การบวกเศษส่วนมีสองประเภท:
ก่อนอื่น มาเรียนรู้การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกันกันก่อน ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ หากต้องการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องบวกตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น ลองบวกเศษส่วน และ เพิ่มตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง:
ตัวอย่างนี้สามารถเข้าใจได้ง่ายถ้าเราจำพิซซ่าได้ซึ่งแบ่งออกเป็นสี่ส่วน หากคุณเพิ่มพิซซ่าลงในพิซซ่า คุณจะได้พิซซ่า:
ตัวอย่างที่ 2เพิ่มเศษส่วนและ.
คำตอบกลายเป็นเศษส่วนเกิน. เมื่องานสิ้นสุดลง เป็นเรื่องปกติที่จะต้องกำจัดเศษส่วนเกินออก หากต้องการกำจัดเศษส่วนเกิน คุณต้องเลือกเศษส่วนทั้งหมด ในกรณีของเรา แยกส่วนทั้งหมดออกได้ง่าย - สองหารด้วยสองเท่ากับหนึ่ง:
ตัวอย่างนี้สามารถเข้าใจได้ง่ายถ้าเราจำพิซซ่าที่แบ่งออกเป็นสองส่วนได้ หากคุณเพิ่มพิซซ่าลงในพิซซ่า คุณจะได้พิซซ่าทั้งถาด:
ตัวอย่างที่ 3- เพิ่มเศษส่วนและ.
อีกครั้ง เรารวมตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง:
ตัวอย่างนี้สามารถเข้าใจได้ง่ายถ้าเราจำพิซซ่าได้ซึ่งแบ่งออกเป็นสามส่วน หากคุณเพิ่มพิซซ่าลงในพิซซ่า คุณจะได้พิซซ่า:
ตัวอย่างที่ 4ค้นหาค่าของนิพจน์ 
ตัวอย่างนี้ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้าทุกประการ ต้องบวกตัวเศษและตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง:
เรามาลองอธิบายวิธีแก้ปัญหาของเราโดยใช้ภาพวาดกัน หากคุณเพิ่มพิซซ่าลงในพิซซ่าและเพิ่มพิซซ่าอีก คุณจะได้รับพิซซ่าทั้ง 1 ถาดและพิซซ่าอีก 1 ถาด
อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อนในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ก็เพียงพอที่จะเข้าใจกฎต่อไปนี้:
ตอนนี้ เรามาเรียนรู้วิธีบวกเศษส่วนด้วยตัวส่วนต่างๆ กัน เมื่อบวกเศษส่วน ตัวส่วนของเศษส่วนจะต้องเท่ากัน แต่พวกเขาไม่ได้เหมือนกันเสมอไป
ตัวอย่างเช่น เศษส่วนสามารถบวกได้เนื่องจากมีตัวส่วนเท่ากัน
แต่เศษส่วนไม่สามารถบวกได้ทันที เนื่องจากเศษส่วนเหล่านี้มีตัวส่วนต่างกัน ในกรณีเช่นนี้ เศษส่วนจะต้องถูกลดให้เหลือตัวส่วน (ร่วม) เท่าเดิม
มีหลายวิธีในการลดเศษส่วนให้เหลือตัวส่วนเดียวกัน วันนี้เราจะดูเพียงวิธีเดียวเท่านั้น เนื่องจากวิธีอื่นอาจดูซับซ้อนสำหรับมือใหม่
สาระสำคัญของวิธีนี้คือค้นหา LCM ของตัวส่วนของทั้งสองเศษส่วนก่อน จากนั้น LCM จะถูกหารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแรกเพื่อให้ได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวแรก พวกเขาทำเช่นเดียวกันกับเศษส่วนที่สอง - LCM จะถูกหารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สองและได้รับตัวประกอบเพิ่มเติมที่สอง
ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนจะถูกคูณด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม จากการกระทำเหล่านี้ เศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันจะกลายเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน และเรารู้วิธีบวกเศษส่วนแล้ว.
ตัวอย่างที่ 1- ลองบวกเศษส่วนและ
ก่อนอื่น เราจะหาตัวส่วนร่วมที่น้อยที่สุดของเศษส่วนทั้งสอง ตัวส่วนของเศษส่วนแรกคือเลข 3 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สองคือเลข 2 ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้คือ 6
LCM (2 และ 3) = 6
ทีนี้ลองกลับมาที่เศษส่วนและ. ขั้นแรก ให้หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแรกแล้วได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวแรก LCM คือเลข 6 และตัวส่วนของเศษส่วนแรกคือเลข 3 หาร 6 ด้วย 3 เราได้ 2
ผลลัพธ์หมายเลข 2 คือตัวคูณเพิ่มเติมตัวแรก เราเขียนมันเป็นเศษส่วนแรก. โดยให้ลากเส้นเฉียงเล็กๆ เหนือเศษส่วนแล้วจดปัจจัยเพิ่มเติมที่พบด้านบนลงไป:
เราทำเช่นเดียวกันกับเศษส่วนที่สอง. เราหาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สองและรับตัวประกอบเพิ่มเติมที่สอง LCM คือเลข 6 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สองคือเลข 2 หาร 6 ด้วย 2 เราได้ 3
ผลลัพธ์หมายเลข 3 คือตัวคูณเพิ่มเติมตัวที่สอง เราเขียนมันเป็นเศษส่วนที่สอง. ขอย้ำอีกครั้ง เราสร้างเส้นเฉียงเล็กๆ เหนือเศษส่วนที่สอง และจดปัจจัยเพิ่มเติมที่พบด้านบนไว้:
ตอนนี้เรามีทุกอย่างพร้อมสำหรับการเพิ่มเติมแล้ว ยังคงต้องคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยปัจจัยเพิ่มเติม:
พิจารณาสิ่งที่เราได้มาอย่างละเอียดถี่ถ้วน เราได้ข้อสรุปว่าเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันกลายเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน และเรารู้วิธีบวกเศษส่วนแล้ว. ลองใช้ตัวอย่างนี้จนจบ:
นี่เป็นการเสร็จสิ้นตัวอย่าง ปรากฎว่าเพิ่ม
เรามาลองอธิบายวิธีแก้ปัญหาของเราโดยใช้ภาพวาดกัน หากคุณเพิ่มพิซซ่าลงในพิซซ่า คุณจะได้พิซซ่าหนึ่งถาดและอีกพิซซ่าหนึ่งในหกของพิซซ่า:
การลดเศษส่วนให้เหลือตัวส่วนเท่ากัน (ร่วม) ก็สามารถอธิบายได้โดยใช้รูปภาพ การลดเศษส่วนและเป็นตัวส่วนร่วม เราได้เศษส่วนและ เศษส่วนทั้งสองนี้จะแสดงด้วยพิซซ่าชิ้นเดียวกัน ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือคราวนี้พวกเขาจะแบ่งออกเป็นหุ้นเท่า ๆ กัน (ลดให้เหลือตัวส่วนเท่ากัน)
ภาพวาดแรกแทนเศษส่วน (สี่ชิ้นจากหกชิ้น) และภาพวาดที่สองแทนเศษส่วน (สามชิ้นจากหกชิ้น) เราได้เพิ่มชิ้นส่วนเหล่านี้ (เจ็ดชิ้นจากหกชิ้น) เศษส่วนนี้ไม่เหมาะสม เราจึงเน้นเศษส่วนทั้งหมด. เป็นผลให้เราได้ (พิซซ่าหนึ่งอันและพิซซ่าที่หกอีกอัน)
โปรดทราบว่าเราได้อธิบายตัวอย่างนี้โดยละเอียดมากเกินไป ในสถาบันการศึกษาไม่ใช่เรื่องปกติที่จะเขียนรายละเอียดดังกล่าว คุณต้องสามารถค้นหา LCM ของทั้งตัวส่วนและตัวประกอบเพิ่มเติมได้อย่างรวดเร็ว พร้อมทั้งคูณตัวประกอบเพิ่มเติมที่พบอย่างรวดเร็วด้วยตัวเศษและตัวส่วน ถ้าเราอยู่ที่โรงเรียนเราจะต้องเขียนตัวอย่างนี้:
แต่เหรียญก็มีอีกด้านหนึ่งเช่นกัน หากคุณไม่จดบันทึกอย่างละเอียดในช่วงแรกของการเรียนคณิตศาสตร์ คำถามประเภทนี้จะเริ่มปรากฏขึ้น “ตัวเลขนั้นมาจากไหน”, “ทำไมเศษส่วนถึงกลายเป็นเศษส่วนที่ต่างกันโดยสิ้นเชิงในทันใด? «.
เพื่อให้ง่ายต่อการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน คุณสามารถใช้คำแนะนำทีละขั้นตอนต่อไปนี้:
ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าของนิพจน์ 
.
ลองใช้คำแนะนำที่ให้ไว้ข้างต้น
ขั้นตอนที่ 1 ค้นหา LCM ของตัวส่วนของเศษส่วน
ค้นหา LCM ของตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสอง ตัวส่วนของเศษส่วนคือตัวเลข 2, 3 และ 4
ขั้นตอนที่ 2. หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วนและรับตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับแต่ละเศษส่วน
หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแรก. LCM คือเลข 12 และตัวส่วนของเศษส่วนแรกคือเลข 2 หาร 12 ด้วย 2 เราได้ 6 เราได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวแรกคือ 6 เราเขียนไว้เหนือเศษส่วนแรก:
ตอนนี้เราหาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง LCM คือเลข 12 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สองคือเลข 3 หาร 12 ด้วย 3 เราได้ 4 เราได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวที่สอง 4 เราเขียนไว้เหนือเศษส่วนที่สอง:
ตอนนี้เราหาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สาม LCM คือเลข 12 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สามคือเลข 4 หาร 12 ด้วย 4 เราได้ 3 เราได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวที่สาม 3 เราเขียนไว้เหนือเศษส่วนที่สาม:
ขั้นตอนที่ 3 คูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม
เราคูณตัวเศษและส่วนด้วยปัจจัยเพิ่มเติม:
ขั้นตอนที่ 4 บวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
เราได้ข้อสรุปว่าเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันกลายเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกัน (ร่วม) สิ่งที่เหลืออยู่คือการบวกเศษส่วนเหล่านี้ เพิ่มมันขึ้นมา:
การเพิ่มไม่พอดีกับบรรทัดเดียว ดังนั้นเราจึงย้ายนิพจน์ที่เหลือไปยังบรรทัดถัดไป สิ่งนี้ได้รับอนุญาตในวิชาคณิตศาสตร์ เมื่อนิพจน์ไม่พอดีกับบรรทัดหนึ่ง นิพจน์นั้นจะถูกย้ายไปยังบรรทัดถัดไป และจำเป็นต้องใส่เครื่องหมายเท่ากับ (=) ที่ท้ายบรรทัดแรกและที่จุดเริ่มต้นของบรรทัดใหม่ เครื่องหมายเท่ากับบนบรรทัดที่สองบ่งชี้ว่านี่คือความต่อเนื่องของนิพจน์ที่อยู่ในบรรทัดแรก
ขั้นตอนที่ 5 หากคำตอบกลายเป็นเศษส่วนเกิน ให้เลือกเศษส่วนทั้งหมด
คำตอบของเรากลายเป็นเศษส่วนเกิน. เราต้องเน้นบางส่วนทั้งหมด เราเน้น:
เราได้รับคำตอบ
การลบเศษส่วนมีสองประเภท:
ขั้นแรก เรามาเรียนรู้วิธีลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกันกันก่อน ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ หากต้องการลบอีกอันออกจากเศษส่วนหนึ่ง คุณต้องลบตัวเศษของเศษส่วนที่สองออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรก แต่ปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม
ตัวอย่างเช่น ลองหาค่าของนิพจน์ เพื่อแก้ตัวอย่างนี้ คุณต้องลบตัวเศษของเศษส่วนที่สองออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรก และปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง ลงมือทำกันเถอะ:
ตัวอย่างนี้สามารถเข้าใจได้ง่ายถ้าเราจำพิซซ่าได้ซึ่งแบ่งออกเป็นสี่ส่วน หากคุณตัดพิซซ่าออกจากพิซซ่า คุณจะได้พิซซ่า:
ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าของนิพจน์
อีกครั้ง จากตัวเศษของเศษส่วนแรก ให้ลบตัวเศษของเศษส่วนที่สอง และปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง:
ตัวอย่างนี้สามารถเข้าใจได้ง่ายถ้าเราจำพิซซ่าได้ซึ่งแบ่งออกเป็นสามส่วน หากคุณตัดพิซซ่าออกจากพิซซ่า คุณจะได้พิซซ่า:
ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าของนิพจน์ 
ตัวอย่างนี้ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้าทุกประการ จากตัวเศษของเศษส่วนแรกคุณต้องลบตัวเศษของเศษส่วนที่เหลือ:
อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อนในการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ก็เพียงพอที่จะเข้าใจกฎต่อไปนี้:
ตัวอย่างเช่น คุณสามารถลบเศษส่วนออกจากเศษส่วนได้เนื่องจากเศษส่วนนั้นมีตัวส่วนเท่ากัน แต่คุณไม่สามารถลบเศษส่วนออกจากเศษส่วนได้ เนื่องจากเศษส่วนเหล่านี้มีตัวส่วนต่างกัน ในกรณีเช่นนี้ เศษส่วนจะต้องถูกลดให้เหลือตัวส่วน (ร่วม) เท่าเดิม
ตัวส่วนร่วมหาได้โดยใช้หลักการเดียวกับที่เราใช้เมื่อบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน ก่อนอื่น หา LCM ของตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสอง จากนั้น LCM จะถูกหารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแรกและรับตัวประกอบเพิ่มเติมตัวแรกซึ่งเขียนไว้เหนือเศษส่วนแรก ในทำนองเดียวกัน LCM จะถูกหารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สองและได้รับตัวประกอบเพิ่มเติมที่สองซึ่งเขียนไว้เหนือเศษส่วนที่สอง
จากนั้นเศษส่วนจะถูกคูณด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม จากการดำเนินการเหล่านี้ เศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันจะถูกแปลงเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน และเรารู้วิธีลบเศษส่วนนั้นแล้ว.
ตัวอย่างที่ 1ค้นหาความหมายของสำนวน:
เศษส่วนเหล่านี้มีตัวส่วนต่างกัน ดังนั้นคุณจึงต้องลดให้เหลือตัวส่วนเดียวกัน (ร่วม)
อันดับแรก เราจะหา LCM ของตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสอง ตัวส่วนของเศษส่วนแรกคือเลข 3 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สองคือเลข 4 ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้คือ 12
LCM (3 และ 4) = 12
ทีนี้ กลับมาที่เศษส่วนและ
ลองหาตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนแรกกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแรก LCM คือเลข 12 และตัวส่วนของเศษส่วนแรกคือเลข 3 หาร 12 ด้วย 3 จะได้ 4 เขียนสี่ไว้เหนือเศษส่วนแรก:
เราทำเช่นเดียวกันกับเศษส่วนที่สอง. หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง. LCM คือเลข 12 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สองคือเลข 4 หาร 12 ด้วย 4 จะได้ 3 เขียนสามส่วนเศษส่วนที่สอง:
ตอนนี้เราพร้อมสำหรับการลบแล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการคูณเศษส่วนด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม:
เราได้ข้อสรุปว่าเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันกลายเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน และเรารู้วิธีลบเศษส่วนนั้นแล้ว. ลองใช้ตัวอย่างนี้จนจบ:
เราได้รับคำตอบ
เรามาลองอธิบายวิธีแก้ปัญหาของเราโดยใช้ภาพวาดกัน ถ้าคุณตัดพิซซ่าออกจากพิซซ่า คุณจะได้พิซซ่า
นี่คือเวอร์ชันโดยละเอียดของโซลูชัน ถ้าเราอยู่ที่โรงเรียน เราจะต้องแก้ตัวอย่างนี้ให้สั้นลง วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวจะมีลักษณะดังนี้:
การลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วมก็สามารถแสดงโดยใช้รูปภาพได้เช่นกัน เมื่อลดเศษส่วนเหล่านี้ให้เป็นตัวส่วนร่วม เราจะได้เศษส่วนและ เศษส่วนเหล่านี้จะแสดงด้วยชิ้นพิซซ่าชิ้นเดียวกัน แต่คราวนี้เศษส่วนจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน (ลดให้เหลือส่วนเดียวกัน):
ภาพแรกแสดงเศษส่วน (แปดชิ้นจากสิบสอง) และภาพที่สองแสดงเศษส่วน (สามในสิบสอง) โดยการตัดสามชิ้นจากแปดชิ้น เราจะได้ห้าชิ้นจากสิบสอง เศษส่วนอธิบายห้าชิ้นนี้
ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าของนิพจน์ 
เศษส่วนเหล่านี้มีตัวส่วนต่างกัน ดังนั้นก่อนอื่นคุณต้องลดให้เหลือตัวส่วนเดียวกัน (ร่วม) ก่อน
มาหา LCM ของตัวส่วนของเศษส่วนเหล่านี้กัน
ตัวส่วนของเศษส่วนคือตัวเลข 10, 3 และ 5 ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้คือ 30
ลทบ.(10, 3, 5) = 30
ตอนนี้เราพบตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับแต่ละเศษส่วนแล้ว เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วน
ลองหาตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนแรกกัน LCM คือเลข 30 และตัวส่วนของเศษส่วนแรกคือเลข 10 หาร 30 ด้วย 10 เราจะได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวแรก 3 เราเขียนไว้เหนือเศษส่วนแรก:
ตอนนี้เราพบตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนที่สองแล้ว หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง. LCM คือเลข 30 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สองคือเลข 3 หาร 30 ด้วย 3 เราจะได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวที่สองคือ 10 เราเขียนไว้เหนือเศษส่วนที่สอง:
ตอนนี้เราพบตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนที่สามแล้ว หาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สาม. LCM คือเลข 30 และตัวส่วนของเศษส่วนที่สามคือเลข 5 หาร 30 ด้วย 5 เราจะได้ตัวประกอบเพิ่มเติมตัวที่สาม 6 เราเขียนไว้เหนือเศษส่วนที่สาม:
ตอนนี้ทุกอย่างพร้อมสำหรับการลบแล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการคูณเศษส่วนด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม:
เราได้ข้อสรุปว่าเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันกลายเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกัน (ร่วม) และเรารู้วิธีลบเศษส่วนนั้นแล้ว. มาจบตัวอย่างนี้กัน
ความต่อเนื่องของตัวอย่างจะไม่พอดีกับบรรทัดเดียว ดังนั้นเราจึงย้ายความต่อเนื่องไปยังบรรทัดถัดไป อย่าลืมเครื่องหมายเท่ากับ (=) บนบรรทัดใหม่:
คำตอบกลายเป็นเศษส่วนปกติและทุกอย่างดูเหมือนจะเหมาะกับเรา แต่มันยุ่งยากและน่าเกลียดเกินไป เราควรทำให้มันง่ายขึ้น สิ่งที่สามารถทำได้? คุณสามารถย่อเศษส่วนนี้ให้สั้นลงได้
ในการลดเศษส่วน คุณต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วย (GCD) ของตัวเลข 20 และ 30
ดังนั้นเราจึงพบ gcd ของตัวเลข 20 และ 30:
ตอนนี้เรากลับมาที่ตัวอย่างของเราและหารตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย gcd ที่พบ นั่นคือ 10
เราได้รับคำตอบ
หากต้องการคูณเศษส่วนด้วยตัวเลข คุณต้องคูณตัวเศษของเศษส่วนด้วยตัวเลขนั้นและปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง
ตัวอย่างที่ 1- คูณเศษส่วนด้วยเลข 1
คูณตัวเศษของเศษส่วนด้วยเลข 1
การบันทึกสามารถเข้าใจได้ว่าใช้เวลาเพียงครึ่งเดียว เช่น ถ้าคุณกินพิซซ่า 1 ครั้ง คุณจะได้พิซซ่า
จากกฎการคูณ เรารู้ว่าถ้าสลับตัวคูณกับตัวประกอบ ผลคูณจะไม่เปลี่ยนแปลง หากเขียนนิพจน์เป็น ผลคูณจะยังคงเท่ากับ ขอย้ำอีกครั้งว่ากฎสำหรับการคูณจำนวนเต็มและเศษส่วนใช้ได้ผล:
สัญกรณ์นี้สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการสละครึ่งหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ถ้ามีพิซซ่า 1 ชิ้นและเราแบ่งไปครึ่งหนึ่ง เราก็จะได้พิซซ่า:
ตัวอย่างที่ 2- ค้นหาค่าของนิพจน์
คูณตัวเศษของเศษส่วนด้วย 4
คำตอบคือเศษส่วนเกิน. เรามาเน้นส่วนทั้งหมดกันดีกว่า:
สำนวนนี้สามารถเข้าใจได้ว่าใช้เวลาสองในสี่ 4 ครั้ง เช่น ถ้าคุณกินพิซซ่า 4 ถาด คุณจะได้พิซซ่าทั้ง 2 ถาด
และถ้าเราสลับตัวคูณและตัวคูณ เราจะได้นิพจน์ มันจะเท่ากับ 2 ด้วย สำนวนนี้สามารถเข้าใจได้ว่าเอาพิซซ่าสองถาดจากพิซซ่าทั้งสี่ถาด:
จำนวนที่คูณด้วยเศษส่วนและตัวส่วนของเศษส่วนจะได้รับการแก้ไขหากมีตัวประกอบร่วมที่มากกว่าหนึ่ง
ตัวอย่างเช่น สามารถประเมินนิพจน์ได้สองวิธี
วิธีแรก- คูณตัวเลข 4 ด้วยตัวเศษของเศษส่วน และปล่อยให้ตัวส่วนของเศษส่วนไม่เปลี่ยนแปลง:
วิธีที่สอง- เมื่อคูณทั้งสี่และสี่ในตัวส่วนของเศษส่วนสามารถลดลงได้ สี่นี้สามารถลดลงได้ 4 เนื่องจากตัวหารร่วมมากที่สุดของสี่สองตัวคือตัวสี่เอง:
เราได้ผลลัพธ์เดียวกัน 3 หลังจากลดสี่ลงแล้ว ตัวเลขใหม่ก็เกิดขึ้นแทนที่: สองอัน แต่การคูณหนึ่งด้วยสามแล้วหารด้วยหนึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย ดังนั้นจึงสามารถเขียนคำตอบสั้นๆ ได้ดังนี้
การลดลงสามารถทำได้แม้ว่าเราจะตัดสินใจใช้วิธีการแรก แต่ในขั้นตอนการคูณตัวเลข 4 และตัวเศษ 3 เราตัดสินใจใช้การลดลง:
แต่ตัวอย่างเช่น นิพจน์สามารถคำนวณได้ด้วยวิธีแรกเท่านั้น - คูณ 7 ด้วยตัวส่วนของเศษส่วน และปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง:
นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าเลข 7 และตัวส่วนของเศษส่วนไม่มีตัวหารร่วมที่มากกว่า 1 และด้วยเหตุนี้จึงไม่ยกเลิก
นักเรียนบางคนตั้งใจย่อจำนวนคูณและตัวเศษของเศษส่วนให้สั้นลง คุณไม่สามารถทำเช่นนี้ได้ ตัวอย่างเช่น รายการต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง:
การลดเศษส่วนก็หมายความว่า ทั้งเศษและส่วนจะถูกหารด้วยจำนวนเดียวกัน ในสถานการณ์ที่มีนิพจน์ การหารจะดำเนินการในตัวเศษเท่านั้น เนื่องจากการเขียนจะเหมือนกับการเขียน เราจะเห็นว่าการหารทำได้เฉพาะในตัวเศษเท่านั้น และไม่มีการหารในตัวส่วน
ในการคูณเศษส่วน คุณต้องคูณทั้งเศษและส่วนด้วย ถ้าคำตอบกลายเป็นเศษส่วนเกิน คุณต้องเน้นเศษส่วนนั้นให้หมด
ตัวอย่างที่ 1ค้นหาค่าของนิพจน์
เราได้รับคำตอบ ขอแนะนำให้ลดเศษส่วนนี้ลง เศษส่วนสามารถลดลงได้ 2 จากนั้นวิธีแก้ปัญหาสุดท้ายจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:
สำนวนนี้สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการหยิบพิซซ่าจากพิซซ่าครึ่งหนึ่ง สมมติว่าเรามีพิซซ่าครึ่งถาด:
จะเอาสองในสามจากครึ่งนี้ได้อย่างไร? ก่อนอื่นคุณต้องแบ่งครึ่งนี้ออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กัน:
และนำสองจากสามชิ้นนี้:
เราจะทำพิซซ่า จำไว้ว่าพิซซ่าจะหน้าตาเป็นอย่างไรเมื่อแบ่งออกเป็นสามส่วน:
พิซซ่าชิ้นนี้หนึ่งชิ้นและสองชิ้นที่เราเอามาจะมีขนาดเท่ากัน:
กล่าวอีกนัยหนึ่ง เรากำลังพูดถึงพิซซ่าที่มีขนาดเท่ากัน ดังนั้นค่าของนิพจน์คือ
ตัวอย่างที่ 2- ค้นหาค่าของนิพจน์
คูณตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวเศษของเศษส่วนที่สอง และตัวส่วนของเศษส่วนแรกคูณด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง:
คำตอบคือเศษส่วนเกิน. เรามาเน้นส่วนทั้งหมดกันดีกว่า:
ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าของนิพจน์
คูณตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวเศษของเศษส่วนที่สอง และตัวส่วนของเศษส่วนแรกคูณด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง:
คำตอบกลายเป็นเศษส่วนปกติ แต่จะย่อให้สั้นลงก็คงจะดี ในการลดเศษส่วนนี้ คุณต้องหารตัวเศษและส่วนของเศษส่วนนี้ด้วยตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเลข 105 และ 450
เรามาค้นหา gcd ของตัวเลข 105 และ 450 กัน:
ตอนนี้เราหารทั้งเศษและส่วนของคำตอบด้วย gcd ที่เราพบตอนนี้ นั่นคือ 15
จำนวนเต็มใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ เช่น เลข 5 สามารถแสดงเป็น สิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนความหมายของห้า เนื่องจากสำนวนหมายถึง "จำนวนห้าหารด้วยหนึ่ง" และดังที่เราทราบนี้เท่ากับห้า:
ตอนนี้เราจะมาทำความคุ้นเคยกับหัวข้อที่น่าสนใจทางคณิตศาสตร์ เรียกว่า "เลขกลับกัน"
คำนิยาม. ย้อนกลับไปยังหมายเลขก เป็นจำนวนที่เมื่อคูณด้วยก ให้อย่างใดอย่างหนึ่ง
ลองใช้คำจำกัดความนี้แทนตัวแปร กหมายเลข 5 แล้วลองอ่านคำจำกัดความ:
ย้อนกลับไปยังหมายเลข 5 เป็นจำนวนที่เมื่อคูณด้วย 5 ให้อย่างใดอย่างหนึ่ง
เป็นไปได้ไหมที่จะหาจำนวนที่เมื่อคูณด้วย 5 แล้วได้ 1 ตัว? ปรากฎว่ามันเป็นไปได้ ลองจินตนาการถึงห้าเป็นเศษส่วน:
จากนั้นคูณเศษส่วนนี้ด้วยตัวมันเอง แค่สลับตัวเศษและส่วน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลองคูณเศษส่วนด้วยตัวมันเอง โดยกลับด้านเท่านั้น:
จะเกิดอะไรขึ้นจากสิ่งนี้? หากเรายังคงแก้ตัวอย่างนี้ต่อไป เราจะได้สิ่งหนึ่ง:
ซึ่งหมายความว่าค่าผกผันของเลข 5 คือตัวเลข เนื่องจากเมื่อคุณคูณ 5 ด้วยคุณจะได้ 1
ส่วนกลับของจำนวนสามารถหาได้จากจำนวนเต็มอื่นๆ เช่นกัน
คุณยังสามารถหาส่วนกลับของเศษส่วนอื่นๆ ได้ด้วย ในการทำเช่นนี้เพียงแค่พลิกมัน
สมมติว่าเรามีพิซซ่าครึ่งถาด:
ลองหารมันเท่าๆ กันระหว่างสอง. แต่ละคนจะได้พิซซ่าเท่าไหร่?
จะเห็นได้ว่าหลังจากแบ่งพิซซ่าไปครึ่งหนึ่งแล้ว จะได้สองชิ้นเท่าๆ กัน ซึ่งแต่ละชิ้นก็ถือเป็นพิซซ่า ดังนั้นทุกคนจะได้รับพิซซ่า
ตัวส่วนร่วมของเศษส่วนหลายตัวคือ LCM (ตัวคูณร่วมน้อย) ของจำนวนธรรมชาติที่เป็นตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนด
สำหรับตัวเศษของเศษส่วนที่กำหนด คุณต้องเพิ่มปัจจัยเพิ่มเติมเท่ากับอัตราส่วนของ LCM และตัวส่วนที่เกี่ยวข้อง
ตัวเศษของเศษส่วนที่กำหนดจะถูกคูณด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม ส่งผลให้ตัวเศษของเศษส่วนมีตัวส่วนร่วมเพียงตัวเดียว สัญลักษณ์การกระทำ ("+" หรือ "-") ในการบันทึกเศษส่วนที่ลดลงจนเป็นตัวส่วนร่วมจะถูกเก็บไว้หน้าเศษส่วนแต่ละส่วน สำหรับเศษส่วนที่มีตัวส่วนร่วม สัญลักษณ์แสดงการกระทำจะคงอยู่ก่อนตัวเศษแต่ละตัว
ตอนนี้คุณสามารถเพิ่มหรือลบตัวเศษและลงนามตัวส่วนร่วมใต้ผลลัพธ์ได้แล้ว
ความสนใจ! ถ้าในเศษส่วนผลลัพธ์ที่มีตัวเศษและส่วนมีตัวประกอบร่วมกัน เศษส่วนนั้นจะต้องถูกลดขนาดลง แนะนำให้แปลงเศษส่วนเกินให้เป็นเศษส่วนคละ การทิ้งผลลัพธ์ของการบวกหรือการลบโดยไม่ยกเลิกเศษส่วนหากเป็นไปได้ถือเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สมบูรณ์สำหรับตัวอย่าง!
การบวกและการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน- กฎ. ถึง การบวกหรือลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันคุณต้องลดให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดก่อน แล้วจึงบวกหรือลบแบบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
เศษส่วนสามารถเพิ่มและลบได้หากมีตัวอักษรในตัวเศษ
กฎการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันนั้นง่ายมาก
มาดูกฎในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันทีละขั้นตอน:
1. ค้นหา LCM (ตัวคูณร่วมน้อย) ของตัวส่วน LCM ที่ได้จะเป็นตัวส่วนร่วมของเศษส่วน
2. ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม
3. บวกเศษส่วนที่ลดลงจนเป็นตัวส่วนร่วม
จากตัวอย่างง่ายๆ เราจะเรียนรู้วิธีใช้กฎในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน
ตัวอย่างการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน
บวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน:
| 1 | + | 5 |
|---|---|---|
| 6 | 12 |
เราจะตัดสินใจทีละขั้นตอน
1. ค้นหา LCM (ตัวคูณร่วมน้อย) ของตัวส่วน
เลข 12 หารด้วย 6 ลงตัว.
จากนี้ เราสรุปได้ว่า 12 เป็นตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 6 และ 12
คำตอบ: จำนวนตัวเลข 6 และ 12 คือ 12:
ล.ซม.(6, 12) = 12
LCM ที่ได้จะเป็นตัวส่วนร่วมของเศษส่วน 2 ตัวคือ 1/6 และ 5/12
2. ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม
ในตัวอย่างของเรา เฉพาะเศษส่วนแรกเท่านั้นที่ต้องถูกลดให้เหลือตัวส่วนร่วมของ 12 เนื่องจากเศษส่วนที่สองมีตัวส่วนของ 12 อยู่แล้ว
หารตัวส่วนร่วมของ 12 ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแรก:
2 มีตัวคูณเพิ่มเติม
คูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนแรก (1/6) ด้วยตัวประกอบเพิ่มเติมของ 2
ในศตวรรษที่ห้าก่อนคริสต์ศักราช นักปรัชญาชาวกรีกโบราณ Zeno of Elea ได้คิดค้น aporia ที่มีชื่อเสียงของเขาขึ้นมา ซึ่งที่มีชื่อเสียงที่สุดก็คือ aporia "Achilles and the Tortoise" นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน:สมมติว่าจุดอ่อนวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและตามหลังเต่าไปหนึ่งพันก้าว ในช่วงเวลาที่จุดอ่อนต้องใช้เพื่อวิ่งระยะนี้ เต่าจะคลานไปร้อยขั้นในทิศทางเดียวกัน เมื่ออคิลลีสวิ่งร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว ไปเรื่อยๆ กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด อคิลลีสจะตามเต่าไม่ทัน
เหตุผลนี้สร้างความตกใจให้กับคนรุ่นต่อๆ ไป Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... พวกเขาทั้งหมดถือว่า Aporia ของ Zeno ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ช็อกหนักมากจน” ... การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้ ชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่สามารถมีความเห็นร่วมกันเกี่ยวกับสาระสำคัญของความขัดแย้งได้ ... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซต วิธีทางกายภาพและปรัชญาใหม่ ๆ มีส่วนร่วมในการศึกษาปัญหานี้ ; ไม่มีวิธีใดที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปในการแก้ปัญหา..."[วิกิพีเดีย "Aporia ของ Zeno" ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขากำลังถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงประกอบด้วยอะไร
จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ฉีโนใน Aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนจากปริมาณเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้หมายถึงการใช้งานแทนที่จะเป็นแบบถาวร เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดแบบแปรผันยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือไม่ได้นำไปใช้กับ Aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะตามปกติของเราจะนำเราเข้าสู่กับดัก เนื่องจากความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับค่าส่วนกลับ จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าเวลาจะเดินช้าลงจนกระทั่งหยุดสนิทในขณะที่ Achilles ตามเต่าทัน หากเวลาหยุดลง Achilles จะไม่สามารถวิ่งเร็วกว่าเต่าได้อีกต่อไป
ถ้าเราเปลี่ยนตรรกะตามปกติ ทุกอย่างก็เข้าที่ Achilles วิ่งด้วยความเร็วคงที่ แต่ละส่วนต่อมาของเส้นทางของเขาจะสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะจึงน้อยกว่าครั้งก่อนถึงสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดเรื่อง "อนันต์" ในสถานการณ์นี้ ก็คงจะถูกต้องที่จะพูดว่า "อคิลลีสจะไล่ตามเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่สิ้นสุด"
จะหลีกเลี่ยงกับดักเชิงตรรกะนี้ได้อย่างไร? คงอยู่ในหน่วยเวลาคงที่และอย่าเปลี่ยนไปใช้หน่วยต่างตอบแทน ในภาษาของ Zeno มีลักษณะดังนี้:
ในเวลาที่อคิลลิสต้องวิ่งพันก้าว เต่าจะคลานไปในทิศทางเดียวกันนับร้อยก้าว ในช่วงเวลาถัดไปเท่ากับช่วงแรก อคิลลีสจะวิ่งอีกพันก้าว และเต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้อคิลลิสนำหน้าเต่าไปแปดร้อยก้าว
แนวทางนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีความขัดแย้งทางตรรกะใดๆ แต่นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ไม่อาจต้านทานได้นั้นคล้ายคลึงกับเรื่อง "Achilles and the Tortoise" ของ Zeno มาก เรายังต้องศึกษา คิดใหม่ และแก้ไขปัญหานี้ และต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาไม่ใช่ในจำนวนมากไม่สิ้นสุด แต่ต้องค้นหาในหน่วยการวัด
Aporia ที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งของ Zeno เล่าเกี่ยวกับลูกศรบิน:
ลูกธนูที่บินอยู่นั้นไม่เคลื่อนไหว เนื่องจากมันจะอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา และเนื่องจากมันอยู่นิ่งอยู่ทุกช่วงเวลา มันจึงอยู่นิ่งอยู่เสมอ
ใน aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะจะเอาชนะได้ง่ายมาก - ก็เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรที่บินอยู่จะหยุดนิ่ง ณ จุดต่าง ๆ ในอวกาศ ซึ่งในความเป็นจริงคือการเคลื่อนไหว อีกประเด็นหนึ่งที่ต้องสังเกตที่นี่ จากรูปถ่ายของรถยนต์คันหนึ่งบนท้องถนนไม่สามารถระบุความจริงของการเคลื่อนไหวหรือระยะทางได้ ในการตรวจสอบว่ารถยนต์กำลังเคลื่อนที่อยู่หรือไม่ คุณต้องถ่ายภาพสองภาพที่ถ่ายจากจุดเดียวกันและเวลาที่ต่างกัน แต่คุณไม่สามารถระบุระยะห่างจากรถเหล่านั้นได้ ในการกำหนดระยะทางถึงรถยนต์คุณต้องมีภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดต่าง ๆ ในอวกาศ ณ จุดใดเวลาหนึ่ง แต่จากภาพถ่ายเหล่านั้นคุณไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวได้ (แน่นอนว่าคุณยังต้องการข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณ ตรีโกณมิติจะช่วยคุณ ). สิ่งที่ฉันต้องการให้ความสนใจเป็นพิเศษคือจุดสองจุดในเวลาและสองจุดในอวกาศเป็นสิ่งที่ต่างกันซึ่งไม่ควรสับสน เพราะมันให้โอกาสในการวิจัยที่แตกต่างกัน
ความแตกต่างระหว่างชุดและชุดหลายชุดมีการอธิบายไว้เป็นอย่างดีในวิกิพีเดีย มาดูกัน.
ดังที่คุณเห็นว่า “ในเซตหนึ่งจะมีองค์ประกอบที่เหมือนกันไม่ได้” แต่หากมีองค์ประกอบที่เหมือนกันในชุดหนึ่ง เซตดังกล่าวจะเรียกว่า “มัลติเซต” สิ่งมีชีวิตที่มีเหตุผลจะไม่มีวันเข้าใจตรรกะที่ไร้สาระเช่นนี้ นี่คือระดับของนกแก้วพูดได้และลิงฝึกหัดที่ไม่มีสติปัญญาจากคำว่า "สมบูรณ์" นักคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นผู้ฝึกสอนธรรมดาๆ โดยสั่งสอนแนวคิดที่ไร้สาระของพวกเขาให้เราฟัง
กาลครั้งหนึ่ง วิศวกรผู้สร้างสะพานอยู่ในเรือใต้สะพานขณะทดสอบสะพาน หากสะพานพัง วิศวกรธรรมดาๆ ก็เสียชีวิตภายใต้ซากปรักหักพังที่เขาสร้างขึ้น หากสะพานสามารถรับน้ำหนักได้ วิศวกรผู้มีความสามารถก็สร้างสะพานอื่นขึ้นมา
ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะซ่อนอยู่เบื้องหลังวลีที่ว่า "โปรดบอกฉันหน่อย ฉันอยู่ในบ้าน" หรือ "คณิตศาสตร์ศึกษาแนวคิดเชิงนามธรรม" อย่างไร มีสายสะดือเส้นหนึ่งที่เชื่อมโยงพวกเขากับความเป็นจริงอย่างแยกไม่ออก สายสะดือนี้คือเงิน ขอให้เราใช้ทฤษฎีเซตทางคณิตศาสตร์กับนักคณิตศาสตร์เอง
เราเรียนคณิตศาสตร์ดีมาก และตอนนี้เรากำลังนั่งอยู่ที่เครื่องคิดเงิน แจกเงินเดือน นักคณิตศาสตร์มาหาเราเพื่อเงินของเขา เรานับจำนวนเงินทั้งหมดให้เขาและวางลงบนโต๊ะของเราเป็นกองต่างๆ โดยเราใส่ธนบัตรที่มีสกุลเงินเดียวกัน จากนั้นเราจะหยิบบิลหนึ่งใบจากแต่ละกอง และมอบ "ชุดเงินเดือนทางคณิตศาสตร์" ให้กับนักคณิตศาสตร์ ให้เราอธิบายให้นักคณิตศาสตร์ฟังว่าเขาจะได้รับบิลที่เหลือก็ต่อเมื่อเขาพิสูจน์ว่าเซตที่ไม่มีสมาชิกเหมือนกันจะไม่เท่ากับเซตที่มีสมาชิกเหมือนกัน นี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก
ก่อนอื่น ตรรกะของเจ้าหน้าที่จะได้ผล: “สิ่งนี้ใช้ได้กับผู้อื่น แต่ไม่ใช่กับฉัน!” จากนั้นพวกเขาจะเริ่มทำให้เรามั่นใจว่าตั๋วเงินประเภทเดียวกันมีหมายเลขบิลต่างกัน ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถพิจารณาว่าเป็นองค์ประกอบเดียวกันได้ เอาล่ะ เรามานับเงินเดือนเป็นเหรียญกันดีกว่า - ไม่มีตัวเลขบนเหรียญ ที่นี่นักคณิตศาสตร์จะเริ่มจดจำฟิสิกส์อย่างบ้าคลั่ง เหรียญแต่ละเหรียญมีจำนวนดินต่างกัน โครงสร้างผลึกและการจัดเรียงอะตอมไม่ซ้ำกันในแต่ละเหรียญ...
และตอนนี้ฉันมีคำถามที่น่าสนใจที่สุด: เส้นตรงที่องค์ประกอบของ multiset กลายเป็นองค์ประกอบของ set และในทางกลับกันอยู่ที่ไหน? ไม่มีบรรทัดดังกล่าว - ทุกอย่างถูกตัดสินโดยหมอผีวิทยาศาสตร์ไม่ได้ใกล้เคียงกับการโกหกที่นี่ด้วยซ้ำ
ดูนี่. เราคัดเลือกสนามฟุตบอลที่มีพื้นที่สนามเดียวกัน พื้นที่ในทุ่งเหมือนกัน - ซึ่งหมายความว่าเรามีชุดหลายชุด แต่ถ้าเราดูชื่อสนามเดียวกันนี้ เราจะได้หลายชื่อ เพราะชื่อต่างกัน อย่างที่คุณเห็น ชุดองค์ประกอบเดียวกันนั้นเป็นทั้งเซตและมัลติเซต ข้อไหนถูกต้อง? และที่นี่นักคณิตศาสตร์ - หมอผี - นักแม่นปืนดึงเอซออกมาจากแขนเสื้อของเขาและเริ่มบอกเราเกี่ยวกับชุดหรือชุดหลายชุด ไม่ว่าในกรณีใดเขาจะโน้มน้าวเราว่าเขาพูดถูก
เพื่อทำความเข้าใจว่าหมอผียุคใหม่ดำเนินการอย่างไรกับทฤษฎีเซตโดยเชื่อมโยงกับความเป็นจริงก็เพียงพอที่จะตอบคำถามหนึ่งข้อ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร ฉันจะแสดงให้คุณเห็น โดยไม่มี "สิ่งที่เป็นไปได้ว่าไม่ใช่ทั้งหมดเดียว" หรือ "ไม่สามารถเป็นไปได้ในภาพรวมเดียว"
ผลรวมของตัวเลขคือการเต้นรำของหมอผีกับแทมบูรีนซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เลย ใช่ ในบทเรียนคณิตศาสตร์ เราสอนให้ค้นหาผลรวมของตัวเลขแล้วนำไปใช้ แต่นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นหมอผี เพื่อสอนทักษะและสติปัญญาแก่ลูกหลาน ไม่เช่นนั้นหมอผีก็จะตายไป
คุณต้องการหลักฐานหรือไม่? เปิด Wikipedia แล้วลองค้นหาหน้า "ผลรวมของตัวเลข" เธอไม่มีอยู่จริง ไม่มีสูตรในคณิตศาสตร์ที่สามารถใช้เพื่อค้นหาผลรวมของตัวเลขใดๆ ได้ ท้ายที่สุดแล้วตัวเลขคือสัญลักษณ์กราฟิกที่เราเขียนตัวเลขและในภาษาคณิตศาสตร์งานจะมีลักษณะดังนี้: "ค้นหาผลรวมของสัญลักษณ์กราฟิกที่แสดงถึงตัวเลขใดๆ" นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ แต่หมอผีสามารถแก้ปัญหานี้ได้อย่างง่ายดาย
เรามาดูกันว่าเราทำอะไรและอย่างไรเพื่อหาผลรวมของตัวเลขที่กำหนด เอาล่ะ เรามีเลข 12345 กัน จะต้องทำอย่างไรจึงจะหาผลรวมของเลขตัวนี้ได้? พิจารณาขั้นตอนทั้งหมดตามลำดับ
1. เขียนหมายเลขลงบนกระดาษ เราทำอะไรไปแล้วบ้าง? เราได้แปลงตัวเลขให้เป็นสัญลักษณ์ตัวเลขแบบกราฟิก นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์
2. เราตัดรูปภาพผลลัพธ์หนึ่งรูปภาพออกเป็นหลายรูปภาพที่มีตัวเลขแต่ละตัว การตัดภาพไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์
3. แปลงสัญลักษณ์กราฟิกแต่ละรายการเป็นตัวเลข นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์
4. เพิ่มตัวเลขผลลัพธ์ ตอนนี้เป็นคณิตศาสตร์
ผลรวมของตัวเลข 12345 คือ 15 นี่คือ "หลักสูตรการตัดเย็บ" ที่สอนโดยหมอผีที่นักคณิตศาสตร์ใช้ แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด
จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ไม่สำคัญว่าเราจะเขียนตัวเลขในระบบตัวเลขใด ดังนั้นในระบบตัวเลขที่ต่างกันผลรวมของตัวเลขของตัวเลขเดียวกันจะแตกต่างกัน ในทางคณิตศาสตร์ ระบบตัวเลขจะแสดงเป็นตัวห้อยทางด้านขวาของตัวเลข ด้วยตัวเลขขนาดใหญ่ 12345 ไม่อยากหลอกหัว ลองพิจารณาเลข 26 จากบทความเกี่ยวกับกันดู ลองเขียนตัวเลขนี้ในระบบเลขฐานสอง ฐานแปด ทศนิยม และเลขฐานสิบหก เราจะไม่มองทุกขั้นตอนด้วยกล้องจุลทรรศน์ เราได้ทำไปแล้ว มาดูผลลัพธ์กันดีกว่า
อย่างที่คุณเห็น ในระบบตัวเลขที่ต่างกัน ผลรวมของตัวเลขของตัวเลขเดียวกันจะแตกต่างกัน ผลลัพธ์นี้ไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ เหมือนกับว่าคุณกำหนดพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นเมตรและเซนติเมตร คุณจะได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง
ศูนย์มีลักษณะเหมือนกันในทุกระบบตัวเลขและไม่มีผลรวมของตัวเลข นี่เป็นอีกข้อโต้แย้งที่สนับสนุนความจริงที่ว่า คำถามสำหรับนักคณิตศาสตร์: สิ่งที่ไม่ใช่ตัวเลขที่กำหนดในคณิตศาสตร์เป็นอย่างไร? อะไรนะสำหรับนักคณิตศาสตร์ไม่มีอะไรอยู่เลยนอกจากตัวเลข? ฉันสามารถอนุญาตให้หมอผีทำได้ แต่ไม่ใช่สำหรับนักวิทยาศาสตร์ ความจริงไม่ใช่แค่เกี่ยวกับตัวเลขเท่านั้น
ผลลัพธ์ที่ได้ควรถือเป็นข้อพิสูจน์ว่าระบบตัวเลขเป็นหน่วยวัดของตัวเลข ท้ายที่สุดแล้ว เราไม่สามารถเปรียบเทียบตัวเลขกับหน่วยการวัดที่แตกต่างกันได้ หากการกระทำแบบเดียวกันโดยใช้หน่วยการวัดปริมาณเดียวกันต่างกันทำให้ได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันหลังจากเปรียบเทียบแล้ว ก็ไม่เกี่ยวอะไรกับคณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์ที่แท้จริงคืออะไร? นี่คือเมื่อผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับขนาดของตัวเลข หน่วยการวัดที่ใช้ และผู้ที่ดำเนินการนี้
โอ้! นี่มันห้องน้ำหญิงไม่ใช่เหรอ?
- หญิงสาว! นี่คือห้องปฏิบัติการสำหรับศึกษาความบริสุทธิ์ของจิตวิญญาณที่ไม่สิ้นสุดระหว่างการขึ้นสู่สวรรค์! รัศมีอยู่ด้านบนและลูกศรขึ้น ห้องน้ำอะไรอีก?
หญิง... รัศมีบนและลูกศรล่างเป็นชาย
หากงานศิลปะการออกแบบดังกล่าวกะพริบต่อหน้าต่อตาคุณหลายครั้งต่อวัน
จึงไม่น่าแปลกใจที่คุณจะพบไอคอนแปลก ๆ ในรถของคุณโดยฉับพลัน:
โดยส่วนตัวแล้วฉันพยายามเห็นลบสี่องศาในคนเซ่อ (ภาพเดียว) (องค์ประกอบของภาพหลายภาพ: เครื่องหมายลบ, หมายเลขสี่, การกำหนดองศา) และฉันไม่คิดว่าผู้หญิงคนนี้จะเป็นคนโง่ที่ไม่รู้ฟิสิกส์ เธอมีทัศนคติที่ชัดเจนในการรับรู้ภาพกราฟิก และนักคณิตศาสตร์ก็สอนเราเรื่องนี้ตลอดเวลา นี่คือตัวอย่าง
1A ไม่ใช่ "ลบสี่องศา" หรือ "หนึ่ง a" นี่คือ "คนขี้" หรือเลข "ยี่สิบหก" ในรูปแบบเลขฐานสิบหก คนเหล่านั้นที่ทำงานในระบบตัวเลขนี้อย่างต่อเนื่องจะรับรู้ตัวเลขและตัวอักษรเป็นสัญลักษณ์กราฟิกเดียวโดยอัตโนมัติ
การบวกและการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกัน
การบวกและการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน
แนวคิดของ NOC
การลดเศษส่วนให้มีส่วนเท่ากัน
วิธีบวกจำนวนเต็มและเศษส่วน
1 การบวกและการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกัน
หากต้องการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณจะต้องเพิ่มตัวเศษ แต่ปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม ตัวอย่างเช่น:
หากต้องการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องลบตัวเศษของเศษส่วนที่สองออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรก และปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม ตัวอย่างเช่น
ในการบวกเศษส่วนแบบผสม คุณจะต้องแยกส่วนทั้งหมดออกจากกัน จากนั้นจึงบวกส่วนที่เป็นเศษส่วน และเขียนผลลัพธ์เป็นเศษส่วนแบบผสม
หากเมื่อคุณบวกเศษส่วนแล้วคุณได้รับเศษส่วนเกิน ให้เลือกทั้งส่วนจากนั้นบวกเข้ากับทั้งส่วน ตัวอย่างเช่น:
2 การบวกและการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน
หากต้องการบวกหรือลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน คุณต้องลดให้เหลือตัวส่วนเท่ากันก่อน จากนั้นจึงดำเนินการตามที่ระบุไว้ในตอนต้นของบทความนี้ ตัวส่วนร่วมของเศษส่วนหลายตัวคือ LCM (ตัวคูณร่วมน้อย) สำหรับตัวเศษของเศษส่วนแต่ละส่วน จะพบปัจจัยเพิ่มเติมได้โดยการหาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนนี้ เราจะดูตัวอย่างในภายหลัง หลังจากที่เราเข้าใจว่า NOC คืออะไร
3 ตัวคูณร่วมน้อย (LCM)
ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสองตัว (LCM) คือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่หารด้วยตัวเลขทั้งสองลงตัวโดยไม่เหลือเศษ บางครั้ง LCM สามารถพบได้ด้วยวาจา แต่บ่อยครั้ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อทำงานกับตัวเลขจำนวนมาก คุณต้องค้นหา LCM เป็นลายลักษณ์อักษร โดยใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้:
หากต้องการค้นหา LCM ของตัวเลขหลายตัว คุณต้องมี:
ตัวอย่างเช่น ลองหา LCM ของตัวเลข 28 และ 21:
4. การลดเศษส่วนให้มีส่วนเท่ากัน
กลับไปที่การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันกัน
เมื่อเราลดเศษส่วนให้เหลือตัวส่วนเท่ากันเท่ากับ LCM ของตัวส่วนทั้งสอง เราต้องคูณตัวเศษของเศษส่วนเหล่านี้ด้วย ตัวคูณเพิ่มเติม- คุณสามารถค้นหาได้โดยการหาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่เกี่ยวข้อง เช่น:
ดังนั้น ในการลดเศษส่วนให้เป็นเลขชี้กำลังเดียวกัน คุณต้องหา LCM (นั่นคือจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วยตัวส่วนทั้งสองลงตัว) ของตัวส่วนของเศษส่วนเหล่านี้ก่อน จากนั้นจึงใส่ตัวประกอบเพิ่มเติมให้กับตัวเศษของเศษส่วน คุณสามารถค้นหาได้โดยการหารตัวส่วนร่วม (CLD) ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่เกี่ยวข้อง จากนั้นคุณต้องคูณตัวเศษของแต่ละเศษส่วนด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม แล้วให้ LCM เป็นตัวส่วน
5วิธีบวกจำนวนเต็มและเศษส่วน
ในการบวกจำนวนเต็มและเศษส่วน คุณเพียงแค่ต้องบวกตัวเลขนี้ก่อนเศษส่วน ซึ่งจะส่งผลให้เกิดเศษส่วนผสม เป็นต้น
