Die Potenzierung ist eine Operation, die eng mit der Multiplikation verwandt ist. Diese Operation ist das Ergebnis der mehrfachen Multiplikation einer Zahl mit sich selbst. Lassen Sie uns die Formel darstellen: a1 * a2 * ... * an = an.
Beispiel: a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .
Im Allgemeinen wird die Potenzierung häufig in verschiedenen Formeln in Mathematik und Physik verwendet. Diese Funktion hat einen wissenschaftlicheren Zweck als die vier grundlegenden: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.
Eine Zahl zu potenzieren ist keine schwierige Operation. Es ist mit der Multiplikation verwandt wie die Beziehung zwischen Multiplikation und Addition. Record an - eine kurze Aufzeichnung der n-ten Anzahl von Zahlen "a", die miteinander multipliziert werden.
Betrachten Sie die Potenzierung der einfachsten Beispiele und fahren Sie mit den komplexen fort.
Beispiel: 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Vier zum Quadrat (zur zweiten Potenz) ist gleich sechzehn. Wenn Sie die Multiplikation 4 * 4 nicht verstehen, dann lesen Sie unseren Artikel über die Multiplikation.
Schauen wir uns ein anderes Beispiel an: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Fünf hoch drei (hoch 3) sind einhundertfünfundzwanzig.
Ein weiteres Beispiel: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Neun hoch drei ist gleich siebenhundertneunundzwanzig.
Um richtig zu potenzieren, müssen Sie sich an die folgenden Formeln erinnern und sie kennen. Darin ist nichts weiter als natürlich, die Hauptsache ist, die Essenz zu verstehen, und dann werden sie nicht nur in Erinnerung bleiben, sondern auch einfach erscheinen.
Was ist ein Monom? Dies ist das Produkt aus Zahlen und Variablen in beliebiger Menge. Zum Beispiel ist zwei ein Monom. Und in diesem Artikel geht es darum, solche Monome zu potenzieren.
Unter Verwendung von Potenzierungsformeln wird es nicht schwierig sein, die Potenzierung eines Monoms zu einer Potenz zu berechnen.
Zum Beispiel, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Wenn Sie ein Monom potenzieren, wird jede Komponente des Monoms potenziert.
Wenn eine Variable, die bereits einen Grad hat, potenziert wird, werden die Grade multipliziert. Beispiel: (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;
Ein negativer Exponent ist der Kehrwert einer Zahl. Was ist ein Gegenwert? Für jede Zahl X ist der Kehrwert 1/X. Das ist X-1=1/X. Dies ist die Essenz des negativen Grades.
Betrachten Sie das Beispiel (3Y)^-3:
(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).
Warum so? Da im Grad ein Minus steht, übertragen wir diesen Ausdruck einfach auf den Nenner und erheben ihn dann in die dritte Potenz. Genau richtig?
Beginnen wir mit einem konkreten Beispiel. 43/2. Was bedeutet Potenz 3/2? 3 - Zähler, bedeutet, eine Zahl (in diesem Fall 4) auf einen Würfel zu erhöhen. Die Zahl 2 ist der Nenner, dies ist das Ziehen der zweiten Wurzel der Zahl (in diesem Fall 4).
Dann erhalten wir die Quadratwurzel von 43 = 2^3 = 8 . Antwort: 8.
Der Nenner eines Bruchgrades kann also entweder 3 oder 4 sein, und bis unendlich jede Zahl, und diese Zahl bestimmt den Grad der aus einer gegebenen Zahl gezogenen Quadratwurzel. Der Nenner darf natürlich nicht Null sein.
Wenn die Wurzel auf eine Potenz erhoben wird, die der Potenz der Wurzel selbst entspricht, dann ist die Antwort der radikale Ausdruck. Zum Beispiel (√x)2 = x. Also in jedem Fall Gleichheit des Grades der Wurzel und des Grades der Anhebung der Wurzel.
Wenn (√x)^4. Dann ist (√x)^4=x^2. Um die Lösung zu überprüfen, übersetzen wir den Ausdruck in einen Ausdruck mit gebrochenem Grad. Da die Wurzel quadratisch ist, ist der Nenner 2. Und wenn die Wurzel in die vierte Potenz erhoben wird, dann ist der Zähler 4. Wir erhalten 4/2=2. Antwort: x = 2.
In jedem Fall ist es am besten, den Ausdruck einfach in einen Bruchexponenten umzuwandeln. Wenn der Bruch nicht gekürzt wird, lautet eine solche Antwort, sofern die Wurzel der angegebenen Zahl nicht zugewiesen wird.
Was ist eine komplexe Zahl? Eine komplexe Zahl ist ein Ausdruck mit der Formel a + b * i; a, b sind reelle Zahlen. i ist die Zahl, die quadriert die Zahl -1 ergibt.
Betrachten Sie ein Beispiel. (2 + 3i)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.
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Die Potenzierung ist eine Operation, die eng mit der Multiplikation verwandt ist. Diese Operation ist das Ergebnis der mehrfachen Multiplikation einer Zahl mit sich selbst. Lassen Sie uns die Formel darstellen: a1 * a2 * … * an=an .
Zum Beispiel, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.
Lösungsbeispiele:
Präsentation zur Potenzierung, konzipiert für Siebtklässler. Die Präsentation mag einige unverständliche Punkte klären, aber solche Punkte wird es dank unseres Artikels wahrscheinlich nicht geben.
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Wir haben herausgefunden, was der Grad einer Zahl im Allgemeinen ist. Jetzt müssen wir verstehen, wie man es richtig berechnet, d.h. Zahlen potenzieren. In diesem Material analysieren wir die Grundregeln für die Berechnung des Grades im Fall eines ganzzahligen, natürlichen, gebrochenen, rationalen und irrationalen Exponenten. Alle Definitionen werden mit Beispielen illustriert.
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Beginnen wir mit der Formulierung grundlegender Definitionen.
Bestimmung 1
Potenzierung ist die Berechnung des Wertes der Potenz einer Zahl.
Das heißt, die Wörter "Berechnung des Gradwerts" und "Potenzierung" bedeuten dasselbe. Wenn also die Aufgabe lautet „Potenziere die Zahl 0 , 5 mit der fünften Potenz“, ist dies zu verstehen als „Berechne den Wert der Potenz (0 , 5) 5 .
Jetzt geben wir die Grundregeln an, die bei solchen Berechnungen befolgt werden müssen.
Erinnere dich daran, was eine Potenz einer Zahl mit einem natürlichen Exponenten ist. Bei einer Potenz mit Basis a und Exponent n ist dies das Produkt der n-ten Anzahl von Faktoren, von denen jeder gleich a ist. Dies kann so geschrieben werden:
Um den Wert des Grades zu berechnen, müssen Sie die Operation der Multiplikation durchführen, dh die Basen des Grades mit der angegebenen Anzahl multiplizieren. Das Konzept eines Abschlusses mit einem natürlichen Indikator basiert auf der Fähigkeit, sich schnell zu vermehren. Lassen Sie uns Beispiele geben.
Beispiel 1
Bedingung: Raise - 2 hoch 4 .
Lösung
Unter Verwendung der obigen Definition schreiben wir: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Als nächstes müssen wir nur diese Schritte befolgen und erhalten 16 .
Nehmen wir ein komplizierteres Beispiel.
Beispiel 2
Berechne den Wert 3 2 7 2
Lösung
Dieser Eintrag kann umgeschrieben werden als 3 2 7 · 3 2 7 . Weiter oben haben wir uns angesehen, wie man die in der Bedingung erwähnten gemischten Zahlen richtig multipliziert.
Führen Sie diese Schritte aus und erhalten Sie die Antwort: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49
Wenn die Aufgabe die Notwendigkeit anzeigt, irrationale Zahlen in eine natürliche Potenz zu erheben, müssen wir ihre Basen zuerst auf eine Ziffer runden, die es uns ermöglicht, eine Antwort mit der gewünschten Genauigkeit zu erhalten. Nehmen wir ein Beispiel.
Beispiel 3
Führen Sie das Quadrieren der Zahl π durch.
Lösung
Runden wir zuerst auf Hundertstel auf. Dann ist π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Wenn π ≈ 3 . 14159, dann erhalten wir ein genaueres Ergebnis: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.
Beachten Sie, dass die Notwendigkeit, die Potenzen irrationaler Zahlen zu berechnen, in der Praxis relativ selten auftritt. Die Antwort können wir dann als Potenz selbst schreiben (ln 6) 3 oder wenn möglich umrechnen: 5 7 = 125 5 .
Getrennt davon sollte angegeben werden, was die erste Potenz einer Zahl ist. Hier können Sie sich nur daran erinnern, dass jede Zahl, die zur ersten Potenz erhoben wird, sie selbst bleibt:
Das geht aus dem Protokoll hervor. 
.
Es kommt nicht auf die Grundlage des Abschlusses an.
Beispiel 4
Also, (− 9) 1 = − 9 , und 7 3 in die erste Potenz erhoben bleibt gleich 7 3 .
Der Einfachheit halber werden wir drei Fälle separat analysieren: wenn der Exponent eine positive ganze Zahl ist, wenn er Null ist und wenn er eine negative ganze Zahl ist.
Im ersten Fall kommt dies einer Potenzierung gleich, schließlich gehören positive ganze Zahlen zur Menge der natürlichen Zahlen. Wie man mit solchen Graden arbeitet, haben wir oben bereits beschrieben.
Sehen wir uns nun an, wie man richtig zur Nullpotenz erhebt. Bei einer Basis ungleich Null ergibt diese Berechnung immer eine Ausgabe von 1 . Wir haben bereits erklärt, dass die 0. Potenz von a für jede reelle Zahl ungleich 0 definiert werden kann und a 0 = 1 ist.
Beispiel 5
5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1
0 0 - nicht definiert.
Uns bleibt nur der Fall eines Grads mit einem negativen ganzzahligen Exponenten. Wir haben bereits besprochen, dass solche Grade als Bruch 1 a z geschrieben werden können, wobei a eine beliebige Zahl und z eine negative ganze Zahl ist. Wir sehen, dass der Nenner dieses Bruchs nichts anderes als ein gewöhnlicher Grad mit einer positiven ganzen Zahl ist, und wir haben bereits gelernt, wie man ihn berechnet. Lassen Sie uns Beispiele für Aufgaben geben.
Beispiel 6
Erhöhe 3 hoch -2.
Lösung
Unter Verwendung der obigen Definition schreiben wir: 2 - 3 = 1 2 3
Wir berechnen den Nenner dieses Bruchs und erhalten 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.
Dann lautet die Antwort: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8
Beispiel 7
Erhöhe 1, 43 hoch -2.
Lösung
Formuliere neu: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2
Wir berechnen das Quadrat im Nenner: 1,43 1,43. Dezimalzahlen können auf diese Weise multipliziert werden: 
Als Ergebnis erhalten wir (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Es bleibt uns überlassen, dieses Ergebnis in Form eines gewöhnlichen Bruchs zu schreiben, für den es mit 10.000 multipliziert werden muss (siehe Material zur Umwandlung von Brüchen).
Antwort: (1, 43) - 2 = 10000 20449
Ein separater Fall ist das Potenzieren einer Zahl mit der ersten minus minus. Der Wert eines solchen Grades ist gleich der Zahl, die dem ursprünglichen Wert der Basis gegenüberliegt: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.
Beispiel 8
Beispiel: 3 − 1 = 1 / 3
9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .
Um eine solche Operation durchzuführen, müssen wir uns an die grundlegende Definition eines Grades mit einem Bruchexponenten erinnern: a m n \u003d a m n für jedes positive a, jede ganze Zahl m und jedes natürliche n.
Bestimmung 2
Daher muss die Berechnung eines Bruchgrades in zwei Schritten durchgeführt werden: Erhöhen auf eine ganzzahlige Potenz und Finden der Wurzel des n-ten Grades.
Wir haben die Gleichung a m n = a m n , die aufgrund der Eigenschaften der Wurzeln normalerweise verwendet wird, um Probleme in der Form a m n = a n m zu lösen. Das heißt, wenn wir die Zahl a auf eine gebrochene Potenz m / n potenzieren, ziehen wir zuerst die Wurzel n-ten Grades aus a, dann potenzieren wir das Ergebnis mit einem ganzzahligen Exponenten m.
Lassen Sie es uns an einem Beispiel veranschaulichen.
Beispiel 9
Berechnen Sie 8 - 2 3 .
Lösung
Methode 1. Gemäß der grundlegenden Definition können wir dies darstellen als: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3
Jetzt berechnen wir den Grad unter der Wurzel und ziehen die dritte Wurzel aus dem Ergebnis: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
Methode 2. Lassen Sie uns die grundlegende Gleichheit umwandeln: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2
Danach ziehen wir die Wurzel 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 und quadrieren das Ergebnis: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4
Wir sehen, dass die Lösungen identisch sind. Sie können es beliebig verwenden.
Es gibt Fälle, in denen der Abschluss einen Indikator hat, der als gemischte Zahl oder als Dezimalbruch ausgedrückt wird. Zur Vereinfachung der Berechnung ist es besser, ihn durch einen gewöhnlichen Bruch zu ersetzen und wie oben angegeben zu zählen.
Beispiel 10
Erhöhen Sie 44,89 hoch 2,5.
Lösung
Lassen Sie uns den Wert des Indikators in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.
Und jetzt führen wir alle oben angegebenen Aktionen der Reihe nach aus: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107
Antwort: 13501, 25107.
Wenn Zähler und Nenner eines Bruchexponenten große Zahlen enthalten, dann ist die Berechnung solcher Exponenten mit rationalen Exponenten eine ziemlich schwierige Aufgabe. Es erfordert normalerweise Computertechnologie.
Separat gehen wir auf den Grad mit einer Nullbasis und einem gebrochenen Exponenten ein. Einem Ausdruck der Form 0 m n kann folgende Bedeutung gegeben werden: wenn m n > 0, dann 0 m n = 0 m n = 0 ; wenn m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .
Die Notwendigkeit, den Wert des Abschlusses zu berechnen, in dessen Indikator sich eine irrationale Zahl befindet, tritt nicht so oft auf. In der Praxis beschränkt sich die Aufgabe meist auf die Berechnung eines Näherungswerts (bis zu einer bestimmten Anzahl von Nachkommastellen). Dies wird aufgrund der Komplexität solcher Berechnungen normalerweise auf einem Computer berechnet, daher werden wir nicht im Detail darauf eingehen, sondern nur die wichtigsten Bestimmungen angeben.
Wenn wir den Wert des Grades a mit einem irrationalen Exponenten a berechnen müssen, dann nehmen wir die dezimale Annäherung des Exponenten und zählen damit. Das Ergebnis wird eine ungefähre Antwort sein. Je genauer die Dezimalannäherung genommen wird, desto genauer ist die Antwort. Lassen Sie uns mit einem Beispiel zeigen:
Beispiel 11
Berechnen Sie einen ungefähren Wert von 21, 174367 ....
Lösung
Wir beschränken uns auf die dezimale Näherung a n = 1,17 . Führen wir die Berechnungen mit dieser Zahl durch: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Nehmen wir zum Beispiel die Näherung a n = 1 , 1743 , dann wird die Antwort etwas präziser: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 . 1743 ≈ 2 . 256833 .
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Hauptziel
Die Schüler mit den Eigenschaften von Graden mit natürlichen Indikatoren vertraut machen und ihnen beibringen, Aktionen mit Graden auszuführen.
Thema „Grad und seine Eigenschaften“ beinhaltet drei Fragen:
Testfragen
Definition von Grad.
Grad der Zahl a mit einem natürlichen Indikator n, größer als 1, heißt das Produkt von n Faktoren, von denen jeder gleich ist a. Grad der Zahl a mit Exponent 1 wird die Zahl selbst genannt a.
Grad mit Basis a und Indikator n wird so geschrieben: ein. Es liest " a soweit n“; „n-te Potenz einer Zahl a ”.
Per Definition des Abschlusses:
ein 4 = ein ein ein ein
. . . . . . . . . . . .
Das Finden des Wertes des Grades wird aufgerufen Potenzierung .
1. Beispiele zur Potenzierung:
3 3 = 3 3 3 = 27
0 4 = 0 0 0 0 = 0
(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125
25 ; 0,09 ;
25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .
27 ; 0,001 ; 8 .
27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .
4. Ausdruckswerte finden:
a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000
b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7
Variante 1
a) 0,3 0,3 0,3
c) b b b b b b b
d) (-x) (-x) (-x) (-x)
e) (ab) (ab) (ab)
2. Quadriere die Zahlen:
3. Würfeln Sie die Zahlen:
4. Ausdruckswerte finden:
c) -1 4 + (-2) 3
d) -4 3 + (-3) 2
e) 100 - 5 2 4
Multiplikation der Kräfte.
Für jede Zahl a und beliebige Zahlen m und n gilt:
ein m ein n = ein m + n .
Nachweisen:
Regel : Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis bleiben die Basen gleich und die Exponenten werden addiert.
ein m ein n ein k = ein m + n ein k = ein (m + n) + k = ein m + n + k
a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9
b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7
c) b 2 b 5 b 4 \u003d b 2 + 5 + 4 \u003d b 11
d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6
e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5
a) 2 3 2 = 2 4 = 16
b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187
Variante 1
1. Als Abschluss präsentieren:
a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4
b) a 6 a 2 g) 3 3 9
c) j 4 j h) 7 4 49
d) a a 8 i) 16 2 7
e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09
2. Geben Sie als Grad an und finden Sie den Wert in der Tabelle:
a) 2 2 2 3 c) 8 2 5
b) 3 4 3 2 d) 27 243
Gradteilung.
Für jede Zahl a0 und beliebige natürliche Zahlen m und n mit m > n gilt:
ein m: ein n = ein m - n
Nachweisen:
ein m - n ein n = ein (m - n) + n = ein m - n + n = ein m
per Definition von privat:
ein m: ein n \u003d ein m - n.
Regel: Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis gleich und der Exponent des Divisors wird vom Exponenten des Dividenden subtrahiert.
Definition: Der Grad einer Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist gleich eins:
Weil ein n: ein n = 1 für a0 .
a) x 4: x 2 \u003d x 4 - 2 \u003d x 2
b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5
c) eine 7: eine \u003d eine 7: eine 1 \u003d eine 7 - 1 \u003d eine 6
d) s 5:s 0 = s 5:1 = s 5
a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25
b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000
in)
G)
e)
Variante 1
1. Drücken Sie den Quotienten als Potenz aus:
2. Finden Sie die Werte von Ausdrücken:
Erhöhen Sie die Macht eines Produkts.
Für beliebige a und b und eine beliebige natürliche Zahl n:
(ab) n = ein n b n
Nachweisen:
Per Definition von Grad
(ab) n = 
Wenn wir die Faktoren a und b getrennt gruppieren, erhalten wir:
= 
Die bewiesene Eigenschaft des Produktgrades erstreckt sich auf den Produktgrad von drei oder mehr Faktoren.
Zum Beispiel:
(a b c) n = ein n b n c n ;
(ein b c d) n = ein n b n c n d n .
Regel: Wenn ein Produkt potenziert wird, wird jeder Faktor potenziert und das Ergebnis multipliziert.
1. Potenzieren:
a) (a b) 4 = a 4 b 4
b) (2 x y) 3 \u003d 2 3 x 3 y 3 \u003d 8 x 3 y 3
c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4
d) (-5 Jahre) 3 \u003d (-5) 3 Jahre 3 \u003d -125 Jahre 3
e) (-0,2 x y) 2 \u003d (-0,2) 2 x 2 y 2 \u003d 0,04 x 2 y 2
f) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4
2. Suchen Sie den Wert des Ausdrucks:
a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000
b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000
c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000
d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1
e)
Variante 1
1. Potenzieren:
b) (2 a c) 4
e) (-0,1 x y) 3
2. Suchen Sie den Wert des Ausdrucks:
b) (5 7 20) 2
Potenzierung.
Für jede Zahl a und beliebige natürliche Zahlen m und n:
(am) n = am n
Nachweisen:
Per Definition von Grad
(ein m) n = 
Regel: Beim Potenzieren einer Potenz bleibt die Basis gleich und die Exponenten werden multipliziert.
1. Potenzieren:
(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20
(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9
2. Ausdrücke vereinfachen:
a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13
b) (b 3) 2 b 7 \u003d b 6 b 7 \u003d b 13
c) (x 3) 2 (x 2) 4 \u003d x 6 x 8 \u003d x 14
d) (y y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24
a)
b)
Variante 1
1. Potenzieren:
a) (a 4) 2 b) (x 4) 5
c) (y 3) 2 d) (b 4) 4
2. Ausdrücke vereinfachen:
a) a 4 (a 3) 2
b) (b 4) 3 b 5+
c) (x 2) 4 (x 4) 3
d) (j j 9) 2
3. Finde die Bedeutung von Ausdrücken:
Definition von Grad.
Option 2
1. Schreiben Sie das Produkt in Form eines Abschlusses:
a) 0,4 0,4 0,4
c) a a a a a a a a a
d) (-y) (-y) (-y) (-y)
e) (bc) (bc) (bc)
2. Quadriere die Zahlen:
3. Würfeln Sie die Zahlen:
4. Ausdruckswerte finden:
c) -1 3 + (-2) 4
d) -6 2 + (-3) 2
e) 4 5 2 – 100
Möglichkeit 3
1. Schreiben Sie das Produkt als Abschluss:
a) 0,5 0,5 0,5
c) c c c c c c c c c
d) (-x) (-x) (-x) (-x)
e) (ab) (ab) (ab)
2. Präsentiert in Form eines Quadrats der Zahl: 100; 0,49; .
3. Würfeln Sie die Zahlen:
4. Ausdruckswerte finden:
c) -1 5 + (-3) 2
d) -5 3 + (-4) 2
e) 5 4 2 - 100
Möglichkeit 4
1. Schreiben Sie das Produkt als Abschluss:
a) 0,7 0,7 0,7
c) x x x x x x
d) (-à) (-à) (-à)
e) (bc) (bc) (bc) (bc)
2. Quadriere die Zahlen:
3. Würfeln Sie die Zahlen:
4. Ausdruckswerte finden:
c) -1 4 + (-3) 3
d) -3 4 + (-5) 2
e) 100 - 3 2 5
Multiplikation der Kräfte.
Option 2
1. Als Abschluss präsentieren:
a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5
b) a 7 a 3 g) 2 3 4
c) j 5 j h) 4 3 16
d) ein ein 7 i) 4 2 5
e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04
2. Geben Sie als Grad an und finden Sie den Wert in der Tabelle:
a) 3 2 3 3 c) 16 2 3
b) 2 4 2 5 d) 9 81
Möglichkeit 3
1. Als Abschluss präsentieren:
a) a 3 a 5 e) y 2 y 4 y 6
b) x 4 x 7 g) 3 5 9
c) b 6 b h) 5 3 25
d) und 8 i) 49 7 4
e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27
2. Geben Sie als Grad an und finden Sie den Wert in der Tabelle:
a) 3 3 3 4 c) 27 3 4
b) 2 4 2 6 d) 16 64
Möglichkeit 4
1. Als Abschluss präsentieren:
a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6
b) x 7 x 8 g) 3 4 27
c) j 6 j h) 4 3 16
d) x x 10 i) 36 6 3
e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008
2. Geben Sie als Grad an und finden Sie den Wert in der Tabelle:
a) 2 6 2 3 c) 64 2 4
b) 3 5 3 2 d) 81 27
Gradteilung.
Option 2
1. Drücken Sie den Quotienten als Potenz aus:
2. Finde die Bedeutung von Ausdrücken.
Im fünften Jahrhundert v. Chr. formulierte der antike griechische Philosoph Zenon von Elea seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:Nehmen wir an, Achilles läuft zehnmal schneller als die Schildkröte und ist ihr tausend Schritte hinterher. In der Zeit, in der Achilles diese Strecke läuft, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte gelaufen ist, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird auf unbestimmte Zeit fortgesetzt, Achilles wird die Schildkröte niemals einholen.
Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Alle betrachteten sie auf die eine oder andere Weise als Zenons Aporien. Der Schock war so stark, dass " ... die Diskussionen werden derzeit fortgesetzt, die wissenschaftliche Gemeinschaft hat es noch nicht geschafft, zu einer gemeinsamen Meinung über das Wesen von Paradoxien zu gelangen ... mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze waren an der Untersuchung des Problems beteiligt ; keiner von ihnen wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ..."[Wikipedia," Zenos Aporien "]. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, was die Täuschung ist.
Aus mathematischer Sicht hat Zeno in seiner Aporie den Übergang vom Wert zu deutlich demonstriert. Dieser Übergang impliziert die Anwendung anstelle von Konstanten. Soweit ich weiß, ist der mathematische Apparat zur Anwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder auf Zenos Aporie nicht angewendet worden. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Durch die Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als ob die Zeit in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, verlangsamt und vollständig angehalten wird. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles die Schildkröte nicht mehr überholen.
Wenn wir die gewohnte Logik umdrehen, ergibt sich alles. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jedes nachfolgende Segment seines Weges ist zehnmal kürzer als das vorherige. Dementsprechend ist die Zeit, die für die Überwindung aufgewendet wird, zehnmal kürzer als die vorherige. Wenn wir in dieser Situation den Begriff „Unendlichkeit“ anwenden, dann wäre es richtig zu sagen „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell überholen“.
Wie vermeidet man diese logische Falle? Bleiben Sie in konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Werten. In Zenos Sprache sieht das so aus:
In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, gleich dem ersten, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.
Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unüberwindbarkeit der Lichtgeschwindigkeit ist Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“ sehr ähnlich. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen, sondern in Maßeinheiten gesucht werden.
Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:
Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt ruht, und da er zu jedem Zeitpunkt ruht, ruht er immer.
In dieser Aporie wird das logische Paradox ganz einfach überwunden – es genügt zu verdeutlichen, dass der fliegende Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich Bewegung ist. Hier ist noch ein weiterer Punkt zu beachten. Aus einem Foto eines Autos auf der Straße kann weder die Tatsache seiner Bewegung noch die Entfernung zu ihm bestimmt werden. Um die Tatsache der Bewegung des Autos zu bestimmen, werden zwei Fotos benötigt, die vom selben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aber sie können nicht zur Bestimmung der Entfernung verwendet werden. Um die Entfernung zum Auto zu bestimmen, benötigen Sie zwei Fotos, die gleichzeitig von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aber Sie können daraus nicht die Tatsache der Bewegung bestimmen (natürlich benötigen Sie noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft Ihnen). Was ich besonders hervorheben möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum zwei verschiedene Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten der Erforschung bieten.
Sehr gut sind die Unterschiede zwischen Menge und Multimenge in Wikipedia beschrieben. Wir schauen.
Wie Sie sehen können, "kann die Menge nicht zwei identische Elemente haben", aber wenn es identische Elemente in der Menge gibt, wird eine solche Menge als "Multimenge" bezeichnet. Vernünftige Wesen werden niemals eine solche Logik der Absurdität verstehen. Dies ist die Ebene sprechender Papageien und abgerichteter Affen, auf der der Verstand dem Wort „vollständig“ abwesend ist. Mathematiker agieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.
Es war einmal, dass die Ingenieure, die die Brücke gebaut haben, während der Tests der Brücke in einem Boot unter der Brücke waren. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der begabte Ingenieur andere Brücken.
So sehr sich Mathematiker auch hinter dem Satz „wohlgemerkt, ich bin im Haus“ oder vielmehr „Mathematik studiert abstrakte Konzepte“ verstecken, es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Wenden wir die mathematische Mengenlehre auf Mathematiker selbst an.
Wir haben sehr gut Mathematik studiert und jetzt sitzen wir an der Kasse und zahlen Gehälter aus. Hier kommt ein Mathematiker auf sein Geld zu uns. Wir zählen ihm den gesamten Betrag vor und legen ihn auf unserem Tisch in verschiedenen Stapeln aus, in die wir Scheine der gleichen Stückelung legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Wir erklären die Mathematik, dass er die restlichen Rechnungen nur erhält, wenn er beweist, dass die Menge ohne identische Elemente nicht gleich der Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.
Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: "Sie können es auf andere anwenden, aber nicht auf mich!" Außerdem wird zugesichert, dass auf Banknoten derselben Stückelung unterschiedliche Banknotennummern vorhanden sind, was bedeutet, dass sie nicht als identische Elemente betrachtet werden können. Nun, wir zählen das Gehalt in Münzen - es gibt keine Zahlen auf den Münzen. Hier erinnert sich der Mathematiker hektisch an die Physik: Verschiedene Münzen haben unterschiedlich viel Schmutz, die Kristallstruktur und Anordnung der Atome für jede Münze ist einzigartig ...
Und jetzt habe ich die interessanteste Frage: Wo ist die Grenze, ab der Elemente einer Multimenge zu Elementen einer Menge werden und umgekehrt? Eine solche Linie gibt es nicht - alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft ist hier nicht einmal annähernd.
Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit gleicher Spielfeldfläche aus. Die Fläche der Felder ist gleich, was bedeutet, dass wir eine Multimenge haben. Aber wenn wir die Namen der gleichen Stadien betrachten, bekommen wir viel, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen können, ist dieselbe Menge von Elementen gleichzeitig eine Menge und eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Schüler ein Trumpf-Ass aus seinem Ärmel und beginnt uns entweder von einem Set oder einem Multiset zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.
Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengentheorie arbeiten und sie mit der Realität verknüpfen, genügt es, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich werde es Ihnen zeigen, ohne „als nicht ein Ganzes denkbar“ oder „nicht als ein Ganzes denkbar“.
Die Quersumme einer Zahl ist ein Schamanentanz mit Tamburin, der nichts mit Mathematik zu tun hat. Ja, im Mathematikunterricht wird uns beigebracht, die Summe der Ziffern einer Zahl zu finden und zu verwenden, aber dafür sind sie Schamanen, um ihren Nachkommen ihre Fähigkeiten und Weisheit beizubringen, sonst sterben Schamanen einfach aus.
Benötigen Sie einen Nachweis? Öffnen Sie Wikipedia und versuchen Sie, die Seite „Summe der Ziffern einer Zahl“ zu finden. Sie existiert nicht. In der Mathematik gibt es keine Formel, mit der man die Quersumme einer beliebigen Zahl ermitteln kann. Schließlich sind Zahlen grafische Symbole, mit denen wir Zahlen schreiben, und in der Sprache der Mathematik klingt die Aufgabe so: „Finde die Summe von grafischen Symbolen, die eine beliebige Zahl darstellen.“ Mathematiker können dieses Problem nicht lösen, aber Schamanen können es elementar.
Lassen Sie uns herausfinden, was und wie wir tun, um die Summe der Ziffern einer bestimmten Zahl zu finden. Nehmen wir also an, wir haben die Zahl 12345. Was muss getan werden, um die Quersumme dieser Zahl zu finden? Betrachten wir alle Schritte der Reihe nach.
1. Notieren Sie die Nummer auf einem Blatt Papier. Was haben wir getan? Wir haben die Zahl in ein grafisches Zahlensymbol umgewandelt. Dies ist keine mathematische Operation.
2. Wir schneiden ein empfangenes Bild in mehrere Bilder mit separaten Nummern. Das Schneiden eines Bildes ist keine mathematische Operation.
3. Wandeln Sie einzelne Grafikzeichen in Zahlen um. Dies ist keine mathematische Operation.
4. Addieren Sie die resultierenden Zahlen. Das ist jetzt Mathematik.
Die Quersumme der Zahl 12345 ist 15. Dies sind die „Schneide- und Nähkurse“ von Schamanen, die von Mathematikern verwendet werden. Aber das ist nicht alles.
Aus mathematischer Sicht spielt es keine Rolle, in welchem Zahlensystem wir die Zahl schreiben. In verschiedenen Zahlensystemen ist die Summe der Ziffern derselben Zahl also unterschiedlich. In der Mathematik wird das Zahlensystem als Index rechts neben der Zahl angegeben. Bei einer großen Zahl von 12345 möchte ich mir nicht den Kopf verdrehen, betrachten Sie die Zahl 26 aus dem Artikel darüber. Lassen Sie uns diese Zahl in binären, oktalen, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen schreiben. Wir werden nicht jeden Schritt unter die Lupe nehmen, das haben wir bereits getan. Schauen wir uns das Ergebnis an.
Wie Sie sehen können, ist in verschiedenen Zahlensystemen die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. Dieses Ergebnis hat nichts mit Mathematik zu tun. Es ist, als würde man die Fläche eines Rechtecks in Metern und Zentimetern zu ganz anderen Ergebnissen bringen.
Die Null sieht in allen Zahlensystemen gleich aus und hat keine Quersumme. Dies ist ein weiteres Argument dafür, dass . Eine Frage an die Mathematiker: Wie bezeichnet man in der Mathematik das, was keine Zahl ist? Was existiert für Mathematiker nur aus Zahlen? Für Schamanen kann ich das zulassen, aber für Wissenschaftler nicht. Realität besteht nicht nur aus Zahlen.
Das erhaltene Ergebnis sollte als Beweis dafür angesehen werden, dass Zahlensysteme Maßeinheiten für Zahlen sind. Schließlich können wir Zahlen mit unterschiedlichen Maßeinheiten nicht vergleichen. Wenn gleiche Handlungen mit unterschiedlichen Maßeinheiten derselben Größe nach dem Vergleich zu unterschiedlichen Ergebnissen führen, dann hat das nichts mit Mathematik zu tun.
Was ist echte Mathematik? Dies ist der Fall, wenn das Ergebnis einer mathematischen Aktion nicht vom Wert der Zahl, der verwendeten Maßeinheit und davon abhängt, wer diese Aktion ausführt.
Autsch! Ist das nicht die Damentoilette?
- Junge Frau! Dies ist ein Labor zum Studium der unbestimmten Heiligkeit der Seelen beim Aufstieg in den Himmel! Nimbus oben und Pfeil nach oben. Welche andere Toilette?
Weiblich ... Ein Heiligenschein oben und ein Pfeil nach unten sind männlich.
Wenn Sie ein solches Designkunstwerk mehrmals täglich vor Augen haben,
Dann ist es nicht verwunderlich, dass Sie plötzlich ein seltsames Symbol in Ihrem Auto finden:
Ich persönlich gebe mir Mühe, bei einer kackenden Person (ein Bild) minus vier Grad zu sehen (Zusammensetzung mehrerer Bilder: Minuszeichen, Zahl vier, Gradbezeichnung). Und ich halte dieses Mädchen nicht für einen Narren, der keine Physik versteht. Sie hat nur ein Bogenstereotyp der Wahrnehmung von grafischen Bildern. Und Mathematiker lehren uns das ständig. Hier ist ein Beispiel.
1A ist nicht "minus vier Grad" oder "ein a". Das ist „pooping man“ oder die Zahl „sechsundzwanzig“ im hexadezimalen Zahlensystem. Wer ständig in diesem Zahlensystem arbeitet, nimmt Zahl und Buchstabe automatisch als ein grafisches Symbol wahr.
