Az egyik legegyszerűbb térfogati figura a háromszög alakú gúla, mivel ez a legkevesebb olyan lapból áll, amelyből a térben alakot lehet alkotni. Ebben a cikkben olyan képleteket fogunk megvizsgálni, amelyekkel megtalálhatja a háromszög térfogatát helyes piramis.
Alapján közös meghatározás A piramis olyan sokszög, amelynek minden csúcsa egy ponthoz kapcsolódik, amely nem ennek a sokszögnek a síkjában helyezkedik el. Ha ez utóbbi egy háromszög, akkor az egész alakzatot háromszög alakú piramisnak nevezzük.
A vizsgált piramis egy alapból (háromszögből) és három oldallapból (háromszögből) áll. Azt a pontot, ahol a három oldallap összekapcsolódik, az ábra csúcsának nevezzük. Ebből a csúcsból az alapra esett merőleges a piramis magassága. Ha a merőleges és az alap metszéspontja egybeesik a háromszög mediánjainak metszéspontjával az alapnál, akkor szabályos piramisról beszélnek. Ellenkező esetben lejtős lesz.
Mint említettük, a háromszög alakú piramis alapja lehet háromszög általános típus. Ha azonban egyenlő oldalú, és maga a piramis egyenes, akkor a megfelelő háromdimenziós alakról beszélnek.
Mindegyiknek 4 lapja, 6 éle és 4 csúcsa van. Ha az összes él hossza egyenlő, akkor egy ilyen alakot tetraédernek nevezünk.
Mielőtt felírnánk egy szabályos háromszög alakú piramist, adunk erre egy kifejezést fizikai mennyiségáltalános piramishoz. Ez a kifejezés így néz ki:
Itt S o az alap területe, h az ábra magassága. Ez az egyenlőség a piramis sokszög bármely típusú alapjára, valamint a kúpra érvényes lesz. Ha az alapon van egy háromszög, amelynek oldalhossza a és h o magassága le van engedve, akkor a térfogat képlete a következőképpen lesz felírva:
A háromszögnek egy egyenlő oldalú háromszöge van az alján. Ismeretes, hogy ennek a háromszögnek a magassága az oldalának hosszához kapcsolódik a következő egyenlőséggel:
Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük egy háromszög alakú piramis térfogatának képletébe, amelyet az előző bekezdésben írtunk, a következőt kapjuk:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
A háromszög alappal rendelkező szabályos gúla térfogata az alap oldalhosszának és az ábra magasságának a függvénye.
Mivel bármely szabályos sokszög beírható egy olyan körbe, amelynek sugara egyértelműen meghatározza a sokszög oldalának hosszát, ezért ez a képlet felírható a megfelelő r sugárban:
Ezt a képletet könnyű megszerezni az előzőből, mivel a körülírt kör r sugarát a háromszög a oldalának hosszán a következő kifejezés határozza meg:
Mutassuk meg, hogyan használhatjuk fel a fenti képleteket konkrét geometriai feladatok megoldásában.
Ismeretes, hogy a tetraéder élhossza 7 cm. Határozza meg egy szabályos háromszög alakú piramis-tetraéder térfogatát.
Emlékezzünk vissza, hogy a tetraéder egy szabályos háromszög alakú piramis, amelyben minden bázis egyenlő egymással. A szabályos háromszög alakú piramis térfogatának képletének használatához két mennyiséget kell kiszámítania:
Az első érték a probléma feltételéből ismert:
A magasság meghatározásához vegye figyelembe az ábrán látható ábrát.
Az ABC jelölt háromszög olyan derékszögű háromszög, ahol az ABC szög 90o. Az AC oldal a hipotenusz, melynek hossza a. Egyszerű geometriai érveléssel kimutatható, hogy a BC oldal hossza:
Figyeljük meg, hogy a BC hosszúság a háromszög körüli körülírt kör sugara.
h \u003d AB \u003d √ (AC 2 - BC 2) \u003d √ (a 2 - a 2/3) \u003d a * √ (2/3).
Most behelyettesítheti h-t és a-t a megfelelő térfogati képletbe:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
Így megkaptuk a tetraéder térfogatának képletét. Látható, hogy a térfogat csak a borda hosszától függ. Ha a probléma feltételéből származó értéket behelyettesítjük a kifejezésbe, akkor a következő választ kapjuk:
V \u003d √2 / 12 * 7 3 ≈ 40,42 cm 3.
Ha ezt az értéket összehasonlítjuk egy ugyanolyan élű kocka térfogatával, akkor azt kapjuk, hogy a tetraéder térfogata 8,5-szer kisebb. Ez azt jelzi, hogy a tetraéder egy kompakt alak, ami bizonyos természetes anyagokban valósul meg. Például a metánmolekula tetraéderes, és a gyémántban lévő minden egyes szénatom négy másik atomhoz kapcsolódik, így tetraéder keletkezik.
Oldjunk meg egy érdekes geometriai feladatot. Tegyük fel, hogy van egy háromszög alakú szabályos gúla, amelynek térfogata V 1 . Hányszorosára kell csökkenteni ennek az alaknak a méretét, hogy az eredetinél háromszor kisebb térfogatú, homotetikus piramist kapjunk?
Kezdjük a probléma megoldásával az eredeti szabályos piramis képletének felírásával:
V 1 \u003d √3 / 12 * a 1 2 * h 1.
Kapjuk meg a feladat feltétele által megkívánt ábra térfogatát, ha paramétereit megszorozzuk a k együtthatóval. Nekünk van:
V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .
Mivel a feltételből ismert az ábrák térfogatának aránya, megkapjuk a k együttható értékét:
k \u003d ∛ (V 2 / V 1) \u003d ∛ (1/3) ≈ 0,693.
Vegyük észre, hogy a k együttható hasonló értékét kaptuk volna egy tetszőleges típusú piramisra, és nem csak egy szabályos háromszög alakúra.
Meghatározás. Oldal arc- ez egy háromszög, amelyben az egyik szög a piramis tetején fekszik, és a másik oldala egybeesik az alap oldalával (sokszög).
Meghatározás. Oldalsó bordák az oldallapok közös oldalai. A piramisnak annyi éle van, ahány sarka van egy sokszögben.
Meghatározás. piramis magassága a piramis tetejéről az aljára ejtett merőleges.
Meghatározás. Apothem- ez a piramis oldallapjának merőlegese, a gúla tetejétől az alap oldaláig leeresztve.
Meghatározás. Átlós szakasz- ez a piramisnak a gúla tetején és az alap átlóján átmenő sík által metszett szakasza.
Meghatározás. Helyes piramis- Ez egy piramis, amelyben az alap egy szabályos sokszög, és a magassága az alap közepéig csökken.
Képlet. piramis térfogata alapterületen és magasságon keresztül:
Ha minden oldalél egyenlő, akkor a piramis alapja köré kör írható, és az alap középpontja egybeesik a kör középpontjával. Ezenkívül a felülről leejtett merőleges áthalad az alap (kör) közepén.
Ha minden oldalborda egyenlő, akkor ugyanolyan szögben dőlnek az alapsíkhoz.
Az oldalsó bordák akkor egyenlőek, ha egyenlő szöget zárnak be az alapsíkkal, vagy ha kör írható le a gúla alapja körül.
Ha az oldallapok egy szögben dőlnek az alap síkjához, akkor a gúla alapjába kör írható, és a gúla teteje a középpontjába vetül.
Ha az oldallapok egy szögben dőlnek az alapsíkhoz, akkor az oldallapok apotémája egyenlő.
1. A piramis teteje egyenlő távolságra van az alap minden sarkától.
2. Minden oldalél egyenlő.
3. Minden oldalsó borda ugyanolyan szögben dől el az alaphoz képest.
4. Minden oldallap apotémje egyenlő.
5. Az összes oldalfelület területe egyenlő.
6. Minden lapnak azonos kétszögű (lapos) szöge van.
7. A piramis körül egy gömb írható le. A leírt gömb középpontja az élek közepén átmenő merőlegesek metszéspontja lesz.
8. Gúlába beleírható egy gömb. A beírt gömb középpontja az él és az alap közötti szögből kiinduló felezők metszéspontja lesz.
9. Ha a beírt gömb középpontja egybeesik a körülírt gömb középpontjával, akkor a csúcson lévő lapos szögek összege egyenlő π-vel vagy fordítva, az egyik szög egyenlő π / n-nel, ahol n a szám szögek a piramis alján.
A piramis körül egy gömb írható le, ha a piramis alján egy poliéder fekszik, amely körül kör írható le (szükséges és elégséges feltétel). A gömb középpontja a gúla oldaléleinek felezőpontjain át merőlegesen átmenő síkok metszéspontja lesz.
Egy gömb mindig leírható bármely háromszög vagy szabályos piramis körül.
Gúlába akkor írhatunk be gömböt, ha a gúla belső kétszögeinek felezősíkjai egy pontban metszik egymást (szükséges és elégséges feltétel). Ez a pont lesz a gömb középpontja.
A kúpot beírtnak nevezzük a gúlába, ha a csúcsuk egybeesik, és a kúp alapja a gúla alapjába van írva.
A gúlába akkor írhatunk kúpot, ha a piramis apotémjei egyenlőek.
A kúpról azt mondjuk, hogy körülírt egy gúla, ha csúcsai egybeesnek, és a kúp alapja a gúla alapja körül van körülírva.
A gúla körül kúp írható le, ha a gúla minden oldaléle egyenlő egymással.
Egy piramisról azt mondjuk, hogy bele van írva egy hengerbe, ha a piramis teteje a henger egyik alján, a piramis alapja pedig a henger másik alján található.
Egy henger körülírható egy piramis körül, ha kör írható a gúla alapja köré.
A tetraédernek négy lapja és négy csúcsa és hat éle van, ahol bármelyik két élnek nincs közös csúcsa, de nem érintkeznek.
Minden csúcs három lapból és élből áll háromszögű.
A tetraéder csúcsát a szemközti lap középpontjával összekötő szakaszt ún a tetraéder mediánja(GM).
Bimedian Az egymással nem érintkező élek felezőpontjait összekötő szakasznak nevezzük (KL).
A tetraéder minden bimediánja és mediánja egy pontban (S) metszi egymást. Ebben az esetben a bimediánokat felezzük, a mediánokat pedig 3:1 arányban, felülről indulva.
Meghatározás. Élesszögű piramis olyan piramis, amelyben az apotém az alap oldalhosszának több mint fele.
Meghatározás. tompa piramis olyan piramis, amelyben az apotém kisebb, mint az alap oldalhosszának fele.
Meghatározás. szabályos tetraéder Tetraéder, amelynek négy lapja egyenlő oldalú háromszög. Ez az öt szabályos sokszög egyike. Egy szabályos tetraéderben minden diéderszög (a lapok között) és háromszögszög (egy csúcsban) egyenlő.
Meghatározás. Téglalap alakú tetraéder tetraédernek nevezzük, amelynek a csúcsánál három él között derékszög van (az élek merőlegesek). Három arc alakul ki téglalap háromszögűés a lapok derékszögű háromszögek, az alap pedig egy tetszőleges háromszög. Bármely arc apotémája megegyezik az alap oldalának felével, amelyre az apotém esik.
Meghatározás. Izoéderes tetraéder Tetraédernek nevezzük, amelyben az oldallapok egyenlőek egymással, és az alapja egy szabályos háromszög. Az ilyen tetraéder lapjai egyenlő szárú háromszögek.
Meghatározás. Ortocentrikus tetraéder tetraédernek nevezzük, amelyben a felülről a szemközti lapra süllyesztett összes magasság (merőleges) egy pontban metszi egymást.
Meghatározás. csillag piramis Olyan poliédert nevezünk, amelynek alapja egy csillag.
A piramis egy poliéder, amelynek alapja egy sokszög. Minden lap háromszöget alkot, amelyek egy csúcsban konvergálnak. A piramisok háromszög alakúak, négyszögletesek stb. Annak meghatározásához, hogy melyik piramis van előtted, elegendő megszámolni a sarkok számát az alján. A "piramismagasság" meghatározása nagyon gyakran megtalálható a geometriai problémákban iskolai tananyag. A cikkben megpróbáljuk megvizsgálni különböző utak a helyét.
A piramis részei
Minden piramis a következő elemekből áll:
Hogyan találjuk meg a piramis magasságát, ha ismert a térfogata
A V \u003d (S * h) / 3 képlettel (az V képletben a térfogat, S az alapterület, h a piramis magassága) azt találjuk, hogy h \u003d (3 * V) / S . Az anyag konszolidálásához azonnal oldjuk meg a problémát. NÁL NÉL háromszög alap 50 cm 2, míg térfogata 125 cm 3. A háromszög alakú piramis magassága ismeretlen, ezt meg kell találnunk. Itt minden egyszerű: beillesztjük az adatokat a képletünkbe. A következőt kapjuk: h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm.
Hogyan találjuk meg a piramis magasságát, ha ismert az átló hossza és az éle
Emlékszünk rá, hogy a piramis magassága derékszöget zár be az alapjával. Ez pedig azt jelenti, hogy a magasság, az él és az átló fele együtt alkotják Sokan persze emlékeznek a Pitagorasz-tételre. Két dimenzió ismeretében nem lesz nehéz megtalálni a harmadik értéket. Emlékezzünk vissza a jól ismert a² = b² + c² tételre, ahol a a hipotenusz, esetünkben pedig a piramis éle; b - az átló első szára vagy fele, c - rendre a második szár, vagy a gúla magassága. Ebből a képletből c² = a² - b².
Most a probléma: egy szabályos piramisban az átló 20 cm, míg a széle 30 cm. Meg kell találni a magasságot. Megoldjuk: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Ezért c \u003d √ 500 \u003d körülbelül 22,4.
Hogyan találjuk meg a csonka piramis magasságát
Ez egy sokszög, amelynek az alapjával párhuzamos szakasza van. A csonka piramis magassága az a szakasz, amely összeköti a két alapját. A magasság megtalálható egy szabályos gúlánál, ha ismerjük mindkét alap átlóinak hosszát, valamint a gúla élét. Hagyja az átlót több ok egyenlő d1-gyel, míg a kisebb alap átlója d2, az él hossza pedig - l. A magasság meghatározásához leengedheti a magasságokat a diagram két felső, egymással szemben lévő pontjáról az alapja felé. Látjuk, hogy két derékszögű háromszögünk van, marad a lábuk hosszának meghatározása. Ehhez vonjuk ki a kisebb átlót a nagyobb átlóból, és osszuk el 2-vel. Így találunk egy lábat: a \u003d (d1-d2) / 2. Ezt követően a Pitagorasz-tétel szerint már csak a második szárat kell megtalálnunk, ami a piramis magassága.
Most nézzük meg ezt az egészet a gyakorlatban. Feladat áll előttünk. A csonka gúla alapja négyzet alakú, a nagyobb alap átlója 10 cm, míg a kisebbé 6 cm, éle 4 cm, a magasság megállapításához szükséges. Először is találunk egy lábat: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm. Az egyik láb 2 cm, az alsó rész 4 cm. Kiderül, hogy a második láb vagy magasság 16- lesz. 4 \u003d 12, azaz h \u003d √12 = körülbelül 3,5 cm.
Hogy néz ki?
Látod: az alábbi piramisnál (azt mondják: a bázison"") valamilyen sokszög, és ennek a sokszögnek minden csúcsa a tér valamely pontjához kapcsolódik (ezt a pontot " csúcs»).
Ez az egész szerkezet rendelkezik oldalsó arcok, oldalbordákés alapbordák. Még egyszer rajzoljunk egy piramist a felsorolt nevekkel együtt:
Néhány piramis nagyon furcsán néz ki, de mégis piramisok.
Itt például elég "ferdén" piramis.
És még egy kicsit a nevekről: ha van egy háromszög a piramis alján, akkor a piramist háromszögnek nevezik;
Ugyanakkor az a pont, ahol leesett magasság, nak, nek hívják magasságú alap. Vegye figyelembe, hogy a "görbe" piramisokban magasság akár a piramison kívül is lehet. Mint ez:
És ebben nincs semmi szörnyű. Úgy néz ki, mint egy tompa háromszög.
Sok összetett szavak? Megfejtjük: "Az alapon - helyesen" - ez érthető. És most ne feledje, hogy egy szabályos sokszögnek van egy középpontja - egy pont, amely a és , és a középpontja.
Nos, és a „teteje az alap közepére vetítve” szavak azt jelentik, hogy a magasság alapja pontosan az alap közepébe esik. Nézd, milyen simán és aranyosan néz ki jobb oldali piramis.
Hatszögletű: az alapnál - szabályos hatszög, a csúcs az alap közepébe van vetítve.
négyszögű: az alapnál - egy négyzet, a teteje ennek a négyzetnek az átlóinak metszéspontjába van vetítve.
háromszög alakú: az alapon egy szabályos háromszög van, ennek a háromszögnek a magasságainak metszéspontjára vetítjük a csúcsot (ezek egyben mediánok és felezők is).
Magasan a szabályos piramis fontos tulajdonságai:
A jobb oldali piramisban
Honnan jött pontosan? Ez nem olyan egyszerű, és először csak emlékezni kell arra, hogy a piramisnak és a kúpnak van térfogata a képletben, de a hengernek nincs.
Most számoljuk ki a legnépszerűbb piramisok térfogatát.
Legyen az alap oldala egyenlő, az oldaléle egyenlő. Meg kell találnom és.
Ez egy derékszögű háromszög területe.
Emlékezzünk arra, hogyan keressük ezt a területet. A terület képletét használjuk:
Van "" - ez, és "" - ez is, na.
Most keressük meg.
A Pitagorasz-tétel szerint a
Mit számít ez? Ez a körülírt kör sugara in, mert piramishelyesés innen a központ.
Mivel - a metszéspont és a medián is.
(Pitagorasz-tétel erre)
Helyettesítse a képletben a következőt:
Csatlakoztassunk mindent a térfogati képletbe:
Figyelem: ha van egy szabályos tetraédered (azaz), akkor a képlet a következő:
Legyen az alap oldala egyenlő, az oldaléle egyenlő.
Itt nem kell keresgélni; mert az alján egy négyzet, és ezért.
Találjuk ki. A Pitagorasz-tétel szerint a
Tudjuk? Majdnem. Néz:
(ezt az áttekintés során láttuk).
Helyettesítse a képletben:
És most behelyettesítjük a térfogatképletbe.
Legyen egyenlő az alap oldala, és az oldaléle.
Hogyan lehet megtalálni? Nézd, egy hatszög pontosan hat egyforma szabályos háromszögből áll. A szabályos háromszög alakú gúla térfogatának kiszámításakor már kerestük a szabályos háromszög területét, itt a talált képletet használjuk.
Most keressük meg (ezt).
A Pitagorasz-tétel szerint a
De mit számít? Ez egyszerű, mert (és mindenki másnak is) igaza van.
Cseréljük:
\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)(a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))
A piramis olyan poliéder, amely tetszőleges lapos sokszögből (), egy pontból, amely nem esik az alap síkjában (a piramis teteje), és minden szakaszból, amely a piramis tetejét az alappontokkal (oldalélekkel) összeköti.
A piramis tetejéről az alap síkjára ejtett merőleges.
Helyes piramis- piramis, amelynek alapja szabályos sokszög, és a piramis teteje az alap közepébe vetül.
A szabályos piramis tulajdonságai:
A piramis térfogata:
Nos, a témának vége. Ha ezeket a sorokat olvasod, akkor nagyon menő vagy.
Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvastad, akkor az 5%-ban vagy!
Most a legfontosabb.
Kitaláltad az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.
Az a baj, hogy ez nem elég...
Miért?
A sikerességért a vizsga letétele, az intézetbe való felvételért a költségvetésből és ami a LEGFONTOSABB életre szóló.
Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...
Emberek, akik kaptak egy jó oktatás, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kapták meg. Ez statisztika.
De nem ez a fő.
A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...
De gondold meg magad...
Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások a vizsgán, és végül… boldogabb legyél?
TÖLTSE MEG A KEZÉT, MEGOLDÁSA EBBEN A TÉMÁBAN.
A vizsgán nem kérdeznek elméletet.
Szükséged lesz időben megoldja a problémákat.
És ha nem oldotta meg őket (SOK!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem fog időben elkövetni.
Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.
Keressen gyűjteményt bárhol, ahol csak akar szükségszerűen megoldásokkal részletes elemzés és dönts, dönts, dönts!
Feladatainkat használhatja (nem szükséges), és mindenképpen ajánljuk.
Ahhoz, hogy segítséget kaphasson feladataink segítségével, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.
Hogyan? Két lehetőség van:
Igen, 99 ilyen cikkünk van a tankönyvben, és azonnal megnyitható az összes feladat és minden rejtett szöveg.
Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely teljes élettartama alatt.
Összefoglalva...
Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne hagyd abba az elméletet.
Az „értettem” és a „tudom, hogyan kell megoldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.
Találd meg a problémákat és oldd meg!
