직선이 점 M 1 (x 1; y 1)과 M 2 (x 2; y 2)를 통과하도록 합니다. 점을 통과하는 직선의 방정식 미디엄 1 형식은 y- y 1 \u003d 케이 (x - x 1), (10.6)
어디 케이 - 아직 알려지지 않은 계수.
직선이 점 M 2 (x 2 y 2)를 통과하기 때문에 이 점의 좌표는 방정식 (10.6)을 충족해야 합니다. y 2 -y 1 \u003d 케이 (x 2 -x 1).
여기에서 찾은 값을 대체합니다. 케이
방정식 (10.6)으로 점 M 1과 M 2를 통과하는 직선의 방정식을 얻습니다.
이 방정식에서 x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2라고 가정합니다.
x 1 \u003d x 2이면 점 M 1 (x 1, y I) 및 M 2 (x 2, y 2)를 통과하는 직선은 y 축과 평행합니다. 그 방정식은 엑스 = 엑스 1 .
y 2 \u003d y I이면 직선의 방정식은 y \u003d y 1로 쓸 수 있으며 직선 M 1 M 2는 x 축에 평행합니다.
직선이 점 M 1 (a; 0)에서 Ox 축과 교차하고 Oy 축-점 M 2 (0; b)에서 교차하도록하십시오. 방정식은 다음 형식을 취합니다. 
저것들. 
. 이 방정식은 세그먼트의 직선 방정식 숫자 a와 b는 좌표축에서 직선이 잘리는 세그먼트를 나타냅니다..
주어진 0이 아닌 벡터 n = (A; B)에 수직인 주어진 점 Mo (x O; y o)를 통과하는 직선의 방정식을 찾아봅시다.
임의의 점 미디엄(x; y) 직선에서 벡터 M 0 M (x - x 0; y - y o)를 고려하십시오(그림 1 참조). 벡터 n과 M o M은 수직이므로 스칼라 곱은 0입니다. 즉,
A(x - xo) + B(y - 요) = 0. (10.8)
방정식 (10.8)은 주어진 벡터에 수직인 주어진 점을 지나는 직선의 방정식 .
선에 수직인 벡터 n = (A; B)를 법선이라고 합니다. 이 선의 법선 벡터 .
방정식 (10.8)은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. 아 + 우 + C = 0 , (10.9)
여기서 A와 B는 법선 벡터의 좌표이며 C \u003d -Ax o - Vu o - 자유 멤버입니다. 방정식 (10.9) 있다 일반 방정식똑바로(그림 2 참조).
그림 1 그림 2
,
어디에 
는 직선이 통과하는 점의 좌표이고, 
- 방향 벡터.
원은 중심이라고 하는 주어진 점에서 등거리에 있는 평면의 모든 점의 집합입니다.
반지름 원의 정식 방정식
아르 자형 점을 중심으로 
:
특히 말뚝의 중심이 원점과 일치하면 방정식은 다음과 같습니다. 
타원
타원은 평면에 있는 점들의 집합으로 각 점에서 주어진 두 점까지의 거리의 합입니다.
그리고 
초점이라고 하는 는 상수 값입니다. 
, 초점 사이의 거리보다 큰 
.
초점이 Ox 축에 있고 원점이 초점 사이의 중간에 있는 타원의 표준 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 
G 
드ㅏ 주요 반축의 길이;비 부 반축의 길이입니다(그림 2).
이 기사는 주어진 두 점을 통과하는 직선 방정식의 유도를 보여줍니다. 직사각형 시스템평면에 위치한 좌표. 직교좌표계에서 주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식을 유도한다. 다루는 자료와 관련된 몇 가지 예시를 시각적으로 보여주고 풀어드립니다.
Yandex.RTB R-A-339285-1
주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하기 전에 몇 가지 사실에 주의를 기울여야 합니다. 평면 위의 두 개의 일치하지 않는 점을 통해 직선을 그릴 수 있고 오직 하나만 가능하다는 공리가 있습니다. 즉, 평면의 주어진 두 점은 이 점을 지나는 직선에 의해 결정됩니다.
평면이 직교 좌표계 Oxy로 주어지면 평면에 표시된 직선은 평면의 직선 방정식에 해당합니다. 직선의 방향 벡터와의 연관성도 있는데, 이 데이터는 주어진 두 점을 통과하는 직선의 방정식을 작성하기에 충분합니다.
유사한 문제를 해결하는 예를 고려하십시오. 직교 좌표계에 위치한 두 개의 불일치 점 M 1 (x 1, y 1)과 M 2 (x 2, y 2)를 통과하는 직선 a의 방정식을 구성해야 합니다.
x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y 형식을 갖는 평면 위의 직선의 정식 방정식에서 직각 좌표계 O x y는 좌표가 M인 점에서 교차하는 직선으로 지정됩니다. 1 (x 1, y 1) 가이드 벡터 a → = (a x , a y) .
작성하는 것이 필요하다 정식 방정식직선 a 좌표가 있는 두 점을 통과합니다. M 1 (x 1, y 1) 및 M 2 (x 2, y 2) .
직선 a는 점 M 1과 M 2를 교차하기 때문에 좌표 (x 2 - x 1, y 2 - y 1)가 있는 방향 벡터 M 1 M 2 →를 갖습니다. 방향 벡터 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1)의 좌표와 그 위에 놓인 점 M 1의 좌표로 표준 방정식을 변환하기 위해 필요한 데이터를 얻었습니다. (x 1, y 1) 및 M 2 (x 2 , y 2) . x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 또는 x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 형식의 방정식을 얻습니다.
아래 그림을 고려하십시오.
계산 후 좌표가 M 1 (x 1, y 1) 및 M 2 (x 2, y 2) 인 두 점을 통과하는 평면에서 직선의 매개 변수 방정식을 작성합니다. x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ 또는 x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ 형식의 방정식을 얻습니다. y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.
몇 가지 예를 자세히 살펴보겠습니다.
예 1
좌표가 M 1-5 , 2 3 , M 2 1 , -1 6 인 주어진 두 점을 통과하는 직선의 방정식을 작성하십시오.
해결책
좌표 x 1 , y 1 및 x 2 , y 2 의 두 점에서 교차하는 직선에 대한 정식 방정식은 x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 형식을 취합니다. 문제의 조건에 따르면 x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 · 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6입니다. 방정식 x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 에서 숫자 값을 대체해야 합니다. 여기에서 표준 방정식은 x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 형식을 취한다는 것을 알 수 있습니다.
답: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .
다른 유형의 방정식으로 문제를 해결해야 하는 경우 시작을 위해 표준 방정식으로 이동할 수 있습니다.
예 2
O x y 좌표계에서 좌표가 M 1 (1, 1) 및 M 2 (4, 2)인 점을 통과하는 직선의 일반 방정식을 작성하십시오.
해결책
먼저 주어진 두 점을 통과하는 주어진 직선의 표준 방정식을 작성해야 합니다. x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 형식의 방정식을 얻습니다.
정식 방정식을 원하는 형식으로 가져오면 다음을 얻습니다.
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
대답: x - 3y + 2 = 0 .
이러한 작업의 예는 대수 수업의 학교 교과서에서 고려되었습니다. 학교 과제는 직선의 방정식과 기울기 계수, 형식은 y = k x + b 입니다. 방정식 y \u003d k x + b가 점 M 1 (x 1, y 1) 및 M을 통과하는 O x y 시스템의 선을 정의하는 기울기 k 값과 숫자 b를 찾아야 하는 경우 M 2 (x 2, y 2) , 여기서 x 1 ≠ x 2 . x 1 = x 2일 때 , 기울기는 무한대 값을 취하고 선 M 1 M 2는 일반에 의해 정의됩니다. 불완전한 방정식형식 x - x 1 = 0 .
점 때문에 남 1그리고 남2직선에 있으면 좌표는 방정식 y 1 = k x 1 + b 및 y 2 = k x 2 + b를 충족합니다. k와 b에 대해 방정식 y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b의 시스템을 풀 필요가 있습니다.
이를 위해 k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 또는 k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
이러한 k 및 b 값을 사용하여 주어진 두 점을 통과하는 직선의 방정식은 다음 형식을 취합니다. y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 또는 y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
한 번에 엄청난 수의 공식을 암기하는 것은 효과가 없습니다. 이를 위해서는 문제 해결의 반복 횟수를 늘릴 필요가 있습니다.
예 3
좌표가 M 2 (2, 1)이고 y = k x + b인 점을 통과하는 기울기가 있는 직선 방정식을 작성합니다.
해결책
문제를 해결하기 위해 y \u003d k x + b 형식의 기울기가 있는 공식을 사용합니다. 계수 k 및 b는 이 방정식이 좌표가 M 1 (-7 , -5) 및 M 2 (2 , 1)인 두 점을 통과하는 직선에 해당하는 값을 가져야 합니다.
포인트들 남 1그리고 남2직선에 있는 경우 좌표는 방정식 y = k x + b 올바른 평등을 반전해야 합니다. 여기에서 우리는 - 5 = k · (- 7) + b 및 1 = k · 2 + b를 얻습니다. 방정식을 시스템 - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b에 결합하고 해결해 봅시다.
대체시, 우리는 그것을 얻습니다
5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7k k = 23⇔b = -5 +723k = 23⇔b = -13k = 23
이제 k = 2 3 및 b = - 1 3 값이 방정식 y = k x + b로 대체됩니다. 주어진 점을 통과하는 원하는 방정식은 y = 2 3 x - 1 3 형식의 방정식이 됩니다.
이 해결 방법은 지출을 미리 결정합니다. 큰 수시각. 작업이 문자 그대로 두 단계로 해결되는 방법이 있습니다.
우리는 M 2 (2, 1) 및 M 1 (- 7, - 5)를 통과하는 직선의 정식 방정식을 씁니다. x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
이제 기울기 방정식으로 넘어 갑시다. x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 입니다.
답: y = 2 3 x - 1 3 .
3차원 공간에서 좌표 M 1(x 1, y 1, z 1) 및 M 2(x 2, y 2, z 2)와 일치하지 않는 두 개의 점을 가진 직교 좌표계 O x y z가 있는 경우, 직선 미디엄 통과 1 미디엄 2 이 선의 방정식을 얻는 것이 필요합니다.
x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z 형식의 정식 방정식과 x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + 형식의 파라메트릭 방정식이 있습니다. a z λ는 방향 벡터 a → = (a x, a y, a z)를 사용하여 좌표가 (x 1, y 1, z 1)인 점을 통과하는 O x y z 좌표계에 선을 설정할 수 있습니다.
스트레이트 M1 M2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) 형태의 방향 벡터를 가집니다. 여기서 선은 점 M 1 (x 1 , y 1 , z를 통과합니다. 1) 및 M 2 (x 2, y 2, z 2), 따라서 표준 방정식은 x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 형식이 될 수 있습니다. 2 - z 1 또는 x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, 파라메트릭 x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ 또는 x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.
공간에서 주어진 두 점과 직선의 방정식을 보여주는 그림을 고려하십시오.
예 4
3차원 공간의 직교 좌표계 O x y z에서 정의된 직선의 방정식을 작성하고 좌표 M 1(2, - 3, 0) 및 M 2(1, - 3, - 5)로 주어진 두 점을 통과합니다. ) .
해결책
표준 방정식을 찾아야 합니다. 왜냐하면 우리 대화하는 중이 야즉, 직선이 주어진 점을 통과할 때 원하는 표준 방정식은 x - x 1 x 2 - x 1 \u003d y - y 1 y 2 - y 1 \u003d z - 지 1 지 2 - 지 1.
조건에 따라 x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5입니다. 필요한 방정식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
답: x - 2 - 1 = y + 30 = z - 5.
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"기하학적 알고리즘" 시리즈의 교훈
안녕하세요, 친애하는 독자 여러분!
오늘 우리는 기하학과 관련된 알고리즘 학습을 시작할 것입니다. 사실은 올림픽 문제계산 기하학과 관련된 컴퓨터 과학에는 많은 문제가 있으며 이러한 문제를 해결하는 데 종종 어려움이 있습니다.
몇 번의 수업에서 우리는 계산 기하학의 대부분의 문제에 대한 솔루션이 기반으로 하는 여러 기본 하위 문제를 고려할 것입니다.
이번 시간에는 프로그램을 작성해보겠습니다. 직선의 방정식 찾기주어진 것을 지나 두 개의 점. 기하학적 문제를 해결하려면 계산 기하학에 대한 지식이 필요합니다. 우리는 그것들을 알아가는 데 수업의 일부를 바칠 것입니다.
계산 기하학은 기하학적 문제를 해결하기 위한 알고리즘을 연구하는 컴퓨터 과학의 한 분야입니다.
이러한 문제에 대한 초기 데이터는 평면의 점 집합, 세그먼트 집합, 다각형(예를 들어 시계 방향으로 정점 목록으로 제공됨) 등이 될 수 있습니다.
결과는 어떤 질문에 대한 대답(예: 점이 세그먼트에 속해 있는지, 두 세그먼트가 교차하는지 등) 또는 일부 기하학적 개체(예: 주어진 점을 연결하는 가장 작은 볼록 다각형, 영역의 영역)일 수 있습니다. 폴리곤 등) .
평면과 데카르트 좌표계에서만 계산 기하학의 문제를 고려할 것입니다.
벡터와 좌표
계산 기하학의 방법을 적용하려면 기하학적 이미지를 숫자의 언어로 변환해야 합니다. 반 시계 방향 회전 방향을 양수라고하는 데카르트 좌표계가 평면에 있다고 가정합니다.
이제 기하학적 개체는 분석적 표현을 받습니다. 따라서 점을 설정하려면 좌표를 지정하는 것으로 충분합니다: 한 쌍의 숫자(x; y). 세그먼트는 끝점의 좌표를 지정하여 지정할 수 있으며 직선은 점 쌍의 좌표를 지정하여 지정할 수 있습니다.
그러나 문제를 해결하는 주요 도구는 벡터가 될 것입니다. 그러므로 그들에 대한 몇 가지 정보를 상기시켜 드리겠습니다.
라인 세그먼트 AB, 포인트가 있습니다 하지만시작(적용점)으로 간주하고 에- 끝을 벡터라고 함 AB또는 굵게 표시 소문자, 예를 들어 ㅏ .
벡터의 길이(즉, 해당 세그먼트의 길이)를 나타내기 위해 모듈 기호(예: )를 사용합니다.
임의의 벡터는 끝점과 시작점의 해당 좌표 간의 차이와 같은 좌표를 갖습니다.
,
여기에 점 ㅏ그리고 비
좌표를 가지고 
각기.
계산을 위해 개념을 사용합니다. 지향각즉, 벡터의 상대 위치를 고려한 각도입니다.
벡터 사이의 지향각 ㅏ 그리고 비 회전이 벡터에서 멀어지면 양수 ㅏ 벡터에 비 양의 방향(시계 반대 방향)으로 수행되고 다른 경우에는 음의 방향으로 수행됩니다. 그림 1a, 그림 1b를 참조하십시오. 또한 한 쌍의 벡터라고 합니다. ㅏ 그리고 비 긍정적 (부정적) 지향.
따라서 지향각의 값은 벡터의 열거 순서에 따라 달라지며 간격에서 값을 가질 수 있습니다.
많은 계산 기하학 문제는 벡터의 벡터(왜도 또는 유사 스칼라) 곱 개념을 사용합니다.
벡터 a와 b의 벡터 곱은 이러한 벡터의 길이와 그 사이 각도의 사인의 곱입니다.
.
좌표에 있는 벡터의 벡터 곱:
오른쪽의 식은 2차 결정자입니다.
해석 기하학에서 주어진 정의와 달리 이것은 스칼라입니다.
외적의 부호는 서로에 대한 벡터의 위치를 결정합니다.
ㅏ 그리고 비 긍정적으로 지향.
값이 이면 벡터 쌍 ㅏ 그리고 비 부정적인 방향.
0이 아닌 벡터의 외적은 동일선상에 있는 경우에만 0입니다( 
). 이것은 그들이 같은 선 또는 평행선에 있다는 것을 의미합니다.
더 복잡한 문제를 해결하는 데 필요한 몇 가지 간단한 작업을 고려해 보겠습니다.
두 점의 좌표로 직선의 방정식을 정의해 봅시다.
좌표에 의해 주어진 두 개의 서로 다른 점을 통과하는 직선의 방정식.
좌표 (x1;y1)와 좌표 (x2; y2)로 두 개의 일치하지 않는 점이 선에 주어집니다. 따라서 점에서 시작하고 점에서 끝나는 벡터는 좌표(x2-x1, y2-y1)를 가집니다. P(x, y)가 우리 라인의 임의의 점이라면 벡터의 좌표는 (x-x1, y - y1)입니다.
외적의 도움으로 벡터의 공선성에 대한 조건은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
저것들. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0
(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0
마지막 방정식을 다음과 같이 다시 작성합니다.
ax + by + c = 0, (1)
c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)
따라서 직선은 형식 (1)의 방정식으로 주어질 수 있습니다.
작업 1. 두 점의 좌표가 주어집니다. ax + by + c = 0 형식으로 표현을 찾습니다.
이 단원에서 우리는 계산 기하학의 일부 정보에 대해 알게 되었습니다. 두 점의 좌표로 직선의 방정식을 찾는 문제를 해결했습니다.
다음 수업에서는 방정식에 의해 주어진 두 선의 교차점을 찾는 프로그램을 작성합니다.
이 기사에서는 평면에서 직선의 일반 방정식을 고려할 것입니다. 이 직선의 두 점을 알고 있거나 한 점과 이 직선의 법선 벡터를 알고 있는 경우 직선의 일반 방정식을 구성하는 예를 들어 보겠습니다. 방정식을 다음으로 변환하는 방법을 제시하겠습니다. 일반적인 견해정식 및 파라메트릭 형식으로 변환합니다.
임의의 데카르트 직교 좌표계를 지정하자 옥시. 1차 방정식 또는 선형 방정식을 고려하십시오.
| 도끼+작성자+C=0, | (1) |
어디 A, B, C일부 상수이며 요소 중 적어도 하나는 ㅏ그리고 비제로와는 다릅니다.
평면의 선형 방정식이 직선을 정의한다는 것을 보여줄 것입니다. 다음 정리를 증명해 보자.
정리 1. 평면 위의 임의의 데카르트 직교 좌표계에서 각 직선은 선형 방정식으로 주어질 수 있습니다. 반대로, 평면의 임의의 데카르트 직교 좌표계의 각 선형 방정식(1)은 직선을 정의합니다.
증거. 라인임을 증명하기에 충분합니다. 엘직교 직교 좌표계의 선형 방정식에 의해 결정되므로 직교 직교 좌표계의 선택에 따라 선형 방정식에 의해 결정됩니다.
비행기에 직선을 주자 엘. 축이 되도록 좌표계를 선택합니다. 황소라인에 맞춰 엘, 그리고 축 오이그것에 수직이었다. 그런 다음 선의 방정식 엘다음과 같은 형식을 취합니다.
| y=0. | (2) |
라인의 모든 포인트 엘선형 방정식 (2)를 충족하고 이 직선 외부의 모든 점은 방정식 (2)를 충족하지 않습니다. 정리의 첫 번째 부분이 증명되었습니다.
데카르트 직교 좌표계가 주어지고 선형 방정식 (1)이 주어지면 요소 중 적어도 하나는 다음과 같습니다. ㅏ그리고 비제로와는 다릅니다. 좌표가 방정식 (1)을 충족하는 점의 궤적을 찾습니다. 계수 중 적어도 하나는 ㅏ그리고 비가 0이 아닌 경우 방정식 (1)에는 적어도 하나의 솔루션이 있습니다. 중(엑스 0 ,와이 0). (예를 들어, 언제 ㅏ≠0, 점 중 0 (−C/A, 0) 주어진 점의 자취에 속함). 이 좌표를 (1)에 대입하면 다음을 얻습니다.
| 도끼 0 +에 의해 0 +씨=0. | (3) |
(1)에서 항등식 (3)을 뺍니다.
| ㅏ(엑스−엑스 0)+비(와이−와이 0)=0. | (4) |
분명히 방정식 (4)는 방정식 (1)과 동일합니다. 따라서 (4)가 어떤 라인을 정의한다는 것을 증명하는 것으로 충분합니다.
우리는 데카르트 직교 좌표계를 고려하고 있기 때문에 등식 (4)에서 구성 요소가 있는 벡터( x-x 0 , y−y 0 )은 벡터와 직교합니다. N좌표( A,B}.
어떤 라인을 고려 엘지점을 통과 중 0 (엑스 0 , 와이 0) 벡터에 수직 N(그림 1). 요점을 보자 중(엑스,y) 라인에 속합니다 엘. 그런 다음 좌표가 있는 벡터 x-x 0 , y−y 0 수직 N방정식 (4)가 충족됩니다(벡터의 스칼라 곱). N 0과 같음). 반대로 포인트라면 중(엑스,y) 선상에 있지 않음 엘, 좌표가 있는 벡터 x-x 0 , y−y 0은 벡터와 직교하지 않습니다. N방정식 (4)가 만족되지 않습니다. 정리가 입증되었습니다.
증거. 선 (5)와 (6)은 동일한 선을 정의하므로 법선 벡터 N 1 ={ㅏ 1 ,비 1) 및 N 2 ={ㅏ 2 ,비 2) 동일 선상에 있습니다. 벡터 이후 N 1 ≠0, N 2 ≠ 0이면 숫자가 있습니다. λ , 무엇 N 2 =N 1 λ . 따라서 우리는: ㅏ 2 =ㅏ 1 λ , 비 2 =비 1 λ . 증명하자 씨 2 =씨 1 λ . 일치하는 선이 있음이 분명합니다. 공통점 중 0 (엑스 0 , 와이 0). 식 (5)를 곱하면 λ 식 (6)을 빼면 다음과 같습니다.
식 (7)의 처음 두 등식이 충족되므로 씨 1 λ −씨 2=0. 저것들. 씨 2 =씨 1 λ . 발언이 입증되었습니다.
방정식 (4)는 점을 통과하는 직선의 방정식을 정의합니다. 중 0 (엑스 0 , 와이 0) 법선 벡터를 가짐 N={A,B). 따라서 직선의 법선 벡터와 이 직선에 속하는 점을 알면 식 (4)를 이용하여 직선의 일반방정식을 구성할 수 있다.
예 1. 한 점을 지나는 선 중=(4,−1)이고 법선 벡터를 가집니다. N=(3, 5). 직선의 일반 방정식을 구성하십시오.
해결책. 우리는: 엑스 0 =4, 와이 0 =−1, ㅏ=3, 비=5. 직선의 일반 방정식을 구성하기 위해 다음 값을 방정식 (4)로 대체합니다.
대답:
선에 평행한 벡터 엘따라서 선의 법선 벡터에 수직입니다. 엘. 법선 벡터를 구성해 봅시다 엘, 을 고려하면 스칼라 곱벡터 N 0과 같습니다. 예를 들어 다음과 같이 작성할 수 있습니다. N={1,−3}.
직선의 일반 방정식을 구성하기 위해 공식 (4)를 사용합니다. 점의 좌표를 (4)에 대입해보자. 중 1(점의 좌표를 취할 수도 있습니다. 중 2) 및 법선 벡터 N:
포인트 좌표 대체 중 1과 중(9)의 2에서 방정식 (9)로 주어진 직선이 이 점들을 통과하는지 확인할 수 있습니다.
대답:
(1)에서 (10) 빼기:
우리는 직선의 정식 방정식을 얻었습니다. 벡터 큐={−비, ㅏ)는 직선(12)의 방향 벡터입니다.
역변환을 참조하십시오.
예 3. 평면의 직선은 다음 일반 방정식으로 표시됩니다.
두 번째 항을 오른쪽으로 옮기고 방정식의 양변을 2 5로 나눕니다.
유클리드 기하학에서 직선의 성질.
모든 점을 통해 그릴 수 있는 선은 무한히 많습니다.
일치하지 않는 두 점을 지나는 직선은 하나뿐입니다.
평면에서 일치하지 않는 두 직선은 한 점에서 교차하거나
병렬(이전 항목에서 이어짐).
에 3차원 공간세 가지 옵션이 있습니다 상대 위치두 개의 직선:
똑바로 선- 1차 대수 곡선: 데카르트 좌표계에서 직선
1차 방정식(선형 방정식)에 의해 평면에 주어집니다.
직선의 일반 방정식.
정의. 평면의 모든 선은 1차 방정식으로 주어질 수 있습니다.
아 + 우 + C = 0,
상수 A, B동시에 0이 아닙니다. 이 1차 방정식은 일반
직선 방정식.상수 값에 따라 A, B그리고 에서다음과 같은 특별한 경우가 가능합니다.
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- 원점을 지나는 선
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- 축에 평행한 직선 오
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- 축에 평행한 직선 OU
. B = C = 0, A ≠ 0- 선이 축과 일치합니다. OU
. A = C = 0, B ≠ 0- 선이 축과 일치합니다. 오
직선의 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 다양한 형태주어진 것에 따라
초기 조건.
점과 법선 벡터에 의한 직선의 방정식.
정의. 데카르트 직교 좌표계에서 구성 요소 (A, B)가 있는 벡터
선에 수직 방정식에 의해 주어진
아 + 우 + C = 0.
예시. 한 점을 지나는 직선의 방정식 구하기 A(1, 2)벡터에 수직 (3, -1).
해결책. A \u003d 3 및 B \u003d -1에서 직선의 방정식을 작성합시다 : 3x-y + C \u003d 0. 계수 C를 찾으려면
주어진 점 A의 좌표를 결과 표현식으로 대체합니다. 3 - 2 + C = 0을 얻습니다.
씨 = -1. 합계: 원하는 방정식: 3x - y - 1 \u003d 0.
두 점을 지나는 직선의 방정식.
공간에 두 점이 주어 지도록하십시오 M1(x1, y1, z1)그리고 M2(x2, y2, z2),그 다음에 직선 방정식,
다음 지점을 통과합니다.
분모 중 하나라도 0이면 해당 분자를 0으로 설정해야 합니다. 에
평면에서 위에 쓰여진 직선의 방정식은 다음과 같이 단순화됩니다.
만약에 엑스 1 ≠ 엑스 2그리고 엑스 = 엑스 1, 만약에 엑스 1 = 엑스 2 .
분수 = 케이~라고 불리는 기울기 계수 똑바로.
예시. 점 A(1, 2)와 B(3, 4)를 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
해결책. 위 공식을 적용하면 다음을 얻습니다.
점과 기울기에 의한 직선의 방정식.
직선의 일반방정식이라면 아 + 우 + C = 0다음 양식을 가져오십시오.
그리고 지정 
, 그러면 결과 방정식이 호출됩니다.
기울기가 k인 직선의 방정식.
점 위의 직선과 방향 벡터의 방정식.
법선 벡터를 통과하는 직선의 방정식을 고려하여 점과 유추하여 작업을 입력할 수 있습니다.
한 점을 지나는 직선과 직선의 방향 벡터.
정의. 0이 아닌 모든 벡터 (α1, α2), 그 구성요소가 조건을 만족하는
Aα1 + Bα2 = 0~라고 불리는 직선의 방향 벡터.
아 + 우 + C = 0.
예시. 방향 벡터가 (1, -1)이고 점 A(1, 2)를 통과하는 직선의 방정식을 구합니다.
해결책. 원하는 직선의 방정식을 다음 형식으로 찾습니다. 도끼 + By + C = 0.정의에 따르면,
계수는 다음 조건을 충족해야 합니다.
1 * A + (-1) * B = 0, 즉 A = B.
그런 다음 직선 방정식의 형식은 다음과 같습니다. Ax + Ay + C = 0,또는 x + y + C / A = 0.
~에 x=1, y=2우리는 얻는다 C/ A = -3, 즉. 원하는 방정식:
x + y - 3 = 0
세그먼트의 직선 방정식.
직선 Ah + Wu + C = 0 C≠0의 일반 방정식에서 -C로 나누면 다음을 얻습니다.
또는 , 여기서
계수의 기하학적 의미는 계수 a가 교차점의 좌표라는 것입니다.
차축이 있는 직선 오,ㅏ 비- 축과 선의 교차점 좌표 OU.
예시. 직선의 일반 방정식이 주어진다. x - y + 1 = 0.세그먼트에서 이 직선의 방정식을 찾으십시오.
C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.
직선의 정규 방정식.
방정식의 양변이 아 + 우 + C = 0숫자로 나누기 
, 호출
정규화 계수, 우리는 얻을
xcosφ + ysinφ - p = 0 -직선의 정규 방정식.
정규화 계수의 부호 ±는 다음과 같이 선택해야 합니다. μ * C< 0.
아르 자형- 원점에서 선까지 내린 수직선의 길이,
ㅏ φ - 축의 양의 방향과 수직이 이루는 각도 오.
예시. 직선의 일반 방정식이 주어지면 12배 - 5년 - 65 = 0. 작성 필수 다른 유형방정식
이 직선.
세그먼트에서 이 직선의 방정식:
이 직선과 기울기의 방정식: (5로 나누기)
직선의 방정식:
cos φ = 12/13; 죄 φ= -5/13; p=5.
모든 직선이 세그먼트의 방정식으로 표현될 수 있는 것은 아닙니다(예: 직선,
축에 평행하거나 원점을 통과합니다.
평면에서 선 사이의 각도.
정의. 두 줄을 주면 y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, 이 선들 사이의 예각
로 정의됩니다
두 직선은 평행인 경우 케이1 = 케이2. 두 직선은 수직이다
만약에 케이 1 \u003d -1 / 케이 2 .
정리.
직접 아 + 우 + C = 0그리고 A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0계수가 비례할 때 평행
A1 \u003d λA, B1 \u003d λB. 만약에 또한 С 1 \u003d λС, 라인이 일치합니다. 두 선의 교점 좌표
이 선의 방정식 시스템에 대한 솔루션으로 발견됩니다.
주어진 점을 지나는 직선의 방정식은 주어진 직선에 수직이다.
정의. 한 점을 지나는 직선 M1(x1,y1)그리고 선에 수직 y = kx + b
방정식으로 표현:
점에서 선까지의 거리입니다.
정리. 포인트가 주어진다면 엠(x 0, y 0),그런 다음 선까지의 거리 아 + 우 + C = 0로써 정의 된:
증거. 요점을 보자 M1(x1,y1)- 점에서 떨어진 수직선의 밑면 중주어진
직접. 그런 다음 점 사이의 거리 중그리고 남 1:
(1)
좌표 × 1그리고 1방정식 시스템에 대한 솔루션으로 찾을 수 있습니다.
시스템의 두 번째 방정식은 주어진 점 M 0을 수직으로 통과하는 직선의 방정식입니다.
주어진 줄. 시스템의 첫 번째 방정식을 다음 형식으로 변환하면:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
그런 다음 해결하면 다음을 얻습니다.
이 식을 방정식 (1)에 대입하면 다음과 같습니다.
정리가 입증되었습니다.
