미분방정식의 종류, 해법. 2차 불균일 미분방정식

2차 선형미분방정식 형태의 방정식이라고 불린다.

와이"" + 피(엑스)와이" + 큐(엑스)와이 = 에프(엑스) ,

어디 와이찾을 수 있는 함수이고, 피(엑스) , 큐(엑스) 그리고 에프(엑스) - 특정 간격의 연속 함수( 에, 비) .

만약에 오른쪽 부분방정식은 0입니다( 에프(엑스) = 0)이면 방정식이 호출됩니다. 선형 균질 방정식 . 이 강의의 실제적인 부분은 주로 그러한 방정식에 집중될 것입니다. 방정식의 우변이 0이 아닌 경우( 에프(엑스) ≠ 0)이면 방정식이 호출됩니다.

문제에서 우리는 다음 방정식을 풀어야 합니다. 와이"" :

와이"" = −피(엑스)와이" − 큐(엑스)와이 + 에프(엑스) .

선의 미분 방정식두 번째 주문에는 독특한 솔루션이 있습니다 코시 문제 .

2차 선형 동차 미분방정식과 그 해

2차 선형 동차 미분 방정식을 생각해 보세요.

와이"" + 피(엑스)와이" + 큐(엑스)와이 = 0 .

만약에 와이1 (엑스) 그리고 와이2 (엑스) 이 방정식의 특정 해인 경우 다음 진술은 참입니다.

1) 와이1 (엑스) + 와이 2 (엑스) - 이 방정식의 해이기도 합니다.

2) 싸이1 (엑스) , 어디 씨- 임의의 상수(상수)도 이 방정식의 해입니다.

이 두 진술로부터 함수는 다음과 같습니다.

씨1 와이 1 (엑스) + 씨 2 와이 2 (엑스)

이 방정식의 해이기도 합니다.

공정한 질문이 생깁니다. 이것이 해결책입니까? 2차 선형 균질 미분 방정식의 일반 해 , 즉, 서로 다른 값에 대해 씨1 그리고 씨2 방정식의 가능한 모든 해를 구하는 것이 가능합니까?

이 질문에 대한 대답은 다음과 같습니다. 그러나 특정 조건에서는 가능합니다. 이것 특정 솔루션이 어떤 속성을 가져야 하는지에 대한 조건 와이1 (엑스) 그리고 와이2 (엑스) .

그리고 이 조건을 부분해의 선형독립조건이라고 합니다.

정리. 기능 씨1 와이 1 (엑스) + 씨 2 와이 2 (엑스) 다음과 같은 경우 선형 균질 2차 미분 방정식에 대한 일반적인 해법입니다. 와이1 (엑스) 그리고 와이2 (엑스) 선형 독립.

정의. 기능 와이1 (엑스) 그리고 와이2 (엑스) 비율이 0이 아닌 상수인 경우 선형 독립이라고 합니다.

와이1 (엑스)/와이 2 (엑스) = 케이 ; 케이 = const ; 케이 ≠ 0 .

그러나 이러한 함수가 선형 독립인지 정의에 따라 결정하는 것은 종종 매우 힘든 작업입니다. Wronski 행렬식을 사용하여 선형 독립을 확립하는 방법이 있습니다. 여(엑스) :

Wronski 행렬식이 0이 아닌 경우 해는 선형 독립입니다. . Wronski 행렬식이 0이면 해는 선형 종속적입니다.

예시 1.찾다 공동의 결정선형 균질 미분 방정식.

해결책. 우리는 두 번 적분하고, 쉽게 알 수 있듯이 함수의 2차 도함수와 함수 자체의 차이가 0이 되려면 해가 그 도함수가 그 자체와 같은 지수와 연관되어야 합니다. 즉, 부분해는 과 입니다.

Wronski 행렬식 이후

가 0이 아니면 이 해는 선형 독립입니다. 따라서 이 방정식의 일반적인 해는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

상수 계수를 갖는 선형 균질 2차 미분 방정식: 이론 및 실제

2차 선형 균질 미분 방정식 상수 계수 형태의 방정식이라고 불린다.

와이"" + 파이" + qy = 0 ,

어디 피그리고 큐- 상수 값.

이것이 2계 방정식이라는 사실은 원하는 함수의 2차 도함수가 존재함을 의미하며, 그 동질성은 오른쪽에 0으로 표시됩니다. 위에서 이미 언급한 값을 상수계수라고 합니다.

에게 상수 계수를 사용하여 선형 균질 2차 미분 방정식 풀기 , 먼저 소위 특성 방정식을 풀어야 합니다.

케이² + pq + 큐 = 0 ,

보시다시피 이는 일반적인 이차 방정식입니다.

특성 방정식의 해에 따라 세 가지 다른 옵션이 가능합니다. 상수 계수를 갖는 선형 균질 2차 미분 방정식의 해 , 이제 분석하겠습니다. 완전한 명확성을 위해 모든 특정 솔루션이 Wronski 행렬식에 의해 테스트되었으며 모든 경우에 0이 아니라고 가정합니다. 그러나 의심하는 사람들은 이것을 스스로 확인할 수 있습니다.

특성 방정식의 근은 실제적이고 뚜렷합니다.

다시 말해서, . 이 경우 상수 계수를 갖는 선형 균질 2차 미분 방정식의 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

예 2. 선형 동차 미분 방정식 풀기

예 3. 선형 동차 미분 방정식 풀기

해결책. 특성 방정식은 형태를 가지며, 그 뿌리는 실제적이고 구별됩니다. 방정식의 해당 부분 해는 다음과 같습니다. 및 . 이 미분 방정식의 일반 해법은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

특성 방정식의 근은 실수이고 동일합니다.

그건, . 이 경우 상수 계수를 갖는 선형 균질 2차 미분 방정식의 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

예 4. 선형 동차 미분 방정식 풀기

해결책. 특성 방정식 동일한 뿌리를 가지고 있습니다. 방정식의 해당 부분 해는 다음과 같습니다. 및 . 이 미분 방정식의 일반 해법은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

예 5. 선형 동차 미분 방정식 풀기

해결책. 특성 방정식은 동일한 근을 갖습니다. 방정식의 해당 부분 해는 다음과 같습니다. 및 . 이 미분 방정식의 일반 해법은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

상수 계수를 갖는 선형 균질 미분 방정식을 생각해 보세요.
(1) .
그 해는 일반적인 차수 감소 방법에 따라 얻을 수 있습니다.

그러나 기본 시스템을 즉시 얻는 것이 더 쉽습니다. N선형 독립 솔루션을 기반으로 일반 솔루션을 만듭니다. 이 경우 전체 솔루션 절차는 다음 단계로 축소됩니다.

우리는 방정식 (1)에 대한 해법을 다음과 같은 형식으로 찾고 있습니다. 우리는 얻는다 특성 방정식:
(2) .
그것은 n개의 뿌리를 가지고 있습니다. 방정식 (2)를 풀고 그 뿌리를 찾습니다. 그러면 특성방정식 (2)는 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.
(3) .
각 근은 방정식 (1)에 대한 기본 해 시스템의 선형 독립 해 중 하나에 해당합니다. 그런 다음 원래 방정식 (1)에 대한 일반적인 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
(4) .

진짜 뿌리

실제 뿌리를 생각해 봅시다. 루트를 단일로 둡니다. 즉, 인자는 특성식 (3)에 한 번만 들어간다. 그러면 이 근은 해에 해당합니다.
.

다중도 p의 다중근이라고 하자. 그건
. 이 경우 승수는 p배입니다.
.
이러한 다중(동등) 근은 원래 방정식(1)의 p 선형 독립 해에 해당합니다.
; ; ; ...; .

복잡한 뿌리

복잡한 뿌리를 고려하십시오. 복소근을 실수부와 허수부로 표현해 보겠습니다.
.
원본의 계수는 실수이므로 근 외에도 복소수 켤레 근이 있습니다.
.

복소수 근을 배수로 둡니다. 그런 다음 근 쌍은 두 개의 선형 독립 해에 해당합니다.
; .

다중도 p의 다중 복소근이라고 하자. 그러면 켤레 복소수 값은 다중도 p의 특성 방정식의 근이기도 하며 승수는 p번 입력됩니다.
.
이것 2p뿌리가 일치하다 2p선형 독립 솔루션:
; ; ; ... ;
; ; ; ... .

선형 독립 해의 기본 시스템을 찾은 후 일반 해를 얻습니다.

문제 해결의 예

실시예 1

방정식을 푼다:
.

해결책

.
그것을 변환해 봅시다:
;
;
.

이 방정식의 근원을 살펴보겠습니다. 우리는 다중도 2의 4개의 복소근을 얻었습니다:
; .
이는 원래 방정식의 4가지 선형 독립 해에 해당합니다.
; ; ; .

우리는 또한 배수 3의 세 가지 실제 근을 가집니다:
.
이는 세 가지 선형 독립 솔루션에 해당합니다.
; ; .

원래 방정식에 대한 일반적인 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
.

답변

실시예 2

방정식을 풀어보세요

해결책

우리는 형태로 해결책을 찾고 있습니다. 우리는 특성 방정식을 구성합니다.
.
이차 방정식을 푸는 중입니다.
.

우리는 두 가지 복잡한 뿌리를 얻었습니다.
.
이는 두 개의 선형 독립 솔루션에 해당합니다.
.
방정식에 대한 일반적인 해법:
.

이 단락에서는 논의할 것입니다. 특별한 경우방정식의 계수가 일정할 때, 즉 숫자인 2차 선형 방정식. 이러한 방정식을 상수 계수를 갖는 방정식이라고 합니다. 이러한 유형의 방정식은 특히 폭넓게 적용됩니다.

1. 선형 동차 미분방정식

상수 계수를 갖는 2차

방정식을 고려하십시오

여기서 계수는 일정합니다. 방정식의 모든 항을 다음으로 나누고 표시한다고 가정합니다.

이 방정식을 다음과 같은 형식으로 작성해 보겠습니다.

알려진 바와 같이, 선형 균질 2차 방정식에 대한 일반 해를 찾으려면 부분 해의 기본 시스템을 아는 것으로 충분합니다. 상수 계수를 갖는 동차 선형 미분 방정식에 대한 기본 편해 시스템을 찾는 방법을 보여드리겠습니다. 우리는 이 방정식에 대한 특정 해법을 다음과 같은 형태로 찾을 것입니다.

이 함수를 두 번 미분하고 식을 식(59)에 대입하면 다음을 얻습니다.

을 줄이면 다음 방정식을 얻습니다.

이 방정식으로부터 함수가 방정식 (59)에 대한 해가 될 k 값이 결정됩니다.

계수 k를 결정하기 위한 대수식(61)을 이 미분방정식(59)의 특성방정식이라 한다.

특성 방정식은 2차 방정식이므로 두 개의 근을 갖습니다. 이러한 근은 실수 고유, 실수 및 동일 또는 복소수 공액일 수 있습니다.

이러한 각 경우에 특정 솔루션의 기본 시스템이 어떤 형태를 갖는지 고려해 보겠습니다.

1. 특성 방정식의 근은 실수이며 다릅니다. 이 경우 공식 (60)을 사용하여 두 가지 부분 솔루션을 찾습니다.

Wronski 행렬식은 어느 곳에서도 사라지지 않기 때문에 이 두 가지 특정 해는 전체 수치 축에 대한 기본 해 시스템을 형성합니다.

결과적으로, 식 (48)에 따른 방정식의 일반적인 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

2. 특성 방정식의 근은 다음과 같습니다. 이 경우 두 루트는 모두 실제가 됩니다. 공식 (60)을 사용하면 하나의 특정 솔루션만 얻습니다.

첫 번째 솔루션과 함께 기본 시스템을 형성하는 두 번째 특정 솔루션이 다음과 같은 형식을 갖는다는 것을 보여드리겠습니다.

우선, 함수가 식 (59)의 해인지 확인해 보자. 정말,

그러나 특성방정식 (61)의 근이 있기 때문이다. 또한, Vieta의 정리에 따르면, 그러므로 . 결과적으로, 즉, 함수는 실제로 방정식 (59)에 대한 해입니다.

이제 발견된 부분해가 해의 기본 시스템을 형성한다는 것을 보여드리겠습니다. 정말,

따라서 이 경우 동차 선형 방정식의 일반 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

3. 특성 방정식의 근은 복잡합니다. 알려진 바와 같이 실수 계수를 갖는 이차 방정식의 복소수 근은 켤레입니다. 복소수, 즉 다음과 같습니다: . 이 경우 식 (60)에 따라 식 (59)의 부분 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

오일러 공식(XI장, § 5, 단락 3 참조)을 사용하여 에 대한 표현식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

이러한 솔루션은 포괄적입니다. 유효한 솔루션을 얻으려면 새로운 기능을 고려하십시오.

이는 해의 선형 조합이므로 그 자체로 방정식 (59)의 해입니다(§ 3, 항목 2, 정리 1 참조).

이러한 해에 대한 Wronski 행렬식은 0이 아니므로 해가 해의 기본 시스템을 형성한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

따라서 특성 방정식의 복소근의 경우 균질 선형 미분 방정식의 일반적인 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

결론적으로 특성 방정식의 근 유형에 따라 방정식 (59)의 일반 해법에 대한 공식 표를 제시합니다.

물리학의 일부 문제에서는 프로세스를 설명하는 양 사이의 직접적인 연결을 설정하는 것이 불가능합니다. 그러나 연구 중인 함수의 도함수를 포함하는 등식을 얻는 것이 가능합니다. 이것이 미분 방정식이 발생하는 방식이며 미지의 함수를 찾기 위해 이를 풀어야 할 필요성입니다.

이 글은 미지의 함수가 하나의 변수에 대한 함수인 미분 방정식을 푸는 문제에 직면한 사람들을 위한 것입니다. 이론은 미분 방정식에 대한 지식이 전혀 없어도 작업에 대처할 수 있도록 구성되어 있습니다.

각 유형의 미분 방정식은 일반적인 예와 문제에 대한 자세한 설명과 솔루션이 포함된 솔루션 방법과 연관되어 있습니다. 당신이 해야 할 일은 문제의 미분방정식 유형을 결정하고, 유사한 분석 사례를 찾고, 유사한 조치를 수행하는 것뿐입니다.

미분 방정식을 성공적으로 풀려면 역도함수(무한 적분) 집합을 찾는 능력도 필요합니다. 다양한 기능. 필요한 경우 섹션을 참조하는 것이 좋습니다.

먼저, 도함수와 관련하여 풀 수 있는 1차 상미분 방정식의 유형을 고려한 다음, 2차 ODE로 넘어간 다음, 고차 방정식에 대해 설명하고 다음 시스템으로 마무리합니다. 미분 방정식.

y가 인수 x의 함수인 경우를 기억하세요.

1차 미분방정식.

형식의 가장 간단한 1차 미분 방정식입니다.

이러한 원격 제어의 몇 가지 예를 적어 보겠습니다. .

미분 방정식 등식의 양쪽을 f(x) 로 나누어 도함수에 대해 해결할 수 있습니다. 이 경우, f(x) ≠ 0에 대한 원래 방정식과 동일한 방정식에 도달합니다. 이러한 ODE의 예는 다음과 같습니다.

함수 f(x)와 g(x)가 동시에 사라지는 인수 x의 값이 있으면 추가 솔루션이 나타납니다. 방정식에 대한 추가 솔루션 주어진 x는 이러한 인수 값에 대해 정의된 함수입니다. 이러한 미분 방정식의 예는 다음과 같습니다.

2차 미분 방정식.

상수 계수를 갖는 2차 선형 균질 미분 방정식.

상수 계수를 갖는 LDE는 매우 일반적인 유형의 미분 방정식입니다. 그들의 해결책은 특별히 어렵지 않습니다. 먼저, 특성방정식의 근을 구합니다. . 서로 다른 p와 q에 대해 세 가지 경우가 가능합니다. 특성 방정식의 근은 실수일 수도 있고 다를 수도 있고, 실수일 수도 있고 일치할 수도 있습니다. 또는 복합 접합체. 특성 방정식의 근 값에 따라 미분 방정식의 일반 해는 다음과 같이 작성됩니다. , 또는 , 또는 각각.

예를 들어, 상수 계수를 갖는 선형 동차 2차 미분 방정식을 생각해 보세요. 특성 방정식의 근은 k 1 = -3 및 k 2 = 0입니다. 근은 실수이고 다르기 때문에 상수 계수를 갖는 LODE의 일반적인 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

상수 계수를 갖는 2차 선형 불균일 미분 방정식.

상수 계수 y를 갖는 2차 LDDE의 일반 해는 해당 LDDE의 일반 해의 합 형태로 구됩니다. 그리고 원본에 대한 특별한 해결책 불균일 방정식, 그건, . 이전 단락에서는 상수 계수를 갖는 균질 미분 방정식에 대한 일반적인 해를 찾는 데 전념했습니다. 그리고 특정 해는 원래 방정식의 우변에 있는 함수 f(x)의 특정 형태에 대한 부정 계수 방법이나 임의 상수를 변경하는 방법에 의해 결정됩니다.

상수 계수를 갖는 2차 LDDE의 예로 다음을 제공합니다.

이론을 이해하고 익숙해지세요. 상세한 솔루션우리는 상수 계수를 갖는 2차 선형 불균일 미분 방정식 페이지에서 예를 제공합니다.

선형 동차 미분 방정식(LODE) 및 2차 선형 불균일 미분 방정식(LNDE).

이 유형의 미분 방정식의 특별한 경우는 상수 계수를 갖는 LODE 및 LDDE입니다.

특정 세그먼트에 대한 LODE의 일반 해는 이 방정식의 두 개의 선형 독립 부분 해 y 1 및 y 2의 선형 조합으로 표현됩니다. 즉, .

가장 큰 어려움은 이러한 유형의 미분 방정식에 대해 선형 독립 부분 해를 찾는 것입니다. 일반적으로 특정 솔루션은 다음과 같은 선형 독립 함수 시스템에서 선택됩니다.

그러나 특정 솔루션이 항상 이러한 형식으로 제공되는 것은 아닙니다.

LOD의 예는 다음과 같습니다. .

LDDE의 일반해는 의 형태로 구하는데, 여기서 는 해당 LDDE의 일반해이고, 는 원래 미분방정식의 특정해입니다. 방금 구하는 것에 대해 이야기했지만 임의의 상수를 변화시키는 방법을 사용하여 결정할 수 있습니다.

LNDU의 예를 들 수 있습니다. .

고차 미분 방정식.

순서의 축소를 허용하는 미분 방정식.

미분방정식의 차수 는 원하는 함수와 k-1 차수까지의 도함수를 포함하지 않으며 를 대체하여 n-k로 줄일 수 있습니다.

이 경우 원래 미분방정식은 로 축소됩니다. 해 p(x)를 찾은 후에는 대체 함수로 돌아가서 알려지지 않은 함수 y를 결정해야 합니다.

예를 들어, 미분 방정식 대체 후에는 분리 가능한 변수가 있는 방정식이 되며 순서가 세 번째에서 첫 번째로 줄어듭니다.

2차 및 고차의 미분 방정식.
상수 계수를 갖는 2차 선형 미분 방정식.
솔루션의 예.

2차 미분방정식과 고차 미분방정식을 살펴보겠습니다. 미분 방정식이 무엇인지 막연하게 알고 있거나 그것이 무엇인지 전혀 이해하지 못한다면 수업부터 시작하는 것이 좋습니다. 1차 미분방정식. 솔루션의 예. 1차 확산의 많은 해법 원리와 기본 개념은 자동으로 고차 미분 방정식으로 확장됩니다. 1차 방정식을 먼저 이해하는 것이 매우 중요합니다..

많은 독자들은 2차, 3차 및 기타 명령의 원격 제어가 매우 어렵고 마스터하기 어려운 작업이라는 편견을 가질 수 있습니다. 이건 틀렸어 . 고차 확산을 해결하는 방법을 배우는 것은 "일반적인" 1차 DE보다 어렵지 않습니다.. 그리고 어떤 곳에서는 솔루션이 학교 커리큘럼의 자료를 적극적으로 사용하기 때문에 훨씬 더 간단합니다.

가장 인기 많은 2차 미분방정식. 2차 미분방정식으로 반드시 2차 도함수를 포함하고 포함되지

아기 중 일부(심지어 한꺼번에 아기 모두)가 방정식에서 누락될 수 있다는 점에 유의해야 합니다. 아버지가 집에 있는 것이 중요합니다. 가장 원시적인 2차 미분 방정식은 다음과 같습니다.

나의 주관적인 관찰에 따르면 실제 작업에서 3차 미분방정식은 훨씬 덜 일반적입니다. 주 두마그들은 약 3~4%의 득표율을 얻을 것입니다.

3차 미분방정식으로 반드시 3차 도함수를 포함하고 포함되지고차 파생상품:

가장 간단한 3차 미분 방정식은 다음과 같습니다. – 아빠는 집에 있고, 아이들은 모두 산책하러 나갔습니다.

비슷한 방식으로 4차, 5차 및 그 이상의 차수의 미분 방정식을 정의할 수 있습니다. 실제 문제에서는 이러한 제어 시스템이 실패하는 경우가 거의 없지만 관련 사례를 들어 보겠습니다.

실제 문제에서 제안되는 고차 미분방정식은 크게 두 가지 그룹으로 나눌 수 있습니다.

1) 첫 번째 그룹 - 소위 순서대로 줄일 수 있는 방정식. 어서 해봐요!

2) 두 번째 그룹 - 선형 방정식상수 계수를 갖는 고차. 지금부터 살펴보겠습니다.

2차 선형 미분 방정식
일정한 계수를 갖는

이론과 실제에서 이러한 방정식의 두 가지 유형이 구별됩니다. 동차방정식 그리고 불균일 방정식.

상수 계수를 갖는 동차 2차 DE다음과 같은 형식을 갖습니다:
, 여기서 및 는 상수(숫자)이고 오른쪽은 – 엄격하게영.

보시다시피 동차 방정식에는 특별한 어려움이 없습니다. 가장 중요한 것은 올바르게 결정하다 이차 방정식 .

때로는 비표준 균질 방정식이 있습니다(예: 다음 형식의 방정식). , 2차 도함수에는 1과 다른 상수가 있습니다(그리고 당연히 0과도 다릅니다). 해법 알고리즘은 전혀 변하지 않으므로 차분하게 특성 방정식을 구성하고 그 근을 찾아야 합니다. 특성방정식 예를 들어 다음과 같은 두 가지 실제 근이 있습니다. , 그러면 일반적인 솔루션은 일반적인 구성표에 따라 작성됩니다. .