Часто оценщику приходится анализировать рынок недвижимости того сегмента, в котором располагается объект оценки. Если рынок развит, проанализировать всю совокупность представленных объектов бывает сложно, поэтому для анализа используется выборка объектов. Не всегда эта выборка получается однородной, иногда требуется очистить ее от экстремумов - слишком высоких или слишком низких предложений рынка. Для этой цели применяется доверительный интервал . Цель данного исследования - провести сравнительный анализ двух способов расчета доверительного интервала и выбрать оптимальный вариант расчета при работе с разными выборками в системе estimatica.pro.
Доверительный интервал - вычисленный на основе выборки интервал значений признака, который с известной вероятностью содержит оцениваемый параметр генеральной совокупности.
Смысл вычисления доверительного интервала заключается в построении по данным выборки такого интервала, чтобы можно было утверждать с заданной вероятностью, что значение оцениваемого параметра находится в этом интервале. Другими словами, доверительный интервал с определенной вероятностью содержит неизвестное значение оцениваемой величины. Чем шире интервал, тем выше неточность.
Существуют разные методы определения доверительного интервала. В этой статье рассмотрим 2 способа:
Этапы сравнительного анализа разных способов расчета ДИ:
1. формируем выборку данных;
2. обрабатываем ее статистическими методами: рассчитываем среднее значение, медиану, дисперсию и т.д.;
3. рассчитываем доверительный интервал двумя способами;
4. анализируем очищенные выборки и полученные доверительные интервалы.
Выборка сформирована с помощью системы estimatica.pro. В выборку вошло 91 предложение о продаже 1 комнатных квартир в 3-ем ценовом поясе с типом планировки «Хрущевка».
Таблица 1. Исходная выборка
|
Цена 1 кв.м., д.е. |
|
Рис.1. Исходная выборка
Обработка выборки методами статистики требует вычисления следующих значений:
1. Среднее арифметическое значение
2. Медиана - число, характеризующее выборку: ровно половина элементов выборки больше медианы, другая половина меньше медианы
(для выборки, имеющей нечетное число значений)
3. Размах - разница между максимальным и минимальным значениями в выборке
4. Дисперсия - используется для более точного оценивания вариации данных
5. Среднеквадратическое отклонение по выборке (далее - СКО) - наиболее распространённый показатель рассеивания значений корректировок вокруг среднего арифметического значения.
6. Коэффициент вариации - отражает степень разбросанности значений корректировок
7. коэффициент осцилляции - отражает относительное колебание крайних значений цен в выборке вокруг средней
Таблица 2. Статистические показатели исходной выборки
Коэффициент вариации, который характеризует однородность данных, составляет 12,29%, однако коэффициент осцилляции слишком велик. Таким образом, мы можем утверждать, что исходная выборка не является однородной, поэтому перейдем к расчету доверительного интервала.
Способ 1. Расчёт через медиану и среднеквадратическое отклонение.
Доверительный интервал определяется следующим образом: минимальное значение - из медианы вычитается СКО; максимальное значение - к медиане прибавляется СКО.
Таким образом, доверительный интервал (47179 д.е.; 60689 д.е.)
Рис. 2. Значения, попавшие в доверительный интервал 1.
Способ 2. Построение доверительного интервала через критическое значение t-статистики (коэффициент Стьюдента)
С.В. Грибовский в книге «Математические методы оценки стоимости имущества» описывает способ вычисления доверительного интервала через коэффициент Стьюдента. При расчете этим методом оценщик должен сам задать уровень значимости ∝, определяющий вероятность, с которой будет построен доверительный интервал. Обычно используются уровни значимости 0,1; 0,05 и 0,01. Им соответствуют доверительные вероятности 0,9; 0,95 и 0,99. При таком методе полагают истинные значения математического ожидания и дисперсии практически неизвестными (что почти всегда верно при решении практических задач оценки).
Формула доверительного интервала:
n - объем выборки;
Критическое значение t- статистики (распределения Стьюдента) с уровнем значимости ∝,числом степеней свободы n-1,которое определяется по специальным статистическим таблицам либо с помощью MS Excel ( →"Статистические"→ СТЬЮДРАСПОБР);
∝ - уровень значимости, принимаем ∝=0,01.
Рис. 2. Значения, попавшие в доверительный интервал 2.
Два способа расчета доверительного интервала - через медиану и коэффициент Стьюдента - привели к разным значениям интервалов. Соответственно, получилось две различные очищенные выборки.
Таблица 3. Статистические показатели по трем выборкам.
|
Показатель |
Исходная выборка |
1 вариант |
2 вариант |
|
Среднее значение |
|||
|
Дисперсия |
|||
|
Коэф. вариации |
|||
|
Коэф. осциляции |
|||
|
Количество выбывших объектов, шт. |
|||
На основании выполненных расчетов можно сказать, что полученные разными методами значения доверительных интервалов пересекаются, поэтому можно использовать любой из способов расчета на усмотрение оценщика.
Однако мы считаем, что при работе в системе estimatica.pro целесообразно выбирать метод расчета доверительного интервала в зависимости от степени развитости рынка:
При подготовке статьи были использованы:
1. Грибовский С.В., Сивец С.А., Левыкина И.А. Математические методы оценки стоимости имущества. Москва, 2014 г.
2. Данные системы estimatica.pro
Доверительный интервал
Доверительный интервал - термин, используемый в математической статистике при интервальной (в отличие от точечной) оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объёме выборки. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.
Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ежи Нейман , исходя из идей английского статистика Рональда Фишера .
Доверительным интервалом параметра θ распределения случайной величины X с уровнем доверия 100p% , порождённым выборкой (x 1 ,…,x n), называется интервал с границами (x 1 ,…,x n) и (x 1 ,…,x n), которые являются реализациями случайных величин L (X 1 ,…,X n) и U (X 1 ,…,X n), таких, что
.Граничные точки доверительного интервала и называются доверительными пределами .
Интерпретация доверительного интервала, основанная на интуиции, будет следующей: если p велико (скажем, 0,95 или 0,99), то доверительный интервал почти наверняка содержит истинное значение θ .
Еще одно истолкование понятию доверительного интервала: его можно рассматривать как интервал значений параметра θ , совместимых с опытными данными и не противоречащих им.
В байесовской статистике существует схожее, но отличающееся в некоторых ключевых деталях определение доверительного интервала. Здесь оцениваемый параметр сам считается случайной величиной с некоторым заданным априорным распределением (в простейшем случае - равномерным), а выборка фиксирована (в классической статистике всё в точности наоборот). Байесовский -доверительным интервал - это интервал , покрывающий значение параметра с апостериорной вероятностью :
.Как правило, классический и байесовский доверительные интервалы различаются. В англоязычной литературе байесовский доверительный интервал принято называть термином credible interval , а классический - confidence interval .
Wikimedia Foundation . 2010 .
Доверительный интервал - интервал, вычисленный по выборочным данным, который с заданной вероятностью (доверительной) накрывает неизвестное истинное значение оцениваемого параметра распределения. Источник: ГОСТ 20522 96: Грунты. Методы статистической обработки результатов … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
доверительный интервал - для скалярного параметра генеральной совокупности – это отрезок, с большой вероятностью содержащий этот параметр. Эта фраза без дальнейших уточнений бессмысленна. Поскольку границы доверительного интервала оцениваются по выборке, естественна его… … Словарь социологической статистики
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ - метод оценивания параметров, отличающийся от точечного оценивания. Пусть задана выборка x1, . . ., хn из распределения с плотностью вероятности f(x, α), и а*=а*(x1, . . ., хn) оценка α, g(a*, α) плотность вероятности оценки. Ищем… … Геологическая энциклопедия
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ - (confidence interval) Интервал, в котором достоверность значения параметра по населению, полученного на основе выборочного обследования, имеет определенную степень вероятности, например 95%, что обусловлено самой выборкой (sample). Ширина… … Экономический словарь
доверительный интервал - – интервал, в котором находится истинное значение определяемой величины с заданной доверительной вероятностью. Общая химия: учебник / А. В. Жолнин … Химические термины
Доверительный интервал ДИ - Доверительный интервал, ДИ * давяральны інтэрвал, ДІ * confidence interval интервал значения признака, рассчитанный для к. л. параметра распределения (напр., среднего значения признака) по выборке и с определенной вероятностью (напр., 95% для 95% … Генетика. Энциклопедический словарь
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ - понятие, возникающее при оценке параметра статистич. распределения интервалом значений. Д. и. для параметра q, соответствующий данному коэф. доверия Р, равен такому интервалу (q1, q2), что при любом распределении вероятности неравенства… … Физическая энциклопедия
доверительный интервал - — Тематики электросвязь, основные понятия EN confidence interval … Справочник технического переводчика
доверительный интервал - pasikliovimo intervalas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultato vertė. atitikmenys: angl. confidence interval vok. Vertrauensbereich, m rus.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
доверительный интервал - pasikliovimo intervalas statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultatų vertė. atitikmenys: angl. confidence interval rus. доверительная область; доверительный интервал … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas
Доверительный интервал (ДИ; в англ, confidence interval - CI) полученный в исследовании при выборке даёт меру точности (или неопределённости) результатов исследования, для того чтобы делать выводы о популяции всех таких пациентов (генеральная совокупность). Правильное определение 95% ДИ можно сформулировать так: 95% таких интервалов будет содержать истинную величину в популяции. Несколько менее точна такая интерпретация: ДИ - диапазон величин, в пределах которого можно на 95% быть уверенным в том, что он содержит истинную величину. При использовании ДИ акцент делается на определении количественного эффекта, в противоположность величине Р, которая получается в результате проверки статистической значимости. Величина Р не оценивает никакого количества, а служит скорее мерой силы свидетельства против нулевой гипотезы «никакого эффекта». Величина Р сама по себе не говорит нам ничего ни о величине различия, ни даже о его направлении. Поэтому самостоятельные величины Р абсолютно неинформативны в статьях или рефератах. В отличие от них ДИ указывает и на количество эффекта, представляющего непосредственный интерес, например на полезность лечения, и на силу доказательств. Поэтому ДИ непосредственно имеет отношение к практике ДМ.
Подход оценки к статистическому анализу, иллюстрируемый ДИ, направлен на измерение количества интересующего нас эффекта (чувствительность диагностического теста, частота прогнозируемых случаев, сокращение относительного риска при лечении и т.д.), а также на измерение неопределённости в этом эффекте. Чаще всего ДИ - диапазон величин по обе стороны оценки, в котором, вероятно, лежит истинная величина, и можно быть уверенным в этом на 95%. Соглашение использовать 95% вероятность произвольно, также как и величину Р <0,05 для оценки статистической значимости, и авторы иногда используют 90% или 99% ДИ. Заметим, что слово «интервал» означает диапазон величин и поэтому стоит в единственном числе. Две величины, которые ограничивают интервал, называются «доверительными пределами».
ДИ основан на идее, что то же самое исследование, выполненное на других выборках пациентов, не привело бы к идентичным результатам, но что их результаты будут распределены вокруг истинной, однако неизвестной величины. Иными словами, ДИ описывает это как «вариабельность, зависящую от выборки». ДИ не отражает дополнительную неопределённости, обусловленную другими причинами; в частности, он не включает влияние селективной потери пациентов при отслеживании, плохого комплайнса или неточного измерения исхода, отсутствия «ослепления» и т.д. ДИ, таким образом, всегда недооценивает общее количество неопределённости.
Таблица А1.1. Стандартные ошибки и доверительные интервалы для некоторых клинических измерений
Обычно ДИ вычисляют из наблюдаемой оценки количественного показателя, такого, как различие (d) между двумя пропорциями, и стандартной ошибки (SE) в оценке этого различия. Приблизительный 95% ДИ, получаемый таким образом, - d ± 1,96 SE. Формула изменяется согласно природе меры исхода и охвату ДИ. Например, в рандомизированном плацебо-контролируемом испытании бесклеточной коклюшной вакцины коклюш развивался у 72 из 1670 (4,3%) младенцев, получивших вакцину, и у 240 из 1665 (14,4%) в группе контроля. Различие в процентах, известное как абсолютное снижение риска, составляет 10,1%. SE этого различия равна 0,99%. Соответственно 95% ДИ составляет 10,1% + 1,96 х 0,99%, т.е. от 8,2 до 12,0.
Несмотря на разные философские подходы, ДИ и тесты на статистическую значимость тесно связаны математически.
Таким образом, величина Р «значимая», т.е. Р <0,05 соответствует 95% ДИ, который исключает величину эффекта, указывающую на отсутствие различия. Например, для различия между двумя средними пропорциями это ноль, а для относительного риска или отношения шансов - единица. При некоторых обстоятельствах эти два подхода могут быть не совсем эквивалентны. Преобладающая точка зрения: оценка с помощью ДИ - предпочтительный подход к суммированию результатов исследования, но ДИ и величина Р взаимодополняющи, и во многих статьях используются оба способа представления результатов.
Неопределенность (неточность) оценки, выражаемая в ДИ, в большой степени связана с квадратным корнем из размера выборки. Маленькие выборки предоставляют меньше информации, чем большие, и ДИ соответственно шире в меньшей выборке. Например, статья, сравнивающая характеристики трёх тестов, которые применяются для диагностики инфекции Helicobacter pylori , сообщила о чувствительности дыхательной пробы с мочевиной 95,8% (95% ДИ 75-100). В то время как число 95,8% выглядит внушительно, маленькая выборка из 24 взрослых пациентов с Я. pylori означает, что имеется значительная неопределенность в этой оценке, как показывает широкий ДИ. Действительно, нижний предел 75% намного ниже, чем оценка 95,8%. Если бы такая же чувствительность наблюдалась в выборке 240 человек, то 95% ДИ составлял бы 92,5-98,0, давая больше гарантий, что тест высокочувствителен.
В рандомизированных контролируемых испытаниях (РКИ) незначимые результаты (т.е. те, где Р >0,05) особенно подвержены неверному толкованию. ДИ особенно полезен здесь, поскольку он показывает, насколько совместимы результаты с клинически полезным истинным эффектом. Например, в РКИ, сравнивающем наложение анастомоза швом и скрепками на толстой кишке , раневая инфекция развилась у 10,9% и 13,5% пациентов соответственно (Р = 0,30). 95% ДИ для этого различия составляет 2,6% (от -2 до +8). Даже в этом исследовании, включавшем 652 пациента, остаётся вероятность, что существует умеренное различие в частоте инфекций, возникающих вследствие этих двух процедур. Чем меньше исследование, тем больше неуверенность. Сунг и соавт. выполнили РКИ, чтобы сравнить инфузию октреотида со срочной склеротерапией при остром кровотечении из варикозно-расширенных вен на 100 пациентах. В группе октреотида частота остановки кровотечения составила 84%; в группе склеротерапии - 90%, что даёт Р = 0,56. Заметим, что показатели продолжающегося кровотечения аналогичны таковым при раневой инфекции в упомянутом исследовании. В этом случае, однако, 95% ДИ для различия вмешательств равен 6% (от -7 до +19). Этот интервал весьма широк по сравнению с 5% различием, которое представляло бы клинический интерес. Ясно, что исследование не исключает значительной разницы в эффективности. Поэтому заключение авторов «инфузия октреотида и склеротерапия одинаково эффективны при лечении кровотечения из варикозно-расширенных вен» определённо невалидно. В подобных случаях, когда, как здесь, 95% ДИ для абсолютного снижения риска (АСР; absolute risk reduction - ARR, англ.) включает ноль, ДИ для ЧПЛП (NNT - number needed to treat, англ.) является довольно затруднительным для толкования. ЧПЛП и его ДИ получают из величин, обратных АСР (умножая их на 100, если эти величины даны в виде процентов). Здесь мы получаем ЧПЛП = 100: 6 = 16,6 с 95% ДИ от -14,3 до 5,3. Как видно из сноски «d» в табл. А1.1, этот ДИ включает величины ЧПЛП от 5,3 до бесконечности и ЧПЛВ от 14,3 до бесконечности.
ДИ можно построить для большинства обычно употребляемых статистических оценок или сравнений. Для РКИ он включает разность между средними пропорциями, относительными рисками, отношениями шансов и ЧПЛП. Аналогично ДИ можно получить для всех главных оценок, сделанных в исследованиях точности диагностических тестов - чувствительности, специфичности, прогностической значимости положительного результата (все они являются простыми пропорциями), и отношения правдоподобия - оценок, получаемых в метаанализах и исследованиях типа сравнения с контролем. Компьютерная программа для персональных компьютеров, которая покрывает многие из этих способов использования ДИ, доступна со вторым изданием «Statistics with Confidence». Макросы для вычисления ДИ для пропорций бесплатно доступны для Excel и статистических программ SPSS и Minitab на http://www.uwcm.ac.uk/study/medicine/epidemiology_ statistics/research/statistics/proportions, htm.
В то время как построение ДИ желательно для первичных результатов исследования, они не обязательны для всех результатов. ДИ касается клинически важных сравнений. Например, при сравнении двух групп правилен тот ДИ, что построен для различия между группами, как показано выше в примерах, а не ДИ, который можно построить для оценки в каждой группе. Мало того, что бесполезно давать отдельные ДИ для оценок в каждой группе, это представление может вводить в заблуждение. Точно так же правильный подход при сравнении эффективности лечения в различных подгруппах - сравнение двух (или более) подгрупп непосредственно. Неправильно предполагать, что лечение эффективно только в одной подгруппе, если ее ДИ исключает величину, соответствующую отсутствию эффекта, а другие - нет . ДИ полезны также при сравнении результатов в нескольких подгруппах. На рис. А 1.1 показан относительный риск эклампсии у женщин с преэклампсией в подгруппах женщин из плацебо-контролируемого РКИ сульфата магния.
Рис. А1.2. Лесной график показывает результаты 11 рандомизированных клинических испытаний бычьей ротавирусной вакцины для профилактики диареи в сравнении с плацебо. При оценке относительного риска диареи использован 95% доверительный интервал. Размер чёрного квадрата пропорционален объёму информации. Кроме того, показана суммарная оценка эффективности лечения и 95% доверительного интервала (обозначается ромбом). В метаанализе использована модель случайных эффектов превышает некоторые предварительно установленные; например, это может быть размер, использованный при вычислении величины выборки. В соответствии с более строгим критерием весь диапазон ДИ должен показывать пользу, превышающую предустановленный минимум.
Мы уже обсуждали ошибку, когда отсутствие статистической значимости принимают как указание на то, что два способа лечения одинаково эффективны. Столь же важно не уравнивать статистическую значимость с клинической важностью. Клиническую важность можно предполагать, когда результат статистически значим и величина оценки эффективности лечения
Исследования могут показать, значимы ли результаты статистически и какие из них клинически важны, а какие - нет. На рис. А1.2 приведены результаты четырёх испытаний, для которых весь ДИ <1, т.е. их результаты статистически значимы при Р <0,05 , . После высказанного предположения о том, что клинически важным различием было бы сокращение риска диареи на 20% (ОР = 0,8), все эти испытания показали клинически значимую оценку сокращения риска, и лишь в исследовании Treanor весь 95% ДИ меньше этой величины. Два других РКИ показали клинически важные результаты, которые не были статистически значимыми. Обратите внимание, что в трёх испытаниях точечные оценки эффективности лечения были почти идентичны, но ширина ДИ различалась (отражает размер выборки). Таким образом, по отдельности доказательная сила этих РКИ различна.
Построим в MS EXCEL доверительный интервал для оценки среднего значения распределения в случае известного значения дисперсии.
Разумеется, выбор уровня доверия полностью зависит от решаемой задачи. Так, степень доверия авиапассажира к надежности самолета, несомненно, должна быть выше степени доверия покупателя к надежности электрической лампочки.
Предположим, что из генеральной совокупности имеющей взята выборка размера n. Предполагается, что стандартное отклонение этого распределения известно. Необходимо на основании этой выборки оценить неизвестное среднее значение распределения (μ, ) и построить соответствующий двухсторонний доверительный интервал .
Как известно из , статистика (обозначим ее Х ср ) является несмещенной оценкой среднего этой генеральной совокупности и имеет распределение N(μ;σ 2 /n).
Примечание : Что делать, если требуется построить доверительный интервал в случае распределения, которое не является нормальным? В этом случае на помощь приходит , которая гласит, что при достаточно большом размере выборки n из распределения не являющемся нормальным , выборочное распределение статистики Х ср будет приблизительно соответствовать нормальному распределению с параметрами N(μ;σ 2 /n).
Итак, точечная оценка среднего значения распределения у нас есть – это среднее значение выборки , т.е. Х ср . Теперь займемся доверительным интервалом.
Обычно, зная распределение и его параметры, мы можем вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение из заданного нами интервала. Сейчас поступим наоборот: найдем интервал, в который случайная величина попадет с заданной вероятностью. Например, из свойств нормального распределения известно, что с вероятностью 95%, случайная величина, распределенная по нормальному закону , попадет в интервал примерно +/- 2 от среднего значения (см. статью про ). Этот интервал, послужит нам прототипом для доверительного интервала .
Теперь разберемся,знаем ли мы распределение, чтобы вычислить этот интервал? Для ответа на вопрос мы должны указать форму распределения и его параметры.
Форму распределения мы знаем – это нормальное распределение (напомним, что речь идет о выборочном распределении статистики Х ср ).
Параметр μ нам неизвестен (его как раз нужно оценить с помощью доверительного интервала ), но у нас есть его оценка Х ср, вычисленная на основе выборки, которую можно использовать.
Второй параметр – стандартное отклонение выборочного среднего будем считать известным , он равен σ/√n.
Т.к. мы не знаем μ, то будем строить интервал +/- 2 стандартных отклонения не от среднего значения , а от известной его оценки Х ср . Т.е. при расчете доверительного интервала мы НЕ будем считать, что Х ср попадет в интервал +/- 2 стандартных отклонения от μ с вероятностью 95%, а будем считать, что интервал +/- 2 стандартных отклонения от Х ср с вероятностью 95% накроет μ – среднее генеральной совокупности, из которого взята выборка . Эти два утверждения эквивалентны, но второе утверждение нам позволяет построить доверительный интервал .
Кроме того, уточним интервал: случайная величина, распределенная по нормальному закону , с вероятностью 95% попадает в интервал +/- 1,960 стандартных отклонений, а не+/- 2 стандартных отклонения . Это можно рассчитать с помощью формулы =НОРМ.СТ.ОБР((1+0,95)/2) , см. файл примера Лист Интервал .
Теперь мы можем сформулировать вероятностное утверждение, которое послужит нам для формирования доверительного интервала
:
«Вероятность того, что среднее генеральной совокупности
находится от среднего выборки
в пределах 1,960 «стандартных отклонений выборочного среднего»
, равна 95%».
Значение вероятности, упомянутое в утверждении, имеет специальное название , который связан с уровнем значимости α (альфа) простым выражением уровень доверия =1 -α. В нашем случае уровень значимости α=1-0,95=0,05 .
Теперь на основе этого вероятностного утверждения запишем выражение для вычисления доверительного интервала :
где Z α/2 – стандартного нормального распределения (такое значение случайной величины z , что P (z >=Z α/2 )=α/2 ).
Примечание : Верхний α/2-квантиль определяет ширину доверительного интервала в стандартных отклонениях выборочного среднего. Верхний α/2-квантиль стандартного нормального распределения всегда больше 0, что очень удобно.
В нашем случае при α=0,05, верхний α/2-квантиль равен 1,960. Для других уровней значимости α (10%; 1%) верхний α/2-квантиль Z α/2 можно вычислить с помощью формулы =НОРМ.СТ.ОБР(1-α/2) или, если известен уровень доверия , =НОРМ.СТ.ОБР((1+ур.доверия)/2) .
Обычно при построении доверительных интервалов для оценки среднего используют только верхний α /2-квантиль и не используют нижний α /2-квантиль . Это возможно потому, что стандартное нормальное распределение симметрично относительно оси х (плотность его распределения симметрична относительно среднего, т.е. 0 ). Поэтому, нет нужды вычислять нижний α/2-квантиль (его называют просто α/2-квантиль ), т.к. он равен верхнему α /2-квантилю со знаком минус.
Напомним, что, не смотря на форму распределения величины х, соответствующая случайная величина Х ср распределена приблизительно нормально N(μ;σ 2 /n) (см. статью про ). Следовательно, в общем случае, вышеуказанное выражение для доверительного интервала является лишь приближенным. Если величина х распределена по нормальному закону N(μ;σ 2 /n), то выражение для доверительного интервала является точным.
Решим задачу.
Время отклика электронного компонента на входной сигнал является важной характеристикой устройства. Инженер хочет построить доверительный интервал для среднего времени отклика при уровне доверия 95%. Из предыдущего опыта инженер знает, что стандартное отклонение время отклика составляет 8 мсек. Известно, что для оценки времени отклика инженер сделал 25 измерений, среднее значение составило 78 мсек.
Решение : Инженер хочет знать время отклика электронного устройства, но он понимает, что время отклика является не фиксированной, а случайной величиной, которая имеет свое распределение. Так что, лучшее, на что он может рассчитывать, это определить параметры и форму этого распределения.
К сожалению, из условия задачи форма распределения времени отклика нам не известна (оно не обязательно должно быть нормальным ). , этого распределения также неизвестно. Известно только его стандартное отклонение σ=8. Поэтому, пока мы не можем посчитать вероятности и построить доверительный интервал .
Однако, не смотря на то, что мы не знаем распределение времени отдельного отклика , мы знаем, что согласно ЦПТ , выборочное распределение среднего времени отклика является приблизительно нормальным (будем считать, что условия ЦПТ выполняются, т.к. размер выборки достаточно велик (n=25)).
Более того, среднее этого распределения равно среднему значению распределения единичного отклика, т.е. μ. А стандартное отклонение этого распределения (σ/√n) можно вычислить по формуле =8/КОРЕНЬ(25) .
Также известно, что инженером была получена точечная оценка параметра μ равная 78 мсек (Х ср). Поэтому, теперь мы можем вычислять вероятности, т.к. нам известна форма распределения (нормальное ) и его параметры (Х ср и σ/√n).
Инженер хочет знать математическое ожидание μ распределения времени отклика. Как было сказано выше, это μ равно математическому ожиданию выборочного распределения среднего времени отклика . Если мы воспользуемся нормальным распределением N(Х ср; σ/√n), то искомое μ будет находиться в интервале +/-2*σ/√n с вероятностью примерно 95%.
Уровень значимости равен 1-0,95=0,05.
Наконец, найдем левую и правую границу доверительного интервала
.
Левая граница: =78-НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)*8/КОРЕНЬ(25)=
74,864
Правая граница: =78+НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)*8/КОРЕНЬ(25)=81,136
Левая граница: =НОРМ.ОБР(0,05/2; 78; 8/КОРЕНЬ(25))
Правая граница: =НОРМ.ОБР(1-0,05/2; 78; 8/КОРЕНЬ(25))
Ответ : доверительный интервал при уровне доверия 95% и σ =8 мсек равен 78+/-3,136 мсек.
В файле примера на листе Сигма известна создана форма для расчета и построения двухстороннего доверительного интервала для произвольных выборок с заданным σ и уровнем значимости .
Если значения выборки
находятся в диапазоне B20:B79
, а уровень значимости
равен 0,05; то формула MS EXCEL:
=СРЗНАЧ(B20:B79)-ДОВЕРИТ.НОРМ(0,05;σ; СЧЁТ(B20:B79))
вернет левую границу доверительного интервала
.
Эту же границу можно вычислить с помощью формулы:
=СРЗНАЧ(B20:B79)-НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)*σ/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B20:B79))
Примечание : Функция ДОВЕРИТ.НОРМ() появилась в MS EXCEL 2010. В более ранних версиях MS EXCEL использовалась функция ДОВЕРИТ() .
Вычисление доверительного интервала базируется на средней ошибке соответствующего параметра. Доверительный интервал показывает, в каких пределах с вероятностью (1-a) находится истинное значение оцениваемого параметра. Здесь a – уровень значимости, (1-a) называют также доверительной вероятностью.
В первой главе мы показали, что, например, для среднего арифметического, истинное среднее по совокупности примерно в 95% случаев лежит в пределах 2 средних ошибок среднего. Таким образом, границы 95% доверительного интервала для среднего будет отстоять от выборочного среднего на удвоенную среднюю ошибку среднего, т.е. мы умножаем среднюю ошибку среднего на некий коэффициент, зависящий от доверительной вероятности. Для среднего и разности средних берётся коэффициент Стьюдента (критическое значение критерия Стьюдента), для доли и разности долей критическое значение критерия z. Произведение коэффициента на среднюю ошибку можно назвать предельной ошибкой данного параметра, т.е. максимальную, которую мы можем получить при его оценке.
Доверительный интервал для среднего арифметического : .
Здесь - выборочное среднее;
Средняя ошибка среднего арифметического;
s – выборочное среднее квадратическое отклонение;
n
f = n -1 (коэффициент Стьюдента).
Доверительный интервал для разности средних арифметических :
Здесь - разность выборочных средних;
- средняя ошибка разности средних арифметических;
s 1 ,s 2 – выборочные средние квадратические отклонения;
n 1 ,n 2
Критическое значение критерия Стьюдента при заданных уровне значимости a и числе степеней свободы f=n 1 +n 2 -2 (коэффициент Стьюдента).
Доверительный интервал для доли :
.
Здесь d – выборочная доля;
– средняя ошибка доли;
n – объём выборки (численность группы);
Доверительный интервал для разности долей :
Здесь - разность выборочных долей;
– средняя ошибка разности средних арифметических;
n 1 ,n 2 – объёмы выборок (численности групп);
Критическое значение критерия z при заданном уровне значимости a ( , , ).
Вычисляя доверительные интервалы для разности показателей, мы, во-первых, непосредственно видим возможные значения эффекта, а не только его точечную оценку. Во-вторых, можем сделать вывод о принятии или опровержении нулевой гипотезы и, в-третьих, можем сделать вывод о мощности критерия.
При проверке гипотез с помощью доверительных интервалов надо придерживаться следующего правила:
Если 100(1-a)-процентный доверительный интервал разности средних не содержит нуля, то различия статистически значимы на уровне значимости a; напротив, если этот интервал содержит ноль, то различия статистически не значимы.
Действительно, если этот интервал содержит ноль, то, значит, сравниваемый показатель может оказаться как больше, так и меньше в одной из групп, по сравнению с другой, т.е. наблюдаемые различия случайны.
По месту, где находится ноль внутри доверительного интервала, можно судить о мощности критерия. Если ноль близок к нижней или верхней границе интервала, то возможно при большей численности сравниваемых групп, различия достигли бы статистической значимости. Если ноль близок к середине интервала, то, значит, равновероятно и увеличение и уменьшение показателя в экспериментальной группе, и, вероятно, различий действительно нет.
Примеры:
Сравнить операционную летальность при применении двух разных видов анестезии: с применением первого вида анестезии оперировалось 61 человек, умерло 8, с применением второго – 67 человек, умерло 10.
d 1 = 8/61 = 0,131; d 2 = 10/67 = 0,149; d1-d2 = - 0,018.
Разность летальностей сравниваемых методов будет находиться в интервале (-0,018 - 0,122; -0,018 + 0,122) или (-0,14 ; 0,104) с вероятностью 100(1-a) = 95%. Интервал содержит ноль, т.е. гипотезу об одинаковой летальности при двух разных видах анестезии отвергнуть нельзя.
Таким образом, летальность может и уменьшится до 14% и увеличиться до 10,4% с вероятностью 95%, т.е. ноль находится примерно по середине интервала, поэтому можно утверждать, что, скорее всего, действительно не отличаются по летальности эти два метода.
В рассмотренном ранее примере сравнивалось среднее время нажатия при теппинг-тесте в четырёх группах студентов, отличающихся по экзаменационной оценке. Вычислим доверительные интервалы среднего времени нажатия для студентов, сдавших экзамен на 2 и на 5 и доверительный интервал для разности этих средних.
Коэффициенты Стьюдента находим по таблицам распределения Стьюдента (см. приложение): для первой группы: = t(0,05;48) = 2,011; для второй группы: = t(0,05;61) = 2,000. Таким образом, доверительные интервалы для первой группы: = (162,19-2,011*2,18 ; 162,19+2,011*2,18) = (157,8 ; 166,6) , для второй группы (156,55-2,000*1,88 ; 156,55+2,000*1,88) = (152,8 ; 160,3). Итак, для сдавших экзамен на 2, среднее время нажатия лежит в пределах от 157,8 мс до 166,6 мс с вероятностью 95%, для сдавших экзамен на 5 – от 152,8 мс до 160,3 мс с вероятностью 95%.
Проверять нулевую гипотезу можно и по доверительным интервалам для средних, а не только для разности средних. Например, как в нашем случае, если доверительные интервалы для средних перекрываются, то нулевую гипотезу отвергнуть нельзя. Для того чтобы отвергнуть гипотезу на выбранном уровне значимости, соответствующие доверительные интервалы не должны перекрываться.
Найдём доверительный интервал для разности среднего времени нажатия в группах сдавших экзамен на 2 и на 5. Разность средних: 162,19 – 156,55 = 5,64. Коэффициент Стьюдента: = t(0,05;49+62-2) = t(0,05;109) = 1,982. Групповые средние квадратические отклонения будут равны: ; . Вычисляем среднюю ошибку разности средних: . Доверительный интервал: =(5,64-1,982*2,87 ; 5,64+1,982*2,87) = (-0,044 ; 11,33).
Итак, разница среднего времени нажатия в группах, сдавших экзамен на 2 и на 5, будет находиться в интервале от -0,044 мс до 11,33 мс. В этот интервал входит ноль, т.е. среднее время нажатия у отлично сдавших экзамен, может и увеличиться и уменьшится по сравнению с неудовлетворительно сдавшими, т.е. нулевую гипотезу отвергнуть нельзя. Но ноль находится очень близко к нижней границе, время нажатия гораздо вероятнее всё-таки уменьшается у отлично сдавших. Таким образом, можно сделать вывод, что различия в среднем времени нажатия между сдавшими на 2 и на 5 всё-таки есть, просто мы не смогли их обнаружить при данном изменении среднего времени, разбросе среднего времени и объёмах выборок.
Мощность критерия – это вероятность отвергнуть неверную нулевую гипотезу, т.е. найти различия там, где они действительно есть.
Мощность критерия определяется исходя из уровня значимости, величины различий между группами, разброса значений в группах и объёма выборок.
Для критерия Стьюдента и дисперсионного анализа можно воспользоваться диаграммами чувствительности.
Мощность критерия можно использовать при предварительном определении необходимой численности групп.
Доверительный интервал показывает, в каких пределах с заданной вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра.
С помощью доверительных интервалов можно проверять статистические гипотезы и делать выводы о чувствительности критериев.
ЛИТЕРАТУРА.
Гланц С. – Глава 6,7.
Реброва О.Ю. – с.112-114, с.171-173, с.234-238.
Сидоренко Е. В. – с.32-33.
Вопросы для самопроверки студентов.
1. Что такое мощность критерия?
2. В каких случаях необходимо оценить мощность критериев?
3. Способы расчёта мощности.
6. Как проверить статистическую гипотезу с помощью доверительного интервала?
7. Что можно сказать о мощности критерия при расчёте доверительного интервала?
Задачи.
