Considere uma equação quadrática.
Vamos definir suas raízes.
Não existe número real cujo quadrado seja -1. Mas se a fórmula define o operador eu como uma unidade imaginária, então a solução desta equação pode ser escrita na forma . Em que e - números complexos, em que -1 é a parte real, 2 ou no segundo caso -2 é a parte imaginária. A parte imaginária também é um número real (real). A parte imaginária multiplicada pela unidade imaginária já significa número imaginário.
Em geral, um número complexo tem a forma
z = x + eu ,
Onde x, y são números reais, é uma unidade imaginária. Em várias ciências aplicadas, por exemplo, em engenharia elétrica, eletrônica, teoria de sinais, a unidade imaginária é denotada por j. Numeros reais x = Re(z) e y=Eu estou(z) chamado partes reais e imaginárias números z. A expressão é chamada forma algébrica notação de um número complexo.
Qualquer número real é caso especial número complexo na forma . Um número imaginário também é um caso especial de um número complexo. .
Definição do conjunto dos números complexos C
Esta expressão é lida da seguinte forma: set A PARTIR DE, consistindo de elementos tais que x e y Pertence ao conjunto dos números reais R e é a unidade imaginária. Observe que etc
Dois números complexos e são iguais se e somente se suas partes reais e imaginárias são iguais, ou seja, e .
Números complexos e funções são amplamente utilizados em ciência e tecnologia, em particular em mecânica, análise e cálculo de circuitos. corrente alternada, eletrônica analógica, na teoria e processamento de sinais, na teoria do controle automático e outras ciências aplicadas.
A adição de dois números complexos consiste em somar suas partes reais e imaginárias, ou seja,
Assim, a diferença de dois números complexos
Número complexo chamado complexo conjugado número z=x +i.y.
Os números conjugados complexos z e z * diferem nos sinais da parte imaginária. é obvio que
.
Qualquer igualdade entre expressões complexas permanece válida se nesta igualdade em todos os lugares eu substituído por - eu, ou seja ir para a igualdade dos números conjugados. Números eu e – eu são algebricamente indistinguíveis porque .
O produto (multiplicação) de dois números complexos pode ser calculado da seguinte forma:
Divisão de dois números complexos:
Exemplo:
Um número complexo pode ser representado graficamente em um sistema de coordenadas retangulares. Situado no avião sistema retangular coordenadas (x,y).
no eixo Boi vamos organizar as peças reais x, é chamado eixo real (real), no eixo oi- partes imaginárias y números complexos. Ela tem o nome eixo imaginário. Além disso, cada número complexo corresponde a um determinado ponto do plano, e tal plano é chamado plano complexo. Ponto MAS o plano complexo corresponderá ao vetor OA.
Número x chamado abscissa número complexo, número y – ordenar.
Um par de números conjugados complexos é exibido como pontos localizados simetricamente em relação ao eixo real.
Se no plano definido sistema de coordenadas polares, então todo número complexo z determinada por coordenadas polares. Em que módulo números é o raio polar do ponto e o ângulo - seu ângulo polar ou argumento de número complexo z.
Módulo de número complexo sempre não negativo. O argumento de um número complexo não é definido exclusivamente. O valor principal do argumento deve satisfazer a condição . A cada ponto do plano complexo corresponde também Significado geral argumento . Argumentos que diferem por um múltiplo de 2π são considerados iguais. O argumento de número zero não está definido.
O valor principal do argumento é determinado pelas expressões:
é obvio que
Em que
, .
Representação de número complexo z Como
chamado forma trigonométrica número complexo.
Exemplo.
Decomposição em série Maclaurin para funções de argumento reais parece:
Para a função exponencial de um argumento complexo z a decomposição é semelhante
.
A expansão da série de Maclaurin para a função exponencial do argumento imaginário pode ser representada como
A identidade resultante é chamada Fórmula de Euler.
Para um argumento negativo, parece que
Combinando essas expressões, podemos definir as seguintes expressões para seno e cosseno
.
Usando a fórmula de Euler, da forma trigonométrica da representação de números complexos
acessível demonstrativo(exponencial, polar) forma de um número complexo, ou seja, sua representação na forma
,
Onde - coordenadas polares de um ponto com coordenadas retangulares ( x,y).
O conjugado de um número complexo é escrito na forma exponencial da seguinte forma.
Para a forma exponencial, é fácil definir as seguintes fórmulas para multiplicação e divisão de números complexos
Ou seja, na forma exponencial, o produto e a divisão de números complexos é mais fácil do que na forma algébrica. Ao multiplicar, os módulos dos fatores são multiplicados e os argumentos são adicionados. Esta regra se aplica a qualquer número de fatores. Em particular, ao multiplicar um número complexo z no eu vetor z gira no sentido anti-horário em 90
Na divisão, o módulo do numerador é dividido pelo módulo do denominador e o argumento do denominador é subtraído do argumento do numerador.
Usando a forma exponencial de números complexos, pode-se obter expressões para identidades trigonométricas bem conhecidas. Por exemplo, da identidade
usando a fórmula de Euler, podemos escrever
Igualando as partes real e imaginária nesta expressão, obtemos expressões para o cosseno e o seno da soma dos ângulos
Elevação de um número complexo a uma potência natural n produzido de acordo com a fórmula
Exemplo. Calcular .
Imagine um número na forma trigonométrica
’
Aplicando a fórmula da exponenciação, obtemos
Colocando o valor na expressão r= 1, obtemos o chamado Fórmula de De Moivre, com o qual você pode determinar as expressões para os senos e cossenos de vários ângulos.
Raiz nª potência de um número complexo z Tem n valores diferentes determinados pela expressão
Exemplo. Vamos encontrar .
Para fazer isso, expressamos o número complexo () na forma trigonométrica
.
De acordo com a fórmula para calcular a raiz de um número complexo, obtemos
Logaritmo de um número complexo zé um número W, para qual . O logaritmo natural de um número complexo tem um número infinito de valores e é calculado pela fórmula
Consiste em partes reais (coseno) e imaginárias (seno). Essa tensão pode ser representada como um vetor de comprimento hum, fase inicial (ângulo), girando com velocidade angular ω .
Além disso, se funções complexas forem adicionadas, suas partes reais e imaginárias serão adicionadas. Se uma função complexa é multiplicada por uma constante ou uma função real, então suas partes real e imaginária são multiplicadas pelo mesmo fator. A diferenciação/integração de uma função tão complexa é reduzida à diferenciação/integração das partes real e imaginária.
Por exemplo, a diferenciação da expressão de estresse complexo
é multiplicar por iω é a parte real da função f(z), e é a parte imaginária da função. Exemplos: .
Significado zé representado por um ponto no plano z complexo, e o valor correspondente W- um ponto no plano complexo W. Quando exibido w = f(z) linhas planas z passar nas linhas do plano W, figuras de um plano em figuras de outro, mas as formas de linhas ou figuras podem mudar significativamente.