아킬레스가 거북이보다 10배 빠르고 거북이보다 1000보나 뒤진다고 가정해 봅시다. 아킬레우스가 이 거리를 달리는 동안 거북이는 같은 방향으로 100보를 기어갑니다. 아킬레우스가 100보를 달리면 거북이는 또 10보를 기어가고 이런 식으로 계속됩니다. 이 과정은 무기한 계속될 것이며 아킬레스는 거북이를 따라가지 못할 것입니다.
이 추론은 모두에게 논리적인 충격으로 다가왔습니다. 후속 세대. 아리스토텔레스, 디오게네스, 칸트, 헤겔, 길베르트... 그들 모두는 어떤 식으로든 제노의 아포리아를 고려했습니다. 충격이 너무 강해서 " ... 토론은 현재 계속되고 있으며 과학계는 아직 역설의 본질에 대한 공통된 의견에 도달하지 못했습니다 ... 수학적 분석, 집합 이론, 새로운 물리적 및 철학적 접근이 문제 연구에 참여했습니다 ; 그들 중 누구도 문제에 대한 보편적인 해결책이 되지 못했습니다 ..."[위키피디아," Zeno's Aporias "]. 자신이 속고 있다는 것은 누구나 알지만 속임수가 무엇인지는 아무도 이해하지 못한다.
수학의 관점에서 Zeno는 그의 아포리아에서 가치에서 가치로의 전환을 분명히 보여주었습니다. 이 전환은 상수 대신 적용을 의미합니다. 내가 아는 한, 가변 측정 단위를 적용하는 수학적 장치는 아직 개발되지 않았거나 Zeno의 아포리아에 적용되지 않았습니다. 우리의 일반적인 논리를 적용하면 함정에 빠지게 됩니다. 우리는 사고의 관성에 의해 일정한 시간 단위를 역수에 적용합니다. 물리적인 관점에서 보면 아킬레스가 거북이를 따라잡는 순간에 시간이 완전히 멈추는 것처럼 보입니다. 시간이 멈추면 아킬레스는 더 이상 거북이를 따라갈 수 없습니다.
우리가 익숙한 논리를 바꾸면 모든 것이 제자리에 들어갑니다. 아킬레스는 일정한 속도로 달립니다. 경로의 각 후속 세그먼트는 이전 세그먼트보다 10배 더 짧습니다. 따라서 그것을 극복하는 데 소요되는 시간은 이전보다 10 배 적습니다. 이 상황에서 '무한'이라는 개념을 적용한다면 '아킬레스는 거북이를 무한히 빠르게 추월할 것이다'라고 말하는 것이 맞을 것이다.
이 논리적 함정을 피하는 방법은 무엇입니까? 일정한 시간 단위를 유지하고 상호 값으로 전환하지 마십시오. Zeno의 언어로 보면 다음과 같습니다.
아킬레우스가 천 걸음을 달리는 데 걸리는 시간에 거북이는 같은 방향으로 백 걸음을 기어갑니다. 첫 번째 시간과 동일한 다음 시간 간격 동안 아킬레스는 천 걸음을 더 달리고 거북이는 백 걸음을 기어갑니다. 이제 아킬레스는 거북이보다 800보 앞서 있습니다.
이 접근 방식은 논리적 역설 없이 현실을 적절하게 설명합니다. 그러나 이것은 문제에 대한 완전한 해결책이 아닙니다. 빛의 속도의 극복 불가능성에 대한 아인슈타인의 진술은 Zeno의 아포리아 "아킬레스와 거북이"와 매우 유사합니다. 우리는 아직 이 문제를 연구하고 재고하고 해결하지 못했습니다. 그리고 솔루션은 무한히 많은 숫자가 아니라 측정 단위로 찾아야 합니다.
Zeno의 또 다른 흥미로운 아포리아는 날아다니는 화살에 대해 다음과 같이 알려줍니다.
날아가는 화살은 움직이지 않는데, 그 이유는 매 순간 정지하고 있기 때문에, 매 순간 정지하고 있기 때문에 항상 정지하고 있기 때문입니다.
이 아포리아에서 논리적 역설은 매우 간단하게 극복됩니다. 비행 화살은 시간의 매 순간에 공간의 다른 지점에 있다는 것을 명확히 하는 것으로 충분합니다. 이는 실제로 움직임입니다. 여기서 주목해야 할 또 다른 점이 있다. 도로 위의 한 장의 자동차 사진에서 그 움직임의 사실이나 거리를 결정하는 것은 불가능합니다. 자동차의 이동 사실을 확인하려면 같은 지점에서 다른 시점에 찍은 두 장의 사진이 필요하지만 거리를 판단하는 데 사용할 수는 없습니다. 자동차까지의 거리를 결정하려면 동시에 공간의 다른 지점에서 찍은 두 장의 사진이 필요하지만 그로부터의 움직임 사실을 결정할 수는 없습니다(물론 계산을 위해 여전히 추가 데이터가 필요하며 삼각법이 도움이 될 것입니다). 나는 무엇에 집중하고 싶은가 특별한 주의, 시간의 두 지점과 공간의 두 지점은 서로 다른 탐색 기회를 제공하기 때문에 혼동해서는 안 되는 다른 것입니다.
set과 multiset의 차이점은 Wikipedia에 잘 설명되어 있습니다. 우리는 본다.
보시다시피 "집합은 두 개의 동일한 요소를 가질 수 없습니다" 하지만 집합에 동일한 요소가 있는 경우 이러한 집합을 "다중집합"이라고 합니다. 합리적인 존재는 그러한 부조리의 논리를 결코 이해하지 못할 것입니다. 이것은 "완전히"라는 단어에서 마음이 빠져있는 말하는 앵무새와 훈련 된 원숭이의 수준입니다. 수학자들은 그들의 터무니없는 생각을 우리에게 전하는 평범한 훈련사처럼 행동합니다.
옛날 옛적에 다리를 건설한 엔지니어들은 다리 테스트 중에 다리 아래 보트에 있었습니다. 다리가 무너지면 평범한 엔지니어가 자신이 만든 잔해 아래에서 사망했습니다. 다리가 하중을 견딜 수 있다면 재능 있는 엔지니어가 다른 다리를 지었습니다.
수학자들이 "내 마음을 알아줘, 나는 집에 있다"라는 말 뒤에, 또는 오히려 "수학은 추상적인 개념을 연구한다"라는 말 뒤에 숨었다고 해도, 그것들을 현실과 불가분하게 연결하는 하나의 탯줄이 있다. 이 탯줄은 돈입니다. 수학자 자신에게 수학적 집합론을 적용해 보자.
우리는 수학을 아주 잘 공부했고 지금은 급여를 지불하면서 계산대에 앉아 있습니다. 여기 수학자가 돈을 위해 우리에게옵니다. 우리는 전체 금액을 그에게 계산하고 우리 테이블에 다른 더미에 놓고 같은 교단의 지폐를 넣습니다. 그런 다음 각 더미에서 하나의 지폐를 가져와 수학자에게 "수학적 급여 세트"를 제공합니다. 우리는 그가 동일한 요소가 없는 집합이 동일한 요소를 가진 집합과 같지 않다는 것을 증명할 때만 그가 나머지 지폐를 받을 것이라고 수학을 설명합니다. 여기서부터 재미가 시작됩니다.
우선, 대리인의 논리가 작동합니다. "다른 사람에게는 적용할 수 있지만 나에게는 적용할 수 없습니다!" 또한 동일한 금액의 지폐에 다른 지폐 번호가 있다는 보증이 시작됩니다. 즉, 동일한 요소로 간주될 수 없습니다. 글쎄, 우리는 급여를 동전으로 계산합니다. 동전에는 숫자가 없습니다. 여기서 수학자는 물리학을 경련적으로 회상하기 시작할 것입니다. 다른 동전에는 다른 금액각 동전의 먼지, 결정 구조 및 원자 배열은 고유합니다...
이제 가장 흥미로운 질문이 있습니다. 다중 집합의 요소가 집합의 요소로 바뀌거나 그 반대로 바뀌는 경계는 어디입니까? 그러한 선은 존재하지 않습니다. 모든 것은 무당에 의해 결정되며 과학은 가깝지 않습니다.
이봐. 우리는 동일한 필드 면적을 가진 축구 경기장을 선택합니다. 필드의 면적은 동일하므로 다중 집합이 있습니다. 하지만 같은 경기장의 이름을 생각해 보면 이름이 다르기 때문에 많은 것을 얻을 수 있습니다. 보시다시피 동일한 요소 집합은 동시에 집합과 다중 집합입니다. 어때요? 그리고 여기서 수학자 샤먼 슐러는 소매에서 트럼프 에이스를 꺼내 세트 또는 다중 세트에 대해 이야기하기 시작합니다. 어쨌든 그는 자신이 옳다는 것을 우리에게 확신시킬 것입니다.
현대 샤먼이 집합 이론과 함께 작동하는 방식을 이해하고 현실과 연결하려면 한 가지 질문에 답하는 것으로 충분합니다. 한 집합의 요소가 다른 집합의 요소와 어떻게 다른가요? "하나의 전체로 생각할 수 없다" 또는 "하나의 전체로 생각할 수 없다"는 표현 없이 보여드리겠습니다.
숫자의 자릿수의 합은 탬버린을 든 무당의 춤이며 수학과는 관련이 없습니다. 예, 수학 수업에서 우리는 숫자의 자릿수의 합을 찾아 사용하도록 배웠습니다. 그러나 그들은 후손에게 기술과 지혜를 가르치기 위해 무당입니다. 그렇지 않으면 무당은 단순히 죽을 것입니다.
증거가 필요합니까? Wikipedia를 열고 "숫자의 합" 페이지를 찾으십시오. 그녀는 존재하지 않습니다. 수학에는 모든 숫자의 자릿수의 합을 구하는 공식이 없습니다. 결국, 숫자는 우리가 숫자를 쓰는 데 사용하는 그래픽 기호이며 수학 언어로 작업은 다음과 같이 들립니다. "모든 숫자를 나타내는 그래픽 기호의 합 찾기." 수학자들은 이 문제를 해결할 수 없지만 샤먼은 기본적으로 해결할 수 있습니다.
주어진 숫자의 자릿수의 합을 찾기 위해 무엇을, 어떻게 하는지 알아봅시다. 12345라는 숫자가 있다고 가정해 보겠습니다. 이 숫자의 자릿수 합계를 찾기 위해 수행해야 하는 작업은 무엇입니까? 모든 단계를 순서대로 고려합시다.
1. 종이에 숫자를 적는다. 우리는 무엇을 했습니까? 숫자를 숫자 그래픽 기호로 변환했습니다. 이것은 수학적인 연산이 아닙니다.
2. 받은 사진 한 장을 숫자가 다른 여러 장의 사진으로 잘라냅니다. 그림을 자르는 것은 수학적인 작업이 아닙니다.
3. 개별 그래픽 문자를 숫자로 변환합니다. 이것은 수학적인 연산이 아닙니다.
4. 결과 숫자를 더하십시오. 이제 수학입니다.
숫자 12345의 자릿수 합은 15입니다. 이것은 수학자들이 사용하는 무당의 "재단 및 재봉 과정"입니다. 하지만 그게 다가 아닙니다.
수학의 관점에서 우리가 숫자를 쓰는 숫자 체계는 중요하지 않습니다. 따라서 다른 숫자 체계에서는 같은 숫자의 자릿수의 합이 다릅니다. 수학에서 숫자 체계는 숫자 오른쪽에 첨자로 표시됩니다. 에서 큰 수 12345 나는 내 머리를 속이고 싶지 않습니다. 기사에서 숫자 26을 고려하십시오. 이 숫자를 2진수, 8진수, 10진수 및 16진수 시스템으로 작성해 보겠습니다. 우리는 현미경으로 각 단계를 고려하지 않을 것입니다. 우리는 이미 그렇게 했습니다. 결과를 살펴보겠습니다.
보시다시피 다른 숫자 체계에서는 같은 숫자의 자릿수의 합이 다릅니다. 이 결과는 수학과 관련이 없습니다. 미터와 센티미터로 직사각형의 면적을 찾는 것은 완전히 다른 결과를 주는 것과 같습니다.
모든 숫자 체계에서 0은 동일하게 보이며 자릿수 합이 없습니다. 이것은 사실에 찬성하는 또 다른 주장입니다. 수학자들을 위한 질문: 숫자가 아닌 것을 수학에서 어떻게 표시합니까? 수학자에게 숫자 외에는 존재하지 않는 것은 무엇입니까? 샤먼의 경우 허용할 수 있지만 과학자의 경우에는 허용되지 않습니다. 현실은 숫자에 국한되지 않습니다.
얻은 결과는 숫자 체계가 숫자 측정 단위라는 증거로 간주되어야 합니다. 결국, 우리는 측정 단위가 다른 숫자를 비교할 수 없습니다. 동일한 수량의 다른 측정 단위로 동일한 조치가 발생하는 경우 다른 결과그것들을 비교 한 후에는 수학과 아무 관련이 없습니다.
진짜 수학이란? 이것은 수학적 작업의 결과가 숫자 값, 사용된 측정 단위 및 이 작업을 수행하는 사람에 따라 달라지지 않는 경우입니다.
아야! 여기가 여자화장실 아니야?
- 젊은 여성! 이것은 승천한 영혼의 무기한 거룩함을 연구하는 실험실입니다! 상단에 후광 및 위쪽 화살표. 다른 화장실은?
암컷... 위쪽에 후광이 있고 아래쪽에 화살표가 있는 것은 수컷입니다.
이런 디자인 아트 작품이 하루에도 몇 번씩 눈앞에 번쩍이면,
그런 다음 갑자기 차에서 이상한 아이콘을 발견하는 것은 놀라운 일이 아닙니다.
개인적으로 똥싸는 사람의 영하 4도(사진 한 장)(여러 장의 사진 구성: 빼기 기호, 숫자 4, 도 지정)를 보기 위해 스스로 노력합니다. 그리고 나는 이 소녀를 물리학을 모르는 바보라고 생각하지 않습니다. 그녀는 그래픽 이미지에 대한 인식에 대한 아크 고정 관념을 가지고 있습니다. 그리고 수학자들은 우리에게 항상 이것을 가르칩니다. 다음은 예입니다.
1A는 "마이너스 4도" 또는 "1 a"가 아닙니다. 이것은 16진수 시스템에서 "똥배" 또는 숫자 "26"입니다. 이 숫자 체계에서 끊임없이 일하는 사람들은 자동으로 숫자와 문자를 하나의 그래픽 기호로 인식합니다.
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정의
다면체다각형으로 구성되고 공간의 일부를 경계로 하는 닫힌 표면을 호출합니다.
이 다각형의 변인 세그먼트를 갈비 살다면체 및 다각형 자체 - 얼굴들. 다각형의 꼭짓점을 다면체의 꼭짓점이라고 합니다.
우리는 볼록 다면체만 고려할 것입니다(이것은 면을 포함하는 각 평면의 면에 있는 다면체입니다).
다면체를 구성하는 다각형이 표면을 형성합니다. 주어진 다면체로 둘러싸인 공간의 일부를 내부라고 합니다.
정의: 프리즘
평행 평면에 위치한 두 개의 동일한 다각형 \(A_1A_2A_3...A_n\) 및 \(B_1B_2B_3...B_n\)을 고려하여 세그먼트가 \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)평행하다. 다각형 \(A_1A_2A_3...A_n\) 및 \(B_1B_2B_3...B_n\) 과 평행사변형으로 구성된 다면체 \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), (\(n\)-석탄) 프리즘.
다각형 \(A_1A_2A_3...A_n\) 및 \(B_1B_2B_3...B_n\)을 프리즘의 밑면이라고 합니다. 평행사변형 \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– 측면, 세그먼트 \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- 옆 갈비뼈.
따라서 프리즘의 측면 모서리는 서로 평행하고 동일합니다.
예를 고려하십시오 - 프리즘 \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), 밑변이 볼록 오각형입니다.
키프리즘은 한 밑면의 임의의 점에서 다른 밑면의 평면에 수직입니다.
측면 모서리가 밑면에 수직이 아닌 경우 이러한 프리즘을 비스듬한(그림 1), 그렇지 않으면 - 똑바로. 직선 프리즘의 경우 측면 모서리는 높이이고 측면은 동일한 직사각형입니다.
정다각형이 오른쪽 프리즘의 밑면에 있으면 프리즘이 호출됩니다. 옳은.
정의: 부피의 개념
부피 단위는 단위 입방체입니다(단위는 측정 단위 \(1\times1\times1\) 단위\(^3\) 차원의 입방체).
다면체의 부피는 이 다면체가 제한하는 공간의 양이라고 말할 수 있습니다. 그렇지 않으면: 단위 큐브와 그 부분이 주어진 다면체에 맞는 횟수를 숫자 값으로 나타내는 값입니다.
볼륨은 면적과 동일한 속성을 가집니다.
1. 같은 숫자의 부피는 같습니다.
2. 다면체가 여러 개의 교차하지 않는 다면체로 구성된 경우, 그 부피는 합과 같다이 다면체의 부피.
3. 볼륨은 음수가 아닌 값입니다.
4. 부피는 cm\(^3\) (입방 센티미터), m\(^3\) ( 입방 미터) 등.
정리
1. 프리즘의 측면 면적은 베이스 둘레와 프리즘 높이의 곱과 같습니다.
측면 면적은 프리즘 측면의 면적의 합입니다.
2. 프리즘의 부피는 기본 면적과 프리즘 높이의 곱과 같습니다. \
정의: 상자
평행 육면체밑변이 평행사변형인 프리즘입니다.
평행육면체의 모든 면(그들의 \(6\) : \(4\) 측면과 \(2\) 밑변)은 평행사변형이고, 반대면(서로 평행한)은 동일한 평행사변형입니다(그림 2).
상자의 대각선는 같은 면에 있지 않은 평행육면체의 두 꼭짓점을 연결하는 선분입니다(\(8\): \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\)등.).
직육면체밑면에 직사각형이 있는 직육면체입니다.
왜냐하면 는 직육면체이고 측면은 직사각형입니다. 따라서 일반적으로 직육면체의 모든 면은 직사각형입니다.
직육면체의 모든 대각선은 동일합니다(이는 삼각형의 평등에서 따릅니다. \(\삼각형 ACC_1=\삼각형 AA_1C=\삼각형 BDD_1=\삼각형 BB_1D\)등.).
논평
따라서 평행 육면체는 프리즘의 모든 속성을 갖습니다.
정리
직육면체의 측면 면적은 다음과 같습니다. \
직육면체의 전체 표면적은 \
정리
직육면체의 부피는 한 꼭짓점에서 나오는 세 모서리의 곱과 같습니다(입방체의 3차원). \
증거
왜냐하면 직육면체의 경우 측면 모서리는 밑면에 수직이며 높이도 됩니다. 즉, \(h=AA_1=c\) 밑면은 직사각형 \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). 여기에서 공식이 나옵니다.
정리
직육면체의 대각선 \(d\)는 공식에 의해 검색됩니다(여기서 \(a,b,c\)는 직육면체의 치수)\
증거
그림을 고려하십시오. 3. 때문에 밑변은 직사각형이고 \(\triangle ABD\) 는 직사각형이므로 피타고라스 정리 \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) 입니다.
왜냐하면 모든 측면 모서리가 밑면에 수직인 경우 \(BB_1\perp (ABC) \오른쪽 화살표 BB_1\)이 평면의 모든 선에 수직입니다. \(BB_1\perp BD\) . 따라서 \(\triangle BB_1D\)는 직사각형입니다. 그러면 피타고라스 정리에 의해 \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), 일.
정의: 큐브
입방체는 모든 변이 같은 정사각형인 직육면체입니다.
따라서 세 차원은 서로 같습니다. \(a=b=c\) . 따라서 다음은 사실입니다.
정리
1. 모서리가 \(a\)인 정육면체의 부피는 \(V_(\text(cube))=a^3\) 입니다.
2. 큐브 대각선은 \(d=a\sqrt3\) 공식으로 검색됩니다.
3. 입방체의 총 표면적 \(S_(\text(전체 큐브 반복))=6a^2\).
평행 육면체는 밑변이 평행 사변형 인 프리즘입니다. 이 경우 모든 모서리가 평행사변형.
각 평행 육면체는 세 개의 프리즘으로 간주 될 수 있습니다. 다른 방법들, 모든 두 개의 반대 면을 기준으로 할 수 있기 때문에(그림 5에서 면 ABCD와 A "B" C "D", 또는 ABA "B"와 CDC "D", 또는 BC "C"와 ADA "D" ) .
고려 중인 몸체에는 4개의 동일하고 서로 평행한 12개의 모서리가 있습니다.
정리 3
. 평행 육면체의 대각선은 한 점에서 교차하며 각각의 중점과 일치합니다.
평행 육면체 ABCDA"B"C"D"(그림 5)에는 4개의 대각선 AC", BD", CA", DB"가 있습니다. 예를 들어 AC와 BD 중 임의의 두 점의 중점이 일치함을 증명해야 하며, 이는 변 AB와 C "D"가 같고 변이 평행한 도형 ABC "D"가 평행사변형이라는 사실에서 비롯됩니다. .
정의 7
. 직육면체는 직육면체이기도 한 직육면체, 즉 측면 모서리가 기준면에 수직인 평행육면체입니다.
정의 8
. 직육면체는 밑변이 직사각형인 직육면체입니다. 이 경우 모든 면이 직사각형이 됩니다.
직육면체는 직육면체입니다. 어떤 면을 밑면으로 삼든 상관없이 각 모서리는 같은 꼭짓점에서 나오는 모서리에 수직이므로 면의 평면에 수직입니다. 이 모서리에 의해 정의됩니다. 대조적으로 직사각형이 아닌 직선형 상자는 한 가지 방식으로만 직각기둥으로 볼 수 있습니다.
정의 9
. 두 개의 모서리가 서로 평행하지 않은 직육면체의 세 모서리 길이(예: 같은 꼭짓점에서 나오는 세 모서리)를 치수라고 합니다. |해당하는 동일한 치수를 갖는 두 개의 직육면체는 분명히 서로 같습니다.
정의 10
정육면체는 3차원이 모두 같으므로 모든 면이 정사각형인 직육면체입니다. 모서리가 같은 두 큐브는 같습니다. 
정의 11
. 모든 모서리가 동일하고 모든 면의 각도가 같거나 상보적인 경사 평행 육면체를 능면체라고 합니다.
마름모꼴의 모든 면은 같은 마름모입니다. (마름모꼴의 모양에는 다음을 가진 결정이 있습니다. 큰 중요성, 예를 들어 아이슬란드 스파링 결정.) 능면체에서는 인접한 모든 각도가 서로 동일한 꼭짓점(심지어 두 개의 반대 꼭짓점)을 찾을 수 있습니다.
정리 4
. 직육면체의 대각선은 서로 같습니다. 대각선의 제곱은 3차원의 제곱의 합과 같습니다.
에 직육면체 ABCDA "B" C "D"(그림 6) 사변형 ABC "D"가 직사각형이기 때문에 대각선 AC "와 BD"는 동일합니다(선 AB는 BC가 있는 평면 BC "C"에 수직입니다. ).
또한, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 빗변 제곱 정리를 기반으로 합니다. 그러나 동일한 정리 AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2를 기반으로 하므로 다음을 얻습니다.
AC "2 \u003d AB 2 + AA" 2 + A "D" 2 \u003d AB 2 + AA "2 + AD 2.
