha e o numerador está abaixo da linha. A grafia moderna das frações - numerador em cima, denominador abaixo - surgiu apenas no século XVI.
No entanto, os gregos ainda pegaram emprestado dos babilônios a base para operações com frações, ou seja, é sexagesimal. Foi nesta forma que a Europa medieval o adotou. Foi usado principalmente por astrônomos e existiu com sucesso até o século XVI.
No entanto, na virada dos séculos XIV-XV, surgiram as frações decimais. Eles foram apresentados por Jamshid ibn Mas'ud ibn Mahmud Ghiyas ad-Din al-Kashi, um notável cientista persa que trabalhou junto com o próprio Ulugbek no Observatório de Samarcanda. Estas frações “penetraram” na Europa já no século XVI através dos esforços do comerciante holandês Simon Stevin. As frações decimais revelaram-se incomparavelmente mais convenientes para cálculos do que as frações sexagesimais e rapidamente as substituíram.
Quanto às frações que chamamos de ordinárias, também vieram do Oriente. As operações com eles foram descritas pela primeira vez pelo cientista indiano Bramagupta, espalhadas pelos países muçulmanos por Maomé de Khorezm no século IX, e quatro séculos depois pelo matemático italiano Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci, que introduziu frações ordinárias na Europa.
A história das frações. Autores: alunos da 5ª série Tkachev A., Volkov M., Matveeva V., Vershinin S. Pergunta problemática: Como surgiram as frações? Objetivos do estudo: Resumir o material histórico, quando e onde as frações foram mencionadas pela primeira vez. Determine a origem da palavra "fração". Faça uma lista de maneiras de escrever frações em diferentes épocas e entre diferentes povos. Selecione problemas antigos com soluções e sistematize-os de acordo com operações aritméticas. Desde os tempos antigos, as pessoas tiveram que não apenas contar objetos, mas também medir comprimento, tempo, área e fazer pagamentos por bens comprados ou vendidos. Nem sempre foi possível expressar o resultado de uma medição ou o custo de um produto em um número natural. Foi preciso levar em conta partes, frações da medida. Foi assim que surgiram as frações. A palavra “fração” apareceu em russo apenas no século VIII. A palavra "fração" vem da palavra "esmagar, quebrar, quebrar em pedaços". Entre outros povos, o nome de fração também está associado aos verbos “quebrar”, “quebrar”, “esmagar”. Nos primeiros livros didáticos, as frações eram chamadas de “números quebrados”. Em registros antigos foram encontrados os seguintes nomes de frações: 1 2 1 4 1 3 1 8 1 6 Metade, metade Meio terço Meio terço O primeiro conceito de fração apareceu no antigo Egito há muitos séculos. A primeira fração à qual as pessoas foram apresentadas foi a metade. A próxima fração foi um terço. Estas são frações unitárias. (½, ¼) Um sistema interessante de frações existia na Roma antiga. Para os romanos, a unidade básica de medida de massa era o burro, assim como a unidade monetária. O burro foi dividido em 12 partes iguais de onças. Por exemplo, um romano poderia dizer que percorreu sete onças do caminho. Isso significava que 7/12 da viagem havia sido concluída. 1/288 assa - "scrupulus", "semis" meio assa "sextance" - um sexto dele, "semionça" - meia onça, ou seja, 1/24 assa, triens (1/3 assa), demônio (2/3 ass). As frações não foram encontradas nas obras gregas sobre matemática. Os cientistas gregos acreditavam que a matemática deveria lidar apenas com números inteiros. Eles deixaram o trabalho com frações para comerciantes e artesãos. A doutrina das proporções e frações foi usada na teoria musical grega. Na Antiga China, em vez de uma linha usava um ponto: 1 3 1 3 Escrever frações usando um numerador e um denominador apareceu na Grécia Antiga, apenas os gregos escreveram o denominador em cima e o numerador em baixo. Os hindus começaram a escrever frações em nossa forma usual há cerca de 1.500 anos, mas eles não usavam uma linha entre o numerador e o denominador. A linha de fração tornou-se comumente usada apenas no século 16. E os árabes começaram a escrever frações exatamente como fazem agora. O primeiro cientista europeu que começou a usar e divulgar a notação moderna de frações foi um comerciante e viajante italiano, filho do escrivão Fibonacci (Leonardo de Pisa). Em 1202 ele introduziu a palavra “fração”. No início, a barra de frações não era usada para escrever frações. Apareceu na notação de frações apenas há cerca de 300 anos. O primeiro a usar a linha fracionária foi o cientista árabe Al-Halar. Mas os nomes “numerador” e “denominador” foram introduzidos pelo monge e matemático grego Maxim Planud. Designação moderna de frações: A linha oblíqua é chamada de "solidus" e a linha horizontal é chamada de "vinculum" (inglês). Por muito tempo, as frações foram consideradas o ramo mais difícil da matemática. Os alemães têm até um ditado “entrar em frações”, que significa entrar numa situação difícil. Um antigo problema de “Aritmética” de L.F. Magnitsky: “Alguém perguntou a um professor: Quantos alunos você tem na sua turma, já que quero mandar meu filho estudar com você? A professora respondeu: “Se vierem tantos alunos quanto eu, e metade, e um quarto, e seu filho, então terei 100 alunos. Quantos alunos o professor tem? Antigos cientistas indianos definiram as tarefas em versos: Há uma flor kadamba, um quinto das abelhas caiu em uma pétala, Simengda toda em flor cresceu nas proximidades e a terceira parte cabe nela. Encontre a diferença, dobre três vezes e plante aquelas abelhas em Kutai. Apenas uma não encontrou lugar para si em lugar nenhum. Ela voava de um lado para o outro e por toda parte apreciava o aroma das flores. Agora me diga, tendo contado mentalmente, quantas abelhas se reuniram aqui? Problema antigo: Certa vez, Polícrates perguntou a Pitágoras, em um banquete, quantos alunos ele tinha. “Terei prazer em lhe contar, ó Polícrates”, respondeu Pitágoras. – Metade dos meus alunos estuda matemática excelente. O bairro explora os segredos da natureza eterna. A sétima parte exercita silenciosamente a força do espírito, guardando o ensinamento no coração. Adicione a eles mais três jovens, dos quais Theon supera os demais em suas habilidades. Eu conduzo tantos estudantes ao nascimento da verdade eterna!” Quantos alunos Pitágoras teve? Problema sobre as Musas. Vendo que Eros está chorando, Cypris lhe pergunta: “O que tanto te chateou, responda imediatamente!” “Eu carreguei muitas maçãs de Helikon”, responde Eros, “As Musas, não importa o que aconteça, atacaram o doce fardo. Euterpe ficou instantaneamente com a décima segunda parte, Clio com a quinta parte, Thalia com a oitava parte. Melpomene saiu com a vigésima parte. Terpsícore levou um quarto. Na parte sete, Erato fugiu de mim, Polimnia roubou as trinta frutas. Cento e vinte foram levados por Urácia, trezentos frutos foram levados por Calíope. Volto para casa quase de mãos vazias. As Musas deixaram apenas cinquenta frutas para eu compartilhar.” Quantas maçãs Eros carregava antes de conhecer as Musas? Conclusões: As frações surgiram no Antigo Egito para uma contagem mais precisa. A palavra "fração" em russo e em outras línguas vem das palavras "dividir", "quebrar", "quebrar em partes". A barra fracionária (inclinada ou horizontal) apareceu há apenas 300 anos. Cada cultura tem problemas interessantes para todas as operações aritméticas com frações. Muitos são escritos em forma poética. As frações foram importantes para resolver problemas práticos em todos os países.
As frações ainda são consideradas uma das áreas mais difíceis da matemática. A história das frações remonta a mais de mil anos. A capacidade de dividir um todo em partes surgiu no território do antigo Egito e da Babilônia. Com o passar dos anos, as operações realizadas com frações tornaram-se mais complexas e a forma de seu registro mudou. Cada um tinha características próprias em sua “relação” com esse ramo da matemática.
Quando surgiu a necessidade de dividir um todo em partes sem esforço extra, surgiram as frações. A história das frações está inextricavelmente ligada à solução de problemas utilitários. O próprio termo “fração” tem raízes árabes e vem de uma palavra que significa “quebrar, dividir”. Pouca coisa mudou nesse sentido desde os tempos antigos. A definição moderna é a seguinte: uma fração é uma parte ou soma de partes de uma unidade. Assim, exemplos com frações representam a execução sequencial de operações matemáticas com frações de números.
Hoje existem duas maneiras de registrá-los. surgiram em épocas diferentes: as primeiras são mais antigas.
Pela primeira vez começaram a operar com frações no Egito e na Babilônia. A abordagem dos matemáticos dos dois países apresentou diferenças significativas. Porém, o início foi feito da mesma forma em ambos os casos. A primeira fração foi metade ou 1/2. Então surgiu um quarto, um terço e assim por diante. Segundo escavações arqueológicas, a história da origem das frações remonta a cerca de 5 mil anos. Pela primeira vez, frações de um número são encontradas em papiros egípcios e em tabuletas de argila da Babilônia.
Os tipos de frações ordinárias hoje incluem as chamadas frações egípcias. Eles representam a soma de vários termos da forma 1/n. O numerador é sempre um e o denominador é um número natural. É difícil adivinhar que tais frações surgiram no antigo Egito. No cálculo, tentamos anotar todas as ações na forma desses valores (por exemplo, 1/2 + 1/4 + 1/8). Apenas as frações 2/3 e 3/4 tiveram designações separadas; o restante foi dividido em termos. Havia tabelas especiais nas quais as frações de um número eram apresentadas como uma soma.
A referência mais antiga conhecida a tal sistema é encontrada no Rhind Mathematical Papyrus, datado do início do segundo milênio aC. Inclui uma tabela de frações e problemas matemáticos com soluções e respostas apresentadas como somas de frações. Os egípcios sabiam somar, dividir e multiplicar frações de um número. As frações no Vale do Nilo foram escritas usando hieróglifos.
A representação de uma fração de um número como soma de termos da forma 1/n, característica do antigo Egito, foi utilizada por matemáticos não apenas neste país. Até a Idade Média, as frações egípcias eram utilizadas na Grécia e em outros países.
A matemática parecia diferente no reino babilônico. A história do surgimento das frações aqui está diretamente relacionada às peculiaridades do sistema numérico herdado pelo antigo estado de seu antecessor, a civilização suméria-acadiana. A tecnologia de cálculo na Babilônia era mais conveniente e mais avançada do que no Egito. A matemática neste país resolveu uma gama muito mais ampla de problemas.
As conquistas dos babilônios hoje podem ser avaliadas pelas tábuas de argila sobreviventes cheias de caracteres cuneiformes. Graças às peculiaridades do material, chegaram até nós em grandes quantidades. Segundo alguns, um teorema bem conhecido foi descoberto na Babilônia antes de Pitágoras, o que sem dúvida atesta o desenvolvimento da ciência neste antigo estado.
O sistema numérico na Babilônia era sexagesimal. Cada novo dígito diferia do anterior em 60. Este sistema foi preservado no mundo moderno para indicar tempo e ângulos. As frações também eram sexagesimais. Ícones especiais foram usados para gravação. Tal como no Egito, os exemplos com frações continham símbolos separados para 1/2, 1/3 e 2/3.
O sistema babilônico não desapareceu junto com o Estado. As frações escritas no sistema de 60 dígitos foram usadas por astrônomos e matemáticos antigos e árabes.
A história das frações ordinárias foi pouco enriquecida na Grécia antiga. Os habitantes da Hélade acreditavam que a matemática deveria operar apenas com números inteiros. Portanto, expressões com frações praticamente nunca foram encontradas nas páginas dos antigos tratados gregos. No entanto, os pitagóricos deram uma certa contribuição a este ramo da matemática. Eles entendiam as frações como razões ou proporções, e a unidade também era considerada indivisível. Pitágoras e seus alunos construíram uma teoria geral das frações, aprenderam a realizar todas as quatro operações aritméticas e também a comparar frações, trazendo-as para um denominador comum.
O sistema romano de frações estava associado a uma medida de peso chamada “burro”. Foi dividido em 12 ações. 1/12 de ás era chamado de onça. Havia 18 nomes para frações. Aqui estão alguns deles:
semifinais - meio assa;
sextante - a sexta parte do cu;
sete onças - meia onça ou 1/24 ass.
A desvantagem de tal sistema era a impossibilidade de representar um número como uma fração com denominador 10 ou 100. Os matemáticos romanos superaram a dificuldade usando porcentagens.
Na Antiguidade, as frações já eram escritas de forma familiar: um número sobre outro. No entanto, houve uma diferença significativa. O numerador estava localizado abaixo do denominador. Eles começaram a escrever frações dessa forma na Índia antiga. O método moderno foi usado pelos árabes. Mas nenhum dos povos citados usou uma linha horizontal para separar o numerador e o denominador. Aparece pela primeira vez nos escritos de Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, em 1202.
Se a história do surgimento das frações ordinárias começou no Egito, os decimais apareceram pela primeira vez na China. No Império Celestial começaram a ser usados por volta do século III aC. A história das frações decimais começou com o matemático chinês Liu Hui, que propôs seu uso na extração de raízes quadradas.
No século III dC, as frações decimais começaram a ser usadas na China para calcular peso e volume. Gradualmente, eles começaram a penetrar cada vez mais profundamente na matemática. Na Europa, porém, os decimais começaram a ser usados muito mais tarde.
Independentemente dos antecessores chineses, as frações decimais foram descobertas pelo astrônomo al-Kashi da antiga cidade de Samarcanda. Ele viveu e trabalhou no século XV. O cientista delineou sua teoria no tratado “A Chave da Aritmética”, publicado em 1427. Al-Kashi propôs o uso de uma nova forma de escrever frações. Ambas as partes inteiras e fracionárias foram agora escritas na mesma linha. O astrônomo de Samarcanda não usou vírgula para separá-los. Ele escreveu o número inteiro e a parte fracionária em cores diferentes, usando tinta preta e vermelha. Às vezes, al-Kashi também usava uma linha vertical para separar.
Um novo tipo de frações começou a aparecer nas obras de matemáticos europeus no século XIII. Deve-se notar que eles não estavam familiarizados com as obras de al-Kashi, bem como com as invenções dos chineses. As frações decimais apareceram nos escritos de Jordan Nemorarius. Depois foram usados já no século 16 por um cientista francês que escreveu o “Cânon Matemático”, que continha tabelas trigonométricas. Vieth usou frações decimais neles. Para separar as partes inteiras e fracionárias, o cientista utilizou uma barra vertical, além de diferentes tamanhos de fonte.
No entanto, estes foram apenas casos especiais de uso científico. As frações decimais começaram a ser usadas na Europa um pouco mais tarde para resolver problemas cotidianos. Isso aconteceu graças ao cientista holandês Simon Stevin no final do século XVI. Ele publicou o trabalho matemático "Décimo" em 1585. Nele, o cientista delineou a teoria do uso de frações decimais na aritmética, no sistema monetário e na determinação de pesos e medidas.
Stevin também não usou vírgula. Ele separou as duas partes da fração usando um zero rodeado por um círculo.
A primeira vez que uma vírgula separou duas partes de uma fração decimal foi em 1592. Na Inglaterra, porém, eles começaram a usar um ponto. Nos Estados Unidos, os decimais ainda são escritos desta forma.
Um dos iniciadores do uso de ambos os sinais de pontuação para separar as partes inteiras e fracionárias foi o matemático escocês John Napier. Ele expressou sua proposta em 1616-1617. O cientista alemão também usou a vírgula
Em solo russo, o primeiro matemático a explicar a divisão do todo em partes foi o monge Kirik de Novgorod. Em 1136, ele escreveu uma obra na qual delineava o método de “contar anos”. Kirik tratou de questões de cronologia e calendário. Em sua obra, ele também citou a divisão da hora em partes: quintas, vinte e cinco e assim por diante.
A divisão do todo em partes foi utilizada no cálculo do valor do imposto nos séculos XV-XVII. Foram utilizadas as operações de adição, subtração, divisão e multiplicação com partes fracionárias.
A própria palavra “fração” apareceu na Rússia no século VIII. Vem do verbo “dividir, dividir em partes”. Nossos ancestrais usavam palavras especiais para nomear frações. Por exemplo, 1/2 foi designado como metade ou metade, 1/4 como um quarto, 1/8 como metade, 1/16 como metade e assim por diante.
A teoria completa das frações, não muito diferente da moderna, foi apresentada no primeiro livro de aritmética, escrito em 1701 por Leonty Filippovich Magnitsky. "Aritmética" consistia em várias partes. O autor fala detalhadamente sobre frações na seção “Sobre números quebrados ou com frações”. Magnitsky fornece operações com números “quebrados” e suas diferentes designações.
Hoje, as frações ainda estão entre os ramos mais difíceis da matemática. A história das frações também não foi simples. Diferentes povos, às vezes independentemente uns dos outros, e às vezes tomando emprestada a experiência de seus antecessores, chegaram à necessidade de introduzir, dominar e usar frações de números. O estudo das frações sempre cresceu a partir de observações práticas e graças a problemas urgentes. Era preciso dividir o pão, demarcar terrenos iguais, calcular impostos, medir o tempo e assim por diante. As especificidades do uso de frações e operações matemáticas com elas dependiam do sistema numérico do estado e do nível geral de desenvolvimento da matemática. De uma forma ou de outra, tendo superado mais de mil anos, a seção de álgebra dedicada às frações de números foi formada, desenvolvida e hoje é utilizada com sucesso para diversas necessidades, tanto práticas quanto teóricas.
História do surgimento de frações ordinárias Aluno da 10ª série da escola secundária GBOU nº 593 São Petersburgo Filipenkova Alexandra
O sistema de frações no Antigo Egito As frações surgiram nos tempos antigos. Ao dividir os despojos, ao medir quantidades e em outros casos semelhantes, as pessoas encontraram a necessidade de introduzir frações. Os antigos egípcios já sabiam dividir 2 objetos em três pessoas, para este número -2/3- eles tinham um símbolo especial. Aliás, essa era a única fração usada pelos escribas egípcios que não tinha unidade no numerador – todas as outras frações certamente tinham unidade no numerador (as chamadas frações básicas): 1/2; 1/3; 28/01; .... Se o egípcio precisasse usar outras frações, ele as representava como uma soma de frações básicas. Por exemplo, em vez de 15/08 eles escreveram 1/3+1/5.
O sistema de frações na Antiga Babilônia Na antiga Babilônia eles preferiam um denominador constante igual a 60. As frações sexagesimais, herdadas da Babilônia, foram usadas por matemáticos e astrônomos gregos e árabes. Mas era inconveniente trabalhar com números naturais escritos no sistema decimal e frações escritas no sistema sexagesimal. Mas trabalhar com frações comuns já era bastante difícil. Portanto, o matemático holandês Simon Stevin propôs mudar para frações decimais.
Sistema de frações na Roma Antiga Baseava-se na divisão de uma unidade de peso em 12 partes, que era chamada de burro. A décima segunda parte de um ás era chamada de onça. E o caminho, o tempo e outras quantidades foram comparados com uma coisa visual - o peso. Por exemplo, um romano pode dizer que percorreu sete gramas de um caminho ou leu cinco gramas de um livro. Neste caso, claro, não se tratava de pesar o caminho ou o livro. Isso significava que 7/12 da viagem foram completados ou 5/12 do livro foram lidos. E para frações obtidas pela redução de frações com denominador 12 ou divisão de duodécimos em frações menores, havia nomes especiais.
Fração Uma fração ordinária (ou simples) é uma notação para um número racional. Uma barra horizontal ou barra indica um sinal de divisão, resultando em um quociente. O dividendo é chamado de numerador da fração e o divisor é chamado de denominador.
Aforismo Uma pessoa é como uma fração, o numerador é o que ela é e o denominador é o que ela pensa de si mesma. Quanto maior o denominador, menor a fração.
História Pela primeira vez na Europa, este termo foi usado por Leonardo de Pisa (1202). No início, os matemáticos europeus operavam apenas com frações ordinárias, e na astronomia - com frações sexagesimais.
Uma teoria completa Uma teoria completa das frações ordinárias e operações com elas desenvolvida no século XVI (Tartaglia, Clavius). Em 1585, com a publicação do livro "O Décimo" de Simon Stevin, começou o uso generalizado de frações decimais.
Palavras cruzadas horizontais: 1. Dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número. 2. O quociente de dois números. 3. Uma fração em que o numerador e o denominador são números primos mutuamente. 4. Quanto reduz a fração 24/36? 5. Um centésimo de um número. Vertical: 6. O nome de uma fração cujo numerador é maior ou igual ao denominador. 7. Para encontrar o denominador comum, você precisa encontrar o MDC ou o MMC? 8. Ação. Com a ajuda da qual uma fração de um número é encontrada.9. Para reduzir uma fração, você precisa encontrar o GCD ou o LCM?
