"놀라운 한계"라는 용어는 교과서 및 교구크게 도움이 되는 중요한 정체성을 나타내기 위해 작업을 단순화한계를 찾기 위해.
하지만 가져올 수경이로움에 대한 한계, 당신은 그것을 잘 볼 필요가 있습니다. 왜냐하면 그들은 찾을 수 없기 때문입니다. 직접 양식, 종종 추가 용어 및 요소가 포함된 추론의 형태입니다. 그러나 먼저 이론을 배운 다음 예제를 수행하면 성공할 것입니다!
좋아요? 서표
첫 번째 현저한 극한은 다음과 같이 작성됩니다($0/0$ 형식의 불확실성).
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$
예 1 계산 한계 $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$
해결책.첫 번째 단계는 항상 동일합니다. 제한 값 $x=0$을 함수로 대체하고 다음을 얻습니다.
$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$
$\left[\frac(0)(0)\right]$ 형식의 불확실성을 얻었고, 이를 해결해야 합니다. 자세히 보면 원래 극한은 첫 번째 주목할만한 극한과 매우 유사하지만 일치하지 않습니다. 우리의 임무는 유사성을 가져오는 것입니다. 다음과 같이 변환해 보겠습니다. 사인 아래의 표현식을 보고, 분모에서도 동일한 작업을 수행하고(상대적으로 $3x$로 곱하고 나누기) 추가로 줄이고 단순화합니다.
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$
위에서 첫 번째 놀라운 극한을 얻었습니다: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text( 조건부 치환 ) y=3x. $$ 대답: $3/8$.
예 2 계산 한계 $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$
해결책.한계 값 $x=0$을 함수로 대체하고 다음을 얻습니다.
$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$
우리는 $\left[\frac(0)(0)\right]$ 형식의 불확실성을 얻었습니다. 단순화에서 첫 번째 놀라운 극한을 사용하여 극한을 변환해 봅시다(세 번!).
$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$
대답: $9/16$.
예 3 극한 찾기 $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$
해결책.그런데 삼각함수 아래에 복잡한 표현이 있다면? 그것은 중요하지 않으며 여기서 우리는 같은 방식으로 행동합니다. 먼저 불확실성 유형을 확인하고 함수에 $x=0$를 대체하고 다음을 얻습니다.
$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$
우리는 $\left[\frac(0)(0)\right]$ 형식의 불확실성을 얻었습니다. $2x^3+3x$로 곱하고 나누기:
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x) ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$
다시 불확실성을 얻었지만 이 경우에는 단지 분수에 불과합니다. 분자와 분모를 $x$로 줄여봅시다:
$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$
대답: $3/5$.
두 번째 현저한 극한은 다음과 같이 작성됩니다($1^\infty$ 형식의 불확정성).
$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$
예 4 극한 $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$ 찾기
해결책.불확실성의 유형을 확인하고 $x=\infty$를 함수에 대입하여 다음을 얻습니다.
$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$
우리는 $\left$ 형식의 불확실성을 얻었습니다. 한도는 두 번째 놀라운 것으로 줄일 수 있습니다. 변환하자:
$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$
괄호로 묶인 표현은 실제로 두 번째 놀라운 극한 $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, 오직 $t=- 3x/2$, 그래서
$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$
대답:$e^(-2/3)$.
실시예 5 극한 $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $
해결책.$x=\infty$를 함수에 대입하고 $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$ 형식의 불확실성을 얻습니다. 그리고 우리는 $\left$가 필요합니다. 따라서 괄호로 묶인 표현식을 변환하여 시작하겠습니다.
$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\right)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$
괄호로 묶인 표현은 실제로 두 번째 멋진 극한 $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, 오직 $t=\ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, 그래서
$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$
첫 번째 주목할 만한 한계는 종종 사인, 아크사인, 탄젠트, 아크탄젠트 및 결과로 발생하는 불확실성 0을 0으로 나눈 값을 포함하는 한계를 계산하는 데 사용됩니다.
첫 번째 현저한 극한에 대한 공식은 다음과 같습니다. $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$
$ \alpha\to 0 $는 $ \sin\alpha \to 0 $를 생성하므로 분자와 분모에 0이 있음을 알 수 있습니다. 따라서 $ \frac(0)(0) $의 불확실성을 나타내기 위해서는 첫 번째 주목할 만한 극한의 공식이 필요합니다.
공식을 적용하려면 두 가지 조건이 충족되어야 합니다.
주목! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ 사인과 분모의 표현은 동일하지만 $ 2x ^2+1 = 1 $, $ x\에서 0 $일 때. 두 번째 조건이 충족되지 않았으므로 공식을 적용할 수 없습니다!
아주 드물게 작업에서 답을 즉시 적을 수있는 깨끗한 첫 번째 멋진 한계를 볼 수 있습니다. 실제로는 모든 것이 조금 더 복잡해 보이지만 이러한 경우 첫 번째 현저한 극한의 결과를 아는 것이 유용할 것입니다. 덕분에 원하는 한계를 빠르게 계산할 수 있습니다.
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$
삼각함수와 불확실성을 포함하는 극한의 계산을 위한 솔루션의 예인 첫 번째 주목할 만한 극한을 고려해 보겠습니다. $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $
| 예 1 |
| $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $ 계산 |
| 해결책 |
|
극한을 고려하고 사인을 포함한다는 점에 유의하십시오. 다음으로 $ x = 0 $를 분자와 분모에 대입하고 0을 0으로 나눈 불확실성을 얻습니다. $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)( 0) $$ 멋진 한계를 적용해야 한다는 두 가지 징후가 있지만 약간의 뉘앙스가 있습니다. 사인 기호 아래의 표현이 분모의 표현과 다르기 때문에 공식을 즉시 적용할 수 없습니다. 그리고 우리는 그것들이 동등해야 합니다. 따라서 분자의 기본 변환을 통해 $2x$로 변환합니다. 이를 위해 별도의 요소로 분수의 분모에서 듀스를 꺼냅니다. $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ , 결국 $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $는 공식에 의해 얻어졌습니다. 문제를 해결할 수 없으면 저희에게 보내주십시오. 우리는 제공할 것입니다 자세한 솔루션. 계산 진행 상황을 파악하고 정보를 수집할 수 있습니다. 이것은 적시에 선생님으로부터 학점을 받는 데 도움이 될 것입니다! |
| 대답 |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$ |
| 예 2 |
| $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ 찾기 |
| 해결책 |
|
항상 그렇듯이 먼저 불확실성의 유형을 알아야 합니다. 0 나누기 0이면 사인의 존재에 주의를 기울입니다. $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ 이 불확실성으로 인해 첫 번째 놀라운 극한의 공식을 사용할 수 있지만 분모의 표현은 사인 인수와 같지 않습니다. 따라서 "이마에"라는 공식을 적용하는 것은 불가능합니다. 사인 인수로 분수를 곱하고 나누어야 합니다: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x-x^ 4)(x ^3+2x)) = $$ 이제 극한의 속성을 설명합니다: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x-x^4 )\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ 두 번째 극한은 공식에 적합하며 1과 같습니다. $ $ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x)(2x- x^4) = $$ 다시 $ x = 0 $를 분수로 대입하고 불확실성 $ \frac(0)(0) $을 얻습니다. 이를 제거하려면 대괄호에서 $ x $를 빼서 줄이는 것으로 충분합니다: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$ |
| 대답 |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$ |
| 예 4 |
| $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $ 계산 |
| 해결책 |
|
$ x=0 $로 대입하여 계산을 시작하겠습니다. 결과적으로 불확실성 $ \frac(0)(0) $을 얻습니다. 극한에는 사인과 탄젠트가 포함되어 있으며, 이는 첫 번째 주목할 만한 극한의 공식을 사용하여 상황의 가능한 발전을 암시합니다. 분수의 분자와 분모를 공식과 결과로 변환해 봅시다. $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ 이제 분자와 분모에서 공식과 결과에 적합한 표현이 있음을 알 수 있습니다. 사인 인수와 탄젠트 인수는 각각의 분모에 대해 동일합니다. $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$ |
| 대답 |
| $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$ |
기사에서 "첫 번째 주목할만한 한계, 솔루션의 예"는이 공식과 그 결과를 사용하는 것이 바람직한 경우에 대해 들었습니다.
첫 번째 현저한 극한은 다음과 같은 평등이라고 합니다.
\begin(방정식)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(방정식)
$\alpha\to(0)$에 대해 우리는 $\sin\alpha\to(0)$를 가지므로, 우리는 첫 번째 놀라운 극한이 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확정성을 드러낸다고 말합니다. 일반적으로 수식 (1)에서 변수 $\alpha$ 대신 사인 기호 아래 및 분모에 다음 두 가지 조건이 충족되는 한 모든 식을 찾을 수 있습니다.
첫 번째 현저한 극한의 추론도 자주 사용됩니다.
\begin(방정식) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(방정식) \begin(방정식) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(방정식) \begin(방정식) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(방정식)
이 페이지에서 11개의 예제가 해결됩니다. 예 번호 1은 공식 (2)-(4)의 증명에 할애됩니다. 예제 #2, #3, #4 및 #5에는 자세한 설명이 있는 솔루션이 포함되어 있습니다. 예제 6-10에는 이전 예제에서 자세한 설명이 제공된 것처럼 주석이 거의 또는 전혀 없는 솔루션이 포함되어 있습니다. 솔루션은 일부를 사용합니다. 삼각법 공식찾을 수 있습니다.
$\frac (0) (0)$의 불확실성과 결합된 삼각 함수의 존재가 첫 번째 주목할 만한 극한을 적용해야 한다는 의미는 아닙니다. 때로는 간단한 삼각 변환으로 충분합니다. 예를 들어 참조하십시오.
예 #1
증명 $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$이므로 다음과 같습니다.
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
$\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ 및 $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ 이므로 그 다음에:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) 대체 $\alpha=\sin(y)$를 만들어 봅시다. $\sin(0)=0$이므로 $\alpha\to(0)$ 조건에서 $y\to(0)$가 됩니다. 또한 $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$인 0의 이웃이 있으므로 다음과 같습니다.
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
등식 $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$가 증명되었습니다.
c) 대체 $\alpha=\tg(y)$를 만들어 봅시다. $\tg(0)=0$이므로 $\alpha\to(0)$ 및 $y\to(0)$ 조건은 동일합니다. 또한 $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$인 0의 이웃이 있으므로 a) 지점의 결과에 따라 다음을 얻게 됩니다.
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
등식 $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$가 증명되었습니다.
등식 a), b), c)는 종종 첫 번째 현저한 극한과 함께 사용됩니다.
예 #2
계산 한계 $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.
이후 $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ 및 $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, 즉 그리고 분수의 분자와 분모는 동시에 0이 되는 경향이 있으며, 여기서 우리는 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확실성을 다루고 있습니다. 수행. 또한, 사인 기호 아래의 표현식과 분모의 표현식이 동일함(즉, 만족됨)을 알 수 있습니다.
따라서 페이지 시작 부분에 나열된 두 조건이 모두 충족됩니다. 이것으로부터 공식이 적용됩니다. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
대답: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
예 #3
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$를 찾습니다.
$\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ 및 $\lim_(x\to(0))x=0$이므로 $\frac( 0 )(0)$, 즉, 수행. 그러나 사인 기호 아래의 식과 분모의 식은 일치하지 않습니다. 여기서 분모의 표현을 다음으로 조정해야 합니다. 원하는 모양. 분모에 $9x$라는 표현이 있어야 합니다. 그러면 참이 됩니다. 기본적으로 분모에 $9$ 인수가 누락되어 있습니다. 입력하기 어렵지 않습니다. 분모의 식에 $9$를 곱하면 됩니다. 당연히 곱하기 $9$를 보상하려면 즉시 $9$로 나누고 다음을 나누어야 합니다.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$
이제 분모와 사인 기호 아래의 표현식은 동일합니다. 극한 $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$에 대한 두 조건이 모두 충족됩니다. 따라서 $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. 이는 다음을 의미합니다.
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
대답: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
예 #4
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$를 찾습니다.
$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ 및 $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$이므로 여기서 우리는 형식 $\frac(0)(0)$. 그러나 첫 번째 현저한 한계의 형태가 깨집니다. $\sin(5x)$를 포함하는 분자는 분모에 $5x$가 필요합니다. 이 상황에서 가장 쉬운 방법은 분자를 $5x$로 나누고 즉시 $5x$를 곱하는 것입니다. 또한 $\tg(8x)$를 $8x$로 곱하고 나누어 분모와 유사한 작업을 수행합니다.
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
$x$만큼 줄이고 상수 $\frac(5)(8)$를 극한 부호에서 벗어나면 다음을 얻습니다.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8배)) $$
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$는 첫 번째 주목할 만한 극한에 대한 요구 사항을 완전히 충족합니다. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$를 찾으려면 다음 공식을 적용할 수 있습니다.
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
대답: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
예 #5
$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$를 찾습니다.
$\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ ($\cos(0)=1$) 및 $\ lim_(x\to(0))x^2=0$인 경우 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확정성을 처리합니다. 그러나 첫 번째 놀라운 극한을 적용하려면 사인(수식을 적용하기 위해) 또는 접선(수식을 적용하기 위해)으로 이동하여 분자에서 코사인을 제거해야 합니다. 다음 변환을 사용하여 이 작업을 수행할 수 있습니다.
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
한계로 돌아가 보겠습니다.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$
분수 $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$는 이미 첫 번째 현저한 극한에 필요한 형식에 가깝습니다. 분수 $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$로 약간의 작업을 하여 첫 번째 놀라운 극한으로 조정해 봅시다(분자와 사인 아래의 표현식이 일치해야 함).
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
고려한 한계로 돌아가 보겠습니다.
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
대답: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
예 #6
극한 $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$를 찾으십시오.
$\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ 및 $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$이므로 우리는 $\frac(0)(0)$의 불확실성을 다루고 있습니다. 첫 번째 놀라운 한계의 도움으로 열어 봅시다. 이를 위해 코사인에서 사인으로 이동합시다. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$이므로 다음과 같습니다.
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
주어진 극한을 sines에 전달하면 다음을 얻게 됩니다.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
대답: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
예 #7
주어진 $\alpha\neq\ 베타에서 한계 $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ 계산 $.
자세한 설명은 이전에 제공되었지만 여기서는 다시 $\frac(0)(0)$의 불확정성이 있음을 주목합니다. 공식을 사용하여 코사인에서 사인으로 이동합시다.
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
위 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\오른쪽| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
대답: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ 알파^2)(2)$.
예 #8
극한 $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$을 찾으십시오.
이후 $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ ($\sin(0)=\tg(0)=0$) 및 $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, 여기서 우리는 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확정성을 다루고 있습니다. 다음과 같이 분해해 보겠습니다.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
대답: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
예 #9
극한 $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$를 찾으십시오.
$\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ 및 $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$이면 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확정성이 있습니다. 확장을 진행하기 전에 새 변수가 0이 되는 방식으로 변수를 변경하는 것이 편리합니다(공식에서 변수 $\alpha \에서 0$로 변경됨). 가장 쉬운 방법은 $t=x-3$ 변수를 도입하는 것입니다. 그러나 추가 변환의 편의를 위해(이 이점은 아래 솔루션 과정에서 볼 수 있음) $t=\frac(x-3)(2)$로 교체하는 것이 좋습니다. 두 대체가 모두 적용 가능하다는 점에 유의하십시오. 이 경우, 두 번째 교체만으로 분수 작업을 줄일 수 있습니다. $x\to(3)$이므로 $t\to(0)$입니다.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\오른쪽| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
대답: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
예 #10
극한 찾기 $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.
다시 우리는 $\frac(0)(0)$의 불확실성을 다루고 있습니다. 확장을 진행하기 전에 새 변수가 0이 되는 방식으로 변수를 변경하는 것이 편리합니다(공식에서 변수는 $\alpha\to(0)$임). 가장 쉬운 방법은 변수 $t=\frac(\pi)(2)-x$를 도입하는 것입니다. $x\to\frac(\pi)(2)$이므로 $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\왼쪽|\frac(0)(0)\오른쪽| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
대답: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
예 #11
극한 구하기 $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\ 파이)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
이 경우 첫 번째 경이로운 극한을 사용할 필요가 없습니다. 참고: 첫 번째 및 두 번째 제한에는 삼각 함수와 숫자만 있습니다. 종종 이러한 종류의 예에서 제한 기호 아래에 있는 표현을 단순화하는 것이 가능합니다. 이 경우 언급된 단순화 및 일부 요인의 감소 후에 불확실성이 사라집니다. 나는 오직 한 가지 목적으로 이 예를 들었습니다: 극한 기호 아래에 삼각 함수가 존재한다고 해서 반드시 첫 번째 주목할 만한 극한의 적용을 의미하지는 않는다는 것을 보여주기 위해서입니다.
$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ 이후 ($\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) 및 $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ ($\cos\frac(\pi)(2)=0$), 그러면 불확실성을 처리하게 됩니다. $\frac(0)(0)$ 형식. 그러나 이것이 첫 번째 현저한 극한을 사용해야 한다는 의미는 전혀 아닙니다. 불확실성을 밝히기 위해서는 $\cos^2x=1-\sin^2x$를 고려하는 것으로 충분합니다.
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Demidovich의 솔루션 책자(No. 475)에도 유사한 솔루션이 있습니다. 두 번째 극한의 경우, 이 섹션의 이전 예에서와 같이 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확실성이 있습니다. 왜 발생합니까? $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ 및 $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ 때문에 발생합니다. 이 값을 사용하여 분자와 분모의 표현식을 변환합니다. 우리 행동의 목적: 분자와 분모의 합계를 제품으로 작성하십시오. 그건 그렇고, 새 변수가 0이 되는 경향이 있도록 유사한 형식 내에서 변수를 변경하는 것이 편리한 경우가 많습니다(예: 이 페이지의 예 9번 또는 10번 참조). 그러나, 이 예원하는 경우 변수 $t=x-\frac(2\pi)(3)$의 변경을 쉽게 구현할 수 있지만 변수를 대체할 필요는 없습니다.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$
보시다시피 첫 번째 놀라운 제한을 적용할 필요가 없었습니다. 물론 원할 경우 이 작업을 수행할 수 있지만(아래 참고 참조) 필수는 아닙니다.
첫 번째 현저한 극한을 사용하는 솔루션은 무엇입니까? 표시/숨기기
첫 번째 현저한 극한을 사용하여 다음을 얻습니다.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ 오른쪽))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 삼)). $$
대답: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
이제 마음의 평화를 가지고 고려 사항으로 전환합니다. 놀라운 한계.
처럼 보입니다.
변수 x 대신에 다음이 있을 수 있습니다. 다양한 기능, 중요한 것은 그들이 0 경향이 있다는 것입니다.
한도를 계산해야 합니다.
보시다시피 이 한계는 첫 번째 놀라운 한계와 매우 유사하지만 이것은 전적으로 사실이 아닙니다. 일반적으로 한도에서 죄를 발견하면 첫 번째 현저한 한도를 사용할 수 있는지 즉시 생각해야합니다.
규칙 1번에 따라 x를 0으로 대체합니다.
우리는 불확실성을 얻습니다.
이제 첫 번째 놀라운 한계를 독립적으로 구성해 봅시다. 이를 위해 간단한 조합을 수행합니다.
그래서 7x가 돋보이도록 분자와 분모를 정리합니다. 익숙한 놀라운 한계가 이미 나타났습니다. 다음을 결정할 때 강조 표시하는 것이 좋습니다.
첫 번째 해결책으로 대체 좋은 예우리는 다음을 얻습니다.
분수를 단순화하십시오:
답변: 7/3.
보시다시피 모든 것이 매우 간단합니다.
형태를 가짐 
, 여기서 e = 2.718281828…은 무리수입니다.
변수 x 대신 다양한 기능이 존재할 수 있으며, 가장 중요한 것은 .
한도를 계산해야 합니다.
여기서 우리는 극한 기호 아래에 정도가 있음을 볼 수 있는데, 이는 두 번째 주목할만한 극한을 적용할 수 있음을 의미합니다.
항상 그렇듯이 규칙 번호 1을 사용합니다. x 대신 대체합니다.
x의 경우 기본은 이고 지수는 4x > , 즉 우리는 형식의 불확실성을 얻습니다.
우리의 불확실성을 밝히기 위해 두 번째 놀라운 극한을 사용합시다. 하지만 먼저 그것을 정리할 필요가 있습니다. 보시다시피 지표에서 존재감을 달성해야합니다. 이를 위해 기본을 3x의 거듭 제곱으로 높이고 동시에 1/3x의 거듭 제곱으로 표현이 변경되지 않도록합니다.
놀라운 한계를 강조하는 것을 잊지 마십시오.
이것들은 정말 놀라운 한계!
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몇 가지 놀라운 한계가 있지만 가장 유명한 것은 첫 번째와 두 번째 놀라운 한계입니다. 이러한 극한에 대한 놀라운 점은 널리 사용되며 수많은 문제에서 발생하는 다른 극한을 찾는 데 사용할 수 있다는 것입니다. 이것이 이번 수업의 실습 부분에서 우리가 할 것입니다. 첫 번째 또는 두 번째 현저한 극한으로 축소하여 문제를 해결하기 위해 이러한 극한의 값은 오랫동안 위대한 수학자에 의해 추론되었기 때문에 여기에 포함된 불확실성을 공개할 필요가 없습니다.
첫 번째 놀라운 한계라디안 단위로 표현되는 동일한 호에 대한 무한히 작은 호의 사인 비율의 한계라고합니다.
첫 번째 주목할만한 한계에 대한 문제 해결로 넘어 갑시다. 참고: 삼각 함수가 극한 부호 아래에 있으면 거의 확실한 신호이 표현은 첫 번째 현저한 한계로 축소될 수 있습니다.
예 1한계를 찾으십시오.
해결책. 대체 엑스 0은 불확실성을 초래합니다.
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분모는 사인이므로 표현은 첫 번째 주목할 만한 극한으로 축소될 수 있습니다. 변환을 시작하겠습니다.
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분모 - 세 x의 사인, 분자에는 x가 하나만 있으므로 분자에서 세 x를 가져와야 함을 의미합니다. 무엇을 위해? 발표 3 엑스 = ㅏ그리고 식을 얻습니다.
그리고 첫 번째 주목할 만한 극한의 변형에 도달합니다.
이 수식에서 x 대신에 어떤 문자(변수)인지는 중요하지 않기 때문입니다.
x에 3을 곱하고 즉시 나눕니다.
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주목할만한 첫 번째 극한에 따라 분수식을 다음과 같이 대체합니다.
이제 마침내 이 한계를 해결할 수 있습니다.
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예 2한계를 찾으십시오.
해결책. 직접 대체는 다시 "0으로 나누기 0" 불확실성으로 이어집니다.
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첫 번째 주목할 만한 극한을 얻으려면 분자의 사인 기호 아래 x와 분모의 x만 같은 계수를 가져야 합니다. 이 계수를 2로 설정합니다. 이를 위해 x에서 아래와 같이 현재 계수를 상상하고 분수로 작업을 수행하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
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예 3한계를 찾으십시오.
해결책. 대체할 때 "0을 0으로 나눈 값"이라는 불확실성을 다시 얻습니다.
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원래 식에서 첫 번째 놀라운 극한을 첫 번째 놀라운 극한으로 곱할 수 있다는 것을 이미 이해하고 있을 것입니다. 이를 위해 분자의 x와 분모의 사인을 같은 인수로 분해하고 x와 사인에 대해 동일한 계수를 얻기 위해 분자의 x를 3으로 나누고 즉시 3을 곱합니다. 우리는 다음을 얻습니다.
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예 4한계를 찾으십시오.
해결책. 다시 우리는 "0 나누기 0"의 불확실성을 얻습니다.
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처음 두 극한의 비율을 얻을 수 있습니다. 분자와 분모를 모두 x로 나눕니다. 그런 다음 사인과 x의 계수가 일치하도록 상위 x에 2를 곱하고 즉시 2로 나누고 하위 x에 3을 곱하고 즉시 3으로 나눕니다.
실시예 5한계를 찾으십시오.
해결책. 그리고 다시 "0 나누기 0"의 불확실성:
우리는 삼각법에서 탄젠트가 사인 대 코사인의 비율이고 코사인 0이 1이라는 것을 기억합니다. 우리는 변환을 수행하고 다음을 얻습니다.
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실시예 6한계를 찾으십시오.
해결책. 삼각함수극한의 부호 아래에서 첫 번째 주목할만한 극한을 적용한다는 아이디어를 다시 제안합니다. 사인 대 코사인의 비율로 나타냅니다.
