www.site lehetővé teszi, hogy megtalálja. Az oldal elvégzi a számítást. Néhány másodperc múlva a szerver kiadja a hibát a helyes döntés. A mátrix karakterisztikus egyenlete egy algebrai kifejezés lesz, amelyet a determináns kiszámításának szabálya talál mátrixok mátrixok, míg a főátlón eltérések lesznek az átlós elemek és a változó értékeiben. Számításkor karakterisztikus egyenlet mátrix online, minden elem mátrixok megszorozzuk a megfelelő egyéb elemekkel mátrixok. Keresés módban online csak négyzetre lehetséges mátrixok. Működés keresése karakterisztikus egyenlet mátrix online redukálódik az elemek szorzatának algebrai összegének kiszámítására mátrixok a determináns megtalálásának eredményeként mátrixok, csak annak megállapítása céljából karakterisztikus egyenlet mátrix online. Ez a művelet különleges helyet foglal el az elméletben mátrixok, lehetővé teszi sajátértékek és vektorok megtalálását a gyökök segítségével. Feladat keresése karakterisztikus egyenlet mátrix online az elemek szaporítása mátrixok e termékek utólagos összegzésével egy bizonyos szabály szerint. www.site talál mátrix karakterisztikus egyenlete adott dimenzió a módban online. számítás karakterisztikus egyenlet mátrix online egy adott dimenziónál ez a determináns számítási szabálya által talált numerikus vagy szimbolikus együtthatós polinom megtalálása. mátrixok- a megfelelő elemek szorzatának összegeként mátrixok, csak annak megállapítása céljából karakterisztikus egyenlet mátrix online. Polinom keresése egy négyzet változójához mátrixok, mint definíció a mátrix karakterisztikus egyenlete, elméletben általános mátrixok. A polinom gyökeinek értéke karakterisztikus egyenlet mátrix online sajátvektorok és sajátértékek meghatározására szolgál mátrixok. Ha azonban a meghatározó mátrixok akkor nulla lesz mátrix karakterisztikus egyenlet továbbra is létezni fog, ellentétben a fordítottjával mátrixok. Számítás céljából mátrix karakterisztikus egyenlete vagy keressen egyszerre többet mátrixok karakterisztikus egyenletei, sok időt és erőfeszítést kell költenie, míg szerverünk megtalálja karakterisztikus egyenlet online mátrixhoz. Ebben az esetben a választ megtalálva karakterisztikus egyenlet mátrix online helyes és kellő pontosságú lesz, még akkor is, ha a számok megtalálásakor karakterisztikus egyenlet mátrix online irracionális lesz. Az oldalon www.site karakter bejegyzések megengedettek az elemekben mátrixok, vagyis karakterisztikus egyenlet online mátrixhoz számításnál általános szimbolikus formában ábrázolható karakterisztikus egyenletmátrix online. Hasznos ellenőrizni a kapott választ a megtalálási probléma megoldása során karakterisztikus egyenlet mátrix online az oldal használatával www.site. A polinom számítási műveletének végrehajtásakor - a mátrix karakterisztikus egyenlete, figyelmesnek és rendkívül koncentráltnak kell lenni a probléma megoldásában. Oldalunk viszont segít ellenőrizni a témával kapcsolatos döntését karakterisztikus egyenletmátrix online. Ha nincs ideje a megoldott problémák hosszú ellenőrzésére, akkor www.site minden bizonnyal kényelmes eszköz lesz a kereséshez és a számításhoz karakterisztikus egyenlet mátrix online.
A négyzetes mátrix sajátvektora az, amelyet egy adott mátrixszal megszorozva kollineáris vektort kapunk. Egyszerű szavakkal, amikor egy mátrixot megszorozunk egy sajátvektorral, az utóbbi ugyanaz marad, de megszorozzuk valamilyen számmal.
A sajátvektor egy nem nulla V vektor, amely egy M négyzetmátrixszal megszorozva önmaga lesz, megnövelve valamilyen λ számmal. NÁL NÉL algebrai jelölésúgy néz ki:
M × V = λ × V,
ahol λ az M mátrix sajátértéke.
Nézzünk egy numerikus példát. Az írás megkönnyítése érdekében a mátrixban szereplő számokat pontosvessző választja el egymástól. Tegyük fel, hogy van egy mátrixunk:
Szorozzuk meg egy oszlopvektorral:
Ha egy mátrixot megszorozunk egy oszlopvektorral, akkor egy oszlopvektort is kapunk. Szigorú matematikai nyelven a 2 × 2-es mátrix oszlopvektorral való szorzásának képlete a következőképpen nézne ki:
Az M11 az M mátrix első sorban és első oszlopában lévő elemét jelenti, M22 pedig a második sorban és a második oszlopban található elemet. A mi mátrixunknál ezek az elemek M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Oszlopvektor esetén ezek az értékek V11 = –2, V21 = 1. E képlet szerint a következőt kapjuk négyzetmátrix vektorral való szorzatának eredménye:
A kényelem kedvéért az oszlopvektort egy sorba írjuk. Tehát a négyzetmátrixot megszoroztuk a (-2; 1) vektorral, így a (4; -2) vektort kaptuk. Nyilvánvaló, hogy ez ugyanaz a vektor, megszorozva λ = -2-vel. lambda be ez az eset a mátrix egy sajátértékét jelöli.
A mátrix sajátvektora egy kollineáris vektor, vagyis egy olyan objektum, amely nem változtatja meg a térbeli helyzetét, ha mátrixszal megszorozzuk. A vektoralgebrában a kollinearitás fogalma hasonló a geometriai párhuzamosság fogalmához. A geometriai értelmezésben a kollineáris vektorok párhuzamos irányú szegmensek különböző hosszúságú. Eukleidész kora óta tudjuk, hogy egyetlen egyenesnek végtelen számú vele párhuzamos egyenese van, ezért logikus azt feltételezni, hogy minden mátrix végtelen számú sajátvektorral rendelkezik.
Az előző példából látható, hogy mind a (-8; 4), mind a (16; -8), mind a (32, -16) lehet sajátvektor. Mindezek kollineáris vektorok, amelyek megfelelnek a λ = -2 sajátértéknek. Ha megszorozzuk az eredeti mátrixot ezekkel a vektorokkal, akkor is olyan vektort kapunk, amely 2-szer tér el az eredetitől. Éppen ezért a sajátvektor keresési feladatainak megoldása során csak lineárisan független vektorobjektumokat kell megtalálni. Leggyakrabban egy n × n mátrixhoz n-edik számú sajátvektor van. Számológépünk elemzésre készült négyzetes mátrixok másodrendű, így ennek eredményeként szinte mindig két sajátvektor található, kivéve ha egybeesnek.
A fenti példában előre tudtuk az eredeti mátrix sajátvektorát, és vizuálisan meghatároztuk a lambda számot. A gyakorlatban azonban minden fordítva történik: az elején sajátértékek vannak, és csak azután sajátvektorok.
Nézzük meg újra az eredeti M mátrixot, és próbáljuk megtalálni mindkét sajátvektorát. Tehát a mátrix így néz ki:
Először meg kell határoznunk a λ sajátértéket, amelyhez ki kell számítanunk a következő mátrix determinánsát:
Ezt a mátrixot úgy kapjuk meg, hogy kivonjuk az ismeretlen λ-t a főátlón lévő elemekből. A determinánst a standard képlet határozza meg:
Mivel a vektorunk nem lehet nulla, a kapott egyenletet lineárisan függőnek tekintjük, és a detA determinánsunkat nullával egyenlővé tesszük.
(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0
Nyissuk ki a zárójeleket és kapjuk meg a mátrix karakterisztikus egyenletét:
λ 2 − 10λ − 24 = 0
Ez szabvány másodfokú egyenlet, amelyet a diszkrimináns szempontjából kell megoldani.
D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 \u003d 196
A diszkrimináns gyöke sqrt(D) = 14, tehát λ1 = -2, λ2 = 12. Most minden lambda értékhez meg kell találnunk egy sajátvektort. Adjuk meg a rendszer együtthatóit λ = -2 esetén.
Ebben a képletben E jelentése identitásmátrix. A kapott mátrix alapján lineáris egyenletrendszert állítunk össze:
2x + 4y = 6x + 12y
ahol x és y a sajátvektor elemei.
Gyűjtsük össze az összes X-et a bal oldalon és az összes Y-t a jobb oldalon. Nyilvánvalóan - 4x = 8 év. Osszuk el a kifejezést -4-gyel, és kapjuk x = -2y. Most meghatározhatjuk a mátrix első sajátvektorát az ismeretlenek tetszőleges értékével (emlékezzünk a lineárisan függő sajátvektorok végtelenjére). Tegyük fel, hogy y = 1, majd x = -2. Ezért az első sajátvektor így néz ki: V1 = (–2; 1). Vissza a cikk elejére. Ezzel a vektorobjektummal szoroztuk meg a mátrixot, hogy bemutassuk a sajátvektor fogalmát.
Most keressük meg a λ = 12 sajátvektorát.
Állítsuk össze ugyanazt a lineáris egyenletrendszert;
Most vegyük x = 1, tehát y = 3. Így a második sajátvektor így néz ki, mint V2 = (1; 3). Ha az eredeti mátrixot megszorozzuk ezzel a vektorral, az eredmény mindig ugyanaz a vektor lesz szorozva 12-vel. Ezzel befejeződik a megoldási algoritmus. Most már tudja, hogyan kell manuálisan meghatározni egy mátrix sajátvektorát.
A program a fenti algoritmus szerint működik, minimalizálva a megoldási folyamatot. Fontos kiemelni, hogy a programban a lambdát "c" betű jelöli. Nézzünk egy numerikus példát.
Próbáljunk meg sajátvektorokat definiálni a következő mátrixhoz:
Írjuk be ezeket az értékeket a számológép celláiba, és kapjuk meg a választ a következő formában:
Így két lineárisan független sajátvektort kaptunk.
A lineáris algebra és az analitikus geometria alaptantárgyak minden pályakezdő mérnök számára. Nagyszámú A vektorok és mátrixok ijesztő, és ilyen nehézkes számításokban könnyű hibázni. Programunk lehetővé teszi a diákok számára, hogy ellenőrizzék számításaikat, vagy automatikusan megoldják a sajátvektor megtalálásának problémáját. Katalógusunkban további lineáris algebrai számológépek találhatók, használja őket tanulmányaiban vagy munkájában.
Az A mátrixszal, ha van olyan l szám, amelyre AX = lX.
Ebben az esetben az l számot hívják sajátérték az X vektornak megfelelő operátor (A mátrix).
Más szóval, a sajátvektor olyan vektor, amely hatása alatt lineáris operátor kollineáris vektorba kerül, azaz. csak szorozd meg valamilyen számmal. Ezzel szemben a nem megfelelő vektorokat nehezebb transzformálni.
A sajátvektor definícióját egyenletrendszerként írjuk fel:
Vigyük át az összes kifejezést a bal oldalra:
Az utolsó rendszer mátrix formában a következőképpen írható fel:
(A - lE)X \u003d O
A kapott rendszernek mindig nulla megoldása van X = O. Azokat a rendszereket, amelyekben minden szabad tag egyenlő nullával, az ún. homogén. Ha egy ilyen rendszer mátrixa négyzet, és a determinánsa nem egyenlő nullával, akkor a Cramer-képletekkel mindig azt kapjuk, hogy egyetlen döntés- nulla. Bebizonyítható, hogy a rendszernek akkor és csak akkor van nem nulla megoldása, ha ennek a mátrixnak a determinánsa nulla, azaz.
|A - lE| = 
= 0
Ezt az ismeretlen l-es egyenletet nevezzük karakterisztikus egyenlet (karakterisztikus polinom) A mátrix (lineáris operátor).
Bizonyítható, hogy egy lineáris operátor karakterisztikus polinomja nem függ a bázis megválasztásától.
Például keressük meg az A = mátrix által adott lineáris operátor sajátértékeit és sajátvektorait.
Ehhez összeállítjuk a |А - lЕ| karakterisztikus egyenletet = 
\u003d (1 - l) 2 - 36 \u003d 1 - 2l + l 2 - 36 \u003d l 2 - 2l - 35 \u003d 0; D = 4 + 140 \u003d 144; sajátértékek l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 \u003d (2 + 12) / 2 \u003d 7.
A sajátvektorok megtalálásához két egyenletrendszert oldunk meg
(A + 5E) X = O
(A-7E) X = O
Ezek közül az elsőnél a kiterjesztett mátrix veszi fel a formát
,
ahonnan x 2 \u003d c, x 1 + (2/3) c = 0; x 1 \u003d - (2/3) s, azaz. X (1) \u003d (- (2/3) s; s).
A másodiknál a kiterjesztett mátrix veszi fel a formát
,
ahonnan x 2 = c 1, x 1 - (2/3) c 1 \u003d 0; x 1 \u003d (2/3) s 1, azaz. X (2) \u003d ((2/3) s 1; s 1).
Így ennek a lineáris operátornak a sajátvektorai mind a (-(2/3)c; c) alakú vektorok, amelyek sajátértéke (-5), és az összes (2/3)c 1 ; c 1 formájú vektor sajátérték 7 .
Bebizonyítható, hogy az A operátor mátrixa a sajátvektoraiból álló bázisban átlós, és a következő alakú:
,
ahol l i ennek a mátrixnak a sajátértékei.
Ennek a fordítottja is igaz: ha az A mátrix valamelyik bázisban átlós, akkor ennek a bázisnak minden vektora ennek a mátrixnak a sajátvektora lesz.
Az is bebizonyítható, hogy ha egy lineáris operátornak n páronként különálló sajátértéke van, akkor a megfelelő sajátvektorok lineárisan függetlenek, és ennek az operátornak a mátrixa a megfelelő bázisban diagonális alakú.
Magyarázzuk meg ezt az előző példával. Vegyünk tetszőleges nem nulla c és c 1 értékeket, de úgy, hogy az X (1) és X (2) vektorok lineárisan függetlenek legyenek, azaz. alapot képezne. Például legyen c \u003d c 1 \u003d 3, majd X (1) \u003d (-2; 3), X (2) \u003d (2; 3).
Ellenőrizzük ezeknek a vektoroknak a lineáris függetlenségét:
12 ≠ 0. Ebben az új bázisban az A mátrix A * = formájú lesz.
Ennek ellenőrzésére az A * = C -1 AC képletet használjuk. Először keressük meg a C -1-et.
C-1 = 
;
másodfokú forma f (x 1, x 2, x n) n változóból összegnek nevezzük, amelynek minden tagja vagy az egyik változó négyzete, vagy két különböző változó szorzata, egy bizonyos együtthatóval: f (x 1) , x 2, x n) = 
(a ij = a ji).
Az ezekből az együtthatókból álló A mátrixot ún mátrix másodfokú forma. Mindig szimmetrikus mátrix (azaz a főátlóra szimmetrikus mátrix, a ij = a ji).
A mátrix jelölésben a másodfokú alak az f(X) = X T AX formátumú, ahol
Valóban
Például írjuk fel a másodfokú formát mátrix alakban.
Ehhez egy másodfokú mátrixot találunk. Átlós elemei egyenlők a változók négyzeténél lévő együtthatókkal, a többi elem pedig a másodfokú forma megfelelő együtthatóinak felével. Ezért
Legyen az X változók mátrixoszlopa az Y mátrixoszlop nem degenerált lineáris transzformációjával, azaz. X = CY, ahol C egy nem degenerált n-rendű mátrix. Ekkor az f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y másodfokú alak.
Így egy nem degenerált C lineáris transzformáció során a másodfokú alak mátrixa a következő alakot ölti: A * = C T AC.
Például keressük meg az f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 másodfokú alakból lineáris transzformációval kapott f(y 1, y 2) másodfokú alakot.
A másodfokú formát ún kánoni(Van kanonikus nézet) ha minden együtthatója a ij = 0 i ≠ j esetén, azaz.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 =.
Mátrixa átlós.
Tétel(a bizonyíték itt nincs megadva). Nem degenerált lineáris transzformáció segítségével bármely másodfokú forma kanonikus formává redukálható.
Például redukáljuk a kanonikus formára a másodfokú formát
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.
Ehhez először válassza ki az x 1 változó teljes négyzetét:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2) ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.
Most kiválasztjuk az x 2 változó teljes négyzetét:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 + 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) + (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 + (1/20) x 3 2.
Ezután az y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 + (1/10) x 3 és y 3 \u003d x 3 nem degenerált lineáris transzformáció ezt a másodfokú formát hozza az f kanonikus alakba (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .
Megjegyzendő, hogy a másodfokú formák kanonikus formája kétértelműen definiálva van (ugyanaz a másodfokú forma redukálható kanonikus formára különböző utak). Azonban a különböző utak a kanonikus formáknak van egy száma közös tulajdonságok. Különösen a másodfokú alak pozitív (negatív) együtthatóival rendelkező tagok száma nem függ attól, hogy az alak hogyan redukálódik erre a formára (például a vizsgált példában mindig két negatív és egy pozitív együttható lesz). Ezt a tulajdonságot a másodfokú formák tehetetlenségi törvényének nevezzük.
Ellenőrizzük ezt úgy, hogy ugyanazt a másodfokú formát más módon redukáljuk kanonikus formára. Kezdjük az átalakítást az x 2 változóval:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 +
+ 2 * x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
+ 3y 2 2 + 2y 3 2, ahol y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) ) x 3 és y 3 = x 1 . Itt egy negatív együttható -3 az y 1-nél és két pozitív együttható 3 és 2 az y 2-nél és y 3-nál (és egy másik módszerrel negatív együtthatót (-5) kaptunk y 2-nél és két pozitív együtthatót: 2-t y 1-nél és 1/20 y 3).
Azt is meg kell jegyezni, hogy egy másodfokú alakú mátrix rangja, ún a másodfokú forma rangja, egyenlő a számmal a kanonikus forma nullától eltérő együtthatói, és nem változik a lineáris transzformációk során.
Az f(X) másodfokú alakot nevezzük pozitívan (negatív) bizonyos, ha a változók összes olyan értékére, amely nem egyenlő egyidejűleg nullával, akkor pozitív, pl. f(X) > 0 (negatív, pl.
f(X)< 0).
Például az f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 másodfokú alak pozitív határozott, mert a négyzetek összege, és az f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 másodfokú alak negatív határozott, mert azt jelenti, hogy f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2-ként ábrázolható.
A legtöbb gyakorlati helyzetben valamivel nehezebb egy másodfokú alak előjel-határozottságát megállapítani, ezért erre a következő tételek valamelyikét használjuk (bizonyítások nélkül fogalmazzuk meg).
Tétel. Egy másodfokú forma akkor és csak akkor pozitív (negatív) határozott, ha mátrixának minden sajátértéke pozitív (negatív).
Tétel(Sylvester kritériuma). Egy másodfokú alak akkor és csak akkor pozitív határozott, ha ennek az alaknak a mátrixának minden fő minorja pozitív.
Major (sarok) moll Az A mátrix n-edik rendű k-edik rendjét a mátrix determinánsának nevezzük, amely az A () mátrix első k sorából és oszlopából áll.
Figyeljük meg, hogy a negatív-határozott másodfokú alakoknál a főmollok előjelei váltakoznak, az elsőrendű mollnak pedig negatívnak kell lennie.
Megvizsgáljuk például az f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 másodfokú alakot az előjel-határozottság szempontjából.
= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D = 25-8 = 17; 
. Ezért a másodfokú forma pozitív határozott.
2. módszer. A mátrix első rendű főmollja A D 1 = a 11 = 2 > 0. A másodrendű főmoll D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Ezért a Sylvester-kritérium szerint a másodfokú alak pozitív határozott.
Megvizsgálunk egy másik másodfokú alakot az előjel-meghatározásra, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.
1. módszer. Készítsünk А = másodfokú mátrixot. A karakterisztikus egyenlet alakja lesz 
= (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25-8 = 17; 
. Ezért a másodfokú alak negatív határozott.
2. módszer. Az A D 1 = a 11 = mátrix első rendű főmollja
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Ezért a Sylvester-kritérium szerint a másodfokú alak negatív határozott (a főmollok előjelei váltakoznak, mínuszból indulva).
Egy másik példaként megvizsgáljuk az f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 másodfokú alakot az előjel-határozottság szempontjából.
1. módszer. Készítsünk А = másodfokú mátrixot. A karakterisztikus egyenlet alakja lesz 
= (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41; 
.
Ezen számok egyike negatív, a másik pozitív. A sajátértékek előjelei eltérőek. Ezért egy másodfokú forma nem lehet sem negatív, sem pozitív határozott, azaz. ez a másodfokú forma nem előjel-határozott (bármilyen előjel értékét veheti fel).
2. módszer. Az A mátrix első rendű főmollja A D 1 = a 11 = 2 > 0. A másodrendű főmoll D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).
Hogyan lehet matematikai képleteket beilleszteni a webhelyre?
Ha valaha egy vagy két matematikai képletet kell hozzáadnia egy weboldalhoz, akkor ezt a legegyszerűbben a cikkben leírt módon teheti meg: a matematikai képletek könnyen beilleszthetők az oldalra képek formájában, amelyeket Wolfram Alpha automatikusan generál. Az egyszerűség mellett ez az univerzális módszer segít javítani a webhely láthatóságát kereső motorok. Régóta működik (és szerintem örökké működni fog), de erkölcsileg elavult.
Ha folyamatosan matematikai képleteket használ a webhelyén, akkor azt javaslom, hogy használja a MathJax-ot, egy speciális JavaScript-könyvtárat, amely matematikai jelöléseket jelenít meg a MathML, LaTeX vagy ASCIIMathML jelölést használó webböngészőkben.
A MathJax használatának két módja van: (1) egy egyszerű kód segítségével gyorsan csatlakoztathat egy MathJax szkriptet a webhelyéhez, amely a megfelelő időben automatikusan betöltődik egy távoli szerverről (szerverek listája); (2) töltse fel a MathJax szkriptet egy távoli szerverről a szerverére, és csatlakoztassa webhelye összes oldalához. A második módszer bonyolultabb és időigényesebb, és lehetővé teszi, hogy felgyorsítsa webhelye oldalainak betöltését, és ha a szülő MathJax szerver valamilyen okból átmenetileg elérhetetlenné válik, az semmilyen módon nem érinti a saját webhelyét. Ezen előnyök ellenére az első módszert választottam, mivel az egyszerűbb, gyorsabb és nem igényel technikai ismereteket. Kövesse a példámat, és 5 percen belül használhatja a MathJax összes funkcióját webhelyén.
A MathJax könyvtár szkriptjét távoli szerverről csatlakoztathatja a MathJax fő webhelyéről vagy a dokumentációs oldalról származó két kódopció használatával:
Ezen kódopciók egyikét ki kell másolni és be kell illeszteni a weboldal kódjába, lehetőleg a címkék közé
és vagy közvetlenül a címke után . Az első opció szerint a MathJax gyorsabban tölt be és kevésbé lassítja az oldalt. De a második lehetőség automatikusan követi és betölti a MathJax legújabb verzióit. Ha beírja az első kódot, akkor azt rendszeresen frissíteni kell. Ha beilleszti a második kódot, akkor az oldalak lassabban töltődnek be, de nem kell folyamatosan figyelnie a MathJax frissítéseit.A MathJax csatlakoztatásának legegyszerűbb módja a Blogger vagy a WordPress: a webhely vezérlőpultján adjon hozzá egy widgetet, amely harmadik fél JavaScript kódjának beillesztésére szolgál, másolja bele a fenti betöltési kód első vagy második verzióját, és helyezze közelebb a widgetet a a sablon eleje (egyébként ez egyáltalán nem szükséges, mivel a MathJax szkript aszinkron módon töltődik be). Ez minden. Most tanulja meg a MathML, LaTeX és ASCIIMathML jelölési szintaxisát, és máris beágyazhat matematikai képleteket weboldalaiba.
Bármely fraktál egy bizonyos szabály szerint épül fel, amelyet következetesen korlátlan számú alkalommal alkalmaznak. Minden ilyen időt iterációnak nevezünk.
A Menger-szivacs elkészítésének iteratív algoritmusa meglehetősen egyszerű: az 1-es oldalú eredeti kockát a lapjaival párhuzamos síkok 27 egyenlő kockára osztják. Egy központi kockát és a lapok mentén szomszédos 6 kockát eltávolítanak róla. Kiderült, hogy egy készlet 20 megmaradt kisebb kockából áll. Minden egyes kockával ugyanezt megtéve egy 400 kisebb kockából álló készletet kapunk. Ezt a folyamatot a végtelenségig folytatva megkapjuk a Menger szivacsot.
