Se a velocidade não for direcionada verticalmente, então o movimento do corpo será curvilíneo.
Considere o movimento de um corpo lançado horizontalmente de uma altura h com velocidade (Fig. 1). A resistência do ar será desprezada. Para descrever o movimento, é necessário escolher dois eixos de coordenadas - Ox e Oy. A origem das coordenadas é compatível com a posição inicial do corpo. A Figura 1 mostra isso.
Então o movimento do corpo será descrito pelas equações:
Uma análise dessas fórmulas mostra que na direção horizontal a velocidade do corpo permanece inalterada, ou seja, o corpo se move uniformemente. Na direção vertical, o corpo se move uniformemente com aceleração, ou seja, da mesma forma que um corpo em queda livre sem velocidade inicial. Vamos encontrar a equação da trajetória. Para isso, a partir da equação (1) encontramos o tempo e, substituindo seu valor na fórmula (2), obtemos
Esta é a equação de uma parábola. Portanto, um corpo lançado horizontalmente se move ao longo de uma parábola. A velocidade do corpo em qualquer momento é direcionada tangencialmente à parábola (ver Fig. 1). O módulo de velocidade pode ser calculado usando o teorema de Pitágoras:
Conhecendo a altura h da qual o corpo é lançado, você pode encontrar o tempo após o qual o corpo cairá no chão. Neste momento, a coordenada y é igual à altura: . Da equação (2) encontramos
Considere o movimento de um corpo lançado horizontalmente e movendo-se apenas sob a ação da gravidade (desprezando a resistência do ar). Por exemplo, imagine que uma bola sobre uma mesa recebe um empurrão e ela rola até a borda da mesa e começa a cair livremente, tendo uma velocidade inicial direcionada horizontalmente (Fig. 174).
Vamos projetar o movimento da bola no eixo vertical e no eixo horizontal. O movimento de projeção da bola sobre o eixo é um movimento sem aceleração com velocidade de ; o movimento da projeção da bola no eixo é uma queda livre com aceleração além da velocidade inicial sob a ação da gravidade. Conhecemos as leis de ambos os movimentos. A componente da velocidade permanece constante e igual a . O componente cresce proporcionalmente ao tempo: . A velocidade resultante é facilmente encontrada usando a regra do paralelogramo, como mostrado na Fig. 175. Ele se inclinará para baixo e sua inclinação aumentará com o tempo.
Arroz. 174. Movimento de uma bola rolando de uma mesa
Arroz. 175. Uma bola lançada horizontalmente com velocidade tem velocidade no momento
Encontre a trajetória de um corpo lançado horizontalmente. As coordenadas do corpo no momento importam
Para encontrar a equação da trajetória, expressamos a partir de (112.1) o tempo e substituímos esta expressão em (112.2). Como resultado, obtemos
O gráfico desta função é mostrado na Fig. 176. As ordenadas dos pontos da trajetória são proporcionais aos quadrados das abcissas. Sabemos que tais curvas são chamadas de parábolas. Uma parábola mostrava um gráfico da trajetória do movimento uniformemente acelerado (§ 22). Então, um corpo em queda livre velocidade inicial que é horizontal, se move ao longo de uma parábola.
O caminho percorrido na direção vertical não depende da velocidade inicial. Mas o caminho percorrido na direção horizontal é proporcional à velocidade inicial. Portanto, com uma grande velocidade inicial horizontal, a parábola ao longo da qual o corpo cai é mais alongada na direção horizontal. Se um jato de água for disparado de um tubo localizado horizontalmente (Fig. 177), então partículas individuais de água se moverão, como a bola, ao longo de uma parábola. Quanto mais aberta a torneira pela qual a água entra no tubo, maior a velocidade inicial da água e mais longe da torneira o jato chega ao fundo da cubeta. Colocando uma tela com parábolas pré-desenhadas atrás do jato, pode-se verificar que o jato de água realmente tem a forma de uma parábola.
Arroz. 176. Trajetória de um corpo lançado horizontalmente
Teoria
Se um corpo é lançado em um ângulo em relação ao horizonte, em voo ele é afetado pela gravidade e pela resistência do ar. Se a força de resistência for desprezada, então a única força que resta é a força da gravidade. Portanto, devido à 2ª lei de Newton, o corpo se move com uma aceleração igual à aceleração de queda livre; projeções de aceleração nos eixos coordenados são um x = 0, e em= -g.
Qualquer movimento complexo de um ponto material pode ser representado como uma imposição de movimentos independentes ao longo dos eixos coordenados, e na direção de diferentes eixos, o tipo de movimento pode diferir. No nosso caso, o movimento de um corpo voador pode ser representado como uma superposição de dois movimentos independentes: Movimento uniforme ao longo do eixo horizontal (eixo X) e movimento uniformemente acelerado ao longo do eixo vertical (eixo Y) (Fig. 1).
As projeções de velocidade do corpo, portanto, mudam com o tempo da seguinte forma:
,
onde é a velocidade inicial, α é o ângulo de lançamento.
As coordenadas do corpo, portanto, mudam assim:
Com nossa escolha da origem das coordenadas, as coordenadas iniciais (Fig. 1) Então
O segundo valor do tempo em que a altura é igual a zero é igual a zero, que corresponde ao momento do arremesso, ou seja. este valor também tem um significado físico.
O alcance de voo é obtido a partir da primeira fórmula (1). O alcance do voo é o valor da coordenada X no final do voo, ou seja, em um momento igual a t0. Substituindo o valor (2) na primeira fórmula (1), obtemos:
| . | (3) |
A partir desta fórmula pode-se ver que alcance mais longo o vôo é alcançado em um ângulo de lançamento de 45 graus.
A maior altura de elevação do corpo arremessado pode ser obtida a partir da segunda fórmula (1). Para isso, é necessário substituir nesta fórmula o valor do tempo igual à metade do tempo de voo (2), pois é no ponto médio da trajetória que a altitude de voo é máxima. Fazendo os cálculos, obtemos
O corpo pode ser lançado de tal forma que sua velocidade inicial v0 será direcionado horizontalmente (α = 0). Esta é a direção, por exemplo, da velocidade inicial de um corpo destacado de uma aeronave voando horizontalmente. É fácil entender por qual trajetória o corpo se moverá. Voltemos à Figura 15, que mostra a trajetória parabólica de um corpo lançado em um ângulo α com o horizonte. No ponto mais alto da trajetória da parábola, a velocidade do corpo é precisamente direcionada horizontalmente. Como já sabemos, além deste ponto o corpo se move ao longo do ramo direito da parábola. Obviamente, qualquer corpo lançado horizontalmente também se moverá ao longo do ramo da parábola.
A trajetória do movimento de corpos lançados horizontalmente ou em ângulo com o horizonte pode ser estudada visualmente em um experimento simples. Um recipiente cheio de água é colocado a uma certa altura acima da mesa e conectado com um tubo de borracha a uma ponta equipada com uma torneira. Os jatos de água emitidos mostram diretamente as trajetórias do movimento das partículas de água. Assim, é possível observar trajetórias em diferentes valores do ângulo de incidência α e velocidade v0.
O tempo de movimento de um corpo lançado horizontalmente de uma certa altura inicial é determinado apenas pelo tempo necessário para a queda livre do corpo dessa altura inicial. Portanto, por exemplo, uma bala disparada por um atirador de uma arma na direção horizontal cairá no chão ao mesmo tempo que uma bala lançada por acaso no momento do tiro (desde que o atirador solte a bala do mesmo altura em que se encontra na arma no momento do disparo!. .). Mas uma bala cairá aos pés do atirador, e uma bala disparada de um cano de arma cairá a muitas centenas de metros dele.
Este exemplo foi escolhido pelo motivo de que o problema em questão é de natureza bastante geral e permite, usando o exemplo de sua solução, entender melhor todas as características do movimento de um corpo sob a ação da gravidade.
Para resolver este problema, usaremos apenas duas suposições iniciais:
Vamos direcionar os eixos sistema retangular Coordenadas X e Y nas direções do movimento horizontal e vertical do ponto. Como o vetor aceleração gravitacional não possui componente paralela ao eixo X, ou seja, as equações vetoriais do movimento do corpo têm a forma:
De forma explícita, a expressão para as projeções das grandezas vetoriais incluídas na primeira equação sobre os eixos do sistema de coordenadas tem a forma que determina a posição do corpo no instante t:
Como cada vetor pode ser representado como a soma de suas projeções (estes também são vetores) nos eixos coordenados, cada equação vetorial pode ser representada como duas equações vetoriais, mas para projeções. Tendo expressado as projeções das grandezas vetoriais incluídas em segunda equação, no eixo do sistema de coordenadas, encontramos os componentes da velocidade
e a expressão para a velocidade resultante (usando o teorema de Pitágoras) A tangente do ângulo entre a direção da velocidade resultante e o eixo X é igual, ou seja, muda ao longo do tempo. Isso é compreensível, pois o valor da velocidade tem uma interpretação geométrica na forma da tangente da inclinação da tangente à dependência da coordenada ou raio vetor no tempo.Eliminando t de ambas as equações que determinam a posição do corpo no instante t, obtemos a equação da trajetória de voo
Para determinar as acelerações tangencial e normal do corpo em um ponto de coordenadas x, y, notamos que a aceleração total do corpo é sempre direcionada para baixo e representa apenas a aceleração da gravidade (não há outras forças e acelerações de acordo com a condição do problema). A aceleração tangencial é igual à projeção do vetor na tangente à trajetória (ou seja, −g sinγ , como visto na figura explicativa do problema), e a aceleração normal à tangente é igual à projeção de −g cosγ (ver Fig. 16)
entãoVamos encontrar ao longo do caminho o valor aproximado do raio de curvatura (R) da trajetória no momento t. Assumindo que o ponto se move ao longo de um arco de círculo (esta é uma aproximação que simplifica a fórmula matemática final do resultado, que na verdade não ocorre e é melhor realizado próximo ao ponto de elevação máxima do corpo), usamos a fórmula
entãoSe o corpo for lançado de um ponto na superfície onde e y = 0, o problema se torna muito mais simples. Reduzindo por (x max − x 0), encontramos que
O tempo total de voo pode ser determinado pela fórmula 
Onde
A maior altura de levantamento do corpo é atingida no momento t quando v y = 0 . Como a componente do vetor velocidade ao longo do eixo Y é , então, no ponto de elevação máxima do corpo, ocorre a igualdade v y = 0, da qual obtemos
Considere o movimento de um corpo lançado horizontalmente e movendo-se apenas sob a ação da gravidade (desprezando a resistência do ar). Por exemplo, imagine que uma bola sobre uma mesa recebe um empurrão e ela rola até a borda da mesa e começa a cair livremente, tendo uma velocidade inicial direcionada horizontalmente (Fig. 174).
Vamos projetar o movimento da bola no eixo vertical e no eixo horizontal. O movimento de projeção da bola sobre o eixo é um movimento sem aceleração com velocidade de ; o movimento da projeção da bola no eixo é uma queda livre com aceleração além da velocidade inicial sob a ação da gravidade. Conhecemos as leis de ambos os movimentos. A componente da velocidade permanece constante e igual a . O componente cresce proporcionalmente ao tempo: . A velocidade resultante é facilmente encontrada usando a regra do paralelogramo, como mostrado na Fig. 175. Ele se inclinará para baixo e sua inclinação aumentará com o tempo.
Arroz. 174. Movimento de uma bola rolando de uma mesa
Arroz. 175. Uma bola lançada horizontalmente com velocidade tem velocidade no momento
Encontre a trajetória de um corpo lançado horizontalmente. As coordenadas do corpo no momento importam
Para encontrar a equação da trajetória, expressamos a partir de (112.1) o tempo e substituímos esta expressão em (112.2). Como resultado, obtemos
O gráfico desta função é mostrado na Fig. 176. As ordenadas dos pontos da trajetória são proporcionais aos quadrados das abcissas. Sabemos que tais curvas são chamadas de parábolas. Uma parábola mostrava um gráfico da trajetória do movimento uniformemente acelerado (§ 22). Assim, um corpo em queda livre cuja velocidade inicial é horizontal se move ao longo de uma parábola.
O caminho percorrido na direção vertical não depende da velocidade inicial. Mas o caminho percorrido na direção horizontal é proporcional à velocidade inicial. Portanto, com uma grande velocidade inicial horizontal, a parábola ao longo da qual o corpo cai é mais alongada na direção horizontal. Se um jato de água for disparado de um tubo localizado horizontalmente (Fig. 177), então partículas individuais de água se moverão, como a bola, ao longo de uma parábola. Quanto mais aberta a torneira pela qual a água entra no tubo, maior a velocidade inicial da água e mais longe da torneira o jato chega ao fundo da cubeta. Colocando uma tela com parábolas pré-desenhadas atrás do jato, pode-se verificar que o jato de água realmente tem a forma de uma parábola.
112.1. Qual será a velocidade de um corpo lançado horizontalmente a uma velocidade de 15 m/s após 2 segundos de vôo? Em que momento a velocidade será direcionada em um ângulo de 45° com a horizontal? Ignore a resistência do ar.
112.2. Uma bola rolada de uma mesa de 1m de altura caiu a uma distância de 2m da borda da mesa. Qual era a velocidade horizontal da bola? Ignore a resistência do ar.
