Значення логічних символів. Символи сучасної формальної логіки. Імплікація чи логічне слідування

У математиці використовуються спеціальні символи, дозволяють скоротити запис і точніше висловити твердження.

Математичні символи:

Наприклад, застосовуючи символ « > » до числа a, b,отримаємо запис « a > b», яка є скороченням для пропозиції: «число aбільше числа b». Якщо – позначення прямих, запис є твердження, що паралельна . Запис « x M" означає, що xє елементом множини M.

Поряд з математичною символікою в математиці широко використовується логічна символіка, що застосовується до висловлюванням і предикатам .

Під висловлюванням розуміється пропозиція, яка або тільки істинно, або лише хибно. Наприклад, вислів «–3 > 0» хибний, а вислів «2 2 = 4» дійсний. Висловлювання позначатимемо великими латинськими літерами, можливо з індексами. Наприклад, A= «-3 > 0», B= "2 2 = 4".

Предикат- Це пропозиція з однією змінною або декількома змінними. Наприклад, пропозиція: «число xбільше за число 0» (у символах x > 0) є предикатом від однієї змінної x, а пропозиція: "a + b = c"- Предикат від трьох змінних a, b, c.

Предикат при конкретних значеннях змінних стає висловлюванням, приймаючи справжнє та хибне значення.

Будемо позначати предикати як функції: Q(x) = « x > 0» , F(x,b,c) = « x + b = c» .

Логічні символи: .

1. Заперечення застосовується до одного висловлювання чи предикату, відповідає частинці «не» і позначається .

Наприклад, формула є скорочення для пропозиції: «–3 не більше 0» («невірно, що –3 більше 0»).

2. Кон'юнкція застосовується до двох висловлювань або предикатів, що відповідає союзу «і», позначається: А & B(або A B).

Так формула (–3 > 0) & (2 2 = 4) означає пропозицію «–3 > 0 і 2 2 = 4», яка, очевидно, хибна.

3. Диз'юнкція застосовується до двох висловлювань або предикатів, відповідає союзу «або» (нерозділювальному) та позначається A B .

Пропозиція: «число xналежить множині або множині » зображається формулою: .

4. Імплікація відповідає союзу «якщо …, то …» та позначається: A B.

Так, запис « a > –1 a > 0» є скорочення для пропозиції «якщо a >-1, то a > 0».

5. Еквіваленція A Bвідповідає пропозиції: « Aтоді і лише тоді, коли B».

Символи називаються кванторами спільності та існування відповідно застосовуються до предикатів (а не до висловлювань). Квантор читається, як "будь-який", "кожен", "все", або з приводом "для": "для будь-якого", "для всіх" і т.д. Квантор читається: «існує», «знайдеться» та ін.

Квантор спільності застосовується до предикату F(x, …), що містить одну змінну (наприклад, x) або кілька змінних, при цьому виходить формула

1. xF(x,…), яка відповідає пропозиції: «для будь-якого xвиконується F(x, …)» або «все xмають властивість F(x, …)».

Наприклад: x(x> 0) є скорочення для фрази: «будь-яке xбільше 0», яка є хибним висловлюванням.

Пропозиція: a(a> 0 a> –1) є справжнім висловлюванням.

2. Квантор існування , застосований до предикату F(x,…) відповідає пропозиції «існує x, такий, що F(x,…)» («знайдеться x, для котрого F(x,…)») і позначається: xF(x,…).

Наприклад, справжнє висловлювання «існує дійсне число, квадрат якого дорівнює 2» записується формулою x(x R & x 2 = 2). Тут квантор існування застосований до предикату: F(x)= (x R & x 2 = 2) (нагадаємо, що безліч усіх дійсних чисел позначається через R).

Якщо квантор застосовується до предикату з однією змінною, то виходить висловлювання, істинне чи хибне. Якщо квантор застосовується до предикату з двома або більшим числом змінних, виходить предикат, в якому змінних на одну менше. Так, якщо предикат F(x, y) містить дві змінні, то у предикаті xF(x, y) одна змінна y(Змінна xє «пов'язаною», замість неї не можна підставляти значення x). До предикату xF(x, y) можна застосувати квантор спільності або існування за змінною yтоді отримана формула xF(x, y) або xF(x, y) є висловлюванням.

⊃ може означати те саме, що і ⇒ (символ може також позначати надмножину).

U+21D2 ⇒

⇒ (\displaystyle \Rightarrow )
→ (\displaystyle \to)\to
⊃ (\displaystyle \supset )
⟹ (\displaystyle \implies )\implies

U+2254 (U+003A U+003D)

U+003A U+229C

:=
:

:= (\displaystyle:=):=
≡ (\displaystyle \equiv )
⇔ (\displaystyle \Leftrightarrow )

U+0028 U+0029 () () (\displaystyle (~)) () U+22A2 ⊢ ⊢ (\displaystyle \vdash )\vdash U+22A8 ⊨ ⊨ (\displaystyle \vDash )\vDash, знак для оператора І-НЕ.

U+22A7 ⊧ Імплікація (логічне слідування): є моделлю для …. Наприклад, A ⊧ B означає, що з A випливає B. У будь-якій моделі, де A ⊧ B, якщо А вірно, то і B вірно.

U+22A8 ⊨ Істина: є істиною.

U+22AC ⊬ Невиводимо: заперечення ⊢, символ невиводимонаприклад, T ⊬ Pозначає, що " Pне є теоремою в T»

U+22AD ⊭ Невірно: не є істиною

U+22BC ⊼ НЕ-І: інший оператор НЕ-І може бути записаний також як ∧

U+22BD ⊽ АБО-НЕ: оператор Виключає АБО, може бути записаний також як V

U+22C4 ⋄ Ромб: модальний оператор для «можливо, що», «не обов'язково ні» або, рідко, «несуперечливо» (у більшості модальних логік оператор визначається як «¬◻¬»)

U+22C6 ⋆ Зірочка: зазвичай використовується як спеціальний оператор

U+22A5 ⊥ Кнопка вгору або U+2193 ↓ Стрілка вниз: стрілка Пірса , символ виключаючого АБО . Іноді «⊥» використовується для протиріччя чи абсурду.

U+2310 ⌐ Скасовано НЕ

Наступні оператори нечасто підтримуються стандартними фонтами. Якщо ви хочете використовувати їх на своїй сторінці, вам завжди потрібно вбудовувати потрібні фонти, щоб браузер міг відображати символи без необхідності встановлювати фонти на комп'ютер.

Польща та Німеччина

У Польщі квантор загальності іноді записується як ∧ (\displaystyle \wedge), а квантор існування як ∨ (\displaystyle \vee). Те саме спостерігається в німецькій літературі.

Символіка логічна

система знаків (символів), що використовується в логіці для позначення термів, предикатів, висловлювань, логічних функцій, відносин між висловлюваннями. У різних логічних системах можуть використовуватися різні системи позначень, тому нижче ми наводимо лише найбільш уживані символи з числа літератури, що використовуються за логікою:

Початкові літери латинського алфавіту зазвичай використовуються для позначення індивідуальних константних виразів, термів;

Великі початкові літери латинського алфавіту зазвичай використовуються для позначення конкретних висловлювань;

Літери, що стоять наприкінці латинського алфавіту, зазвичай використовуються для позначення індивідуальних змінних;

Великі літери, що стоять наприкінці латинського алфавіту, зазвичай використовуються для позначення змінних висловлювань або змінних пропозицій; для тієї ж мети часто використовують малі літери середини латинського алфавіту: р, q, r, ...;

символіка логічна; u

Знаки, що служать для позначення заперечення; читаються: "ні", "неправильно що";

Знаки для позначення кон'юнкції - логічної зв'язки та висловлювання, що містить таку зв'язку як головний знак; читаються: "і";

Знак для позначення невиключної диз'юнкції - логічного зв'язування та висловлювання, що містить таку зв'язку як головний знак; читається: "або";

Знак для позначення суворої або виключає диз'юнкції; читається: "або, або";

Знаки для позначення імплікації - логічного зв'язування та висловлювання, що містить таку зв'язку як головний знак; читаються: "якщо, то";

Знаки для позначення еквівалентності висловлювань; читаються: "якщо і тільки якщо";

Знак, що означає виведення одного висловлювання з іншого, з безлічі висловлювань; читається: "виводимо" (якщо висловлювання А виводиться з порожньої множини посилок, що записується як "A", то знак "" читається: "доказується");

Істина (від англ. true – істина); - брехня (від англ. false - брехня);

Квантор спільності; читається "для всякого", "усім";

Квантор існування; читається: "існує", "є принаймні один";

Знаки для позначення модального оператора потреби; читаються: "необхідно, що";

Знаки для позначення модального оператора можливості; читаються: "можливо, що".

Поруч із переліченими у багатозначних, тимчасових, деонтичних та інших системах логіки використовуються свої специфічні символи, проте щоразу пояснюється, що саме той чи інший символ позначає і як читається (див.: Знак логічний).

Словник з логіки. - М: Туманіт, вид. центр ВЛАДОС. А.А.Івін, А.Л.Нікіфоров. 1997 .

Дивитись що таке "символіка логічна" в інших словниках:

- (логічні постійні) терміни, що стосуються логічної форми міркування (докази, висновку) і є засобом передачі людських думок та висновків, висновків у будь-якій галузі. До Л. до. відносяться такі слова, як не, і, або, є … Словник термінів логіки

ДСТУ ISO 22742-2006: Автоматична ідентифікація. Кодування штрихове. Символи лінійного штрихового коду та двовимірні символи на упаковці продукції- Термінологія ДСТУ ISO 22742 2006: Автоматична ідентифікація. Кодування штрихове. Символи лінійного штрихового коду та двовимірні символи на упаковці продукції оригінал документа: 3.8 Data Matrix: Двовимірна матрична символіка з корекцією.

- (Wittgenstein) Людвіг (1889-1951) австро англ. філософ, Проф. філософії в Кембриджському університеті в 1939 1947. Філос. погляди Ст сформувалися як під впливом певних явищ в австр. культурі поч. 20 ст., і в результаті творчого… … Філософська енциклопедія

- (грец. logike̅) наука про прийнятні способи міркування. Слово "Л." у його сучасному вживанні багатозначно, хоча й настільки багато смисловими відтінками, як давньогреч. logos, від якого воно походить. У дусі традиції з поняттям Л… Велика Радянська Енциклопедія

- (Від грец. Semeiot знак) загальна теорія знакових систем, що вивчає властивості знакових комплексів різної природи. До таких систем належать природні мови, письмові та усні, різноманітні штучні мови, починаючи з формалізованих … Філософська енциклопедія

Цей термін має й інші значення, див. Корова (значення). ? Домашня корова … Вікіпедія

Обчислення понять- «ЧИСЛЕННЯ ПОНЯТТІВ» («Запис у поняттях») твір німецького математика і логіка Готтлоба Фреге, що започаткувало сучасну форму математичної (символічної) логіки. Повна назва цього твору включала вказівку на те, що… Енциклопедія епістемології та філософії науки

ВІТГЕНШТЕЙН (WITTGENSTEIN) Людвіг– (1889 1951) австр. філософ. Проф. філософії в Кембриджському університеті в 1939 47 . Філософські погляди Ст сформувалися як під впливом певних явищ в австр. культурі початку XX ст., і у результаті творчого освоєння нових досягнень… … Сучасна західна філософія. Енциклопедичний словник

код- 01.01.14 код [code]: Сукупність правил, за допомогою яких встановлюється відповідність елементів одного набору елементам іншого набору. [ІСО/МЕК 2382 4, 04.02.01] Джерело … Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

– (Comte) засновник позитивізму, рід. 19 січня 1798 р. у Монпельє, де батько його був збирачем податей. В ліцеї особливо встигав у математиці. Вступивши до політехнічної школи, він дивував професорів та товаришів своїм розумовим розвитком. У… … Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

Кон'юнкція чи логічне множення (теоретично множин – це перетин)

Кон'юнкція є складним логічним виразом, яке істинно в тому і лише тому випадку, коли обидва прості вирази є істинними. Така ситуація можлива лише в одному випадку, в інших випадках кон'юнкція хибна.

Позначення: &, $wedge$, $cdot$.

Таблиця істинності для кон'юнкції

Малюнок 1.

Властивості кон'юнкції:

Якщо хоча б одне з виразів кон'юнкції хибно на деякому наборі значень змінних, то й вся кон'юнкція буде хибною для цього набору значень.
Якщо всі висловлювання кон'юнкції істинні певному наборі значень змінних, те й вся кон'юнкція теж буде істинна.
Значення всієї кон'юнкції складного висловлювання залежить від порядку запису подвыражений, яких вона застосовується (як і математиці множення).

Диз'юнкція чи логічне складання (теоретично множин це об'єднання)

Диз'юнкція є складним логічним виразом, який істинно практично завжди, за винятком, коли всі вислови помилкові.

Позначення: +, $ \ Vee $.

Таблиця істинності для диз'юнкції

Малюнок 2.

Властивості диз'юнкції:

Якщо хоча б одне з виразів диз'юнкції істинно на деякому наборі значень змінних, то і вся диз'юнкція набуває справжнього значення для даного набору виразів.
Якщо висловлювання з деякого списку диз'юнкції хибні деякому наборі значень змінних, те й вся диз'юнкція цих виразів теж хибна.
Значення всієї диз'юнкції залежить від порядку записи подвыражений (як і математиці – додавання).

Заперечення, логічне заперечення чи інверсія (теоретично множин це заперечення)

Заперечення - означає, що до вихідного логічного виразу додається частка НЕ або слова НЕВЕРНО, ЩО і в результаті отримуємо, що якщо вихідний вираз істинний, то заперечення вихідного - буде хибним і навпаки, якщо вихідний вираз хибним, то його заперечення буде істинним.

Позначення: $A$, $bar(A)$, $¬A$.

Таблиця істинності для інверсії

Малюнок 3.

Властивості заперечення:

«Подвійне заперечення» $¬¬A$ є наслідком судження $A$, тобто має місце тавтологія у формальній логіці і дорівнює самому значенню в булевій логіці.

Імплікація чи логічне слідування

Імплікація - це складне логічне вираження, яке істинно у всіх випадках, крім як з істини випливає брехня. Тобто дана логічна операція пов'язує два простих логічних вирази, з яких перше є умовою ($A$), а друге ($A$) є наслідком умови ($A$).

Позначення: $\to$, $\Rightarrow$.

Таблиця істинності для імплікації

Малюнок 4.

Властивості імплікації:

$A \to B = ¬A \vee B$.
Імплікація $A \to B$ помилкова, якщо $A=1$ і $B=0$.
Якщо $A=0$, то імплікація $A \to B$ істинна за будь-якого значення $B$, (з брехні може бути істинна).

Еквівалентність чи логічна рівнозначність

Еквівалентність - це складний логічний вираз, який істинний на рівних значеннях змінних $A$ і $B$.

Позначення: $\leftrightarrow$, $\Leftrightarrow$, $\equiv$.

Таблиця істинності для еквівалентності

Малюнок 5.

Властивості еквівалентності:

Еквівалентність істинна на рівних наборах значень змінних $A$ та $B$.
КНФ $A \equiv B = (\bar(A) \vee B) \cdot (A \cdot \bar(B))$
ДНФ $A \equiv B = \bar(A) \cdot \bar(B) \vee A \cdot B$

Сувора диз'юнкція або додавання за модулем 2 (в теорії множин це об'єднання двох множин без їх перетину)

Сувора диз'юнкція є істинною, якщо значення аргументів не рівні.

Для електроніки це означає, що реалізація схем можлива з використанням одного типового елемента (щоправда, дорогий елемент).

Порядок виконання логічних операцій у складному логічному вираженні

Інверсія (заперечення);
Кон'юнкція (логічне множення);
Диз'юнкція та строга диз'юнкція (логічне додавання);
Імплікація (наслідок);
Еквівалентність (тотожність).

Щоб змінити зазначений порядок виконання логічних операцій, необхідно використовувати дужки.

Загальні властивості

Для набору з $n$ логічних змінних існує рівно $2^n$ різних значень. Таблиця істинності для логічного виразу від $n$ змінних містить $n+1$ стовпець і $2^n$ рядків.

ВЛАСТИВОСТІ ЛОГІЧНИХ ОПЕРАЦІЙ

1. Позначення

1.1. Позначення для логічних зв'язок (операцій):

a) заперечення(інверсія, логічне НЕ) позначається (наприклад, А);

b) кон'юнкція(логічне множення, логічне І) позначається /\
(наприклад, А /\) або & (наприклад, А & В);

c) диз'юнкція(логічне додавання, логічне АБО) позначається \/
(наприклад, А/В);

d) слідування(імплікація) позначається → (наприклад, А → В);

e) тотожністьпозначається ≡ (наприклад, A ≡ B). Вираз A ≡ B істинно тоді і лише тоді, коли значення A і B збігаються (або вони обидва істинні, або вони обидва помилкові);

f) символ 1 використовується для позначення істини (справжнього висловлювання); символ 0 – для позначення брехні (хибного висловлювання).

1.2. Два логічні вирази, що містять змінні, називаються рівносильними (еквівалентними), якщо значення цих виразів збігаються за будь-яких змінних. Так, вирази А → В та (¬А) \/ В рівносильні, а А /\ В і А \/ В – немає (значення виразів різні, наприклад, при А = 1, В = 0).

1.3. Пріоритети логічних операцій:інверсія (заперечення), кон'юнкція (логічне множення), диз'юнкція (логічне додавання), імплікація (наслідування), тотожність. Таким чином, ¬А \/ В \/ С \/ D означає те саме, що і

((¬А) \/ В)\/ (С \/ D).

Можливий запис А\/В\/С замість (А\/В)\/С. Те саме відноситься і до кон'юнкції: можливий запис А/\В/\С замість (А/\В)/\С.

2. Властивості

Наведений нижче список не претендує на повноту, але, сподіваємося, досить репрезентований.

2.1. Загальні властивості

Для набору з nлогічних змінних існує рівно 2 nрізних значень. Таблиця істинності для логічного вираження від nзмінних містить n+1стовпець та 2 nрядків.

2.2.Діз'юнкція

Якщо хоч одне з подвиражений, до яких застосовується диз'юнкція, істинно певному наборі значень змінних, те й вся диз'юнкція істинна цього набору значень.
Якщо всі висловлювання з деякого списку істинні на певному наборі значень змінних, диз'юнкція цих виразів теж істинна.
Якщо всі висловлювання з деякого списку хибні на певному наборі значень змінних, то диз'юнкція цих виразів теж хибна.
Значення диз'юнкції залежить від порядку записи подвыражений, яких вона застосовується.

2.3. Кон'юнкція

Якщо хоч одне з подвыражений, яких застосовується кон'юнкція, хибно певному наборі значень змінних, те й вся кон'юнкція хибна при цьому набору значень.
Якщо всі висловлювання з деякого списку істинні на певному наборі змінних значень, то кон'юнкція цих виразів теж істинна.
Якщо висловлювання з деякого списку хибні деякому наборі значень змінних, то кон'юнкція цих виразів теж хибна.
Значення кон'юнкції залежить від порядку записи подвиражений, яких вона застосовується.

2.4. Прості диз'юнкції та кон'юнкції

Назвемо (для зручності) кон'юнкцію простий, якщо подвыражения, яких застосовується кон'юнкція, – різні змінні чи його заперечення. Аналогічно, диз'юнкція називається простий, якщо подвыражения, яких застосовується диз'юнкція, – різні змінні чи його заперечення.

Проста кон'юнкція набуває значення 1 (істина) рівно одному наборі значень змінних.
Проста диз'юнкція набуває значення 0 (брехня) рівно одному наборі значень змінних.

2.5. Імплікація

Імплікація A →Bрівносильна диз'юнкції (¬ А) \/В.Цю диз'юнкцію можна записати й так: ¬ А/В.
Імплікація A →Bприймає значення 0 (брехня) тільки якщо A=1і B = 0.Якщо A=0,то імплікація A →Bістинна за будь-якого значення B.