이차 방정식을 푸는 방법을 이해하려면 이차 방정식이 무엇인지 이해해야 합니다. 이차 함수그리고 어떤 속성을 가지고 있는지.
2차 함수가 왜 필요한지 궁금하셨죠? 그래프(포물선)는 어디에 적용됩니까? 예, 둘러보기만 하면 됩니다. 일상 생활당신은 그녀와 마주합니다. 체육에서 던진 공이 어떻게 날아가는 지 보셨습니까? "호에서"? 가장 정답은 "포물선 안에서"입니다! 그리고 제트기는 분수에서 어떤 궤적을 따라 움직입니까? 예, 포물선에서도 마찬가지입니다! 그리고 총알이나 발사체는 어떻게 날까요? 맞아요, 포물선에서도요! 따라서 이차 함수의 속성을 알면 많은 실제 문제를 해결할 수 있습니다. 예를 들어 공을 어느 각도로 던져야 가장 긴 범위비행? 아니면 발사체가 특정 각도로 발사되면 어디로 가게 될까요? 등.
그래서 알아 봅시다.
예를 들어, . 여기서 동등한 것은 무엇입니까? 물론, 그리고!
만약에, 즉 0보다 작습니까? 물론 우리는 "슬프다". 즉, 가지가 아래쪽을 향할 것입니다! 차트를 봅시다.
이 그림은 함수의 그래프를 보여줍니다. 이후, 즉 0보다 작으면 포물선의 가지가 아래쪽을 향합니다. 또한 이 포물선의 가지가 축과 교차한다는 것을 이미 알아차렸을 것입니다. 즉, 방정식에 2개의 근이 있고 함수가 양수 값과 음수 값을 모두 취한다는 의미입니다!
맨 처음에 우리가 이차 함수의 정의를 내렸을 때, 그것은 몇 가지 숫자라고 말했습니다. 그들은 0과 같을 수 있습니까? 물론 가능합니다! 나는 심지어 더 큰 비밀을 밝힐 것입니다(전혀 비밀은 아니지만 언급할 가치가 있습니다): 이 숫자에는 제한이 전혀 없습니다!
음, 와 가 0이면 그래프에 어떤 일이 일어나는지 봅시다.
보시다시피, 고려되는 함수(u)의 그래프는 정점이 이제 좌표가 있는 지점, 즉 축의 교차점에 있도록 이동했으며 이는 가지의 방향에 영향을 미치지 않았습니다. 따라서 좌표계를 따라 포물선 그래프의 "이동"을 담당한다고 결론을 내릴 수 있습니다.
함수 그래프는 한 지점에서 축에 닿습니다. 따라서 방정식에는 하나의 근이 있습니다. 따라서 함수는 0보다 크거나 같은 값을 취합니다.
함수의 그래프와 동일한 논리를 따릅니다. 한 점에서 x축에 닿습니다. 따라서 방정식에는 하나의 근이 있습니다. 따라서 함수는 0보다 작거나 같은 값을 취합니다.
따라서 식의 부호를 결정하기 위해 가장 먼저 해야 할 일은 방정식의 근을 찾는 것입니다. 이것은 우리에게 매우 유용할 것입니다.
이러한 부등식을 풀 때 우리는 2차 함수가 0보다 크거나 작거나 같은지 결정하는 능력이 필요합니다. 그건:
불평등이 엄격하지 않은 경우 (및) 루트 (포물선과 축의 교차점 좌표)은 원하는 수치 간격에 포함되며 엄격한 불평등은 제외됩니다.
이것은 모두 공식화되었지만 절망하지 말고 두려워하지 마십시오! 이제 예를 살펴보겠습니다. 그러면 모든 것이 제자리를 찾을 것입니다.
이차 부등식을 풀 때 위의 알고리즘을 고수하면 필연적으로 성공할 것입니다!
| 연산 | 예시: |
| 1) 해당 부등식을 쓰십시오. 이차 방정식(간단히 부등호를 등호 "="로 변경하십시오). | |
| 2) 이 방정식의 근을 찾으십시오. | |
| 3) 축에 뿌리를 표시하고 포물선 가지의 방향("위" 또는 "아래")을 개략적으로 표시합니다. |  |
| 4) 이차 함수의 부호에 해당하는 부호를 축에 배치합니다. 포물선이 축 위에 있으면 ""를, 더 낮은 곳에는 ""를 넣습니다. |  |
| 5) 부등호에 따라 ""또는 ""에 해당하는 간격을 씁니다. 부등식이 엄격하지 않으면 근이 구간에 포함되고 엄격하면 포함되지 않습니다. |
알았어요? 그런 다음 앞으로 고정하십시오!
예시:
음, 효과가 있었나요? 어려움이 있으면 솔루션을 이해하십시오.
해결책:
부등호가 " "이므로 기호 " "에 해당하는 구간을 작성해 봅시다. 부등식은 엄격하지 않으므로 근은 간격에 포함됩니다.
해당 이차 방정식을 작성합니다.
이 이차 방정식의 근을 찾으십시오.
얻은 뿌리를 축에 개략적으로 표시하고 표시를 정렬합니다.
부등호가 " "이므로 기호 " "에 해당하는 구간을 작성해 봅시다. 부등식은 엄격하므로 근은 간격에 포함되지 않습니다.
해당 이차 방정식을 작성합니다.
이 이차 방정식의 근을 찾으십시오.
이 방정식에는 하나의 근이 있습니다
얻은 뿌리를 축에 개략적으로 표시하고 표시를 정렬합니다.
부등호가 " "이므로 기호 " "에 해당하는 구간을 작성해 봅시다. 모든 함수는 음수가 아닌 값을 취합니다. 부등식은 엄격하지 않으므로 답은 다음과 같습니다.
해당하는 이차 방정식을 작성해 보겠습니다.
이 이차 방정식의 근을 찾으십시오.
포물선 그래프를 도식적으로 그리고 기호를 배치합니다.
부등호가 " "이므로 기호 " "에 해당하는 구간을 작성해 봅시다. 어떤 경우든 함수는 양수 값을 취하므로 부등식에 대한 솔루션은 간격이 됩니다.
"제곱 부등식"이라는 주제에 대해 이야기하기 전에 이차 함수가 무엇이며 그 그래프가 무엇인지 기억해 봅시다.
| 이차 함수는 다음 형식의 함수입니다. |
즉, 이 2차 다항식.
이차 함수의 그래프는 포물선입니다(그것이 무엇인지 기억하십니까?). "a) 함수가 모두에 대해 양수 값만 취하고 두 번째 ()에서는 음수 인 경우 가지가 위쪽으로 향합니다.
방정식 ()에 정확히 하나의 근이 있는 경우(예: 판별식이 0인 경우) 그래프가 축에 닿는다는 의미입니다.
그런 다음 앞의 경우와 유사하게 " .
결국, 우리는 최근에 이차 함수가 0보다 큰 곳과 작은 곳을 결정하는 법을 배웠습니다.
2차 부등식이 엄격하지 않으면 근이 숫자 간격에 포함되고 엄격하면 그렇지 않습니다.
루트가 하나만 있으면 괜찮습니다. 모든 곳에 동일한 기호가 있습니다. 근이 없으면 모든 것은 계수에만 의존합니다: if "25((x)^(2))-30x+9
답변:
2) 25((엑스)^(2))-30엑스+9>
근이 없으므로 왼쪽에 있는 전체 식은 다음 앞에 계수의 부호를 취합니다. 이차 함수다음 형식의 함수입니다. 이차 함수의 그래프는 포물선입니다. 다음과 같은 경우 가지가 위쪽으로 향하고 다음과 같은 경우 아래쪽으로 향합니다. 제곱 부등식의 유형: 모든 2차 부등식은 다음 네 가지 유형으로 축소됩니다. 솔루션 알고리즘: 간격 방법은 부등식을 해결하는 보편적인 방법으로 간주됩니다. 이것은 하나의 변수로 2차 부등식을 해결하는 데 사용하는 가장 쉬운 방법입니다. 이 자료에서는 간격 방법을 사용하여 2차 부등식을 해결하는 모든 측면을 고려할 것입니다. 자료의 동화를 용이하게 하기 위해 다양한 수준의 복잡성에 대한 많은 예를 고려할 것입니다. Yandex.RTB R-A-339285-1 2차 부등식을 해결하는 데 적합한 적응 버전에서 간격 방법을 적용하는 알고리즘을 고려하십시오. 학생들에게 대수 수업을 소개하는 것은 이 버전의 간격 방법을 사용하는 것입니다. 작업과 우리를 복잡하게 만들지 마십시오. 알고리즘 자체로 넘어 갑시다. 우리는 제곱 부등식의 왼쪽에서 제곱 삼항식 a x 2 + b x + c를 가집니다. 이 삼항식에서 0을 찾습니다. 좌표계에 좌표선을 그립니다. 우리는 그것에 뿌리를 표시합니다. 편의를 위해 엄격한 불평등과 엄격하지 않은 불평등에 대한 포인트를 지정하는 다양한 방법을 도입할 수 있습니다. 엄격한 불평등을 해결할 때 "빈"점으로 좌표를 표시하고 엄격하지 않은 일반 점으로 좌표를 표시한다는 데 동의합시다. 점을 표시하면 좌표축에 여러 간격이 생깁니다. 첫 번째 단계에서 0을 찾은 경우 얻은 각 간격에 대해 삼항식 값의 부호를 결정합니다. 0을 받지 못한 경우 전체 수직선에 대해 이 작업을 수행합니다. "+"또는 "-"기호로 간격을 표시합니다. 또한 기호 > 또는 ≥로 부등식을 해결할 때 음영을 도입하고< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ». 삼항식 값의 부호를 표시하고 세그먼트를 해칭하여 실제로 불평등에 대한 솔루션인 특정 숫자 세트의 기하학적 이미지를 얻습니다. 답을 적어두기만 하면 됩니다. 간격의 부호를 결정하는 것과 관련된 알고리즘의 세 번째 단계에 대해 자세히 살펴보겠습니다. 기호를 정의하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 가장 빠르지는 않지만 가장 정확한 것부터 시작하여 순서대로 고려해 봅시다. 이 방법은 얻은 간격의 여러 지점에서 삼항식 값을 계산하는 것입니다. 예 1 예를 들어, 삼항식 x 2 + 4 · x − 5 를 취하십시오. 이 삼항식 1과 -5의 근은 좌표축을 (− ∞ , − 5) , (− 5 , 1) 및 (1 , + ∞) 세 개의 간격으로 나눕니다. 간격 (1 , + ∞)부터 시작하겠습니다. 작업을 단순화하기 위해 x \u003d 2라고 가정합니다. 2 2 + 4 2 − 5 = 7 이 됩니다. 7은 양수입니다. 이것은 구간 (1 , + ∞)에서 이 제곱 삼항식의 값이 양수이며 "+" 기호로 표시할 수 있음을 의미합니다. 구간(− 5 , 1)의 부호를 결정하기 위해 x = 0을 취합니다. 0 2 + 4 0 − 5 = − 5 입니다. 간격 위에 "-" 기호를 넣습니다. 구간 (− ∞ , − 5)에 대해 x = − 6 을 취하고 (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7 을 얻습니다. 이 간격을 "+" 기호로 표시합니다. 다음 사실을 고려하여 징후를 결정하는 것이 훨씬 빠릅니다. 양의 판별식을 사용하면 근이 두 개인 제곱 삼항식은 수치 축이 이 삼항식의 근으로 나누어지는 간격에서 해당 값의 부호를 번갈아 나타냅니다. 이는 각 간격에 대한 부호를 정의할 필요가 없음을 의미합니다. 교대 원리를 고려하여 하나에 대한 계산을 수행하고 나머지에 대한 기호를 표시하는 것으로 충분합니다. 원하는 경우 선행 계수의 값에서 부호에 대한 결론을 도출하여 전혀 계산하지 않고 할 수 있습니다. a > 0 이면 일련의 문자 + , − , + 를 얻습니다.< 0 – то − , + , − . 근이 하나인 제곱 삼항식의 경우 판별식이 0일 때 좌표축에서 동일한 부호를 갖는 두 개의 간격을 얻습니다. 이것은 우리가 간격 중 하나에 대한 부호를 결정하고 두 번째에 대해 동일하게 설정한다는 것을 의미합니다. 여기서도 계수 a의 값에 따라 부호를 결정하는 방법을 적용합니다. a > 0 이면 + , + 가 되고 a이면< 0 , то − , − . 제곱 삼항식에 근이 없으면 전체 좌표선에 대한 값의 부호는 선행 계수 a의 부호와 자유 항 c의 부호와 일치합니다. 예를 들어, 제곱 삼항식 - 4 x 2 - 7을 사용하면 근이 없습니다(판별자는 음수임). x 2의 계수는 음수 - 4이고 자유 항 - 7도 음수입니다. 이것은 간격 (− ∞ , + ∞)에서 값이 음수임을 의미합니다. 위에서 설명한 알고리즘을 사용하여 2차 부등식을 해결하는 예를 고려하십시오. 예 2 부등식 8 · x 2 − 4 · x − 1 ≥ 0 을 풉니다. 해결책
간격 방법을 사용하여 부등식을 해결합니다. 이를 위해 삼항식 8 · x 2 − 4 · x − 1의 근을 찾습니다. x에서의 계수가 짝수라는 사실 때문에 판별식이 아닌 판별식의 네 번째 부분인 D " = (− 2) 2 − 8 (− 1) = 12를 계산하는 것이 더 편리할 것입니다. 판별식이 0보다 큽니다. 이를 통해 삼항식의 두 근을 찾을 수 있습니다: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 및 x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . 이 값을 수직선에 기록하십시오. 방정식이 엄격하지 않기 때문에 그래프에서 일반 점을 사용합니다. 이제 간격 방법을 사용하여 얻은 세 간격의 부호를 결정합니다. x 2의 계수는 8, 즉 양수이므로 부호의 순서는 + , − , + 가 됩니다. 기호 ≥ 로 부등식을 풀고 있으므로 더하기 기호로 틈에 해칭을 그립니다. 얻은 그래픽 이미지에 따라 설정된 수치를 분석적으로 적어봅시다. 우리는 이것을 두 가지 방법으로 할 수 있습니다: 대답:(- ∞ ; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) 또는 x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 . 예 3 2차 부등식 풀기 - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов. 해결책
먼저, 부등식의 왼쪽에서 제곱 삼항식의 근을 찾아봅시다: D " \u003d 1 2 - - 1 7 - 7 \u003d 0 x 0 \u003d - 1 - 1 7 x 0 \u003d 7 이것은 엄격한 부등식이므로 그래프에서 "빈" 지점을 사용합니다. 좌표 7 . 이제 얻은 구간 (− ∞ , 7) 및 (7 , + ∞) 에서 부호를 결정해야 합니다. 제곱 삼항식의 판별식이 0이고 선행 계수가 음수이므로 기호를 − , − 로 지정합니다. 부호 부등식을 풀고 있기 때문에< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус: 이 경우 해는 둘 다 구간 (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) 입니다. 대답:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) 또는 다른 표기법 x ≠ 7 . 예 4 2차 부등식 x 2 + x + 7< 0 решения? 해결책
부등식의 좌변에서 제곱삼항식의 근을 찾아봅시다. 이를 위해 판별식을 찾습니다. D = 1 2 − 4 1 7 = 1 − 28 = − 27 . 판별식이 0보다 작으므로 실근이 없습니다. 그래픽 이미지는 점이 표시되지 않은 수직선처럼 보입니다. 제곱 삼항식 값의 부호를 결정합시다. D에서< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + : 이 경우 "-" 기호로 틈에 해칭을 적용할 수 있습니다. 그러나 우리에게는 그러한 격차가 없습니다. 따라서 도면은 다음과 같습니다. 계산 결과 빈 세트를 얻었습니다. 이는 이 2차 부등식에 해가 없음을 의미합니다. 대답:아니. 텍스트에 오류가 있는 경우 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오. 고대부터 실용적인 문제를 해결하기 위해 값과 양을 비교하는 것이 필요했습니다. 동시에 많음과 적음, 높음과 낮음, 가볍고 무거움, 조용함과 시끄러움, 저렴함과 비쌈 등의 단어가 등장하여 균질량을 비교한 결과를 의미한다. 많음과 적음의 개념은 물체의 세기, 양의 측정 및 비교와 관련하여 생겨났습니다. 예를 들어, 고대 그리스의 수학자들은 삼각형의 변이 다른 두 변의 합보다 작으며 삼각형의 큰 변이 큰 각의 반대편에 있다는 것을 알고 있었습니다. 아르키메데스는 원의 둘레를 계산하는 동안 어떤 원의 둘레가 직경의 3배이고 초과분은 직경의 7분의 1 미만이지만 직경의 10/10보다 크다는 것을 발견했습니다. > 및 b 기호를 사용하여 숫자와 수량 사이의 관계를 기호로 작성합니다. 두 개의 숫자가 다음 기호 중 하나로 연결된 항목: >(보다 큼), 초급 성적에서도 수치적 불평등을 만났습니다. 불평등이 사실일 수도 있고 아닐 수도 있다는 것을 알고 있습니다. 예를 들어 \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \)는 유효한 수치 부등식이고 0.23 > 0.235는 유효하지 않은 수치 부등식입니다. 미지수를 포함하는 부등식은 미지의 일부 값에 대해서는 참이고 다른 값에 대해서는 거짓일 수 있습니다. 예를 들어 부등식 2x+1>5는 x = 3인 경우 참이지만 x = -3인 경우 거짓입니다. 알 수 없는 불평등의 경우 불평등을 해결하는 작업을 설정할 수 있습니다. 실제로 불평등을 해결하는 문제는 방정식 해결 문제보다 덜 자주 제기되고 해결됩니다. 예를 들어, 많은 경제 문제는 선형 불평등 시스템의 연구 및 솔루션으로 축소됩니다. 수학의 많은 분야에서 부등식은 방정식보다 더 일반적입니다. 일부 부등식은 방정식의 근과 같은 특정 대상의 존재를 증명하거나 반증하는 유일한 보조 수단으로 사용됩니다. 정수와 소수를 비교할 수 있습니다. 분모는 같지만 분자가 다른 일반 분수를 비교하는 규칙을 알고 있습니다. 분자는 같지만 분모가 다른 것. 여기에서 차이점의 부호를 찾아 두 숫자를 비교하는 방법을 배웁니다. 숫자 비교는 실제로 널리 사용됩니다. 예를 들어, 경제학자는 계획된 지표를 실제 지표와 비교하고, 의사는 환자의 체온을 정상과 비교하고, 터너는 가공 부품의 치수를 표준과 비교합니다. 이러한 모든 경우에 일부 숫자가 비교됩니다. 숫자를 비교한 결과 수치적 불평등이 발생합니다. 정의.차이 a-b가 양수이면 숫자 a가 숫자 b보다 큽니다. 차이 a-b가 음수이면 숫자 a는 숫자 b보다 작습니다. a가 b보다 크면 다음과 같이 씁니다. a > b; a가 b보다 작으면 다음과 같이 씁니다. a 따라서 부등식 a > b는 차이 a - b가 양수임을 의미합니다. a - b > 0. 부등식 a 다음 세 관계 a > b, a = b, a에서 임의의 두 숫자 a와 b에 대해 정리. a > b이고 b > c이면 a > c입니다. 정리.부등식의 양쪽에 같은 숫자를 더하면 부등식의 부호는 변하지 않습니다. 정리.부등식의 양쪽에 같은 양수를 곱하면 부등식의 부호는 변하지 않습니다. 부등식의 양쪽에 같은 음수를 곱하면 부등식의 부호가 반대로 바뀝니다. 수적 평등을 용어별로 추가하고 곱할 수 있음을 알고 있습니다. 다음으로 부등식으로 유사한 작업을 수행하는 방법을 배웁니다. 부등식을 용어별로 더하고 곱하는 기능은 실제로 자주 사용됩니다. 이러한 작업은 식 값을 평가하고 비교하는 문제를 해결하는 데 도움이 됩니다. 다양한 문제를 풀 때 부등식의 왼쪽과 오른쪽 부분을 항별로 더하거나 곱해야 하는 경우가 많습니다. 때때로 불평등이 더해지거나 곱해진다고 합니다. 예를 들어 관광객이 첫날 20km 이상, 둘째 날 25km 이상 걸었다면 이틀 동안 45km 이상 걸었다고 주장할 수 있습니다. 마찬가지로 직사각형의 길이가 13cm 미만이고 너비가 5cm 미만이면 이 직사각형의 면적이 65cm2 미만이라고 주장할 수 있습니다. 이러한 예를 고려하면 다음과 같습니다. 부등식의 덧셈과 곱셈에 관한 정리: 정리.동일한 부호의 부등식을 추가하면 동일한 부호의 부등식을 얻습니다. a > b 및 c > d이면 a + c > b + d입니다. 정리.왼쪽과 오른쪽이 양수인 동일한 부호의 부등식을 곱하면 동일한 부호의 부등식을 얻습니다. a > b, c > d 및 a, b, c, d가 양수이면 ac > bd. 부등호 >(보다 큼) 및 1/2, 3/4 b, c 엄격한 부등식 기호 > 및와 함께 부등호 \(a \geq b \)는 숫자 a가 더 크다는 것을 의미합니다. b 이상, 즉 b 이상. 기호 \(\geq \) 또는 기호 \(\leq \)를 포함하는 부등식을 엄격하지 않은 부등식이라고 합니다. 예를 들어 \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \)는 엄격한 부등식이 아닙니다. 엄격한 부등식의 모든 속성은 엄격하지 않은 부등식에도 유효합니다. 더욱이 엄격한 부등식의 경우 기호가 반대인 것으로 간주되고 여러 응용 문제를 해결하려면 방정식 또는 방정식 시스템의 형태로 수학적 모델을 작성해야 한다는 것을 알고 있습니다. 또한 많은 문제를 해결하기 위한 수학적 모델이 미지의 부등식임을 알게 됩니다. 부등식 해결의 개념을 소개하고 주어진 숫자가 특정 부등식에 대한 솔루션인지 확인하는 방법을 보여줍니다. 형식의 불평등 정의.미지수가 하나인 부등식의 해는 이 부등식이 진정한 수치적 부등식으로 바뀌는 미지의 값입니다. 불평등을 해결한다는 것은 모든 해결책을 찾거나 아무것도 없다는 것을 확인하는 것을 의미합니다. 방정식을 가장 간단한 방정식으로 줄임으로써 방정식을 풀었습니다. 마찬가지로 부등식을 풀 때 속성의 도움을 받아 부등식을 가장 단순한 부등식의 형태로 줄이는 경향이 있습니다. 형식의 불평등 불평등 해결 하나의 변수로 2차 부등식을 해결하기 위한 알고리즘: 기능을 고려하십시오 이 함수의 도메인은 모든 숫자의 집합입니다. 함수의 0은 숫자 -2, 3, 5입니다. 이들은 함수의 도메인을 간격 \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5)로 나눕니다. ) \) 및 \( (5; +\infty)\) 표시된 각 간격에서 이 함수의 부호가 무엇인지 알아봅시다. 식 (x + 2)(x - 3)(x - 5)는 세 인수의 곱입니다. 고려된 간격에서 이러한 각 요소의 부호는 표에 표시됩니다. 일반적으로 함수를 공식으로 지정하십시오. 이 속성은 형식의 부등식을 해결하는 데 사용됩니다. 고려된 방법 부등식을 해결하는 것을 간격 방법이라고 합니다. 간격 방법으로 불평등을 해결하는 예를 들어 보겠습니다. 부등식을 해결하십시오. 실제 축에 함수의 0을 플로팅하고 각 간격에서 부호를 계산합니다. 함수가 0보다 작거나 같은 간격을 선택하고 답을 기록합니다. 대답: 추가 자료 9학년을 위한 온라인 상점 "Integral"의 교구 및 시뮬레이터
여러분, 우리는 이미 이차 방정식을 푸는 방법을 알고 있습니다. 이제 2차 부등식을 푸는 방법을 알아봅시다. $ax^2+bx+c>0$. 부등호는 임의의 값일 수 있으며 계수 a, b, c는 임의의 숫자입니다($a≠0$). 또 다른 중요한 규칙을 소개하겠습니다. 예. 이차방정식을 그려봅시다. 가로축은 점 4와 -2에서 교차합니다. 2. 부등식 해결: $5x-6 해결책: 이차방정식의 그래프를 그려봅시다. 가로축은 점 2와 3에서 교차합니다. 3. 부등식을 푼다: $2^2+2x+1≥0$. 해결책: 4. 부등식 해결: $x^2+x-2 수학적 부등식의 개념은 고대에 등장했습니다. 이것은 원시인이 다양한 물체를 세고 행동할 때 자신의 수와 크기를 비교할 필요가 있을 때 발생했습니다. 고대부터 불평등은 아르키메데스, 유클리드 및 기타 유명한 과학자, 즉 수학자, 천문학 자, 디자이너 및 철학자의 추론에 사용되었습니다. 그러나 그들은 원칙적으로 그들의 작품에서 구두 용어를 사용했습니다. 처음으로 오늘날 모든 학생이 알고 있는 형태로 "더"와 "덜"의 개념을 나타내는 현대 기호가 영국에서 발명되고 실행되었습니다. 수학자 토머스 해리엇은 후손들에게 그런 봉사를 했다. 그리고 그것은 약 4세기 전에 일어났습니다. 불평등에는 여러 가지 유형이 있습니다. 그 중에는 하나, 둘 또는 그 이상의 변수, 제곱, 분수, 복소수 비율을 포함하는 단순한 것, 심지어 표현 시스템으로 표현되는 것도 있습니다. 그리고 불평등을 해결하는 방법을 이해하려면 다양한 예를 사용하는 것이 가장 좋습니다. 우선 시골 거주자가 마을에서 20km 떨어진 기차역으로 서둘러 가고 있다고 상상해보십시오. 11시에 출발하는 기차를 놓치지 않으려면 제시간에 집을 나서야 한다. 이동 속도가 5km/h인 경우 몇 시에 이 작업을 수행해야 합니까? 이 실제 작업의 솔루션은 5(11 - X) ≥ 20이라는 표현의 조건을 충족하는 것으로 축소됩니다. 여기서 X는 출발 시간입니다. 주민이 역까지 극복해야 하는 거리는 이동 속도에 도로에서의 시간을 곱한 것과 같기 때문에 이해할 수 있습니다. 사람은 더 일찍 도착할 수 있지만 늦을 수는 없습니다. 불평등을 해결하는 방법을 알고 실제로 기술을 적용하면 결국 답인 X ≤ 7을 얻게 됩니다. 이것은 주민이 아침 7시 또는 조금 더 일찍 기차역에 가야 함을 의미합니다. 이제 설명된 관계를 위에서 구한 불평등에 매핑하는 방법이 엄격하지 않은지 알아봅시다. 이는 변수가 7보다 작은 값을 가질 수 있고 이 숫자와 같을 수 있음을 의미합니다. 다른 예를 들어 보겠습니다. 이렇게 하려면 아래의 네 가지 그림을 주의 깊게 고려하십시오. 첫 번째에서 [-7; 간격의 그래픽 표현을 볼 수 있습니다. 7]. 좌표선에 있고 경계를 포함하여 -7과 7 사이에 위치한 일련의 숫자로 구성됩니다. 이 경우 그래프의 점은 채워진 원으로 표시되고 간격은 다음을 사용하여 기록됩니다. 두 번째 그림은 엄격한 불평등을 그래픽으로 표현한 것입니다. 이 경우 구멍이 뚫린(채워지지 않은) 점으로 표시되는 경계 번호 -7 및 7은 지정된 세트에 포함되지 않습니다. 그리고 간격 자체는 다음과 같이 괄호 안에 기록됩니다. (-7; 7). 즉, 이러한 유형의 불평등을 해결하는 방법을 알아내고 유사한 답변을 얻은 후 -7과 7을 제외하고 고려된 경계 사이에 있는 숫자로 구성된다는 결론을 내릴 수 있습니다. 다음 두 경우를 평가해야 합니다. 비슷한 방식으로. 세 번째 그림은 간격(-∞; -7] U )의 이미지를 보여줍니다.
제곱 불평등. 메인에 대해 간단히
연산
예시:
1) 부등식에 해당하는 이차방정식을 써봅시다.
2) 이 방정식의 근을 찾으십시오.
3) 축에 뿌리를 표시하고 포물선 가지의 방향("위" 또는 "아래")을 개략적으로 표시합니다.
4) 이차 함수의 부호에 해당하는 부호를 축에 배치합니다. 포물선이 축 위에 있으면 ""를, 더 낮은 곳에는 ""를 넣습니다.
5) 부등호에 따라 ""또는 ""에 해당하는 간격을 씁니다. 부등식이 엄격하지 않으면 근이 구간에 포함되고 부등식이 엄격하면 근이 포함되지 않습니다.
간격 방법을 적용하기 위한 알고리즘
수치적 부등식
결과.이 용어의 부호를 반대쪽으로 변경하여 부등식의 한 부분에서 다른 부분으로 모든 항을 옮길 수 있습니다.
결과.부등식의 두 부분을 같은 양수로 나누면 부등식의 부호는 변하지 않습니다. 부등식의 두 부분을 같은 음수로 나누면 부등식의 부호가 반대로 바뀝니다.
\(ax > b, \quad ax 여기서 a와 b는 숫자가 주어지고 x는 알 수 없습니다. 미지수가 하나인 선형 부등식.변수가 하나인 2차 부등식의 해법
\(ax^2+bx+c >0 \) 및 \(ax^2+bx+c 여기서 x는 변수이고 a, b 및 c는 일부 숫자이고 \(a \neq 0 \)는 다음과 같습니다. 변수가 하나인 2차 불평등.
\(ax^2+bx+c >0 \) 또는 \(ax^2+bx+c \)는 함수 \(y= ax^2+bx+c \)가 양수를 취하는 간격을 찾는 것으로 생각할 수 있습니다. 또는 음수 이렇게하려면 함수 \ (y = ax ^ 2 + bx + c \)의 그래프가 좌표 평면에 어떻게 위치하는지 분석하는 것으로 충분합니다. 포물선의 가지가 향하는 위치-위 또는 아래 , 포물선이 x 축과 교차하는지 여부와 교차하는 경우 어떤 지점에서 교차하는지 여부.
1) 제곱 삼항식 \(ax^2+bx+c\)의 판별식을 찾고 삼항식에 근이 있는지 알아보십시오.
2) 삼항식에 근이 있으면 x축에 표시하고 표시된 점을 통해 도식 포물선을 그립니다. 가지가 a > 0에서 위쪽으로 또는 0에서 아래쪽으로 향하고 3) 간격을 찾습니다. 점 포물선이 x축 위(부등식 \(ax^2+bx+c >0 \)를 해결하는 경우) 또는 x축 아래(부등식을 해결하는 경우)에 있는 x축
\(ax^2+bx+c 간격 방법에 의한 부등식의 해
에프(엑스) = (엑스 + 2)(엑스 - 3)(엑스 - 5)
에프(엑스) = (엑스엑스 1)(엑스엑스 2) ... (엑스엑스 엔),
여기서 x는 변수이고 x 1 , x 2 , ..., x n은 같은 숫자가 아닙니다. 숫자 x 1 , x 2 , ..., xn은 함수의 0입니다. 정의 영역을 함수의 0으로 나누는 각 간격에서 함수의 부호는 유지되며 0을 통과하면 부호가 변경됩니다.
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) 여기서 x 1 , x 2 , ..., x n은 같은 숫자가 아닙니다.
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)주제에 대한 강의 및 프레젠테이션: "정사각형 부등식, 솔루션의 예"
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7-9학년을 위한 전자 교과서 "이해할 수 있는 기하학"
교육 단지 1C: "기하학, 9학년"
제곱 부등식이와 같은 부등식을 다음과 같이 부릅니다.
선형 부등식에 대해 정의한 모든 규칙이 여기서도 작동합니다. 이 규칙을 직접 반복하십시오!
삼항식 $ax^2+bx+c$에 음의 판별식이 있는 경우 x 값을 대입하면 삼항식의 부호는 계수 a의 y 부호와 동일합니다.2차 부등식 해결의 예
그래프를 플로팅하거나 간격을 플로팅하여 해결할 수 있습니다. 불평등에 대한 해결책의 예를 살펴보겠습니다.
1. 부등식 해결: $x^2-2x-8
해결책:
방정식 $x^2-2x-8=0$의 근을 찾으십시오.
$x_1=4$ 및 $x_2=-2$.
우리의 제곱 삼항식은 함수의 그래프가 x축 아래에 있는 0보다 작은 값을 취합니다.
함수의 그래프를 보면 답을 얻습니다. $x^2-2x-8 답: $-2
부등식을 변환해 봅시다: $-x^2+5x-6 부등식을 -1로 나눕니다. 부호를 변경하는 것을 잊지 마십시오: $x^2-5x+6>0$.
$x_1=2$ 및 $x_2=3$의 삼항식의 근을 찾아봅시다.
우리의 제곱 삼항식은 함수의 그래프가 x축 위에 위치하는 0보다 큰 값을 취합니다. 함수의 그래프를 보면 답을 얻을 수 있습니다: $5x-6
삼항식의 근을 찾아봅시다. 이를 위해 판별식을 계산합니다. $D=2^2-4*2=-4 판별식은 0보다 작습니다. 처음에 소개한 규칙을 사용합시다. 부등식의 부호는 제곱 계수의 부호와 같습니다. 우리의 경우 계수는 양수입니다. 즉, 방정식이 x의 모든 값에 대해 양수임을 의미합니다.
답변: 모든 x에 대해 부등식은 0보다 큽니다.
해결책:
삼항식의 근을 찾아 $x_1=-2$ 및 $x_2=1$ 좌표선에 배치합니다. 
$x>1$ 및 $x인 경우 $x>-2$ 및 $x인 경우 답변: $x>-2$ 및 $x2차 부등식을 풀기 위한 문제
불평등 해결:
a) $x^2-11x+30 b) $2x+15≥x^2$.
c) $3x^2+4x+3 d) $4x^2-5x+2>0$. 기차를 놓치지 마세요
좌표선의 숫자 간격
