행렬의 순위는 중요합니다 수치적 특성. 행렬의 랭크를 구해야 하는 가장 특징적인 문제는 선형 시스템의 호환성을 확인하는 것입니다. 대수 방정식. 이 기사에서는 행렬의 순위 개념을 제공하고 이를 찾는 방법을 고려할 것입니다. 자료의 더 나은 동화를 위해 몇 가지 예의 솔루션을 자세히 분석합니다.
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행렬의 랭크에 대한 정의를 내리기 전에 마이너의 개념을 잘 이해하고 있어야 하며, 행렬의 마이너를 찾는다는 것은 행렬식을 계산할 수 있다는 것을 의미합니다. 따라서 필요한 경우 기사의 이론, 행렬 결정자를 찾는 방법, 결정자의 속성을 기억하는 것이 좋습니다.
순서의 행렬 A를 가져옵니다. k를 일부라고 하자 자연수, 숫자 중 가장 작은 수를 초과하지 않음 m 과 n , 즉, .
정의.
작은 k번째 순서행렬 A는 행렬 A의 요소들로 구성되어 미리 선택된 k개의 행과 k개의 열에 있는 차수 정사각 행렬의 행렬식이며, 행렬 A 요소의 위치는 보존됩니다.
즉, 행렬 A에서 (p–k)개의 행과 (n–k)개의 열을 삭제하고 나머지 요소로부터 행렬을 형성하면 행렬 A 요소의 배열을 유지하면서 결과 행렬의 행렬식은 행렬 A의 k차 마이너
예제를 사용하여 행렬 마이너의 정의를 살펴보겠습니다.
행렬을 고려하십시오 
.
이 행렬의 몇 가지 1차 마이너를 적어봅시다. 예를 들어, 행렬 A의 세 번째 행과 두 번째 열을 선택하면 우리의 선택은 1차 마이너에 해당합니다. 
. 즉, 이 마이너를 얻기 위해 행렬 A에서 첫 번째와 두 번째 행과 첫 번째, 세 번째, 네 번째 열을 지우고 나머지 요소에서 행렬식을 구성했습니다. 행렬 A의 첫 번째 행과 세 번째 열을 선택하면 마이너 
.
고려되는 1순위 미성년자를 확보하는 절차를 설명하겠습니다. 
그리고 
.
따라서 행렬의 1차 마이너는 행렬 요소 자체입니다.
두 번째 순서의 여러 미성년자를 보여 드리겠습니다. 두 개의 행과 두 개의 열을 선택합니다. 예를 들어 첫 번째 및 두 번째 행과 세 번째 및 네 번째 열을 가져옵니다. 이 선택으로 2차 마이너가 있습니다. 
. 이 마이너는 행렬 A에서 세 번째 행, 첫 번째 및 두 번째 열을 삭제하여 형성할 수도 있습니다.
행렬 A의 또 다른 2차 마이너는 입니다.
이 2차 마이너의 구성을 설명하겠습니다. 
그리고 
.
행렬 A의 3차 마이너도 유사하게 찾을 수 있습니다. 행렬 A에는 세 개의 행만 있으므로 모두 선택합니다. 이 행에 대해 처음 세 열을 선택하면 세 번째 순서의 마이너를 얻습니다. 
행렬 A의 마지막 열을 삭제하여 구성할 수도 있습니다.
또 다른 3차 미성년자는 
행렬 A의 세 번째 열을 삭제하여 얻습니다.
다음은 이러한 3차 마이너의 구성을 보여주는 그림입니다. 
그리고 
.
주어진 행렬 A에 대해 세 번째보다 높은 차수의 마이너는 없습니다.
차수의 행렬 A의 k차 마이너는 몇 개입니까?
차수 k 마이너의 수는 다음과 같이 계산할 수 있습니다. 여기서 
그리고 
- 각각 p에서 k 및 n에서 k까지의 조합 수.
n에서 차수 p의 행렬 A의 차수 k의 모든 마이너를 구성하는 방법은 무엇입니까?
행렬 행 번호 집합과 열 번호 집합이 필요합니다. 모든 것을 기록 k에 의한 p 요소의 조합(그들은 k차 마이너를 구성할 때 행렬 A의 선택된 행에 해당합니다). 행 번호의 각 조합에 n개 요소의 모든 조합을 k개의 열 번호로 순차적으로 추가합니다. 행렬 A의 행 번호와 열 번호의 이러한 조합 세트는 k 차의 모든 마이너를 구성하는 데 도움이 됩니다.
예를 들어 보겠습니다.
예시.
행렬의 모든 2차 마이너를 찾으십시오.
해결책.
원래 행렬의 차수는 3x3이므로 전체 2차 마이너는 
.
행렬 A: 1, 2; 1, 3 그리고 2, 3. 3 x 2 열 번호의 모든 조합은 1, 2 입니다. 1, 3 그리고 2, 3.
행렬 A의 첫 번째 행과 두 번째 행을 가져옵니다. 이 행의 첫 번째 및 두 번째 열, 첫 번째 및 세 번째 열, 두 번째 및 세 번째 열을 선택하면 각각 마이너를 얻습니다. 
첫 번째 행과 세 번째 행의 경우 유사한 열을 선택하면 다음과 같습니다. 
첫 번째와 두 번째, 첫 번째와 세 번째, 두 번째와 세 번째 열을 두 번째와 세 번째 행에 추가해야 합니다. 
따라서 행렬 A의 2차 마이너 9개를 모두 찾습니다.
이제 행렬의 순위 결정으로 넘어갈 수 있습니다.
정의.
행렬 순위 0이 아닌 행렬 마이너의 최상위 차수입니다.
행렬 A의 랭크는 Rank(A) 로 표시됩니다. Rg(A) 또는 Rang(A) 지정도 볼 수 있습니다.
행렬의 랭크와 행렬의 마이너의 정의로부터 제로 행렬의 랭크는 0과 같고 0이 아닌 행렬의 랭크는 적어도 1이라는 결론을 내릴 수 있습니다.
따라서 행렬의 순위를 찾는 첫 번째 방법은 다음과 같습니다. 마이너 열거 방법. 이 방법은 행렬의 순위 결정을 기반으로 합니다.
차수의 행렬 A의 랭크를 찾아야 합니다.
간단히 설명 연산미성년자를 열거하는 방법으로 이 문제를 해결합니다.
0이 아닌 행렬 요소가 하나 이상 있는 경우 행렬의 순위는 1 이상입니다(0이 아닌 1차 마이너가 있기 때문에).
다음으로 두 번째 순서의 마이너를 반복합니다. 모든 2차 마이너가 0이면 행렬의 순위는 1과 같습니다. 0이 아닌 2차 마이너가 하나 이상 존재하는 경우 3차 마이너의 열거에 전달하고 행렬의 랭크는 2 이상입니다.
마찬가지로 모든 3차 마이너가 0이면 행렬의 순위는 2입니다. 0이 아닌 3차 마이너가 하나 이상 있는 경우 행렬의 순위는 3 이상이며 4차 마이너의 열거를 진행합니다.
행렬의 순위는 p와 n 중 가장 작은 값을 초과할 수 없습니다.
예시.
행렬의 순위 찾기 
.
해결책.
행렬이 0이 아니므로 순위는 1보다 작지 않습니다.
두 번째 주문의 마이너 
는 0이 아니므로 행렬 A의 랭크는 적어도 2입니다. 우리는 세 번째 순서의 미성년자 열거로 넘어갑니다. 그들 모두 
것들. 
모든 3차 마이너는 0과 같습니다. 따라서 행렬의 순위는 2입니다.
대답:
순위(A) = 2 .
적은 계산 작업으로 결과를 얻을 수 있는 행렬의 순위를 찾는 다른 방법이 있습니다.
이러한 방법 중 하나는 프린징 마이너 방법.
처리하자 경계 미성년자의 개념.
마이너 M ok에 해당하는 행렬이 마이너에 해당하는 행렬을 "포함"하는 경우 행렬 A의 (k+1)차 마이너 M ok가 행렬 A의 k 차수의 마이너 M을 둘러싼다고 합니다. 중 .
즉, 보더링 마이너 M에 해당하는 행렬은 보더링 마이너 M ok에 해당하는 행렬에서 1행 1열의 요소를 삭제하여 얻는다.
예를 들어 행렬을 고려하십시오. 
두 번째 순서의 미성년자를 선택하십시오. 모든 경계 미성년자를 적어 봅시다. 
미성년자를 경계화하는 방법은 다음 정리에 의해 정당화됩니다(증거 없이 공식을 제시함).
정리.
n차 p의 행렬 A의 k차 마이너에 접하는 모든 마이너가 0이면 행렬 A의 차수(k + 1)의 모든 마이너는 0과 같습니다.
따라서 행렬의 랭크를 찾기 위해 경계가 충분한 마이너를 모두 열거할 필요는 없습니다. 차수의 행렬 A의 k차 마이너에 접하는 마이너의 수는 다음 공식으로 구합니다. 
. 행렬 A의 (k + 1)번째 마이너보다 행렬 A의 k번째 마이너와 경계를 이루는 마이너가 더 이상 없다는 점에 유의하십시오. 따라서 대부분의 경우 미성년자를 경계하는 방법을 사용하는 것이 단순히 모든 미성년자를 열거하는 것보다 유리합니다.
프린징 마이너(fringing minors) 방법으로 행렬의 랭크를 구해봅시다. 간단히 설명 연산이 방법.
행렬 A가 0이 아닌 경우 0이 아닌 행렬 A의 모든 요소를 1차 마이너로 사용합니다. 우리는 그것의 경계 미성년자를 고려합니다. 모두 0이면 행렬의 순위는 1과 같습니다. 0이 아닌 보더링 마이너가 하나 이상 있는 경우(순서가 2임), 보더링 마이너로 넘어갑니다. 모두 0이면 Rank(A) = 2 입니다. 최소 하나의 경계 마이너가 0이 아닌 경우(차수가 3임) 경계 마이너를 고려합니다. 등등. 결과적으로 행렬 A의 (k + 1) 차수의 모든 경계 마이너가 0이면 Rank(A) = k이고, 0이 아닌 값이 있으면 Rank(A) = min(p, n)입니다. 미성년자 차수(최소(p, n) – 1)와 접하는 미성년자.
행렬의 랭크를 찾기 위한 보더링 마이너 방법을 예제를 통해 분석해 봅시다.
예시.
행렬의 순위 찾기 
경계 미성년자 방법으로.
해결책.
행렬 A의 요소 a 1 1은 0이 아니므로 이를 1차 마이너로 간주합니다. 0이 아닌 경계 마이너 검색을 시작하겠습니다. 
0이 아닌 경계 2차 마이너가 발견되었습니다. 경계를 이루는 미성년자들(그들의 
것들): 
2차 마이너와 접하는 모든 마이너는 0이므로 행렬 A의 랭크는 2입니다.
대답:
순위(A) = 2 .
예시.
행렬의 순위 찾기 
경계 미성년자의 도움으로.
해결책.
1차의 0이 아닌 마이너로 행렬 A의 요소 a 1 1 = 1을 취합니다. 두 번째 순서의 마이너 프린지 
0이 아닙니다. 이 미성년자는 3차 미성년자와 접해 있습니다. 
. 0과 같지 않고 경계 마이너가 없기 때문에 행렬 A의 랭크는 3입니다.
대답:
순위(A) = 3 .
행렬의 순위를 찾는 다른 방법을 고려하십시오.
다음 행렬 변환을 기본이라고 합니다.
행렬 B는 행렬 A와 동일하다고 합니다., 유한 수의 기본 변환을 통해 A에서 B를 얻은 경우. 행렬의 동등성은 기호 "~"로 표시됩니다. 즉, A ~ B로 작성됩니다.
기본 행렬 변환을 사용하여 행렬의 랭크를 찾는 것은 유한한 수의 기본 변환을 사용하여 행렬 A에서 행렬 B를 얻은 경우 Rank(A) = Rank(B)라는 진술을 기반으로 합니다.
이 진술의 유효성은 행렬 결정자의 속성에서 따릅니다.
기본 변형 방법의 본질기본 변환을 사용하여 우리가 찾아야 하는 순위를 사다리꼴(특정한 경우 상위 삼각형)으로 가져오는 것입니다.
무엇을 위한 것입니까? 이러한 종류의 행렬 순위는 찾기가 매우 쉽습니다. null이 아닌 요소를 하나 이상 포함하는 행 수와 같습니다. 그리고 행렬의 순위는 기본 변환 중에 변경되지 않으므로 결과 값은 원래 행렬의 순위가 됩니다.
우리는 행렬의 예시를 제공하며 그 중 하나는 변환 후에 얻어야 합니다. 그들의 형태는 행렬의 순서에 따라 다릅니다.
이 그림은 행렬 A를 변환할 템플릿입니다.
설명하자 방법 알고리즘.
차수가 0이 아닌 행렬 A의 순위를 찾아야 한다고 가정합니다(p는 n과 같을 수 있음).
그래서, . 행렬 A의 첫 번째 행의 모든 요소에 를 곱해 봅시다. 이 경우 등가 행렬을 얻고 A(1)로 표시합니다. 
결과 행렬 A(1)의 두 번째 행 요소에 첫 번째 행의 해당 요소를 . 세 번째 행의 요소에 첫 번째 행의 해당 요소를 더하고 . 그리고 p 번째 줄까지 계속됩니다. 우리는 동등한 행렬을 얻고 그것을 A (2)로 나타냅니다. 
두 번째에서 p 번째 행의 결과 행렬의 모든 요소가 0이면이 행렬의 순위는 1과 같으므로 결과적으로 원래 행렬의 순위는 1과 같습니다. .
두 번째부터 p 번째까지의 행에 0이 아닌 요소가 하나 이상 있으면 변환을 계속 수행합니다. 또한 우리는 정확히 같은 방식으로 행동하지만 그림 (2)에 표시된 행렬 A의 일부만 사용합니다. 
이면 행렬 A(2)의 행 및(또는) 열을 재정렬하여 "새" 요소가 0이 아닌 값이 되도록 합니다.
A는 m\times n 차원의 행렬이고 k는 m과 n을 초과하지 않는 자연수라고 합니다. k\leqslant\min\(m;n\). 작은 k번째 순서행렬 A는 행렬 A의 임의로 선택된 k 행과 k 열의 교차점에 있는 요소로 형성된 k차 행렬의 결정자입니다. 마이너를 나타내면 선택한 행의 번호는 상위 인덱스로, 선택한 열의 번호는 하위 인덱스로 표시하여 오름차순으로 정렬합니다.
예 3.4.다른 행렬 차수의 마이너 쓰기
A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.
해결책.행렬 A의 차원은 3\times4 입니다. 1차 미성년자 12개(예: 미성년자) M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 예를 들어, 2차 미성년자 18명, M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 예를 들어, 3차 미성년자 4명
M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.
m\times n 행렬 A에서 r차 마이너는 다음과 같습니다. 기초적인, 0이 아니고 순서의 모든 마이너 (r + 1)-ro가 0이거나 전혀 존재하지 않는 경우.
행렬 순위기본 마이너의 순서라고합니다. 제로 매트릭스에는 기저 마이너가 없습니다. 따라서 제로 행렬의 랭크는 정의에 따라 0으로 가정합니다. 행렬 A의 랭크는 다음과 같이 표시됩니다. \operatorname(rg)A.
예 3.5.행렬의 모든 기본 마이너 및 순위 찾기
A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.
해결책.이 행렬의 모든 3차 마이너는 0과 같습니다. 이러한 결정자의 세 번째 행이 0이기 때문입니다. 따라서 행렬의 처음 두 행에 위치한 2차 마이너만 베이직이 될 수 있습니다. 6개의 가능한 미성년자를 통해 0이 아닌 것을 선택합니다.
M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.
이 5명의 미성년자는 각각 기본입니다. 따라서 행렬의 순위는 2입니다.
비고 3.2
1. 매트릭스에서 k차의 모든 마이너가 0이면 상위 마이너도 0입니다. 실제로 (k + 1)-ro 차수 마이너를 임의의 행으로 확장하면 이 행의 요소 곱의 합을 k차 마이너로 구하고 그 값은 0이 됩니다.
2. 행렬의 랭크는 이 행렬의 0이 아닌 마이너의 최대 차수와 같습니다.
3. 만약 정사각 행렬퇴화되지 않은 경우 해당 순위는 해당 순서와 동일합니다. 정사각형 행렬이 퇴화되면 순위가 차수보다 작습니다.
4. 명칭은 순위에도 사용됩니다. \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rank)A,~ \operatorname(rank)A.
5. 블록 매트릭스 순위일반(숫자) 행렬의 순위로 정의됩니다. 블록 구조에 관계없이. 이 경우 블록 행렬의 순위는 해당 블록의 순위보다 작지 않습니다. \연산자 이름(rg)(A\mid B)\geqslant\연산자 이름(rg)A그리고 \연산자 이름(rg)(A\mid B)\geqslant\연산자 이름(rg)B, 행렬 A (또는 B )의 모든 마이너는 블록 행렬 (A\mid B) 의 마이너이기도 하기 때문입니다.
행렬의 열(행)의 선형 종속성과 선형 독립성의 속성을 표현하는 주요 정리를 고려해 보겠습니다.
기본 미성년자에 대한 정리 3.1.임의의 행렬 A에서 각 열(행)은 기본 마이너가 있는 열(행)의 선형 조합입니다.
실제로, 일반성을 잃지 않고, 우리는 m\times n 행렬 A에서 베이시스 마이너가 첫 번째 r 행과 첫 번째 r 열에 있다고 가정합니다. 결정 요인 고려
D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),
행렬 A의 기본 마이너에 해당 요소를 할당하여 얻습니다. s번째 줄및 k번째 열. 참고 1\leqslant s\leqslant m그리고 이 행렬식은 0입니다. s\leqslant r 또는 k\leqslant r 이면 결정자 D는 2개의 동일한 행 또는 2개의 동일한 열을 포함합니다. s>r 및 k>r 이면 행렬식 D는 (r+l)-ro 차수의 마이너이므로 0과 같습니다. 행렬식을 마지막 행으로 확장하면 다음을 얻습니다.
a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,
여기서 D_(r+1\,j)는 마지막 행 요소의 대수적 보수입니다. 기본 마이너이므로 D_(r+1\,r+1)\ne0 에 유의하십시오. 그래서
a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), 어디 \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.
\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.
저것들. k 번째 열(모든 1\leqslant k\leqslant n)는 증명할 기본 마이너 열의 선형 조합입니다.
기본 마이너 정리는 다음과 같은 중요한 정리를 증명하는 역할을 합니다.
정리 3.2(결정자가 0이 되기 위한 필요충분조건).결정자가 0이 되려면 해당 열 중 하나(해당 행 중 하나)가 나머지 열(행)의 선형 조합이어야 합니다.
실제로 필연성은 기본 마이너 정리에서 나옵니다. n차 정사각 행렬의 결정자가 0이면 순위는 n보다 작습니다. 최소 하나의 열이 기본 마이너에 포함되지 않습니다. 그런 다음 정리 3.1에 의해 선택된 이 열은 기본 마이너를 포함하는 열의 선형 조합입니다. 필요한 경우 이 조합에 계수가 0인 다른 열을 추가하면 선택한 열이 행렬의 나머지 열의 선형 조합임을 알 수 있습니다. 충분성은 행렬식의 속성에서 따릅니다. 예를 들어 행렬식의 마지막 열 A_n인 경우 \det(A_1~A_2~\cdots~A_n)나머지의 관점에서 선형으로 표현
A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),
그런 다음 (-\lambda_1) 을 곱한 열 A_1 을 A_n 에 추가한 다음 (-\lambda_2) 를 곱한 열 A_2 를 추가하는 식입니다. 열 A_(n-1) 에 (-\lambda_(n-1)) 을 곱하면 결정자를 얻습니다. \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) 0과 같은 0 열이 있습니다(결정자의 속성 2).
정리 3.3(기본 변환에서 순위 불변에 대해). 행렬의 열(행)의 기본 변환에서 순위는 변경되지 않습니다.
실제로 . 행렬 A의 열에 대한 하나의 기본 변환 결과로 행렬 A "를 얻었다 고 가정합니다. 유형 I 변환이 수행 된 경우 (두 열의 순열) 다음의 모든 마이너 (r + l)-ro 행렬 A의 차수 A" 또는 행렬 A 차수의 해당 마이너 (r + l )-ro와 같거나 부호가 다릅니다(결정자의 속성 3). 유형 II 변환이 수행된 경우(숫자 \lambda\ne0 에 의한 열 곱셈) 행렬 A" 차수의 임의의 마이너(r+l)-ro는 대응하는 마이너(r+l)- 행렬 A의 순서의 ro 또는 그것과 다른 인수 \lambda\n0(결정자의 속성 6). III형(숫자 \Lambda를 곱한 다른 열의 한 열에 추가), 행렬 A"의 (r + 1)차의 마이너는 다음의 (r + 1)차의 해당 마이너와 같습니다. 행렬 A(결정자의 속성 9), 또는 합계와 같습니다행렬 A의 차수의 두 마이너(r+l)-ro(결정자의 속성 8). 따라서 모든 유형의 기본 변환 하에서 행렬 A" 차수의 모든 마이너(r + l) - ro는 0과 같습니다. 왜냐하면 모든 마이너(r + l) - 행렬 A 차수의 ro는 0과 같습니다. 따라서 열의 기본 변환에서 순위 행렬은 증가할 수 없음이 증명되었습니다. 행렬의 순위가 행의 기본 변환에서 변경되지 않는다는 것이 유사하게 입증되었습니다.
결과 1. 행렬의 한 행(열)이 다른 행(열)의 선형 조합인 경우 이 행(열)은 순위를 변경하지 않고 행렬에서 삭제할 수 있습니다.
실제로 이러한 문자열은 기본 변환을 사용하여 null로 만들 수 있으며 null 문자열은 기본 마이너에 포함될 수 없습니다.
결과 2. 행렬이 가장 간단한 형식(1.7)으로 축소되면
\연산자 이름(rg)A=\연산자 이름(rg)\Lambda=r\,.
실제로, 가장 간단한 형식(1.7)의 행렬은 r차의 기본 마이너를 가집니다.
결과 3. 모든 비특이 정사각 행렬은 기본입니다. 즉, 모든 비특이 정사각 행렬은 동일한 차수의 항등 행렬과 같습니다.
실제로 A가 n차 비특이 정사각 행렬이면 \연산자 이름(rg)A=n(설명 3.2의 3번 항목 참조). 따라서 기본 변환을 통해 행렬 A를 가장 간단한 형식(1.7)으로 줄이면 항등 행렬 \Lambda=E_n을 얻습니다. \연산자 이름(rg)A=\연산자 이름(rg)\Lambda=n(결과 2 참조). 따라서 행렬 A는 항등 행렬 E_n과 동일하며 유한한 수의 기본 변환의 결과로 얻을 수 있습니다. 이것은 행렬 A가 기본임을 의미합니다.
정리 3.4(행렬의 순위에 따라). 행렬의 랭크는 이 행렬의 선형 독립 행의 최대 수와 같습니다.
사실,하자 \연산자 이름(rg)A=r. 그런 다음 행렬 A에는 r개의 선형 독립 행이 있습니다. 기본 마이너가 위치한 라인입니다. 선형 종속인 경우 이 마이너는 정리 3.2에 따라 0이 되고 행렬 A의 랭크는 r과 같지 않습니다. r이 선형적으로 독립적인 행의 최대 개수임을 보여드리겠습니다. 모든 p 행은 p>r 에 대해 선형적으로 종속됩니다. 실제로, 우리는 이러한 p 행에서 행렬 B를 형성합니다. 행렬 B는 행렬 A의 일부이므로 \연산자 이름(rg)B\leqslant \연산자 이름(rg)A=r 이는 행렬 B의 적어도 하나의 행이 이 행렬의 기본 마이너에 포함되지 않음을 의미합니다. 그런 다음 기본 마이너 정리에 의해 기본 마이너가 위치한 행의 선형 조합과 같습니다. 따라서 행렬 B의 행은 선형 종속입니다. 따라서 행렬 A에는 최대 r개의 선형 독립 행이 있습니다. 결과 1. 행렬에서 선형 독립 행의 최대 수는 선형 독립 열의 최대 수와 같습니다. \연산자명(rg)A=\연산자명(rg)A^T. 이 주장은 전치 행렬의 행에 적용되고 전치 시 마이너가 변경되지 않는다는 점을 고려하는 경우 정리 3.4를 따릅니다(행정식의 속성 1). 결과 2. 행렬 행의 기본 변환에서 이 행렬의 모든 열 시스템의 선형 종속성(또는 선형 독립성)이 유지됩니다. 사실, 우리는 주어진 행렬 A의 k 열을 선택하고 그들로부터 행렬 B를 형성합니다. 행렬 A의 행에 대한 기본 변환의 결과로 행렬 A"가 얻어지고, 행렬 B의 행에 대한 동일한 변환의 결과로 행렬 B"가 얻어진다고 하자. 정리 3.3에 의해 \연산자 이름(rg)B"=\연산자 이름(rg)B. 따라서 행렬 B의 열이 선형 독립인 경우, 즉 k=\연산자 이름(rg)B(Corollary 1 참조) 행렬 B"의 열도 선형 독립입니다. k=\연산자 이름(rg)B". 행렬 B의 열이 선형 종속인 경우 (k>\연산자 이름(rg)B)이면 행렬 B"의 열도 선형 종속입니다. (k>\연산자 이름(rg)B"). 따라서 행렬 A의 모든 열에 대해 기본 행 변환에서 선형 종속성 또는 선형 독립성이 유지됩니다. 비고 3.3 1. 정리 3.4의 추론 1에 의해 추론 2에 표시된 열 속성은 기본 변환이 해당 열에서만 수행되는 경우 행렬 행의 모든 시스템에도 유효합니다. 2. 정리 3.3의 추론 3은 다음과 같이 세분화할 수 있습니다. 행(또는 열만)의 기본 변환을 사용하는 비특이 정사각 행렬은 동일한 순서의 항등 행렬로 축소될 수 있습니다. 실제로 기본 행 변환만 사용하면 모든 행렬 A를 단순화된 형식 \Lambda로 줄일 수 있습니다(그림 1.5)(정리 1.1 참조). 행렬 A 는 비특이 행렬(\det(A)\ne0) 이므로 해당 열은 선형적으로 독립적입니다. 따라서 행렬 \Lambda의 열도 선형 독립입니다(정리 3.4의 추론 2). 따라서 비특이 행렬 A의 단순화된 형식 \Lambda는 가장 간단한 형식(그림 1.6)과 일치하며 항등 행렬 \Lambda=E입니다(정리 3.3의 추론 3 참조). 따라서 비특이 행렬의 행만 변환하면 항등 1로 줄일 수 있습니다. 비특이 행렬 열의 기본 변환에도 유사한 추론이 유효합니다. 정리 3.5(행렬 곱의 순위).제품 순위 및 행렬 합계
\연산자 이름(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\연산자 이름(rg)A,\연산자 이름(rg)B\).
실제로 행렬 A와 B의 크기가 m\times p 및 p\times n이라고 가정합니다. 행렬 A에 행렬을 할당합시다. C=AB\콜론\,(A\mid C). 말할 필요도 없이 \연산자 이름(rg)C\leqslant\연산자 이름(rg)(A\mid C), C는 행렬(A\mid C)의 일부이기 때문입니다(설명 3.2의 항목 5 참조). C_j 의 각 열은 행렬 곱셈 연산에 따라 열의 선형 조합입니다. A_1,A_2,\ldots,A_p행렬 A=(A_1~\cdots~A_p):
C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.
이러한 열은 순위를 변경하지 않고 행렬(A\mid C)에서 삭제할 수 있습니다(정리 3.3의 추론 1). 행렬 C의 모든 열을 지우면 다음을 얻습니다. \연산자 이름(rg)(A\mid C)=\연산자 이름(rg)A. 여기에서, \연산자 이름(rg)C\leqslant\연산자 이름(rg)(A\mid C)=\연산자 이름(rg)A. 마찬가지로, 조건이 다음임을 증명할 수 있습니다. \연산자 이름(rg)C\leqslant\연산자 이름(rg)B, 정리의 유효성에 대한 결론을 도출합니다.
결과. 만약 A는 비축퇴 정사각 행렬이고, \연산자명(rg)(AB)= \연산자명(rg)B그리고 \연산자 이름(rg)(CA)=\연산자 이름(rg)C, 즉. 비특이 정사각 행렬을 왼쪽이나 오른쪽에 곱해도 행렬의 순위는 변하지 않습니다.
행렬 합계의 순위에 대한 정리 3.6. 행렬 합계의 순위는 다음 항의 순위 합계를 초과하지 않습니다.
\연산자 이름(rg)(A+B)\leqslant \연산자 이름(rg)A+\연산자 이름(rg)B.
실제로 행렬을 만들어 봅시다. (A+B\mid A\mid B). 행렬 A+B 의 각 열은 행렬 A 및 B 열의 선형 조합입니다. 그래서 \연산자 이름(rg)(A+B\mid A\mid B)= \연산자 이름(rg)(A\mid B). 행렬의 선형 독립 열의 수(A\mid B)가 다음을 초과하지 않는다는 점을 고려하면 \연산자 이름(rg)A+\연산자 이름(rg)B, ㅏ \연산자 이름(rg)(A+B)\leqslant \연산자 이름(rg)(A+B\mid A\mid B)(설명 3.2의 항목 5 참조), 필요한 부등식을 얻습니다.
또한 주제의 중요한 실제 적용을 고려하십시오. 시스템 연구 선형 방정식호환성을 위해.
기사의 유머러스한 서문에는 많은 진실이 담겨 있습니다. "순위"라는 단어 자체는 일반적으로 일종의 계층 구조와 관련이 있으며 대부분 경력 사다리와 관련이 있습니다. 사람이 가진 지식, 경험, 능력, 인맥 등이 많을수록. - 그의 지위와 기회의 범위가 높을수록. 청소년 용어에서 순위는 "강인함"의 전반적인 정도를 나타냅니다.
그리고 우리의 수학적 형제들은 같은 원칙에 따라 생활합니다. 임의의 몇 가지를 산책하자 제로 행렬:
행렬에 있는지 생각해 봅시다 0만, 그럼 어떤 순위에 대해 이야기 할 수 있습니까? 모든 사람들은 비공식적인 표현인 "total zero"에 익숙합니다. 매트릭스 사회에서는 모든 것이 똑같습니다.
제로 매트릭스 랭크모든 크기는 0입니다.
메모 : 제로 매트릭스는 그리스 문자 "theta"로 표시됩니다.
행렬의 순위를 더 잘 이해하기 위해 이하에서 자료를 그릴 것입니다. 분석 기하학. 0을 고려하십시오 벡터우리의 3차원 공간, 특정 방향을 설정하지 않으며 건물에 쓸모가 없습니다. 아핀 기반. 대수적 관점에서 주어진 벡터의 좌표는 다음과 같이 쓰여집니다. 행렬"하나씩 셋" 그리고 논리적 (지정된 기하학적 의미에서)이 행렬의 순위가 0이라고 가정합니다.
이제 몇 가지만 살펴보자 0이 아닌 열 벡터그리고 행 벡터:
각 인스턴스에는 적어도 하나의 null이 아닌 요소가 있습니다.
0이 아닌 행 벡터(열 벡터)의 순위는 1과 같습니다.
그리고 일반적으로 말하자면 - 행렬에 있는 경우 임의의 크기 0이 아닌 요소가 하나 이상 있고 순위가 덜단위.
대수적 행 및 열 벡터는 어느 정도 추상적이므로 다시 기하학적 연결로 돌아가 보겠습니다. 0이 아닌 벡터공간에서 잘 정의된 방향을 설정하고 구성에 적합합니다. 기초이므로 행렬의 순위는 1과 같다고 가정합니다.
이론적 참조 : 선형 대수학에서 벡터는 벡터 공간(8 공리를 통해 정의됨)의 요소이며, 특히 덧셈 및 곱셈 연산이 정의된 실수의 정렬된 행(또는 열)일 수 있습니다. 실수. 더 많이 자세한 정보벡터에 대한 기사는 기사에서 찾을 수 있습니다. 선형 변환.
선형 종속(서로를 통해 표현됨). 기하학적 관점에서 두 번째 줄에는 공선 벡터의 좌표가 포함됩니다. 
, 건축 문제를 진전시키지 못한 입체적 기초, 이런 의미에서 중복됩니다. 따라서 이 행렬의 순위도 1과 같습니다.
벡터의 좌표를 열에 다시 씁니다( 행렬을 바꾸다):
순위 면에서 어떤 변화가 있었나요? 아무것도 아님. 열은 비례하므로 순위가 1과 같습니다. 그건 그렇고, 세 줄 모두 비례한다는 점에 유의하십시오. 좌표로 식별할 수 있습니다. 삼평면의 동일 선상 벡터 단 하나"플랫" 기반을 구성하는 데 유용합니다. 그리고 이것은 우리의 기하학적 순위 감각과 완전히 일치합니다.
위의 예에서 중요한 진술이 이어집니다.
행별 행렬 순위 순위와 같음열 기준 행렬. 나는 이미 효과적인 수업에서 이것을 조금 언급했습니다. 행렬식 계산 방법.
메모 : 행의 선형 종속성은 열의 선형 종속성을 초래합니다(또는 그 반대). 그러나 시간을 절약하고 습관적으로 문자열의 선형 종속성에 대해 거의 항상 이야기하겠습니다.
사랑하는 애완 동물을 계속 훈련합시다. 세 번째 행의 행렬에 다른 공선 벡터의 좌표를 추가합니다. 
:
그는 우리가 3차원 기반을 구축하는 데 도움을 주었습니까? 당연히 아니지. 세 벡터는 모두 동일한 경로를 따라 앞뒤로 이동하며 행렬의 순위는 하나입니다. 100과 같이 원하는 만큼 공선형 벡터를 가져오고 좌표를 100 x 3 행렬에 넣으면 그러한 마천루의 순위는 여전히 1로 유지됩니다.
행이 있는 행렬에 대해 알아봅시다. 선형 독립. 한 쌍의 비공선형 벡터는 3차원 기저를 구성하는 데 적합합니다. 이 행렬의 순위는 2입니다.
행렬의 순위는 무엇입니까? 선은 비례하지 않는 것 같습니다 ... 그래서 이론적으로는 세 개입니다. 그러나이 행렬의 순위도 2와 같습니다. 처음 두 줄을 추가하고 맨 아래에 결과를 기록했습니다. 선형으로 표현세 번째 줄부터 처음 두 줄까지. 기하학적으로 행렬의 행은 3개의 좌표에 해당합니다. 동일 평면 벡터, 그리고 이 트리플 중에는 공선적이지 않은 한 쌍의 동지가 있습니다.
보시다시피 선형 의존성고려 된 매트릭스에서 명확하지 않으며 오늘 우리는 그것을 "깨끗한 물로"가져 오는 방법을 배웁니다.
나는 많은 사람들이 행렬의 순위가 무엇인지 추측한다고 생각합니다!
행이 있는 행렬을 고려하십시오. 선형 독립. 벡터 양식 아핀 기반, 이 행렬의 순위는 3입니다.
아시다시피 3차원 공간의 4번째, 5번째, 10번째 벡터는 기본 벡터로 선형으로 표현됩니다. 따라서 임의 개수의 행이 행렬에 추가되면 해당 순위는 여전히 3일 것이다.
행렬에 대해서도 유사한 추론을 수행할 수 있습니다. 더 큰 크기(분명히, 이미 기하학적 의미가 없습니다).
정의 : 행렬 순위는 선형 독립 행의 최대 개수입니다.. 또는: 행렬의 순위는 선형 독립 열의 최대 수입니다.. 예, 항상 일치합니다.
위의 중요한 실제 지침은 다음과 같습니다. 행렬의 순위는 최소 차원을 초과하지 않습니다.. 예를 들어 매트릭스에서 
4개의 행과 5개의 열. 최소 차원은 4이므로 이 행렬의 순위는 확실히 4를 초과하지 않습니다.
표기법: 세계 이론과 실제에서 행렬의 순위를 지정하는 데 일반적으로 허용되는 표준은 없으며 가장 일반적인 표준을 찾을 수 있습니다. - 그들이 말했듯이 영국인은 한 가지를 쓰고 독일인은 다른 것을 씁니다. 따라서 미국과 러시아 지옥에 대한 잘 알려진 일화를 바탕으로 매트릭스의 순위를 네이티브 단어로 지정합시다. 예를 들어: . 그리고 행렬이 많은 "이름 없음"인 경우 간단히 쓸 수 있습니다.
우리 할머니가 행렬에 다섯 번째 열이 있다면 또 다른 4차 마이너("파란색", "라즈베리" + 5번째 열)가 계산되어야 합니다.
결론: 0이 아닌 마이너의 최대 차수는 3이므로 .
아마도 모든 사람이 완전히 이해하지는 못했을 것입니다. 이 문구: 4차 마이너는 0이지만 3차 마이너 중에는 0이 아닌 1이 있으므로 최대 차수는 0이 아닌사소하고 3과 같습니다.
결정 요인을 즉시 계산하지 않는 이유는 무엇입니까? 첫째, 대부분의 작업에서 행렬은 정사각형이 아니며 두 번째로 0이 아닌 값을 얻더라도 일반적으로 표준 "상향식"을 의미하기 때문에 높은 확률로 작업이 거부됩니다. 해결책. 그리고 고려된 예에서 4차의 0 결정자는 행렬의 순위가 4보다 작다고 주장할 수도 있습니다.
미성년자를 경계하는 방법을 더 잘 설명하기 위해 분석한 문제를 스스로 생각해 냈다는 점을 인정하지 않을 수 없습니다. 실제로는 모든 것이 더 간단합니다.
예 2
마이너 프린징 방법으로 행렬의 순위 찾기 
수업이 끝날 때 솔루션 및 답변.
알고리즘이 가장 빠르게 실행되는 시기는 언제입니까? 같은 4x4 행렬로 돌아가 봅시다. 
. 분명히 "좋음"의 경우 솔루션이 가장 짧을 것입니다. 코너 미성년자:
그리고, if , then , 그렇지 않으면 - .
생각은 전혀 가설이 아닙니다. 모든 것이 각진 미성년자에게만 제한되는 많은 예가 있습니다.
그러나 어떤 경우에는 다른 방법이 더 효과적이고 바람직합니다.
이 섹션은 이미 익숙한 독자를 대상으로 합니다. 가우스 방법그리고 조금씩 손에 넣었다.
기술적인 관점에서 이 방법은 새로운 것이 아닙니다.
1) 기본 변환을 사용하여 행렬을 계단 형태로 만듭니다.
2) 행렬의 순위는 행의 수와 같습니다.
그것은 아주 분명하다 Gauss 방법을 사용하면 행렬의 순위가 변경되지 않습니다., 여기서 본질은 매우 간단합니다. 알고리즘에 따르면 기본 변환 과정에서 불필요한 비례 (선형 종속) 라인이 모두 식별되고 제거되어 "건조한 잔류 물"이 남습니다. 선형적으로 독립된 선.
세 개의 공선 벡터의 좌표를 사용하여 이전의 친숙한 행렬을 변환해 보겠습니다. 
(1) 첫 번째 행이 두 번째 행에 -2를 곱하여 추가되었습니다. 첫 번째 줄이 세 번째 줄에 추가되었습니다.
(2) 제로 라인이 제거됩니다.
따라서 한 줄이 남아 있으므로 . 말할 필요도 없이 이것은 2차의 9개의 제로 마이너를 계산하고 나서야 결론을 내리는 것보다 훨씬 빠릅니다.
나는 그 자체로 당신에게 상기시킵니다 대수 행렬아무것도 바꿀 수 없고, 순위를 알아내기 위한 목적으로만 변신을 한다! 그건 그렇고, 다시 질문에 대해 생각해 봅시다. 왜 안 될까요? 소스 매트릭스 
행렬 및 행 정보와 근본적으로 다른 정보를 전달합니다. 일부에서는 수학적 모델(과장 없이) 숫자 하나의 차이가 생사를 가르는 문제가 될 수 있습니다. ... 나는 알고리즘에서 약간의 부정확성이나 편차에 대해 무자비하게 등급을 1-2 점 삭감 한 초등 및 중등 수업의 학교 수학 교사를 기억했습니다. 그리고 겉보기에 보장 된 "5"대신 "좋음"또는 더 나쁜 것으로 판명되었을 때 매우 실망했습니다. 훨씬 나중에 이해가 왔습니다. 인공위성, 핵탄두 및 발전소를 사람에게 맡기는 방법은 무엇입니까? 하지만 걱정하지 마세요. 저는 이 분야에서 일하지 않습니다 =)
무엇보다도 중요한 계산 기술에 대해 알게 될 더 의미 있는 작업으로 넘어갑시다. 가우스 방법:
예 3
기본 변환을 사용하여 행렬의 순위 찾기 
해결책: 4x5 행렬이 주어지면 순위가 확실히 4를 넘지 않음을 의미합니다.
첫 번째 열에는 1 또는 -1이 없으므로 최소 하나의 단위를 얻으려면 추가 단계가 필요합니다. 사이트가 존재하는 동안 "기본 변환 중에 열을 재정렬할 수 있습니까?"라는 질문을 반복적으로 받았습니다. 여기 - 첫 번째 또는 두 번째 열을 재정렬하면 모든 것이 정상입니다! 대부분의 작업에서 가우스 방법, 열은 실제로 재정렬될 수 있습니다. 하지만 하지마. 그리고 요점은 변수와의 혼동 가능성조차 없다는 것입니다. 요점은 고전적인 학습 과정에서 고등 수학이 작업은 전통적으로 고려되지 않으므로 그러한 curtsy는 매우 비뚤어진 것처럼 보일 것입니다 (또는 모든 것을 다시 실행해야 함).
두 번째 요점은 숫자에 관한 것입니다. 결정 과정에서 다음 경험 법칙을 따르는 것이 유용합니다. 기본 변환은 가능하면 행렬의 수를 줄여야 합니다.. 실제로 예를 들어 23, 45 및 97보다 1-2-3으로 작업하는 것이 훨씬 쉽습니다. 첫 번째 작업은 첫 번째 열에서 단위를 얻는 것뿐만 아니라 숫자를 제거하는 것입니다. 7과 11.
먼저 전체 솔루션, 그 다음 주석: 
(1) 첫 번째 행이 두 번째 행에 -2를 곱하여 추가되었습니다. 첫 번째 줄이 세 번째 줄에 -3을 곱하여 추가되었습니다. 그리고 힙에 -1을 곱한 첫 번째 줄이 네 번째 줄에 추가되었습니다.
(2) 마지막 세 줄은 비례합니다. 3번째와 4번째 줄을 삭제하고 2번째 줄을 1위로 옮겼습니다.
(3) 첫 번째 행이 두 번째 행에 -3을 곱하여 추가되었습니다.
계단 형태로 축소된 행렬에는 두 개의 행이 있습니다.
대답:
이제 4x4 행렬을 고문할 차례입니다.
예 4
Gaussian 방법을 사용하여 행렬의 순위 찾기 
나는 당신에게 상기시켜줍니다 가우스 방법모호하지 않은 경직성을 의미하지 않으며 귀하의 솔루션은 내 솔루션과 다를 가능성이 큽니다. 수업이 끝날 때 간단한 작업 샘플.
실제로 순위를 찾는 데 어떤 방법을 사용해야 하는지 전혀 언급되지 않는 경우가 많습니다. 이러한 상황에서 조건을 분석해야 합니다. 일부 행렬의 경우 미성년자를 통해 솔루션을 수행하는 것이 더 합리적이고 다른 행렬의 경우 기본 변환을 적용하는 것이 훨씬 더 유리합니다.
실시예 5
행렬의 순위 찾기 
해결책: 첫 번째 방법은 어떻게 든 즉시 사라집니다 =)
조금 더 높으면 매트릭스의 열을 건드리지 말라고 조언했지만 0 열 또는 비례/일치 열이 있으면 여전히 절단할 가치가 있습니다. 
(1) 다섯 번째 열은 0이므로 행렬에서 제거합니다. 따라서 행렬의 랭크는 최대 4개입니다. 첫 번째 행에 -1을 곱합니다. 이것은 가우시안 방법의 또 다른 특징으로, 다음 작업을 즐겁게 수행할 수 있습니다.
(2) 두 번째 줄부터 모든 줄에 첫 줄을 추가했습니다.
(3) 첫 번째 행에 -1을 곱하고 세 번째 행을 2로 나누고 네 번째 행을 3으로 나누었습니다. 두 번째 행에 -1을 곱한 것을 다섯 번째 행에 더했습니다.
(4) 세 번째 줄은 다섯 번째 줄에 -2를 곱하여 추가되었습니다.
(5) 마지막 두 줄은 비례하므로 다섯 번째 줄을 삭제합니다.
결과는 4행입니다.
대답:
자기 탐구를 위한 표준 5층 건물:
실시예 6
행렬의 순위 찾기
수업이 끝날 때 짧은 솔루션 및 답변.
"매트릭스 순위"라는 문구는 실제로 그렇게 일반적이지 않으며 대부분의 문제에서 그것 없이도 할 수 있습니다. 그러나 고려중인 개념이 주요한 작업이 하나 있습니다. 배우, 그리고 기사의 끝에서 우리는 이 실용적인 응용 프로그램을 볼 것입니다:
종종 해결 외에도 선형 방정식 시스템조건에 따라 먼저 호환성을 검사해야 합니다. 즉, 솔루션이 전혀 존재하지 않는다는 것을 증명해야 합니다. 이 검증에서 중요한 역할은 다음과 같습니다. 크로네커-카펠리 정리, 필요한 형식으로 공식화하겠습니다.
순위라면 시스템 매트릭스순위와 같음 증강 매트릭스 시스템이면 시스템이 호환되며 이 숫자가 미지의 수와 일치하면 솔루션은 독특합니다.
따라서 시스템의 호환성을 연구하기 위해서는 동등성을 확인하는 것이 필요하다. 
, 어디 - 시스템 매트릭스(수업에서 용어를 기억 가우스 방법), ㅏ - 증강 매트릭스 시스템(즉, 변수에 계수가 있는 행렬 + 자유 항의 열).
행렬의 랭크를 계산하기 위해서는 보더링 마이너 방법이나 가우스 방법을 적용할 수 있습니다. 가우스 방법 또는 기본 변환 방법을 고려하십시오.
행렬의 순위는 마이너의 최대 차수이며, 그 중 적어도 하나는 0이 아닙니다.
행(열) 시스템의 순위는 이 시스템의 선형 독립 행(열)의 최대 수입니다.
프린징 마이너(fringing minors) 방법으로 행렬의 순위를 찾는 알고리즘:
알고리즘을 더 자세히 분석해 봅시다. 먼저, 행렬의 1차(행렬 요소)의 마이너를 고려하십시오. ㅏ. 모두 0이면 순위 A = 0. 0이 아닌 1차 마이너(행렬 요소)가 있는 경우 M1 ≠ 0, 다음 순위 범위 A ≥ 1.
M1. 그러한 미성년자가 있는 경우 2차 미성년자가 됩니다. 모든 미성년자가 미성년자와 경계를 이루는 경우 M1 0과 같으면 랭크 A = 1. 0이 아닌 2차 마이너가 하나 이상 있는 경우 M2 ≠ 0, 다음 순위 범위 A ≥ 2.
미성년자를 경계하는 미성년자가 있는지 확인하십시오. M2. 그러한 미성년자가 있으면 3차 미성년자가 됩니다. 모든 미성년자가 미성년자와 경계를 이루는 경우 M2 0과 같으면 랭크 A = 2. 0이 아닌 3차 마이너가 하나 이상 있는 경우 M3 ≠ 0, 다음 순위 범위 A ≥ 3.
미성년자를 경계하는 미성년자가 있는지 확인하십시오. M3. 그러한 미성년자가 있으면 4차 미성년자가 됩니다. 모든 미성년자가 미성년자와 경계를 이루는 경우 M3 0과 같으면 랭크 A = 3. 0이 아닌 4차 마이너가 하나 이상 있는 경우 M4 ≠ 0, 다음 순위 범위 A ≥ 4.
미성년자에 대한 경계 미성년자가 있는지 확인 M4, 등등. 일부 단계에서 경계 마이너가 0이거나 경계 마이너를 얻을 수 없는 경우(매트릭스에 행이나 열이 없음) 알고리즘이 중지됩니다. 우리가 구성한 0이 아닌 마이너의 차수는 행렬의 순위가 됩니다.
고려하다 이 방법예를 들어. 주어진 4x5 행렬:
이 행렬은 4보다 큰 순위를 가질 수 없습니다. 또한 이 행렬에는 0이 아닌 요소(1차 마이너)가 있으므로 행렬의 순위가 1 이상임을 의미합니다.
미성년자를 만들자 2위주문하다. 구석에서 시작합시다.
결정자가 0과 같기 때문에 다른 마이너를 구성합니다.
이 마이너의 행렬식을 찾으십시오.
주어진 미성년자를 결정하십시오 -2 . 따라서 행렬의 순위 ≥ 2 .
이 마이너가 0이면 다른 마이너가 추가됩니다. 마지막까지 모든 미성년자는 1열과 2열에 작성되었을 것입니다. 그런 다음 1행과 3행, 2행과 3행, 2행과 4행에서 0이 아닌 마이너를 찾을 때까지 예를 들면 다음과 같습니다.
모든 2차 마이너가 0이면 행렬의 순위는 1이 됩니다. 솔루션을 중지할 수 있습니다.
3위주문하다.
미성년자는 0이 아닌 것으로 판명되었습니다. 행렬의 랭크를 의미합니다. ≥ 3 .
이 마이너가 0이면 다른 마이너를 구성해야 합니다. 예를 들어:
모든 3차 마이너가 0이면 행렬의 순위는 2가 됩니다. 솔루션을 중지할 수 있습니다.
행렬의 순위를 계속 검색합니다. 미성년자를 만들자 4일주문하다.
이 마이너의 행렬식을 찾아봅시다.
미성년자의 결정 요인은 동일한 것으로 판명되었습니다. 0 . 다른 마이너를 만들어 봅시다.
이 마이너의 행렬식을 찾아봅시다.
미성년자는 동등한 것으로 판명되었습니다 0 .
미성년자 구축 5일순서가 작동하지 않습니다. 이 행렬에는 이에 대한 행이 없습니다. 0이 아닌 마지막 마이너는 3위순서이므로 행렬의 순위는 3 .
초등학교다음 행렬 변환이 호출됩니다.
1) 임의의 두 행(또는 열)의 순열,
2) 행(또는 열)에 0이 아닌 숫자를 곱하기,
3) 한 행(또는 열)에 다른 행(또는 열)에 숫자를 곱한 값을 추가합니다.
두 행렬을 호출합니다. 동등한, 그들 중 하나가 유한한 기본 변환 집합의 도움으로 다른 하나로부터 얻어지는 경우.
등가 행렬은 일반적으로 동일하지 않지만 순위는 동일합니다. 행렬 A와 B가 같으면 A ~ B로 씁니다.
정식행렬은 주대각선의 시작 부분에 여러 개의 1이 연속적으로 있는 행렬(그 수는 0일 수 있음)이며, 다른 모든 요소는 예를 들어 다음과 같이 0과 같습니다.
행과 열의 기본 변환을 통해 모든 행렬을 정규 행렬로 줄일 수 있습니다. 정규 행렬의 순위 숫자와 같다주 대각선에 단위.
예 2행렬의 순위 찾기
A= 
정식 형식으로 가져옵니다.
해결책.두 번째 행에서 첫 번째 행을 빼고 다음 행을 재정렬합니다.
.
이제 두 번째 행과 세 번째 행에서 각각 2와 5를 곱한 첫 번째 행을 뺍니다.
;
세 번째 행에서 첫 번째를 뺍니다. 우리는 매트릭스를 얻는다
B = 
,
이는 기본 변환의 유한 집합을 사용하여 행렬 A에서 얻어지기 때문에 행렬 A와 동일합니다. 당연히 행렬 B의 랭크는 2이므로 r(A)=2입니다. 행렬 B는 정규 행렬로 쉽게 줄일 수 있습니다. 모든 후속 열에서 적절한 숫자를 곱한 첫 번째 열을 빼면 첫 번째 행을 제외한 첫 번째 행의 모든 요소가 0으로 바뀌고 나머지 행의 요소는 변경되지 않습니다. 그런 다음 적절한 숫자를 곱한 두 번째 열을 차후의 모든 열에서 빼면 두 번째 행을 제외한 두 번째 행의 모든 요소가 0으로 바뀌고 표준 행렬을 얻습니다.
.
크로네커 - 카펠리 정리- 선형 대수 방정식 시스템의 호환성 기준:
선형 시스템이 호환되려면 이 시스템의 확장 행렬의 랭크가 주 행렬의 랭크와 같아야 합니다.
필요
허락하다 체계관절. 그럼 있습니다 숫자는, 무엇 . 따라서 열은 행렬 열의 선형 조합입니다. 행렬의 행(열)의 체계가 삭제되거나 다른 행(열)의 선형 조합인 행(열)이 할당되면 행렬의 순위가 변경되지 않는다는 사실에서 다음과 같습니다.
적절
허락하다 . 행렬에서 몇 가지 기본 마이너를 살펴보겠습니다. 이후 , 그러면 그것은 또한 매트릭스 의 기본 마이너 가 됩니다 . 그러면 기저 정리에 따라 미성년자, 행렬의 마지막 열은 기본 열, 즉 행렬의 열의 선형 조합이 됩니다. 따라서 시스템의 자유 구성원 열은 행렬 열의 선형 조합입니다.
결과
주요 변수의 수 시스템시스템의 등급과 동일합니다.
관절 체계시스템의 순위가 모든 변수의 수와 같으면 정의됩니다(솔루션은 고유함).
균질 방정식 시스템
문장15 . 2 균질 방정식 시스템
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항상 협력적입니다.
증거. 이 시스템의 경우 숫자 집합 , , ,이 솔루션입니다.
이 섹션에서는 시스템의 행렬 표기법을 사용합니다.
문장15 . 3 동차 선형 방정식 시스템에 대한 해의 합은 이 시스템에 대한 해입니다. 숫자를 곱한 솔루션도 솔루션입니다.
증거. 시스템의 솔루션으로 사용하십시오. 그리고 . 허락하다 . 그 다음에
이후 , then 은 솔루션입니다.
를 임의의 숫자로 합시다. 그 다음에
이후 , then 은 솔루션입니다.
결과15 . 1 만약 균질 시스템선형 방정식은 0이 아닌 솔루션을 가지고 있으며 무한히 많은 다른 솔루션을 가지고 있습니다.
실제로 0이 아닌 솔루션에 다른 숫자를 곱하면 다른 솔루션을 얻을 수 있습니다.
정의15
.
5
우리는 솔루션 
시스템 형태 근본적인 의사 결정 시스템열이 
선형 독립 시스템을 형성하고 시스템에 대한 모든 솔루션은 이러한 열의 선형 조합입니다.
