ค่าของสัญลักษณ์เชิงตรรกะ สัญลักษณ์ของตรรกะทางการสมัยใหม่ นัยหรือผลที่ตามมา

ในวิชาคณิตศาสตร์ ใช้สัญลักษณ์พิเศษเพื่อย่อบันทึกและแสดงข้อความได้แม่นยำยิ่งขึ้น

สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์:

เช่น การใช้สัญลักษณ์ " > » เป็นตัวเลข ก, ข,เราได้รับรายการ " a > b” ซึ่งเป็นตัวย่อของประโยค: “number เอจำนวนมากขึ้น ข". ถ้า - การกำหนดเส้น แสดงว่าเร็กคอร์ดเป็นคำสั่งที่ขนานกัน บันทึก " x เอ็ม" หมายความว่า xเป็นองค์ประกอบของเซต เอ็ม.

นอกจากสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์แล้ว สัญลักษณ์เชิงตรรกะยังใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาคณิตศาสตร์ ประยุกต์ใช้กับ งบ และ ภาคแสดง .

ภายใต้ พูด หมายถึงประโยคที่เป็นจริงหรือเท็จเท่านั้น ตัวอย่างเช่น คำสั่ง "–3 > 0" เป็นเท็จ และคำสั่ง "2 2 = 4" เป็นจริง เราจะกำหนดข้อความด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ อาจมีดัชนี ตัวอย่างเช่น, อา= "-3 > 0», บี= "2 2 = 4"

ภาคแสดงเป็นประโยคที่มีตัวแปรเดียวหรือหลายตัวแปร ตัวอย่างเช่น ประโยค: "number xมากกว่าตัวเลข 0" (เป็นตัวอักษร x > 0) เป็นเพรดิเคตตัวแปรเดียว xและประโยคที่ว่า "a+b=c"เป็นเพรดิเคตสามตัวแปร ก, ข, ค.

เพรดิเคตสำหรับค่าเฉพาะของตัวแปรจะกลายเป็นข้อเสนอโดยรับค่าจริงและเท็จ

เราจะแสดงว่าเพรดิเคตเป็นฟังก์ชัน: Q(x) = « x > 0» , F(x,b,c) = « x + b = c» .

สัญลักษณ์ลอจิก: .

1. การปฏิเสธ ใช้กับหนึ่งคำสั่งหรือภาคแสดง สอดคล้องกับอนุภาค "ไม่" และแสดงโดย .

ตัวอย่างเช่น สูตรเป็นตัวย่อของประโยค: "-3 ไม่เกิน 0" ("ไม่เป็นความจริงที่ -3 มากกว่า 0")

2. คำสันธาน นำไปใช้กับสองคำสั่งหรือภาคแสดงสอดคล้องกับสหภาพ "และ" แสดง: เอ แอนด์ บี(หรือ เอ บี).

ดังนั้นสูตร (–3 ​​> 0) & (2 2 = 4) หมายถึงประโยค “–3 > 0 และ 2 2 = 4” ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นเท็จ

3. Disjunction ใช้กับสองข้อความหรือภาคแสดงซึ่งสอดคล้องกับสหภาพ "หรือ" (ไม่แยก) และแสดงไว้ เอ บี .

คำแนะนำ: "หมายเลข xเป็นของชุดหรือชุด" แสดงโดยสูตร: .

4. ความหมาย สอดคล้องกับสหภาพ "ถ้า ... แล้ว ... " และแสดงว่า: เอ บี.

ดังนั้นรายการ ก > –1 ก > 0" เป็นตัวย่อของประโยค "if ก >-1 แล้ว ก > 0».

5. ความเท่าเทียมกัน เอ บีตรงกับประโยคที่ว่า อาถ้าและเฉพาะถ้า บี».

สัญลักษณ์เรียกว่า ปริมาณของความทั่วไปและการดำรงอยู่ , ตามลำดับ, ใช้กับเพรดิเคต (และไม่ใช่คำสั่ง). quantifier จะถูกอ่านว่า "any", "every", "all" หรือด้วยคำบุพบท "for": "for any", "for all" เป็นต้น อ่านปริมาณ: "มีอยู่", "มี" ฯลฯ

ปริมาณทั่วไป นำไปใช้กับภาคแสดง F(เอ็กซ์, …) มีตัวแปรเดียว (เช่น x) หรือตัวแปรหลายตัวทำให้ได้สูตร

1. xF(เอ็กซ์,…) ซึ่งตรงกับประโยคที่ว่า "for any xดำเนินการ F(เอ็กซ์, …)» หรือทั้งหมด xมีคุณสมบัติ F(เอ็กซ์, …)».

ตัวอย่างเช่น: x(x> 0) มีตัวย่อสำหรับวลี: "any xมากกว่า 0" ซึ่งเป็นข้อความเท็จ

ประโยค: เอ(เอ> 0 เอ> –1) เป็นข้อเสนอที่แท้จริง

2. ปริมาณการดำรงอยู่ นำไปใช้กับภาคแสดง F(เอ็กซ์,…) สอดคล้องกับประโยค "มีอยู่ x, ดังนั้น F(เอ็กซ์,…)" ("มี x, ซึ่ง F(เอ็กซ์,…)") และแสดงว่า: xF(เอ็กซ์,…).

ตัวอย่างเช่น ข้อความจริง "มีจำนวนจริงที่มีกำลังสองเป็น 2" เขียนโดยสูตร x(xR&x 2 = 2). ที่นี่ปริมาณที่มีอยู่ถูกนำไปใช้กับเพรดิเคต: F(x)= (xR&x 2 = 2) (จำได้ว่าเซตของจำนวนจริงทั้งหมดเขียนแทนด้วย R).

หากใช้ตัวระบุปริมาณกับเพรดิเคตที่มีตัวแปรเดียว ผลลัพธ์จะเป็นข้อเสนอ จริงหรือเท็จ หากใช้ตัวระบุปริมาณกับเพรดิเคตที่มีตัวแปรตั้งแต่สองตัวขึ้นไป ผลลัพธ์จะเป็นเพรดิเคตที่มีตัวแปรน้อยกว่าหนึ่งตัว ดังนั้น ถ้ากริยา F(x, y) มีสองตัวแปร จากนั้นในเพรดิเคต xF(x, y) หนึ่งตัวแปร y(ตัวแปร xเป็น "ที่เกี่ยวข้อง" คุณไม่สามารถแทนที่ค่าสำหรับมัน x). เพรดิเคต xF(x, y) เราสามารถประยุกต์ใช้ปริมาณของลักษณะทั่วไปหรือการมีอยู่เกี่ยวกับตัวแปรได้ yแล้วสูตรผลลัพธ์ xF(x, y) หรือ xF(x, y) เป็นข้อเสนอ

ดังนั้น ภาคแสดง | บาป x|< a » มีสองตัวแปร x, a. ภาคแสดง x(|sinx|< เอ) ขึ้นอยู่กับตัวแปรหนึ่งตัว เอในขณะที่ภาคแสดงนี้กลายเป็นข้อความเท็จ (|sinx|< ), ที่ เอ= 2 เราได้รับข้อความจริง x(|sinx|< 2).

⊃ อาจหมายถึงสิ่งเดียวกับ ⇒ (สัญลักษณ์อาจหมายถึง superset ก็ได้)

U+21D2 ⇒

⇒ (\displaystyle\Rightarrow )
→ (\displaystyle \to )\ถึง
⊃ (\displaystyle \supset )
⟹ (\displaystyle \implies )\หมายถึง

U+2254 (U+003A U+003D)

U+003A U+229C

:=
:

:= (\displaystyle:=):=
≡ (\displaystyle \equiv )
⇔ (\displaystyle\Leftrightarrow )

U+0028 U+0029 () () (\displaystyle (~)) () U+22A2 ⊢ ⊢ (\displaystyle \vdash )\vdash U+22A8 ⊨ ⊨ (\displaystyle\vDash)\vDash, เครื่องหมายสำหรับตัวดำเนินการ AND-NOT

U+22A7 ⊧ ความหมาย (ผลที่ตามมา): is รุ่นสำหรับ.... ตัวอย่างเช่น A ⊧ B หมายความว่า A หมายถึง B ในทุกรูปแบบที่ A ⊧ B ถ้า A เป็นจริง B ก็เป็นจริงเช่นกัน

U+22A8 ⊨ จริง: จริง

U+22AC ⊬ ไม่ส่งออก: ปฏิเสธ ⊢ สัญลักษณ์ ลดไม่ได้, ตัวอย่างเช่น, ตู่ ⊬ พีหมายความว่า " พีไม่ใช่ทฤษฎีบทใน ตู่»

U+22AD ⊭ เท็จ: ไม่จริง

U+22BC ⊼ NAND: โอเปอเรเตอร์ NAND อื่น เขียนเป็น ∧ . ได้เช่นกัน

U+22BD ⊽ NOR: ตัวดำเนินการ XOR สามารถเขียนเป็น V . ได้เช่นกัน

U+22C4 ⋄ ไดมอนด์: โมดอลโอเปอเรเตอร์สำหรับ "อาจ" "ไม่จำเป็น" หรือ "คงเส้นคงวา" น้อยมาก (ในโมดอลลอจิกส่วนใหญ่ โอเปอเรเตอร์ถูกกำหนดเป็น "¬◻¬")

U+22C6 ⋆ Asterisk: มักใช้เป็นตัวดำเนินการพิเศษ

U+22A5 ⊥ ปุ่มขึ้น หรือ U+2193 ↓ ลูกศรลง: ลูกศรเจาะ สัญลักษณ์ XOR บางครั้ง "⊥" ใช้เพื่อขัดแย้งหรือไร้สาระ

• U+2310 ⌐ ยกเลิก ไม่ได้

ตัวดำเนินการต่อไปนี้ไม่ค่อยได้รับการสนับสนุนโดยแบบอักษรมาตรฐาน หากคุณต้องการใช้แบบอักษรเหล่านี้บนหน้าของคุณ คุณควรฝังแบบอักษรที่ถูกต้องเสมอ เพื่อให้เบราว์เซอร์สามารถแสดงอักขระได้โดยไม่ต้องติดตั้งแบบอักษรบนคอมพิวเตอร์ของคุณ

โปแลนด์และเยอรมนี

ในโปแลนด์ ตัวระบุสากลบางครั้งเขียนเป็น ∧ (\displaystyle \wedge )และปริมาณการดำรงอยู่เป็น ∨ (\displaystyle\vee ). เช่นเดียวกับที่พบในวรรณคดีเยอรมัน

สัญลักษณ์เป็นตรรกะ

ระบบสัญญาณ (สัญลักษณ์) ที่ใช้ในตรรกะเพื่อกำหนดเงื่อนไข ภาคแสดง ข้อเสนอ ฟังก์ชันตรรกะ ความสัมพันธ์ระหว่างข้อเสนอ ระบบตรรกะที่แตกต่างกันสามารถใช้ระบบสัญกรณ์ที่แตกต่างกันได้ ดังนั้นด้านล่างเราจะให้เฉพาะสัญลักษณ์ทั่วไปที่ใช้ในวรรณกรรมเกี่ยวกับตรรกะเท่านั้น:

ตัวอักษรเริ่มต้นของอักษรละตินมักจะใช้เพื่อแสดงถึงนิพจน์คงที่ เงื่อนไข;

อักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่มักใช้เพื่อระบุข้อความเฉพาะ

ตัวอักษรที่อยู่ท้ายอักษรละตินมักใช้เพื่อระบุตัวแปรแต่ละตัว

อักษรตัวพิมพ์ใหญ่ที่ส่วนท้ายของอักษรละตินมักใช้เพื่อแสดงถึงตัวแปรเชิงประพจน์หรือตัวแปรเชิงประพจน์ เพื่อจุดประสงค์เดียวกันมักใช้อักษรตัวเล็กตรงกลางอักษรละติน: p, q, r, ...;

สัญลักษณ์เชิงตรรกะ ยู

สัญญาณที่แสดงถึงการปฏิเสธ อ่าน: "ไม่", "ไม่เป็นความจริงที่";

สัญญาณสำหรับการกำหนดคำสันธาน - การเชื่อมต่อเชิงตรรกะและคำสั่งที่มีการเชื่อมต่อดังกล่าวเป็นสัญญาณหลัก อ่านและ";

เครื่องหมายสำหรับการกำหนดการแยกที่ไม่ผูกขาด - การเชื่อมต่อเชิงตรรกะและคำสั่งที่มีการเชื่อมต่อดังกล่าวเป็นสัญญาณหลัก อ่าน: "หรือ";

เครื่องหมายแสดงถึงการแตกแยกที่เข้มงวดหรือเฉพาะเจาะจง อ่าน: "หรือ";

สัญญาณสำหรับการกำหนดความหมาย - การเชื่อมต่อเชิงตรรกะและคำสั่งที่มีการเชื่อมต่อเป็นสัญญาณหลัก อ่าน: "ถ้าอย่างนั้น";

เครื่องหมายแสดงความเท่าเทียมกันของข้อความ อ่าน: "ถ้าและเฉพาะถ้า";

เครื่องหมายแสดงถึงการอนุมานได้ของข้อความหนึ่งจากอีกข้อความหนึ่ง จากชุดของข้อความ อ่าน: "อนุพันธ์" (ถ้าคำสั่ง A มาจากชุดสถานที่ว่างซึ่งเขียนเป็น "A" เครื่องหมาย " " จะอ่านว่า: "พิสูจน์ได้");

ความจริง (จากภาษาอังกฤษ จริง - ความจริง); - โกหก (จากภาษาอังกฤษเท็จ - โกหก);

ปริมาณทั่วไป อ่าน "สำหรับทุกคน", "ทุกคน";

ปริมาณการดำรงอยู่; อ่าน: "มีอยู่", "มีอย่างน้อยหนึ่งรายการ";

สัญญาณบ่งชี้ตัวดำเนินการกิริยาของความจำเป็น; อ่าน: "มีความจำเป็นที่";

สัญญาณเพื่อระบุตัวดำเนินการที่เป็นไปได้แบบโมดอล อ่านว่า "อาจ"

นอกเหนือจากที่ระบุไว้ในระบบตรรกะหลายค่า ชั่วคราว deontic และระบบตรรกะอื่น ๆ แล้ว สัญลักษณ์เฉพาะของตัวเองยังถูกใช้ อย่างไรก็ตาม ทุกครั้งที่มีการอธิบายว่าสัญลักษณ์นี้หรือสัญลักษณ์นั้นหมายถึงอะไร และอ่านอย่างไร (ดู: เครื่องหมายลอจิก) .

พจนานุกรมตรรกะ - ม.: ทุมนิต, ผศ. ศูนย์ VLADOS. A.A. Ivin, A.L. Nikiforov. 1997 .

ดูว่า "สัญลักษณ์เชิงตรรกะ" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:

- (ค่าคงที่ตรรกะ) คำศัพท์ที่เกี่ยวข้องกับรูปแบบตรรกะของการให้เหตุผล (การพิสูจน์, ข้อสรุป) และเป็นวิธีถ่ายทอดความคิดของมนุษย์และข้อสรุป, ข้อสรุปในสาขาใด ๆ ล. ถึง รวมคำเช่นไม่และหรือมี ... อภิธานศัพท์ของเงื่อนไขตรรกะ

GOST R ISO 22742-2006: การระบุอัตโนมัติ บาร์โค้ด บาร์โค้ดเชิงเส้นและสัญลักษณ์ 2 มิติบนบรรจุภัณฑ์ของผลิตภัณฑ์- คำศัพท์ GOST R ISO 22742 2006: การระบุอัตโนมัติ บาร์โค้ด สัญลักษณ์บาร์โค้ดเชิงเส้นและสัญลักษณ์สองมิติบนเอกสารต้นฉบับบรรจุภัณฑ์ของผลิตภัณฑ์: 3.8 Data Matrix: สัญลักษณ์เมทริกซ์สองมิติพร้อมการแก้ไข ... ...

- (วิตเกนสไตน์) ลุดวิก (2432 2494) ออสโตรอังกฤษ. นักปรัชญา ศ. ปรัชญาที่มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ 2482 2490 ปรัชญา มุมมองของ V. เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของปรากฏการณ์บางอย่างในออสเตรีย วัฒนธรรมในช่วงต้น ศตวรรษที่ 20 และเป็นผลจากความคิดสร้างสรรค์ ... ... สารานุกรมปรัชญา

- (ภาษากรีก logike̅́) ศาสตร์แห่งการให้เหตุผลที่ยอมรับได้ คำว่า ล. ในการใช้งานสมัยใหม่มีความคลุมเครือแม้ว่าจะไม่ได้อุดมไปด้วยความหมายเหมือนภาษากรีกโบราณ โลโก้ที่มา ด้วยจิตวิญญาณแห่งประเพณีด้วยแนวคิด L ... สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่

- (จากสัญลักษณ์กรีก semiot) ทฤษฎีทั่วไปของระบบสัญญาณที่ศึกษาคุณสมบัติของสารเชิงซ้อนของสัญญาณที่มีลักษณะแตกต่างกันมาก ระบบดังกล่าวรวมถึงภาษาธรรมชาติ ภาษาเขียนและปากเปล่า ภาษาเทียมที่หลากหลาย เริ่มต้นด้วยการทำให้เป็นทางการ ... สารานุกรมปรัชญา

คำนี้มีความหมายอื่น ดู วัว (ความหมาย) ? วัวในประเทศ ... Wikipedia

แนวคิดแคลคูลัส- "แคลคูลัสของแนวคิด" ("บันทึกในแนวคิด") งานของนักคณิตศาสตร์และนักตรรกวิทยาชาวเยอรมัน Gottlob Frege ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของรูปแบบที่ทันสมัยของตรรกะทางคณิตศาสตร์ (สัญลักษณ์) ชื่อเต็มของงานนี้ระบุว่าใน ... ... สารานุกรมญาณวิทยาและปรัชญาวิทยาศาสตร์

Wittgenstein (WITTGENSTEIN) ลุดวิก- (พ.ศ. 2432 พ.ศ. 2494) ชาวออสเตรีย นักปรัชญา ศ. ปรัชญาที่มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ในปี พ.ศ. 2482 47 มุมมองทางปรัชญาของ V. เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของปรากฏการณ์บางอย่างในออสเตรีย วัฒนธรรมของต้นศตวรรษที่ 20 และเป็นผลจากการพัฒนาความคิดสร้างสรรค์ของความสำเร็จใหม่ ... ... ปรัชญาตะวันตกสมัยใหม่ พจนานุกรมสารานุกรม

รหัส- 01.01.14 รหัส [รหัส]: ชุดของกฎที่จับคู่องค์ประกอบของชุดหนึ่งกับองค์ประกอบของชุดอื่น [ISO/IEC 2382-4, 02/04/01] ที่มา ... หนังสืออ้างอิงพจนานุกรมของข้อกำหนดของเอกสารเชิงบรรทัดฐานและทางเทคนิค

- (Comte) ผู้ก่อตั้งแง่บวก b. 19 มกราคม พ.ศ. 2341 ในเมืองมงต์เปลลิเย่ร์ซึ่งบิดาของเขาเป็นผู้เก็บภาษี ที่ Lyceum เขาเก่งคณิตศาสตร์ เมื่อเข้าสู่โรงเรียนโปลีเทคนิค เขาทำให้อาจารย์และเพื่อนประหลาดใจด้วยพัฒนาการทางจิตของเขา ที่… … พจนานุกรมสารานุกรมเอฟเอ Brockhaus และ I.A. เอฟรอน

การรวมหรือการคูณตรรกะ (ในทฤษฎีเซตนี่คือจุดตัด)

คำสันธานคือนิพจน์เชิงตรรกะที่ซับซ้อนซึ่งจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อนิพจน์ธรรมดาทั้งสองเป็นจริง สถานการณ์ดังกล่าวเป็นไปได้ในกรณีเดียวเท่านั้น ในกรณีอื่น ๆ การรวมเป็นเท็จ

การกำหนด: &, $\wedge$, $\cdot$.

ตารางความจริงสำหรับคำเชื่อม

รูปที่ 1

คุณสมบัติร่วม:

1. หากนิพจน์ย่อยของคำสันธานอย่างน้อยหนึ่งค่าเป็นเท็จในชุดค่าตัวแปรบางชุด การสันธานทั้งหมดจะเป็นเท็จสำหรับชุดค่านี้
2. หากนิพจน์คำเชื่อมทั้งหมดเป็นจริงในชุดค่าตัวแปรบางชุด การเชื่อมทั้งหมดก็จะเป็นจริงด้วย
3. ค่าของการรวมทั้งหมดของนิพจน์ที่ซับซ้อนไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของนิพจน์ย่อยที่ใช้ (เช่นในวิชาคณิตศาสตร์ การคูณ)

การแตกแยกหรือการเพิ่มตรรกะ (ในทฤษฎีเซตนี่คือการรวม)

การแตกแยกเป็นนิพจน์เชิงตรรกะที่ซับซ้อนซึ่งเกือบจะเป็นจริงเสมอ ยกเว้นเมื่อนิพจน์ทั้งหมดเป็นเท็จ

การกำหนด: +, $\vee$.

ตารางความจริงสำหรับการถอดถอน

รูปที่ 2

คุณสมบัติการแยก:

1. หากนิพจน์ย่อย disjunction อย่างน้อยหนึ่งรายการเป็นจริงในชุดของค่าตัวแปรบางชุด ดังนั้น disjunction ทั้งหมดจะเป็น true สำหรับชุดของนิพจน์ย่อยนี้
2. หากนิพจน์ทั้งหมดจากรายการที่ไม่เกี่ยวข้องบางชุดเป็นเท็จในชุดของค่าตัวแปรบางชุด การแยกออกจากนิพจน์ทั้งหมดจะเป็นเท็จด้วย
3. ค่าของการแตกแยกทั้งหมดไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของนิพจน์ย่อย (เช่นเดียวกับในวิชาคณิตศาสตร์ - การบวก)

การปฏิเสธ การปฏิเสธเชิงตรรกะ หรือการผกผัน (ในทฤษฎีเซต นี่คือการปฏิเสธ)

การปฏิเสธ - หมายความว่าอนุภาค NOT หรือคำว่า INCORRECT ถูกเพิ่มเข้าไปในนิพจน์เชิงตรรกะดั้งเดิม ซึ่งและด้วยเหตุนี้เราจึงได้รับว่าหากนิพจน์ดั้งเดิมเป็นจริง การปฏิเสธของนิพจน์ดั้งเดิมจะเป็นเท็จ และในทางกลับกัน หาก นิพจน์ดั้งเดิมเป็นเท็จ จากนั้นการปฏิเสธจะเป็นจริง

สัญกรณ์: ไม่ใช่ $A$, $\bar(A)$, $¬A$.

ตารางความจริงสำหรับการผกผัน

รูปที่ 3

คุณสมบัติเชิงลบ:

"การปฏิเสธสองครั้ง" ของ $¬¬A$ เป็นผลมาจากข้อเสนอ $A$ นั่นคือ เป็นการซ้ำซ้อนในตรรกะที่เป็นทางการ และเท่ากับค่าในตรรกะแบบบูลีน

นัยหรือผลที่ตามมา

ความหมายโดยนัยคือนิพจน์เชิงตรรกะที่ซับซ้อนซึ่งเป็นจริงในทุกกรณี ยกเว้นเมื่อ จริง หมายถึง เท็จ นั่นคือ การดำเนินการทางลอจิคัลนี้เชื่อมต่อนิพจน์เชิงตรรกะอย่างง่ายสองนิพจน์ โดยอันแรกคือเงื่อนไข ($A$) และอันที่สอง ($A$) คือผลของเงื่อนไข ($A$)

สัญกรณ์: $\to$, $\Rightarrow$.

ตารางความจริงสำหรับความหมาย

รูปที่ 4

คุณสมบัติโดยนัย:

1. $A \to B = ¬A \vee B$.
2. ความหมาย $A \to B$ เป็นเท็จ ถ้า $A=1$ และ $B=0$
3. ถ้า $A=0$ หมายความว่า $A \to B$ เป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของ $B$ (จริงสามารถติดตามจากเท็จ)

ความเท่าเทียมกันหรือความเท่าเทียมกันทางตรรกะ

ความเท่าเทียมกันคือนิพจน์เชิงตรรกะที่ซับซ้อนซึ่งเป็นจริงในค่าที่เท่ากันของตัวแปร $A$ และ $B$

การกำหนด: $\leftrightarrow$, $\Leftrightarrow$, $\equiv$.

ตารางความจริงสำหรับความเท่าเทียมกัน

รูปที่ 5

คุณสมบัติเทียบเท่า:

1. ความเท่าเทียมกันเป็นจริงในชุดค่าที่เท่ากันของตัวแปร $A$ และ $B$
2. CNF $A \equiv B = (\bar(A) \vee B) \cdot (A \cdot \bar(B))$
3. DNF $A \equiv B = \bar(A) \cdot \bar(B) \vee A \cdot B$

การแตกแยกอย่างเข้มงวดหรือการบวกโมดูโล 2 (ในทฤษฎีเซต นี่คือการรวมกันของสองเซตที่ไม่มีจุดตัดของพวกมัน)

การแตกแยกที่เข้มงวดนั้นเป็นจริงหากค่าของอาร์กิวเมนต์ไม่เท่ากัน

สำหรับอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ นี่หมายความว่าการใช้วงจรนั้นเป็นไปได้โดยใช้องค์ประกอบทั่วไปเพียงอย่างเดียว (แม้ว่าจะเป็นองค์ประกอบที่มีราคาแพง)

ลำดับของการดำเนินการทางตรรกะในนิพจน์เชิงตรรกะที่ซับซ้อน

1. ผกผัน(ปฏิเสธ);
2. การรวม (การคูณตรรกะ);
3. การแยกและการแยกอย่างเข้มงวด (การเพิ่มตรรกะ);
4. ความหมาย (ผลที่ตามมา);
5. ความเท่าเทียมกัน (เอกลักษณ์).

ในการเปลี่ยนลำดับการดำเนินการทางตรรกะที่ระบุ คุณต้องใช้วงเล็บ

คุณสมบัติทั่วไป

สำหรับชุดบูลีน $n$ มีค่าที่แตกต่างกัน $2^n$ ทุกประการ ตารางความจริงสำหรับนิพจน์บูลีนในตัวแปร $n$ ประกอบด้วยคอลัมน์ $n+1$ และแถว $2^n$

คุณสมบัติของการดำเนินการทางตรรกะ

1. สัญกรณ์

1.1. สัญกรณ์สำหรับการเชื่อมต่อเชิงตรรกะ (การดำเนินการ):

ก) ปฏิเสธ(ผกผัน, ไม่ใช่ตรรกะ) ถูกแทนด้วย ¬ (เช่น ¬A);

ข) คำสันธาน(การคูณเชิงตรรกะ, ตรรกะ AND) แสดงโดย /\
(เช่น A /\ B) หรือ & (เช่น A & B);

ค) disjunction(การเพิ่มตรรกะ OR ตรรกะ) แสดงโดย \/
(เช่น A \/ B);

ง) กำลังติดตาม(ความหมายโดยนัย) แสดงโดย → (เช่น A → B);

จ) ตัวตนแทนด้วย ≡ (เช่น A ≡ B) นิพจน์ A ≡ B เป็นจริงก็ต่อเมื่อค่าของ A และ B เหมือนกัน (ไม่ว่าจะเป็นจริงหรือเท็จทั้งคู่)

f) สัญลักษณ์ 1 ใช้เพื่อแสดงถึงความจริง (ข้อความจริง); สัญลักษณ์ 0 - เพื่อแสดงถึงการโกหก (ข้อความเท็จ)

1.2. นิพจน์บูลีนสองนิพจน์ที่มีตัวแปรเรียกว่า เทียบเท่า (เทียบเท่า) หากค่าของนิพจน์เหล่านี้เหมือนกันสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร ดังนั้นนิพจน์ A → B และ (¬A) \/ B มีค่าเท่ากัน แต่ A /\ B และ A \/ B ไม่เท่ากัน (ความหมายของนิพจน์ต่างกันเช่นเมื่อ A \u003d 1, B \ u003d 0).

1.3. ลำดับความสำคัญของการดำเนินการเชิงตรรกะ:การผกผัน (การปฏิเสธ), การร่วม (การคูณตรรกะ), การแตกแยก (การเพิ่มตรรกะ), ความหมาย (ตาม), เอกลักษณ์ ดังนั้น ¬A \/ B \/ C \/ D จึงมีความหมายเหมือนกับ

((¬A) \/ B)\/ (C \/ D).

เป็นไปได้ที่จะเขียน A \/ B \/ C แทน (A \/ B) \/ C เช่นเดียวกับการเชื่อม: เป็นไปได้ที่จะเขียน A / \ B / \ C แทน (A / \ B ) / \ ค.

2. คุณสมบัติ

รายการด้านล่างไม่ได้หมายความว่าจะละเอียดถี่ถ้วน แต่หวังว่าจะเป็นตัวแทน

2.1. คุณสมบัติทั่วไป

1. สำหรับชุด นตัวแปรบูลีนมีอยู่จริง 2 นค่าต่างๆ ตารางความจริงสำหรับนิพจน์บูลีนจาก นตัวแปรประกอบด้วย n+1คอลัมน์และ 2 นเส้น

2.2 การแยกตัว

1. หากนิพจน์ย่อยอย่างน้อยหนึ่งนิพจน์ที่ใช้การแตกแยกเป็นจริงกับค่าตัวแปรบางชุด การแตกแยกทั้งหมดจะเป็นจริงสำหรับชุดค่านี้
2. หากนิพจน์ทั้งหมดจากรายการบางค่าเป็นจริงในชุดของค่าตัวแปรบางชุด การแตกแยกของนิพจน์เหล่านี้จะเป็นจริงด้วย
3. หากนิพจน์ทั้งหมดจากรายการบางค่าเป็นเท็จในชุดของค่าตัวแปรบางชุด การแยกออกจากนิพจน์เหล่านี้เป็นเท็จด้วย
4. ค่าของการแตกแยกไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของนิพจน์ย่อยที่ใช้

2.3. คำสันธาน

1. หากนิพจน์ย่อยอย่างน้อยหนึ่งนิพจน์ที่ใช้คำเชื่อมประสานเป็นเท็จในชุดค่าตัวแปรบางชุด ดังนั้นการเชื่อมรวมทั้งหมดจะเป็นเท็จสำหรับชุดค่านั้น
2. หากนิพจน์ทั้งหมดจากรายการบางค่าเป็นจริงในชุดของค่าตัวแปรบางชุด การร่วมของนิพจน์เหล่านี้จะเป็นจริงด้วย
3. หากนิพจน์ทั้งหมดจากรายการบางค่าเป็นเท็จในชุดของค่าตัวแปรบางชุด การร่วมของนิพจน์เหล่านี้เป็นเท็จด้วย
4. ความหมายของคำสันธานไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของนิพจน์ย่อยที่ใช้

2.4. การแยกและคำสันธานอย่างง่าย

เราเรียก (เพื่อความสะดวก) คำสันธาน เรียบง่ายถ้านิพจน์ย่อยที่ใช้คำเชื่อมเป็นตัวแปรที่แตกต่างกันหรือการปฏิเสธ ในทำนองเดียวกันการแตกแยกเรียกว่า เรียบง่ายหากนิพจน์ย่อยที่ใช้การแตกแยกเป็นตัวแปรที่แตกต่างกันหรือการปฏิเสธ

1. คำสันธานอย่างง่ายจะประเมินค่าเป็น 1 (จริง) จากค่าตัวแปรชุดเดียว
2. การแตกแยกอย่างง่ายจะประเมินเป็น 0 (เท็จ) จากค่าตัวแปรชุดเดียว

2.5. ความหมาย

1. ความหมาย อา →บีเท่ากับการเลิกรา (¬ ก) \/ ข.การแยกนี้ยังสามารถเขียนเป็น: เอ\/บี
2. ความหมาย อา →บีรับค่า 0 (เท็จ) เฉพาะเมื่อ A=1และ ข=0.ถ้า เอ=0,แล้วความหมาย อา →บีเป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ข.