애플리케이션. 개별 프로젝트 "원추형 단면" 기술에서 원추형 단면이 사용되는 방법

시립 교육 기관

중등학교 제4호

원뿔 단면

완전한

스피리도노프안톤

11A반 학생

체크됨

코로베이니코바 A. 티.

토볼스크 - 2006

원뿔 단면의 개념

원추형 단면의 유형

공부하다

원추형 단면의 구성

분석적 접근

애플리케이션

서지

소개.

목적: 원뿔 단면을 연구합니다.

목표: 원뿔형 단면 유형을 구별하고, 동적 단면을 구성하고, 분석적 접근 방식을 적용하는 방법을 배웁니다.

원뿔 단면은 기원전 4세기에 살았던 고대 그리스 기하학자 메나에크무스가 입방체를 두 배로 늘리는 문제를 풀 때 처음으로 사용하도록 제안되었습니다. 이 작업은 다음 범례와 연관되어 있습니다.

어느 날 델로스 섬에 전염병이 돌았습니다. 섬 주민들은 전염병을 멈추려면 아테네의 아폴로 신전에 있는 정육면체 모양의 황금 제단을 두 배로 만들어야 한다고 신탁에 의지했습니다. 새 제단의 갈비뼈는 이전 제단의 갈비뼈보다 두 배나 컸습니다. 그러나 전염병은 멈추지 않았습니다. 화난 주민들은 오라클로부터 자신의 지시를 오해했다는 소식을 들었습니다. 큐브의 가장자리를 두 배로 늘려야 하는 것이 아니라 볼륨, 즉 큐브의 가장자리를 100% 늘려야 합니다. 그리스 수학자들이 사용했던 기하 대수학의 관점에서 문제는 다음을 의미합니다. 주어진 세그먼트 a에서 a: x = x: y = y: 2a가 되는 세그먼트 x와 y를 찾습니다. 그러면 세그먼트 x의 길이는 />와 같습니다.

주어진 비율은 방정식 시스템으로 간주될 수 있습니다.

그러나 x2=ay와 y2=2ax는 포물선 방정식입니다. 따라서 문제를 해결하려면 교차점을 찾아야 합니다. 쌍곡선 xy = 2a2의 방정식을 시스템에서 얻을 수 있다는 점을 고려하면 포물선과 쌍곡선의 교차점을 찾아 동일한 문제를 해결할 수 있습니다.

원뿔형 단면을 얻기 위해 Menaechmus는 원뿔(예각, 직사각형 또는 둔각)을 모선 중 하나에 수직인 평면과 교차했습니다. 예각 원뿔의 경우 모선에 수직인 평면에 의한 단면은 타원 모양입니다. 둔각 원뿔은 쌍곡선을 제공하고 직사각형 원뿔은 포물선을 제공합니다.

이것은 기원전 3세기에 살았던 페르가의 아폴로니우스(Apollonius of Perga)가 도입한 곡선의 이름이 유래한 곳입니다. 타원(έλλειψις)은 결함, 결함(직선에 대한 원뿔의 각도)을 의미합니다. ; 쌍곡선 (ύπέρβΩλθ) - 과장, 우세 (직선 위의 원뿔 각도); 포물선(παραβολmet) - 근사, 동등(원뿔 각도에서 직각으로). 나중에 그리스인들은 할선 평면의 기울기를 변경함으로써 하나의 원뿔에서 세 개의 곡선을 모두 얻을 수 있음을 발견했습니다. 이 경우 두 개의 공동으로 구성된 원뿔을 가져와 무한대로 확장된다고 생각해야 합니다(그림 1).

원뿔의 축에 수직인 부분을 그린 다음 원뿔과의 교차점 중 한 점을 고정한 채로 할선 평면을 회전하면 원이 먼저 늘어나서 타원으로 변하는 모습을 볼 수 있습니다. 타원의 두 번째 꼭지점은 무한대로 이동하고 타원 대신 포물선을 얻게 되며 평면은 원뿔의 두 번째 구멍과도 교차하고 결과는 쌍곡선이 됩니다.

원뿔 단면의 개념.

원뿔 단면은 직각 원뿔과 꼭지점을 통과하지 않는 평면을 교차하여 얻은 평면 곡선입니다. 분석 기하학의 관점에서 볼 때 원뿔 단면은 2차 방정식을 만족하는 점의 궤적입니다. 마지막 섹션에서 논의한 축퇴 사례를 제외하고 원뿔 단면은 타원, 쌍곡선 또는 포물선입니다(그림 2).

직각삼각형이 다리 중 하나를 중심으로 회전할 때, 확장된 빗변은 직원뿔의 표면이라고 하는 원추형 표면을 나타냅니다. 이는 꼭지점을 통과하는 연속적인 일련의 선으로 간주될 수 있으며 생성기라고 합니다. 모든 생성기 발전기라고 불리는 동일한 원 위에 놓여 있습니다. 각 생성기는 양방향으로 무한대로 확장된 회전 삼각형(알려진 위치)의 빗변입니다. 따라서 각 모선은 꼭지점의 양쪽으로 확장되어 결과적으로 표면에 두 개의 공동이 있습니다. 공통 꼭지점의 한 지점에서 수렴합니다. 그러한 표면이 평면과 교차하면 단면은 원추 단면이라고 불리는 곡선을 생성합니다. 세 가지 유형이 있습니다.

1) 평면이 모든 모선을 따라 원추형 표면과 교차하는 경우 하나의 공동만 해부되고 해당 단면에서 타원이라는 닫힌 곡선이 얻어집니다.

2) 절단 평면이 두 공동을 교차하는 경우 두 개의 가지가 있는 곡선이 얻어지며 이를 쌍곡선이라고 합니다.

3) 절단 평면이 생성선 중 하나와 평행하면 포물선이 얻어집니다.

시컨트 평면이 생성하는 원과 평행하면 결과는 타원의 특별한 경우로 간주될 수 있는 원이 됩니다. 절단 평면은 하나의 꼭지점에서만 원추형 표면과 교차할 수 있으며 타원의 특별한 경우처럼 단면에서 점이 얻어집니다.

정점을 통과하는 평면이 두 공동을 교차하는 경우 단면은 쌍곡선의 특별한 경우로 간주되는 한 쌍의 교차선을 생성합니다.

정점이 무한히 떨어져 있으면 원뿔형 표면은 원통형이 되고 생성기와 평행한 평면에 의한 단면은 포물선의 특수한 경우로 한 쌍의 평행선을 제공합니다. 원뿔 단면은 2차 방정식으로 표현되며 일반적인 형식은 다음과 같습니다.

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

2차 곡선이라고 합니다.

원추형 섹션의 유형.

원추형 단면은 세 가지 유형이 있습니다.

1) 절단 평면은 공동 중 하나의 지점에서 모든 형성 원뿔과 교차합니다. 교차선은 닫힌 타원 곡선(타원)입니다. 타원의 특별한 경우인 원은 절단 평면이 원뿔 축에 수직일 때 얻어집니다.

2) 절단 평면은 원뿔의 접평면 중 하나와 평행합니다. 횡단면에서 그 결과는 무한대로 향하는 열린 곡선, 즉 완전히 하나의 공동 위에 놓여 있는 포물선입니다.

3) 절단면은 원뿔의 두 반쪽과 교차합니다. 교차선(쌍곡선)은 원뿔의 두 구멍에 있는 무한대(쌍곡선의 가지)까지 확장되는 두 개의 동일한 열린 부분으로 구성됩니다.

공부하다.

원뿔 단면에 대칭 중심(중심)이 있는 경우, 즉 타원 또는 쌍곡선인 경우 해당 방정식은 좌표 원점을 중심으로 이동하여 다음 형식으로 축소될 수 있습니다.

a11x2+2a12xy+ a22y2 = a33.

이러한(중앙이라고 불리는) 원뿔 단면에 대한 추가 연구에서는 해당 방정식이 훨씬 더 간단한 형태로 축소될 수 있음을 보여줍니다.

Ах2+ Ву2 = С,

좌표축 방향의 경우 기본 방향, 즉 원뿔 단면의 기본 축(대칭축) 방향을 선택합니다. A와 B가 동일한 부호(C의 부호와 일치)를 갖는 경우 방정식은 타원을 정의합니다. A와 B가 반대 부호이면 과장법입니다.

포물선 방정식은 (Ax2 + By2 = C) 형식으로 축소될 수 없습니다. 좌표축을 적절하게 선택하면(하나의 좌표축은 포물선의 유일한 대칭 축이고, 다른 좌표축은 포물선의 꼭지점을 통과하는 이에 수직인 직선입니다) 해당 방정식은 다음 형식으로 축소될 수 있습니다.

원추형 섹션의 구성.

원뿔 단면을 평면과 원뿔의 교차점으로 연구하면서 고대 그리스 수학자들은 이를 평면 위 점의 궤적으로 간주했습니다. 타원은 점의 자취로 정의될 수 있으며, 주어진 두 점까지의 거리의 합은 일정하다는 것이 밝혀졌습니다. 포물선 - 주어진 점과 주어진 직선으로부터 등거리에 있는 점의 기하학적 궤적 쌍곡선 - 점의 기하학적 궤적으로서 주어진 두 점까지의 거리 차이가 일정합니다.

원뿔 단면을 평면 곡선으로 정의하는 것은 늘어난 실을 사용하여 구성하는 방법도 제안합니다.

타원 주어진 길이의 실 끝이 F1과 F2 지점에 고정되면(그림 3), 촘촘하게 늘어난 실을 따라 미끄러지는 연필 점으로 설명되는 곡선은 타원 모양을 갖습니다. 점 F1과 F2를 타원의 초점이라고 하고 타원과 좌표축의 교차점 사이의 세그먼트 V1V2와 v1v2를 주축과 단축이라고 합니다. 점 F1과 F2가 일치하면 타원은 원으로 변합니다(그림 3).

쌍곡선. 쌍곡선을 구성할 때 연필 끝인 점 P를 그림 4의 a와 같이 점 F1과 F2에 설치된 못을 따라 자유롭게 미끄러지는 실에 고정하고 선분 PF2가 선분 PF1을 초과하도록 거리를 선택합니다. 길이는 고정된 양만큼 F1F2 거리보다 작습니다. 이 경우 실의 한쪽 끝은 핀 F1 아래를 통과하고 실의 양쪽 끝은 핀 F2 위를 통과합니다.(연필 끝이 실을 따라 미끄러지지 않아야 하므로 작은 고리를 만들어 고정해야 합니다.) 실이 항상 팽팽하게 유지되도록 하고 실의 양쪽 끝을 점 F2를 지나 아래로 당기고 점 P를 지나서 쌍곡선(PV1Q)의 한 가지를 그립니다. F1F2 세그먼트 아래에 나타나 실의 양쪽 끝을 잡고 조심스럽게 풀어줍니다. 먼저 핀 F1과 F2를 변경하여 쌍곡선의 두 번째 가지를 그립니다(그림 4).

쌍곡선의 가지는 가지 사이에 교차하는 두 개의 직선에 접근합니다. 쌍곡선의 점근선이라고 불리는 이 직선은 그림 4, b와 같이 구성됩니다.

이 선의 계수는 세그먼트 F2F1에 수직인 점근선 사이의 각도의 이등분선 세그먼트가 어디에 있는지와 같습니다. 세그먼트 v1v2는 쌍곡선의 켤레 축이라고 하며 세그먼트 V1V2는 가로 축입니다. 따라서 점근선은 축에 평행한 네 점 v1, v2, V1, V2를 통과하는 변을 갖는 직사각형의 대각선입니다. 이 직사각형을 구성하려면 점 v1과 v2의 위치를 지정해야 합니다. 그들은 같은 거리에 있고, 같다

O 축의 교차점에서 이 공식은 다리 Ov1과 V2O, 빗변 F2O가 있는 직각 삼각형의 구성을 가정합니다.

쌍곡선의 점근선이 서로 수직이면 쌍곡선을 등변이라고 합니다. 공통 점근선을 갖지만 가로 축과 켤레 축이 재배열된 두 쌍곡선을 상호 켤레라고 합니다.

포물선 타원과 쌍곡선의 초점은 Apollonius에게 알려졌지만 //포물선의 초점은 분명히 Pappus(3세기 후반)에 의해 처음으로 확립되었는데, 그는 이 곡선을 한 점에서 등거리에 있는 점들의 기하학적 자취로 정의했습니다. 주어진 점(초점)과 주어진 직선을 교장이라고 합니다. Pappus의 정의에 기초한 늘어난 실을 사용한 포물선의 구성은 Isidore of Miletus (VI 세기)에 의해 제안되었습니다 (그림 5).

가장자리가 준선과 일치하도록 눈금자를 배치하고 그리기 삼각형 ABC의 다리 AC를 이 가장자리에 연결해 보겠습니다. AB 길이의 실 한쪽 끝을 삼각형 B의 꼭지점에 고정하고 다른 쪽 끝을 포물선 F의 초점에 고정합니다. 연필 끝으로 실을 당긴 후 가변 점 P의 끝을 그리기 삼각형의 자유 다리 AB. 삼각형이 자를 따라 움직일 때, 점 P는 초점 F와 준선을 갖는 포물선의 호를 묘사할 것입니다. 왜냐하면 실의 총 길이는 AB와 동일하고 실의 단면은 삼각형의 자유변에 인접해 있기 때문입니다. 따라서 스레드 PF의 나머지 부분은 다리 AB의 나머지 부분, 즉 PA와 같아야 합니다. 포물선의 V와 축의 교차점을 //포물선의 정점, 직선이라고 합니다. F와 V를 통과하는 것은 //포물선의 축입니다. 초점을 통해 축에 수직인 직선을 그리면 포물선에 의해 잘린 이 직선의 세그먼트를 //초점 매개변수라고 합니다. 타원과 쌍곡선의 경우 초점 매개변수가 유사하게 결정됩니다.

분석적 접근

대수적 분류. 대수학적 용어로 원뿔 단면은 데카르트 좌표계의 좌표가 2차 방정식을 만족하는 평면 곡선으로 정의될 수 있습니다. 즉, 모든 원뿔 단면의 방정식은 다음과 같은 일반 형식으로 작성될 수 있습니다.

여기서 모든 계수 A, B, C가 0이 되는 것은 아닙니다. 축의 평행 이동 및 회전을 사용하여 방정식 (1)은 다음 형식으로 축소될 수 있습니다.

ax2 + by2 + c = 0

첫 번째 방정식은 B2 > AC에 대해 방정식 (1)에서 얻어지고, 두 번째 방정식은 B2 = AC에 대해 얻어집니다. 방정식이 첫 번째 형태로 축소된 원뿔 단면을 중심이라고 합니다. q > 0인 두 번째 유형의 방정식으로 정의된 원뿔 단면을 비중심이라고 합니다. 이 두 범주에는 계수의 부호에 따라 9가지 유형의 원뿔 단면이 있습니다.

1) 계수 a, b, c의 부호가 동일하면 좌표가 방정식을 만족하는 실제 점이 없습니다. 이러한 원뿔 단면을 가상 타원(또는 a = b인 경우 가상 원)이라고 합니다.

2) a와 b의 부호가 같고 c의 부호가 반대이면 원뿔 단면은 타원입니다. a =b일 때 – 원.

3) a와 b가 서로 다른 부호를 가지면 원뿔 단면은 쌍곡선입니다.

4) a와 b가 서로 다른 부호를 갖고 c = 0이면 원뿔 단면은 두 개의 교차 선으로 구성됩니다.

5) a와 b의 부호가 같고 c = 0이면 방정식을 만족하는 곡선의 실수 점은 하나만 있고 원뿔 단면은 두 개의 가상 교차선입니다. 이 경우에는 점으로 축소된 타원에 대해서도 이야기하고, a = b인 경우 점으로 축소된 원에 대해서도 말합니다.

6) a 또는 b 중 하나가 0이고 다른 계수의 부호가 다른 경우 원뿔 단면은 두 개의 평행선으로 구성됩니다.

7) a 또는 b 중 하나가 0이고 나머지 계수의 부호가 동일하면 방정식을 만족하는 실수 점이 하나도 없습니다. 이 경우 원뿔 단면은 두 개의 가상 평행선으로 구성된다고 합니다.

8) c =0이고 a 또는 b도 0이면 원뿔 단면은 두 개의 실제 일치하는 선으로 구성됩니다. (이 경우 원래 방정식 (1)은 2차가 아니기 때문에 방정식은 a = b = 0에 대한 원뿔 단면을 정의하지 않습니다.)

9) 두 번째 유형의 방정식은 p와 q가 0과 다른 경우 포물선을 결정합니다. p > 0이고 q = 0이면 8단계에서 곡선을 얻습니다. p = 0이면 원래 방정식 (1)이 2차가 아니기 때문에 방정식은 원뿔 단면을 정의하지 않습니다.

애플리케이션

원추형 단면은 자연과 기술에서 흔히 발견됩니다. 예를 들어, 태양 주위를 도는 행성의 궤도는 타원 모양입니다. 원은 장축이 단축과 동일한 타원의 특별한 경우입니다. 포물선형 거울은 축에 평행한 모든 입사광선이 한 점(초점)으로 모이는 특성을 가지고 있습니다. 이는 포물면 거울을 사용하는 대부분의 반사 망원경뿐만 아니라 레이더 안테나 및 포물선 반사경이 있는 특수 마이크에도 사용됩니다. 평행 광선의 빔은 포물선형 반사경의 초점에 위치한 광원에서 나옵니다. 이것이 포물선 거울이 고출력 스포트라이트와 자동차 헤드라이트에 사용되는 이유입니다. 쌍곡선은 이상 기체의 압력과 부피에 관한 보일의 법칙과 전류를 다음과 같이 지정하는 옴의 법칙과 같은 많은 중요한 물리적 관계를 그래프로 나타낸 것입니다. 일정한 전압에서의 저항의 함수

애플리케이션

서지.

1. Alekseev. 문제와 해결책에 관한 아벨의 정리.2001

2. Bazylev V. T., Dunichev K. I., Ivanitskaya V. P... 교육 기관의 물리학 및 수학과 1학년 학생을 위한 교과서. 모스크바 "계몽" 1974

3. Vereshchagin N.K., A.Shen. 수학적 논리와 알고리즘 이론을 강의합니다. 1999년

4. Gelfand I.M... 선형 대수학 강의. 1998.

5. Gladky A.V... 현대 논리 소개. 2001년

6. M.E. 카자리안. 미분기하학 과정(2001-2002).

7. Prasolov V.V… Lobachevsky 2004의 기하학

8. Prasolov V.V... 면적 측정의 문제점 2001

9. Sheinman O.K... 표현 이론의 기초. 2004년

시립 교육 기관

중등학교 제4호

완전한

스피리도노프 안톤

11A반 학생

체크됨

코로베이니코바 A.T.

토볼스크 - 2006

소개

원뿔 단면의 개념

원추형 단면의 유형

공부하다

원추형 단면의 구성

분석적 접근

애플리케이션

서지

소개.

목적: 원뿔 단면을 연구합니다.

목표: 원뿔 단면의 유형을 구별하고 동역학 단면을 구성하며 분석적 접근 방식을 적용하는 방법을 배웁니다.

어느 날 델로스 섬에 전염병이 돌았습니다. 섬 주민들은 전염병을 막기 위해 아테네의 아폴로 신전에 있는 입방체 모양의 황금 제단을 두 배로 늘려야 한다고 말한 신탁으로 향했습니다. 섬 주민들은 새 제단을 만들었는데, 그 갈비뼈는 이전 갈비뼈보다 두 배나 컸습니다. 그러나 전염병은 멈추지 않았습니다. 화난 주민들은 신탁의 지시를 오해했다는 소식을 들었습니다. 큐브의 가장자리를 두 배로 늘려야하는 것이 아니라 부피, 즉 큐브의 가장자리를 두 배로 늘려야했습니다. 그리스 수학자들이 사용했던 기하 대수학의 관점에서 문제는 다음을 의미합니다. 주어진 세그먼트 a에서 a: x = x: y = y: 2a가 되는 세그먼트 x와 y를 찾습니다. 그러면 세그먼트 x의 길이가 같아집니다.

주어진 비율은 방정식 시스템으로 간주될 수 있습니다.

그러나 x 2 =ay 및 y 2 =2ax는 포물선 방정식입니다. 따라서 문제를 해결하려면 교차점을 찾아야 합니다. 쌍곡선 xy=2a 2 의 방정식을 시스템에서 얻을 수도 있다는 점을 고려하면 포물선과 쌍곡선의 교차점을 찾아 동일한 문제를 해결할 수 있습니다.

원뿔 단면을 얻기 위해 Menaechmus는 원뿔(예각, 직사각형 또는 둔각)을 모선 중 하나에 수직인 평면과 교차했습니다. 예각 원뿔의 경우 모선에 수직인 평면에 의한 단면은 타원 모양입니다. 둔각 원뿔은 쌍곡선을 제공하고 직사각형 원뿔은 포물선을 제공합니다.

이것은 기원전 3세기에 살았던 페르가의 아폴로니우스(Apollonius of Perga)가 도입한 곡선의 이름이 유래한 곳입니다. 타원(έλλειψις)은 결함, 결함(직선에 대한 원뿔의 각도)을 의미합니다. ; 쌍곡선 (ύπέρβΩλθ) - 과장, 우세 (직선 위의 원뿔 각도); 포물선(παραβολmet) - 근사, 동등(원뿔 각도에서 직각으로). 나중에 그리스인들은 절단면의 경사를 변경함으로써 하나의 원뿔에서 세 개의 곡선을 모두 얻을 수 있음을 발견했습니다. 이 경우 두 개의 공동으로 구성된 원뿔을 가져와 무한대로 확장된다고 생각해야 합니다(그림 1).

2차 곡선이라고 합니다.

원추형 섹션의 유형.

원추형 단면은 세 가지 유형이 있습니다.

1) 절단 평면은 공동 중 하나의 지점에서 원뿔의 모든 생성선과 교차합니다. 교차선은 닫힌 타원 곡선(타원)입니다. 타원의 특별한 경우인 원은 절단 평면이 원뿔 축에 수직일 때 얻어집니다.

2) 절단 평면은 원뿔의 접평면 중 하나와 평행합니다. 횡단면에서 그 결과는 무한대로 향하는 개방형 곡선, 즉 완전히 하나의 공동 위에 놓여 있는 포물선입니다.

3) 절단 평면은 원뿔의 두 구멍과 교차합니다. 교차선(쌍곡선)은 원뿔의 두 구멍에 있는 무한대(쌍곡선의 가지)까지 확장되는 두 개의 동일한 열린 부분으로 구성됩니다.

공부하다.

원뿔 단면에 대칭 중심(중심)이 있는 경우, 즉 타원 또는 쌍곡선인 경우 해당 방정식은 (좌표 원점을 중심으로 이동하여) 다음 형식으로 축소될 수 있습니다.

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

이러한(중앙이라고 불리는) 원뿔 단면에 대한 추가 연구에서는 해당 방정식이 훨씬 더 간단한 형태로 축소될 수 있음을 보여줍니다.

도끼 2 + 우 2 = C,

좌표축 방향에 대한 주요 방향을 선택하면 원뿔 단면의 주축(대칭축) 방향이 됩니다. A와 B가 동일한 부호(C의 부호와 일치)를 갖는 경우 방정식은 타원을 정의합니다. A와 B의 부호가 다르면 과장법입니다.

포물선의 방정식은 (Ax 2 + By 2 = C) 형식으로 축소될 수 없습니다. 좌표축을 적절하게 선택하면(하나의 좌표축은 포물선의 유일한 대칭 축이고, 다른 좌표축은 포물선의 꼭지점을 통과하는 이에 수직인 직선입니다) 해당 방정식은 다음 형식으로 축소될 수 있습니다.

원추형 섹션의 구성.

원뿔 단면을 평면과 원뿔의 교차점으로 연구하면서 고대 그리스 수학자들은 이를 평면 위 점의 궤적으로 간주했습니다. 타원은 점의 자취로 정의될 수 있으며, 주어진 두 점까지의 거리의 합은 일정하다는 것이 밝혀졌습니다. 포물선 - 주어진 점과 주어진 직선으로부터 등거리에 있는 점들의 궤적. 쌍곡선 - 점의 궤적으로서 주어진 두 점까지의 거리 차이가 일정합니다.

원뿔 단면을 평면 곡선으로 정의하는 것은 늘어진 끈을 사용하여 구성하는 방법도 제안합니다.

타원.주어진 길이의 실 끝이 한 점에 고정되어 있는 경우 에프 1과 에프그림 2(그림 3)를 참조하면, 촘촘하게 늘어난 실을 따라 연필 끝이 미끄러지는 곡선은 타원 모양을 갖습니다. 포인트들 에프 1과 에프 2는 타원의 초점이라고 불리며, 세그먼트는 V 1 V 2 및 V 1 V 2 타원과 좌표축의 교차점(주축과 단축) 사이. 포인트라면 에프 1과 에프 2가 일치하면 타원이 원으로 변합니다(그림 3).

쌍곡선.쌍곡선을 구성할 때 요점은 피연필 끝은 점에 설치된 못을 따라 자유롭게 미끄러지는 실에 고정되어 있습니다. 에프 1과 에프 2, 그림 4, a에 표시된 것처럼 거리가 선택되어 세그먼트가 PF 2는 세그먼트보다 깁니다. PF 1 거리보다 작은 고정량만큼 에프 1 에프 2. 이 경우 실의 한쪽 끝이 페그 아래를 통과합니다. 에프 1, 실의 양쪽 끝이 말뚝 위로 지나갑니다. 에프 2. (연필 끝이 실을 따라 미끄러져서는 안 되므로 실에 작은 고리를 만들고 그 끝을 통과시켜 고정해야 합니다.) 쌍곡선의 한 가지 ( PV 1 큐) 실이 항상 팽팽하게 유지되도록 하고 실의 양쪽 끝을 지점을 지나 아래로 당겨서 그립니다. 에프 2 그리고 시점 피세그먼트 아래에 있을 것입니다. 에프 1 에프 2, 실의 양쪽 끝을 잡고 조심스럽게 풀어줍니다. 먼저 못을 변경하여 쌍곡선의 두 번째 가지를 그립니다. 에프 1과 에프 2 (그림 4).

쌍곡선의 가지는 가지 사이에 교차하는 두 개의 직선에 접근합니다. 이 라인은 쌍곡선의 점근선, 그림 4, b와 같이 구축됩니다. 모서리

이 선의 계수는 세그먼트에 수직인 점근선 사이의 각도의 이등분선 세그먼트가 어디에 있는지와 같습니다. 에프 2 에프 1 ; 선분 V 1 V 2는 쌍곡선의 켤레 축이라고 불리며, 세그먼트는 V 1 V 2 - 가로 축. 따라서 점근선은 변이 네 점을 통과하는 직사각형의 대각선입니다. V 1 , V 2 , V 1 , V 2개는 축에 평행합니다. 이 직사각형을 구성하려면 점의 위치를 지정해야 합니다. V 1과 V 2. 그들은 같은 거리에 있고, 같다

축의 교차점에서 영형. 이 공식에는 다리가 있는 직각삼각형이 만들어집니다. 오브 1과 V 2 영형그리고 빗변 에프 2 영형.

쌍곡선의 점근선이 서로 수직인 경우 쌍곡선을 호출합니다. 등변. 공통 점근선을 갖지만 가로축과 켤레 축이 재배열된 두 개의 쌍곡선을 호출합니다. 서로 공액하다.

포물선.타원과 쌍곡선의 요령은 아폴로니우스에게도 알려져 있었지만 포물선 초점는 분명히 Pappus(3세기 후반)에 의해 처음 확립되었는데, 그는 이 곡선을 주어진 점(초점)과 주어진 직선으로부터 등거리에 있는 점들의 기하학적 자취로 정의했습니다. 여자 교장. Pappus의 정의에 기초한 인장된 실을 사용한 포물선의 구성은 Isidore of Miletus(VI 세기)에 의해 제안되었습니다(그림 5).

자의 가장자리가 준선과 일치하도록 눈금자를 배치하고 다리를 이 가장자리에 연결해 보겠습니다. A.C.삼각형 그리기 알파벳. 실의 한쪽 끝을 길이로 고정합니다. AB상단에 비삼각형과 포물선의 초점에 다른 하나 에프. 연필 끝을 사용하여 실을 늘리고 가변 지점에서 끝을 누릅니다. 피자유로운 다리로 AB삼각형 그리기. 삼각형이 자를 따라 움직일 때, 점은 피초점을 맞춘 포물선의 호를 설명합니다. 에프스레드의 전체 길이는 다음과 같습니다. AB, 실 조각은 삼각형의 자유변에 인접하므로 나머지 실 조각은 PF다리의 나머지 부분과 같아야 합니다. AB, 그건 아빠. 교차점 V축이 있는 포물선을 포물선이라고 합니다. 포물선의 꼭지점, 통과하는 직선 에프그리고 V, - 포물선의 축. 초점을 통해 축에 수직인 직선을 그리면 포물선에 의해 잘린 이 직선의 세그먼트를 호출합니다. 초점 매개변수. 타원과 쌍곡선의 경우 초점 매개변수는 유사하게 결정됩니다.

분석적 접근

대수적 분류. 대수학적 측면에서 원뿔 단면은 데카르트 좌표계의 좌표가 2차 방정식을 만족하는 평면 곡선으로 정의될 수 있습니다. 즉, 모든 원뿔 단면의 방정식은 다음과 같은 일반 형식으로 작성될 수 있습니다.

여기서 모든 계수 A, B, C가 0이 되는 것은 아닙니다. 축의 평행 이동 및 회전을 사용하여 방정식 (1)은 다음 형식으로 축소될 수 있습니다.

도끼 2 + 2 + c = 0

첫 번째 방정식은 B 2 > AC에 대해 방정식 (1)에서 얻어지며, 두 번째 방정식은 B 2 = AC에 대해 얻어집니다. 방정식이 첫 번째 형태로 축소된 원뿔 단면을 중심이라고 합니다. q > 0인 두 번째 유형의 방정식으로 정의된 원뿔 단면을 비중심이라고 합니다. 이 두 범주에는 계수의 부호에 따라 9가지 유형의 원뿔 단면이 있습니다.

2) a와 b의 부호가 같고 c의 부호가 반대이면 원뿔 단면은 타원입니다. a = b - 원일 때.

3) a와 b가 서로 다른 부호를 가지면 원뿔 단면은 쌍곡선입니다.

4) a와 b가 서로 다른 부호를 갖고 c = 0이면 원뿔 단면은 두 개의 교차 선으로 구성됩니다.

5) a와 b의 부호가 같고 c = 0이면 방정식을 만족하는 곡선의 실수 점은 하나만 있고 원뿔 단면은 두 개의 가상 교차선입니다. 이 경우 점에 대한 타원, 또는 a = b인 경우 점에 대한 원에 대해서도 말합니다.

6) a 또는 b 중 하나가 0이고 다른 계수의 부호가 다른 경우 원뿔 단면은 두 개의 평행선으로 구성됩니다.

8) c = 0이고 a 또는 b도 0이면 원뿔 단면은 두 개의 실제 일치하는 선으로 구성됩니다. (이 경우 원래 방정식 (1)은 2차가 아니기 때문에 방정식은 a = b = 0에 대한 원뿔 단면을 정의하지 않습니다.)

9) 두 번째 유형의 방정식은 p와 q가 0과 다른 경우 포물선을 정의합니다. p > 0이고 q = 0이면 단계 8에서 곡선을 얻습니다. p = 0이면 원래 방정식 (1)이 2차가 아니기 때문에 방정식은 원뿔 단면을 정의하지 않습니다.

애플리케이션

원추형 단면은 자연과 기술에서 흔히 발견됩니다. 예를 들어, 태양 주위를 도는 행성의 궤도는 타원 모양입니다. 원은 장축이 단축과 동일한 타원의 특별한 경우입니다. 포물선형 거울은 축에 평행한 모든 입사광선이 한 점(초점)으로 모이는 특성을 가지고 있습니다. 이는 포물면 거울을 사용하는 대부분의 반사 망원경뿐만 아니라 레이더 안테나 및 포물선 반사경이 있는 특수 마이크에도 사용됩니다. 평행 광선의 빔은 포물선형 반사경의 초점에 위치한 광원에서 나옵니다. 이것이 포물면 거울이 고출력 스포트라이트와 자동차 헤드라이트에 사용되는 이유입니다. 쌍곡선은 보일의 법칙(이상 기체의 압력과 부피에 관한)과 전류를 일정한 전압에서 저항의 함수로 정의하는 옴의 법칙과 같은 많은 중요한 물리적 관계의 그래프입니다.

애플리케이션

서지.

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2. Bazylev V. T., Dunichev K. I., Ivanitskaya V. P.. 교육 기관의 물리학 및 수학 학부 1학년 학생을 위한 교과서. 모스크바 "계몽" 1974

3. Vereshchagin N.K., A.Shen. 수학적 논리와 알고리즘 이론을 강의합니다. 1999년

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5. Gladky A.V. 현대 논리 소개. 2001년

6. M.E. 카자리안.미분기하학 과정(2001-2002).

7. Prasolov V.V.. Lobachevsky 2004의 기하학

8. Prasolov V.V.. 면적 측정의 문제 2001

9. Sheinman O.K.. 표현 이론의 기초. 2004년

(cm.) (가이드가 원임) 꼭지점을 통과하지 않는 평면에 의해.
절단 평면이 원추형 표면의 모선과 평행하지 않으면 원추형 단면은 타원, 특히 원입니다(그림 107). 절단 평면이 원추형 표면의 생성선 중 하나만 평행하면 원추형 단면은 포물선입니다(그림 108). 할선 평면이 원뿔 곡면의 두 모선과 평행하면 원뿔 단면은 쌍곡선입니다(그림 109).
타원과 포물선의 경우 절단면은 원뿔면의 한 구멍과만 교차하고, 쌍곡선의 경우 절단면은 원추면의 두 구멍과 교차합니다.
원뿔 단면은 2차 곡선이라고도 합니다. 원뿔 단면은 고대 그리스의 수학자에 의해 이미 연구되었습니다(예를 들어 기원전 4세기의 Menaechmus는 원뿔 단면을 사용하는 문제를 해결했습니다). 원뿔 단면에 대한 가장 완전한 연구는 Perga의 Apollonius (기원전 3세기)에 의해 수행되었습니다.

원추형 단면은 타원 기어, 탐조등 설치(포물선 거울) 등과 같은 기술에 사용됩니다. 태양계의 행성은 타원으로 움직이고 혜성은 포물선과 쌍곡선으로 움직입니다.
원추형 표면에 새겨진 구를 사용하여 원뿔 단면에 대한 연구는 벨기에 기하학자인 J. Dandelin(19세기)에 의해 수행되었습니다.

극좌표의 원뿔 단면 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

여기서 r은 초점 반경 벡터입니다(그림 110, F는 원뿔 단면의 오른쪽 초점입니다).

p - 초점 매개변수;
e - 편심;
ψ - 극각.

e 1이면 이 방정식이 결정됩니다(참조). 이 경우, Φ 0에서 2π - Φ 0까지 변하는 각도 ψ에 대해(여기서 2 ψ 0은 점근선 tan ψ 0 =b/a 사이의 각도임) 쌍곡선의 오른쪽 가지를 구하고, 각도 ψ에 대해 변하는 - Φ 0에서 Φ 0까지, 쌍곡선의 왼쪽 가지를 얻습니다.

원뿔 단면(타원, 포물선 및 쌍곡선)의 이름은 고대 기하학자들에 의해 선형 또는 2차 방정식을 푸는 문제를 해결하는 방법(면적을 적용하는 방법 또는 포물선 방법이라고도 함)으로 설명됩니다. 기하대수학의 방법.

AB = 2a - 타원의 직경(그림 111), AE = 2p, CF - AB에 수직이라고 가정합니다. 그러면 CD에 구성된 정사각형은 직사각형(AF)의 면적과 같습니다.

AC=x, CB=2a - x, CD=y를 넣으면 다음을 얻습니다.

마찬가지로 쌍곡선의 경우 다음과 같습니다.

타원의 경우 수식에 빼기 기호가 포함됩니다. 즉, 직사각형의 면적(CE)이 단점(그리스어 ελλειψιζ - 단점)과 함께 사용됩니다. 쌍곡선의 경우 수식에 더하기 기호가 포함됩니다. 즉, 직사각형의 면적(CE)이 과도하게 사용됩니다(그리스어 υπερβολmet - 초과, 초과).
정사각형의 면적과 직사각형의 면적 (CE) 사이에 단순한 동일성이 있는 경우 (공식에는 마이너스 또는 플러스가 없으며 초과도 부족도 없음), 즉 y² = 2pх, 곡선 (원추형 단면)을 포물선(παραβολmet - 부록 영역, 균등화)이라고 합니다.

러시아 연방 교육부

칼루가 주립 교육 대학

그들을. K.E. 치올콥스키

"원추형 섹션"

1. 아폴로니우스의 작품

2. Apollonius의 "원뿔 단면".

2.1 직사각형 회전 원뿔 단면에 대한 곡선 방정식 유도

2.2 포물선 방정식 유도

2.3 타원과 쌍곡선에 대한 방정식 유도

2.4 원뿔 단면의 불변성

2.5 아폴로니우스의 작품에서 원뿔 단면에 대한 추가 연구

2.6 원뿔 단면 이론의 추가 개발

3. 결론

4. 참고자료

아폴로니우스의 작품

아폴로니우스는 소아시아의 페르가이에서 태어났다. 그의 활동 전성기는 210년경이다. 기원전. 이때 그는 알렉산드리아에 살았는데, 그곳에서 젊은 시절 이주하여 유클리드 학파 수학자들의 지도 아래 공부했습니다. 아폴로니우스는 기하학자이자 천문학자로 유명해졌습니다. 그는 170세쯤에 죽었습니다. 기원전 이자형.

수학에서 아폴로니우스는 이론을 완벽하게 설명하고 분석적 및 투영적 방법을 개발한 원뿔 단면으로 가장 잘 알려져 있습니다. Apollonius는 삽입을 사용하여 해결할 수 있는 문제의 분류에 관한 논문 "삽입에 관하여"를 썼습니다. 이러한 문제는 나침반과 자(평면 문제), 원뿔 단면(고체 문제) 및 기타 곡선(선형)을 사용하여 해결할 수 있는 것으로 판명될 수 있습니다. 특정 문제가 어느 클래스에 속하는지 식별하는 것은 대수적 분류의 시작을 표시할 수 있습니다. 대수학 문제에 대한 아폴로니우스의 관심은 그의 다른 작품인 "무질서한 비합리성에 대하여"에서도 드러났는데, 여기서 그는 유클리드 분류를 계속했습니다.

Apollonius의 순수 기하학적 작품은 원통 표면의 나선형을 고려한 작품 "On Spiral Lines"와 Apollonius의 유명한 문제를 분석한 "On Touch"입니다. 점, 직선 또는 원이 될 수 있습니다. 주어진 각 점을 통과하고 주어진 선이나 원 각각에 닿는 원을 그리는 것이 필요합니다.”

"평면 기하학적 장소에서"라는 작품에서 우리는 Apollonius가 직선과 원을 직선과 원으로 변환하는 평면 자체의 변형을 고려했다고 결론을 내릴 수 있습니다. 이러한 변환의 특별한 경우는 유사성 변환과 특정 지점의 반전입니다.

Apollonius의 작품 중 일부는 분실되어 오늘날까지 살아남지 못했습니다.

Apollonius의 "원뿔 단면"

원추형 섹션은 8권의 책으로 구성되어 있습니다. 저자에 따르면 이론의 요소를 설명하는 처음 네 개는 그리스어로 우리에게 전해졌고 다음 세 개는 Thabit ibn Korra의 아랍어 번역에 있으며 마지막 책인 여덟 번째 책은 손실되었습니다. 영국 천문학자 E. Halley(XVIII 세기)에 속한 텍스트의 재구성이 있습니다.

2차 곡선은 입방체를 두 배로 늘리는 문제와 관련하여 처음 고려되었으며 메나에크무스는 이를 직사각형, 둔각 및 예각 회전 원뿔의 평평한 단면으로 제시했습니다. 이 입체적 표현은 문제의 곡선의 존재와 연속성을 보장합니다. 그런 다음 Menaechmus는 고대인들이 증상(곡선의 방정식)이라고 불렀던 단면의 기본 평면적 특성을 유도하는 작업을 진행했습니다.

직사각형 회전 원뿔 단면에 대한 곡선 방정식 유도

OAB를 축 OL을 통과하는 평면에 의한 이 원뿔의 단면이라고 하고 PLK를 이 원뿔의 모선에 수직인 평면의 자취라고 둡니다(그림 1). AMB는 반원이므로 KM 2 = AK KB입니다. 그러나 AK=PP′=√2LP 2이고 KB=√2KP 2이므로 KM 2 =2LP KP입니다.

쌀. 1

KM을 y로, KP를 p로 표시하면 다음과 같습니다.

이것은 알파벳 기호를 사용하여 작성된 곡선의 방정식 또는 증상이며 고대인은 이를 언어-기하학 형식으로 썼습니다. 각 지점의 하프 코드 KM의 정사각형은 다음을 기반으로 하는 직사각형 PKSR과 같습니다. 정점(x)에 대한 축의 세그먼트 PK와 상수 세그먼트 PR(그림 2).

쌀. 2

유사하게, 예각 및 둔각 원뿔의 단면에 대해 방정식이 도출되었습니다. 타원과 쌍곡선:

= 및 =, (2)

여기서 2a는 타원의 장축 또는 쌍곡선의 실수 축입니다.

그리고 p는 일정하다.

р=а인 경우 방정식 (2)는 다음과 같은 형식을 취합니다.

y 2 =x(2a-x) 및 y 2 =x(2a+x) (3)

첫 번째는 반지름이 a인 원의 방정식이고, 두 번째는 등변 쌍곡선의 방정식입니다. 타원과 쌍곡선(2)은 원과 쌍곡선(3)을 가로축으로 √p/a 비율로 압축하여 얻을 수 있습니다.

우선 아폴로니우스는 좀 더 일반적인 정의를 제시합니다. 첫째, 그는 임의의 원형 원뿔을 취합니다. 둘째, 그는 두 개의 구멍을 모두 검사합니다(이를 통해 쌍곡선의 두 가지를 모두 연구할 수 있는 기회가 제공됩니다). 마지막으로 그는 모선에 대해 임의의 각도에 위치한 평면이 있는 단면을 그립니다.

분석 기하학의 일반적인 언어로, Apollonius 이전에는 축 중 하나가 주 직경과 일치하고 두 번째 축이 정점을 통해 축에 수직인 직사각형 좌표계와 관련하여 원뿔 단면이 고려되었다고 말할 수 있습니다. 곡선; 아폴로니우스는 곡선을 곡선의 끝 중 하나에 그려진 접선의 직경과 연관시켰습니다. 일부 경사 좌표계로.

입체적 정의 후에 Apollonius는 또한 곡선 방정식이라는 증상의 파생을 제공합니다. 동시에 그는 결과 곡선을 정의하는 방정식 유형에 따라 분류합니다. 기초는 분석 기하학의 특징적인 관점입니다.

포물선에 대한 방정식 유도

BAC를 축을 통과하는 평면에 의한 원뿔의 단면이라고 가정하고(그림 3), DE가 BC에 수직이고 GH가 AB에 평행하도록 평면 GHD를 그리십시오(GH는 평행하도록 선택할 수 있음). AC로). 섹션에서 얻은 DGE 곡선의 방정식을 찾아보겠습니다.

쌀. 삼

K를 이 곡선의 임의의 점으로 설정합니다. DE와 평행한 KL과 BC와 평행한 MN을 그려보겠습니다. KL과 MN을 통과하는 평면은 밑면의 평면과 평행하며 Apollonius가 이전에 증명했듯이 원뿔과 교차합니다. 따라서 KL 2 =ML LN입니다.

세그먼트 GL은 정점에서 점 D 투영의 가변 거리이며 항은 일정합니다. Apollonius는 다음과 같은 세그먼트 GF를 선택합니다.

그러면 KL 2 =GF LG입니다. 이것이 증상, 즉 단면 방정식입니다.

KL=y, LG=x, GF=2p라고 표시하면 일반적인 형식인 y 2 =2px의 방정식을 얻습니다.

Apollonius에서 방정식은 그리스어로 구두로도 작성됩니다. GH가 포물선의 직경 중 하나이고 KL이 이 직경에 대한 반현 공액인 경우 Apollonius는 GR = 2p를 GH에 수직으로 둡니다. 그런 다음 각 지점에서 LK(그림 4)에 구성된 정사각형은 직사각형 GRSL과 동일해야 한다고 명시되어 있습니다. GL GR.

"포물선"이라는 이름은 아폴로니우스의 이름 παραβολή(응용)에서 유래되었습니다. 이 곡선에 점을 구성하는 문제가 응용 문제로 축소되었기 때문입니다(아폴로니우스 이전에는 포물선을 직사각형 원뿔의 단면이라고 불렀습니다).

쌀. 4

타원과 쌍곡선에 대한 방정식 유도

마찬가지로 Apollonius는 타원과 쌍곡선의 방정식을 얻습니다.

따라서 타원의 경우 LK 2 = pl임을 증명합니다. GLL'G'(그림 5), 여기서 GH=2a는 타원의 특정 직경, LK는 타원에 대한 반현 공액, GR=2p는 상수, GR은 GH에 수직입니다. 보다 친숙한 표기법 형식으로 넘어가려면 다음 사항에 유의하세요.

쌀. 5

따라서 타원의 점을 구성하는 문제는 "타원"(έλλειψις - 단점)이라는 이름을 설명하는 단점이 있는 응용 프로그램의 문제("타원 문제")로 축소됩니다. 이 이름은 Apollonius에 의해 소개되었으며, 그 전에는 타원을 예각 회전 원뿔의 단면이라고 불렀습니다.

유사하게 쌍곡선(그림 6)에 대해 우리는 방정식을 얻습니다.

LK 2 = 정사각형 GLL′G′, 즉 , 또는.

결과적으로 쌍곡선의 점을 구성하는 문제는 "쌍곡선"(ύπερβολή - 초과)이라는 이름을 설명하는 초과 적용 문제("쌍곡선 문제")로 축소됩니다. 이 이름은 아폴로니우스(Apollonius)에 의해서도 소개되었는데, 그 이전에는 쌍곡선이 둔각 회전 원뿔의 단면으로 불렸습니다.

직경 GH에 수직으로 배치된 구성된 세그먼트 GR=2p를 Apollonius는 "직선 측면"이라고 불렀습니다.

쌀. 6

현재 p 값은 표준 단면의 매개변수라고 합니다(반축 a와 b가 있는 타원과 쌍곡선의 경우 p=b 2 /a, 압축 계수 √p/a, 원을 변환함). 또는 등변 쌍곡선을 주어진 타원이나 쌍곡선으로 바꾸는 것은 b/a) 와 같습니다.

아폴로니우스의 원뿔 단면 분류는 본질적으로 대수적이었습니다.

원뿔 단면의 불변성

Apollonius는 곡선이 다른 지름과 켤레 현에 할당될 때 방정식의 형태가 변경되지 않는 경우에만 그러한 분류가 합법적이라는 것을 완벽하게 잘 이해했습니다(그리고 이로 인해 그는 뉴 에이지의 기하학에 더 가까워졌습니다).

첫 번째 책에서 그는 이 문제를 탐구합니다. 이를 위해서는 직경과 관련된 코드의 방향을 결정해야 했습니다. 입체 측정을 사용하면 공액 방향이 자동으로 얻어집니다. 그러나 아폴로니우스가 제기한 문제를 해결하려면 입체 측정법과 무관한 정의가 필요합니다. 아폴로니우스는 이를 수행합니다. 그는 A를 통과하는 직경에 공액화음의 방향에 평행한 표준 단면의 점 A를 통해 그려진 선이 접선임을 증명합니다. 그 후 그는 포물선, 타원, 원, 쌍곡선에 대한 접선을 구성합니다.

P를 포물선 위의 한 점으로 하고 AA'를 직경 중 하나라고 가정합니다(그림 7). Apollonius는 PL이 AA'에 대한 화음 공액인 경우 접선 PR이 직경 확장에서 세그먼트 AR=AQ를 차단한다는 것을 증명했습니다. 쌍곡선, 타원 및 원에 대해 그는 다음 관계를 얻습니다(타원에 대한 그림 8).

쌀. 7

RA:RA′=QA:QA′.

그런 다음 아폴로니우스는 좌표의 원점이 곡선의 중심에 오도록 타원과 쌍곡선의 방정식을 변환하고, 좌표의 원점이 이 곡선의 꼭지점과 일치하도록 포물선의 방정식을 변환했습니다.

따라서 여기서 좌표축은 두 개의 공액 직경입니다. 그 후 그는 곡선의 직경과 곡선 끝 중 하나에 그려진 접선 중 하나를 새 축으로 사용하면 방정식의 형식이 변경되지 않음을 보여줍니다.

쌀. 8

첫 번째 책에서 Apollonius는 하나의 매개변수에 따라 다양한 좌표계를 고려합니다. 이러한 좌표계는 곡선의 한 점, 즉 직경의 끝 부분에 의해 결정되고 타원, 쌍곡선 및 포물선 방정식의 불변성을 증명하기 때문입니다. 해당 좌표계의 변환과 관련하여.

첫 번째 책의 마지막 부분에서 Apollonius는 관련된 현에 수직인 직경을 선택하는 것이 가능함을 보여줍니다. 그런 다음 고려중인 곡선은 모선에 수직인 평면에 의해 둔각, 예각 또는 직사각형 회전 원뿔의 단면으로 표시될 수 있습니다. 이는 아폴로니우스가 이전에 고려했던 표준 부분과 함께 도입한 곡선의 동일성을 확립합니다.

첫 번째 책의 주요 아이디어는 곡선 분류의 기초로 대수 방정식의 속성과 허용 가능한 좌표 변환 하에서 불변으로 유지되는 속성을 취하는 것입니다. 19세기에만요. 이 아이디어는 클라인이 에를랑겐 프로그램에서 평면이나 공간의 특정 변형 그룹에 대한 불변량의 과학으로서 기하학에 대한 새로운 관점을 확립했을 때 완전히 이해되었습니다.

Apollonius의 작품에서 원뿔 단면에 대한 추가 연구

다음 세 권의 책에서 Apollonius는 원뿔 단면 이론을 전개합니다. 그는 점근선의 켤레 지름의 기본 특성을 명확히 하고 점근선에 대한 쌍곡선 방정식(xy=const)을 구하며 초점의 기본 특성을 확립합니다. 타원과 쌍곡선. 여기에서 처음으로 원뿔 단면에 대한 극점과 극점이 나타납니다. 한 점에서 원뿔 단면에 두 개의 접선을 그릴 수 있는 경우 접선 점을 연결하는 직선을 주어진 점의 극선이라고 합니다. , 그리고 점이 이 직선의 극점입니다. 단면과 교차하는 직선을 따라 극점을 이동하면 극선은 이 직선의 극점을 중심으로 회전하지만 단면과 교차하지 않는 직선을 따라 극점을 이동하면 극선도 중심으로 회전합니다. 어떤 점, 이 경우 극점이 회전하는 점과 극이 이동하는 직선 을 극과 극이라고도 합니다. 네 번째 책에서 아폴로니우스는 두 원뿔형 단면의 교차점 수에 대한 문제를 고려합니다.

다섯 번째 책에서 Apollonius는 모든 법선을 원뿔 단면(접선에 수직이고 접선 지점에서 복원됨)으로 정의합니다. 여섯 번째 책에서는 유사한 원뿔 단면을 연구합니다.

일곱 번째 책에는 아폴로니우스의 유명한 정리가 포함되어 있습니다.

a) 타원의 공액 지름의 제곱합은 주축의 제곱합과 같습니다.

b) 쌍곡선의 두 켤레 지름에 대한 제곱의 차이는 주축의 제곱의 차이와 같습니다.

c) 타원이나 쌍곡선의 두 켤레 지름으로 구성된 평행사변형은 일정한 면적을 갖습니다.

원뿔 단면 이론의 추가 개발

고대에는 Apollonius가 만든 곡선을 연구하는 방법이 5세기 초까지 개발되지 않았습니다. 기원 후 그의 작품은 연구되고 논평되었습니다. 원뿔 단면 자체는 아르키메데스가 삼차 방정식을 풀고 연구하는 데 사용되었습니다. 동일한 목적으로, 이슬람 국가의 후기 고대 기하학자와 과학자들이 원뿔 단면을 사용했습니다.

오랫동안 그들은 포물선 거울의 빛 반사에 대한 연구를 제외하고는 수학적 자연 과학에 어떤 응용도 받지 못했습니다. 17세기에만요. Apollonius의 아이디어가 부활했습니다. Fermat와 Descartes는 그의 방법을 새로운 대수학의 언어로 번역하여 분석 기하학을 창시했으며 Newton은 이러한 방법을 적용하여 3차 곡선을 설명하고 연구했습니다. 그러나 더 일찍이 원뿔 단면 이론은 지구와 천체의 역학에서 가장 널리 적용되었습니다. 케플러는 우리 태양계의 행성이 태양이 위치한 초점 중 하나에서 타원으로 움직인다는 것을 확인했습니다. 갈릴레오는 던진 돌이 포물선 형태로 공간을 날아간다는 것을 보여주었습니다. 마침내 17세기 80년대. 뉴턴은 아폴로니우스의 작품을 직접 바탕으로 "자연 철학의 수학적 원리"를 만들었습니다.

결론

아폴로니우스의 원뿔 단면은 그것이 필요하기 오래 전에 만들어진 수학 이론의 예입니다. 이 기회에 A. Einstein은 다음과 같이 썼습니다. “이 멋진 사람 (우리는 케플러에 대해 이야기하고 있음)에 대한 감탄 외에도 또 다른 감탄과 경외감이 있지만 인간과 관련된 것이 아니라 자연의 신비한 조화와 관련이 있습니다. 가장 간단한 법칙에 해당합니다. 직선과 원과 함께 타원과 쌍곡선도 포함되었습니다. 우리는 후자가 천체의 궤도에서 적어도 좋은 근사치로 구현되는 것을 봅니다.”

서지:

1. 길과 미로. 수학의 역사에 관한 에세이. Daan – Dalmedico A., Peiffer J. Trans. 프랑스어에서 – M.: 미르, 1986.

2. 고대부터 19세기 초까지 수학의 역사. 유쉬케비치 A.P. – M.: 나우카, 1970.

나는 2nd Sovetskaya에 새로 열린 "Old Book"을 방문했습니다. 인상은 매우 호의적입니다. 보편적인 상점, 많은 소설, 다양한 기술 및 과학 문헌이 있습니다. 준비 과정이 아직 완료되지 않았기 때문에 모든 기술 문헌이 아직 표시되지 않았으며(향후 상당한 보충이 약속됨) 일부 혼란 상태에 있습니다. 고객에 대한 대우는 "가장 잡화적인 것"이며, 다시 오라고 초대하고 친구들에게 새 매장에 대해 이야기해달라고 요청합니다.
나는 나의 마지막 요청을 이행하고 있습니다:

당연히 책을 사지 않고 떠나는 것은 불가능했습니다.

L. Karpinsky, 미시간 대학교 교수, G. Benedict, 텍사스 대학교 교수, J. Kalgun, 텍사스 대학교 교수
통합 수학
교수의 메모 및 변경 사항이 포함된 영어 번역이 승인되었습니다. D. A. 크리자노프스키
국가 학술위원회의 과학 기술부는 기술 학교 및 기술 대학의 매뉴얼로 승인되었습니다. 교사용 가이드로 추천
M.-L.: 주립 출판사, 1926. XVI, 596 p.
(기술 학교 및 대학의 매뉴얼 및 매뉴얼)

번역자의 서문에서:

여러 나라의 거의 방대한 교육 수학 문헌 중에서 세 명의 미국 교수의 공동 작업인 "통합 수학"은 독창적인 자료 선택, 특히 처리 및 표현 방법 모두에서 두드러집니다. 저자의 주요 경향은 제시된 모든 자료를 개별 부분을 유기적으로 얽혀 하나의 전체로 연결하는 것입니다. 이는 우리 학교의 원칙과 완전히 조화를 이룹니다. 학교 수업의 주제로서 수학이 자연과 사회에 대한 연구, 그리고 삶의 요구와 밀접하게 연결되어야 한다면, 학문적 분리가 고립되고 자급자족할 수 있는 학문과 장으로 있을 수는 없습니다. 물리학, 기술, 경제학은 수학적 문제 모음이 일반적으로 분류되는 범주에 문제를 적용하지 않습니다. 따라서 학생이 다양한 수학 분야의 기술과 결과를 결합하는 방법을 빨리 배울수록 좋습니다. 그리고 이를 위해 가장 확실한 방법은 이러한 결합 방법을 수학을 공부하는 과정에 도입하는 것입니다.
위에서 언급한 일반적인 경향과 유기적으로 연결된 이 책의 또 다른 독특한 특징은 텍스트 모두에 적용되는 자료(물리학, 천문학, 기술, 포병, 생물학, 통계, 상업 산술 등에서 가져온)가 극도로 풍부하고 다양하다는 것입니다. 그리고 업무에서도 우리 학교의 요구에 완벽하게 맞습니다. 이 자료는 모든 장에 걸쳐 넉넉하게 분산되어 있으며, 특히 XXII장, XXVI장(“진동 운동”) 및 XXVII장(“유기체 성장의 법칙”)을 완전히 채웁니다. 이 마지막 (XXVII) 장에서는 지난 전쟁 중 병원 관찰의 결과인 "상처 치유 곡선"이라는 주제의 참신함에 특별한 관심을 기울입니다. 이렇게 풍부한 예제와 문제 덕분에 "통합 수학"은 다른 매뉴얼을 사용하여 이론을 가르치는 교육 기관에 유용한 지침이 될 수 있습니다.
"통합 수학"의 확실한 장점에는 흥미롭게 구성된 수많은 "역사적 노트"도 포함됩니다.

L. Karpinsky 교수가 러시아어 번역에 쓴 서문:

“통합수학”의 중심 사상은 과거의 위대한 유산인 전통적인 수학에서 벗어나는 것이 아니라 현대 세계에서 수학이 얼마나 중요하고 실제적인 역할을 하는지 보여 주는 것입니다. 포물선이 그토록 놀라운 기하학적 특성을 가지고 있다는 것을 아는 것만으로도 그리스인에게는 충분했습니다. 현대 학생은 초등 대수 방정식, 특히 발사체의 비행, 다양한 유형의 교량 구조, 콘서트 홀 모양, 심지어 자동차 스포트라이트와 눈에 띄는 연관성을 보여야 합니다. 실제 적용은 순전히 이론적인 적용만큼 훌륭합니다.
현대 세계는 고대 세계와 마찬가지로 정신적 작업도 요구하지만 현실과 접촉하는 마음도 필요합니다. 수학에서는 과거의 성취를 대부분 유지하면서 이를 수행할 수 있습니다.
이런 책을 읽는 것은 정말 재미있습니다. 여기에 제시된 많은 예는 이미 거의 역사적 가치를 가지고 있습니다. 더욱이, 80~90년 전에는 수학자나 엔지니어가 알지 못했던 일부 섹션이 이제는 거의 사라졌으며 이를 발견하는 것은 매우 흥미로웠습니다. 특히 재학생을 생각하면 슬픈 미소로 댓글을 받는 경우도 있습니다.

최근 몇 년 동안 15자리, 심지어 20자리의 곱셈과 나눗셈을 수행하는 계산기의 광범위한 사용으로 인해 대형 보험 회사 사무실과 어느 정도 관측소의 로그 테이블이 부분적으로 대체되었습니다.
7장에서: 삼각함수

§ 10. 탄젠트 및 코탄젠트 함수의 유래.- 관측 천문학에서는 수평선에 대한 태양과 다른 천체의 경사각이 중요한 역할을 합니다. 어떤 수직 물체에 의해 드리워진 그림자의 길이와 물체 자체의 길이의 비는 태양의 경사각의 코탄젠트를 제공합니다. 이 각도 함수는 그리스도 이후 10세기에 아랍 천문학자 알 바타니(Al-Battani)의 저서에서 접선 이전에 나타났으며, 그림자라고 불렸고 나중에는 직접 그림자 또는 두 번째 그림자라고 불렸습니다. 벽에 수직인 막대에 의해 수직 벽에 드리워진 그림자의 길이와 막대 자체의 길이의 비율을 나타내는 접선 함수는 나중에 첫 번째 그림자라고 불렸습니다. 아랍인들은 막대의 길이를 12단위로 받아들였습니다.

19장에서: 포물선

§ 1. 정의.- 우리는 타원(XVIII장, § 3)을 고정된 점, 즉 초점으로부터의 거리가 초점으로부터의 거리에 대해 1보다 작은 일정한 비율로 움직이는 점의 위치로 정의했습니다. 고정선, 방향선. 이 상수 비율이 1이면 이동 지점에 의해 설명되는 곡선을 포물선이라고 합니다. 이 비율이 일정하여 1을 초과하면 곡선을 쌍곡선이라고 합니다.

상태: ,at, 타원이 결정됩니다.
조건: 포물선이 정의됩니다.
상태: , at, 쌍곡선이 정의됩니다.
[와 함께. 345~346.]

XXI장: 접선과 법선에서 2차 곡선으로

§ 2. 일반 형태의 2차 방정식은 원뿔 단면을 나타냅니다.- 직선 원형 원뿔이 주어지면 유클리드 기하학의 기하학적 방법을 사용하여 임의의 평면에 의한 원뿔 표면의 단면이 위에서 언급한 곡선 중 하나를 나타냄을 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, 원뿔 밑면에 평행한 평면은 단면에 원이 되고, 꼭지점을 통과하면 원점(반경이 0인 원)이 됩니다.
여기서 원뿔이란 원뿔 모선에 의해 형성된 전체 원추형 표면을 의미하며 교차점에서 양방향으로 무한정 확장됩니다.
하나의 생성 요소(원뿔의 모선)에만 평행한 평면은 포물선을 따라 또는 두 개의 일치하는 직선을 따라 원뿔과 교차합니다(절단 평면이 동시에 모선 중 하나를 통과하고 원뿔의 원형 베이스에 닿는 경우). 원뿔.
유한한 거리에서 원뿔의 모든 생성선을 교차하는 평면은 단면에 타원을 제공합니다. 후자는 평면이 원뿔의 꼭지점을 통과할 때 타원점으로 변합니다.
원뿔의 임의의 두 생성선에 동시에 평행한 평면은 쌍곡선을 따라 후자를 자르지만 평면이 꼭지점을 통과하면 쌍곡선은 한 쌍의 직선으로 퇴화됩니다.
§ 3. 원뿔 단면에 대한 역사적 기록.- 원뿔 단면의 기본 특성은 17세기 프랑스 수학자 데카르트와 페르마가 분석 기하학을 발명하기 거의 2000년 전에 그리스 수학자에 의해 발견되었습니다. 원뿔곡선에 관한 논문은 유클리드(기원전 320년경)에 의해 작성되었지만, 1세기 후에 작성된 논문이 결정적으로 이 논문을 능가했습니다. 페르가몬의 아폴로니우스(기원전 250년경); 이 마지막 논문에는 우리가 연구한 기본 특성의 대부분이 포함되어 있습니다.
초점과 준선과 직접 관련된 포물선의 속성은 아폴로니우스가 원뿔 단면에 관해 쓴 8권의 책(장)에 포함되어 있지 않습니다. 그는 또한 중심 부분(즉, 대칭 중심을 갖는 곡선, 즉 타원과 쌍곡선)의 경우 준선을 사용하지 않았습니다. 이러한 개념을 그의 책에 도입했습니다. 수학 컬렉션 알렉산드리아의 파푸스(c. 300 AD), 아마도 그리스의 마지막 수학자일 것입니다.
고대 그리스 수학자들은 순전히 기하학적인 관점에서 이러한 곡선에 관심을 가졌습니다. 그들은 행성의 경로가 원뿔형 단면이라는 것을 몰랐습니다. 그들은 또한 이러한 곡선의 실제 적용을 알지 못했습니다. 그러나 요하네스 케플러와 아이작 뉴턴이 우리가 살고 있는 우주에서 행성 운동의 법칙을 확립할 수 있었던 것은 그리스 기하학자들이 이러한 곡선의 특성을 연구했기 때문이었습니다. 언급된 과학자들과 세계의 태양 중심 이론을 복원한 니콜라우스 코페르니쿠스는 그리스의 순수 기하학에 대한 깊은 전문가였습니다. 그들의 새로운 이론은 바로 이 순수한 기하학에 기초하여 구축되었습니다.
[와 함께. 374~376.]

XXII장에서: 원추형 단면의 적용

§ 1. 일반 사항.- 원뿔 단면(원, 타원, 포물선, 쌍곡선)의 수많은 응용이 이미 각 곡선 연구에 수반되는 문제에서 부분적으로 나타났습니다. 이러한 곡선의 광범위하고 다양하고 유용한 적용은 주로 접선 특성 및 기타 기하학적 특징에 기인합니다. 단순한 기하학적 특성이 1차와 2차의 두 변수를 갖는 대수 방정식으로 표현되는 곡선에 정확하게 속한다는 사실은 대수학과 기하학의 세계에 어떤 조화가 존재함을 나타내는 것 같습니다.

§ 2. 우주의 법칙.- 1529년, 폴란드의 천문학자이자 수학자 코페르니쿠스(1473~1543)는 고대 그리스인들에게 이미 알려진 사실, 태양이 우리가 살고 있는 우주의 중심을 나타낸다는 사실을 재발견하고 확립했습니다. 그는 행성이 원형 궤도를 따라 태양 주위를 돈다고 믿었습니다.
그로부터 약 100년 후, 독일의 위대한 천문학자 케플러(1571~1630)는 다음과 같은 우주 법칙을 확립했습니다.
1. 행성의 궤도는 타원이며, 태양이 초점 중 하나에 있습니다.
2. 태양과 움직이는 행성을 연결하는 반경 벡터는 동일한 시간 동안 동일한 영역을 설명합니다(각 행성에 대해 개별적으로).
3. 각 행성의 완전한 회전 시간의 제곱은 태양으로부터의 평균 거리의 세제곱에 비례합니다.
,
여기서 와 는 두 행성의 궤도 주기이고, 는 궤도의 직경입니다.
케플러는 그의 모든 전임자들, 특히 원뿔 단면의 특성에 대한 완전한 연구를 수행한 그리스 수학자뿐만 아니라 세심한 관찰을 제공한 Dane Tycho Brahe(1546 - 1601)의 작업 덕분에 자신의 발견을 이룰 수 있었습니다. 행성의 움직임에 관한 필요한 사실 데이터.
뉴턴(1642~1727)은 우리 주변 세계의 운동 법칙을 체계화하는 작업을 완료하여 두 물체의 상호 인력이 두 물체 사이의 거리의 제곱에 반비례하고 질량에 정비례한다는 것을 보여주었습니다. 또한 뉴턴은 이 가정이 태양과 모든 행성의 경우 타원 운동으로 이어진다는 것을 보여주었습니다.
태양계 내에서 단 한 번만 나타나는 혜성의 경로는 알려진 바와 같이 포물선 또는 아마도 쌍곡선이며 이심률은 1에 가깝습니다.
[와 함께. 391~392.]

§ 6. 건축 및 교량 건설에 원추형 단면 적용.- 이른바 '황금 비율'은 의심할 여지없이 형태의 아름다움과 수치적 관계가 긴밀하게 연관되어 있음을 잘 보여줍니다.

이 문제에 대해 유능한 사람들의 만장일치로 인정한 바에 따르면, 직사각형의 긴 변이 짧은 변과 거의 같은 방식으로 연관되어 있는 경우 직사각형의 치수가 예술적인 관점에서 가장 만족스럽다고 합니다. 측면은 양측의 차이점과 관련이 있습니다. 즉, 직사각형의 밑변이 주어지면 "황금 비율"을 사용하여 형태의 가장 큰 아름다움이라는 의미에서 원하는 높이를 찾습니다. 즉, 주어진 세그먼트를 극단 및 평균 비율로 나눕니다. . 예를 들어 밑이 40인 경우 높이는 다음 방정식으로 결정됩니다.
;
이는 에 대해 이차 방정식으로 이어집니다. 결과 직사각형에서 직사각형의 짧은 변에 정사각형을 잘라서 원래 직사각형과 유사한 직사각형을 얻는 것은 놀랍습니다. 원래 직사각형의 긴 면에 정사각형을 추가하면 비슷한 직사각형이 생성됩니다.
우리는 형식의 단순성과 해당 대수 방정식의 단순성 사이에 분명히 존재하는 연결의 예를 이미 접했습니다. 따라서 직선은 두 개의 변수를 갖는 가장 간단한 대수 방정식, 즉 1차 방정식으로 표현됩니다. 디자인 측면에서 가장 단순한 곡선인 원은 특히 단순한 유형의 이차 방정식으로 표현됩니다. 두 변수의 다른 모든 유형의 이차 방정식은 세 가지 추가 곡선 클래스, 즉 타원, 포물선 및 쌍곡선에만 해당합니다. 이러한 2차 곡선(원추형 단면)의 형태가 우리에게 주는 예술적 만족감은 이러한 형태가 기존 예술가와 신진 예술가 모두에서 널리 사용된다는 사실로 확인됩니다.
아치를 구성할 때 기하학적 형태의 아름다움은 해당 대수방정식의 단순성과 가장 밀접하게 관련되어 있음이 밝혀졌습니다. 포물선과 타원은 형태의 아름다움뿐만 아니라 이러한 구조의 무게로 인한 응력과 변형에 대한 순전히 기계적 적응성 때문에 아치형 구조에 널리 사용됩니다. 교량 건설 문제에 관해 한 저명한 전문가 *는 “아치는 완벽한 곡선을 나타내야 한다”고 말하면서 소위 “거짓” 타원을 사용하는 것을 경고합니다.

규칙적인 타원과 포물선이 세계에서 가장 큰 다리에서 자주 발견된다는 사실은 형태의 아름다움을 타원형 및 포물선 아치에 귀속시키는 이론이 얼마나 널리 받아들여지고 있는지를 보여줍니다.
뉴욕의 거대한 Hell-Gate Bridge에서 주요 아치는 기하학적으로 규칙적인 포물선을 나타냅니다(문제 11, Chapter XIX, § 11 참조). 런던 브리지에서 구조물의 주요 부분은 5개의 타원형 아치로 구성되어 있습니다. 아주 드물기는 하지만 과장법도 교량 건설에 사용됩니다. 부분적으로 그리기가 더 쉽기 때문에 원형 (반원형) 아치가 훨씬 더 널리 퍼져 있으며 중심이 다른 여러 원호를 사용하여 구성된 타원 또는 포물선에 대한 근사치도 있습니다.
교량 및 지붕 슬래브 건설에 포물선 호를 사용하는 경우 최소한 네 가지 유형을 구분할 수 있습니다. 첫 번째 유형은 포물선을 따라 늘어진 케이블이 있는 현수교(체인)로 표현됩니다. 두 번째 유형에는 포물선형 아치의 상단이 도로 아래에 있는 경우가 포함됩니다. 세 번째 유형의 교량에서는 포물선형 아치가 도로를 가로지릅니다. 마지막으로, 천장의 경우처럼 포물선형 아치가 경로 전체 위에 위치하는 구조는 네 번째 유형에 속합니다.
타원형 또는 덜 자주 포물선 모양의 호는 일반적으로 대형 극장 및 기타 홀의 디자인에 사용됩니다.
홈통을 설계할 때 원형 및 말굽 모양만큼 자주 사용되지는 않지만 포물선형 및 순수 타원형 아치도 사용됩니다. 때로는 완전히 기하학적으로 규칙적인 타원이 사용되기도 합니다(아래 문제 6 참조).
1. 마지막 단락의 2차 방정식을 풀고 곡선을 그려서 답을 확인합니다.
2. 높이가 40인 직사각형의 너비는 직사각형의 가장 아름다운 모양에 해당하는 너비의 "황금비"의 결과로 얻어지면 얼마입니까?
3. 미국 피츠버그에 있는 다리는 포물선 모양의 아치형으로 경간 길이가 108m, 높이가 13.5m입니다. 이 포물선을 그리세요. 수직 기둥이 6m 길이의 패널로 분리되어 있고 아치 꼭대기에서 4.5m 높이로 솟아 있다고 가정하고 그 길이는 얼마인지 구하십시오.
4. 이전 문제에서 설명한 다리 자체로 이어지는 작은 아치는 모양이 타원형으로 보입니다. 스팬은 8.4m이고 아치 자체의 높이는 약 2.4m입니다. 그려보세요.
5. 한 배수구에는 폭 1.8m, 높이 1.2m의 포물선형 아치형 천장이 있습니다. 이 아치의 10개 점을 구성합니다.
6. 1910년에 건설된 시카고의 하수구 중 하나는 단면이 3.6 × 4.2m인 수직 타원체입니다. 이 부분의 모양을 그려보세요.
7. 각각 폭이 30m, 높이가 9m인 타원형 및 포물선형 아치를 그립니다. 서로 비교하십시오.
8. 규모를 사용하여 폭이 488m이고 투표율이 55m인 Williamsborg 현수교(그림 153)의 포물선 호를 만듭니다. 축을 적절하게 선택하여 가장 간단한 형식으로 방정식을 작성합니다. 케이블에서 포물선 꼭지점의 접선까지 네 기둥의 길이는 얼마입니까?
* G. H. 티렐, 예술적 교량 설계, 시카고, 1912.

[와 함께. 399~403.]

26장에서: 진동 운동
대부분의 경우 완전한 사이클의 시간을 일반 광섬유에 정수 단위의 형태로 적용하는 것이 편리한 것으로 나타났으며, 단위의 값은 주기의 값에 따라 달라집니다. 1분 주기로 회전하는 경우 가로축의 단위는 10초로 취할 수 있고, 세로축의 단위는 반지름의 길이와 동일하게 취할 수 있다. 결과 곡선은 정현파와 거의 다르지 않습니다. 두 좌표축의 길이 단위가 동일합니다. 가장 높은 점과 가장 낮은 점은 가로축 15와 45에 나타납니다. 순간: 0, 5, 7.5, 10, 15, 20, 30초는 0, 30°, 45°, 60°, 90°, 120° 및 180의 각도에 해당합니다. °.

물리학자와 엔지니어는 일반적으로 자주 발생하는 사인 곡선을 그리기 위해 다음과 같은 순수 그래픽 기술을 사용합니다. 먼저, 원점에 중심을 두고 지름이 원하는 진폭과 동일한 원을 그립니다. 축 사이의 각도는 반으로 나눈 다음 다시 반으로 나눕니다(원하는 만큼). 전체 주기를 묘사하는 데 적합한 길이의 세그먼트가 수평 축에 배치되고 원이 축과 이등분선으로 나누어지는 만큼의 동일한 부분(보통 16개)으로 나뉩니다.
[와 함께. 466~467.]

27장: 성장의 법칙
§ 5. 상처 치유 진행 곡선.- 유기물 성장의 법칙과 "유기물 감소"의 법칙을 표현하는 공식과 밀접한 관련이 있는 최근에 발견된 법칙은 대수적으로는 방정식의 형태로, 그래픽적으로는 곡선 형태로 관련되어 있으며, 유기물의 표면적은 상처가 무균 또는 무균 상태가 된 이후 발생한 시간을 일수로 표시하는 상처입니다. 소독액으로 세척하고 헹궈서 무균 상태에 도달하면 일반적으로 4일 후에 이루어진 두 가지 관찰을 기반으로 소위 "개인 지수"가 계산됩니다. 상처 부위에 대한 두 가지 측정과 함께 이 지수를 통해 임상의는 특정 개인에 대한 상처 표면 감소의 정상적인 진행을 결정할 수 있습니다. 투명한 종이에 상처의 윤곽을 세심하게 그린 후 면적계라는 수학적 도구를 사용하여 상처의 면적을 측정합니다.

x축은 관찰시간을 일수로 표시하고, 세로축은 상처의 면적을 표시하였다. 면적을 각각 관찰하고 계산한 후, 이렇게 얻은 점은 이상 또는 예언 곡선(예측 곡선)이 구성되는 동일한 축 시스템에 표시됩니다. 이러한 이상적인 곡선 두 개와 실제 관찰된 곡선이 다이어그램에 표시되어 있습니다.
관찰된 영역이 이상적인 곡선에 의해 결정된 영역보다 눈에 띄게 큰 경우 이는 상처에 여전히 감염이 있음을 나타냅니다. 이러한 경우는 두 번째 다이어그램에 나와 있습니다. 다음과 같은 극도로 놀랍고 아직 설명할 수 없는 현상이 종종 관찰됩니다. 상처 표면이 이상적인 곡선이 보여주는 것보다 훨씬 빨리 치유되면 2차 궤양이 발생하여 곡선이 정상으로 돌아갑니다. 첫 번째 다이어그램은 이러한 유형입니다.

수학을 의학에 적용한 것은 주로 록펠러 의학 연구소의 알렉시스 카렐(Alexis Carrel) 박사 덕분입니다. 그는 상처의 표면적이 클수록 더 빨리 치유되며, 치유 속도는 상처의 면적에 비례하는 것 같다는 사실을 관찰했습니다. 그러나이 비례 계수는 상처 부위의 모든 값에 대해 동일하지 않습니다. 그렇지 않으면 다음 형식의 방정식이 있습니다.
,
여기서 는 멸균 상태가 되는 순간과 다이어그램에 기록된 관찰이 시작되는 순간의 상처 면적을 나타냅니다.
실제로 (이상적인 곡선을 그리기 위해) Dr. Dr.가 제안한 다음 공식이 사용됩니다. 르콩트 뒤 누이(누이는 개인의 나이와 상처의 크기에 따라 계수의 정상값이 있으며, 두 가지 관찰을 통해 결정된 개인 지수는 의심할 여지 없이 개인의 일반적인 건강 상태와 관련된 사실을 드러낸다는 것을 보여주었습니다. *.
[와 함께. 486~489.]

시립 교육 기관

중등학교 제4호

원뿔 단면

완전한

스피리도노프 안톤

11A반 학생

체크됨

코로베이니코바 A.T.

토볼스크 - 2006

소개

원뿔 단면의 개념

원추형 단면의 유형

공부하다

원추형 단면의 구성

분석적 접근

애플리케이션

서지

소개.

목적: 원뿔 단면을 연구합니다.

목표: 원뿔 단면의 유형을 구별하고 동역학 단면을 구성하며 분석적 접근 방식을 적용하는 방법을 배웁니다.

주어진 비율은 방정식 시스템으로 간주될 수 있습니다.

이것은 기원전 3세기에 살았던 페르가의 아폴로니우스(Apollonius of Perga)가 도입한 곡선의 이름이 유래한 곳입니다. 타원(έλλειψις)은 결함, 결함(직선에 대한 원뿔의 각도)을 의미합니다. ; 쌍곡선 (ύπέρβΩλθ) - 과장, 우세 (직선 위의 원뿔 각도); 포물선(παραβολmet) - 근사, 동등(원뿔 각도에서 직각으로). 나중에 그리스인들은 절단면의 경사를 변경함으로써 하나의 원뿔에서 세 개의 곡선을 모두 얻을 수 있음을 발견했습니다. 이 경우 두 개의 공동으로 구성된 원뿔을 가져와 무한대로 확장된다고 생각해야 합니다(그림 1).

축에 수직인 원형 원뿔의 단면을 그린 다음 절단면을 회전시켜 원뿔과의 교차점 중 한 점을 고정시키면 원이 먼저 늘어나서 타원으로 변하는 모습을 볼 수 있습니다. 그런 다음 타원의 두 번째 꼭지점은 무한대로 이동하고 타원 대신 포물선을 얻은 다음 평면도 원뿔의 두 번째 구멍과 교차하여 쌍곡선을 얻습니다.

원뿔 단면의 개념.

직각삼각형이 다리 중 하나를 중심으로 회전할 때, 확장된 빗변은 직원뿔의 표면이라고 하는 원추형 표면을 나타냅니다. 이는 꼭지점을 통과하는 연속적인 일련의 선으로 간주될 수 있으며 생성기라고 합니다. 모든 생성기 생산이라는 동일한 원 위에 놓여 있습니다. 각 생성선은 회전 삼각형(알려진 위치)으로 양방향으로 무한대로 확장됩니다. 따라서 각 모선은 꼭지점의 양쪽으로 확장되어 결과적으로 표면에 두 개의 공동이 있습니다. 공통 꼭지점의 한 지점에서 수렴합니다. 그러한 표면이 평면과 교차하면 단면은 원추 단면이라고 불리는 곡선을 생성합니다. 세 가지 유형이 있습니다.

1) 평면이 모든 모선을 따라 원추형 표면과 교차하는 경우 하나의 공동만 해부되고 해당 단면에서 타원이라는 닫힌 곡선이 얻어집니다.

2) 절단 평면이 두 공동을 교차하는 경우 두 개의 가지가 있는 곡선이 얻어지며 이를 쌍곡선이라고 합니다.

3) 절단 평면이 생성선 중 하나와 평행하면 포물선이 얻어집니다.

절단 평면이 생성하는 원과 평행하면 원이 얻어지며 이는 타원의 특별한 경우로 간주될 수 있습니다. 절단 평면은 하나의 꼭지점에서만 원추형 표면과 교차할 수 있으며, 그런 다음 단면은 타원의 특별한 경우처럼 점을 생성합니다.

정점을 통과하는 평면이 두 공동을 교차하는 경우 단면은 특별한 경우로 간주되는 한 쌍의 교차 선을 생성합니다.

정점이 무한히 멀리 떨어져 있으면 원뿔형 표면이 원통형 표면으로 바뀌고 생성기와 평행한 평면에 의한 단면은 특별한 경우로 한 쌍의 평행선을 제공합니다. 원뿔 단면은 2차 방정식으로 표현되며 일반적인 형식은 다음과 같습니다.

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

2차 곡선이라고 합니다.

원추형 섹션의 유형.

원추형 단면은 세 가지 유형이 있습니다.

1) 절단 평면은 공동 중 하나의 지점에서 원뿔의 모든 생성선과 교차합니다. 교차선은 닫힌 타원 곡선입니다. - ; 타원의 특별한 경우인 원은 절단 평면이 원뿔 축에 수직일 때 얻어집니다.

공부하다.

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

이러한(중앙이라고 불리는) 원뿔 단면에 대한 추가 연구에서는 해당 방정식이 훨씬 더 간단한 형태로 축소될 수 있음을 보여줍니다.

도끼 2 + 우 2 = C,

원추형 섹션의 구성.

원뿔 단면을 평면 곡선으로 정의하는 것은 늘어진 끈을 사용하여 구성하는 방법도 제안합니다.

타원. 주어진 길이의 실 끝이 F 1 및 F 2 지점에 고정되면 (그림 3) 촘촘하게 늘어난 실을 따라 미끄러지는 연필 지점으로 설명되는 곡선은 타원 모양을 갖습니다. 점 F 1과 F 2는 타원의 초점이라고하며, 타원과 좌표축의 교차점 (주축과 단축) 사이의 세그먼트 V 1 V 2 및 v 1 v 2입니다. 점 F 1과 F 2가 일치하면 타원이 원으로 변합니다 (그림 3).

쌍곡선. 쌍곡선을 구성할 때 그림 4a와 같이 점 F1과 F2에 설치된 못을 따라 자유롭게 미끄러지는 실에 연필 끝인 점 P를 고정하고 선분 PF 2가 되도록 거리를 선택합니다. 거리 F 1 F 2 보다 작은 고정 값만큼 세그먼트 PF 1 보다 길다. 이 경우 실의 한쪽 끝은 페그 F1 아래를 통과하고 실의 양쪽 끝은 페그 F2 위로 통과합니다. (연필 끝이 실을 따라 미끄러져서는 안 되므로 실에 작은 고리를 만들고 그 끝을 통과시켜 고정해야 합니다.) 우리는 쌍곡선의 한 가지(PV 1 Q)를 그립니다. 실은 항상 팽팽한 상태를 유지하며 실의 양쪽 끝을 F 2 지점을 지나 아래로 당기고 P 지점이 F 1 F 2 세그먼트 아래에 있을 때 실의 양쪽 끝을 잡고 조심스럽게 풀어줍니다. 먼저 핀 F 1과 F 2를 변경하여 쌍곡선의 두 번째 가지를 그립니다(그림 4).

쌍곡선의 가지는 가지 사이에 교차하는 두 개의 직선에 접근합니다. 쌍곡선의 점근선이라고 불리는 이 직선은 그림 4, b에 표시된 대로 구성됩니다. 모서리

이 선의 계수는 세그먼트 F 2 F 1 에 수직인 점근선 사이 각도의 이등분선 세그먼트가 어디에 있는지와 같습니다. 세그먼트 v 1 v 2는 쌍곡선의 공액 축이라고 불리고 세그먼트 V 1 V 2는 가로 축입니다. 따라서 점근선은 변이 축에 평행한 네 점 v 1, v 2, V 1, V 2를 통과하는 직사각형의 대각선입니다. 이 직사각형을 구성하려면 점 v 1과 v 2의 위치를 지정해야 합니다. 그들은 같은 거리에 있고, 같다

O 축의 교차점에서 이 공식은 다리 Ov 1 및 V 2 O와 빗변 F 2 O가 있는 직각 삼각형의 구성을 가정합니다.

쌍곡선의 점근선이 서로 수직이면 쌍곡선을 등변이라고 합니다. 공통 점근선을 갖지만 가로축과 공액 축이 재배열된 두 쌍곡선을 상호 공액이라고 합니다.

포물선. 타원과 쌍곡선의 초점은 아폴로니우스에게 알려졌지만, 포물선의 초점은 이 곡선을 주어진 점(초점)으로부터 등거리에 있는 점들의 자취로 정의한 파푸스(3세기 후반)에 의해 처음 확립된 것으로 보입니다. 그리고 교장이라고 불리는 주어진 직선. Pappus의 정의에 기초한 인장된 실을 사용한 포물선의 구성은 Isidore of Miletus(VI 세기)에 의해 제안되었습니다(그림 5).

가장자리가 준선과 일치하도록 눈금자를 배치하고 그리기 삼각형 ABC의 다리 AC를 이 가장자리에 연결해 보겠습니다. 길이 AB의 실 한쪽 끝을 삼각형의 꼭지점 B에 고정하고 다른 쪽 끝을 포물선 F의 초점에 고정합니다. 연필 끝으로 실을 당긴 후 가변 점 P의 끝을 눌러 그리기 삼각형의 자유 다리 AB. 삼각형이 자를 따라 움직일 때, 점 P는 초점 F와 준선을 갖는 포물선의 호를 묘사할 것입니다. 왜냐하면 실의 총 길이는 AB와 같고 실 조각은 삼각형의 자유변에 인접해 있기 때문입니다. 따라서 스레드 PF의 나머지 부분은 다리 AB의 나머지 부분, 즉 PA와 동일해야 합니다. 포물선의 V와 축의 교차점을 포물선의 꼭지점이라고 하며, F와 V를 지나는 직선을 포물선의 축이라고 합니다. 초점을 통해 축에 수직인 직선이 그려지면 포물선에 의해 잘린 이 직선의 세그먼트를 초점 매개변수라고 합니다. 타원과 쌍곡선의 경우 초점 매개변수는 유사하게 결정됩니다.

분석적 접근

여기서 모든 계수 A, B, C가 0이 되는 것은 아닙니다. 축의 평행 이동 및 회전을 사용하여 방정식 (1)은 다음 형식으로 축소될 수 있습니다.

도끼 2 + 2 + c = 0

2) a와 b의 부호가 같고 c의 부호가 반대이면 원뿔 단면은 타원입니다. a = b일 때 – 원.

3) a와 b가 서로 다른 부호를 가지면 원뿔 단면은 쌍곡선입니다.

4) a와 b가 서로 다른 부호를 갖고 c = 0이면 원뿔 단면은 두 개의 교차 선으로 구성됩니다.

6) a 또는 b 중 하나가 0이고 다른 계수의 부호가 다른 경우 원뿔 단면은 두 개의 평행선으로 구성됩니다.

8) c = 0이고 a 또는 b도 0이면 원뿔 단면은 두 개의 실제 일치하는 선으로 구성됩니다. (이 경우 원래 방정식 (1)은 2차가 아니기 때문에 방정식은 a = b = 0에 대한 원뿔 단면을 정의하지 않습니다.)

시립 교육 기관

중등학교 제4호

원뿔 단면

완전한

스피리도노프 안톤

11A반 학생

체크됨

코로베이니코바 A.T.

토볼스크 - 2006

소개

원뿔 단면의 개념

원추형 단면의 유형

공부하다

원추형 단면의 구성

분석적 접근

애플리케이션

서지

소개.

목적: 원뿔 단면을 연구합니다.

목표: 원뿔 단면의 유형을 구별하고 동역학 단면을 구성하며 분석적 접근 방식을 적용하는 방법을 배웁니다.

어느 날 델로스 섬에 전염병이 돌았습니다. 섬 주민들은 전염병을 막기 위해 아테네의 아폴로 신전에 있는 입방체 모양의 황금 제단을 두 배로 늘려야 한다고 말한 신탁으로 향했습니다. 섬 주민들은 새 제단을 만들었는데, 그 갈비뼈는 이전 갈비뼈보다 두 배나 컸습니다. 그러나 전염병은 멈추지 않았습니다. 화난 주민들은 오라클로부터 자신의 지시를 오해했다는 소식을 들었습니다. 큐브의 가장자리를 두 배로 늘려야하는 것이 아니라 볼륨, 즉 큐브의 가장자리를 다음과 같이 늘려야합니다.

한 번. 그리스 수학자들이 사용했던 기하 대수학의 관점에서 문제는 다음을 의미합니다. 주어진 세그먼트 a에서 a: x = x: y = y: 2a가 되는 세그먼트 x와 y를 찾습니다. 그러면 세그먼트 x의 길이는 와 같습니다.

주어진 비율은 방정식 시스템으로 간주될 수 있습니다.

이것은 기원전 3세기에 살았던 페르가의 아폴로니우스(Apollonius of Perga)가 도입한 곡선의 이름이 유래한 곳입니다. 타원(έλλειψις)은 결함, 결함(직선에 대한 원뿔의 각도)을 의미합니다. ; 쌍곡선 (ύπέρβΩλθ) - 과장, 우세 (직선 위의 원뿔 각도); 포물선(παραβολmet) - 근사, 동등(원뿔 각도에서 직각으로). 나중에 그리스인들은 절단면의 경사를 변경함으로써 하나의 원뿔에서 세 개의 곡선을 모두 얻을 수 있음을 발견했습니다. 이 경우 두 개의 공동으로 구성된 원뿔을 가져와 무한대로 확장된다고 생각해야 합니다(그림 1).

원뿔 단면의 개념.

직각삼각형이 다리 중 하나를 중심으로 회전할 때, 확장된 빗변은 직원뿔의 표면이라고 하는 원추형 표면을 나타냅니다. 이는 꼭지점을 통과하는 연속적인 일련의 선으로 간주될 수 있으며 생성기라고 합니다. 모든 생성기 같은 원에 안주하는 것을 프로듀싱이라고 합니다. 각 생성기는 양방향으로 무한대로 확장된 회전 삼각형(알려진 위치)의 빗변을 나타냅니다. 따라서 각 모선은 꼭지점의 양쪽으로 확장되어 결과적으로 표면에 두 개의 공동이 있습니다. 공통 꼭지점의 한 지점에서 수렴합니다. 그러한 표면이 평면과 교차하면 단면은 원추 단면이라고 불리는 곡선을 생성합니다. 세 가지 유형이 있습니다.

1) 평면이 모든 모선을 따라 원추형 표면과 교차하는 경우 하나의 공동만 해부되고 해당 단면에서 타원이라는 닫힌 곡선이 얻어집니다.

2) 절단 평면이 두 공동을 교차하는 경우 두 개의 가지가 있는 곡선이 얻어지며 이를 쌍곡선이라고 합니다.

3) 절단 평면이 생성선 중 하나와 평행하면 포물선이 얻어집니다.

정점을 통과하는 평면이 두 공동을 교차하는 경우 단면은 쌍곡선의 특별한 경우로 간주되는 한 쌍의 교차선을 생성합니다.

정점이 무한히 멀리 떨어져 있으면 원뿔형 표면은 원통형 표면으로 바뀌고 생성기와 평행한 평면에 의한 단면은 포물선의 특별한 경우로 한 쌍의 평행선을 제공합니다. 원뿔 단면은 2차 방정식으로 표현되며 일반적인 형식은 다음과 같습니다.

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

2차 곡선이라고 합니다.

원추형 섹션의 유형.

원추형 단면은 세 가지 유형이 있습니다.

공부하다.

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

이러한(중앙이라고 불리는) 원뿔 단면에 대한 추가 연구에서는 해당 방정식이 훨씬 더 간단한 형태로 축소될 수 있음을 보여줍니다.

도끼 2 + 우 2 = C,

원추형 섹션의 구성.

원뿔 단면을 평면 곡선으로 정의하는 것은 늘어진 끈을 사용하여 구성하는 방법도 제안합니다.

원뿔 단면의 개념.

1) 평면이 모든 모선을 따라 원추형 표면과 교차하는 경우 하나의 공동만 해부되고 해당 단면에서 타원이라는 닫힌 곡선이 얻어집니다.

2) 절단 평면이 두 공동을 교차하는 경우 두 개의 가지가 있는 곡선이 얻어지며 이를 쌍곡선이라고 합니다.

3) 절단 평면이 생성선 중 하나와 평행하면 포물선이 얻어집니다.

정점을 통과하는 평면이 두 공동을 교차하는 경우 단면은 쌍곡선의 특별한 경우로 간주되는 한 쌍의 교차선을 생성합니다.

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

2차 곡선이라고 합니다.

원추형 섹션의 유형.

원추형 단면은 세 가지 유형이 있습니다.

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