In der Mathematik werden spezielle Symbole verwendet, um den Satz zu verkürzen und die Aussage genauer auszudrücken.
Mathematische Symbole:
Verwenden Sie zum Beispiel das Symbol " > » zu Zahlen a, b, wir bekommen den Eintrag " a > b“, was eine Abkürzung für den Satz ist: „Zahl a mehr Nummer b". Wenn - Bezeichnungen von Zeilen, dann ist der Datensatz eine parallele Aussage. Aufzeichnung " x M" bedeutet, dass x ist ein Element der Menge M.
Neben der mathematischen Symbolik wird die logische Symbolik in der Mathematik häufig verwendet und angewendet Aussagen und Prädikate .
Unter Sprichwort bedeutet einen Satz, der entweder nur wahr oder nur falsch ist. Beispielsweise ist die Aussage „–3 > 0“ falsch und die Aussage „2 2 = 4“ wahr. Aussagen bezeichnen wir in lateinischen Großbuchstaben, ggf. mit Indizes. Zum Beispiel, EIN= "-3 > 0», B= "2 2 = 4".
Prädikat ist ein Satz mit einer oder mehreren Variablen. Zum Beispiel der Satz: „Nummer x größer als die Zahl 0" (in Zeichen x > 0) ist ein einzelnes variables Prädikat x, und der Satz: "a+b=c" ist ein Prädikat mit drei Variablen a, b, c.
Das Prädikat für bestimmte Werte der Variablen wird zu einem Satz, der wahre und falsche Werte annimmt.
Wir bezeichnen Prädikate als Funktionen: Q(x) = « x > 0» , F(x,b,c) = « x + b = c» .
Logiksymbole: .
1. Negation gilt für eine Aussage oder ein Prädikat, entspricht dem Partikel „not“ und wird mit bezeichnet.
Die Formel ist beispielsweise eine Abkürzung für den Satz: „-3 ist nicht größer als 0“ („es ist nicht wahr, dass -3 größer als 0 ist“).
2. Verbindung angewendet auf zwei Aussagen oder Prädikate, entspricht der Vereinigung „und“, bezeichnet: A&B(oder Ein B).
Die Formel (–3 > 0) & (2 2 = 4) bedeutet also den Satz „–3 > 0 und 2 2 = 4“, der offensichtlich falsch ist.
3. Disjunktion gilt für zwei Aussagen oder Prädikate, entspricht der Vereinigung „oder“ (nicht trennend) und wird bezeichnet Ein B .
Vorschlag: „Nummer x gehört zu einer Menge oder einer Menge" wird durch die Formel dargestellt: 
.
4. Implikation entspricht der Vereinigung "wenn ..., dann ..." und wird bezeichnet als: Ein B.
Also der Eintrag ein > –1 ein > 0" ist eine Abkürzung für den Satz "wenn ein >-1, dann ein > 0».
5. Gleichwertigkeit Ein B passt zum Satz: EIN dann und nur dann, wenn B».
Die Symbole werden aufgerufen Quantifizierer von Allgemeinheit und Existenz gelten jeweils für Prädikate (und nicht für Aussagen). Der Quantor wird gelesen als „any“, „every“, „all“ oder mit der Präposition „for“: „for any“, „for all“ usw. Der Quantor wird gelesen: „existiert“, „es gibt“ usw.
Allgemeiner Quantifizierer auf Prädikat angewendet F(x, …) mit einer Variablen (z. B. x) oder mehrere Variablen, wodurch sich die Formel ergibt
1. xF(x,…), was dem Satz entspricht: „für alle x durchgeführt F(x, …)» oder alle x das Eigentum haben F(x, …)».
Zum Beispiel: x(x> 0) gibt es eine Abkürzung für den Ausdruck: "beliebig x größer als 0", was eine falsche Aussage ist.
2. Existenzquantifizierer auf das Prädikat angewendet F(x,…) entspricht dem Satz „es gibt x, so dass F(x,…)" ("Es gibt x, wofür F(x,…)") und bezeichnet: xF(x,…).
Zum Beispiel wird die wahre Aussage „es gibt eine reelle Zahl, deren Quadrat 2 ist“ durch die Formel geschrieben x(xR&x 2 = 2). Hier wird der Existenzquantor auf das Prädikat angewendet: F(x)= (xR&x 2 = 2) (denken Sie daran, dass die Menge aller reellen Zahlen mit bezeichnet wird R).
Wenn ein Quantor auf ein Prädikat mit einer Variablen angewendet wird, dann ist das Ergebnis eine Aussage, wahr oder falsch. Wenn ein Quantor auf ein Prädikat mit zwei oder mehr Variablen angewendet wird, dann ist das Ergebnis ein Prädikat mit einer Variable weniger. Also, wenn das Prädikat F(x, y) enthält zwei Variablen, dann im Prädikat xF(x, y) eine Variable j(Variable x"verwandt" ist, können Sie keine Werte dafür ersetzen x). Prädikat xF(x, y) kann man den Quantifizierer der Allgemeinheit oder Existenz in Bezug auf die Variable anwenden j, dann die resultierende Formel xF(x, y) oder xF(x, y) ist ein Vorschlag.
Also das Prädikat | Sünde x|< a » enthält zwei Variablen x, ein. Prädikat x(|sünde|< a) hängt von einer Variablen ab a, während dieses Prädikat zu einer falschen Aussage wird (|sünde|< ), bei a= 2 erhalten wir eine wahre Aussage x(|sünde|< 2).
⊃ kann dasselbe bedeuten wie ⇒ (das Symbol kann auch eine Obermenge bedeuten).
⇒ (\displaystyle\Rechtspfeil )
→ (\displaystyle\to)\zu
⊃ (\displaystyle\supset)
⟹ (\displaystyle \impliziert )\impliziert
U+003A U+229C
:= (\displaystyle:=):=
≡ (\displaystyle \equiv)
⇔ (\displaystyle\Leftrightarrow )
Die folgenden Operatoren werden selten von Standardschriften unterstützt. Wenn Sie diese auf Ihrer Seite verwenden möchten, sollten Sie immer die richtigen Schriftarten einbetten, damit der Browser die Zeichen darstellen kann, ohne Schriftarten auf Ihrem Computer installieren zu müssen.
In Polen wird der universelle Quantor manchmal geschrieben als ∧ (\displaystyle \wedge), und der Existenzquantor as ∨ (\displaystyle\vee). Ähnliches wird in der deutschen Literatur beobachtet.
Symbolik ist logisch
ein System von Zeichen (Symbolen), das in der Logik verwendet wird, um Begriffe, Prädikate, Sätze, logische Funktionen, Beziehungen zwischen Sätzen zu bezeichnen. Verschiedene logische Systeme können unterschiedliche Notationssysteme verwenden, daher geben wir im Folgenden nur die gebräuchlichsten Symbole an, die in der Literatur zur Logik verwendet werden:
Die Anfangsbuchstaben des lateinischen Alphabets werden normalerweise verwendet, um einzelne konstante Ausdrücke, Begriffe zu bezeichnen;
Große Anfangsbuchstaben des lateinischen Alphabets werden normalerweise verwendet, um bestimmte Aussagen zu kennzeichnen;
Buchstaben am Ende des lateinischen Alphabets werden normalerweise verwendet, um einzelne Variablen zu bezeichnen;
Großbuchstaben am Ende des lateinischen Alphabets werden normalerweise verwendet, um Aussagevariablen oder Aussagevariablen zu bezeichnen; für den gleichen Zweck werden häufig kleine Buchstaben der Mitte des lateinischen Alphabets verwendet: p, q, r, ...;
logische Symbolik; u
Zeichen, die dazu dienen, Negation anzuzeigen; muss heißen: „nicht“, „es ist nicht wahr, dass“;
Zeichen zur Bezeichnung einer Konjunktion - eine logische Verbindung und eine Aussage, die eine solche Verbindung als Hauptzeichen enthält; lesen und";
Ein Zeichen zur Bezeichnung einer nicht ausschließlichen Disjunktion - eine logische Verbindung und eine Aussage, die eine solche Verbindung als Hauptzeichen enthält; lesen: "oder";
Ein Zeichen, das eine strikte oder exklusive Disjunktion bezeichnet; lesen: "entweder, oder";
Zeichen zur Bezeichnung einer Implikation - eine logische Verbindung und eine Aussage, die eine solche Verbindung als Hauptzeichen enthält; lesen: "wenn, dann";
Zeichen zur Kennzeichnung der Äquivalenz von Aussagen; muss heißen: „wenn und nur wenn“;
Ein Zeichen, das die Ableitbarkeit einer Aussage von einer anderen aus einer Reihe von Aussagen anzeigt; lesen: „ableitbar“ (wenn die Aussage A aus einer leeren Menge von Prämissen ableitbar ist, die als „A“ geschrieben wird, dann lautet das Zeichen „ “: „beweisbar“);
Wahrheit (aus dem Englischen wahr - Wahrheit); - Lüge (aus dem Englischen falsch - Lüge);
Allgemeiner Quantifizierer; lesen Sie "für alle", "alle";
Existenzquantifizierer; lesen: "existiert", "es gibt mindestens einen";
Schilder zur Angabe des Modaloperators der Notwendigkeit; lesen: "es ist notwendig, dass";
Zeichen zur Angabe des modalen Möglichkeitsoperators; lesen: "möglicherweise".
Neben denen, die in mehrwertigen, temporären, deontischen und anderen Logiksystemen aufgeführt sind, werden ihre eigenen spezifischen Symbole verwendet, aber jedes Mal wird erklärt, was genau dieses oder jenes Symbol bedeutet und wie es gelesen wird (siehe: Logisches Zeichen). .
Wörterbuch der Logik. - M.: Tumanit, Hrsg. Zentrum VLADOS. A. A. Ivin, A. L. Nikiforov. 1997 .
- (Logische Konstanten) Begriffe im Zusammenhang mit der logischen Form des Denkens (Beweis, Schlussfolgerung) und sind ein Mittel zur Vermittlung menschlicher Gedanken und Schlussfolgerungen, Schlussfolgerungen in jedem Bereich. L. bis. Wörter wie not, and, or, there are ... Glossar der Logikbegriffe
GOST R ISO 22742-2006: Automatische Identifizierung. Strichcodierung. Linearer Barcode und 2D-Symbole auf Produktverpackungen- Terminologie GOST R ISO 22742 2006: Automatische Identifizierung. Strichcodierung. Lineare Barcodesymbole und zweidimensionale Symbole auf Produktverpackungen Originaldokument: 3.8 Data Matrix: Zweidimensionale Matrixsymbologie mit Korrektur ... ...
- (Wittgenstein) Ludwig (1889 1951) Österreichisches Englisch. Philosoph, Prof. Philosophie an der Universität Cambridge 1939 1947. Philos. V.s Ansichten wurden wie unter dem Einfluss bestimmter Phänomene im Österreichischen gebildet. Kultur früh. 20. Jahrhundert und als Ergebnis kreativer ... ... Philosophische Enzyklopädie
- (griechisch logike̅́) die Wissenschaft der akzeptablen Argumentationsweisen. Das Wort "L." in seiner modernen Verwendung mehrdeutig, wenn auch nicht so reich an semantischen Schattierungen wie das Altgriechische. Logos, von denen es kommt. Im Geiste der Tradition mit dem Konzept von L ... Große sowjetische Enzyklopädie
- (vom griechischen Zeichen Semiiot) eine allgemeine Theorie der Zeichensysteme, die die Eigenschaften von Zeichenkomplexen ganz anderer Art untersucht. Solche Systeme umfassen natürliche Sprachen, geschrieben und mündlich, eine Vielzahl künstlicher Sprachen, beginnend mit formalisierten ... Philosophische Enzyklopädie
Dieser Begriff hat andere Bedeutungen, siehe Kuh (Bedeutungen). ? Hauskuh ... Wikipedia
Konzeptkalkül- "CALCULUS OF CONCEPTS" ("Aufzeichnung in Begriffen"), das Werk des deutschen Mathematikers und Logikers Gottlob Frege, das den Beginn der modernen Form der mathematischen (symbolischen) Logik markierte. Der vollständige Titel dieser Arbeit enthielt einen Hinweis darauf, dass in ... ... Enzyklopädie der Erkenntnistheorie und Wissenschaftsphilosophie
Wittgenstein (WITTGENSTEIN) Ludwig- (1889 1951) Österreicher Philosoph. Prof.. Philosophie an der University of Cambridge 1939 47 . Die philosophischen Ansichten von V. wurden sowohl unter dem Einfluss bestimmter Phänomene im österreichischen gebildet. Kultur des beginnenden 20. Jahrhunderts und als Ergebnis der kreativen Entwicklung neuer Errungenschaften ... ... Moderne westliche Philosophie. Enzyklopädisches Wörterbuch
der Code- 01.01.14 Code [Code]: Ein Regelsatz, der Elemente eines Satzes mit Elementen eines anderen Satzes abgleicht. [ISO/IEC 2382-4, 04.02.01] Quelle ... Wörterbuch-Nachschlagewerk von Begriffen der normativen und technischen Dokumentation
- (Comte) Begründer des Positivismus, geb. 19. Januar 1798 in Montpellier, wo sein Vater Steuereintreiber war. Am Lyceum zeichnete er sich in Mathematik aus. Beim Eintritt in die Polytechnische Schule überraschte er Professoren und Kameraden mit seiner geistigen Entwicklung. BEI… … Enzyklopädisches Wörterbuch F.A. Brockhaus und I.A. Efron
Konjunktion oder logische Multiplikation (in der Mengenlehre ist dies eine Schnittmenge)
Eine Konjunktion ist ein komplexer logischer Ausdruck, der genau dann wahr ist, wenn beide einfachen Ausdrücke wahr sind. Eine solche Situation ist nur in einem einzigen Fall möglich, in allen anderen Fällen ist die Konjunktion falsch.
Bezeichnung: &, $\wedge$, $\cdot$.
Wahrheitstabelle für Konjunktion
Bild 1.
Konjunktionseigenschaften:
Eine Disjunktion ist ein komplexer logischer Ausdruck, der fast immer wahr ist, außer wenn alle Ausdrücke falsch sind.
Bezeichnung: +, $\vee$.
Wahrheitstabelle für die Disjunktion
Figur 2.
Disjunktionseigenschaften:
Negation - bedeutet, dass das Partikel NOT oder das Wort INCORRECT zum ursprünglichen logischen Ausdruck hinzugefügt wird, WAS und als Ergebnis erhalten wir, dass, wenn der ursprüngliche Ausdruck wahr ist, die Negation des ursprünglichen falsch ist und umgekehrt, wenn der der ursprüngliche Ausdruck falsch ist, dann ist seine Negation wahr.
Notation: nicht $A$, $\bar(A)$, $¬A$.
Wahrheitstabelle für Inversion
Figur 3
Negative Eigenschaften:
Die „doppelte Negation“ von $¬¬A$ ist eine Folge des Satzes $A$, also in der formalen Logik eine Tautologie und in der Booleschen Logik gleich dem Wert selbst.
Eine Implikation ist ein komplexer logischer Ausdruck, der in allen Fällen wahr ist, außer wenn wahr falsch impliziert. Das heißt, diese logische Operation verbindet zwei einfache logische Ausdrücke, von denen der erste die Bedingung ($A$) und der zweite ($A$) die Folge der Bedingung ($A$) ist.
Schreibweise: $\to$, $\Rightarrow$.
Wahrheitstabelle für Implikationen
Figur 4
Implikationseigenschaften:
Äquivalenz ist ein komplexer logischer Ausdruck, der für gleiche Werte der Variablen $A$ und $B$ wahr ist.
Bezeichnungen: $\leftrightarrow$, $\Leftrightarrow$, $\equiv$.
Wahrheitstabelle für Äquivalenz
Abbildung 5
Äquivalenzeigenschaften:
Eine strikte Disjunktion ist wahr, wenn die Werte der Argumente nicht gleich sind.
Für die Elektronik bedeutet dies, dass die Implementierung von Schaltungen mit einem typischen Element möglich ist (obwohl dies ein teures Element ist).
Um die angegebene Reihenfolge der Ausführung logischer Operationen zu ändern, müssen Sie Klammern verwenden.
Für eine Menge von $n$-booleschen Werten gibt es genau $2^n$ verschiedene Werte. Die Wahrheitstabelle für einen booleschen Ausdruck in $n$-Variablen enthält $n+1$-Spalten und $2^n$-Zeilen.
1.1. Notation für logische Verknüpfungen (Operationen):
a) Negation(Invertierung, logisches NICHT) wird mit ¬ bezeichnet (z. B. ¬A);
b) Verbindung(logische Multiplikation, logisches UND) wird mit /\ bezeichnet
(z. B. A /\ B) oder & (z. B. A & B);
c) Disjunktion(logische Addition, logisches ODER) wird mit \/ bezeichnet
(z. B. A \/ B);
d) folgende(Implikation) wird mit → bezeichnet (z. B. A → B);
e) Identität bezeichnet mit ≡ (z. B. A ≡ B). Der Ausdruck A ≡ B ist genau dann wahr, wenn die Werte von A und B gleich sind (entweder sie sind beide wahr oder sie sind beide falsch);
f) Symbol 1 wird verwendet, um Wahrheit (wahre Aussage) zu bezeichnen; Symbol 0 - um eine Lüge anzuzeigen (falsche Aussage).
1.2. Es werden zwei boolesche Ausdrücke aufgerufen, die Variablen enthalten gleichwertig (äquivalent), wenn die Werte dieser Ausdrücke für alle Werte der Variablen gleich sind. Die Ausdrücke A → B und (¬A) \/ B sind also äquivalent, A /\ B und A \/ B jedoch nicht (die Bedeutung der Ausdrücke ist unterschiedlich, z. B. wenn A \u003d 1, B \ u003d 0).
1.3. Prioritäten logischer Operationen: Inversion (Negation), Konjunktion (logische Multiplikation), Disjunktion (logische Addition), Implikation (Folgen), Identität. Somit bedeutet ¬A \/ B \/ C \/ D dasselbe wie
((¬A) \/ B)\/ (C \/ D).
Es ist möglich, A \/ B \/ C anstelle von (A \/ B) \/ C zu schreiben. Gleiches gilt für die Konjunktion: Es ist möglich, A / \ B / \ C anstelle von (A / \ B zu schreiben ) / \ C.
Die folgende Liste erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit, ist aber hoffentlich repräsentativ.
2.1. Allgemeine Eigenschaften
2.2 Disjunktion
2.3. Verbindung
2.4. Einfache Disjunktionen und Konjunktionen
Wir nennen (der Einfachheit halber) die Konjunktion einfach wenn die Teilausdrücke, auf die die Konjunktion angewendet wird, verschiedene Variablen oder ihre Negationen sind. Ebenso wird die Disjunktion genannt einfach wenn die Unterausdrücke, auf die die Disjunktion angewendet wird, unterschiedliche Variablen oder ihre Negationen sind.
2.5. Implikation
