지침. 역행렬 방법으로 해를 얻으려면 행렬의 차원을 지정해야 합니다. 그런 다음 새 대화 상자에서 행렬 A 와 결과 벡터 B 를 채웁니다.
행렬 방정식의 해도 참조하십시오.| A 1.1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1.3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2.1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2.2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2.3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3.1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
이것은 행렬로 수행되는 모든 가능한 연산을 일반화하는 개념입니다. 수학 행렬 - 요소 테이블. 테이블에 대해 중선과 N열, 그들은 이 행렬에 차원이 있다고 말합니다. 중에 N.
매트릭스의 일반적인 보기:
을 위한 매트릭스 솔루션행렬이 무엇인지 이해하고 주요 매개변수를 알아야 합니다. 매트릭스의 주요 요소:
행렬의 주요 유형:
행렬은 주대각선과 보조대각선에 대해 대칭일 수 있습니다. 즉, 만약 12 = 21, a 13 \u003d a 31, .... a 23 \u003d a 32 .... m-1n = mn-1, 그러면 행렬은 주 대각선에 대해 대칭입니다. 정사각형 행렬만 대칭이 될 수 있습니다.
거의 모든 매트릭스 솔루션 방법그것의 결정 인자를 찾는 것이다 N th 순서와 대부분은 상당히 번거롭습니다. 2차와 3차의 행렬식을 찾기 위해 더 합리적인 다른 방법이 있습니다.
행렬 행렬식을 계산하려면 하지만 2 차, 주 대각선 요소의 곱에서 보조 대각선 요소의 곱을 빼야합니다.
다음은 3차 행렬식을 찾는 규칙입니다.
삼각형 규칙을 다음 중 하나로 단순화했습니다. 매트릭스 솔루션 방법, 는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
즉, 선으로 연결된 첫 번째 행렬식 요소의 곱은 "+" 기호로 취합니다. 또한 두 번째 행렬식의 경우 해당 제품은 "-"기호, 즉 다음 구성표에 따라 취해집니다.
~에 Sarrus 법칙으로 행렬 풀기, 행렬식의 오른쪽에 처음 2개의 열이 추가되고 주 대각선과 이에 평행한 대각선의 해당 요소의 곱은 "+" 기호로 취해집니다. 및 "-"기호가있는 보조 대각선과 그에 평행 한 대각선의 해당 요소의 곱 :
행렬을 풀 때 행렬식의 행 또는 열 확장.
결정자 합과 같다행렬식 행의 요소와 대수적 보수의 곱. 일반적으로 0이 있는 행/열을 선택합니다. 분해가 수행되는 행 또는 열은 화살표로 표시됩니다.
행렬을 풀 때 행렬식을 삼각형 형태로 줄입니다.
~에 해결 행렬행렬식을 삼각형 형식으로 줄임으로써 다음과 같이 작동합니다. 행 또는 열에 대한 가장 간단한 변환을 사용하여 행렬식이 삼각형이 된 다음 행렬식의 속성에 따라 그 값은 요소의 곱과 같습니다. 주 대각선에 서 있습니다.
행렬을 푸는 라플라스의 정리.
라플라스의 정리를 사용하여 행렬을 풀 때 정리 자체를 직접 알아야 합니다. 라플라스의 정리: 하자 Δ 결정 요인이다 N- 주문. 우리는 무엇이든 선택합니다 케이행(또는 열), 제공됨 케이≤ n - 1. 이 경우 모든 미성년자의 합산 케이선택한 항목에 포함된 th 순서 케이행(열)에서 대수적 덧셈은 행렬식과 같습니다.
에 대한 작업 순서 역행렬 솔루션:
을 위한 매트릭스 시스템의 솔루션가장 일반적으로 사용되는 방법은 가우스 방법입니다.
가우스 방법은 선형 시스템을 푸는 표준 방법입니다. 대수 방정식(SLAE) 변수가 순차적으로 제외된다는 사실에 있습니다. 즉, 기본 변경의 도움으로 방정식 시스템은 삼각형 유형의 등가 시스템으로 가져오고 그 시스템에서 마지막으로 시작하여 순차적으로 ( 번호로), 시스템의 각 요소를 찾습니다.
가우스 방법매트릭스 솔루션을 찾기 위한 가장 다재다능하고 최고의 도구입니다. 시스템에 무한한 수의 솔루션이 있거나 시스템이 호환되지 않으면 Cramer의 규칙과 행렬 방법을 사용하여 풀 수 없습니다.
가우스 방법은 또한 직접(확장 행렬을 계단식 형태로 축소, 즉 주 대각선 아래에 0을 가져옴) 및 역(확장 행렬의 주 대각선 위에 0을 가져옴) 이동을 의미합니다. 정방향 이동은 가우스 방법이고 역방향 이동은 가우스-조던 방법입니다. Gauss-Jordan 방법은 변수 제거 순서만 가우스 방법과 다릅니다.
n차의 정방행렬이 있다고 하자
행렬 A -1이 호출됩니다. 역행렬행렬 A와 관련하여 A * A -1 = E이면 E는 n차 단위 행렬입니다.
단위 행렬- 주 대각선을 따라 왼쪽 위 모서리에서 오른쪽 아래 모서리로 전달되는 모든 요소가 1이고 나머지는 0인 정방 행렬입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
역행렬 존재할 수 있다 정사각형 행렬에만 해당저것들. 동일한 수의 행과 열을 갖는 행렬의 경우.
역행렬 존재 조건 정리
행렬이 역행렬을 가지려면 축퇴되지 않는 것이 필요하고 충분합니다.
행렬 A = (A1, A2,...A n)이 호출됩니다. 비퇴화열 벡터가 선형 독립인 경우. 행렬의 선형 독립 열 벡터의 수를 행렬의 순위라고 합니다. 따라서 역행렬이 존재하기 위해서는 행렬의 순위가 차원과 같아야 하는 것이 필요하고 충분하다고 말할 수 있습니다. r = n.
행렬 A의 경우 역행렬 A -1을 찾습니다.
솔루션: 행렬 A를 기록하고 오른쪽에 단위 행렬 E를 할당합니다. Jordan 변환을 사용하여 행렬 A를 단위 행렬 E로 줄입니다. 계산은 표 31.1에 나와 있습니다.
원래 행렬 A와 역행렬 A -1을 곱하여 계산의 정확성을 확인합시다.
행렬 곱의 결과로 단위 행렬이 얻어진다. 따라서 계산이 정확합니다.
대답: 
행렬 방정식은 다음과 같습니다.
AX = B, XA = B, AXB = C,
여기서 A, B, C는 행렬이 주어지고 X는 원하는 행렬입니다.
행렬 방정식은 방정식에 역행렬을 곱하여 풉니다.
예를 들어, 방정식에서 행렬을 찾으려면 이 방정식에 왼쪽을 곱해야 합니다.
따라서 방정식의 해를 구하려면 역행렬을 찾아 방정식의 오른쪽에 있는 행렬과 곱해야 합니다.
다른 방정식도 비슷하게 풀립니다.
다음과 같은 경우 방정식 AX = B를 풉니다. 
해결책: 역행렬이 같기 때문에(예제 1 참조)
다른 사람들과 함께 그들은 또한 응용 프로그램을 찾습니다. 매트릭스 방법. 이러한 방법은 선형 및 벡터 행렬 대수학을 기반으로 합니다. 이러한 방법은 복잡하고 다차원적인 경제 현상을 분석할 목적으로 사용됩니다. 대부분의 경우 이러한 방법은 조직의 기능과 구조적 구분을 비교할 필요가 있을 때 사용됩니다.
매트릭스 분석 방법을 적용하는 과정에서 여러 단계를 구별할 수 있습니다.
첫 번째 단계에서경제 지표 시스템의 형성이 수행되고 이를 기반으로 시스템 번호가 개별 라인에 표시되는 테이블인 초기 데이터 매트릭스가 컴파일됩니다. (i = 1,2,....,n), 및 세로 그래프를 따라 - 표시기의 수 (j = 1,2,....,m).
두 번째 단계에서각 수직 열에 대해 표시기의 사용 가능한 값 중 가장 큰 값이 표시되며 이는 단위로 사용됩니다.
그 후, 이 열에 반영된 모든 금액은 다음으로 나뉩니다. 가장 높은 가치표준화된 계수의 행렬이 형성됩니다.
세 번째 단계에서행렬의 모든 구성 요소는 제곱됩니다. 중요도가 다른 경우 행렬의 각 지표에는 특정 가중치 계수가 할당됩니다. 케이. 후자의 가치는 전문가에 의해 결정됩니다.
마지막에 네 번째 단계평가 값을 찾았습니다. RJ증가하거나 감소하는 순서로 그룹화됩니다.
위의 매트릭스 방법은 예를 들어 다음과 같은 경우에 사용해야 합니다. 비교 분석여러 투자 프로젝트, 조직의 다른 경제적 성과 지표를 평가할 때뿐만 아니라.
시스템엠 선형 방정식 n개의 미지수형식의 시스템이라고 함
어디 아이즈그리고 나 (나=1,…,중; 비=1,…,N)는 몇 가지 알려진 숫자이며, x 1 ,..., x n- 알려지지 않은. 계수 표기법에서 아이즈첫 번째 인덱스 나는 방정식의 번호를 나타내며 두 번째 제이이 계수가 있는 미지수의 수입니다.
미지수에 대한 계수는 행렬 형식으로 작성됩니다. 
, 우리가 부를 시스템 매트릭스.
방정식의 오른쪽에 있는 숫자 b 1 ,...,b m~라고 불리는 무료 회원.
골재 N번호 c 1 ,… ,c n~라고 불리는 결정이 시스템의 각 방정식에 숫자를 대입한 후 평등이 된다면 c 1 ,… ,c n상응하는 미지수 대신 x 1 ,..., x n.
우리의 임무는 시스템에 대한 솔루션을 찾는 것입니다. 이 경우 세 가지 상황이 발생할 수 있습니다.
적어도 하나의 해를 갖는 선형 방정식 시스템을 관절. 그렇지 않으면, 즉 시스템에 솔루션이 없으면 호출됩니다. 호환되지 않는.
시스템에 대한 솔루션을 찾는 방법을 고려하십시오.
선형 방정식의 시스템을 풀기 위한 행렬 방법
행렬을 사용하면 선형 방정식 시스템을 간략하게 작성할 수 있습니다. 3개의 미지수가 있는 3개의 방정식 시스템이 주어집니다.
시스템의 행렬을 고려하십시오. 
알 수 없는 멤버와 비어 있는 멤버의 행렬 열 
제품을 찾아보자
저것들. 곱의 결과로 이 시스템의 방정식의 좌변을 얻습니다. 그런 다음 행렬 평등의 정의를 사용하여 이 시스템은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
또는 더 짧은 ㅏ∙X=B.
여기 행렬 ㅏ그리고 비알려져 있으며 매트릭스 엑스알려지지 않은. 그녀를 찾아야 합니다. 왜냐하면 그 요소가 이 시스템의 솔루션입니다. 이 방정식은 행렬 방정식.
행렬 행렬식을 0과 다르게 합시다 | ㅏ| ≠ 0. 그러면 행렬 방정식은 다음과 같이 풀립니다. 왼쪽 방정식의 양변에 행렬을 곱합니다. A-1, 행렬의 역행렬 ㅏ: . 왜냐하면 A -1 A = E그리고 이자형∙X=X, 다음 형식의 행렬 방정식의 해를 얻습니다. X = A -1 B .
역행렬은 정방행렬에서만 찾을 수 있으므로 행렬 방법은 다음과 같은 시스템만 풀 수 있습니다. 방정식의 수는 미지수의 수와 같습니다.. 그러나 방정식의 수가 미지수의 수와 같지 않은 경우 시스템의 행렬 표기법도 가능합니다. ㅏ는 정사각형이 아니므로 다음 형식으로 시스템에 대한 솔루션을 찾는 것이 불가능합니다. X = A -1 B.
예.연립방정식을 풉니다.
크래머의 법칙
3개의 미지수가 있는 3개의 선형 방정식 시스템을 고려하십시오.
시스템의 행렬에 해당하는 3차 행렬식, 즉 미지수의 계수로 구성,
~라고 불리는 시스템 결정자.
다음과 같이 3개의 행렬식을 더 구성합니다. 행렬식 D의 1, 2, 3개 열을 자유 멤버 열로 연속적으로 교체합니다.
그러면 다음 결과를 증명할 수 있습니다.
정리(Cramer의 법칙).시스템의 행렬식이 Δ ≠ 0이면 고려 중인 시스템에는 하나의 솔루션이 있으며,
증거. 따라서 3개의 미지수가 있는 3개의 방정식 시스템을 고려하십시오. 시스템의 첫 번째 방정식에 대수 보수를 곱합니다. 11요소 11, 두 번째 방정식 - 켜기 A21그리고 3번째에 31:
다음 방정식을 추가해 보겠습니다.
각 괄호를 고려하고 오른쪽이 방정식. 첫 번째 열의 요소에 대한 행렬식의 확장에 대한 정리에 의해
유사하게, 와 가 표시될 수 있습니다.
마지막으로 쉽게 볼 수 있는 
따라서 우리는 평등을 얻습니다. .
결과적으로 .
등식 및 유사하게 도출되며, 여기서 정리의 주장이 뒤따릅니다.
따라서 시스템의 행렬식이 Δ ≠ 0이면 시스템은 유일한 결정그리고 다시. 시스템의 행렬식이 0과 같으면 시스템에는 솔루션의 무한 세트가 있거나 솔루션이 없습니다. 호환되지 않습니다.
예.연립방정식 풀기
가우스 방법
이전에 고려한 방법은 방정식의 수가 미지수의 수와 일치하고 시스템의 행렬식이 0과 달라야 하는 시스템만 푸는 데 사용할 수 있습니다. 가우스 방법은 보다 보편적이며 방정식의 수에 관계없이 시스템에 적합합니다. 그것은 시스템의 방정식에서 미지수를 연속적으로 제거하는 것으로 구성됩니다.
3개의 미지수가 있는 3개의 방정식 시스템을 다시 고려하십시오.
.
우리는 첫 번째 방정식을 변경하지 않고 그대로 두고 두 번째와 세 번째 방정식에서 다음을 포함하는 항을 제외합니다. x 1. 이를 위해 두 번째 방정식을 다음과 같이 나눕니다. ㅏ 21을 곱하고 - ㅏ 11 그리고 첫 번째 방정식을 더합니다. 유사하게, 우리는 세 번째 방정식을 다음과 같이 나눕니다. ㅏ 31을 곱하고 - ㅏ 11 그런 다음 첫 번째 항목에 추가하십시오. 결과적으로 원래 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.
이제 마지막 방정식에서 다음을 포함하는 항을 제거합니다. x2. 이렇게 하려면 세 번째 방정식을 로 나누고 곱하고 두 번째 방정식에 더합니다. 그러면 다음과 같은 방정식 시스템이 생깁니다.
따라서 마지막 방정식에서 쉽게 찾을 수 있습니다. x 3, 다음 두 번째 방정식에서 x2그리고 드디어 1화부터 x 1.
가우스 방법을 사용할 때 필요한 경우 방정식을 바꿀 수 있습니다.
종종 쓰는 대신 새로운 시스템방정식은 시스템의 확장 행렬을 작성하는 것으로 제한됩니다.
그런 다음 기본 변환을 사용하여 삼각형 또는 대각선 형태로 가져옵니다.
에게 기본 변환행렬에는 다음 변환이 포함됩니다.
예:가우스 방법을 사용하여 연립방정식을 풉니다.
따라서 시스템에는 무한한 수의 솔루션이 있습니다.
첫 번째 부분에서 우리는 시스템 방정식의 항별 추가 방법뿐만 아니라 일부 이론적 자료, 대체 방법을 고려했습니다. 이 페이지를 통해 사이트를 방문하신 모든 분들은 첫 번째 부분을 읽으실 것을 권장합니다. 아마도 일부 방문자는 자료가 너무 단순하다고 생각할 것입니다. 그러나 선형 방정식 시스템을 푸는 과정에서 일반적인 수학 문제의 해결과 관련하여 여러 가지 매우 중요한 언급과 결론을 내렸습니다.
이제 Cramer의 규칙과 역행렬(행렬 방법)을 사용하는 선형 방정식 시스템의 솔루션을 분석합니다. 모든 자료는 간단하고 상세하며 명확하게 제시되어 거의 모든 독자가 위의 방법을 사용하여 시스템을 해결하는 방법을 배울 수 있습니다.
먼저 두 개의 미지수에서 두 개의 선형 방정식 시스템에 대한 Cramer의 규칙을 자세히 고려합니다. 무엇 때문에? - 결국 가장 간단한 시스템학교법, 학기 추가로 풀 수 있습니다!
사실은 때때로 그런 작업이 있지만 Cramer의 공식을 사용하여 두 개의 미지수가 있는 두 개의 선형 방정식 시스템을 푸는 것입니다. 둘째, 더 간단한 예는 Cramer의 규칙을 더 많이 사용하는 방법을 이해하는 데 도움이 됩니다. 어려운 경우– 3개의 미지수가 있는 3개의 방정식 시스템.
또한 두 개의 변수가 있는 선형 방정식 시스템이 있으므로 Cramer의 규칙에 따라 정확히 푸는 것이 좋습니다!
연립방정식을 고려하라
첫 번째 단계에서 행렬식을 계산합니다. 시스템의 주요 결정 요인.
가우스 방법.
이면 시스템에 고유한 솔루션이 있고 근을 찾으려면 두 가지 더 많은 행렬식을 계산해야 합니다.
그리고
실제로 위의 한정자는 라틴 문자로도 표시될 수 있습니다.
방정식의 근은 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.
,
실시예 7
선형 연립방정식 풀기 
해결책: 우리는 방정식의 계수가 상당히 크다는 것을 알 수 있습니다. 오른쪽에는 소수쉼표로. 쉼표는 수학의 실제 작업에서 다소 드문 손님입니다. 나는 이 시스템을 계량 경제학 문제에서 가져왔습니다.
그러한 시스템을 해결하는 방법은 무엇입니까? 하나의 변수를 다른 변수로 표현하려고 시도할 수 있지만 이 경우 작업하기가 매우 불편한 끔찍한 멋진 분수를 얻게 될 것이며 솔루션 디자인이 끔찍하게 보일 것입니다. 두 번째 방정식에 6을 곱하고 항을 항으로 뺄 수 있지만 여기에는 동일한 분수가 나타납니다.
무엇을 할까요? 이러한 경우 Cramer의 공식이 도움이 됩니다.
;
;
대답: ,
두 뿌리 모두 무한한 꼬리를 가지고 있으며 대략적으로 발견되며, 이는 계량 경제학 문제에 대해 상당히 수용 가능하고 심지어 일상적입니다.
작업은 기성품 공식에 따라 해결되기 때문에 여기에 설명이 필요하지 않지만 한 가지 주의 사항이 있습니다. 사용시 이 방법, 의무적 인할당 조각은 다음 조각입니다. "그래서 시스템에는 고유한 솔루션이 있습니다.". 그렇지 않으면 검토자가 Cramer의 정리를 무시하여 귀하를 처벌할 수 있습니다.
확인하는 것은 불필요하며 계산기에서 수행하는 것이 편리합니다. 시스템의 각 방정식의 왼쪽에 대략적인 값을 대체합니다. 결과적으로 작은 오류로 오른쪽에 있는 숫자를 얻어야 합니다.
실시예 8
답을 보통 가분수로 표현하십시오. 확인하세요.
이것은 독립적인 솔루션의 예입니다(수업 끝 부분에 있는 훌륭한 디자인 및 답변의 예).
우리는 3개의 미지수가 있는 3개의 방정식 시스템에 대한 Cramer의 규칙을 고려합니다. 
우리는 시스템의 주요 결정 요인을 찾습니다. 
이면 시스템에 솔루션이 무한히 많거나 일관성이 없습니다(해가 없음). 이 경우 Cramer의 규칙이 도움이 되지 않으므로 Gauss 방법을 사용해야 합니다.
이면 시스템에 고유한 솔루션이 있고 근을 찾기 위해 세 가지 더 많은 결정인자를 계산해야 합니다. 
, 
, 
마지막으로 답은 다음 공식으로 계산됩니다. 
보시다시피 "3 x 3"의 경우는 기본적으로 "2 x 2"의 경우와 다르지 않습니다. 자유 항의 열은 주 행렬식의 열을 따라 왼쪽에서 오른쪽으로 순차적으로 "걷습니다".
실시예 9
Cramer의 공식을 사용하여 시스템을 풉니다. 
해결책: Cramer의 공식을 이용하여 시스템을 풀어봅시다. 
, 따라서 시스템에는 고유한 솔루션이 있습니다.
대답: 
.
사실 기성품 공식에 따라 결정이 내려진다는 점에서 특별히 언급할 부분은 없다. 그러나 몇 가지 메모가 있습니다.
계산 결과 "나쁜"기약 분수가 얻어집니다. 예: .
다음 "치료" 알고리즘을 권장합니다. 손에 컴퓨터가 없으면 다음을 수행합니다.
1) 계산에 오류가 있을 수 있습니다. "나쁜" 샷을 만나면 즉시 확인해야 합니다. 조건이 올바르게 다시 작성되었습니까?. 조건이 오류 없이 다시 작성되면 다른 행(열)의 확장을 사용하여 행렬식을 다시 계산해야 합니다.
2) 확인 결과 오류가 발견되지 않으면 할당 조건에 오타가 있을 가능성이 큽니다. 이 경우 침착하고 신중하게 과제를 끝까지 해결한 다음 확인하십시오결정 후 깨끗한 사본에 작성하십시오. 물론, 분수 답을 확인하는 것은 불쾌한 작업이지만, 음수와 같은 나쁜 것에 대해 빼기를 정말 좋아하는 교사에게는 무장 해제 논쟁이 될 것입니다. 분수를 다루는 방법은 예제 8에 대한 답변에 자세히 설명되어 있습니다.
컴퓨터가 있는 경우 자동화된 프로그램을 사용하여 확인하십시오. 이 프로그램은 수업 초반에 무료로 다운로드할 수 있습니다. 그건 그렇고, 프로그램을 바로 사용하는 것이 가장 유리합니다(솔루션을 시작하기 전에도). 실수를 한 중간 단계를 즉시 볼 수 있습니다! 동일한 계산기가 행렬 방법을 사용하여 시스템의 솔루션을 자동으로 계산합니다.
두 번째 발언. 때때로 방정식에 일부 변수가 누락된 시스템이 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 
여기 첫 번째 방정식에는 변수가 없고 두 번째 방정식에는 변수가 없습니다. 이러한 경우 주요 결정 요인을 정확하고 주의 깊게 작성하는 것이 매우 중요합니다. 
– 누락된 변수 대신 0이 표시됩니다.
그건 그렇고, 눈에 띄게 적은 계산이 있기 때문에 0이있는 행 (열)에 0이있는 행렬식을 여는 것이 합리적입니다.
실시예 10
Cramer의 공식을 사용하여 시스템을 풉니다. 
이것은 스스로 해결하기 위한 예입니다(수업 끝에서 샘플과 답을 완성).
4개의 미지수가 있는 4개의 방정식 시스템의 경우 Cramer의 공식은 유사한 원칙에 따라 작성됩니다. Determinant Properties 수업에서 실제 예제를 볼 수 있습니다. 행렬식의 차수 줄이기 - 5개의 4차 행렬식을 풀 수 있습니다. 작업은 이미 운이 좋은 학생의 가슴에 교수의 신발을 연상케합니다.
역행렬 방법은 기본적으로 특별한 경우 행렬 방정식(지정된 강의의 예 3 참조).
이 섹션을 공부하려면 행렬식을 확장하고 역행렬을 찾고 행렬 곱셈을 수행할 수 있어야 합니다. 설명이 진행됨에 따라 관련 링크가 제공됩니다.
실시예 11
행렬 방법으로 시스템 풀기 
해결책: 행렬 형식으로 시스템을 작성합니다.
, 어디 
연립방정식과 행렬을 보십시오. 우리가 행렬에 요소를 쓰는 원리는 모두가 이해한다고 생각합니다. 유일한 설명: 방정식에서 일부 변수가 누락된 경우 행렬의 해당 위치에 0을 넣어야 합니다.
다음 공식으로 역행렬을 찾습니다.
, 여기서 는 행렬의 해당 요소에 대한 대수 보수의 전치 행렬입니다.
먼저 행렬식을 다루겠습니다.
여기서 행렬식은 첫 번째 줄에 의해 확장됩니다.
주목! 이면 역행렬은 존재하지 않으며, 행렬 방식으로 시스템을 푸는 것은 불가능합니다. 이 경우 시스템은 미지수(가우스 방법)를 제거하여 해결됩니다.
이제 9개의 미성년자를 계산하여 미성년자의 행렬에 써야 합니다. 
참조:선형 대수학에서 이중 첨자의 의미를 아는 것이 유용합니다. 첫 번째 숫자는 요소가 위치한 줄 번호입니다. 두 번째 숫자는 요소가 위치한 열의 번호입니다. 
즉, 이중 첨자는 요소가 첫 번째 행, 세 번째 열에 있음을 나타내고, 예를 들어 요소가 세 번째 행, 두 번째 열에 있음을 나타냅니다.
