일반적으로 역연산은 복잡한 대수식을 단순화하는 데 사용됩니다. 예를 들어 문제에 분수로 나누는 연산이 포함되어 있는 경우 이를 역수로 곱하는 연산으로 대체할 수 있습니다. 또한 행렬은 나눌 수 없으므로 역행렬을 곱해야 합니다. 3x3 행렬의 역행렬을 계산하는 것은 상당히 지루하지만 수동으로 계산할 수 있어야 합니다. 좋은 그래프 계산기로 역수를 찾을 수도 있습니다.
원래 행렬을 바꿉니다.조옮김은 행렬의 주 대각선을 기준으로 행을 열로 대체하는 것입니다. 즉, 요소 (i, j)와 (j, i)를 바꿔야 합니다. 이 경우 주대각선(왼쪽 위 모서리에서 시작하여 오른쪽 아래 모서리에서 끝남)의 요소는 변경되지 않습니다.
각 2x2 행렬의 정의를 찾으십시오.전치된 것을 포함하여 모든 행렬의 각 요소는 해당 2x2 행렬과 연결됩니다. 특정 요소에 해당하는 2x2 행렬을 찾으려면 이 요소가 있는 행과 열을 지우십시오. 즉, 원래 3x3 행렬의 5개 요소를 지워야 합니다. 해당 2x2 행렬의 요소인 4개의 요소는 교차되지 않은 상태로 유지됩니다.
보조 인자로 구성된 행렬을 만듭니다.이전에 얻은 결과를 새로운 보조 인자 행렬의 형태로 기록합니다. 이를 위해 3x3 행렬의 해당 요소가 위치한 각 2x2 행렬에서 찾은 행렬식을 씁니다. 예를 들어 요소 (1,1)에 대해 2x2 행렬이 고려되는 경우 위치 (1,1)에 행렬식을 기록하십시오. 그런 다음 그림에 표시된 특정 패턴에 따라 해당 요소의 부호를 변경하십시오.
adjoint 행렬의 각 요소를 행렬식으로 나눕니다.역행렬이 존재하는지 확인하기 위해 맨 처음에 행렬 M의 행렬식을 계산하였다. 이제 adjoint 행렬의 각 요소를 이 행렬식으로 나눕니다. 해당 요소가 위치한 각 나누기 연산의 결과를 기록합니다. 그래서 여러분은 원본의 역행렬을 찾을 것입니다.
역행렬을 적으십시오.큰 행렬의 오른쪽 절반에 있는 요소를 역행렬인 별도의 행렬로 씁니다.
원래 행렬을 계산기의 메모리에 입력하십시오.이렇게 하려면 사용 가능한 경우 매트릭스 버튼을 클릭합니다. Texas Instruments 계산기의 경우 2nd 및 Matrix 버튼을 눌러야 할 수 있습니다.
편집 메뉴를 선택합니다.화살표 버튼 또는 계산기 키보드 상단에 있는 해당 기능 버튼을 사용하여 이 작업을 수행합니다(버튼 위치는 계산기 모델에 따라 다름).
매트릭스 지정을 입력합니다.대부분의 그래핑 계산기는 3-10개의 행렬로 작동할 수 있으며 다음과 같이 표시할 수 있습니다. 편지 A-J. 일반적으로 [A]를 선택하여 원래 행렬을 나타냅니다. 그런 다음 Enter 버튼을 누릅니다.
매트릭스 크기를 입력합니다.이 문서에서는 3x3 행렬에 대해 설명합니다. 하지만 그래프 계산기는 행렬과 함께 작동할 수 있습니다. 큰 크기. 행 수를 입력하고 Enter 버튼을 누른 다음 열 수를 입력하고 다시 Enter 버튼을 누릅니다.
행렬의 각 요소를 입력합니다.계산기 화면에 행렬이 표시됩니다. 행렬이 이전에 이미 계산기에 입력된 경우 화면에 나타납니다. 커서는 행렬의 첫 번째 요소를 강조 표시합니다. 첫 번째 요소의 값을 입력하고 Enter 키를 누릅니다. 커서는 자동으로 행렬의 다음 요소로 이동합니다.
역행렬주어진 행렬에 대해 이것은 항등 행렬을 제공하는 원래 행렬의 곱셈입니다. 역행렬의 존재에 대한 필수적이고 충분한 조건은 원래 행렬의 행렬식의 부등식입니다. turn은 행렬이 정사각형이어야 함을 의미합니다). 행렬의 결정자가 0과 같으면 퇴화(degenerate)라고 하며 이러한 행렬에는 역행렬이 없습니다. 고등 수학에서 역행렬은 중요성그리고 여러 가지 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 역행렬 찾기세워짐 매트릭스 방법방정식 시스템의 솔루션. 우리 서비스 사이트는 역행렬 온라인 계산두 가지 방법: Gauss-Jordan 방법과 대수적 덧셈 행렬 사용. 첫 번째 의미 많은 수의행렬 내부의 기본 변환, 두 번째 - 모든 요소에 대한 행렬식 및 대수 추가 계산. 온라인으로 행렬식을 계산하려면 당사의 다른 서비스인 온라인 행렬식식 계산을 사용할 수 있습니다.
.웹사이트당신이 찾을 수 있습니다 역행렬 온라인빠르고 무료입니다. 사이트에서 당사 서비스에 의해 계산이 이루어지고 그 결과가 다음과 같이 표시됩니다. 자세한 솔루션위치별 역행렬. 서버는 항상 정확하고 정확한 답변만 제공합니다. 정의에 의한 작업에서 역행렬 온라인, 결정자는 행렬 0이 아닌 경우 웹사이트원래 행렬의 결정자가 0과 같다는 사실로 인해 역행렬을 찾을 수 없음을 보고합니다. 작업 찾기 역행렬수학의 많은 분야에서 발견되며 대수학의 가장 기본적인 개념 중 하나이며 응용 문제의 수학적 도구입니다. 독립적인 역행렬 정의계산에 실수나 작은 오류가 발생하지 않도록 상당한 노력, 많은 시간, 계산 및 세심한 주의가 필요합니다. 그러므로 우리의 서비스 온라인에서 역행렬 찾기작업을 크게 촉진하고 수학 문제를 해결하는 데 없어서는 안될 도구가 될 것입니다. 당신이 역행렬 찾기서버에서 솔루션을 확인하는 것이 좋습니다. 온라인 역행렬 계산에 원래 행렬을 입력하고 답을 확인하십시오. 우리의 시스템은 결코 틀리지 않으며 역행렬모드에서 주어진 치수 온라인곧! 그 자리에서 웹사이트문자 항목은 요소에 허용됩니다. 행렬, 이 경우 역행렬 온라인일반적인 상징적 형태로 제시될 것입니다.
정의 1:결정자가 0이면 행렬을 퇴화라고합니다.
정의 2:결정자가 0이 아닌 경우 행렬을 비특이라고합니다.
행렬 "A"가 호출됩니다. 역행렬, 조건 A*A-1 = A-1 *A = E ( 단위 행렬).
정사각 행렬은 비특이인 경우에만 가역적입니다.
역행렬 계산 방식:
1) 다음과 같은 경우 행렬 "A"의 행렬식을 계산합니다. ∆ A = 0이면 역행렬이 존재하지 않습니다.
2) 모두 찾기 대수적 덧셈매트릭스 "A".
3) 대수적 덧셈(Aij )의 행렬을 구성합니다.
4) 대수 보수 행렬 (Aij )T 전치
5) 전치된 행렬에 이 행렬의 행렬식의 역수를 곱합니다.
6) 확인을 실행합니다.
언뜻보기에는 어려워 보일 수 있지만 사실 모든 것이 매우 간단합니다. 모든 솔루션은 간단한 산술 연산을 기반으로 하며, 해결할 때 가장 중요한 것은 "-" 및 "+" 기호와 혼동하지 않고 잃지 않는 것입니다.
이제 역행렬을 계산하여 실제 작업을 함께 해결해 봅시다.
작업: 아래 그림과 같이 역행렬 "A"를 찾습니다.
1. 가장 먼저 할 일은 행렬 "A"의 행렬식을 찾는 것입니다.
설명:
주요 기능을 사용하여 행렬식을 단순화했습니다. 먼저 첫 번째 행의 요소를 두 번째 및 세 번째 행에 추가하고 하나의 숫자를 곱했습니다.
둘째, 행렬식의 2열과 3열을 변경하였고, 그 성질에 따라 앞의 부호를 변경하였다.
세 번째로 두 번째 행의 공통 인수(-1)를 빼서 다시 부호를 바꾸면 양수가 됩니다. 또한 예제의 맨 처음과 같은 방식으로 3행을 단순화했습니다.
우리는 대각선 아래의 요소가 0이고 속성 7에 의해 대각선 요소의 곱과 같은 삼각형 행렬식을 가지고 있습니다. 결과적으로 우리는 ∆ A = 26이므로 역행렬이 존재합니다.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. 다음 단계는 결과 추가에서 행렬을 컴파일하는 것입니다.
5. 이 행렬에 행렬식의 역수, 즉 1/26을 곱합니다.
6. 이제 확인만 하면 됩니다.
확인하는 동안 ID 매트릭스를 받았으므로 결정이 완전히 정확했습니다.
역행렬을 계산하는 두 가지 방법.
1. 행렬의 기본 변환
2. 기본 변환기를 통한 역행렬.
기본 행렬 변환에는 다음이 포함됩니다.
1. 문자열에 0이 아닌 숫자를 곱합니다.
2. 다른 줄의 줄에 숫자를 곱하여 추가합니다.
3. 행렬의 행을 교환합니다.
4. 일련의 기본 변환을 적용하여 다른 행렬을 얻습니다.
하지만 -1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A -1 )
2. 아 -1*A=E
그것을 고려 실용적인 예실제 숫자로.
운동:역행렬을 찾습니다.
해결책:
점검 해보자:
솔루션에 대한 약간의 설명:
먼저 행렬의 행 1과 2를 바꾼 다음 첫 번째 행에 (-1)을 곱했습니다.
그런 다음 첫 번째 행에 (-2)를 곱하고 행렬의 두 번째 행에 추가했습니다. 그런 다음 두 번째 행에 1/4을 곱했습니다.
변환의 마지막 단계는 두 번째 행에 2를 곱하고 첫 번째 행을 더하는 것입니다. 결과적으로 왼쪽에 항등 행렬이 있으므로 역행렬은 오른쪽 행렬입니다.
확인 후 결정의 정확성을 확신했습니다.
보시다시피 역행렬 계산은 매우 간단합니다.
이 강의를 마치면서 이러한 행렬의 특성에 대해서도 시간을 할애하고 싶습니다.
행렬 대수 - 역행렬역행렬
역행렬오른쪽과 왼쪽에 주어진 행렬을 곱하면 항등 행렬을 제공하는 행렬이 호출됩니다.
행렬의 역행렬을 나타냅니다. 하지만를 통해 다음 정의에 따라 다음을 얻습니다.
어디 이자형항등 행렬입니다.
정사각 행렬~라고 불리는 특별하지 않은 (퇴화되지 않은) 결정자가 0이 아닌 경우. 그렇지 않으면 호출됩니다. 특별한 (타락하다) 또는 단수형.
정리가 있습니다. 모든 비특이 행렬에는 역행렬이 있습니다.
역행렬을 찾는 연산을 항소행렬. 행렬 반전 알고리즘을 고려하십시오. 비특이 행렬을 지정하자 N-차 주문:
여기서 Δ = 데트 ㅏ ≠ 0.
대수 요소 보완행렬 N-차 주문 하지만행렬의 결정자( N–1) 삭제하여 얻은 차수 나-번째 줄 및 제이- 행렬의 열 하지만:
소위 만들자 첨부된행렬:
행렬의 해당 요소의 대수적 보수는 어디에 있습니까? 하지만.
행렬의 행 요소의 대수적 보수에 유의하십시오. 하지만행렬의 해당 열에 배치됩니다. Ã
즉, 행렬이 동시에 전치됩니다.
모든 행렬 요소 나누기 Ã
on Δ - 행렬의 행렬식 값 하지만, 결과로 역행렬을 얻습니다.
역행렬의 여러 특수 속성에 주목합니다.
1) 주어진 행렬에 대해 하지만역행렬
유일한 사람입니다.
2) 역행렬이 있으면 오른쪽 반전그리고 왼쪽 반전행렬이 일치합니다.
3) 특수(축퇴) 정사각 행렬에는 역행렬이 없습니다.
역행렬의 주요 속성:
1) 역행렬의 행렬식과 원래 행렬의 행렬식은 역수입니다.
2) 역 곱 행렬 정사각 행렬역순으로 취한 요인의 역행렬의 곱과 같습니다.
3) 전치 역행렬은 주어진 전치 행렬의 역행렬과 같습니다.
예시 주어진 행렬의 역행렬을 계산합니다.
많은 속성에서 반전과 유사합니다.
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✪ 역행렬 찾는 방법 - bezbotvy
✪ 역행렬(찾는 2가지 방법)
✪ 역행렬 #1
✪ 2015-01-28. 역행렬 3x3
✪ 2015-01-27. 역행렬 2x2
행렬이 반전 가능한 경우 역행렬을 찾으려면 다음 방법 중 하나를 사용할 수 있습니다.
두 개의 행렬을 봅시다: 그 자체 ㅏ그리고 싱글 이자형. 매트릭스를 가져오자 ㅏ행에 변환을 적용하는 Gauss-Jordan 방법으로 항등 행렬에 변환합니다(열에 변환을 적용할 수도 있지만 혼합에는 적용할 수 없음). 각 연산을 첫 번째 행렬에 적용한 후 동일한 연산을 두 번째 행렬에 적용합니다. 항등식으로 첫 번째 행렬의 축소가 완료되면 두 번째 행렬은 다음과 같습니다. A-1.
Gauss 방법을 사용할 때 첫 번째 행렬은 왼쪽부터 기본 행렬 중 하나를 곱합니다. Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(하나의 위치를 제외하고 주 대각선에 1이 있는 횡단 또는 대각선 행렬):
Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \오른쪽 화살표 \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 - a 1 m / am m 0 … 0 … 0 … 1 - am - 1 m / am m 0 … 0 0 … 0 1 / am m 0 … 0 0 … 0 - am + 1 m / am m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).모든 작업을 적용한 후 두 번째 행렬은 다음과 같습니다. Λ (\디스플레이스타일 \람다)즉, 원하는 것입니다. 알고리즘의 복잡성 - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).
행렬 역행렬 A (\디스플레이스타일 A), 형태로 표현
A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))
어디 adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- 부착된 매트릭스 ;
알고리즘의 복잡도는 결정자 O det 를 계산하기 위한 알고리즘의 복잡도에 따라 달라지며 O(n²) O det 와 같습니다.
행렬 방정식 A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))역행렬의 경우 X (\디스플레이스타일 X)컬렉션으로 볼 수 있습니다 n (\디스플레이스타일 n)형식의 시스템 A x = b (\displaystyle Ax=b). 나타내다 i (\디스플레이스타일 i)- 행렬의 열 X (\디스플레이스타일 X)~을 통해 X i (\displaystyle X_(i)); 그 다음에 A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n), 때문에 i (\디스플레이스타일 i)- 행렬의 열 I n (\displaystyle I_(n))단위 벡터 e i (\displaystyle e_(i)). 즉, 역행렬을 찾는 것은 동일한 행렬과 다른 우변을 가진 n개의 방정식을 푸는 것으로 축소됩니다. LUP 확장(시간 O(n³))을 실행한 후 각 n 방정식을 푸는 데 O(n²) 시간이 걸리므로 작업의 이 부분도 O(n³) 시간이 걸립니다.
행렬 A가 특이 행렬이 아닌 경우 행렬 A에 대한 LUP 분해를 계산할 수 있습니다. P A = L U (\displaystyle PA=LU). 허락하다 P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). 그런 다음 역행렬의 속성에서 다음과 같이 작성할 수 있습니다. D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). 이 평등에 U와 L을 곱하면 다음 형식의 두 평등을 얻을 수 있습니다. U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))그리고 D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). 이러한 평등 중 첫 번째는 n²의 시스템입니다. 선형 방정식~을 위한 n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))(삼각 행렬의 속성에서) 우변이 알려져 있습니다. 두 번째는 다음을 위한 n² 선형 방정식의 시스템이기도 합니다. n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))우변은 알려져 있습니다(또한 삼각 행렬의 속성에서). 그들은 함께 n² 평등의 시스템을 형성합니다. 이러한 등식을 사용하여 행렬 D의 모든 n² 요소를 재귀적으로 결정할 수 있습니다. 그런 다음 등식(PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D에서 등식을 얻습니다. A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).
LU 분해를 사용하는 경우 행렬 D의 열에 대한 순열은 필요하지 않지만 행렬 A가 비특이인 경우에도 솔루션이 발산할 수 있습니다.
알고리즘의 복잡도는 O(n³)입니다.
( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))
여기에서 고려되는 반복 행렬 반전 과정에서 초기 근사를 선택하는 문제는 예를 들어 행렬의 LU 분해에 기반한 직접 반전 방법과 경쟁하는 독립적인 범용 방법으로 취급하는 것을 허용하지 않습니다. 선택에 대한 몇 가지 권장 사항이 있습니다. U 0 (\displaystyle U_(0)), 조건의 이행을 보장 ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (매트릭스의 스펙트럼 반경은 1보다 작음) 프로세스의 수렴에 필요하고 충분합니다. 다만, 이 경우 먼저 가역행렬 A 또는 행렬 A의 스펙트럼에 대한 추정치를 위에서 알 필요가 있다. A A T (\디스플레이스타일 AA^(T))(즉, A가 양의 정부호 대칭 행렬이고 ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), 당신은 걸릴 수 있습니다 U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), 어디 ; A가 임의의 비특이 행렬이고 ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), 다음 가정 U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), 여기서도 α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); 물론 상황을 단순화할 수 있으며, ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), 놓다 U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). 두 번째로, 초기 행렬의 이러한 지정으로 다음을 보장할 수 없습니다. ‖ Ψ 0 ‖ (\디스플레이스타일 \|\Psi _(0)\|)작을 것입니다 (아마도 ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), 수렴률의 높은 순서는 즉시 나타나지 않습니다.
2x2 행렬의 반전은 다음과 같은 조건에서만 가능합니다. a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).
