인형을 위한 두 번째 멋진 한계. 첫 번째 현저한 한계: 이론 및 예

첫 번째 주목할 만한 한계는 다음 평등이라고 합니다.

\begin(방정식)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(방정식)

$\alpha\to(0)$에 대해 $\sin\alpha\to(0)$가 있으므로 첫 번째 멋진 한계$\frac(0)(0)$ 형식의 불확실성을 나타냅니다. 일반적으로 식 (1)에서 변수 $\alpha$ 대신 사인 기호 아래 분모에서 두 가지 조건이 충족되는 한 모든 표현식을 찾을 수 있습니다.

사인 기호와 분모 아래의 표현식은 동시에 0이 되는 경향이 있습니다. $\frac(0)(0)$ 형식의 불확실성이 있습니다.
사인 기호 아래의 표현식과 분모의 표현식은 동일합니다.

첫 번째 현저한 한계의 결과도 자주 사용됩니다.

\begin(방정식) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(방정식) \begin(방정식) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(방정식) \begin(방정식) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(방정식)

이 페이지에서 11개의 예제가 해결되었습니다. 예 1은 식 (2)-(4)의 증명에 사용됩니다. 예제 #2, #3, #4 및 #5에는 자세한 설명이 포함된 솔루션이 포함되어 있습니다. 예제 6-10에는 이전 예제에서 자세한 설명이 제공되었으므로 설명이 거의 또는 전혀 없는 솔루션이 포함되어 있습니다. 풀 때 찾을 수있는 일부 삼각 공식이 사용됩니다.

$\frac (0) (0)$의 불확실성과 결합된 삼각 함수의 존재가 첫 번째 현저한 한계를 적용해야 한다는 것을 의미하지는 않습니다. 때로는 간단한 삼각 변환으로 충분합니다. 예를 들어 참조하십시오.

예 #1

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ 이후:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

$\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ 및 $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ 이므로 그 다음에:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) $\alpha=\sin(y)$를 대체하도록 합시다. $\sin(0)=0$이므로 $\alpha\to(0)$ 조건에서 $y\to(0)$가 있습니다. 또한 $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$인 0 부근이 있으므로 다음과 같습니다.

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ 가 동일함을 증명합니다.

c) $\alpha=\tg(y)$를 대체하도록 합시다. $\tg(0)=0$이므로 $\alpha\to(0)$ 및 $y\to(0)$ 조건은 동일합니다. 또한 $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$인 0 부근이 있으므로 점 a)의 결과에 따라 다음을 얻습니다.

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ 가 동일함을 증명합니다.

등식 a), b), c)는 종종 첫 번째 현저한 한계와 함께 사용됩니다.

예 #2

계산 한계 $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

$\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ 및 $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, 즉. 분수의 분자와 분모는 동시에 0이 되는 경향이 있으며, 여기서 우리는 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확실성, 즉 수행. 또한 사인 기호 아래의 표현식과 분모의 표현식이 동일하다는 것을 알 수 있습니다(즉, 만족됨).

따라서 페이지 시작 부분에 나열된 두 조건이 모두 충족됩니다. 이에 따라 공식이 적용됩니다. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

대답: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

예 #3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$를 찾습니다.

$\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ 및 $\lim_(x\to(0))x=0$이므로 $\frac( 0 )(0)$, 즉, 수행. 그러나 사인 기호 아래의 표현식과 분모의 표현식은 일치하지 않습니다. 여기서 분모의 표현식을 다음과 같이 조정해야 합니다. 원하는 모양. 분모에 $9x$라는 표현이 필요합니다. 그러면 참이 됩니다. 기본적으로 분모에 $9$ 요소가 누락되어 있습니다. 입력하기 어렵지 않습니다. 분모에 $9$를 곱하기만 하면 됩니다. 당연히 $9$의 곱셈을 보상하려면 즉시 $9$로 나누어 다음과 같이 나누어야 합니다.

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

이제 분모의 표현식과 사인 기호 아래의 표현식이 동일합니다. $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ 한계에 대한 두 조건이 모두 충족됩니다. 따라서 $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$입니다. 그리고 이것은 다음을 의미합니다.

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

대답: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

예 #4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$를 찾습니다.

$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ 및 $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$이므로 여기서 우리는 $\frac(0)(0)$ 형식. 그러나 첫 번째 현저한 한계의 형태가 깨졌습니다. $\sin(5x)$를 포함하는 분자는 분모에 $5x$가 필요합니다. 이 상황에서 가장 쉬운 방법은 분자를 $5x$로 나누고 즉시 $5x$를 곱하는 것입니다. 또한 분모를 사용하여 $\tg(8x)$를 $8x$로 곱하고 나누는 유사한 작업을 수행합니다.

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

$x$만큼 줄이고 상수 $\frac(5)(8)$를 극한 기호에서 빼면 다음을 얻습니다.

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$는 첫 번째 현저한 한계에 대한 요구 사항을 완전히 충족합니다. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$를 찾으려면 다음 공식을 적용할 수 있습니다.

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

대답: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

예 #5

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$를 찾습니다.

$\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ ($\cos(0)=1$) 및 $\ lim_(x\to(0))x^2=0$인 경우 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확정성을 처리합니다. 그러나 첫 번째 멋진 극한을 적용하려면 사인(공식을 적용하기 위해) 또는 탄젠트(공식을 적용하기 위해)로 이동하여 분자에서 코사인을 제거해야 합니다. 다음 변환으로 이를 수행할 수 있습니다.

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

한계로 돌아가 봅시다.

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

분수 $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$는 이미 첫 번째 현저한 한계에 필요한 형식에 가깝습니다. 분수 $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$로 약간 작업해 보겠습니다. 첫 번째 극한으로 조정합니다(분자와 사인 아래의 표현식이 일치해야 함).

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

고려한 한계로 돌아가 보겠습니다.

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

대답: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

예 #6

한계 $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$를 찾습니다.

$\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ 및 $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$이므로 우리는 $\frac(0)(0)$의 불확실성을 다루고 있습니다. 첫 번째 놀라운 한계의 도움으로 그것을 열자. 이를 위해 코사인에서 사인으로 이동해 보겠습니다. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ 이후:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

사인에 대한 주어진 한계를 전달하면 다음을 갖게 됩니다.

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

대답: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

예 #7

$\alpha\neq\ beta가 주어진 $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ 한계 계산 $.

자세한 설명은 앞서 설명했지만 여기서 다시 $\frac(0)(0)$의 불확정성이 있음에 주목합니다. 공식을 사용하여 코사인에서 사인으로 이동해 보겠습니다.

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

위 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\오른쪽| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ 베타(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ 알파^2-\베타^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\베타^2-\alpha^2)(2). $$

대답: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ 알파^2)(2)$.

예 #8

극한 $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$를 찾습니다.

$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ ($\sin(0)=\tg(0)=0$) 및 $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, 여기서 우리는 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확정성을 다루고 있습니다. 다음과 같이 분해해보자.

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

대답: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

예 #9

극한 $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$를 찾습니다.

$\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ 및 $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$인 경우 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확정성이 있습니다. 확장을 진행하기 전에 새 변수가 0이 되는 방식으로 변수를 변경하는 것이 편리합니다(공식에서 변수 $\alpha \to 0$에 유의). 가장 쉬운 방법은 $t=x-3$ 변수를 도입하는 것입니다. 그러나 추가 변환의 편의를 위해(이 이점은 아래 솔루션 과정에서 볼 수 있음) $t=\frac(x-3)(2)$로 대체할 가치가 있습니다. 두 대체 모두 다음에서 적용할 수 있습니다. 이 경우, 두 번째 교체만으로도 분수 작업을 줄일 수 있습니다. $x\to(3)$부터 $t\to(0)$입니다.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\오른쪽| =\left|\begin(정렬)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(정렬)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1입니다. $$

대답: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

예 #10

극한 찾기 $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

다시 $\frac(0)(0)$의 불확실성을 다루고 있습니다. 확장을 진행하기 전에 새 변수가 0이 되는 방식으로 변수를 변경하는 것이 편리합니다(공식에서 변수는 $\alpha\to(0)$입니다). 가장 쉬운 방법은 $t=\frac(\pi)(2)-x$ 변수를 도입하는 것입니다. $x\to\frac(\pi)(2)$ 이후 $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(정렬)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(정렬)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

대답: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

예 #11

한계 찾기 $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) 파이)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

이 경우 첫 번째 멋진 한계를 사용할 필요가 없습니다. 참고: 첫 번째와 두 번째 한계에는 삼각 함수와 숫자만 있습니다. 종종 이러한 종류의 예에서 극한 기호 아래에 있는 표현을 단순화하는 것이 가능합니다. 이 경우 언급한 일부 요소의 단순화 및 축소 후에 불확실성이 사라집니다. 나는 오직 한 가지 목적으로 이 예를 제시했습니다: 극한 기호 아래에 삼각 함수의 존재가 반드시 첫 번째 현저한 극한의 적용을 의미하지는 않는다는 것을 보여주기 위한 것입니다.

$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ ($\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) 및 $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ ($\cos\frac(\pi)(2)=0$를 기억하면 불확실성을 처리해야 합니다. $\frac(0)(0)$ 형식. 그러나 이것이 우리가 첫 번째 현저한 한계를 사용해야 한다는 것을 의미하지는 않습니다. 불확실성을 밝히기 위해 $\cos^2x=1-\sin^2x$를 고려하면 충분합니다.

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Demidovich의 솔루션 북(No. 475)에도 유사한 솔루션이 있습니다. 두 번째 한계에 대해서는 이 섹션의 이전 예에서와 같이 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확실성이 있습니다. 왜 발생합니까? $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ 및 $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ 때문에 발생합니다. 이 값을 사용하여 분자와 분모의 표현식을 변환합니다. 우리 행동의 목적: 분자와 분모의 합을 곱으로 씁니다. 그건 그렇고, 새로운 변수가 0이 되는 경향이 있도록 유사한 형태 내에서 변수를 변경하는 것이 종종 편리합니다(예를 들어, 이 페이지의 예 9번 또는 10번 참조). 그러나 이 예원하는 경우 $t=x-\frac(2\pi)(3)$ 변수를 변경하는 것은 쉽게 구현할 수 있지만 변수를 교체하는 것은 의미가 없습니다.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

보시다시피 첫 번째 멋진 한계를 적용할 필요가 없었습니다. 물론 원하는 경우 수행할 수 있지만(아래 참고 참조) 반드시 필요한 것은 아닙니다.

첫 번째 현저한 한계를 사용하는 솔루션은 무엇입니까? 표시/숨기기

첫 번째 놀라운 한계를 사용하여 다음을 얻습니다.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ 오른쪽))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 삼)). $$

대답: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

첫 번째 현저한 한계는 사인, 아크사인, 탄젠트, 아크탄젠트를 포함하는 한계를 계산하는 데 자주 사용되며 결과적으로 0을 0으로 나눈 불확실성을 계산합니다.

공식

첫 번째 현저한 한계에 대한 공식은 다음과 같습니다. $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$ \alpha\to 0 $는 $ \sin\alpha \to 0 $를 산출하므로 분자와 분모에 0이 있음을 알 수 있습니다. 따라서 $ \frac(0)(0) $의 불확실성을 나타내려면 첫 번째 현저한 극한의 공식이 필요합니다.

공식을 적용하려면 두 가지 조건이 충족되어야 합니다.

분수의 사인과 분모에 포함된 표현식이 동일합니다.
분수의 사인 및 분모 표현식은 0이 되는 경향이 있습니다.

주목! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ 사인 아래의 표현식과 분모의 표현식은 같지만 $ 2x ^2+1 = 1 $, $ x\가 0 $일 때. 두 번째 조건이 충족되지 않아 공식을 적용할 수 없습니다!

결과

아주 드물게, 작업에서 즉시 답을 쓸 수 있는 깨끗한 첫 번째 멋진 한계를 볼 수 있습니다. 실제로 모든 것이 조금 더 복잡해 보이지만 이러한 경우 첫 번째 놀라운 한계의 결과를 아는 것이 유용할 것입니다. 덕분에 원하는 한계를 빠르게 계산할 수 있습니다.

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$

솔루션 예시

삼각 함수와 불확실성을 포함하는 극한 계산에 대한 솔루션의 예인 첫 번째 놀라운 극한을 고려해 보겠습니다. $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $

실시예 1
$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $ 계산
해결책
한계를 고려하고 사인이 포함되어 있음을 확인하십시오. 다음으로 $ x = 0 $를 분자와 분모에 대입하고 0의 불확실성을 0으로 나눈 값을 얻습니다. $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)( 0) $$ 이미 멋진 한계를 적용해야 한다는 두 가지 신호가 있지만 약간의 뉘앙스가 있습니다. 사인 기호 아래의 표현식이 분모의 표현식과 다르기 때문에 공식을 즉시 적용할 수 없습니다. 그리고 우리는 그것들이 평등해야 합니다. 따라서 분자의 기본 변환을 통해 $2x$로 변환합니다. 이를 위해 별도의 인수로 분수의 분모에서 듀스를 제거합니다. $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ , $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $는 공식에 의해 구했습니다. 문제를 해결할 수 없으면 저희에게 보내주십시오. 상세한 솔루션을 제공하겠습니다. 계산 진행 상황에 익숙해지고 정보를 수집할 수 있습니다. 이것은 적시에 교사로부터 학점을 받는 데 도움이 될 것입니다!
대답
$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$

실시예 2
$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ 찾기
해결책
항상 그렇듯이 먼저 불확실성의 유형을 알아야 합니다. 0을 0으로 나눈 값이면 사인의 존재에 주의를 기울입니다. $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ 이 불확실성으로 인해 첫 번째 현저한 극한의 공식을 사용할 수 있지만 분모의 표현은 사인의 인수와 같지 않습니까? 따라서 "이마에"라는 공식을 적용하는 것은 불가능합니다. 분수를 사인 인수로 곱하고 나누어야 합니다. $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x-x^ 4)(x ^3+2x)) = $$ 이제 한계의 속성을 설명합니다. $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x-x^4 )\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ 두 번째 극한은 공식에 딱 맞으며 1과 같습니다. $ $ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x)(2x- x^4) = $$ $ x = 0 $를 분수로 다시 대입하고 불확실성 $ \frac(0)(0) $를 얻습니다. 이를 제거하려면 대괄호에서 $ x $를 가져와서 줄이는 것으로 충분합니다. $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^) 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$
대답
$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$

실시예 4
$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $ 계산
해결책
$ x=0 $를 대입하여 계산을 시작하겠습니다. 결과적으로 불확실성 $ \frac(0)(0) $를 얻습니다. 극한에는 사인과 접선이 포함되어 있는데, 이는 첫 번째 현저한 극한의 공식을 사용하여 상황이 발전할 수 있음을 암시합니다. 분수의 분자와 분모를 공식과 결과로 변환해 보겠습니다. $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ 이제 분자와 분모에 공식과 결과에 적합한 표현이 있음을 알 수 있습니다. 사인 인수와 탄젠트 인수는 각 분모에 대해 동일합니다. $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$
대답
$$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$

"첫 번째 놀라운 한계, 솔루션의 예"라는 기사에서이 공식과 그 결과를 사용하는 것이 바람직한 경우에 대해 들었습니다.

현저한 한계라는 용어는 교과서에서 널리 사용되며, 교구크게 도움이 되는 중요한 정체성을 나타내기 위해 작업을 단순화한계를 찾기 위해.

하지만 가져올 수 있다그 경이로움의 한계, 당신은 그것을 잘 살펴볼 필요가 있습니다. 그것들은 에서 발견되지 않기 때문입니다. 직접 형태, 그리고 종종 추가 용어와 요소를 갖춘 결과의 형태로 나타납니다. 그러나 먼저 이론을 따르고 그 다음에는 예를 들면 성공할 것입니다!

첫 번째 멋진 한계

좋아요? 서표

첫 번째 현저한 한계는 다음과 같이 작성됩니다($0/0$ 형식의 불확실성).

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

첫 번째 놀라운 한계의 결과

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin(ax))(\sin(bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

솔루션 예: 1개의 놀라운 한계

실시예 1 계산 한계 $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

해결책.첫 번째 단계는 항상 동일합니다. 제한 값 $x=0$을 함수에 대입하고 다음을 얻습니다.

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

$\left[\frac(0)(0)\right]$ 형식의 불확실성이 있어 해결해야 합니다. 자세히 보면 원래 한계가 첫 번째 주목할 만한 한계와 매우 유사하지만 일치하지 않습니다. 우리의 임무는 유사성을 가져오는 것입니다. 다음과 같이 변환해 보겠습니다. 사인 아래의 표현식을 보고 분모에서도 동일한 작업을 수행하고(상대적으로 $3x$로 곱하고 나누기) 더 줄이고 단순화합니다.

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

위에서 첫 번째 놀라운 한계를 얻었습니다. $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text( 조건부 치환 ) y=3x. $$ 대답: $3/8$.

실시예 2 계산 한계 $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

해결책.우리는 한계 값 $x=0$를 함수에 대입하고 다음을 얻습니다.

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)(0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$

$\left[\frac(0)(0)\right]$ 형식의 불확실성이 있습니다. 단순화의 첫 번째 멋진 극한을 사용하여 극한을 변환해 보겠습니다(세 번!).

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

대답: $9/16$.

실시예 3 $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

해결책.그러나 삼각 함수 아래에 복잡한 표현식이 있으면 어떻게 될까요? 그것은 중요하지 않으며 여기서 우리는 같은 방식으로 행동합니다. 먼저 불확실성의 유형을 확인하고 $x=0$를 함수에 대입하고 다음을 얻습니다.

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

$\left[\frac(0)(0)\right]$ 형식의 불확실성이 있습니다. $2x^3+3x$로 곱하고 나눕니다.

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x) ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$

다시 불확실성을 얻었지만 이 경우에는 단지 일부일 뿐입니다. 분자와 분모를 $x$만큼 줄여봅시다.

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$

대답: $3/5$.

두 번째 멋진 한계

두 번째 주목할 만한 한계는 다음과 같이 작성됩니다($1^\infty$ 형식의 불확정성).

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$

두 번째 현저한 한계의 결과

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$

솔루션 예: 2개의 놀라운 한계

실시예 4 한계 $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$를 찾습니다.

해결책.불확실성의 유형을 확인하고 $x=\infty$를 함수에 대입하고 다음을 얻습니다.

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

$\left$ 형식의 불확실성이 있습니다. 한도는 두 번째 현저한 것으로 줄일 수 있습니다. 변환해 보겠습니다.

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

대괄호로 묶인 표현식은 실제로 두 번째 멋진 한계 $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, $t=- 3x/2$, 그래서

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

대답:$e^(-2/3)$.

실시예 5 한계 $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$를 찾으십시오. $

해결책.$x=\infty$를 함수에 대입하고 $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$ 형식의 불확실성을 얻습니다. 그리고 $\left$가 필요합니다. 괄호로 묶인 표현식을 변환하여 시작하겠습니다.

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\right)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

대괄호로 묶인 표현은 실제로 두 번째 멋진 한계 $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, $t=\만 frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, 그래서

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

멋진 한계를 찾아라극한 이론을 공부하는 1, 2학년 학생들뿐만 아니라 일부 교사들에게도 어려운 일이다.

첫 번째 현저한 한계의 공식

첫 번째 현저한 한계의 결과 공식을 쓰다
1. 2. 3. 4. 그러나 놀라운 한계의 일반 공식 자체만으로는 시험이나 시험에서 누구에게도 도움이 되지 않습니다. 결론은 실제 작업이 작성되어 위에 작성된 공식이 여전히 도달해야 한다는 것입니다. 그리고 수업을 건너뛰거나, 통신으로 이 과정을 공부하거나, 자신이 설명하는 내용을 항상 이해하지 못하는 교사가 있는 대부분의 학생들은 가장 기본적인 예를 놀라운 한계까지 계산할 수 없습니다. 첫 번째 현저한 한계의 공식에서 삼각 함수가 있는 표현식의 경우 0을 0으로 나눈 것과 같은 불확실성을 조사하는 데 사용할 수 있음을 알 수 있습니다. 먼저 첫 번째 현저한 한계에 대한 일련의 예를 고려하고 두 번째 현저한 한계에 대해 공부하겠습니다.

예 1. 함수 sin(7*x)/(5*x)의 극한 찾기
솔루션: 보시다시피 극한 아래의 함수는 첫 번째 현저한 극한에 가깝지만 함수 자체의 극한은 확실히 1과 같지 않습니다. 한계에 대한 이러한 할당에서 사인 아래 변수에 포함된 동일한 계수를 가진 변수를 분모에서 선택해야 합니다. 이 경우 7로 나누고 곱합니다.

어떤 사람들에게는 그러한 세부 사항이 불필요해 보일 수 있지만 제한을 두는 데 어려움을 느끼는 대부분의 학생들에게는 규칙을 더 잘 이해하고 이론적 자료를 배우는 데 도움이 될 것입니다.
또한 함수의 역 형태가 있는 경우 - 이것은 또한 첫 번째 멋진 한계입니다. 그리고 모든 놀라운 한계는 1과 같기 때문에

1개의 현저한 한계의 결과에도 동일한 규칙이 적용됩니다. 따라서 "첫 번째 놀라운 한계는 무엇입니까?"라고 묻는다면 단위라고 주저 없이 대답해야 합니다.

예제 2. sin(6x)/tan(11x) 함수의 극한 찾기
솔루션: 최종 결과를 이해하기 위해 다음 형식으로 함수를 작성합니다.

현저한 한계의 규칙을 적용하려면 인수를 곱하고 나눕니다.

다음으로, 우리는 극한의 곱의 관점에서 함수의 곱의 극한을 씁니다.

복잡한 공식 없이 몇 가지 삼각 함수의 한계를 찾았습니다. 동화를 위해 간단한 공식경이로운 극한의 결과 1의 공식인 2와 4의 극한을 찾아내고 찾아보세요. 우리는 더 복잡한 작업을 고려할 것입니다.

예 3. 극한 계산 (1-cos(x))/x^2
솔루션: 대입으로 확인할 때 불확실성 0/0 을 얻습니다. 많은 사람들이 그러한 예를 1개의 멋진 한계로 줄이는 방법을 모릅니다. 여기 당신이 사용해야합니다 삼각 공식

이 경우 극한은 명확한 형태로 변환됩니다.

함수를 극한의 제곱으로 줄이는 데 성공했습니다.

예 4. 극한 찾기
솔루션: 대체할 때 친숙한 기능 0/0 을 얻습니다. 그러나 변수는 0이 아닌 Pi에 접근합니다. 따라서 첫 번째 현저한 한계를 적용하기 위해 변수 x에서 이러한 변경을 수행하여 새 변수가 0이 되도록 합니다. 이를 위해 분모를 새로운 변수 Pi-x=y로 표시합니다.

따라서 이전 작업에서 제공된 삼각법 공식을 사용하여 예제는 1개의 멋진 한계로 축소됩니다.

예 5 한계 계산
솔루션: 처음에는 한계를 단순화하는 방법이 명확하지 않습니다. 그러나 예가 있으면 답이 있어야 합니다. 변수가 1이 된다는 사실은 대체할 때 0에 무한대를 곱한 형태의 특이성을 제공하므로 탄젠트는 다음 공식으로 대체되어야 합니다.

그 후, 우리는 원하는 불확실성 0/0을 얻습니다. 다음으로 극한에서 변수의 변경을 수행하고 코탄젠트의 주기성을 사용합니다.

마지막 대체를 통해 놀라운 한계의 추론 1을 사용할 수 있습니다.

두 번째 현저한 한계는 지수와 같습니다.

이것은 실제 문제에서 한계에 도달하는 것이 항상 쉬운 것은 아닌 고전입니다.
계산을 위해서는 다음이 필요합니다. 두 번째 현저한 한계의 결과:
1. 2. 3. 4.
두 번째 놀라운 한계와 그 결과 덕분에 0을 0으로 나누기, 1을 무한대의 거듭제곱, 무한대를 무한대로 나누는 것과 같은 불확실성을 심지어 같은 정도로 탐구할 수 있습니다.

몇 가지 간단한 예부터 시작하겠습니다.

실시예 6 함수의 극한 찾기
솔루션: 2개의 멋진 제한을 직접 적용하면 작동하지 않습니다. 먼저 표시기를 돌려 괄호 안의 용어와 반대 형식을 갖도록 해야 합니다.

이것은 현저한 극한으로 환원하는 기술이며, 실제로 극한의 결과에 대한 공식의 유도입니다.

실시예 7 함수의 극한 찾기
솔루션: 우리는 놀라운 한계의 결과 2의 공식 3에 대한 작업을 가지고 있습니다. 0 대체는 0/0 형식의 특이성을 제공합니다. 규칙에 따라 극한을 높이려면 변수가 로그와 동일한 계수를 갖도록 분모를 돌립니다.

또한 시험을 이해하고 수행하기 쉽습니다. 한계 계산에 있어 학생들의 어려움은 다음과 같은 과제에서 시작됩니다.

실시예 8 기능 한계 계산[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
솔루션: 무한대의 거듭제곱에 대한 유형 1의 특이점이 있습니다. 내 말을 믿지 못한다면 모든 곳에서 "x" 대신 무한대를 대체하고 직접 확인할 수 있습니다. 규칙에 따라 올리기 위해 분자를 괄호 안의 분모로 나눕니다. 이를 위해 먼저 조작을 수행합니다

식을 극한에 대입하고 2개의 현저한 극한으로 바꾸십시오.

극한은 10의 거듭제곱입니다. 대괄호와 도 모두에 변수가 있는 상수는 "날씨"에 영향을 주지 않습니다. 이 점을 기억해야 합니다. 그리고 교사가 "지시등을 돌리지 않겠습니까?"라고 묻는다면 (x-3 에 있는 이 예의 경우) "변수가 무한대가 되는 경향이 있으면 여기에 100을 더하거나 1000을 빼면 한계가 동일하게 유지됩니다!"라고 말합니다.
이 유형의 한계를 계산하는 두 번째 방법이 있습니다. 우리는 다음 작업에서 그것에 대해 이야기할 것입니다.

실시예 9 한계를 찾아라
솔루션: 이제 분자와 분모의 변수를 제거하고 한 기능을 다른 기능으로 바꿉니다. 최종 값을 얻기 위해 현저한 한계의 Corollary 2 공식을 사용합니다.

실시예 10 함수의 극한 찾기
솔루션: 모든 사람이 주어진 제한을 찾을 수 있는 것은 아닙니다. 극한을 2로 올리려면 sin(3x)이 변수이고 지수를 돌려야 한다고 상상해 보십시오.

다음으로 우리는 지표를 도 단위로 씁니다.

중간 인수는 괄호 안에 설명되어 있습니다. 첫 번째와 두 번째 멋진 극한을 사용한 결과 세제곱 지수를 얻었습니다.

예 11. 기능 한계 계산죄(2*x)/로그(3*x+1)
솔루션: 0/0 형식의 불확실성이 있습니다. 또한, 우리는 함수가 두 가지 멋진 한계를 모두 사용하도록 변환되어야 함을 알 수 있습니다. 이전 수학적 변환을 수행해 보겠습니다.

또한 어려움 없이 한계가 값을 취합니다.

이것이 기능을 빠르게 페인팅하고 첫 번째 또는 두 번째 멋진 한계로 줄이는 방법을 배운다면 테스트, 테스트, 모듈에서 편안함을 느낄 수 있는 방법입니다. 위의 극한 구하는 방법 외우기 어려우시면 언제든지 주문 가능 테스트우리의 한계까지.
이렇게 하려면 양식을 작성하고 데이터를 지정하고 예제가 포함된 파일을 첨부하십시오. 우리는 많은 학생들을 도왔습니다 - 우리도 도울 수 있습니다!

몇 가지 놀라운 한계가 있지만 가장 유명한 것은 첫 번째와 두 번째 놀라운 한계입니다. 이러한 한계에 대한 놀라운 점은 널리 사용되며 수많은 문제에서 직면하는 다른 한계를 찾는 데 사용할 수 있다는 것입니다. 이것이 이 수업의 실제 부분에서 수행할 작업입니다. 첫 번째 또는 두 번째 현저한 한계로 줄임으로써 문제를 해결하기 위해 이러한 한계의 값이 위대한 수학자에 의해 오랫동안 추론되어 왔기 때문에 그 안에 포함된 불확실성을 공개할 필요가 없습니다.

첫 번째 놀라운 한계무한히 작은 호의 사인과 동일한 호의 비율의 한계라고 하며, 라디안 단위로 표시됩니다.

첫 번째 현저한 한계에 대한 문제 해결로 넘어 갑시다. 참고: 삼각 함수가 한계 기호 아래에 있으면 거의 확실한 표시이 표현은 첫 번째 현저한 한계로 축소될 수 있습니다.

실시예 1한계를 찾으십시오.

해결책. 대신 대체 엑스 0은 불확실성으로 이어집니다.

분모는 사인이므로 식을 첫 번째 현저한 한계로 줄일 수 있습니다. 변환을 시작하겠습니다.

분모 - 세 x의 사인, 분자에는 x가 하나만 있습니다. 즉, 분자에서 세 x를 가져와야 함을 의미합니다. 무엇을 위해? 선물 3 엑스 = ㅏ그리고 식을 얻습니다.

그리고 우리는 첫 번째 놀라운 한계의 변형에 도달했습니다.

이 공식에서 X 대신 어떤 문자(변수)가 있는지는 중요하지 않기 때문입니다.

x에 3을 곱하고 즉시 나눕니다.

언급된 첫 번째 현저한 한계에 따라 분수 표현식을 다음과 같이 바꿉니다.

이제 마침내 이 한계를 해결할 수 있습니다.

실시예 2한계를 찾으십시오.

해결책. 직접 대체는 다시 "0으로 나누기" 불확실성으로 이어집니다.

첫 번째 놀라운 한계를 얻으려면 분자의 사인 기호 아래에 있는 x와 분모의 x가 동일한 계수를 가져야 합니다. 이 계수를 2로 둡니다. 이렇게 하려면 x에서의 현재 계수를 아래와 같이 상상하고 분수로 작업을 수행하면 다음을 얻습니다.

실시예 3한계를 찾으십시오.

해결책. 대체할 때 "0을 0으로 나눈" 불확실성을 다시 얻습니다.

당신은 아마도 원래의 표현에서 첫 번째 놀라운 한계에 첫 번째 놀라운 한계를 곱한 값을 얻을 수 있다는 것을 이미 이해하고 있을 것입니다. 이를 위해 분자의 x의 제곱과 분모의 사인을 동일한 인수로 분해하고, x와 사인에 대한 동일한 계수를 얻기 위해 분자의 x를 3으로 나누고 즉시 3을 곱합니다. 우리는 다음을 얻습니다.