임의의 비특이 행렬 A에 대해 다음과 같은 고유한 행렬 A -1이 있습니다.
A*A -1 =A -1 *A = E,
여기서 E는 A와 동일한 차수의 단위 행렬입니다. 행렬 A -1을 행렬 A의 역행렬이라고 합니다.
누군가 잊어버린 경우를 대비해 단위 행렬에서 1로 채워진 대각선을 제외하고 다른 모든 위치는 0으로 채워집니다. 이는 단위 행렬의 예입니다.
역행렬다음 공식에 의해 결정됩니다.
여기서 A ij - 요소 a ij.
저것들. 역행렬을 계산하려면 이 행렬의 행렬식을 계산해야 합니다. 그런 다음 모든 요소에 대한 대수적 보수를 찾고 그로부터 새로운 행렬을 구성합니다. 다음으로 이 매트릭스를 전송해야 합니다. 그리고 새 행렬의 각 요소를 원래 행렬의 행렬식으로 나눕니다.
몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
행렬의 A -1 찾기
해결방법: 수반행렬법을 사용하여 A -1을 구해 봅시다. 우리는 det A = 2입니다. 행렬 A의 요소에 대한 대수적 보수를 찾아보겠습니다. 이 경우행렬 요소의 대수적 보수는 공식에 따라 부호를 사용하여 행렬 자체의 해당 요소가 됩니다.
A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2가 있습니다. 우리는 수반 행렬을 형성합니다.
행렬 A*를 전송합니다.
다음 공식을 사용하여 역행렬을 찾습니다.
우리는 다음을 얻습니다:
Adjoint Matrix 방법을 사용하여 다음과 같은 경우 A -1을 찾습니다.
풀이: 우선 역행렬의 존재를 검증하기 위해 이 행렬의 정의를 계산한다. 우리는
여기서는 두 번째 행의 요소에 이전에 (-1)을 곱한 세 번째 행의 요소를 추가한 다음 두 번째 행의 행렬식을 확장했습니다. 이 행렬의 정의는 0이 아니므로 역행렬이 존재합니다. 수반 행렬을 구성하기 위해 우리는 이 행렬 요소의 대수적 보수를 찾습니다. 우리는
공식에 따르면
전송 매트릭스 A*:
그러면 공식에 따르면
수식을 따르는 역행렬을 구하는 방법(수행행렬법) 외에, 역행렬을 구하는 방법인 기본변환법이 있다.
다음 변환을 기본 행렬 변환이라고 합니다.
1) 행(열) 재배열
2) 행(열)에 0이 아닌 숫자를 곱하는 것;
3) 이전에 특정 숫자를 곱한 다른 행(열)의 해당 요소를 행(열)의 요소에 추가합니다.
행렬 A -1을 찾기 위해 (n; 2n) 차수의 직사각형 행렬 B = (A|E)를 구성하고 오른쪽의 행렬 A에 추가합니다. 단위 행렬 E를 구분선으로 통과:
예를 살펴보겠습니다.
기본 변환 방법을 사용하여 다음과 같은 경우 A -1을 찾습니다.
해결책 우리는 행렬 B를 형성합니다.
행렬 B의 행을 α 1, α 2, α 3으로 표시해 보겠습니다. 행렬 B의 행에 대해 다음 변환을 수행해 보겠습니다.
이 주제는 학생들이 가장 싫어하는 주제 중 하나입니다. 아마도 예선이 더 나쁠 것입니다.
비결은 역원소(행렬에 대해서만 말하는 것이 아닙니다)의 개념 자체가 곱셈 연산을 의미한다는 것입니다. 에서도 학교 커리큘럼곱셈 횟수 복잡한 작업, 행렬 곱셈은 완전히 별도의 주제이므로 전체 단락과 전용 비디오 튜토리얼이 있습니다.
오늘은 행렬 계산에 대해 자세히 다루지 않겠습니다. 기억해 두세요: 행렬이 어떻게 지정되고, 어떻게 곱해지고, 그 결과는 무엇입니까?
우선 표기법에 동의합시다. $\left[ m\times n \right]$ 크기의 행렬 $A$는 단순히 $m$ 행과 $n$ 열로 구성된 숫자 테이블입니다.
\=\underbrace(\left[ \begin(행렬) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(행렬) \right])_(n)\]
실수로 행과 열을 혼동하는 것을 방지하려면(시험에서 일부 행은 물론이고 1과 2를 혼동할 수 있습니다.) 그림을 보십시오.
매트릭스 셀의 인덱스 결정 무슨 일이야? 표준 좌표계 $OXY$를 왼쪽 상단에 배치하고 축이 전체 행렬을 덮도록 방향을 지정하면 이 행렬의 각 셀은 $\left(x;y \right)$ 좌표와 고유하게 연관될 수 있습니다. - 행 번호와 열 번호가 됩니다.
좌표계는 왜 왼쪽 상단에 배치되어 있나요? 그렇습니다. 우리가 어떤 텍스트를 읽기 시작하는 곳이 바로 그곳이기 때문입니다. 기억하기가 매우 쉽습니다.
$x$ 축이 오른쪽이 아닌 아래쪽을 향하는 이유는 무엇입니까? 다시 말하지만, 간단합니다. 표준 좌표계($x$ 축은 오른쪽으로 이동하고 $y$ 축은 위로 이동)를 사용하여 행렬을 덮도록 회전합니다. 이것은 시계 방향으로 90도 회전한 것입니다. 결과는 그림에서 볼 수 있습니다.
일반적으로 우리는 행렬 요소의 인덱스를 결정하는 방법을 알아냈습니다. 이제 곱셈을 살펴보겠습니다.
정의. 행렬 $A=\left[ m\times n \right]$ 및 $B=\left[ n\times k \right]$는 첫 번째 열의 수가 두 번째의 행 수와 일치할 때 다음과 같습니다. 일관되게 불렀습니다.
정확히 그 순서입니다. 혼란스러울 수 있으며 행렬 $A$ 및 $B$가 순서쌍 $\left(A;B \right)$를 형성한다고 말할 수 있습니다. 이 순서에서 일관성이 있으면 $B가 필요하지 않습니다. $와 $A$ 그거요. $\left(B;A \right)$ 쌍도 일관성이 있습니다.
일치하는 행렬만 곱할 수 있습니다.
정의. 일치하는 행렬 $A=\left[ m\times n \right]$와 $B=\left[ n\times k \right]$의 곱은 새로운 행렬 $C=\left[ m\times k \right입니다. ]$ , $((c)_(ij))$ 요소는 다음 공식에 따라 계산됩니다.
\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]
즉, 행렬 $C=A\cdot B$의 $((c)_(ij))$ 요소를 얻으려면 첫 번째 행렬인 $j$의 $i$ 행을 가져와야 합니다. 두 번째 행렬의 -번째 열을 계산하고 이 행과 열의 요소 쌍을 곱합니다. 결과를 합산하세요.
네, 정말 가혹한 정의네요. 몇 가지 사실이 즉시 이어집니다.
곱셈 연산의 비가환성 때문에 곱셈의 분포성은 왼쪽 및 오른쪽 합 인수에 대해 별도로 설명되어야 했습니다.
$A\cdot B=B\cdot A$로 밝혀지면 이러한 행렬을 교환 행렬이라고 합니다.
거기에 뭔가를 곱한 모든 행렬 중에는 특별한 행렬이 있습니다. 행렬 $A$를 곱하면 다시 $A$가 되는 행렬입니다.
정의. $A\cdot E=A$ 또는 $E\cdot A=A$인 경우 행렬 $E$를 항등이라고 합니다. 정사각 행렬 $A$의 경우 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
항등 행렬은 문제를 해결하는 데 자주 등장하는 손님입니다. 행렬 방정식. 그리고 일반적으로 행렬 세계의 빈번한 손님입니다. :)
그리고 이 $E$ 때문에 누군가는 다음에 쓸 말도 안되는 말을 지어냈습니다.
행렬 곱셈은 매우 노동 집약적인 작업이므로(행과 열을 여러 개 곱해야 함) 역행렬의 개념도 가장 사소한 것이 아닙니다. 그리고 약간의 설명이 필요합니다.
이제 진실을 알아야 할 때입니다.
정의. 행렬 $B$는 다음과 같은 경우 행렬 $A$의 역행렬이라고 합니다.
역행렬은 $((A)^(-1))$(차수와 혼동하지 마세요!)로 표시되므로 정의는 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
모든 것이 매우 간단하고 명확한 것 같습니다. 그러나 이 정의를 분석하면 다음과 같은 몇 가지 질문이 즉시 발생합니다.
계산 알고리즘에 대해서는 나중에 조금 이야기하겠습니다. 하지만 나머지 질문에 대해서는 지금 바로 답변해 드리겠습니다. 이를 별도의 문장-정리 형태로 공식화해 보겠습니다.
원칙적으로 $A$ 행렬이 $((A)^(-1))$ 존재하기 위해 어떻게 보이는지부터 시작하겠습니다. 이제 우리는 이 두 행렬이 모두 정사각형이어야 하고 크기가 동일해야 함을 확인합니다($\left[ n\times n \right]$).
Lemma 1. 행렬 $A$와 그 역행렬 $((A)^(-1))$가 주어졌습니다. 그러면 이 두 행렬은 모두 정사각형이고 동일한 차수 $n$입니다.
증거. 간단 해. 행렬 $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$라고 합니다. $A\cdot ((A)^(-1))=E$ 곱은 정의에 따라 존재하므로 행렬 $A$ 및 $((A)^(-1))$는 표시된 순서대로 일치합니다.
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( 맞추다)\]
이는 행렬 곱셈 알고리즘의 직접적인 결과입니다. $n$ 및 $a$ 계수는 "전이"이므로 동일해야 합니다.
동시에 역곱셈도 정의됩니다: $((A)^(-1))\cdot A=E$, 따라서 행렬 $((A)^(-1))$ 및 $A$는 다음과 같습니다. 또한 지정된 순서로 일관됩니다.
\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( 맞추다)\]
따라서 일반성을 잃지 않고 $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$라고 가정할 수 있습니다. 그러나 $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$의 정의에 따르면 행렬의 크기는 엄격하게 일치합니다.
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]
따라서 $A$, $((A)^(-1))$ 및 $E$라는 세 가지 행렬은 모두 $\left[ n\times n \right]$ 크기의 정사각 행렬이라는 것이 밝혀졌습니다. 보조정리는 증명되었습니다.
글쎄, 그건 이미 좋은 일이야. 우리는 정사각형 행렬만이 역행렬임을 알 수 있습니다. 이제 역행렬이 항상 동일한지 확인해 보겠습니다.
보조정리 2. 행렬 $A$와 그 역행렬 $((A)^(-1))$가 주어졌습니다. 그러면 이 역행렬이 유일한 것입니다.
증거. 모순을 살펴보겠습니다. $A$ 행렬에 $B$와 $C$라는 두 개 이상의 역행렬이 있다고 가정합니다. 그러면 정의에 따르면 다음과 같은 평등이 적용됩니다.
\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(정렬)\]
Lemma 1에서 우리는 네 개의 행렬($A$, $B$, $C$ 및 $E$)이 모두 $\left[ n\times n \right]$라는 동일한 순서의 제곱이라는 결론을 내렸습니다. 따라서 제품은 다음과 같이 정의됩니다.
행렬 곱셈은 결합적(그러나 교환적은 아님)이므로 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\오른쪽 화살표 B=C. \\ \end(정렬)\]
가능한 유일한 옵션은 다음과 같습니다. 역행렬의 두 복사본이 동일합니다. 보조정리는 증명되었습니다.
위의 주장은 모든 것에 대한 역요소의 고유성에 대한 증명을 거의 그대로 반복합니다. 실수$b\ne 0$. 유일하게 중요한 추가 사항은 행렬의 차원을 고려한 것입니다.
그러나 우리는 모든 정사각행렬이 역행렬인지 여부에 대해서는 아직 아무것도 모릅니다. 이것이 행렬식이 우리를 도와주는 곳입니다. 이것은 모든 사람에게 중요한 특징입니다. 정사각형 행렬.
보조정리 3. 행렬 $A$가 주어졌습니다. 역행렬 $((A)^(-1))$이 존재하는 경우 원래 행렬의 행렬식은 0이 아닙니다.
\[\왼쪽| 그렇죠|\ne 0\]
증거. 우리는 $A$와 $((A)^(-1))$가 $\left[ n\times n \right]$ 크기의 정사각 행렬이라는 것을 이미 알고 있습니다. 그러므로 각각에 대해 행렬식을 계산할 수 있습니다: $\left| A\right|$ 및 $\left| ((A)^(-1)) \right|$. 그러나 곱의 행렬식은 행렬식의 곱과 같습니다.
\[\왼쪽| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\오른쪽화살표 \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \오른쪽|\]
그러나 정의에 따르면 $A\cdot ((A)^(-1))=E$이고 $E$의 행렬식은 항상 1이므로
\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \왼쪽| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \왼쪽| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(정렬)\]
두 숫자의 곱은 각 숫자가 0이 아닌 경우에만 1과 같습니다.
\[\왼쪽| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]
그래서 $\left| \right|\ne 0$. 보조정리는 증명되었습니다.
실제로 이 요구 사항은 매우 논리적입니다. 이제 우리는 역행렬을 찾기 위한 알고리즘을 분석할 것입니다. 그리고 행렬식이 0인 경우 원칙적으로 역행렬이 존재할 수 없는 이유가 완전히 명확해질 것입니다.
하지만 먼저 "보조" 정의를 공식화해 보겠습니다.
정의. 특이 행렬은 행렬식이 0인 $\left[ n\times n \right]$ 크기의 정사각 행렬입니다.
따라서 우리는 모든 역행렬이 비특이 행렬이라고 주장할 수 있습니다.
이제 역행렬을 찾는 범용 알고리즘을 고려해 보겠습니다. 일반적으로 일반적으로 허용되는 두 가지 알고리즘이 있으며 오늘 두 번째 알고리즘도 고려할 것입니다.
지금 논의할 것은 $\left[ 2\times 2 \right]$ 크기와 - 부분적으로 - $\left[ 3\times 3 \right]$ 크기의 행렬에 매우 효과적입니다. 하지만 $\left[ 4\times 4 \right]$ 크기부터는 사용하지 않는 것이 좋습니다. 왜 - 이제 당신은 모든 것을 스스로 이해할 것입니다.
준비해. 이제 고통이 있을 것입니다. 아니요, 걱정하지 마세요. 스커트를 입은 아름다운 간호사, 레이스가 달린 스타킹이 당신에게 와서 엉덩이에 주사를 맞지 않을 것입니다. 모든 것이 훨씬 더 평범합니다. 대수적 추가와 "Union Matrix" 폐하가 여러분에게 다가옵니다.
중요한 것부터 시작합시다. $A=\left[ n\times n \right]$ 크기의 정사각 행렬이 있고 그 요소는 $((a)_(ij))$라고 합니다. 그런 다음 각 요소에 대해 대수적 보수를 정의할 수 있습니다.
정의. 행렬의 $i$번째 행과 $j$번째 열에 위치한 $((a)_(ij))$ 요소에 대한 대수적 보수 $((A)_(ij))$ $A=\left[ n \times n \right]$는 다음 형식의 구성입니다.
\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]
여기서 $M_(ij)^(*)$는 동일한 $i$번째 행과 $j$번째 열을 삭제하여 원본 $A$에서 얻은 행렬의 행렬식입니다.
다시. $\left(i;j \right)$ 좌표가 있는 행렬 요소에 대한 대수적 보수는 $((A)_(ij))$로 표시되며 다음 구성표에 따라 계산됩니다.
행렬 $M_(ij)^(*)$ 자체를 $((a)_(ij))$ 요소에 대한 추가 마이너라고 합니다. 그리고 이런 의미에서, 대수적 보수에 대한 위의 정의는 더 많은 것의 특별한 경우입니다. 복잡한 정의- 행렬식에 대한 수업에서 살펴본 것.
중요 사항. 실제로 "성인" 수학에서 대수적 덧셈은 다음과 같이 정의됩니다.
- 정사각형 행렬에서 $k$ 행과 $k$ 열을 사용합니다. 그들의 교차점에서 우리는 $\left[ k\times k \right]$ 크기의 행렬을 얻습니다. 행렬식은 $k$ 차수의 마이너라고 불리며 $((M)_(k))$로 표시됩니다.
- 그런 다음 "선택된" $k$ 행과 $k$ 열을 지웁니다. 다시 한 번 정사각형 행렬을 얻습니다. 행렬식은 추가 마이너라고 하며 $M_(k)^(*)$로 표시됩니다.
- $M_(k)^(*)$에 $((\left(-1 \right))^(t))$를 곱합니다. 여기서 $t$는 (주의하세요!) 선택한 모든 행 수의 합계입니다. 그리고 열. 이것은 대수적 추가가 될 것입니다.
세 번째 단계를 살펴보세요. 실제로 $2k$ 용어의 합계가 있습니다! 또 다른 점은 $k=1$에 대해 2개의 항만 얻을 수 있다는 것입니다. 이는 $i+j$와 동일합니다. 즉, $((a)_(ij))$ 요소의 "좌표"입니다. 대수적 보완을 찾고 있습니다.
그래서 오늘 우리는 약간 단순화된 정의를 사용하고 있습니다. 그러나 나중에 살펴보겠지만 그것만으로도 충분할 것입니다. 다음 사항이 훨씬 더 중요합니다.
정의. 정사각 행렬 $A=\left[ n\times n \right]$에 대한 연합 행렬 $S$는 $\left[ n\times n \right]$ 크기의 새로운 행렬이며 $A$에서 얻습니다. $(( a)_(ij))$를 대수적 추가 $((A)_(ij))$로 대체:
\\오른쪽 화살표 S=\left[ \begin(행렬) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(행렬) \right]\]
이 정의를 깨닫는 순간 가장 먼저 떠오르는 생각은 “얼마나 계산해야 하는가!”입니다. 긴장을 풀어주세요: 숫자를 세어야 하지만 그렇게 많이는 아닙니다. :)
글쎄, 이 모든 것이 매우 좋지만 왜 필요한가요? 그런데 왜요?
조금 돌아 가자. Lemma 3에서 역행렬 $A$는 항상 비특이 행렬(즉, 행렬식은 0이 아님: $\left| A \right|\ne 0$)이라고 명시되어 있음을 기억하십시오.
따라서 반대의 경우도 마찬가지입니다. 행렬 $A$가 특이 행렬이 아닌 경우 항상 역행렬이 가능합니다. 그리고 $((A)^(-1))$에 대한 검색 체계도 있습니다. 확인 해봐:
역행렬 정리. 정사각 행렬 $A=\left[ n\times n \right]$가 주어지고 행렬식은 0이 아닙니다: $\left| \right|\ne 0$. 그런 다음 역행렬 $((A)^(-1))$가 존재하며 다음 공식으로 계산됩니다.
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]
이제 모든 것이 동일하지만 읽기 쉬운 필기체입니다. 역행렬을 찾으려면 다음이 필요합니다.
그게 다야! 역행렬 $((A)^(-1))$가 발견되었습니다. 예를 살펴보겠습니다:
\[\왼쪽[ \begin(행렬) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(행렬) \right]\]
해결책. 가역성을 확인해 보겠습니다. 행렬식을 계산해 봅시다:
\[\왼쪽| A\오른쪽|=\왼쪽| \begin(행렬) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(행렬) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
행렬식은 0과 다릅니다. 이는 행렬이 가역적이라는 것을 의미합니다. 통합 행렬을 만들어 보겠습니다.
대수적 덧셈을 계산해 봅시다:
\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \오른쪽|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\오른쪽|=3. \\ \end(정렬)\]
참고: 행렬식 |2|, |5|, |1| 그리고 |3| $\left[ 1\times 1 \right]$ 크기의 행렬의 행렬식이지 모듈은 아닙니다. 저것들. 행렬식에 음수가 있는 경우 "마이너스"를 제거할 필요가 없습니다.
전체적으로 우리의 통합 행렬은 다음과 같습니다:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (배열)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\end(배열) \right]\]
이제 다 끝났습니다. 문제가 해결되었습니다.
답변. $\left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\end(배열) \right]$
일. 역행렬을 찾으세요:
\[\left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\end(배열) \right] \]
해결책. 행렬식을 다시 계산합니다.
\[\begin(align) & \left| \begin(배열)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(배열) \right|=\begin(행렬 ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(행렬)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]
행렬식은 0이 아닙니다. 행렬은 역행렬입니다. 하지만 이제는 정말 어려울 것입니다. 대수 덧셈을 최대 9개(아홉, 개자식!)까지 세어야 합니다. 그리고 각각은 $\left[ 2\times 2 \right]$ 행렬식을 포함합니다. 날았다:
\[\begin(행렬) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(행렬) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\end(행렬) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(행렬) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\end(행렬) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(행렬) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\end(행렬) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(행렬) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\end(행렬) \right|=2; \\ \end(행렬)\]
간단히 말해서 통합 행렬은 다음과 같습니다.
따라서 역행렬은 다음과 같습니다.
\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(행렬) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(행렬) \right]=\left[ \begin(배열)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\end(배열) \right]\]
그게 다야. 여기에 답이 있습니다.
답변. $\left[ \begin(배열)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\end(배열) \right ]$
보시다시피 각 예제의 끝에서 검사를 수행했습니다. 이와 관련하여 중요한 참고 사항은 다음과 같습니다.
확인하는 데 게으르지 마십시오. 원래 행렬에 찾은 역행렬을 곱하면 $E$를 얻게 됩니다.
예를 들어 행렬 방정식을 풀 때 추가 계산에서 오류를 찾는 것보다 이 확인을 수행하는 것이 훨씬 쉽고 빠릅니다.
내가 말했듯이, 역행렬 정리는 $\left[ 2\times 2 \right]$ 및 $\left[ 3\times 3 \right]$ 크기에 매우 적합합니다. (후자의 경우에는 그다지 "훌륭하지" 않습니다." ), 그러나 행렬의 경우 큰 사이즈슬픔이 시작됩니다.
하지만 걱정하지 마세요. 행렬 $\left[ 10\times 10 \right]$에 대해서도 차분하게 역함수를 찾을 수 있는 대체 알고리즘이 있습니다. 그러나 종종 발생하는 것처럼 이 알고리즘을 고려하려면 약간의 이론적 배경이 필요합니다.
가능한 모든 행렬 변환 중에는 몇 가지 특별한 변환이 있습니다. 이를 기본이라고 합니다. 이러한 변환은 정확히 세 가지가 있습니다.
이러한 변환을 기본(대형 행렬의 경우 그렇게 기본적으로 보이지 않음)이라고 부르는 이유와 변환이 3개만 있는 이유는 무엇입니까? 이러한 질문은 오늘 수업의 범위를 벗어납니다. 따라서 자세한 내용은 다루지 않겠습니다.
또 다른 중요한 점은 adjoint 행렬에서 이러한 모든 왜곡 작업을 수행해야 한다는 것입니다. 예, 예: 당신이 옳게 들었습니다. 이제 오늘 수업의 마지막 정의가 하나 더 있습니다.
확실히 학교에서는 덧셈법을 사용하여 방정식 시스템을 풀었습니다. 자, 한 줄에서 다른 줄을 빼고, 어떤 줄에 숫자를 곱하면 됩니다. 그게 전부입니다.
따라서 이제 모든 것이 동일하지만 "성인"방식입니다. 준비가 된?
정의. 행렬 $A=\left[ n\times n \right]$와 동일한 크기 $n$의 단위 행렬 $E$가 주어집니다. 그런 다음 수반 행렬 $\left[ A\left| E\right. \right]$는 다음과 같은 $\left[ n\times 2n \right]$ 크기의 새로운 행렬입니다.
\[\왼쪽[ A\왼쪽| E\right. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\end(배열) \right]\]
간단히 말해서, 우리는 행렬 $A$를 취하고, 오른쪽에 필요한 크기의 단위 행렬 $E$를 할당하고, 이를 아름다움을 위한 수직 막대로 분리합니다. 여기에 인접 항목이 있습니다. :)
문제는 무엇입니까? 내용은 다음과 같습니다.
정리. 행렬 $A$를 가역 행렬로 둡니다. Adjoint 행렬 $\left[ A\left| E\right. \오른쪽]$. 사용하는 경우 기본 문자열 변환$\left[ E\left| 형식으로 가져옵니다. 밝은. \right]$, 즉 $A$에서 오른쪽의 행렬 $E$를 얻기 위해 행을 곱하고 빼고 행을 재배열하면 왼쪽에서 얻은 행렬 $B$는 $A$의 역행렬이 됩니다.
\[\왼쪽[ A\왼쪽| E\right. \오른쪽]\to \왼쪽[ E\왼쪽| 밝은. \오른쪽]\오른쪽 화살표 B=((A)^(-1))\]
그것은 간단합니다! 간단히 말해서 역행렬을 찾는 알고리즘은 다음과 같습니다.
물론 이것은 말보다 훨씬 쉽습니다. 그럼 몇 가지 예를 살펴보겠습니다: 크기 $\left[ 3\times 3 \right]$ 및 $\left[ 4\times 4 \right]$.
일. 역행렬을 찾으세요:
\[\left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\end(배열) \right]\ ]
해결책. Adjoint 행렬을 만듭니다.
\[\left[ \begin(배열)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\end(배열) \right]\]
원래 행렬의 마지막 열은 1로 채워져 있으므로 나머지 열에서 첫 번째 행을 뺍니다.
\[\begin(align) & \left[ \begin(배열)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(배열) \right]\begin(행렬) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(행렬)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\\end(배열) \right] \\ \end(정렬)\]
첫 번째 줄을 제외하고는 더 이상 단위가 없습니다. 하지만 우리는 그것을 건드리지 않습니다. 그렇지 않으면 새로 제거된 단위가 세 번째 열에서 "곱하기" 시작합니다.
그러나 마지막 줄에서 두 번째 줄을 두 번 뺄 수 있습니다. 왼쪽 하단에 하나가 표시됩니다.
\[\begin(align) & \left[ \begin(배열)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(배열) \right]\begin(행렬) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(행렬)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\\end(배열) \right] \\ \end(정렬)\]
이제 첫 번째 행에서 마지막 행을 뺄 수 있고 두 번째 행에서 두 번 뺄 수 있습니다. 이렇게 하면 첫 번째 열을 "0"으로 만듭니다.
\[\begin(align) & \left[ \begin(배열)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(배열) \right]\begin(행렬) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(행렬)\to \\ & \ \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\end(배열) \right] \\ \end(정렬)\]
두 번째 줄에 -1을 곱한 다음 첫 번째 줄에서 6번 빼고 마지막 줄에 1번을 더합니다.
\[\begin(align) & \left[ \begin(배열)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(배열) \right]\begin(행렬) \ \\ \left| \cdot \왼쪽(-1 \오른쪽) \오른쪽. \\ \ \\\end(행렬)\to \\ & \to \left[ \begin(배열)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\end(배열) \right]\begin(행렬) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\end (행렬)\to \\ & \to \left[ \begin(배열)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\end(배열) \right] \\ \end(정렬)\]
남은 것은 라인 1과 3을 바꾸는 것뿐입니다.
\[\left[ \begin(배열)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\end(배열) \right]\]
준비가 된! 오른쪽에는 필수 역행렬이 있습니다.
답변. $\left[ \begin(배열)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\end(배열) \right ]$
일. 역행렬을 찾으세요:
\[\left[ \begin(행렬) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\end(행렬) \right]\]
해결책. 우리는 adjoint를 다시 구성합니다.
\[\left[ \begin(배열)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\end(배열) \right]\]
조금 울자, 지금 얼마나 셀 수 밖에 없는지 슬퍼하고... 계산을 시작해 보자. 먼저 행 2와 3에서 행 1을 빼서 첫 번째 열을 "0으로 만듭니다".
\[\begin(align) & \left[ \begin(배열)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\end(배열) \right]\begin(행렬) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(행렬)\to \\ & \to \left[ \begin(배열)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\end(배열) \right] \\ \end(정렬)\]
2-4행에는 "단점"이 너무 많습니다. 세 행 모두에 -1을 곱한 다음 나머지 열에서 행 3을 빼서 세 번째 열을 태워버립니다.
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(배열) \right]\begin(행렬) \ \\ \left| \cdot \왼쪽(-1 \오른쪽) \오른쪽. \\ \왼쪽| \cdot \왼쪽(-1 \오른쪽) \오른쪽. \\ \왼쪽| \cdot \왼쪽(-1 \오른쪽) \오른쪽. \\\end(행렬)\to \\ & \to \left[ \begin(배열)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end(배열) \right]\begin(행렬) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\end(행렬)\to \\ & \to \left[ \begin(배열)( rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\end(배열) \right] \\ \end(정렬)\]
이제 원래 행렬의 마지막 열을 "튀길" 시간입니다. 나머지 열에서 행 4를 뺍니다.
\[\begin(align) & \left[ \begin(배열)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\end(배열 ) \right]\begin(행렬) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\end(행렬)\to \\ & \to \left[ \begin(배열)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\end(배열) \right] \\ \end(정렬)\]
마지막 던지기: 라인 1과 3에서 라인 2를 빼서 두 번째 열을 "소진"합니다.
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\end( 배열) \right]\begin(행렬) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(행렬)\to \\ & \to \left[ \begin(배열)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\end(배열) \right] \\ \end(정렬)\]
그리고 다시 단위행렬이 왼쪽에 있는데, 이는 역행렬이 오른쪽에 있다는 뜻입니다. :)
답변. $\left[ \begin(행렬) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\end(행렬) \right]$
역행렬을 찾는 방법, . 정사각 행렬을 고려해보세요
Δ =det A로 표시하겠습니다.
정사각 행렬 A는 다음과 같습니다. 비퇴화,또는 특별하지 않은, 행렬식이 0이 아닌 경우 퇴화하다,또는 특별한, 만약에Δ = 0.
정사각 행렬 B는 곱이 A B = B A = E인 경우 동일한 차수의 정사각 행렬 A에 대한 것입니다. 여기서 E는 행렬 A 및 B와 동일한 차수의 단위 행렬입니다.
정리 . 행렬 A가 역행렬을 갖기 위해서는 행렬식이 0이 아닌 것이 필요하고 충분합니다.
A로 표시되는 행렬 A의 역행렬- 1이므로 B = A - 1 그리고 공식으로 계산됩니다
, (1)
여기서 A i j는 행렬 A의 a i j 요소에 대한 대수적 보수입니다.
고차 행렬에 대해 식 (1)을 사용하여 A -1을 계산하는 것은 매우 노동 집약적이므로 실제로는 기본 변환(ET) 방법을 사용하여 A -1을 찾는 것이 편리합니다. 임의의 비특이 행렬 A는 열만(또는 행만)의 ED를 사용하여 단위 행렬 E로 축소될 수 있습니다. 행렬 A에 대해 완전화된 ED를 단위 행렬 E에 동일한 순서로 적용하면 결과는 다음과 같습니다. 역행렬. 행렬 A와 E에 대해 동시에 EP를 수행하여 두 행렬을 한 줄을 통해 나란히 작성하는 것이 편리합니다. 행렬의 표준 형식을 검색할 때 이를 찾기 위해 행과 열의 변환을 사용할 수 있다는 점을 다시 한 번 알아두세요. 역행렬을 찾아야 하는 경우 변환 프로세스 중에 행만 사용하거나 열만 사용해야 합니다.
예 2.10. 매트릭스의 경우 
A -1 을 찾으세요.
해결책.먼저 행렬 A의 행렬식을 찾습니다. 
이는 역행렬이 존재하며 다음 공식을 사용하여 이를 찾을 수 있음을 의미합니다. 
여기서 A i j (i,j=1,2,3)은 원래 행렬의 요소 a i j에 대한 대수적 추가입니다. 
어디 
.
예 2.11. 기본 변환 방법을 사용하여 행렬 A = 에 대해 A -1을 찾습니다.
해결책.오른쪽의 원래 행렬에 동일한 순서의 단위 행렬을 할당합니다. 
. 열의 기본 변환을 사용하여 왼쪽 "절반"을 항등원으로 줄이면서 동시에 오른쪽 행렬에서 정확히 동일한 변환을 수행합니다.
이렇게 하려면 첫 번째 열과 두 번째 열을 바꾸세요. 
~
. 세 번째 열에 첫 번째 열을 추가하고 두 번째 열에 첫 번째 열에 -2를 곱합니다. 
. 첫 번째 열에서 두 번째 열을 빼고 세 번째 열에서 두 번째 열에 6을 곱합니다. 
. 첫 번째와 두 번째 열에 세 번째 열을 추가해 보겠습니다. 
. 마지막 열에 -1을 곱합니다. 
. 세로 막대 오른쪽에 얻은 정사각 행렬은 주어진 행렬 A의 역행렬입니다. 따라서,
.
역행렬
역행렬주어진 행렬을 오른쪽과 왼쪽 모두에 곱하면 단위 행렬이 되는 행렬입니다.
행렬의 역행렬을 나타내자 ㅏ를 통해 정의에 따르면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
어디 이자형- 단위 행렬.
정사각형 행렬~라고 불리는 특별하지 않은 (비퇴화) 행렬식이 0이 아닌 경우. 그렇지 않으면 호출됩니다. 특별한 (퇴화하다) 또는 단수형.
정리는 다음과 같습니다. 모든 비특이 행렬에는 역행렬이 있습니다.
역행렬을 찾는 연산을 이라고 합니다. 항소행렬. 행렬 반전 알고리즘을 고려해 봅시다. 비특이 행렬(non-singular 행렬)이 주어지도록 합시다. N-번째 주문:
여기서 Δ = 데트 ㅏ ≠ 0.
요소의 대수적 추가행렬 N-번째 주문 ㅏ특정 부호를 갖는 행렬의 행렬식이라고 합니다( N–1)삭제하여 획득한 2차 주문 나-번째 줄과 제이번째 행렬 열 ㅏ:
소위를 만들어 봅시다. 첨부된행렬:
행렬의 해당 요소에 대한 대수적 보수는 어디에 있습니까? ㅏ.
행렬 행 요소의 대수적 추가에 유의하세요. ㅏ행렬의 해당 열에 배치됩니다. Ã
즉, 행렬이 동시에 전치됩니다.
행렬의 모든 요소를 나누어서 Ã
Δ - 행렬 행렬식의 값 ㅏ, 결과적으로 역행렬을 얻습니다.
역행렬의 여러 가지 특별한 속성을 살펴보겠습니다.
1) 주어진 행렬에 대해 ㅏ역행렬
유일한 사람입니다.
2) 역행렬이 있는 경우 오른쪽 반대그리고 왼쪽 반전행렬이 일치합니다.
3) 특이(단수) 정사각 행렬에는 역행렬이 없습니다.
역행렬의 기본 속성:
1) 역행렬의 행렬식과 원래 행렬의 행렬식은 역수입니다.
2) 정사각 행렬 곱의 역행렬은 역순으로 취한 인자의 역행렬 곱과 같습니다.
3) 전치된 역행렬은 주어진 전치행렬의 역행렬과 같습니다:
예 주어진 행렬의 역함수를 계산합니다.
주어진 행렬에 대한 역행렬은 단위 행렬을 제공하는 원래 행렬을 곱하는 행렬입니다. 역행렬의 존재에 대한 필수적이고 충분한 조건은 원래 행렬의 행렬식은 다음과 같습니다. 0과 같지 않습니다(이는 행렬이 정사각형이어야 함을 의미함). 행렬의 행렬식이 0이면 이를 특이 행렬이라고 하며 이러한 행렬에는 역행렬이 없습니다. 안에 고등 수학역행렬은 중요한그리고 여러 가지 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 역행렬 찾기방정식 시스템을 풀기 위한 행렬 방법이 구축되었습니다. 우리 서비스 사이트에서는 온라인으로 역행렬 계산두 가지 방법: Gauss-Jordan 방법과 대수적 덧셈 행렬을 사용하는 것입니다. 인터럽트는 다음을 의미합니다. 많은 수의행렬 내부의 기본 변환, 두 번째는 모든 요소에 대한 행렬식 및 대수적 추가 계산입니다. 온라인으로 행렬의 행렬식을 계산하려면 다른 서비스인 온라인 행렬의 행렬식 계산을 사용할 수 있습니다.
.웹사이트당신이 찾을 수 있습니다 역행렬 온라인빠르고 무료입니다. 사이트에서는 당사 서비스를 통해 계산이 이루어지며 결과가 다음과 같이 표시됩니다. 상세한 솔루션찾아냄으로써 역행렬. 서버는 항상 정확하고 정확한 답변만을 제공합니다. 정의에 따른 작업에서 역행렬 온라인, 행렬식이 필요하다 행렬 0이 아니었고, 그렇지 않은 경우 웹사이트원래 행렬의 행렬식이 0이기 때문에 역행렬을 찾는 것이 불가능하다고 보고합니다. 찾는 임무 역행렬수학의 여러 분야에서 발견되며 대수학의 가장 기본적인 개념 중 하나이자 응용 문제의 수학적 도구입니다. 독립적인 역행렬의 정의계산의 오타나 사소한 오류를 방지하려면 상당한 노력, 많은 시간, 계산 및 세심한 주의가 필요합니다. 그러므로 우리의 서비스 온라인으로 역행렬 찾기여러분의 작업이 훨씬 쉬워지고 수학적 문제를 해결하는 데 없어서는 안 될 도구가 될 것입니다. 당신이 역행렬을 찾아라귀하 자신의 솔루션을 당사 서버에서 확인하는 것이 좋습니다. 웹사이트에 원래 행렬을 입력하세요. 온라인으로 역행렬을 계산하고 답을 확인하세요. 우리 시스템은 절대 실수하지 않고 찾아내지 않습니다. 역행렬모드에서 주어진 차원 온라인곧! 그 자리에서 웹사이트요소에는 문자 항목이 허용됩니다. 행렬, 이 경우 역행렬 온라인일반적인 상징적 형태로 표현될 것이다.
