Fração em matemática, um número que consiste em uma ou mais partes (frações) de uma unidade. As frações fazem parte do campo dos números racionais. Com base na forma como são escritas, as frações são divididas em 2 formatos: ordinário tipo e decimal .
Numerador de fração- um número que mostra o número de ações tomadas (localizado no topo da fração - acima da linha). Denominador de fração- um número que mostra em quantas ações a unidade está dividida (localizado abaixo da linha - na parte inferior). , por sua vez, são divididos em: correto E incorreta, misturado E composto estão intimamente relacionados às unidades de medida. 1 metro contém 100 cm, o que significa que 1 m é dividido em 100 partes iguais. Assim, 1 cm = 1/100 m (um centímetro é igual a um centésimo de metro).
ou 3/5 (três quintos), aqui 3 é o numerador, 5 é o denominador. Se o numerador for menor que o denominador, então a fração é menor que um e é chamada correto:
Se o numerador for igual ao denominador, a fração será igual a um. Se o numerador for maior que o denominador, a fração é maior que um. Nos dois últimos casos a fração é chamada errado:
Para isolar o maior número inteiro contido em uma fração imprópria, você divide o numerador pelo denominador. Se a divisão for realizada sem resto, então a fração imprópria obtida é igual ao quociente:
Se a divisão for realizada com resto, então o quociente (incompleto) fornece o número inteiro desejado e o resto se torna o numerador da parte fracionária; o denominador da parte fracionária permanece o mesmo.
Um número contendo um inteiro e uma parte fracionária é chamado misturado. Fração número misto talvez Fração imprópria. Então você pode selecionar o maior número inteiro da parte fracionária e representar o número misto de tal forma que a parte fracionária se torne uma fração própria (ou desapareça completamente).
Como você já percebeu, as frações são diferentes. Por exemplo, \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(7)(7), \frac(13)(5), ...\)
As frações são divididas em dois tipos frações próprias e frações impróprias.
Numa fração própria, o numerador é menor que o denominador., por exemplo, \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), …\)
Em uma fração imprópria, o numerador é maior ou igual ao denominador, por exemplo, \(\frac(7)(7), \frac(9)(4), \frac(13)(5), …\)
Uma fração própria é sempre menor que um. Vejamos um exemplo:
\(\frac(1)(5)< 1\)
Podemos representar a unidade como uma fração \(1 = \frac(5)(5)\)
\(\frac(1)(5)< \frac{5}{5}\)
Uma fração imprópria é maior ou igual a um. Considere um exemplo: \(\frac(8)(3) > 1\)
Podemos representar a unidade como uma fração \(1 = \frac(3)(3)\)
\(\frac(8)(3) > \frac(3)(3)\)
Dúvidas sobre o tema “Frações próprias ou impróprias”:
Uma fração própria pode ser maior que 1?
Resposta: não.
Uma fração própria pode ser igual a 1?
Resposta: não.
Uma fração imprópria pode ser menor que 1?
Resposta: não.
Exemplo 1:
Escrever:
a) todas as frações próprias com denominador 8;
b) todas as frações impróprias com numerador 4.
Solução:
a) As frações próprias têm denominador maior que o numerador. Precisamos colocar números menores que 8 no numerador.
\(\frac(1)(8), \frac(2)(8), \frac(3)(8), \frac(4)(8), \frac(5)(8), \frac( 6)(8), \frac(7)(8).\)
b) Numa fração imprópria, o numerador é maior que o denominador. Precisamos colocar números menores que 4 no denominador.
\(\frac(4)(4), \frac(4)(3), \frac(4)(2), \frac(4)(1).\)
Exemplo #2:
Em quais valores de b está a fração:
a) \(\frac(b)(12)\) estará correto;
b) \(\frac(9)(b)\) não estará correto.
Solução:
a) b pode assumir os valores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
b) b pode assumir os valores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Tarefa nº 1:
Quantos minutos em uma hora? Que fração de hora equivale a 11 minutos?
Resposta: Uma hora tem 60 minutos. Três minutos equivalem a \(\frac(11)(60)\) horas.
Eles são divididos em corretos e incorretos.
Fração própriaé uma fração ordinária em que o numerador é menor que o denominador.
Para descobrir se uma fração é adequada, você precisa comparar seus termos entre si. Os termos da fração são comparados de acordo com regra para comparar números naturais.
Exemplo. Considere a fração:
| 7 |
| 8 |
Exemplo:
| 8 | = 1 | 1 |
| 7 | 7 |
Regras de tradução e exemplos adicionais podem ser encontrados no tópico Convertendo uma fração imprópria em um número misto. Além disso, para converter uma fração imprópria em um número misto, você pode usar calculadora on-line.
Qualquer fração ordinária imprópria é maior que uma fração própria, pois uma fração própria é sempre menor que um e uma fração imprópria é maior ou igual a um.
Exemplo:
| 3 | > | 99 |
| 2 | 100 |
Regras de comparação e exemplos adicionais podem ser encontrados no tópico Comparando frações. Além disso, para comparar frações ou verificar comparações, você pode usar
As frações comuns são divididas em frações \textit (próprias) e \textit (impróprias). Esta divisão é baseada na comparação do numerador e do denominador.
Fração própria Uma fração ordinária $\frac(m)(n)$ é chamada, na qual o numerador é menor que o denominador, ou seja, $ milhões
Exemplo 1
Por exemplo, as frações $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ estão corretas , então como em cada um deles o numerador é menor que o denominador, o que atende à definição de fração própria.
Existe uma definição de fração própria, que se baseia na comparação da fração com uma.
correto, se for menor que um:
Exemplo 2
Por exemplo, a fração comum $\frac(6)(13)$ é adequada porque condição $\frac(6)(13) é satisfeita
Fração imprópria Uma fração ordinária $\frac(m)(n)$ é chamada, na qual o numerador é maior ou igual ao denominador, ou seja, $m\ge n$.
Exemplo 3
Por exemplo, as frações $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ são irregulares , então como em cada um deles o numerador é maior ou igual ao denominador, o que atende à definição de fração imprópria.
Vamos dar uma definição de fração imprópria, que se baseia na sua comparação com uma.
A fração comum $\frac(m)(n)$ é errado, se for igual ou maior que um:
\[\frac(m)(n)\ge 1\]
Exemplo 4
Por exemplo, a fração comum $\frac(21)(4)$ é imprópria porque a condição $\frac(21)(4) >1$ é satisfeita;
a fração comum $\frac(8)(8)$ é imprópria porque a condição $\frac(8)(8)=1$ é satisfeita.
Vamos dar uma olhada mais de perto no conceito de fração imprópria.
Tomemos a fração imprópria $\frac(7)(7)$ como exemplo. O significado desta fração é pegar sete partes de um objeto, que é dividido em sete partes iguais. Assim, a partir das sete ações disponíveis, todo o objeto pode ser composto. Aqueles. a fração imprópria $\frac(7)(7)$ descreve o objeto inteiro e $\frac(7)(7)=1$. Assim, frações impróprias, nas quais o numerador é igual ao denominador, descrevem um objeto inteiro e tal fração pode ser substituída pelo número natural $1$.
$\frac(5)(2)$ - é bastante óbvio que destas cinco segundas partes você pode criar $2$ objetos inteiros (um objeto inteiro será composto de $2$ partes, e para compor dois objetos inteiros você precisa $2+2=4$ ações) e resta uma segunda ação. Ou seja, a fração imprópria $\frac(5)(2)$ descreve $2$ de um objeto e $\frac(1)(2)$ a parte deste objeto.
$\frac(21)(7)$ -- a partir de vinte e um sétimos de partes você pode fazer $3$ objetos inteiros ($3$ objetos com $7$ partes em cada um). Aqueles. a fração $\frac(21)(7)$ descreve $3$ objetos inteiros.
Dos exemplos considerados, podemos tirar a seguinte conclusão: uma fração imprópria pode ser substituída por um número natural se o numerador for divisível pelo denominador (por exemplo, $\frac(7)(7)=1$ e $\frac (21)(7)=3$) , ou a soma de um número natural e uma fração própria, se o numerador não for completamente divisível pelo denominador (por exemplo, $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). É por isso que essas frações são chamadas errado.
Definição 1
O processo de representar uma fração imprópria como a soma de um número natural e uma fração própria (por exemplo, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) é chamado separando a parte inteira de uma fração imprópria.
Ao trabalhar com frações impróprias, existe uma estreita ligação entre elas e números mistos.
Uma fração imprópria geralmente é escrita como um número misto - um número que consiste em um número inteiro e uma parte fracionária.
Para escrever uma fração imprópria como um número misto, você deve dividir o numerador pelo denominador com resto. O quociente será a parte inteira do número misto, o resto será o numerador da parte fracionária e o divisor será o denominador da parte fracionária.
Exemplo 5
Escreva a fração imprópria $\frac(37)(12)$ como um número misto.
Solução.
Divida o numerador pelo denominador com resto:
\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (restante\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]
Responder.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.
Para escrever um número misto como uma fração imprópria, você precisa multiplicar o denominador pela parte inteira do número, adicionar o numerador da parte fracionária ao produto resultante e escrever o valor resultante no numerador da fração. O denominador da fração imprópria será igual ao denominador da parte fracionária do número misto.
Exemplo 6
Escreva o número misto $5\frac(3)(7)$ como uma fração imprópria.
Solução.
Responder.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.
Adição de números mistos$a\frac(b)(c)$ e fração adequada$\frac(d)(e)$ é realizado adicionando a uma determinada fração a parte fracionária de um determinado número misto:
Exemplo 7
Adicione a fração adequada $\frac(4)(15)$ e o número misto $3\frac(2)(5)$.
Solução.
Vamos usar a fórmula para somar um número misto e uma fração própria:
\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\esquerda(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\direita)=3+\ esquerda(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\direita)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]
Ao dividir pelo número \textit(5) podemos determinar que a fração $\frac(10)(15)$ é redutível. Vamos realizar a redução e encontrar o resultado da adição:
Portanto, o resultado da adição da fração adequada $\frac(4)(15)$ e do número misto $3\frac(2)(5)$ é $3\frac(2)(3)$.
Responder:$3\frac(2)(3)$
Adicionando frações impróprias e números mistos reduz-se à adição de dois números mistos, para o que basta isolar a parte inteira da fração imprópria.
Exemplo 8
Calcule a soma do número misto $6\frac(2)(15)$ e da fração imprópria $\frac(13)(5)$.
Solução.
Primeiro, vamos extrair a parte inteira da fração imprópria $\frac(13)(5)$:
Responder:$8\frac(11)(15)$.
