Anche se questo principio sembra piuttosto strano, in sostanza è estremamente semplice. Nella teoria quantistica, dove la posizione di un oggetto è caratterizzata dal quadrato della sua ampiezza, e l'entità della sua quantità di moto dalla lunghezza d'onda della corrispondente funzione d'onda, questo principio non è altro che un semplice fatto caratteristico delle onde: un'onda localizzata nello spazio non può avere una sola lunghezza d'onda. La cosa sconcertante è che quando parliamo di una particella, immaginiamo mentalmente la sua immagine classica, e poi rimaniamo sorpresi quando scopriamo che la particella quantistica si comporta diversamente dal suo predecessore classico.
Se insistiamo su una descrizione classica del comportamento di una particella quantistica (in particolare, se proviamo ad attribuirle sia una posizione nello spazio che una quantità di moto), allora la massima accuratezza possibile della determinazione simultanea della sua posizione e quantità di moto sarà correlata tra loro utilizzando una relazione sorprendentemente semplice proposta per la prima volta da Heisenberg e chiamata principio di indeterminazione:
dove sono le imprecisioni, o incertezze, nei valori della quantità di moto e della posizione della particella. Prodotto tra imprecisioni di quantità di moto e posizione
risulta essere dell'ordine di grandezza della costante di Planck. Nella teoria quantistica, a differenza della teoria classica, è impossibile localizzare contemporaneamente una particella quantistica e assegnarle un certo impulso. Pertanto, tale particella non può avere una traiettoria nello stesso senso di una particella classica. Non intendiamo affatto incertezza psicologica. Questa incertezza caratterizza la natura di un tale oggetto, che non può possedere contemporaneamente due proprietà: posizione e quantità di moto; un oggetto che ricorda vagamente una tempesta nell'atmosfera: se si estende su lunghe distanze, soffiano venti deboli; se è concentrato in una piccola area, si verifica un uragano o un tifone.
Il principio di indeterminazione racchiude in una forma sorprendentemente semplice ciò che era così difficile da formulare utilizzando l’onda di Schrödinger. Se esiste una funzione d'onda con una data lunghezza d'onda o con un dato momento, la sua posizione è completamente incerta, poiché le probabilità di trovare una particella in diversi punti dello spazio sono uguali. D'altra parte, se una particella è completamente localizzata, la sua funzione d'onda deve consistere nella somma di tutte le possibili onde periodiche, in modo che la sua lunghezza d'onda o quantità di moto siano completamente indeterminate. L'esatta relazione tra le incertezze della posizione e della quantità di moto (che deriva direttamente dalla teoria ondulatoria e non è particolarmente correlata alla meccanica quantistica, poiché caratterizza la natura di qualsiasi onda: onde sonore, onde sulla superficie dell'acqua o onde che viaggiano lungo una superficie tesa). primavera) è dato in forma semplice il principio di indeterminazione di Heisenberg.
Ricordiamo la particella precedentemente considerata, il cui movimento unidimensionale è avvenuto tra due pareti distanti l'una dall'altra. L'incertezza nella posizione di tale particella non supera la distanza tra le pareti, poiché sappiamo che la particella è racchiusa tra loro. Pertanto il valore è uguale o inferiore
La posizione della particella, ovviamente, può essere localizzata entro limiti più ristretti. Ma se è dato che la particella è semplicemente racchiusa tra le pareti, la sua coordinata x non può andare oltre la distanza tra queste pareti. Pertanto, incertezza, o mancanza di
conoscenza, le sue coordinate x non possono superare il valore I. Quindi l'incertezza della quantità di moto della particella è maggiore o uguale a
La quantità di moto è correlata alla velocità tramite la formula
da qui l'incertezza della velocità
Se la particella è un elettrone e la distanza tra le pareti è pari a cm, allora
Pertanto, se una particella con la massa di un elettrone è localizzata in una regione le cui dimensioni sono dell’ordine di grandezza, allora possiamo parlare della velocità della particella solo con una precisione di cm/s,
Utilizzando i risultati ottenuti in precedenza, si può trovare la relazione di incertezza per l'onda di Schrödinger nel caso di una particella confinata tra due pareti. Lo stato fondamentale di un tale sistema corrisponde a una miscela in parti uguali di soluzioni con quantità di moto
(Nel caso classico, un elettrone corre da una parete all'altra e la sua quantità di moto, rimanendo sempre uguale in valore, cambia direzione ad ogni collisione con una parete.) Poiché la quantità di moto cambia da a, la sua incertezza è uguale a
Dalla relazione di de Broglie
e per lo stato fondamentale
Allo stesso tempo
Quindi,
Questo risultato può essere utilizzato per stimare il valore energetico più basso che un sistema quantistico può avere. Dato che la quantità di moto del sistema è una quantità incerta, questa energia generalmente non è uguale a zero, il che distingue radicalmente un sistema quantistico da uno classico. Nel caso classico, l'energia della particella in esame coincide con la sua energia cinetica, e quando la particella è a riposo, questa energia svanisce. Per un sistema quantistico, come mostrato sopra, l'incertezza della quantità di moto di una particella situata nel il sistema è
La quantità di moto di una tale particella non può essere determinata con precisione, poiché i suoi possibili valori si trovano in un intervallo di larghezza. Ovviamente, se zero si trova nel mezzo di questo intervallo (Fig. 127), la quantità di moto varierà in valore da zero. a Pertanto, la minima quantità di moto possibile che può essere attribuita alla particella, è pari a causa del principio di indeterminazione
A valori più bassi della quantità di moto il principio di indeterminazione viene violato. L'energia corrispondente a questo impulso è
può essere confrontato con l'energia più bassa, il cui valore abbiamo calcolato utilizzando l'equazione di Schrödinger selezionando un'onda stazionaria adatta tra le pareti della nave:
Il valore del risultato ottenuto non sta nell'accordo numerico, ma nel fatto che siamo riusciti a fare una stima approssimativa del valore dell'energia minima utilizzando solo il principio di indeterminazione. Inoltre, siamo riusciti a capire perché il valore minimo dell'energia cinetica di un sistema quantomeccanico (a differenza di un sistema classico) non è mai uguale a zero. La corrispondente particella classica confinata tra le pareti ha cinetica nulla
energia quando è a riposo. Una particella quantistica non può restare ferma se viene catturata tra le pareti. La sua quantità di moto o velocità è essenzialmente incerta, il che si manifesta in un aumento di energia, e questo aumento coincide esattamente con il valore che si ottiene da una soluzione rigorosa dell'equazione di Schrödinger.
Questo risultato molto generale ha conseguenze particolarmente importanti in quella sezione della teoria quantistica che corrisponde alla teoria cinetica classica, cioè nella statistica quantistica. È ampiamente noto che la temperatura di un sistema, come affermato dalla teoria cinetica, è determinata dal movimento interno degli atomi che compongono il sistema. Se la temperatura di un sistema quantistico è elevata, in realtà accade qualcosa di molto simile a questo. Tuttavia, a basse temperature, i sistemi quantistici non possono fermarsi completamente. La temperatura minima corrisponde allo stato più basso possibile di un dato sistema. Nel caso classico, tutte le particelle sono a riposo, ma nel caso quantistico l'energia delle particelle è determinata dall'espressione (41.17), che non corrisponde al resto delle particelle.
Da tutto ciò può sembrare che stiamo prestando troppa attenzione agli elettroni confinati tra due pareti. La nostra attenzione agli elettroni è completamente giustificata. E i muri? Se analizziamo tutti i casi precedentemente considerati, possiamo essere convinti che il tipo di sistema di forze, sia esso una nave o qualcos'altro, che trattiene un elettrone in una regione limitata dello spazio, non è così significativo.
Due muri, una forza centrale o diversi ostacoli (fig. 128) portano all'incirca agli stessi risultati. Il tipo di sistema specifico che trattiene l'elettrone non è così importante. È molto più importante che l'elettrone venga catturato, cioè che la sua funzione d'onda sia localizzata. Di conseguenza, questa funzione è rappresentata come una somma di onde periodiche e la quantità di moto della particella diventa incerta, e
Analizziamo ora, utilizzando il principio di indeterminazione, un tipico fenomeno ondulatorio, ovvero l'espansione di un'onda dopo che è passata attraverso un piccolo foro (Fig. 129). Abbiamo già analizzato geometricamente questo fenomeno, calcolando le distanze a
quali gobbe si intersecano con depressioni Non sorprende che ora i risultati saranno simili. È solo che lo stesso modello teorico è descritto con parole diverse. Supponiamo che un elettrone entri in un buco nello schermo, spostandosi da sinistra a destra. A noi interessa l'incertezza della posizione e della velocità dell'elettrone nella direzione x (perpendicolare alla direzione del moto). (La relazione di incertezza è soddisfatta separatamente per ciascuna delle tre direzioni: Ah-Arkhzhk,
Indichiamo con questo valore la larghezza della fenditura, che è l'errore massimo nel determinare la posizione dell'elettrone nella direzione x quando passa attraverso il foro per penetrare nello schermo. Da qui possiamo trovare l'incertezza della quantità di moto o della velocità della particella nella direzione i:
Pertanto, se assumiamo che un elettrone passi attraverso un buco in uno schermo di larghezza, dobbiamo ammettere che la sua velocità diventerà allora indefinita fino al valore
A differenza di una particella classica, una particella quantistica non può, dopo essere passata attraverso un foro, produrre un'immagine chiara sullo schermo.
Se si muove velocemente in direzione dello schermo e la distanza tra lo schermo e il foro è uguale, coprirà questa distanza nel tempo
Durante questo tempo, la particella si sposterà nella direzione x di una certa quantità
La diffusione angolare è definita come il rapporto tra lo spostamento e la lunghezza
Pertanto, la diffusione angolare (interpretata come metà della distanza angolare dal primo minimo di diffrazione) è uguale alla lunghezza d'onda divisa per l'ampiezza dell'apertura, che è lo stesso risultato ottenuto in precedenza per la luce.
Che dire delle particelle massicce ordinarie? Sono particelle quantistiche o particelle di tipo newtoniano? La meccanica newtoniana dovrebbe essere utilizzata per oggetti di dimensioni normali e la meccanica quantistica per oggetti di dimensioni piccole? Possiamo considerare tutte le particelle, tutti i corpi (anche la Terra) come quantistici. Tuttavia, se le dimensioni e la massa della particella sono commisurate a quelle tipicamente osservate nei fenomeni macroscopici, allora gli effetti quantistici – proprietà delle onde, incertezze di posizione e velocità – diventano troppo piccoli per essere rilevabili in condizioni normali.
Consideriamo, ad esempio, la particella di cui abbiamo parlato sopra. Supponiamo che questa particella sia una palla di metallo proveniente da un cuscinetto con una massa di un millesimo di grammo (una palla molto piccola). Se localizziamo la sua posizione con una precisione accessibile alla nostra visione nel campo di un microscopio, diciamo con una precisione di un millesimo di centimetro, quindi localizzata su una lunghezza di cm, l'incertezza della velocità risulta essere un valore troppo piccolo essere rilevati mediante osservazioni ordinarie.
Le relazioni di incertezza di Heisenberg riguardano non solo la posizione e la quantità di moto del sistema, ma anche gli altri suoi parametri, che nella teoria classica erano considerati indipendenti. Una delle relazioni più interessanti e utili per i nostri scopi è la connessione tra le incertezze dell'energia e del tempo. Di solito è scritto nel modulo
Se un sistema si trova in un certo stato per un lungo periodo di tempo, l'energia di questo sistema è nota con grande precisione; se rimane in questo stato per un intervallo di tempo molto breve, allora la sua energia diventa incerta; questo fatto è accuratamente descritto dalla relazione sopra riportata.
Questa relazione viene solitamente utilizzata quando si considera la transizione di un sistema quantistico da uno stato a un altro. Supponiamo, ad esempio, che la vita di una particella sia pari a , cioè tra il momento della nascita di questa particella e il momento del suo decadimento passa un tempo dell'ordine di s. Quindi la massima precisione con cui si può conoscere l'energia di questa particella è
che è una quantità molto piccola. Come vedremo più avanti, esistono le cosiddette particelle elementari la cui vita media è dell'ordine di c (il tempo che intercorre tra il momento della nascita di una particella e il momento del suo annichilamento). Pertanto, il periodo di tempo durante il quale una particella si trova in un certo stato è molto piccolo e l'incertezza energetica è stimata come
Questo valore, 4-106 eV (un milione di elettronvolt è abbreviato in MeV), è enorme; Questo è il motivo per cui, come vedremo in seguito, a tali particelle elementari, chiamate talvolta risonanze, non viene assegnato un valore energetico esatto, ma un intero intervallo di valori su un intervallo abbastanza ampio.
Dalla relazione (41.28) si può ricavare anche la cosiddetta ampiezza naturale dei livelli di un sistema quantistico. Se, ad esempio, un atomo si sposta dal livello 1 al livello 0 (Fig. 130), allora l'energia del livello
Quindi la diffusione dei valori energetici di questo livello è determinata dall'espressione:
Questa è la tipica ampiezza naturale dei livelli energetici di un sistema atomico.
Il principio di indeterminazione è una legge fondamentale del micromondo. Può essere considerata una particolare espressione del principio di complementarità.
Nella meccanica classica, una particella si muove lungo una certa traiettoria e in ogni momento è possibile determinarne con precisione le coordinate e la quantità di moto. Per quanto riguarda le microparticelle, questa idea non è corretta. Una microparticella non ha una traiettoria ben definita; ha sia le proprietà di una particella che le proprietà di un'onda (dualità onda-particella). In questo caso, il concetto di "lunghezza d'onda in un dato punto" non ha alcun significato fisico e poiché la quantità di moto di una microparticella è espressa attraverso la lunghezza d'onda - P=A/ l, ne consegue che una microparticella con un certo impulso ha una coordinata completamente incerta, e viceversa.
W. Heisenberg (1927), tenendo conto della duplice natura delle microparticelle, giunse alla conclusione che è impossibile caratterizzare simultaneamente una microparticella con entrambe le coordinate e la quantità di moto con una precisione predeterminata.
Le seguenti disuguaglianze sono chiamate relazioni di incertezza di Heisenberg:
ΔxΔ P X ≥ h,Δ sìΔp y ≥ h,Δ z· Δp z ≥ H.
Qui Δx, Δy, Δz significano intervalli di coordinate in cui una microparticella può essere localizzata (questi intervalli sono incertezze di coordinate), Δ P X , Δ P sì , Δ P z significano gli intervalli delle proiezioni degli impulsi sugli assi delle coordinate x, y, z, h– Costante di Planck. Secondo il principio di indeterminazione, quanto più accuratamente viene registrato l'impulso, tanto maggiore sarà l'incertezza nella coordinata, e viceversa.
Man mano che la scienza si sviluppa e la conoscenza accumulata si approfondisce, le nuove teorie diventano più accurate. Nuove teorie coprono orizzonti sempre più ampi del mondo materiale e penetrano in profondità prima inesplorate. Le teorie dinamiche sono sostituite da quelle statiche.
Ogni teoria fondamentale ha determinati limiti di applicabilità. Pertanto, l’emergere di una nuova teoria non significa la completa negazione di quella vecchia. Pertanto, il movimento dei corpi nel macrocosmo con velocità significativamente inferiori a quella della luce sarà sempre descritto dalla meccanica newtoniana classica. Tuttavia, a velocità paragonabili a quella della luce (velocità relativistiche), la meccanica newtoniana non è applicabile.
Oggettivamente c'è continuità tra le teorie fisiche fondamentali. Questo è il principio di corrispondenza, che può essere formulato come segue: nessuna nuova teoria può essere valida se non contiene come caso limite la vecchia teoria relativa agli stessi fenomeni, poiché la vecchia teoria ha già dato prova di sé nel suo campo.
Nella fisica classica per sistema si intende l'insieme di alcune parti collegate tra loro in un certo modo. Queste parti (elementi) del sistema possono influenzarsi a vicenda e si presume che la loro interazione possa sempre essere valutata dal punto di vista delle relazioni di causa-effetto tra gli elementi interagenti del sistema.
Si chiama la dottrina filosofica dell'oggettività della relazione naturale e dell'interdipendenza dei fenomeni del mondo materiale e spirituale determinismo. Il concetto centrale del determinismo è l'esistenza causalità; La causalità si verifica quando un fenomeno dà origine a un altro fenomeno (effetto).
La fisica classica si trova sulla posizione di un rigido determinismo, chiamato laplaceiano: fu Pierre Simon Laplace a proclamare il principio di causalità come una legge fondamentale della natura. Laplace credeva che se si conosce la posizione degli elementi (alcuni corpi) di un sistema e le forze che agiscono in esso, è possibile prevedere con assoluta certezza come si muoverà ciascun corpo di questo sistema ora e in futuro. Scriveva: “Dobbiamo considerare lo stato attuale dell'Universo come conseguenza dello stato precedente e come causa di quello successivo. Uno spirito che in un dato momento conoscesse tutte le forze operanti nella natura e le posizioni relative di tutti i suoi enti costitutivi, se fosse ancora così vasto da tener conto di tutti questi dati, abbraccerebbe in una sola formula i movimenti dei corpi più grandi dell’Universo e degli atomi più leggeri. Nulla sarebbe incerto per lui e il futuro, come il passato, sarebbe davanti ai suoi occhi”. Tradizionalmente, questa ipotetica creatura, che potrebbe (secondo Laplace) predire lo sviluppo dell’Universo, è chiamata nella scienza “il demone di Laplace”.
Nel periodo classico dello sviluppo delle scienze naturali, si affermava l'idea che solo le leggi dinamiche caratterizzano pienamente la causalità in natura.
Laplace cercò di spiegare il mondo intero, compresi i fenomeni fisiologici, psicologici e sociali, dal punto di vista del determinismo meccanicistico, che considerava un principio metodologico per la costruzione di qualsiasi scienza. Laplace vide un esempio della forma della conoscenza scientifica nella meccanica celeste. Pertanto, il determinismo laplaceano nega la natura oggettiva della casualità, il concetto di probabilità di un evento.
L'ulteriore sviluppo delle scienze naturali portò a nuove idee di causa ed effetto. Per alcuni processi naturali è difficile determinarne la causa: ad esempio, il decadimento radioattivo avviene in modo casuale. È impossibile mettere in relazione inequivocabilmente il momento della “partenza” di una particella α o β dal nucleo e il valore della sua energia. Tali processi sono oggettivamente casuali. Ci sono soprattutto molti esempi simili in biologia. Nella scienza naturale moderna, il determinismo moderno offre varie forme oggettivamente esistenti di interconnessione di processi e fenomeni, molti dei quali sono espressi sotto forma di relazioni che non hanno connessioni causali pronunciate, cioè non contengono momenti di generazione di uno per un altro. Queste sono connessioni spazio-temporali, relazioni di simmetria e alcune dipendenze funzionali, relazioni probabilistiche, ecc. Tuttavia, tutte le forme di interazioni reali dei fenomeni si formano sulla base della causalità attiva universale, al di fuori della quale non esiste un singolo fenomeno della realtà, compresi i cosiddetti fenomeni casuali, nell'insieme dei quali si manifestano leggi statiche.
La scienza continua a svilupparsi e ad arricchirsi di nuovi concetti, leggi e principi, il che indica i limiti del determinismo laplaceano. Tuttavia, la fisica classica, in particolare la meccanica classica, ha ancora oggi la sua nicchia di applicazione. Le sue leggi sono abbastanza applicabili per movimenti relativamente lenti, la cui velocità è significativamente inferiore alla velocità della luce. L’importanza della fisica classica nel periodo moderno è stata ben definita da uno dei creatori della meccanica quantistica, Niels Bohr: “Non importa quanto i fenomeni vadano oltre la spiegazione fisica classica, tutti i dati sperimentali devono essere descritti utilizzando concetti classici. La logica di ciò è semplicemente quella di affermare il significato preciso della parola “esperimento”. Con la parola “esperimento” indichiamo una situazione in cui possiamo raccontare agli altri esattamente cosa abbiamo fatto e cosa esattamente abbiamo imparato. Pertanto, l’impostazione sperimentale e i risultati dell’osservazione devono essere descritti in modo inequivocabile nel linguaggio della fisica classica”.
È impossibile determinare contemporaneamente con precisione le coordinate e la velocità di una particella quantistica.
Nella vita di tutti i giorni siamo circondati da oggetti materiali le cui dimensioni sono paragonabili a noi: automobili, case, granelli di sabbia, ecc. Le nostre idee intuitive sulla struttura del mondo si formano come risultato dell'osservazione quotidiana del comportamento di tali oggetti . Poiché tutti abbiamo una vita vissuta alle spalle, l'esperienza accumulata negli anni ci dice che poiché tutto ciò che osserviamo si comporta in un certo modo più e più volte, significa che in tutto l'Universo, su tutte le scale, gli oggetti materiali dovrebbero comportarsi in un certo modo modo simile. E quando si scopre che da qualche parte qualcosa non obbedisce alle solite regole e contraddice i nostri concetti intuitivi sul mondo, non solo ci sorprende, ma ci sciocca.
Nel primo quarto del XX secolo, questa fu proprio la reazione dei fisici quando iniziarono a studiare il comportamento della materia a livello atomico e subatomico. L'emergere e il rapido sviluppo della meccanica quantistica ci ha aperto un mondo intero, la cui struttura del sistema semplicemente non rientra nel quadro del buon senso e contraddice completamente le nostre idee intuitive. Ma dobbiamo ricordare che la nostra intuizione si basa sull'esperienza del comportamento di oggetti ordinari di scala commisurata a noi, e la meccanica quantistica descrive cose che accadono a noi a livello microscopico e invisibile - nessuno le ha mai incontrate direttamente. Se dimentichiamo questo, finiremo inevitabilmente in uno stato di completa confusione e smarrimento. Per quanto mi riguarda, ho formulato il seguente approccio agli effetti della meccanica quantistica: non appena la “voce interiore” inizia a ripetere “questo non può essere!”, Devi chiederti: “Perché no? Come faccio a sapere come funziona veramente tutto all'interno di un atomo? Ho guardato lì io stesso?" Impostandoti in questo modo, ti sarà più facile percepire gli articoli di questo libro dedicati alla meccanica quantistica.
Il principio di Heisenberg svolge generalmente un ruolo chiave nella meccanica quantistica, se non altro perché spiega abbastanza chiaramente come e perché il micromondo differisce dal mondo materiale a noi familiare. Per comprendere questo principio, dobbiamo prima pensare a cosa significa “misurare” qualsiasi quantità. Per trovare, ad esempio, questo libro, quando entri in una stanza, ti guardi intorno finché non ci si ferma sopra. Nel linguaggio della fisica, ciò significa che hai effettuato una misurazione visiva (hai trovato un libro guardandolo) e hai ottenuto il risultato: hai registrato le sue coordinate spaziali (hai determinato la posizione del libro nella stanza). In realtà, il processo di misurazione è molto più complicato: una sorgente luminosa (il Sole o una lampada, per esempio) emette dei raggi, che, dopo aver percorso un certo percorso nello spazio, interagiscono con il libro, vengono riflessi dalla sua superficie, dopodiché alcuni di essi raggiungono i tuoi occhi, passando attraverso l'obiettivo si concentrano e colpiscono la retina - e tu vedi l'immagine del libro e ne determini la posizione nello spazio. La chiave per la misurazione qui è l’interazione tra la luce e il libro. Quindi con qualsiasi misurazione, immagina, lo strumento di misurazione (in questo caso è la luce) interagisce con l'oggetto di misurazione (in questo caso è un libro).
Nella fisica classica, costruita sui principi newtoniani e applicata agli oggetti del nostro mondo ordinario, siamo abituati a ignorare il fatto che uno strumento di misura, quando interagisce con un oggetto di misura, lo influenza e ne modifica le proprietà, comprese, appunto, le quantità da misurare. Quando accendi la luce nella stanza per trovare un libro, non pensi nemmeno al fatto che sotto l'influenza della pressione risultante dei raggi luminosi, il libro può spostarsi dal suo posto e riconosci le sue coordinate spaziali, distorto sotto l'influenza della luce accesa. L'intuizione ci dice (e, in questo caso, abbastanza correttamente) che l'atto di misurazione non influisce sulle proprietà misurate dell'oggetto misurato. Ora pensa ai processi che si verificano a livello subatomico. Diciamo che devo fissare la posizione spaziale di un elettrone. Ho ancora bisogno di uno strumento di misura che interagisca con l'elettrone e restituisca un segnale ai miei rilevatori con informazioni sulla sua posizione. E qui sorge una difficoltà: non ho altri strumenti per interagire con un elettrone per determinarne la posizione nello spazio, se non le altre particelle elementari. E, se si presuppone che la luce, interagendo con il libro, non influenzi le sue coordinate spaziali, lo stesso non si può dire dell'interazione dell'elettrone misurato con un altro elettrone o fotoni.
Agli inizi degli anni ’20, durante l’esplosione del pensiero creativo che portò alla creazione della meccanica quantistica, il giovane fisico teorico tedesco Werner Heisenberg fu il primo a riconoscere questo problema. Partendo da complesse formule matematiche che descrivono il mondo a livello subatomico, è gradualmente arrivato a una formula di sorprendente semplicità, fornendo una descrizione generale dell'effetto dell'influenza degli strumenti di misurazione sugli oggetti misurati del micromondo, di cui abbiamo appena parlato. Di conseguenza, ha formulato principio di indeterminazione, ora porta il suo nome:
incertezza nel valore delle coordinate x incertezza nella velocità > H/M,
la cui espressione matematica si chiama Relazione di incertezza di Heisenberg:
Δ X xΔ v > H/M
dove Δ X - incertezza (errore di misura) delle coordinate spaziali della microparticella, Δ v— incertezza della velocità delle particelle, M- massa delle particelle e H - Costante di Planck, dal nome del fisico tedesco Max Planck, un altro dei fondatori della meccanica quantistica. La costante di Planck è circa 6,626 x 10 -34 J s, cioè contiene 33 zeri prima della prima cifra decimale significativa.
Il termine “incertezza delle coordinate spaziali” significa proprio che non conosciamo l’esatta posizione della particella. Ad esempio, se utilizzi il sistema di ricognizione globale GPS per determinare la posizione di questo libro, il sistema calcolerà la distanza di 2-3 metri. (GPS, Global Positioning System è un sistema di navigazione che utilizza 24 satelliti artificiali della Terra. Se, ad esempio, hai un ricevitore GPS installato sulla tua auto, ricevendo i segnali da questi satelliti e confrontando il loro tempo di ritardo, il sistema determina la tua posizione geografica coordinate sulla Terra precise al secondo d'arco più vicino.) Tuttavia, dal punto di vista di una misurazione effettuata da uno strumento GPS, il libro potrebbe, con una certa probabilità, trovarsi ovunque all'interno dei pochi metri quadrati specificati dal sistema. In questo caso parliamo dell'incertezza delle coordinate spaziali di un oggetto (in questo esempio un libro). La situazione può essere migliorata se prendiamo un metro a nastro invece del GPS: in questo caso possiamo dire che il libro si trova, ad esempio, a 4 m 11 cm da una parete e 1 m 44 cm dall'altra. Ma anche qui siamo limitati nella precisione della misurazione dalla divisione minima della scala del metro a nastro (anche se è un millimetro) e dagli errori di misurazione del dispositivo stesso - e nel migliore dei casi saremo in grado di determinare la posizione spaziale dell'oggetto precisa alla divisione minima della scala. Più accurato è lo strumento che utilizziamo, più accurati saranno i risultati che otterremo, minore sarà l'errore di misurazione e minore sarà l'incertezza. In linea di principio, nel nostro mondo quotidiano è possibile ridurre a zero l’incertezza e determinare le coordinate esatte del libro.
E qui arriviamo alla differenza fondamentale tra il micromondo e il nostro mondo fisico quotidiano. Nel mondo ordinario, quando misuriamo la posizione e la velocità di un corpo nello spazio, non abbiamo praticamente alcuna influenza su di esso. Quindi idealmente possiamo contemporaneamente misurare sia la velocità che le coordinate di un oggetto in modo assolutamente accurato (in altre parole, con zero incertezza).
Nel mondo dei fenomeni quantistici, tuttavia, qualsiasi misurazione influisce sul sistema. Il fatto stesso che misuriamo, ad esempio, la posizione di una particella, porta a un cambiamento nella sua velocità, e imprevedibile (e viceversa). Ecco perché il lato destro della relazione di Heisenberg non è zero, ma positivo. Minore è l'incertezza su una variabile (ad esempio, Δ X), tanto più incerta diventa l’altra variabile (Δ v), poiché il prodotto di due errori sul lato sinistro della relazione non può essere inferiore alla costante sul lato destro. Infatti, se riusciamo a determinare una delle quantità misurate con errore zero (in modo assolutamente accurato), l'incertezza dell'altra quantità sarà pari a infinito e non ne sapremo assolutamente nulla. In altre parole, se fossimo in grado di stabilire con assoluta precisione le coordinate di una particella quantistica, non avremmo la minima idea della sua velocità; Se potessimo registrare con precisione la velocità di una particella, non avremmo idea di dove si trovi. In pratica, ovviamente, i fisici sperimentali devono sempre cercare una sorta di compromesso tra questi due estremi e selezionare metodi di misurazione che consentano loro di giudicare sia la velocità che la posizione spaziale delle particelle con un errore ragionevole.
In effetti, il principio di indeterminazione collega non solo le coordinate spaziali e la velocità: in questo esempio si manifesta semplicemente nel modo più chiaro; l'incertezza lega ugualmente altre coppie di caratteristiche reciprocamente correlate delle microparticelle. Attraverso un ragionamento simile, arriviamo alla conclusione che è impossibile misurare con precisione l'energia di un sistema quantistico e determinare il momento nel tempo in cui possiede questa energia. Cioè, se misuriamo lo stato di un sistema quantistico per determinarne l'energia, questa misurazione richiederà un certo periodo di tempo, chiamiamolo Δ T. Durante questo periodo di tempo, l'energia del sistema cambia in modo casuale: si verifica fluttuazione, - e non possiamo identificarlo. Indichiamo l'errore di misurazione dell'energia Δ E. Ragionando in modo simile a quanto sopra, arriviamo a una relazione simile per Δ E e l'incertezza del tempo che una particella quantistica possedesse questa energia:
Δ EΔ T > H
Ci sono altri due punti importanti da sottolineare riguardo al principio di indeterminazione:
ciò non implica che nessuna delle due caratteristiche di una particella – posizione spaziale o velocità – non possa essere misurata con precisione;
il principio di indeterminazione opera in modo oggettivo e non dipende dalla presenza di un soggetto intelligente che esegue le misurazioni.
A volte potresti imbatterti in affermazioni secondo cui il principio di indeterminazione implica che le particelle quantistiche nessuno determinate coordinate spaziali e velocità, o che queste quantità sono completamente inconoscibili. Non fatevi ingannare: come abbiamo appena visto, il principio di indeterminazione non ci impedisce di misurare ciascuna di queste quantità con la precisione desiderata. Afferma solo che non siamo in grado di conoscerli entrambi in modo affidabile allo stesso tempo. E, come per molte cose, siamo costretti a scendere a compromessi. Ancora una volta, gli scrittori antroposofici tra i sostenitori del concetto di “New Age” a volte sostengono che, presumibilmente, poiché le misurazioni implicano la presenza di un osservatore intelligente, allora, ad un livello fondamentale, la coscienza umana è connessa con la Mente Universale, e è questa connessione che determina il principio di incertezza. Ripetiamo ancora una volta questo punto: la chiave della relazione di Heisenberg è l'interazione tra la particella-oggetto di misura e lo strumento di misura, che ne influenza i risultati. E il fatto che esista un osservatore ragionevole nella persona di uno scienziato non ha alcuna importanza; lo strumento di misura ne influenza comunque i risultati, sia che sia presente o meno un essere intelligente.
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Werner Karl Heisenberg, 1901-76
Fisico teorico tedesco. Nato a Würzburg. Suo padre era professore di studi bizantini all'Università di Monaco. Oltre alle sue brillanti capacità matematiche, mostrò un debole per la musica fin dall'infanzia e ottenne un discreto successo come pianista. Ancora studente fece parte della milizia popolare che mantenne l'ordine a Monaco durante i tempi difficili che seguirono la sconfitta della Germania nella prima guerra mondiale. Nel 1920 divenne studente presso il Dipartimento di Matematica dell'Università di Monaco, tuttavia, di fronte al rifiuto di frequentare un seminario che lo interessava su questioni di matematica superiore rilevanti in quegli anni, ottenne un trasferimento al Dipartimento di Fisica Teorica. In quegli anni l'intero mondo dei fisici viveva sotto l'impressione di un nuovo sguardo alla struttura dell'atomo ( cm. l'atomo di Bohr), e tutti i teorici tra loro capirono che all'interno dell'atomo stava accadendo qualcosa di strano.
Dopo aver difeso il suo diploma nel 1923, Heisenberg iniziò a lavorare a Gottinga sui problemi della struttura dell'atomo. Nel maggio 1925 subì un acuto attacco di raffreddore da fieno, che costrinse il giovane scienziato a trascorrere diversi mesi in completa solitudine sulla piccola isola di Helgoland, tagliato fuori dal mondo esterno, e approfittò di questo forzato isolamento dall'esterno mondo con la stessa produttività con cui Isaac Newton usò i suoi molti mesi di prigionia nelle caserme di quarantena nel 1665. In particolare, durante questi mesi gli scienziati hanno sviluppato una teoria meccanica delle matrici- un nuovo apparato matematico della meccanica quantistica emergente . La meccanica delle matrici, come il tempo ha dimostrato, in senso matematico è equivalente alla meccanica delle onde quantistiche apparsa un anno dopo, incorporata nell'equazione di Schrödinger, dal punto di vista della descrizione dei processi del mondo quantistico. Tuttavia, in pratica si è rivelato più difficile utilizzare l'apparato della meccanica delle matrici, e oggi i fisici teorici utilizzano principalmente i concetti della meccanica ondulatoria.
Nel 1926 Heisenberg divenne assistente di Niels Bohr a Copenaghen. Fu lì, nel 1927, che formulò il suo principio di indeterminazione e si può sostenere che questo divenne il suo più grande contributo allo sviluppo della scienza. Nello stesso anno Heisenberg divenne professore all'Università di Lipsia, il più giovane professore della storia tedesca. Da quel momento in poi, iniziò a lavorare da vicino sulla creazione di una teoria del campo unificata ( cm. Teorie universali) - nel complesso, senza successo. Per il suo ruolo di primo piano nello sviluppo della teoria della meccanica quantistica, Heisenberg ricevette il Premio Nobel per la fisica nel 1932 per la creazione della meccanica quantistica.
Da un punto di vista storico, la personalità di Werner Heisenberg rimarrà probabilmente per sempre sinonimo di incertezza di tipo leggermente diverso. Con l'avvento al potere del Partito Nazionalsocialista, nella sua biografia si aprì la pagina più difficile da comprendere. In primo luogo, come fisico teorico, fu coinvolto in una lotta ideologica in cui la fisica teorica in quanto tale fu etichettata come “fisica ebraica” e lo stesso Heisenberg fu pubblicamente chiamato “ebreo bianco” dalle nuove autorità. Solo dopo una serie di appelli personali ai più alti funzionari della leadership nazista, lo scienziato riuscì a fermare la campagna di molestie pubbliche contro di lui. Molto più problematico è il ruolo di Heisenberg nel programma tedesco di armi nucleari durante la Seconda Guerra Mondiale. In un'epoca in cui la maggior parte dei suoi colleghi emigravano o erano costretti a fuggire dalla Germania sotto la pressione del regime di Hitler, Heisenberg era a capo del programma nucleare nazionale tedesco.
Sotto la sua guida, il programma si concentrò interamente sulla costruzione di un reattore nucleare, ma Niels Bohr, durante il suo famoso incontro con Heisenberg nel 1941, ebbe l'impressione che questa fosse solo una copertura, e in realtà il programma stava sviluppando armi nucleari. Quindi cosa è successo veramente? Heisenberg ha davvero condotto deliberatamente e per volere della sua coscienza il programma tedesco della bomba atomica in un vicolo cieco e lo ha indirizzato su un percorso pacifico, come affermò in seguito? Oppure ha semplicemente commesso degli errori nella comprensione dei processi di decadimento nucleare? Comunque sia, la Germania non ha avuto il tempo di creare armi atomiche. Come mostra la brillante opera Copenhagen di Michael Frayn, questo mistero storico probabilmente fornirà materiale sufficiente per le generazioni di scrittori di narrativa a venire.
Dopo la guerra, Heisenberg divenne un attivo sostenitore dell'ulteriore sviluppo della scienza della Germania occidentale e della sua riunificazione con la comunità scientifica internazionale. La sua influenza fu uno strumento importante per ottenere lo status di denuclearizzazione delle forze armate della Germania occidentale nel dopoguerra.
Influenzato dal successo delle teorie scientifiche, in particolare dalla teoria della gravitazione di Newton, lo scienziato francese Pierre Laplace all'inizio del XIX secolo. fu sviluppata una visione dell'Universo come un oggetto completamente determinato. Laplace credeva che dovesse esistere un insieme di leggi scientifiche che consentissero di prevedere tutto ciò che può accadere nell'Universo, se solo fosse nota una descrizione completa del suo stato in un determinato momento nel tempo. Ad esempio, se conoscessimo la posizione del Sole e dei pianeti corrispondente a un determinato momento nel tempo, utilizzando le leggi di Newton potremmo calcolare in quale stato si troverebbe il sistema solare in qualsiasi altro momento nel tempo. In questo caso il determinismo è abbastanza ovvio, ma Laplace è andato oltre, sostenendo che esistono leggi simili per ogni cosa, compreso il comportamento umano.
La dottrina del determinismo scientifico incontrò una forte resistenza da parte di molti che ritenevano che ciò limitasse il libero intervento di Dio nel nostro mondo; tuttavia, questa idea rimase un'ipotesi scientifica comune proprio all'inizio del nostro secolo. Una delle prime indicazioni della necessità di abbandonare il determinismo furono i risultati dei calcoli di due fisici inglesi, John Rayleigh e James Jeans, dai quali ne conseguì che un oggetto caldo come una stella dovrebbe irradiare continuamente più energia. Secondo le leggi allora conosciute, un corpo caldo dovrebbe emettere ugualmente onde elettromagnetiche di tutte le frequenze (ad esempio onde radio, luce visibile, raggi X). Ciò significa che la stessa quantità di energia deve essere emessa sia sotto forma di onde con frequenze comprese tra uno e due milioni di milioni di onde al secondo, sia sotto forma di onde con frequenze comprese tra due e tre milioni di milioni di onde al secondo . E poiché esistono infinite frequenze diverse, l'energia totale irradiata deve essere infinita.
Per liberarsi da questa conclusione apparentemente assurda, lo scienziato tedesco Max Planck nel 1900 accettò l'ipotesi che la luce, i raggi X e le altre onde non possono essere emesse con intensità arbitraria, ma devono essere emesse solo in determinate porzioni, che Planck chiamò quanti. Inoltre, Planck suggerì che ogni quanto di radiazione trasporta una certa quantità di energia, tanto maggiore quanto più alta è la frequenza delle onde. Pertanto, a una frequenza sufficientemente elevata, l'energia di un quanto può superare la quantità di energia disponibile e, di conseguenza, la radiazione ad alta frequenza verrà soppressa e la velocità con cui il corpo perde energia sarà finita.
L’ipotesi quantistica era in ottimo accordo con le intensità di radiazione osservate dei corpi caldi, ma cosa significasse per il determinismo non fu chiaro fino al 1926, quando un altro scienziato tedesco, Werner Heisenberg, formulò il famoso principio di indeterminazione. Per prevedere quale sarà la posizione e la velocità di una particella, è necessario essere in grado di effettuare misurazioni accurate della sua posizione e velocità nel momento presente. Ovviamente, per fare ciò, la luce deve essere diretta verso la particella. Alcune delle onde luminose verranno disperse da esso e quindi determineremo la posizione della particella nello spazio. Tuttavia, la precisione di questa misurazione non sarà maggiore della distanza tra le creste di due onde adiacenti, e quindi è necessaria la luce a lunghezza d'onda corta per misurare con precisione la posizione della particella. Secondo l'ipotesi di Planck, la luce non può essere utilizzata in porzioni arbitrariamente piccole, e non esiste porzione più piccola di un quanto. Questo quanto di luce disturberà il movimento della particella e ne modificherà in modo imprevedibile la velocità. Inoltre, quanto più accuratamente viene misurata la posizione, tanto più corte dovrebbero essere le lunghezze d'onda della luce e, quindi, maggiore sarà l'energia di un quanto. Ciò significa che la perturbazione della velocità delle particelle diventerà maggiore. In altre parole, quanto più accuratamente si tenta di misurare la posizione di una particella, tanto meno accurate saranno le misurazioni della sua velocità, e viceversa. Heisenberg dimostrò che l'incertezza sulla posizione di una particella, moltiplicata per l'incertezza sulla sua velocità e sulla sua massa, non può essere inferiore a un certo numero, che ora è chiamato costante di Planck. Questo numero non dipende né dal modo in cui viene misurata la posizione o la velocità della particella, né dal tipo di questa particella, cioè il principio di indeterminazione di Heisenberg è una proprietà fondamentale e obbligatoria del nostro mondo.
Il principio di incertezza ha conseguenze di vasta portata legate alla nostra percezione del mondo che ci circonda. Anche dopo più di cinquant’anni, molti filosofi non sono stati definitivamente d’accordo con loro, e queste conseguenze sono ancora oggetto di dibattito. Il principio di indeterminazione significò la fine dei sogni di Laplace di una teoria scientifica che fornisse un modello completamente deterministico dell'Universo: come si può infatti prevedere con precisione il futuro senza nemmeno essere in grado di effettuare misurazioni accurate dello stato attuale dell'Universo? momento! Naturalmente, possiamo immaginare che esista un certo insieme di leggi che determinano completamente gli eventi per qualche essere soprannaturale che è in grado di osservare lo stato attuale dell'Universo senza disturbarlo in alcun modo. Tuttavia, tali modelli dell'Universo non interessano a noi comuni mortali. Sarebbe meglio, forse, utilizzare il principio di “economia”, che è chiamato il principio del “rasoio di Occam” (W. Ockham /1285‑1349/ - filosofo inglese. L'essenza del principio del “rasoio di Occam”: i concetti che non possono essere verificati nell'esperienza dovrebbero essere rimossi dalla scienza - ndr) prendere ed eliminare tutte le disposizioni della teoria che non sono osservabili. Adottando questo approccio, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger e Paul Dirac negli anni '20 del nostro secolo hanno rivisto la meccanica e sono giunti a una nuova teoria: la meccanica quantistica, basata sul principio di indeterminazione. Nella meccanica quantistica le particelle non hanno più caratteristiche così definite e reciprocamente indipendenti come la posizione nello spazio e la velocità, che non sono osservabili. Sono invece caratterizzati da uno stato quantistico che è una combinazione di posizione e velocità.
La meccanica quantistica, in generale, non prevede che un'osservazione debba avere un unico risultato definito. Invece, prevede una serie di risultati diversi e fornisce la probabilità di ciascuno di essi. Ciò significa che se effettuassimo la stessa misurazione per molti sistemi identici, i cui stati iniziali sono gli stessi, troveremmo che in un numero di casi il risultato della misurazione è uguale ad A, in un altro - B, ecc. può prevedere in quanti casi approssimativamente il risultato sarà uguale ad A e B, ma è impossibile determinare il risultato di ciascuna misurazione specifica. Pertanto, la meccanica quantistica introduce nella scienza un inevitabile elemento di imprevedibilità o casualità. Einstein si è espresso molto duramente contro questo concetto, nonostante l'enorme ruolo che lui stesso ha svolto nel suo sviluppo. Per il suo enorme contributo alla teoria quantistica, Einstein vinse il Premio Nobel. Ma non potrebbe mai essere d'accordo sul fatto che l'universo è governato dal caso. Tutti i sentimenti di Einstein furono espressi nella sua famosa affermazione: "Dio non gioca a dadi". Tuttavia, la maggior parte degli altri scienziati erano propensi ad accettare la meccanica quantistica perché concordava perfettamente con l’esperimento. La meccanica quantistica è davvero una teoria notevole ed è alla base di quasi tutta la scienza e la tecnologia moderne. I principi della meccanica quantistica costituiscono la base per il funzionamento dei semiconduttori e dei circuiti integrati, che costituiscono la parte più importante dei dispositivi elettronici come televisori e computer elettronici. La chimica e la biologia moderne si basano sulla meccanica quantistica. Le uniche aree della fisica che non fanno ancora buon uso della meccanica quantistica sono la teoria della gravità e la teoria della struttura su larga scala dell'Universo.
Nonostante la radiazione luminosa sia costituita da onde, tuttavia, secondo l'ipotesi di Planck, la luce in un certo senso si comporta come se fosse formata da particelle: l'emissione e l'assorbimento della luce avviene solo sotto forma di porzioni, o quanti. Il principio di indeterminazione di Heisenberg dice che le particelle, in un certo senso, si comportano come onde: non hanno una posizione specifica nello spazio, ma sono “spalmate” su di esso con una certa distribuzione di probabilità. La teoria quantistica utilizza un apparato matematico completamente nuovo, che non descrive più il mondo reale stesso sulla base di idee su particelle e onde; questi concetti ora possono essere attribuiti solo ai risultati delle osservazioni in questo mondo. Nasce così, nella meccanica quantistica, il dualismo delle onde parziali: in alcuni casi è conveniente considerare le particelle come onde, mentre in altri è meglio considerare le onde come particelle. Da ciò segue una conclusione importante: possiamo osservare la cosiddetta interferenza tra due onde di particelle. Le creste delle onde di uno di essi possono, ad esempio, coincidere con le depressioni di un altro. Le due onde quindi si annullano a vicenda anziché amplificarsi a vicenda, riassumendosi, come ci si potrebbe aspettare, in onde più elevate (Figura 4.1). Un noto esempio di interferenza luminosa sono le bolle di sapone che brillano nei diversi colori dell’arcobaleno. Questo fenomeno si verifica a seguito della riflessione della luce su due superfici di un sottile film d'acqua, che forma una bolla. La luce bianca contiene tutti i tipi di lunghezze d'onda corrispondenti a diversi colori. Le creste di alcune onde riflesse da una delle superfici della pellicola di sapone coincidono con le depressioni delle onde della stessa lunghezza riflesse dalla seconda superficie della bolla. Quindi la luce riflessa mancherà dei colori corrispondenti a queste lunghezze d'onda e la luce riflessa apparirà multicolore.
Quindi, grazie al dualismo sorto nella meccanica quantistica, anche le particelle possono subire interferenze. Un esempio ben noto di tale interferenza di particelle è un esperimento con due fenditure in uno schermo (Fig. 4.2). Consideriamo uno schermo in cui vengono tagliate due strette fenditure parallele. Su un lato dello schermo con le fessure si trova una sorgente luminosa di un certo colore (cioè una certa lunghezza d'onda). La maggior parte della luce colpisce la superficie dello schermo, ma una piccola parte passa attraverso le fessure. Successivamente, immagina uno schermo di osservazione installato sull'altro lato dello schermo con fessure provenienti dalla sorgente luminosa. Quindi le onde luminose provenienti da entrambe le fenditure raggiungeranno qualsiasi punto sullo schermo di osservazione. Ma la distanza percorsa dalla luce attraverso le fessure dalla sorgente allo schermo sarà, in generale, diversa. Ciò significa che le onde che passano attraverso le fessure colpiranno lo schermo in fasi diverse: in alcuni punti si indeboliranno a vicenda, in altri si rafforzeranno a vicenda. Di conseguenza, sullo schermo verrà visualizzata un'immagine caratteristica composta da strisce scure e chiare.
Sorprendentemente, appaiono esattamente le stesse bande quando si sostituisce la sorgente luminosa con una sorgente di particelle, ad esempio elettroni, emesse ad una certa velocità (il che significa che corrispondono a onde di una certa lunghezza). Il fenomeno descritto è tanto più strano perché se c'è una sola fenditura non compaiono bande e sullo schermo appare una distribuzione semplicemente uniforme degli elettroni. Si potrebbe supporre che un'altra fessura aumenterebbe semplicemente il numero di elettroni che colpiscono ciascun punto dello schermo, ma in realtà, a causa dell'interferenza, il numero di questi elettroni in alcuni punti, al contrario, diminuisce. Se si fa passare un elettrone alla volta attraverso le fenditure, ci si aspetterebbe che ciascuno di essi passi attraverso una fenditura o l'altra, cioè si comporti come se la fenditura attraverso la quale è passato fosse l'unica, e quindi una distribuzione uniforme dovrebbe apparire sullo schermo. Tuttavia, in realtà, le bande compaiono anche quando gli elettroni vengono rilasciati uno alla volta. Pertanto, ciascun elettrone deve passare attraverso entrambe le fenditure contemporaneamente!
Il fenomeno dell'interferenza delle particelle è diventato decisivo per la nostra comprensione della struttura degli atomi, quei più piccoli “mattoni” considerati in chimica e biologia e da cui siamo costruiti noi stessi e tutto ciò che ci circonda. All’inizio del secolo, si pensava che gli atomi fossero come il sistema solare: gli elettroni (particelle che trasportano una carica elettrica negativa), come i pianeti attorno al Sole, ruotano attorno a un nucleo centrale carico positivamente. Si presumeva che gli elettroni fossero trattenuti nelle loro orbite da forze attrattive tra cariche positive e negative, in modo simile a come l'attrazione gravitazionale tra il Sole e i pianeti impedisce ai pianeti di lasciare le loro orbite. Questa spiegazione incontrava la seguente difficoltà: prima dell'avvento della meccanica quantistica, le leggi della meccanica e dell'elettricità prevedevano che gli elettroni avrebbero perso energia e quindi avrebbero spiraleggiato verso il centro dell'atomo e sarebbero caduti sul nucleo. Ciò significherebbe che gli atomi, e con essi, ovviamente, tutta la materia, collasserebbero rapidamente in uno stato di densità molto elevata. Una soluzione particolare a questo problema fu trovata nel 1913 dallo scienziato danese Niels Bohr. Bohr ipotizzò che gli elettroni non potessero muoversi in nessuna orbita, ma solo in quelle che si trovano a determinate distanze specifiche dal nucleo centrale. Se si presupponesse anche che ciascuna di queste orbite possa contenere solo uno o due elettroni, allora il problema del collasso atomico sarebbe risolto, perché allora gli elettroni, muovendosi a spirale verso il centro, potrebbero riempire solo orbite con raggi ed energie minimi .
Questo modello spiegava perfettamente la struttura dell'atomo più semplice: l'atomo di idrogeno, in cui solo un elettrone ruota attorno al nucleo. Non era chiaro, però, come estendere lo stesso approccio ad atomi più complessi. Inoltre, l'ipotesi di un numero limitato di orbite consentite sembrava del tutto arbitraria. Questa difficoltà è stata risolta da una nuova teoria: la meccanica quantistica. Si è scoperto che un elettrone che ruota attorno a un nucleo può essere immaginato come un'onda, la cui lunghezza dipende dalla sua velocità. Lungo alcune orbite si adatta un numero intero (anziché frazionario) di lunghezze d'onda degli elettroni. Muovendosi lungo queste orbite, le creste delle onde finiranno nello stesso punto su ciascuna orbita, e quindi le onde si sommeranno; tali orbite sono classificate come orbite consentite da Bohr. E per quelle orbite lungo le quali un numero intero di lunghezze d'onda degli elettroni non si adatta, ciascuna cresta mentre gli elettroni ruotano viene prima o poi compensata da un avvallamento; tali orbite non saranno consentite.
Lo scienziato americano Richard Feynman ha escogitato un modo meraviglioso che rende possibile visualizzare la dualità onda-particella. Feynman introdusse la cosiddetta sommatoria sulle traiettorie. In questo approccio, a differenza della teoria classica non quantistica, non si presuppone che la particella debba avere un'unica traiettoria nello spazio-tempo, ma al contrario si ritiene che la particella possa spostarsi da A a B lungo qualsiasi possibile sentiero. Ad ogni traiettoria sono associati due numeri: uno descrive la dimensione dell'onda, l'altro corrisponde alla sua posizione nel ciclo (cresta o valle). Per determinare le probabilità di transizione da A a B è necessario sommare le onde di tutte queste traiettorie. Se si confrontano diverse traiettorie vicine, le loro fasi o posizioni nel ciclo differiranno notevolmente. Ciò significa che le onde corrispondenti a tali traiettorie si annulleranno quasi completamente a vicenda. Tuttavia, per alcune famiglie di traiettorie vicine, le fasi cambieranno poco quando si passa da una traiettoria all'altra e le onde corrispondenti non si annulleranno a vicenda. Tali traiettorie appartengono alle orbite permesse di Bohr.
Sulla base di tali idee, scritte in una forma matematica specifica, è stato possibile, utilizzando uno schema relativamente semplice, calcolare le orbite consentite per atomi più complessi e anche per molecole costituite da più atomi tenuti insieme da elettroni le cui orbite coprono più di un nucleo. Poiché la struttura delle molecole e le reazioni che avvengono tra loro sono la base di tutta la chimica e di tutta la biologia, la meccanica quantistica in linea di principio ci consente di prevedere tutto ciò che vediamo intorno a noi con la precisione consentita dal principio di indeterminazione. (Tuttavia, in pratica, i calcoli per sistemi contenenti molti elettroni risultano così complessi che sono semplicemente impossibili da eseguire).
La struttura su larga scala dell'Universo sembra obbedire alla teoria generale della relatività di Einstein. Questa teoria è detta classica perché non tiene conto del principio di incertezza quantomeccanico, che deve essere preso in considerazione per essere coerente con le altre teorie. Non contraddiciamo i risultati delle osservazioni per il fatto che tutti i campi gravitazionali con cui solitamente abbiamo a che fare sono molto deboli. Tuttavia, secondo i teoremi di singolarità sopra discussi, il campo gravitazionale dovrebbe diventare molto intenso in almeno due situazioni: nel caso dei buchi neri e nel caso del big bang. In campi così forti, gli effetti quantistici devono essere significativi. Pertanto, la teoria generale classica della relatività, avendo previsto i punti in cui la densità diventa infinita, in un certo senso ha previsto il proprio fallimento esattamente nello stesso modo in cui la meccanica classica (cioè non quantistica) si è condannata al fallimento concludendo che gli atomi devono collassano finché la loro densità diventa infinita. Non disponiamo ancora di una teoria completa in cui la teoria generale della relatività possa essere coerentemente combinata con la meccanica quantistica, ma conosciamo alcune proprietà della teoria futura. Parleremo di ciò che consegue da queste proprietà in relazione ai buchi neri e al big bang nei capitoli successivi. Passiamo ora agli ultimi tentativi di unificare la nostra comprensione di tutte le altre forze della natura in un'unica teoria quantistica unificata.
Nella meccanica classica, lo stato di un punto materiale (particella classica) viene determinato specificando i valori di coordinate, quantità di moto, energia, ecc. Le quantità elencate sono chiamate variabili dinamiche. A rigor di termini, le variabili dinamiche specificate non possono essere assegnate a un microoggetto. Tuttavia, otteniamo informazioni sulle microparticelle osservando la loro interazione con dispositivi che sono corpi macroscopici. Pertanto, i risultati delle misurazioni sono inevitabilmente espressi in termini sviluppati per caratterizzare i macrocorpi, cioè attraverso i valori delle variabili dinamiche. Di conseguenza, i valori misurati delle variabili dinamiche sono attribuiti alle microparticelle. Ad esempio, parlano dello stato di un elettrone in cui ha questo o quel valore energetico, ecc.
La particolarità delle proprietà delle microparticelle si manifesta nel fatto che non tutte le variabili ottengono determinati valori durante le misurazioni. Quindi, ad esempio, un elettrone (o qualsiasi altra microparticella) non può avere contemporaneamente valori esatti della coordinata x e della componente della quantità di moto. Le incertezze dei valori soddisfano la relazione
(-costante di Planck). Dalla (20.1) segue che minore è l'incertezza di una delle variabili o maggiore è l'incertezza dell'altra. È possibile uno stato in cui una delle variabili ha un valore esatto, mentre l'altra variabile risulta essere completamente incerta (la sua incertezza è pari a infinito).
Una relazione simile alla (20.1) vale per y e , per z e , così come per numerose altre coppie di quantità (nella meccanica classica tali coppie di quantità sono chiamate canonicamente coniugate). Indicando quantità canonicamente coniugate con le lettere A e B, possiamo scrivere
(20.2)
La relazione (20.2) è chiamata relazione di incertezza per le quantità A e B. Questa relazione fu scoperta da W. Heisenberg nel 1927.
L'affermazione che il prodotto delle incertezze dei valori di due variabili coniugate non può essere di un ordine di grandezza inferiore alla costante di Planck è chiamata principio di indeterminazione di Heisenberg.
Energia e tempo sono quantità canonicamente coniugate. Anche per loro vale quindi la relazione di incertezza:
Questa relazione significa che la determinazione accurata dell'energia dovrebbe richiedere un intervallo di tempo pari ma inferiore a .
La relazione di incertezza è stata stabilita considerando, in particolare, il seguente esempio. Proviamo a determinare il valore della coordinata x di una microparticella che vola liberamente posizionando sul suo percorso una fenditura di larghezza , situata perpendicolare alla direzione del movimento della particella (Fig. 20.1). Prima che la particella passi attraverso la fessura, la sua componente di quantità di moto ha un valore esatto pari a zero (la fessura è per convenzione perpendicolare alla quantità di moto), quindi la coordinata x della particella è completamente incerta. Nel momento in cui la particella attraversa la fenditura, la posizione cambia. Invece dell'incertezza completa della coordinata x, appare l'incertezza, ma ciò si ottiene a costo di perdere la certezza del valore. Infatti, a causa della diffrazione, c'è una certa probabilità che la particella si muova all'interno dell'angolo , dove si trova l'angolo corrispondente al primo minimo di diffrazione (i massimi di ordine superiore possono essere trascurati, poiché la loro intensità è piccola rispetto all'intensità del massimo centrale). Nasce così l’incertezza:
Il bordo del massimo di diffrazione centrale (primo minimo), risultante dalla larghezza della fenditura, corrisponde all'angolo per il quale
(vedi formula (129.5) del 2° volume). Quindi,
Quindi, tenendo conto della (18.1), otteniamo la relazione
coerente con (20.1).
A volte la relazione di incertezza riceve la seguente interpretazione: in realtà, una microparticella ha valori esatti di coordinate e momenti, ma l'impatto evidente di un dispositivo di misurazione per tale particella non consente di determinare con precisione questi valori. Questa interpretazione è completamente sbagliata. Contraddice i fenomeni di diffrazione delle microparticelle osservati sperimentalmente.
La relazione di incertezza indica fino a che punto i concetti della meccanica classica possono essere utilizzati in relazione alle microparticelle, in particolare, con quale grado di accuratezza si può parlare delle traiettorie delle microparticelle. Il movimento lungo una traiettoria è caratterizzato da valori ben definiti di coordinate e velocità in ogni momento. Sostituendo il prodotto nella (20.1) al posto del prodotto, otteniamo la relazione
Vediamo che maggiore è la massa della particella, minore è l'incertezza sulle sue coordinate e sulla sua velocità e, quindi, più accuratamente è applicabile il concetto di traiettoria. Già per una macroparticella della dimensione di solo 1 micron, le incertezze nei valori vanno oltre la precisione della misurazione di tali quantità, tanto che praticamente il suo movimento sarà indistinguibile dal movimento lungo una traiettoria.
In determinate condizioni, anche il movimento di una microparticella può essere considerato approssimativamente come avvenuto lungo una traiettoria. Ad esempio, consideriamo il movimento di un elettrone in un tubo a raggi catodici. Stimiamo le incertezze della coordinata elettronica e della quantità di moto per questo caso. Sia la traccia del fascio di elettroni sullo schermo ad avere un raggio dell'ordine di , la lunghezza del tubo sia dell'ordine di 10 cm (Fig. 20.2). Quindi la quantità di moto dell'elettrone è legata alla tensione di accelerazione U dalla relazione
Quindi sotto tensione. L'energia dell'elettrone B è uguale a Stimiamo l'entità della quantità di moto:
Pertanto, infine, secondo la relazione (20.1):
Il risultato ottenuto indica che il movimento di un elettrone in un tubo a raggi catodici è praticamente indistinguibile dal movimento lungo una traiettoria.
La relazione di incertezza è uno dei principi fondamentali della meccanica quantistica. Questa relazione da sola è sufficiente per ottenere una serie di risultati importanti, in particolare permette di spiegare il fatto che un elettrone non cade sul nucleo di un atomo, nonché di stimare la dimensione dell'atomo più semplice e quello minimo. possibile energia di un elettrone in un tale atomo.
Se un elettrone cadesse su un nucleo puntiforme, le sue coordinate e la sua quantità di moto assumerebbero determinati valori (zero), il che è incompatibile con il principio di indeterminazione. Questo principio richiede che l'incertezza della coordinata dell'elettrone e l'incertezza della quantità di moto siano correlate dalla condizione (20.1). Formalmente, l'energia sarebbe minima a Pertanto, quando si stima l'energia più bassa possibile, si deve porre . Sostituendo questi valori nella (20.1), otteniamo la relazione
