유형 및 형태 불확실성은 한계를 해결할 때 해결해야 하는 가장 일반적인 불확실성입니다.
학생들에게 닥치는 한계에 대한 대부분의 과제는 그러한 불확실성을 안고 있습니다. 그것들을 드러내거나 더 정확하게는 모호성을 피하기 위해 극한 기호 아래에서 표현의 형태를 변형하는 몇 가지 인위적인 방법이 있습니다. 이러한 기술은 다음과 같습니다. 변수의 가장 높은 거듭제곱으로 분자와 분모의 항별 나누기, 솔루션을 사용한 후속 축소를 위한 켤레 표현식 및 인수 분해에 의한 곱셈 이차 방정식및 약식 곱셈 공식.
종 불확정성
실시예 1
N는 2와 같습니다. 따라서 분자와 분모를 항으로 나눕니다.
.
표현식의 오른쪽에 주석을 추가하십시오. 화살표와 숫자는 분수 대신 대체 후 경향이 무엇을 나타냅니다 N무한대 값. 여기서, 예 2에서와 같이, 정도 N분자보다 분모에 더 많은 것이 있으며, 그 결과 전체 분수가 극소값 또는 "초소수"가 되는 경향이 있습니다.
우리는 답을 얻습니다. 무한대 경향이 있는 변수가 있는 이 함수의 한계는 입니다.
실시예 2 .
해결책. 여기에서 변수의 가장 높은 거듭제곱 엑스는 1과 같습니다. 따라서 분자와 분모 항을 항으로 나눕니다. 엑스:
.
해결 과정에 대한 논평. 분자에서 우리는 세 번째 정도의 루트 아래에서 "x"를 구동하고 초기 정도 (1)가 변경되지 않고 루트와 동일한 정도, 즉 3을 할당합니다. 화살표와 추가 이 항목의 숫자이므로 마음속으로 시도하되 이전 예와 유사하게 "x"를 무한대로 대입한 후 분자와 분모의 표현식이 어떤 경향이 있는지 확인하십시오.
우리는 답을 얻었습니다. 무한대 경향이 있는 변수가 있는 이 함수의 한계는 0과 같습니다.
종 불확정성
실시예 3불확실성을 발견하고 한계를 찾으십시오.
해결책. 분자는 큐브의 차이입니다. 학교 수학 과정의 약식 곱셈 공식을 사용하여 인수분해해 보겠습니다.
분모는 2차 방정식을 풀어 인수분해하는 제곱 삼항식입니다(다시 2차 방정식 풀기 참조).
변환의 결과로 얻은 표현식을 적어두고 함수의 한계를 찾으십시오.
실시예 4불확실성을 발견하고 한계를 찾아라
해결책. 몫 극한 정리는 여기에 적용되지 않습니다.
따라서 분자와 분모에 분모에 대한 이항 켤레를 곱하고 다음과 같이 분수를 동일하게 변환합니다. 엑스+1. 정리 1의 결과에 따라 원하는 한계를 찾는 식을 얻습니다.
실시예 5불확실성을 발견하고 한계를 찾아라
해결책. 직접 가치 대체 엑스= 0 주어진 기능 0/0 형식의 불확정성을 초래합니다. 그것을 밝히기 위해 우리는 동일한 변환을 수행하고 결과적으로 원하는 한계를 얻습니다. 
실시예 6계산하다 
해결책:극한 정리를 사용
대답: 11
실시예 7계산하다 
해결책:이 예에서 분자와 분모의 극한은 0입니다.
; 
. 따라서 우리는 몫 극한 정리를 적용할 수 없음을 얻었습니다.
분자와 분모를 인수분해하여 0이 되는 공통 인수로 분수를 줄이고, 따라서 가능한 응용정리 3.
우리는 공식에 의해 분자의 제곱 삼항을 확장합니다. 여기서 x 1과 x 2는 삼항의 근입니다. 인수분해 및 분모, 분수를 (x-2)로 줄인 다음 정리 3을 적용합니다.
대답:
실시예 8계산하다
해결책:의 경우 분자와 분모는 무한대인 경향이 있으므로 정리 3을 직접 적용하면 불확실성을 나타내는 표현을 얻습니다. 이러한 불확실성을 없애기 위해서는 분자와 분모를 인수의 가장 높은 거듭제곱으로 나눕니다. 에 이 예로 나눌 필요가 있다 엑스:
대답:
실시예 9계산하다 
해결책: x 3:
대답: 2
실시예 10계산하다 
해결책:분자와 분모는 무한대 경향이 있습니다. 분자와 분모를 인수의 가장 높은 거듭제곱으로 나눕니다. x 5:
= 
분수의 분자는 1이 되고 분모는 0이 되므로 분수는 무한대가 되는 경향이 있습니다.
대답:
예 11.계산하다
해결책:분자와 분모는 무한대 경향이 있습니다. 분자와 분모를 인수의 가장 높은 거듭제곱으로 나눕니다. x 7:
대답: 0
유도체.
인수 x에 대한 함수 y = f(x)의 도함수인수 x의 증분 x에 대한 증분 y의 비율의 한계는 인수의 증분이 0이 되는 경향이 있을 때 호출됩니다. 이 극한이 유한하면 함수 y = f(x)점 x에서 미분 가능하다고 합니다. 이 한계가 존재하면 우리는 함수 y = f(x) x에서 무한 도함수가 있습니다.
기본 기본 함수의 파생물:
1. (상수)=0 9. 
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
차별화 규칙:
ㅏ) 
안에) 
실시예 1함수의 도함수 찾기 
해결책:분수의 미분 규칙에 의해 두 번째 항의 도함수를 찾으면 첫 번째 항은 복소수 함수이며, 그 도함수는 다음 공식으로 구합니다.
, 어디 
, 그 다음에
풀 때 다음 공식이 사용되었습니다: 1,2,10, a, c, d.
대답:
예 21.함수의 도함수 찾기 
해결책:두 항 모두 복소수 함수입니다. 여기서 첫 번째 , , 그리고 두 번째 , ,
대답: 
파생 응용 프로그램.
1. 속도와 가속도
함수 s(t)가 설명하도록 하십시오. 위치시간 t에서 일부 좌표계의 객체. 그러면 함수 s(t)의 1차 도함수는 순간적입니다. 속도물체:
v=s′=f′(t)
함수 s(t)의 2차 도함수는 순시 가속물체:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. 접선 방정식
y−y0=f'(x0)(x−x0),
여기서 (x0,y0)은 터치 포인트의 좌표이고, f'(x0)는 터치 포인트에서 함수 f(x)의 도함수 값입니다.
3. 정규 방정식
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
여기서 (x0,y0)은 법선이 그려지는 점의 좌표이고, f'(x0)는 주어진 점에서 함수 f(x)의 도함수 값입니다.
4. 함수 오름차순 및 감소
f′(x0)>0이면 x0 지점에서 함수가 증가합니다. 아래 그림에서 함수는 x에서 증가합니다.
f′(x0)인 경우<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. 함수의 국소 극값
함수 f(x)는 로컬 최대이 이웃의 모든 x에 대해 부등식 f(x1)≥f(x)가 유지되는 점 x1의 이웃이 있는 경우 점 x1에서
유사하게, 함수 f(x)는 지역 최소이 이웃의 모든 x에 대해 부등식 f(x2)≤f(x)가 유지되는 점 x2의 이웃이 있는 경우 점 x2에서
6. 크리티컬 포인트
점 x0은 임계점미분 f'(x0)가 0과 같거나 존재하지 않는 경우 함수 f(x).
7. 극한값의 존재에 대한 첫 번째 충분한 신호
함수 f(x)가 일부 구간(a,x1]의 모든 x에 대해 증가하고(f′(x)>0) 감소하는 경우(f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) 구간의 모든 x에 대해 )
