A piramis egy poliéder, amelynek alapja egy sokszög. Minden lap háromszöget alkot, amelyek egy csúcsban konvergálnak. A piramisok háromszög alakúak, négyszögletesek stb. Annak meghatározásához, hogy melyik piramis van előtted, elegendő megszámolni a sarkok számát az alján. A "piramismagasság" meghatározása nagyon gyakran megtalálható a geometriai problémákban iskolai tananyag. A cikkben megpróbáljuk megvizsgálni különböző utak a helyét.
A piramis részei
Minden piramis a következő elemekből áll:
Hogyan találjuk meg a piramis magasságát, ha ismert a térfogata
A V \u003d (S * h) / 3 képlettel (az V képletben a térfogat, S az alapterület, h a piramis magassága) azt találjuk, hogy h \u003d (3 * V) / S . Az anyag konszolidálásához azonnal oldjuk meg a problémát. NÁL NÉL háromszög alap 50 cm 2, míg térfogata 125 cm 3. A háromszög alakú piramis magassága ismeretlen, ezt meg kell találnunk. Itt minden egyszerű: beillesztjük az adatokat a képletünkbe. A következőt kapjuk: h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm.
Hogyan találjuk meg a piramis magasságát, ha ismert az átló hossza és az éle
Emlékszünk rá, hogy a piramis magassága derékszöget zár be az alapjával. Ez pedig azt jelenti, hogy a magasság, az él és az átló fele együtt alkotják Sokan persze emlékeznek a Pitagorasz-tételre. Két dimenzió ismeretében nem lesz nehéz megtalálni a harmadik értéket. Emlékezzünk vissza a jól ismert a² = b² + c² tételre, ahol a a hipotenusz, esetünkben pedig a piramis éle; b - az átló első szára vagy fele, c - rendre a második szár, vagy a gúla magassága. Ebből a képletből c² = a² - b².
Most a probléma: egy szabályos piramisban az átló 20 cm, míg a széle 30 cm. Meg kell találni a magasságot. Megoldjuk: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Ezért c \u003d √ 500 \u003d körülbelül 22,4.
Hogyan találjuk meg a csonka piramis magasságát
Ez egy sokszög, amelynek az alapjával párhuzamos szakasza van. A csonka piramis magassága az a szakasz, amely összeköti a két alapját. A magasság megtalálható egy szabályos gúlánál, ha ismerjük mindkét alap átlóinak hosszát, valamint a gúla élét. Legyen a nagyobb alap átlója d1, míg a kisebbé d2, az él hossza pedig l. A magasság meghatározásához leengedheti a magasságokat a diagram két felső, egymással szemben lévő pontjáról az alapja felé. Látjuk, hogy két derékszögű háromszögünk van, marad a lábuk hosszának meghatározása. Ehhez vonjuk ki a kisebb átlót a nagyobb átlóból, és osszuk el 2-vel. Így találunk egy lábat: a \u003d (d1-d2) / 2. Ezt követően a Pitagorasz-tétel szerint már csak a második szárat kell megtalálnunk, ami a piramis magassága.
Most nézzük meg ezt az egészet a gyakorlatban. Feladat áll előttünk. A csonka gúla alapja négyzet alakú, a nagyobb alap átlója 10 cm, míg a kisebbé 6 cm, éle 4 cm, a magasság megállapításához szükséges. Először is találunk egy lábat: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm. Az egyik láb 2 cm, az alsó rész 4 cm. Kiderül, hogy a második láb vagy magasság 16- lesz. 4 \u003d 12, azaz h \u003d √12 = körülbelül 3,5 cm.
Ebben a leckében megvizsgálunk egy csonka piramist, megismerkedünk a helyes csonka piramissal, és tanulmányozzuk azok tulajdonságait.
Idézzük fel az n-szögű gúla fogalmát a háromszög alakú piramis példáján. Az ABC háromszög adott. A háromszög síkján kívül veszünk egy P pontot, amely a háromszög csúcsaihoz kapcsolódik. A kapott poliéder felületet piramisnak nevezzük (1. ábra).
Rizs. 1. Háromszög alakú piramis
Vágjuk el a piramist a gúla alapjának síkjával párhuzamos síkkal. Az e síkok között kapott ábrát csonka gúlának nevezzük (2. ábra).
Rizs. 2. Csonka piramis
Főbb elemek:
Felső alap ;
Alsó alap ABC;
Oldal arc ;
Ha PH az eredeti piramis magassága, akkor a csonka gúla magassága.
A csonka gúla tulajdonságai a felépítésének módjából, nevezetesen az alapok síkjainak párhuzamosságából következnek:
A csonka piramis minden oldallapja trapéz. Vegyünk például egy arcot. Megvan a párhuzamos síkok tulajdonsága (mivel a síkok párhuzamosak, párhuzamos vonalak mentén vágják az eredeti ABP gúla oldallapját), ugyanakkor nem párhuzamosak. Nyilvánvaló, hogy a négyszög trapéz, mint a csonka gúla összes oldallapja.
Az alapok aránya minden trapéznál azonos:
Több pár hasonló háromszögünk van, azonos hasonlósági együtthatóval. Például a háromszögek és a RAB hasonlóak a síkok párhuzamossága és a hasonlósági együttható miatt:
Ugyanakkor a háromszögek és az RCS hasonlóak hasonlósági együtthatóval:
Nyilvánvaló, hogy mindhárom hasonló háromszög pár hasonlósági együtthatója egyenlő, így az alapok aránya minden trapéz esetében azonos.
A szabályos csonka gúla olyan csonka gúla, amelyet egy szabályos gúla alappal párhuzamos síkú vágásával kapunk (3. ábra).
Rizs. 3. Helyes csonka piramis
Meghatározás.
A szabályos gúlát piramisnak nevezzük, amelynek alapjában egy szabályos n-szög található, és ennek az n-szögnek a középpontjába (a beírt és körülírt kör középpontjába) vetítjük a csúcsot.
NÁL NÉL ez az eset a piramis alján egy négyzet található, és a csúcs az átlóinak metszéspontjába van vetítve. Az így kapott szabályos négyszögletű csonka gúla ABCD-vel rendelkezik - az alsó alap, - a felső alap. Az eredeti piramis magassága - RO, csonka gúla - (4. ábra).
Rizs. 4. Szabályos négyszögletű csonka gúla
Meghatározás.
A csonka gúla magassága az egyik alap bármely pontjából a második alap síkjára húzott merőleges.
Az eredeti piramis apotémja RM (M az AB közepe), a csonka gúla apotémja (4. ábra).
Meghatározás.
A csonka piramis apotémája bármely oldallap magassága.
Nyilvánvaló, hogy a csonka gúla minden oldaléle egyenlő egymással, vagyis az oldallapok egyenlő egyenlő szárú trapézok.
A szabályos csonka gúla oldalfelületének területe megegyezik az alapok kerülete és az apotém összegének felével.
Bizonyítás (egy szabályos négyszögletű csonka gúlára – 4. ábra):
Tehát bizonyítanunk kell:
Az oldalsó felület itt az oldallapok - trapézok - területének összegéből áll. Mivel a trapézok azonosak, a következőket kapjuk:
Az egyenlő szárú trapéz területe az alapok összegének felének és a magasságnak a szorzata, az apotém a trapéz magassága. Nekünk van:
Q.E.D.
n-szögű piramis esetén:
Ahol n a gúla oldallapjainak száma, a és b a trapéz alapjai, az apotém.
Szabályos csonka négyszög gúla alapjának oldalai 
egyenlők 3 cm és 9 cm, magasság - 4 cm. Keresse meg az oldalfelület területét.
Rizs. 5. Illusztráció az 1. feladathoz
Megoldás. Illusztráljuk a feltételt:
Adott: , ,
Húzzunk egy MN egyenest az O ponton keresztül párhuzamosan az alsó alap két oldalával, hasonló módon húzzunk egy egyenest a ponton keresztül (6. ábra). Mivel a csonka gúla alapjainál a négyzetek és a szerkezetek párhuzamosak, az oldallapokkal megegyező trapézt kapunk. Ezenkívül az oldalsó oldala áthalad az oldallapok felső és alsó széleinek közepén, és egy csonka piramis megtestesítője lesz.
Rizs. 6. Kiegészítő konstrukciók
Tekintsük a kapott trapézt (6. ábra). Ebben a trapézben ismert a felső alap, az alsó alap és a magasság. Meg kell találni az oldalsó oldalt, amely az adott csonka gúla apotémája. Rajzolj merőlegesen MN-re. Dobjuk ki a merőleges NQ-t a pontból. Ezt értjük nagyobb bázis három centiméteres szegmensekre osztva (). Tekintsünk egy derékszögű háromszöget, a benne lévő lábak ismertek, ez egy egyiptomi háromszög, a Pitagorasz-tétellel meghatározzuk a befogó hosszát: 5 cm.
Most megvan az összes elem a piramis oldalsó felületének meghatározásához:
A piramist az alappal párhuzamos sík keresztezi. Egy háromszög alakú gúla példáján bizonyítsuk be, hogy a gúla oldaléleit és magasságát ez a sík arányos részekre osztja.
Bizonyíték. Illusztráljuk:
Rizs. 7. Illusztráció a 2. feladathoz
A RABC piramis adott. RO a piramis magassága. A piramist egy síkkal feldaraboljuk, ráadásul egy csonka gúlát kapunk. Pont - az RO magasságának metszéspontja a csonka gúla alapjának síkjával. Be kell bizonyítani:
A megoldás kulcsa a párhuzamos síkok tulajdonsága. Két párhuzamos sík vágja át bármelyik harmadik síkot úgy, hogy a metszésvonalak párhuzamosak legyenek. Innen: . A megfelelő vonalak párhuzamossága négy pár hasonló háromszög jelenlétét jelenti:
A háromszögek hasonlóságából következik a megfelelő oldalak arányossága. Fontos jellemzője, hogy ezeknek a háromszögeknek a hasonlósági együtthatói megegyeznek:
Q.E.D.
Az alap magasságával és oldalával rendelkező, szabályos háromszög alakú RABC gúlát az ABC alappal párhuzamosan a PH magasság felezőpontján átmenő sík metszi. Keresse meg a kapott csonka gúla oldalfelületének területét.
Megoldás. Illusztráljuk:
Rizs. 8. Illusztráció a 3. feladathoz
A DIA szabályos háromszög, H ennek a háromszögnek a középpontja (a beírt és körülírt körök középpontja). RM az adott piramis apotémája. - a csonka piramis apotémája. A párhuzamos síkok tulajdonsága szerint (két párhuzamos sík tetszőleges harmadik síkot úgy vág el, hogy a metszésvonalak párhuzamosak legyenek) több pár hasonló háromszögünk van, azonos hasonlósági együtthatóval. Különösen a következő kapcsolat érdekel bennünket:
Keressük NM-et. Ez az alapba írt kör sugara, ismerjük a megfelelő képletet:
Most a РНМ derékszögű háromszögből a Pitagorasz-tétel alapján megtaláljuk РМ - az eredeti piramis apotémjét:
A kezdeti arányból:
Most már ismerjük az összes elemet a csonka piramis oldalfelületének meghatározásához:
Tehát megismerkedtünk a csonka gúla és a szabályos csonka gúla fogalmával, megadtuk az alapvető definíciókat, figyelembe vettük a tulajdonságokat, és bebizonyítottuk az oldalfelület területére vonatkozó tételt. A következő leckében a problémamegoldás lesz a hangsúly.
Bibliográfia
Házi feladat
Ez a lecke segít abban, hogy képet kapjon a „Piramis. Szabályos és csonka piramis. Ebben a leckében megismerkedünk a szabályos piramis fogalmával, definíciót adunk neki. Ezután bebizonyítjuk a szabályos gúla oldalfelületére vonatkozó tételt és a szabályos csonka gúla oldalfelületére vonatkozó tételt.
Téma: Piramis
Tanulság: Helyes és csonka piramis
Meghatározás: a szabályos n-szögű gúla olyan gúla, amelynek alapja egy szabályos n-szög, és a magassága ennek az n-szögnek a középpontjába vetül (1. ábra).
Rizs. egy
Szabályos háromszög alakú piramis
Először vegyük figyelembe az ∆ABC-t (2. ábra), amelyben AB=BC=CA (azaz egy szabályos háromszög fekszik a piramis alján). Egy szabályos háromszögben a beírt és körülírt körök középpontja egybeesik, és magának a háromszögnek a középpontja. Ebben az esetben a középpontot a következőképpen találjuk: megtaláljuk az AB - C 1 közepét, megrajzoljuk az SS 1 szakaszt, amely a medián, a felező és a magasság; hasonlóképpen megkeressük az AC - B 1 felezőpontot és megrajzoljuk a BB 1 szakaszt. A BB 1 és CC 1 metszéspontja az O pont lesz, amely az ∆ABC középpontja.
Ha az O háromszög középpontját összekötjük az S piramis csúcsával, akkor megkapjuk a gúla magasságát SO ⊥ ABC, SO = h.
Az S pontot az A, B és C pontokkal összekötve megkapjuk a gúla oldaléleit.
Megvan a megfelelő háromszög alakú piramis SABC (2. ábra).
- Ez egy poliéder, amelyet a piramis alapja és egy vele párhuzamos szakasz alkot. Azt mondhatjuk, hogy a csonka piramis egy levágott tetejű piramis. Ennek a figurának számos egyedi tulajdonsága van:
A csonka gúla oldalfelületének területének képlete az oldalak területének összege: 
Mivel a csonka piramis oldalai trapéz alakúak, a paraméterek kiszámításához a képletet kell használni. trapéz alakú terület. Szabályos csonka piramis esetén egy másik képlet is alkalmazható a terület kiszámítására. Mivel minden oldala, lapja és szöge az alapnál egyenlő, lehetséges az alap és az apotém kerülete, valamint az alapnál lévő szögből származtatni a területet.
Ha egy szabályos csonka gúlában a feltételek szerint adott az apotém (az oldal magassága) és az alap oldalainak hossza, akkor a terület a kerületek összegének félszorzatán keresztül számítható ki. az alapok és az apotém:
Nézzünk egy példát a csonka piramis oldalfelületének kiszámítására.
Adott egy szabályos ötszögletű piramis. Apothem l\u003d 5 cm, az arc hossza a nagy alapban a\u003d 6 cm, és az arc a kisebb alapon van b\u003d 4 cm. Számítsa ki a csonka gúla területét!
Először is keressük meg az alapok kerületét. Mivel egy ötszögletű piramist kapunk, megértjük, hogy az alapok ötszögek. Ez azt jelenti, hogy az alapok öt azonos oldalú figurák. Keresse meg a nagyobb alap kerületét:
Ugyanígy megtaláljuk a kisebb alap kerületét is:
Most kiszámolhatjuk egy szabályos csonka piramis területét. Az adatokat a képletben helyettesítjük:
Így kiszámítottuk egy szabályos csonka piramis területét a kerületeken és az apotémen keresztül.
Egy másik módszer a szabályos piramis oldalfelületének kiszámítására a képlet az alap sarkain és ezeknek az alapoknak a területén keresztül.
Nézzünk egy számítási példát. Ne feledje, hogy ez a képlet csak egy szabályos csonka piramisra vonatkozik.
Legyen adott egy szabályos négyszög alakú piramis. Az alsó alap lapja a = 6 cm, a felső lapja b = 4 cm. A diéderszög az alapnál β = 60°. Határozza meg egy szabályos csonka gúla oldalfelületét.
Először is számítsuk ki az alapok területét. Mivel a piramis szabályos, az alapok minden lapja egyenlő egymással. Tekintettel arra, hogy az alap négyszög, megértjük, hogy ki kell számítani négyzet alakú terület. Ez a szélesség és hosszúság szorzata, de négyzetesen ezek az értékek megegyeznek. Keresse meg a nagyobb alap területét: 
Most a talált értékeket használjuk az oldalfelület kiszámításához. 
Néhány egyszerű képlet ismeretében könnyen kiszámítottuk egy csonka gúla oldalsó trapézjának területét különféle értékeken keresztül.
