이산 확률 변수. 이산 확률 변수의 분포 법칙. 이산 확률 변수 및 수치적 특성

교육 기관 "벨로루시 국가

농업 아카데미"

고등수학과

지침

회계 통신 교육 학부 (NISPO) 학생들의 "무작위 변수"주제 연구

고르키, 2013

랜덤 변수

이산 및 연속 확률 변수

확률 이론의 기본 개념 중 하나는 랜덤 변수 . 랜덤 변수 테스트 결과 가능한 값 세트에서 하나만 가져 오는 양이 호출되며 어떤 값인지 미리 알 수 없습니다.

랜덤 변수는 불연속적이고 연속적인 . 이산 확률 변수(DSV) 서로 격리된 유한한 수의 값을 취할 수 있는 확률 변수라고 합니다. 이 수량의 가능한 값을 다시 계산할 수 있는지 여부. 연속 확률 변수(CRV) 임의의 변수가 호출되며 가능한 모든 값은 실제 라인의 특정 간격을 완전히 채웁니다.

랜덤 변수는 라틴 알파벳 X, Y, Z 등의 대문자로 표시됩니다. 확률 변수의 가능한 값은 해당 소문자로 표시됩니다.

녹음
임의의 변수가 발생할 확률을 의미합니다. 엑스값은 5, 0.28"입니다.

실시예 1 . 주사위는 한 번 던집니다. 이 경우 포인트 수를 나타내는 1에서 6까지의 숫자가 나타날 수 있습니다. 확률 변수를 나타냅니다. 엑스=(떨어진 포인트 수). 테스트 결과 이 확률 변수는 1, 2, 3, 4, 5 또는 6의 6가지 값 중 하나만 취할 수 있습니다. 따라서 확률 변수는 엑스 DSV가 있습니다.

실시예 2 . 돌을 던지면 어느 정도 날아간다. 확률 변수를 나타냅니다. 엑스=(스톤 비행 거리). 이 랜덤 변수는 특정 간격의 값을 하나만 사용할 수 있습니다. 따라서 확률변수 엑스 NSW가 있습니다.

이산 확률 변수의 분포 법칙

이산 확률 변수는 취할 수 있는 값과 이러한 값을 취할 확률로 특징지어집니다. 이산의 가능한 값 사이의 일치 랜덤 변수해당 확률은 이산 확률 변수의 분포 법칙 .

가능한 모든 값을 알고 있는 경우
랜덤 변수 엑스및 확률
이러한 값의 출현으로 DSV의 분포 법칙은 엑스알려져 있으며 다음과 같이 표로 작성할 수 있습니다.

DSV 분포 법칙은 점을 직교 좌표계로 그린 경우 그래픽으로 나타낼 수 있습니다.
,
, …,
그리고 직선으로 연결합니다. 결과 그림을 분포 다각형이라고 합니다.

실시예 3 . 청소할 곡물에는 잡초가 10% 포함되어 있습니다. 4개의 곡물이 무작위로 선택됩니다. 확률 변수를 나타냅니다. 엑스=(선택된 4개 중 잡초의 수). DSV 분포 법칙 구축 엑스및 분포 다각형.

해결책 . 예에 따르면. 그 다음에:

DSV X의 분포 법칙을 테이블 형식으로 작성하고 분포 다각형을 만듭니다.

이산 확률 변수의 수학적 기대

이산 확률 변수의 가장 중요한 속성은 특성으로 설명됩니다. 이러한 특성 중 하나는 기대값 랜덤 변수.

DSV 분포 법칙을 알자 엑스:

수학적 기대 DSV 엑스해당 확률에 의한 이 수량의 각 값의 곱의 합을 다음과 같이 부릅니다.
.

확률 변수의 수학적 기대치는 모든 값의 산술 평균과 거의 같습니다. 따라서 실제 문제에서는 종종 기대값이 랜덤 변수의 평균값을 취합니다.

예시 8 . 저격수는 0.1, 0.45, 0.3 및 0.15의 확률로 4, 8, 9 및 10점을 기절시킵니다. 한 번에 포인트 수에 대한 수학적 기대치를 구합니다.

해결책 . 확률 변수를 나타냅니다. 엑스=(득점한 점수). 그 다음에 . 따라서 1발의 예상 평균 득점은 8.2점, 10발의 경우 82점입니다.

주요 속성 수학적 기대치는 다음과 같습니다.

, 어디
,
.

, 어디 엑스그리고 와이독립 확률 변수입니다.

차이점
~라고 불리는 편차 랜덤 변수 엑스그것의 수학적 기대에서. 이 차이는 확률 변수이며 수학적 기대치는 0과 같습니다.
.

이산 확률 변수의 산포

확률 변수를 특성화하기 위해 수학적 기대치 외에도 다음을 사용합니다. 분산 , 수학적 기대치를 중심으로 확률 변수 값의 분산(산란)을 추정할 수 있습니다. 동일한 수학적 기대치를 가진 두 개의 동종 확률 변수를 비교할 때 "가장 좋은" 변수는 더 작은 확산을 갖는 것으로 간주됩니다. 분산이 적습니다.

분산 랜덤 변수 엑스수학적 기대치에서 확률 변수의 제곱 편차에 대한 수학적 기대치라고 합니다.

실제 문제에서는 등가 공식을 사용하여 분산을 계산합니다.

분산의 주요 속성은 다음과 같습니다.

이 페이지에서 우리는 교육 문제 해결의 예를 수집했습니다. 이산 확률 변수에 대한 문제. 이것은 다소 광범위한 섹션입니다. 다양한 분포 법칙(이항, 기하학, 초기하학, 푸아송 등), 속성 및 수치적 특성을 연구하고 각 분포 계열에 대해 그래픽 표현을 작성할 수 있습니다. 확률의 다각형(다각형), 분포 함수 .

아래에서 확률 이론의 이전 섹션에서 지식을 적용하여 분포 법칙을 작성한 다음 수학적 기대치, 분산, 평균을 계산해야 하는 이산 확률 변수에 대한 결정의 예를 찾을 수 있습니다. 표준 편차, 배포 기능 구축, DSV에 대한 질문에 대한 답변 제공 등

인기 있는 확률 분포 법칙의 예:

DSV의 특성을 위한 계산기

DSV의 수학적 기대치, 분산 및 표준 편차 계산.

DSV에 대한 문제 해결

기하학에 가까운 분포

작업 1.자동차가 가는 길에 4개의 신호등이 있으며 각 신호등은 0.5의 확률로 자동차의 더 이상 이동을 금지합니다. 첫 번째 정류장 전에 자동차가 지나간 신호등 수의 분포 수를 구하십시오. 이 랜덤 변수의 수학적 기대치와 분산은 무엇입니까?

작업 2.사냥꾼은 첫 번째 공격이 있기 전에 게임에서 총을 쏘지만 4개를 넘지 못합니다. 한 발로 목표물을 명중할 확률이 0.7일 때 빗나간 횟수에 대한 분포 법칙을 쓰십시오. 이 랜덤 변수의 분산을 찾으십시오.

작업 3. 3개의 탄약통이 있는 저격수는 첫 번째 타격까지 목표물을 쏘습니다. 첫 번째, 두 번째 및 세 번째 샷을 칠 확률은 각각 0.6, 0.5, 0.4입니다. S.V. $\xi$ - 남은 카트리지 수. 확률 변수의 분포 시리즈를 만들고 수학적 기대치, 분산, 평균을 찾습니다. 표준 편차 r.v., r.v.의 분포 함수를 구성하고 $P(|\xi-m| \le \sigma$를 찾습니다.

작업 4.상자에는 7개의 표준 부품과 3개의 결함 부품이 들어 있습니다. 부품은 다시 반환하지 않고 표준 부품이 나타날 때까지 순차적으로 꺼냅니다. $\xi$ - 검색된 결함 부품의 수입니다.
이산 확률 변수 $\xi$에 대한 분포 법칙을 작성하고 수학적 기대치, 분산, 표준 편차를 계산하고 분포 다각형과 분포 함수 그래프를 그립니다.

독립 이벤트가 있는 작업

작업 5. 3명의 학생이 확률론 재시험을 보러 왔습니다. 첫 번째 시험에 합격할 확률은 0.8, 두 번째는 0.7, 세 번째는 0.9입니다. 시험에 합격한 학생 수의 확률 변수 $\xi$의 분포 계열을 찾고 분포 함수의 그래프를 만들고 $M(\xi), D(\xi)$를 찾습니다.

작업 6.한 발로 목표물을 명중할 확률은 0.8이고 한 발당 0.1씩 감소합니다. 3발을 쏘면 표적의 명중 횟수에 대한 분포 법칙을 작성하십시오. 수학적 기대치, 분산 및 S.K.O를 찾으십시오. 이 랜덤 변수. 분포 함수를 플로팅합니다.

작업 7. 4발이 목표물을 향해 발사됩니다. 이 경우 명중 확률은 0.2, 0.4, 0.6, 0.7로 증가합니다. 확률 변수 $X$의 분포 법칙 - 히트 수를 찾으십시오. $X \ge 1$일 확률을 구하십시오.

작업 8.대칭되는 두 개의 동전을 던지고 동전의 양쪽 윗면에 있는 문장의 수를 센다. 이산 확률 변수 $X$를 고려합니다. 두 동전의 문장 수입니다. 확률 변수 $X$의 분포 법칙을 기록하고 수학적 기대치를 찾으십시오.

기타 DSV 배포 업무 및 법률

작업 9.두 명의 농구 선수가 3개의 슛을 바스켓에 넣습니다. 첫 번째 농구 선수의 타격 확률은 0.6이고 두 번째 농구 선수는 0.7입니다. $X$는 첫 번째 농구 선수와 두 번째 농구 선수의 성공적인 던진 횟수의 차이입니다. 확률변수 $X$의 분포 계열, 최빈값 및 분포 함수를 찾습니다. 분포 다각형을 만들고 분포 함수를 플로팅합니다. 수학적 기대치, 분산 및 표준 편차를 계산합니다. $(-2 \lt X \le 1)$ 사건의 확률을 구하십시오.

작업 10.특정 항구에 선적을 위해 매일 도착하는 비거주 선박의 수는 다음과 같이 주어진 임의의 값 $X$입니다.
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) 배포 시리즈가 설정되어 있는지 확인하십시오.
B) 확률변수 $X$의 분포함수를 구하고,
다) 하루에 3척 이상의 선박이 입항하는 경우 추가 운전사 및 로더를 고용해야 하므로 항만에서 비용을 부담합니다. 항구에 추가 비용이 발생할 확률은 얼마입니까?
D) 확률 변수 $X$의 수학적 기대치, 분산 및 표준 편차를 찾습니다.

작업 11.주사위 4개를 던집니다. 모든 면에 해당하는 점 수의 합에 대한 수학적 기대치를 구합니다.

작업 12.국장이 처음 나타날 때까지 두 명의 플레이어가 번갈아 가며 동전을 던집니다. 국장이 떨어진 플레이어는 다른 플레이어로부터 1루블을 받습니다. 각 플레이어의 보수에 대한 수학적 기대치를 찾으십시오.

이산 특정 확률로 별도의 격리된 값을 취할 수 있는 확률 변수라고 합니다.

예 1.세 번의 동전 던지기에서 문장이 나온 횟수입니다. 가능한 값: 0, 1, 2, 3, 각각의 확률은 동일합니다.

P(0) = ; P(1) = ; P(2) = ; P(3) = .

예 2. 5개의 요소로 구성된 장치에서 실패한 요소의 수입니다. 가능한 값: 0, 1, 2, 3, 4, 5; 확률은 각 요소의 신뢰성에 따라 다릅니다.

이산 확률 변수 엑스분포 시리즈 또는 분포 함수(적분 분포 법칙)에 의해 주어질 수 있습니다.

가까운 유통 가능한 모든 값의 집합입니다 엑스나및 해당 확률 아르 자형나는 = 피(엑스 = 엑스나), 그것은 표로 주어질 수 있습니다:

엑스 나				x n
피				피 엔

동시에 확률은 아르 자형나조건을 만족시키다

아르 자형나= 1 때문에

가능한 값의 수는 어디에 있습니까? N유한하거나 무한할 수 있습니다.

분포 시리즈의 그래픽 표현 분포 다각형이라고 함 . 그것을 구성하기 위해 확률 변수의 가능한 값 ( 엑스나)는 x축을 따라 표시되며 확률 아르 자형나- y축을 따라; 포인트들 하지만나좌표( 엑스나는, 피나)는 점선으로 연결됩니다.

분포 함수 랜덤 변수 엑스함수라고 하는 에프(엑스), 그 값이 점에 있음 엑스확률변수는 확률과 같다. 엑스이 값보다 작을 것 엑스, 그건

F(x) = P(X< х).

기능 에프(엑스) ~을 위한 이산 확률 변수공식에 의해 계산

에프(엑스) = 아르 자형나 , (1.10.1)

합계가 모든 값 위에 있는 경우 나, 무엇을 위해 엑스나< х.

예 3. 100개 품목이 포함된 배치 중 10개 불량품이 있는 배치에서 5개 품목을 무작위로 선택하여 품질을 확인합니다. 난수의 일련의 분포를 구성합니다. 엑스샘플에 포함된 결함 제품.

해결책. 샘플의 불량 제품 수는 0에서 5까지 범위의 정수일 수 있으므로 가능한 값은 엑스나랜덤 변수 엑스같다:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

개연성 아르 자형(X = k) 샘플에서 정확히 케이(케이 = 0, 1, 2, 3, 4, 5) 결함 제품, 같음

P (X \u003d k) \u003d.

0.001의 정확도로 이 공식을 사용하여 계산한 결과 다음을 얻습니다.

아르 자형 1 = 피(X = 0) @ 0,583;아르 자형 2 = 피(X = 1) @ 0,340;아르 자형 3 = 피(X = 2) @ 0,070;

아르 자형 4 = 피(X = 3) @ 0,007;아르 자형 5 = 피(엑스= 4) @ 0;아르 자형 6 = 피(X = 5) @ 0.

평등을 사용하여 확인 아르 자형케이=1, 계산 및 반올림이 올바르게 수행되었는지 확인합니다(표 참조).

엑스 나
피

예 4.랜덤 변수의 일련의 분포가 주어졌을 때 엑스 :

엑스 나
피

확률 분포 함수 찾기 에프(엑스) 이 랜덤 변수를 구성합니다.

해결책. 만약 엑스그럼 10파운드 에프(엑스)= 피(엑스<엑스) = 0;

10이면<엑스그럼 20파운드 에프(엑스)= 피(엑스<엑스) = 0,2 ;

20이면<엑스그럼 30파운드 에프(엑스)= 피(엑스<엑스) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

30이면<엑스그럼 40파운드 에프(엑스)= 피(엑스<엑스) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

40이면<엑스그럼 50파운드 에프(엑스)= 피(엑스<엑스) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

만약에 엑스> 50 , 그러면 에프(엑스)= 피(엑스<엑스) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

이산 확률 변수의 분포 계열이 제공됩니다. 누락된 확률을 찾고 분포 함수를 플로팅합니다. 이 값의 수학적 기대치와 분산을 계산합니다.

확률 변수 X는 -4, -3, 1, 2의 4가지 값만 취합니다. 이 각각의 값을 특정 확률로 취합니다. 모든 확률의 합은 1과 같아야 하므로 누락 확률은 다음과 같습니다.

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

확률 변수 X의 분포 함수를 구성합니다. 분포 함수는 다음과 같이 알려져 있습니다.

따라서,

함수를 플로팅하자 에프(엑스) .

이산 확률 변수의 수학적 기대치는 확률 변수 값과 해당 확률의 곱의 합과 같습니다. 즉,

이산 확률 변수의 분산은 다음 공식으로 구합니다.

부록

조합의 요소

여기: - 숫자의 계승

이벤트에 대한 작업

사건은 경험의 결과로 발생하거나 발생하지 않을 수 있는 모든 사실입니다.

이벤트 병합 하지만그리고 에- 이번 행사 에서, 외모나 사건으로 구성된 하지만, 또는 이벤트 에, 또는 동시에 두 이벤트.

지정:
;

이벤트의 교차점 하지만그리고 에- 이번 행사 에서, 두 이벤트의 동시 발생으로 구성됩니다.

지정:
;

확률의 고전적 정의

사건 확률 하지만는 실험 횟수의 비율입니다.
, 이벤트 발생에 유리한 하지만, 총 실험 횟수
:

확률 곱셈 공식

사건 확률
다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

- 이벤트 확률 하지만,

- 이벤트 확률 에,

- 이벤트 확률 에이벤트 제공 하지만이미 일어났다.

사건 A와 B가 독립적인 경우(하나의 발생은 다른 하나의 발생에 영향을 미치지 않음) 사건의 확률은 다음과 같습니다.

확률 더하기 공식

사건 확률
다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

사건 확률 하지만,

사건 확률 에,

- 사건의 공동 발생 확률 하지만그리고 에.

사건 A와 B가 양립할 수 없는 경우(동시에 발생할 수 없음) 사건의 확률은 다음과 같습니다.

총 확률 공식

이벤트하자 하지만이벤트 중 하나와 동시에 발생할 수 있습니다.
,
, …,
그것들을 가설이라고 부르자. 으로 알려져있다
- 이행 확률 나-번째 가설과
- 실행 중 이벤트 A가 발생할 확률 나가설. 그러면 사건의 확률은 하지만다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.