Capítulo 6. Variáveis aleatórias contínuas.
§ 1. Função densidade e distribuição de uma variável aleatória contínua.
O conjunto de valores de uma variável aleatória contínua é incontável e geralmente representa algum intervalo finito ou infinito.
Valor aleatório x(w), definido no espaço de probabilidade (W, S, P), é chamado contínuo(absolutamente contínua) W, se houver uma função não negativa tal que para qualquer x a função de distribuição Fx(x) possa ser representada como uma integral
A função é chamada de função densidades de distribuição de probabilidade.
A definição implica as propriedades da função de densidade de distribuição:
1..gif" largura="97" altura="51">
3. Nos pontos de continuidade, a densidade de distribuição é igual à derivada da função de distribuição: .
4. A densidade de distribuição determina a lei de distribuição de uma variável aleatória, pois determina a probabilidade de uma variável aleatória cair no intervalo:
5. A probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir um valor específico é zero: . Portanto, as seguintes igualdades são válidas:
O gráfico da função de densidade de distribuição é chamado curva de distribuição, e a área delimitada pela curva de distribuição e pelo eixo x é igual à unidade. Então, geometricamente, o valor da função de distribuição Fx(x) no ponto x0 é a área delimitada pela curva de distribuição e pelo eixo x e situada à esquerda do ponto x0.
Tarefa 1. A função densidade de uma variável aleatória contínua tem a forma:
Determine a constante C, construa a função de distribuição Fx(x) e calcule a probabilidade.
Solução. A constante C é encontrada a partir da condição Temos:
de onde C = 3/8.
Para construir a função de distribuição Fx(x), observe que o intervalo divide o intervalo de valores do argumento x (eixo numérico) em três partes: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" largura="264 " altura="49">
já que a densidade x no semieixo é zero. No segundo caso
Finalmente, no último caso, quando x>2,
Já que a densidade desaparece no semieixo. Então, a função de distribuição é obtida
Probabilidade Vamos calcular usando a fórmula. Por isso,
§ 2. Características numéricas de uma variável aleatória contínua
Valor esperado para variáveis aleatórias distribuídas continuamente é determinado pela fórmula https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,
se a integral à direita converge absolutamente.
Dispersão x pode ser calculado usando a fórmula 
, e também, como no caso discreto, de acordo com a fórmula https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.
Todas as propriedades de expectativa matemática e dispersão fornecidas no Capítulo 5 para variáveis aleatórias discretas também são válidas para variáveis aleatórias contínuas.
Problema 2. Para a variável aleatória x do Problema 1, calcule valor esperado e variação .
Solução.
E isso significa
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">
Para um gráfico de densidade de distribuição uniforme, veja a Fig. .
Figura 6.2. Função de distribuição e densidade de distribuição. lei uniforme
A função de distribuição Fx(x) de uma variável aleatória uniformemente distribuída é igual a
FX(x)= 
Expectativa e variância; .
Distribuição exponencial (exponencial). Uma variável aleatória contínua x assumindo valores não negativos tem uma distribuição exponencial com parâmetro l>0 se a distribuição de densidade de probabilidade da variável aleatória for igual a
рx(x)= 
Arroz. 6.3. Função de distribuição e densidade de distribuição da lei exponencial.
A função de distribuição da distribuição exponencial tem a forma
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> e se sua densidade de distribuição for igual a
.
Através denota o conjunto de todas as variáveis aleatórias distribuídas de acordo com uma lei normal com parâmetros parâmetros e .
A função de distribuição de uma variável aleatória normalmente distribuída é igual a
.
Arroz. 6.4. Função de distribuição e densidade de distribuição normal
Os parâmetros da distribuição normal são a expectativa matemática https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
No caso especial quando https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> distribuição normal é chamada padrão, e a classe de tais distribuições é indicada por https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,
e a função de distribuição
Tal integral não pode ser calculada analiticamente (não é considerada em “quadraturas”) e, portanto, foram compiladas tabelas para a função. A função está relacionada à função de Laplace introduzida no Capítulo 4
,
pela seguinte relação 
. No caso de valores de parâmetros arbitrários https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> a função de distribuição de uma variável aleatória está relacionada à função de Laplace usando a relação:
.
Portanto, a probabilidade de uma variável aleatória normalmente distribuída cair em um intervalo pode ser calculada usando a fórmula
.
Uma variável aleatória não negativa x é chamada lognormalmente distribuída se seu logaritmo h=lnx obedece à lei normal. O valor esperado e a variância de uma variável aleatória distribuída lognormalmente são Mx= e Dx=.
Tarefa 3. Deixe uma variável aleatória ser fornecida https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.
Solução. Aqui https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
Distribuição de Laplaceé dado pela função fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> e a curtose é gx=3.
Figura 6.5. Função de densidade de distribuição de Laplace.
A variável aleatória x é distribuída Lei de Weibull, se tiver uma função de densidade de distribuição igual a https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">
A distribuição Weibull rege os tempos livres de falhas de muitos dispositivos técnicos. Em problemas deste perfil, uma característica importante é a taxa de reprovação (taxa de mortalidade) l(t) dos elementos estudados de idade t, determinada pela relação l(t)=. Se uma=1, então a distribuição Weibull se transforma em uma distribuição exponencial, e se uma=2 - na chamada distribuição Rayleigh.
Expectativa matemática da distribuição Weibull: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, onde Г(а) é o Euler função. .
Em vários problemas de estatística aplicada, são frequentemente encontradas as chamadas distribuições “truncadas”. Por exemplo, as autoridades fiscais estão interessadas na distribuição do rendimento daqueles indivíduos cujo rendimento anual excede um determinado limite c0 estabelecido pela legislação fiscal. Essas distribuições coincidem aproximadamente com a distribuição de Pareto. Distribuição de Pareto dado por funções
Fx(x)=P(x
Aqui https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.
Tarefa 4. A variável aleatória é distribuída uniformemente no segmento. Encontre a densidade de uma variável aleatória.
Solução. Das condições do problema segue-se que
A seguir, a função é uma função monótona e diferenciável em um intervalo e tem função inversa 
, cuja derivada é igual a Portanto,
§ 5. Par de variáveis aleatórias contínuas
Sejam dadas duas variáveis aleatórias contínuas x e h. Então o par (x, h) define um ponto “aleatório” no plano. O par (x, h) é chamado vetor aleatório ou variável aleatória bidimensional.
Função de distribuição conjunta variáveis aleatórias x e h e a função é chamada F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. densidade articular distribuição de probabilidade de variáveis aleatórias x e h é chamada de função tal que 
.
O significado desta definição de densidade de distribuição conjunta é o seguinte. A probabilidade de um “ponto aleatório” (x, h) cair em uma região de um plano é calculada como o volume de uma figura tridimensional – um cilindro “curvilíneo” delimitado pela superfície https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3.gif" largura="211" altura="39 src=">
O exemplo mais simples de distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias é a distribuição bidimensional distribuição uniforme no setA. Seja dado um conjunto limitado M com área, definido como a distribuição do par (x, h), definido pela seguinte densidade de junta:
Tarefa 5. Deixe um vetor aleatório bidimensional (x, h) ser uniformemente distribuído dentro do triângulo. Calcule a probabilidade da desigualdade x>h.
Solução. A área do triângulo indicado é igual a (ver Fig. No.?). Em virtude da definição de uma distribuição uniforme bidimensional, a densidade conjunta das variáveis aleatórias x, h é igual a
Um evento corresponde a um conjunto 
em um avião, ou seja, um meio plano. Então a probabilidade
No semiplano B, a densidade da junta é zero fora do conjunto https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Assim, o o meio plano B é dividido em dois conjuntos e https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> e , e a segunda integral é igual a zero, já que a densidade da junta ali é igual a zero. É por isso
Se a densidade de distribuição conjunta para um par (x, h) for dada, então as densidades de ambos os componentes x e h são chamadas densidades privadas e são calculados usando as fórmulas:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">
Para variáveis aleatórias distribuídas continuamente com densidades рx(х), рh(у), independência significa que
Tarefa 6. Nas condições do problema anterior, determine se os componentes do vetor aleatório x e h são independentes?
Solução. Vamos calcular as densidades parciais e. Nós temos:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">
Obviamente, no nosso caso https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> é a densidade conjunta das quantidades x e h, e j( x, y) é uma função de dois argumentos, então
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">
Tarefa 7. Nas condições do problema anterior, calcule .
Solução. De acordo com a fórmula acima temos:
.
Representando o triângulo como
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" largura="479" altura="59">
§ 5. Densidade da soma de duas variáveis aleatórias contínuas
Sejam x e h variáveis aleatórias independentes com densidades https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. A densidade da variável aleatória x + h é calculado pela fórmula convolução
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Calcule a densidade da soma.
Solução. Como x e h são distribuídos de acordo com a lei exponencial com o parâmetro , suas densidades são iguais
Por isso,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
Se x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">é negativo e, portanto, . Portanto, se https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">
Assim obtivemos a resposta:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> é normalmente distribuído com parâmetros 0 e 1. Variáveis aleatórias x1 e x2 são independentes e têm normal distribuições com parâmetros a1 e a2, respectivamente. Prove que x1 + x2 tem uma distribuição normal. As variáveis aleatórias x1, x2, ... xn são distribuídas e independentes e têm a mesma função densidade
.
Encontre a função de distribuição e densidade de distribuição de valores:
a) h1 = min(x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = máx (x1,x2, ... xn)
Variáveis aleatórias x1, x2, ... xn são independentes e uniformemente distribuídas no intervalo [a, b]. Encontre funções de distribuição e funções de densidade de distribuições de quantidades
x(1) = mín (x1,x2, ... xn) e x(2)= máx(x1, x2, ...xn).
Prove que Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.
A variável aleatória é distribuída de acordo com a lei de Cauchy. Encontre: a) coeficiente a; b) função de distribuição; c) a probabilidade de cair no intervalo (-1, 1). Mostre que a expectativa matemática de x não existe. A variável aleatória está sujeita à lei de Laplace com o parâmetro l (l>0): Encontre o coeficiente a; construir gráficos de densidade de distribuição e funções de distribuição; encontre Mx e Dx; encontre as probabilidades dos eventos (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
Escreva uma fórmula para a densidade de distribuição, encontre Mx e Dx.
Tarefas computacionais.
Um ponto aleatório A tem distribuição uniforme em um círculo de raio R. Encontre a expectativa matemática e a variância da distância r do ponto ao centro do círculo. Mostre que o valor r2 está uniformemente distribuído no segmento. 
A densidade de distribuição de uma variável aleatória tem a forma: 
Calcule a constante C, a função de distribuição F(x) e a probabilidade 
A densidade de distribuição de uma variável aleatória tem a forma: 
Calcule a constante C, a função de distribuição F(x) e a probabilidade 
A densidade de distribuição de uma variável aleatória tem a forma: 
Calcule a constante C, a função de distribuição F(x), , variância e probabilidade. Uma variável aleatória tem uma função de distribuição 
Calcule a densidade de uma variável aleatória, expectativa matemática, variância e probabilidade Verifique se a função = 
pode ser uma função de distribuição de uma variável aleatória. Encontre as características numéricas desta quantidade: Mx e Dx. A variável aleatória é distribuída uniformemente no segmento. Anote a densidade de distribuição. Encontre a função de distribuição. Encontre a probabilidade de uma variável aleatória cair no segmento e no segmento. A densidade de distribuição x é igual a
.
Encontre a constante c, a densidade de distribuição h = e a probabilidade
P (0,25 O tempo de operação sem falhas de um computador é distribuído de acordo com uma lei exponencial com o parâmetro l = 0,05 (falhas por hora), ou seja, possui uma função densidade p(x) = Resolver um determinado problema requer uma operação da máquina sem problemas por 15 minutos. Se ocorrer uma falha durante a resolução de um problema, o erro será detectado somente após a conclusão da solução e o problema será resolvido novamente. Encontre: a) a probabilidade de que durante a solução do problema não ocorra uma única falha; b) o tempo médio em que o problema será resolvido. Uma haste de 24 cm de comprimento é dividida em duas partes; Assumiremos que o ponto de ruptura está distribuído uniformemente ao longo de todo o comprimento da haste. Qual é o comprimento médio da maior parte da haste? Um pedaço de 12 cm de comprimento é cortado aleatoriamente em duas partes. O ponto de corte é distribuído uniformemente ao longo de todo o comprimento do segmento. Qual é o comprimento médio da pequena parte do segmento? A variável aleatória é distribuída uniformemente no segmento. Encontre a densidade de distribuição da variável aleatória a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = . Mostre que se x tem uma função de distribuição contínua F(x) = P(x Encontre a função densidade e a função distribuição da soma de duas quantidades independentes x e h com leis de distribuição uniformes nos segmentos e, respectivamente. As variáveis aleatórias x e h são independentes e uniformemente distribuídas nos segmentos e, respectivamente. Calcule a densidade da soma x+h. As variáveis aleatórias x e h são independentes e uniformemente distribuídas nos segmentos e, respectivamente. Calcule a densidade da soma x+h. As variáveis aleatórias x e h são independentes e uniformemente distribuídas nos segmentos e, respectivamente. Calcule a densidade da soma x+h. Variáveis aleatórias são independentes e possuem distribuição exponencial com densidade Como é sabido, variável aleatória
é chamada de quantidade variável que pode assumir determinados valores dependendo do caso. Variáveis aleatórias são denotadas por letras maiúsculas do alfabeto latino (X, Y, Z) e seus valores são denotados por letras minúsculas correspondentes (x, y, z). Variáveis aleatórias são divididas em descontínuas (discretas) e contínuas. Variável aleatória discreta
é uma variável aleatória que assume apenas um conjunto finito ou infinito (contável) de valores com certas probabilidades diferentes de zero. Lei de distribuição de uma variável aleatória discreta
é uma função que conecta os valores de uma variável aleatória com suas probabilidades correspondentes. A lei de distribuição pode ser especificada de uma das seguintes maneiras. 1
. A lei de distribuição pode ser dada pela tabela:
onde λ>0, k = 0, 1, 2,…. V) usando funções de distribuição F(x)
, que determina para cada valor x a probabilidade de a variável aleatória X assumir um valor menor que x, ou seja, F(x) = P(X< x). Propriedades da função F(x) 3
. A lei de distribuição pode ser especificada graficamente
– polígono de distribuição (polígono) (ver problema 3). Observe que para resolver alguns problemas não é necessário conhecer a lei de distribuição. Em alguns casos, basta conhecer um ou vários números que refletem as características mais importantes da lei de distribuição. Pode ser um número que tem o significado do “valor médio” de uma variável aleatória ou um número que mostra o tamanho médio do desvio de uma variável aleatória em relação ao seu valor médio. Números desse tipo são chamados de características numéricas de uma variável aleatória. Características numéricas básicas de uma variável aleatória discreta
: Foram emitidos 1.000 bilhetes de loteria: 5 deles ganharão 500 rublos, 10 ganharão 100 rublos, 20 ganharão 50 rublos, 50 ganharão 10 rublos. Determine a lei da distribuição de probabilidade da variável aleatória X - ganhos por bilhete. Solução.
De acordo com as condições do problema, são possíveis os seguintes valores da variável aleatória X: 0, 10, 50, 100 e 500. O número de bilhetes sem ganhar é 1000 – (5+10+20+50) = 915, então P(X=0) = 915/1000 = 0,915. Da mesma forma, encontramos todas as outras probabilidades: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X =500) = 5/1000=0,005. Apresentamos a lei resultante em forma de tabela: Vamos encontrar a expectativa matemática do valor X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5 O dispositivo consiste em três elementos que operam de forma independente. A probabilidade de falha de cada elemento em um experimento é 0,1. Elabore uma lei de distribuição para o número de elementos com falha em um experimento, construa um polígono de distribuição. Encontre a função de distribuição F(x) e faça um gráfico dela. Encontre a expectativa matemática, a variância e o desvio padrão de uma variável aleatória discreta. Solução.
1.
A variável aleatória discreta X = (o número de elementos com falha em um experimento) tem os seguintes valores possíveis: x 1 = 0 (nenhum dos elementos do dispositivo falhou), x 2 = 1 (um elemento falhou), x 3 = 2 ( dois elementos falharam) e x 4 =3 (três elementos falharam). As falhas dos elementos são independentes umas das outras, as probabilidades de falha de cada elemento são iguais, portanto é aplicável Fórmula de Bernoulli
. Considerando que, de acordo com a condição n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, determinamos as probabilidades dos valores: Assim, a lei de distribuição binomial desejada de X tem a forma: Plotamos os valores possíveis de x i ao longo do eixo das abcissas e as probabilidades correspondentes pi ao longo do eixo das ordenadas. Vamos construir os pontos M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Ao conectar esses pontos com segmentos de reta, obtemos o polígono de distribuição desejado. 3.
Vamos encontrar a função de distribuição F(x) = Р(Х Gráfico da função F(x) 4.
Para distribuição binomial X: Variável aleatória
é uma variável que pode assumir certos valores dependendo de várias circunstâncias, e variável aleatória é chamada contínua
, se puder assumir qualquer valor de qualquer intervalo limitado ou ilimitado. Para uma variável aleatória contínua é impossível indicar todos os valores possíveis, por isso designamos intervalos desses valores que estão associados a determinadas probabilidades. Exemplos de variáveis aleatórias contínuas incluem: o diâmetro de uma peça sendo retificada até um determinado tamanho, a altura de uma pessoa, o alcance de voo de um projétil, etc. Já que para variáveis aleatórias contínuas a função F(x), Diferente variáveis aleatórias discretas, não tem saltos em lugar nenhum, então a probabilidade de qualquer valor individual de uma variável aleatória contínua é zero. Isso significa que para uma variável aleatória contínua não faz sentido falar em distribuição de probabilidade entre seus valores: cada um deles tem probabilidade zero. Porém, em certo sentido, entre os valores de uma variável aleatória contínua existem “mais e menos prováveis”. Por exemplo, dificilmente alguém duvidaria que o valor de uma variável aleatória - a altura de uma pessoa encontrada aleatoriamente - 170 cm - seja mais provável que 220 cm, embora ambos os valores possam ocorrer na prática. Como uma lei de distribuição que faz sentido apenas para variáveis aleatórias contínuas, é introduzido o conceito de densidade de distribuição ou densidade de probabilidade. Vamos abordar isso comparando o significado da função de distribuição para uma variável aleatória contínua e para uma variável aleatória discreta. Então, a função de distribuição de uma variável aleatória (discreta e contínua) ou função integralé chamada de função que determina a probabilidade de que o valor de uma variável aleatória X menor ou igual ao valor limite X. Para uma variável aleatória discreta nos pontos de seus valores x1
, x 2
, ..., x eu,... massas de probabilidades estão concentradas p1
, p 2
, ..., p eu,..., e a soma de todas as massas é igual a 1. Transfiramos esta interpretação para o caso de uma variável aleatória contínua. Vamos imaginar que uma massa igual a 1 não está concentrada em pontos individuais, mas está continuamente “espalhada” ao longo do eixo das abcissas Oh com alguma densidade irregular. Probabilidade de uma variável aleatória cair em qualquer área Δ x será interpretado como a massa por seção, e a densidade média nessa seção como a razão entre massa e comprimento. Acabamos de introduzir um conceito importante na teoria das probabilidades: densidade de distribuição. Densidade de probabilidade f(x) de uma variável aleatória contínua é a derivada de sua função de distribuição: Conhecendo a função densidade, você pode encontrar a probabilidade de que o valor de uma variável aleatória contínua pertença ao intervalo fechado [ a; b]: a probabilidade de que uma variável aleatória contínua X assumirá qualquer valor do intervalo [ a; b], é igual a uma certa integral de sua densidade de probabilidade variando de a antes b: Neste caso, a fórmula geral da função F(x) distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua, que pode ser usada se a função densidade for conhecida f(x)
: O gráfico de densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua é chamado de curva de distribuição (figura abaixo). Área de uma figura (sombreada na figura) delimitada por uma curva, linhas retas desenhadas a partir de pontos a E b perpendicular ao eixo x, e o eixo Oh, exibe graficamente a probabilidade de que o valor de uma variável aleatória contínua X está dentro da faixa de a antes b. 1. A probabilidade de uma variável aleatória assumir qualquer valor do intervalo (e a área da figura que é limitada pelo gráfico da função f(x) e eixo Oh) é igual a um: 2. A função densidade de probabilidade não pode assumir valores negativos: e fora da existência da distribuição seu valor é zero Densidade de distribuição f(x), bem como a função de distribuição F(x), é uma das formas da lei de distribuição, mas diferentemente da função de distribuição, não é universal: a densidade de distribuição existe apenas para variáveis aleatórias contínuas. Mencionemos os dois tipos mais importantes de distribuição de uma variável aleatória contínua na prática. Se a função densidade de distribuição f(x) variável aleatória contínua em algum intervalo finito [ a; b] assume um valor constante C, e fora do intervalo assume um valor igual a zero, então este a distribuição é chamada uniforme . Se o gráfico da função densidade de distribuição for simétrico em relação ao centro, os valores médios concentram-se próximos ao centro, e ao se afastar do centro, são coletados aqueles mais diferentes da média (o gráfico da função lembra uma seção de um sino), então isso distribuição é chamada normal . Exemplo 1. A função de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua é conhecida: Função encontrar f(x) densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua. Construa gráficos de ambas as funções. Encontre a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir qualquer valor no intervalo de 4 a 8: . Solução. Obtemos a função de densidade de probabilidade encontrando a derivada da função de distribuição de probabilidade: Gráfico de uma função F(x) - parábola: Gráfico de uma função f(x) - direto: Vamos encontrar a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir qualquer valor no intervalo de 4 a 8: Exemplo 2. A função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua é dada como: Calcular coeficiente C. Função encontrar F(x) distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua. Construa gráficos de ambas as funções. Encontre a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir qualquer valor no intervalo de 0 a 5: . Solução. Coeficiente C encontramos, usando a propriedade 1 da função de densidade de probabilidade: Assim, a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua é: Integrando, encontramos a função F(x) distribuições de probabilidade. Se x < 0
, то
F(x) = 0 . Se 0< x < 10
, то x> 10, então F(x) = 1
. Assim, o registro completo da função de distribuição de probabilidade é: Gráfico de uma função f(x)
: Gráfico de uma função F(x)
: Vamos encontrar a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir qualquer valor no intervalo de 0 a 5: Exemplo 3. Densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua Xé dado pela igualdade e . Encontrar coeficiente A, a probabilidade de que uma variável aleatória contínua X assumirá qualquer valor do intervalo ]0, 5[, a função de distribuição de uma variável aleatória contínua X. Solução. Por condição chegamos à igualdade Portanto, , de onde . Então, Agora encontramos a probabilidade de que uma variável aleatória contínua X assumirá qualquer valor do intervalo ]0, 5[: Agora obtemos a função de distribuição desta variável aleatória: Exemplo 4. Encontre a densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X, que assume apenas valores não negativos, e sua função de distribuição VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Exemplo 2.1. Valor aleatório X dado pela função de distribuição Encontre a probabilidade de que, como resultado do teste X assumirá valores contidos no intervalo (2,5; 3,6). Solução: X no intervalo (2,5; 3,6) pode ser determinado de duas maneiras: Exemplo 2.2. Em quais valores de parâmetros A E EM função F(x) = UMA + Ser - x pode ser uma função de distribuição para valores não negativos de uma variável aleatória X. Solução: Como todos os valores possíveis da variável aleatória X pertencem ao intervalo, então para que a função seja uma função de distribuição para X, a propriedade deve ser satisfeita: Responder: Exemplo 2.3. A variável aleatória X é especificada pela função de distribuição Encontre a probabilidade de que, como resultado de quatro testes independentes, o valor X exatamente 3 vezes terá um valor pertencente ao intervalo (0,25;0,75). Solução: Probabilidade de acertar um valor X no intervalo (0,25;0,75) encontramos usando a fórmula: Exemplo 2.4. A probabilidade de a bola atingir a cesta com um arremesso é de 0,3. Elabore uma lei de distribuição para o número de acertos com três lances. Solução: Valor aleatório X– o número de rebatidas na cesta com três arremessos – pode assumir os seguintes valores: 0, 1, 2, 3. Probabilidades que X X: Exemplo 2.5. Dois atiradores disparam cada um um tiro contra um alvo. A probabilidade de o primeiro atirador acertar é de 0,5, o segundo é de 0,4. Elabore uma lei de distribuição para o número de acertos em um alvo. Solução: Vamos encontrar a lei de distribuição de uma variável aleatória discreta X– número de acertos no alvo. Deixe o evento ser o primeiro atirador acertando o alvo, e deixe o segundo atirador acertar o alvo e ser seus erros, respectivamente. Vamos compor a lei da distribuição de probabilidade de SV X: Exemplo 2.6. Três elementos são testados, operando independentemente um do outro. A duração do tempo (em horas) de operação sem falhas dos elementos tem uma função de densidade de distribuição: para o primeiro: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, para o segundo: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, para o terceiro: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Encontre a probabilidade de que no intervalo de tempo de 0 a 5 horas: apenas um elemento falhe; apenas dois elementos falharão; todos os três elementos falharão. Solução: Vamos usar a definição da função geradora de probabilidade: A probabilidade de que em ensaios independentes, no primeiro dos quais a probabilidade de um evento ocorrer A igual a , no segundo, etc., evento A aparece exatamente uma vez, igual ao coeficiente na expansão da função geradora em potências de . Vamos encontrar as probabilidades de falha e não falha, respectivamente, do primeiro, segundo e terceiro elemento no intervalo de tempo de 0 a 5 horas: Vamos criar uma função geradora: O coeficiente em é igual à probabilidade de que o evento A aparecerá exatamente três vezes, ou seja, a probabilidade de falha dos três elementos; o coeficiente at é igual à probabilidade de exatamente dois elementos falharem; o coeficiente at é igual à probabilidade de que apenas um elemento falhe. Exemplo 2.7. Dada a densidade de probabilidade f(x)variável aleatória X: Encontre a função de distribuição F(x). Solução: Usamos a fórmula: Assim, a função de distribuição fica assim: Exemplo 2.8. O dispositivo consiste em três elementos que operam de forma independente. A probabilidade de falha de cada elemento em um experimento é 0,1. Elabore uma lei de distribuição para o número de elementos com falha em um experimento. Solução: Valor aleatório X– o número de elementos que falharam em um experimento – pode assumir os seguintes valores: 0, 1, 2, 3. Probabilidades que X assume esses valores, encontramos usando a fórmula de Bernoulli: Assim, obtemos a seguinte lei de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X: Exemplo 2.9. Em um lote de 6 peças existem 4 peças padrão. 3 partes foram selecionadas aleatoriamente. Elabore uma lei de distribuição do número de peças padrão entre as selecionadas. Solução: Valor aleatório X– o número de peças padrão dentre as selecionadas – pode assumir os seguintes valores: 1, 2, 3 e possui distribuição hipergeométrica. Probabilidades que X Onde --
número de peças do lote; --
número de peças padrão em um lote; –
número de peças selecionadas; --
número de peças padrão entre as selecionadas. Exemplo 2.10. A variável aleatória tem uma densidade de distribuição e não são conhecidos, mas , a e . Encontre e. Solução: Neste caso, a variável aleatória X tem uma distribuição triangular (distribuição de Simpson) no intervalo [ um, b]. Características numéricas X: Por isso, Responder: Exemplo 2.11. Em média, em 10% dos contratos, a seguradora paga valores segurados em relação à ocorrência de um sinistro. Calcule a expectativa matemática e a dispersão do número desses contratos entre quatro selecionados aleatoriamente. Solução: A expectativa matemática e a variância podem ser encontradas usando as fórmulas: Valores possíveis de SV (número de contratos (em quatro) com ocorrência de sinistro): 0, 1, 2, 3, 4. Usamos a fórmula de Bernoulli para calcular as probabilidades de diferentes números de contratos (em quatro) para os quais os valores do seguro foram pagos: A série de distribuição do IC (número de contratos com ocorrência de sinistro) tem a forma: Responder: , . Exemplo 2.12. Das cinco rosas, duas são brancas. Elabore uma lei de distribuição de uma variável aleatória que expresse o número de rosas brancas entre duas tomadas simultaneamente. Solução: Numa seleção de duas rosas, pode não haver nenhuma rosa branca ou pode haver uma ou duas rosas brancas. Portanto, a variável aleatória X pode assumir valores: 0, 1, 2. Probabilidades que X assume esses valores, encontramos usando a fórmula: Onde --
número de rosas; --
número de rosas brancas; –
número de rosas colhidas ao mesmo tempo; --
o número de rosas brancas entre as tiradas. Então a lei de distribuição da variável aleatória será a seguinte: Exemplo 2.13. Das 15 unidades montadas, 6 necessitam de lubrificação adicional. Elabore uma lei de distribuição para o número de unidades que necessitam de lubrificação adicional entre cinco selecionadas aleatoriamente do número total. Solução: Valor aleatório X– o número de unidades que necessitam de lubrificação adicional entre as cinco selecionadas – pode assumir os seguintes valores: 0, 1, 2, 3, 4, 5 e tem distribuição hipergeométrica. Probabilidades que X assume esses valores, encontramos usando a fórmula: Onde --
número de unidades montadas; --
o número de unidades que requerem lubrificação adicional; –
número de unidades selecionadas; --
o número de unidades que requerem lubrificação adicional entre as selecionadas. Então a lei de distribuição da variável aleatória será a seguinte: Exemplo 2.14. Dos 10 relógios recebidos para conserto, 7 necessitam de limpeza geral do mecanismo. Os relógios não são classificados por tipo de reparo. O mestre, querendo encontrar relógios que precisam de limpeza, examina-os um por um e, tendo encontrado tais relógios, interrompe a visualização. Encontre a expectativa matemática e a variação do número de horas assistidas. Solução: Valor aleatório X– o número de unidades que necessitam de lubrificação adicional entre as cinco selecionadas – pode assumir os seguintes valores: 1, 2, 3, 4. Probabilidades que X assume esses valores, encontramos usando a fórmula: Então a lei de distribuição da variável aleatória será a seguinte: Agora vamos calcular as características numéricas da quantidade: Responder: , . Exemplo 2.15. O assinante esqueceu o último dígito do número de telefone de que precisa, mas lembra que é estranho. Encontre a expectativa matemática e a variância do número de vezes que ele disca um número de telefone antes de atingir o número desejado, se ele discar o último dígito aleatoriamente e não discar posteriormente o dígito discado. Solução: A variável aleatória pode assumir os seguintes valores: . Como o assinante não discará o dígito discado no futuro, as probabilidades desses valores são iguais. Vamos compilar uma série de distribuição de uma variável aleatória: Vamos calcular a expectativa matemática e a variação do número de tentativas de discagem: Responder: , . Exemplo 2.16. A probabilidade de falha durante o teste de confiabilidade para cada dispositivo da série é igual a p. Determine a expectativa matemática do número de dispositivos que falharam se fossem testados N dispositivos. Solução: A variável aleatória discreta X é o número de dispositivos com falha em N testes independentes, em cada um dos quais a probabilidade de falha é igual p, distribuído de acordo com a lei binomial. A expectativa matemática de uma distribuição binomial é igual ao número de tentativas multiplicado pela probabilidade de um evento ocorrer em uma tentativa: Exemplo 2.17. Variável aleatória discreta X assume 3 valores possíveis: com probabilidade; com probabilidade e com probabilidade. Encontre e, sabendo que M( X) = 8. Solução: Usamos as definições de expectativa matemática e a lei de distribuição de uma variável aleatória discreta: Nós achamos: . Exemplo 2.18. O departamento de controle técnico verifica a padronização dos produtos. A probabilidade de o produto ser padrão é 0,9. Cada lote contém 5 produtos. Encontre a expectativa matemática de uma variável aleatória X– o número de lotes, cada um contendo exatamente 4 produtos padrão, se 50 lotes estiverem sujeitos a inspeção. Solução: Neste caso, todos os experimentos realizados são independentes, e as probabilidades de cada lote conter exatamente 4 produtos padrão são as mesmas, portanto, a expectativa matemática pode ser determinada pela fórmula: onde está o número de partes; A probabilidade de um lote conter exatamente 4 produtos padrão. Encontramos a probabilidade usando a fórmula de Bernoulli: Responder: Exemplo 2.19. Encontre a variância de uma variável aleatória X– número de ocorrências do evento A em duas tentativas independentes, se as probabilidades de ocorrência de um evento nessas tentativas forem iguais e se souber que M(X) = 0,9. Solução: O problema pode ser resolvido de duas maneiras. 1) Valores possíveis de SV X: 0, 1, 2. Usando a fórmula de Bernoulli, determinamos as probabilidades destes eventos: ,
Então a lei de distribuição X tem o formato: A partir da definição de expectativa matemática, determinamos a probabilidade: Vamos encontrar a dispersão de SV X: 2) Você pode usar a fórmula: Responder: Exemplo 2.20. Expectativa e desvio padrão de uma variável aleatória normalmente distribuída X respectivamente iguais a 20 e 5. Encontre a probabilidade de que, como resultado do teste X assumirá o valor contido no intervalo (15; 25). Solução: Probabilidade de acertar uma variável aleatória normal X na seção de até é expressa através da função de Laplace: Exemplo 2.21. Função dada: Em qual valor do parâmetro C esta função é a densidade de distribuição de alguma variável aleatória contínua X? Encontre a expectativa matemática e a variância de uma variável aleatória X. Solução: Para que uma função seja a densidade de distribuição de alguma variável aleatória, ela deve ser não negativa e deve satisfazer a propriedade: Por isso: Vamos calcular a expectativa matemática usando a fórmula: Vamos calcular a variância usando a fórmula: T é igual p. É necessário encontrar a expectativa matemática e a variância desta variável aleatória. Solução: A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta X - o número de ocorrências de um evento em tentativas independentes, em cada uma das quais a probabilidade de ocorrência do evento é igual a , é chamada binomial. A expectativa matemática da distribuição binomial é igual ao produto do número de tentativas e a probabilidade de ocorrência do evento A em uma tentativa: Exemplo 2.25. Três tiros independentes são disparados contra o alvo. A probabilidade de acertar cada tiro é de 0,25. Determine o desvio padrão do número de acertos com três tiros. Solução: Como são realizadas três tentativas independentes e a probabilidade de ocorrência do evento A (um acerto) em cada tentativa é a mesma, assumiremos que a variável aleatória discreta X - o número de acertos no alvo - é distribuída de acordo com o lei binomial. A variância da distribuição binomial é igual ao produto do número de tentativas e a probabilidade de ocorrência e não ocorrência de um evento em uma tentativa: Exemplo 2.26. O número médio de clientes que visitam uma seguradora em 10 minutos é três. Encontre a probabilidade de que pelo menos um cliente chegue nos próximos 5 minutos. Número médio de clientes chegando em 5 minutos: Exemplo 2.29. O tempo de espera de uma aplicação na fila do processador obedece a uma lei de distribuição exponencial com valor médio de 20 segundos. Encontre a probabilidade de que a próxima solicitação (aleatória) aguarde no processador por mais de 35 segundos. Solução: Neste exemplo, a expectativa matemática Então a probabilidade desejada: Exemplo 2.30. Um grupo de 15 estudantes realiza uma reunião em um salão com 20 fileiras de 10 lugares cada. Cada aluno ocupa um lugar na sala aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que não mais do que três pessoas estejam na sétima posição da fila? Solução: Exemplo 2.31. Então, de acordo com a definição clássica de probabilidade: Onde --
número de peças do lote; --
número de peças não padronizadas no lote; –
número de peças selecionadas; --
número de peças fora do padrão entre as selecionadas. Então a lei de distribuição da variável aleatória será a seguinte. Densidade de distribuição
probabilidades X chame a função f(x)– a primeira derivada da função de distribuição F(x): O conceito de densidade de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X não aplicável para quantidades discretas. Densidade de distribuição de probabilidade f(x)– chamada de função de distribuição diferencial: Propriedade 1. A densidade de distribuição é uma quantidade não negativa: Propriedade 2. A integral imprópria da densidade de distribuição no intervalo de a é igual à unidade: Exemplo 1.25. Dada a função de distribuição de uma variável aleatória contínua X: f(x). Solução: A densidade de distribuição é igual à primeira derivada da função de distribuição: 1. Dada a função de distribuição de uma variável aleatória contínua X: Encontre a densidade de distribuição. 2. A função de distribuição de uma variável aleatória contínua é dada X: Encontre a densidade de distribuição f(x). 1.3. Características numéricas de aleatório contínuo quantidades Valor esperado variável aleatória contínua X, cujos valores possíveis pertencem a todo o eixo Oh, é determinado pela igualdade: Supõe-se que a integral converge absolutamente. um,b), Que: f(x)– densidade de distribuição de uma variável aleatória. Dispersão
variável aleatória contínua X, cujos valores possíveis pertencem a todo o eixo, é determinado pela igualdade: Um caso especial. Se os valores de uma variável aleatória pertencem ao intervalo ( um,b), Que: A probabilidade de que X assumirá valores pertencentes ao intervalo ( um,b), é determinado pela igualdade: Exemplo 1.26. Variável aleatória contínua X Encontre a expectativa matemática, variância e probabilidade de atingir uma variável aleatória X no intervalo (0;0,7). Solução: A variável aleatória é distribuída no intervalo (0,1). Vamos determinar a densidade de distribuição de uma variável aleatória contínua X: a) Expectativa matemática b) Variância V) Tarefas para trabalho independente: 1. Variável aleatória X dado pela função de distribuição: M(x); b) variação D(x); X no intervalo (2,3). 2. Variável aleatória X Encontre: a) expectativa matemática M(x); b) variação D(x); c) determinar a probabilidade de uma variável aleatória atingir X no intervalo (1;1,5). 3. Variável aleatória Xé dado pela função de distribuição cumulativa: Encontre: a) expectativa matemática M(x); b) variação D(x); c) determinar a probabilidade de uma variável aleatória atingir X no intervalo 1.4. Leis de distribuição de uma variável aleatória contínua 1.4.1. Distribuição uniforme Variável aleatória contínua X tem uma distribuição uniforme no segmento [ um,b], se neste segmento a densidade de distribuição de probabilidade da variável aleatória for constante, e fora dele for igual a zero, ou seja: Arroz. 4. ; Exemplo 1.27. Um ônibus em uma determinada rota se move uniformemente em intervalos de 5 minutos. Encontre a probabilidade de que uma variável aleatória uniformemente distribuída X– o tempo de espera do ônibus será inferior a 3 minutos. Solução: Valor aleatório X– uniformemente distribuído ao longo do intervalo . Densidade de probabilidade: Para que o tempo de espera não ultrapasse 3 minutos, o passageiro deverá comparecer na parada dentro de 2 a 5 minutos após a saída do ônibus anterior, ou seja. valor aleatório X deve cair no intervalo (2;5). Que. probabilidade necessária: Tarefas para trabalho independente: 1. a) encontre a expectativa matemática de uma variável aleatória X distribuído uniformemente no intervalo (2;8); b) encontre a variância e o desvio padrão da variável aleatória X, distribuído uniformemente no intervalo (2;8). 2. O ponteiro dos minutos de um relógio elétrico move-se abruptamente no final de cada minuto. Encontre a probabilidade de que em um determinado momento o relógio mostre uma hora diferente da hora real em não mais que 20 segundos. 1.4.2. Distribuição exponencial Variável aleatória contínua Xé distribuído de acordo com a lei exponencial se sua densidade de probabilidade tiver a forma: onde está o parâmetro da distribuição exponencial. Por isso Arroz. 5. Características numéricas: Exemplo 1.28. Valor aleatório X– tempo de funcionamento de uma lâmpada - tem distribuição exponencial. Determine a probabilidade de que o tempo de operação da lâmpada seja de pelo menos 600 horas se o tempo médio de operação for de 400 horas. Solução: De acordo com as condições do problema, a expectativa matemática de uma variável aleatória Xé igual a 400 horas, portanto: ; A probabilidade necessária, onde Finalmente: Tarefas para trabalho independente: 1. Escreva a função de densidade e distribuição da lei exponencial se o parâmetro . 2. Variável aleatória X Encontre a expectativa matemática e a variância de uma quantidade X. 3. Variável aleatória Xé dado pela função de distribuição de probabilidade: Encontre a expectativa matemática e o desvio padrão de uma variável aleatória. 1.4.3. Distribuição normal Normalé chamada de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua X, cuja densidade tem a forma: Onde A– expectativa matemática, – desvio padrão X. A probabilidade de que X assumirá um valor pertencente ao intervalo: Uma distribuição para a qual; , ou seja com densidade de probabilidade Arroz. 6. Probabilidade de que o valor absoluto seja rejeitado menor que um número positivo: Em particular, quando uma = 0 a igualdade é verdadeira: Exemplo 1.29. Valor aleatório X distribuído normalmente. Desvio padrão. Encontre a probabilidade de que o desvio de uma variável aleatória de sua expectativa matemática em valor absoluto seja menor que 0,3. Solução: . Tarefas para trabalho independente: 1. Escreva a densidade de probabilidade da distribuição normal da variável aleatória X, sabendo que M(x)= 3, D(x)= 16. 2. Expectativa e desvio padrão de uma variável aleatória normalmente distribuída X respectivamente iguais a 20 e 5. Encontre a probabilidade de que, como resultado do teste X assumirá o valor contido no intervalo (15;20). 3. Erros de medição aleatórios estão sujeitos à lei normal com desvio padrão mm e expectativa matemática uma = 0. Encontre a probabilidade de que em 3 medições independentes o erro de pelo menos uma não exceda 4 mm em valor absoluto. 4. Uma determinada substância é pesada sem erros sistemáticos. Erros aleatórios de pesagem estão sujeitos à lei normal com desvio padrão R. Encontre a probabilidade de que a pesagem seja realizada com erro não superior a 10 g em valor absoluto.
.
. Encontre a densidade de distribuição de sua soma. Encontre a distribuição da soma das variáveis aleatórias independentes x e h, onde x tem uma distribuição uniforme no intervalo e h tem uma distribuição exponencial com parâmetro l. Encontre P 
, se x possui: a) distribuição normal com parâmetros a e s2; b) distribuição exponencial com parâmetro l; c) distribuição uniforme no segmento [-1;1]. A distribuição conjunta de x, h é quadrada uniforme
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Encontre probabilidade 
. x e h são independentes? Um par de variáveis aleatórias x e h estão uniformemente distribuídas dentro do triângulo K=. Calcule as densidades x e h. Essas variáveis aleatórias são independentes? Encontre a probabilidade. As variáveis aleatórias x e h são independentes e uniformemente distribuídas nos segmentos e [-1,1]. Encontre a probabilidade. Uma variável aleatória bidimensional (x, h) é distribuída uniformemente em um quadrado com vértices (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Encontre o valor da função de distribuição conjunta no ponto (1, -1). Um vetor aleatório (x, h) está uniformemente distribuído dentro de um círculo de raio 3 centrado na origem. Escreva uma expressão para a densidade de distribuição conjunta. Determine se essas variáveis aleatórias são dependentes. Calcule a probabilidade. Um par de variáveis aleatórias x e h estão uniformemente distribuídas dentro de um trapézio com vértices nos pontos (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Encontre a densidade de distribuição conjunta para este par de variáveis aleatórias e a densidade dos componentes. X e h são dependentes? Um par aleatório (x, h) está uniformemente distribuído dentro de um semicírculo. Encontre as densidades x e h, investigue a questão de sua dependência. A densidade conjunta de duas variáveis aleatórias x e h é igual a 
.
Encontre as densidades x, h. Investigue a questão da dependência de x e h. Um par aleatório (x, h) está uniformemente distribuído no conjunto. Encontre as densidades x e h, investigue a questão de sua dependência. Encontre M(xh). As variáveis aleatórias x e h são independentes e distribuídas de acordo com a lei exponencial com o parâmetro Find
Para distribuição binomial M(X)=np, para distribuição de Poisson M(X)=λ
Para distribuição binomial D(X)=npq, para distribuição de Poisson D(X)=λExemplos de resolução de problemas sobre o tema “A lei da distribuição de uma variável aleatória discreta”
Tarefa 1.
Tarefa 3.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Verifique: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
para 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
por 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
para 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
para x > 3 haverá F(x) = 1, porque o evento é confiável. 
- expectativa matemática M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- variância D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- desvio padrão σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.Função de distribuição de uma variável aleatória contínua e densidade de probabilidade
.
.
.
Propriedades da função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. Resolvendo este sistema, obtemos dois pares de valores: . Pois de acordo com as condições do problema, finalmente temos: 
. .
.
.
0,6561
0,2916
0,0486
0,0036
0,0001
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0,2
,
.
,
.
.
.
.
.
. .
. .
, e a taxa de falha é igual a .
.
:
; 
.
.
, Onde
– Função Laplace.
chamado padrão.
.
